（基础数学专业论文）burgheleahaller对称双线性挠率的anomaly公式.pdf

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干班组亲 口千斟喈椠茸砚 曰f 钳了南a 妒 群目# 嚣形乒卸妒比 鲁杀 墨孥 男稀 飞已厕驯口u 矿锣獬科? i ；况据膨咖一一汐y 踟易 目鹭茸砚 冒哥罢勒萃祺爵毒鬲落抱毒￥士掣 目矿皆尹匆口) o 乙 肇飞夥。 ：专荔y 碑群磊岩封 。型禺剪牛固瞠鞫苇跖地甲规碰擎一苦荔锋砰群章。罩群娶丁皋察晕劁y 卓 。兽目y 章甲酱g 膂业疆襄刨业圉啤琏一晕e i | 明茸观章骂狮与狲士单茸歌珥奈朝莓瞢 。挺嚣茸观再藓雹冀智勤朝帮毕勘博剧滕压嘉杀￥拦掣翠瞢茸现珥嘉朝y 卓：蜜密y 卓 。t m q x a p m 1 0 0 $ ：1 9 1 0 z 。i i z o u ：d l n q ：寝幽雹皓国鸷豆莓暂狲士审茸歌 4 茸识g 够刨暂酯瞠莓斟g 翠鹄暂鲥艳暂瞠革瞥嘶叫业掣到睁墨哿茸刁每再泰土f 影非， 。胖砰朝覃拱擎髯# 凝融并翠禺哿y 卓轴刨。暂鄱冒身身蔡将鞑亵幽￥晔嚣骚娶 窜辨璩茸拱码素窜醉y 劲冀狲士胃并召茸现露嘉明圉鞋举群莓鬻谗猕f f j 士印( 霉咪) 硅睁半 杀围串哇螬琶搬冒身辑性国串刨罂杀砰罄岩勤茸现砑奈( p ) 2 茸识码杀明妊影蕈斟码责晕群 峰旦骣刨素￥妊卑犁群* 阜烬旦骣辫谢( ) ：暂硼冒粤罐丐翕禁二l 、甄艇茸弓茸歌疆诵麟 茸、肇瓣咨目茸砚希鬻丁圈囵罂翠旗圃雨蛳掣辫静鬻蝈瞬翁勘锋囤翠橼璎能勘茸砚码杂明 妊移琳询乜瓣嘉朝目抱性瞠杀辚鬃( z ) 2 茸辫壕萃弓茸嵌砑奈千渔辩杀￥拦单y 崂萁 茸嵌码寿雨延地型哿褚圭陴茸耐并疆由黪、出缮茸卷相乜罂嘉( 列壬砷谣卓噌由驾狮辨 母) 茸观砑亲萆誓军群料澎巧岩够滩母嘉( i ) ：帽雄目势茸砚码素朝i | 固鞋举群嚣砰勤鐾 翠阜啡嘉￥妊学。犁群霞暴明茸胜哇狴劲茸现码毒雨延抱* 晕嘉￥拦单掷上弓罩y 卓 。銎f 士印犁晔谣章驺狮茸拱砑杀朝y 章萃瞥素￥妊掣刨彭瞬县舒 滩再素干照、千科朝珥錾臻哗酲舄茸唑哇撵劲茸砚再蒜雨跖抱士￥亲￥妊掣 群氍 锋砰弭目珊茸礅再东奈￥妊单 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所 取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包 含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所 ：涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本 学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：盒建壹2 0 1 0 年6 月3 日 非公开学位论文标注说明 7 根据南开大学有关规定，非公开学位论文须经指导教师同意、作者本人申 请和相关部门批准方能标注。未经批准的均为公开学位论文，公开学位论文本 说明为空白。 论文题目 申请密级 口限制( 2 年)口秘密( 1 0 年)口机密( 2 0 年) 保密期限2 0年月日至2 0年月日 审批表编号批准日期2 0年月日 南开大学学位办公室盖章( 有效) 限制2 年( 最长2 年，可少于2 年) 秘密1 0 年( 最长5 年，可少于5 年) 机密2 0 年( 最长l o 年，可少于1 0 年) 一一一 一 中文摘要 中文摘要 在参考文献 6 】中，b u r g h e l e a 和h a i l e r 定义了对称双线性挠率并且证明了 该挠率的a n o m a l y 公式的一个特殊情形。这个公式的一般情形后来在参考文献 【2 1 ，t h e o r e m2 1 】中被陈述。根据苏广想和张伟平在参考文献【2 l 】的想法，即把 所考虑的非自伴l a p l a c e 算子看成是某个自伴l a p l a c e 算子的一阶扰动，然后运 用参考文献【5 】中相应于自伴l a p l a c e 算子邑有的结果，我们给出了该a n o m a l y 公式的另外一个证明。这个证明相对于b u r g h e l e a 和h a i l e r 通过直接处理非自伴 l a p l a c e 算子的原始证明是不同的。 关键词：b u r g h e l e a - h a l l e r 对称双线性挠率；a n o m a l y 公式；热核 a b s t r a c t i n ( 6 】，b u r g h e l e aa n dh a i l e rd e f i n e dt h es y m m e t r i cb i l i n e a rt o r s i o na n dd r o v e d t h ea n o m a l yf o r m u l af o rt h i st o r s i o ni ns p e c i a l c a s e t h i sa n o m a l yf o m u i aw a ss t a t e d l 眦ri n 【2l ，t h e o r e m 2 1 】i nt h eg e n e r a lc a s e f o l l o w i n gt h em e t h o dd e v e l o p e di n 2 1 1 ， 1 e e x p 陀s s l n gt h en o n - s e l f - a d j o i n tl a p l a c i a nb ys o m es e l f - a d j o i n tl a p l a c i a nw i t ha p e r t u r b a t l o no faf i r s to r d e ro p e r a t o r ，t h e na p p l y i n gt h ec o r r e s p o n d i n g r e s u j t sf o rs e l a d j 0 i n tl a p l a c i a n sw h i c hh a v eb e e ne s t a b l i s h e di n 【5 】，w eg i v ea l la l t e r n a t i v e p r o o fo f t h i sa n o m a l yf o r m u l aw i t h r e s p e c tt ot h eo r i g i n a lp r o o f u s i n gt h em e t h o d d i r e c t l yd e a l 咄 w i t hn o n 。s e l f - a d j o i n tl a p l a c i a n sd u et ob u r g h e l e aa n d h a l l e r k e yw o r d s ： b u r g h e l e a - h a l l e rs y m m e t r i cb i l i n e a rt o r s j o n ；a n o m a l yf o r m u l a ： i i c o n t e n t s c o n t e n 【t s 中文摘要 i a b s t r a c t i i c h a p t e r 1i n t r o d u c t i o n ? 1 c h a p t e r 2t h eb e r e z i ni n t e g 。r a l ，c l i f f o r da l g e b r a sa n de x t e r i o ra l g e b r a s3 2 1t h eb e r e z i ni n t e g r a l 3 2 2c l i f f o r da l g e b r a sa n de x t e r i o ra l g e b r a s 5 c h a p t e r3s y m m e t r i cb i l i n e a rt o r s i o n sa s s o c i a t e dt ot h ed er h a m c o r n p l e x e s 8 3 1 s y m m e t r i cb i l i n e a rt o r s i o no f af i n i t ed i m e n s i o n a lc o m p l e x 8 3 2 b u r g h e l e a h a u e rs y m m e t r i cb i l i n e a rt o r s i o no ft h ed er h a mc o m p l e x 9 3 3ac a n o n i c a lc o n n e c t i d no naf l a tv e c t o rb u n d l e 1 2 3 4 a na n o m a l yf o r m u l af o rt h eb u r g h e l e a - h a l l e rs y m m e t r i cb i l i n e a rt o r s i o n l 3 c h a p t e r 4 a p r o o f o f t h e o r e m3 1 0 1 5 4 。ls o m ef o r m u l a sr e l a t e dt od f ，d f + a n d 西+ 1 5 4 2a ni n f i n i t e s i m a lv a r i a t i o nf o r m u l af o rt h eb u r g h e l e a h a i l e rs y m m e t r i c b i l i n e a r t o r s i o n s 1 6 4 3t h es m a l lt i m ea s y m p t o t i c so ft h es u p e r t r a c eo fc e r t a i nh e a tk e r n e l s 2 3 4 4 p r o o f o f ( 3 2 4 ) 3 1 b i b l i o g r a p h y ，t - - ，- 3 2 致谢3 5 个人简历 3 6 i i i c h a p t e rii n t r o d u c t i o n c h a p t e r 1i n t r o d u c t i o n l e tfb eau n i t a r yf l a tv e c t o rb u n d l eo nac l o s e dr i e m a n n i a nm a n i f o l dm i n 【19 】，r a ya n ds i n g e rd e f i n e da l la n a l y t i ct o r s i o na s s o c i a t e dt o ( m ，f ) a n dp r o v e dt h a t i td o e sn o td e p e n do nt h er i e m a n n i a nm e t r i co nm m o r e o v e r , t h e yc o n j e c t u r e dt h a t t h i sa n a l y t i ct o r s i o nc o i n c i d e sw i t ht h ec l a s s i c a lr e i d e m e i s t e rt o r s i o nd e f i n e du s i n g ；a t r i a n g u l a t i o no nm ( c f 【15 】) t h i sc o n j e c t u r ew a s l a t e rp r o v e di nt h ec e l e b r a t e dp a p e r s o f c h e e g e r 8 】8a n dm i i l l e r 1 6 1 m i i l l e rg e n e r a l i z e dt h i sr e s u l ti n 【l7 】t ot h ec a s ew h e r e fi sau n i m o d u l a rf l a tv e c t o rb u n d l eo nm i n 5 】，i n s p i r e db yt h ec o n s i d e r a t i o n so f q u i l l e n 【t8 ，b i s m u ta n dz h a n gr e f o r m u l a t e dt h ea b o v ec h e e g e r - m i i l l e rt h e o r e ma sa l l e q u a l i t yb e t w e e nt h er e i d e m e i s t e ra n dr a y - s i n g e rm e t r i c s d e f i n e do nt h ed e t e r m i n a n t o fc o h o m o l o g y , a n dp r o v e da ne x t e n s i o no fi tt ot h ec a s eo fg e n e r a lf l a tv e c t o rb u n d l e s o v e rm t h em e t h o du s e di n 【5 】i sd i f f e r e n tf r o mt h o s eo fc h e e g e ra n dm i i l l e ri n 婶t i tm a k e su s eo fad e f o r m a t i o nb ym o r s ef u n c t i o n si n t r o d u c e db yw i t t e n 2 3 】o nt h ed e r h a mc o m p l e x a ni m p o r t a n ti n t e r m e d i a r ys t e pi n 【5 】5i st op r o v et h ea n o m a l yf o r m u l a f o rt h er a y s i n g e rm e t r i c o nt h eo t h e rh a n d ，t u r a e vg e n e r a l i z e st h ec o n c e p to fr e i d e m e i s t e rt o r s i o nt oa c o m p l e xv a l u e di n v a r i a n tw h o s ea b s o l u t ev a l u ep r o v i d e st h eo r i g i n a lr e i d e m e i s t e r t o r - s i o n ，w i t ht h eh e l po ft h es o c a l l e de u l e rs t r u c t u r e ( c f 【2 2 1 ，【10 】) i no r d e rt of i n d a na n a l y t i ci n t e r p r e t a t i o no ft h i st u r a e vt o r s i o n ，b u r g h e l e aa n dh a l l e r ( c f 【7 】，【6 1 ) ， f o l l o w i n gas u g g e s t i o no fm i j l l e r , d e f i n eag e n e r a l i z e da n a l y t i ct o r s i o na s s o c i a t e dt o a n o n d e g e n e r a t es y m m e t r i cb i l i n e a rf o r mo na f i a tv e c t o rb u n d l eo v e ra na r b i t r a r yd i m e n s i o n a lm a n i f o l da n dm a k ea ne x p l i c i tc o n j e c t u r eb e t w e e nt h i sg e n e r a l i z e da n a l y t i c t o r s i o na n dt h et u r a e vt o r s i o n t h i sc o n j e c t u r ew a sp r o v e di nf u l lg e n e r a l i t yb ys u z h a n g 21 r e c e n t l y c o m p a r - i n gw i t ht h el a p l a c i a n sd e a l tw i t hi n 5 】，t h el a p l a c i a n sc o n s i d e r e dh e r ea r en o n 。s e l f - a d j o i n t ( t h en o n - s e l f - a d j o i n tp r o p e r t yc o m e sf r o mt h ef a c tt h a tt h e ya r ed e a l i n gw i t h s y m m e t r i cb i l i n e a rf o r m si n s t e a do fh e r m i t i a nm e t r i c s ) t od e a lw i t ht h ea n a l y s i so f d e t e r m i n a n t so f n o n s e l f - a d j o i n tl a p l a c i a n s ，i n 21 ，s ua n dz h a n gd e v e l o pt h em e t h o d c h a p t e rii n t r o d u c t i o n e x p r e s s i n gt h en o n s e l f - a d j o i n tl a p l a c i a n sb ys e l f - a d j o i n tl a p l a c i a n sa n d a p p l y i n gt h e c o r r e s p o n d i n gr e s u l t sf o rs e l f - a d j o i n tl a p l a c i a n sw h i c hh a v eb e e ne s t a b l i s h e di n 【5 】 t ot h en o n s e l f - a d j o i n tl a p l a e i a n s ，w h i c hi sd i f f e r e n tf r o mt h em e t h o dd i r e c t l yd e a l i n g w i t hn o n s e l f - a d j o i n tl a p l a c i a n si n 【6 】 i nt h i sm e t h o d t op r o v et h ea n o m a l yf o r m u l af o rt h eb u r g h e l e a - h a i l e rs y m m e t r i c b i l i n e a rt o r s i o n ( c f 6 ) w h i c hi sa l s os t a t e di n 【2 1 ，i sn a t u r a l l ya ni m p o r t a n ti n t e r m e 。 d i a r ys t e p i nt h i sp a p e r , f o l l o w i n gt h ep r o o fo f 21 ，t h e o r e m3 5 】a n dc o m b i n i n g w i t h t h em e t h o di n 【5 ，s e c t i o n4 】，w eg i v eap r o o f o f t h ea n o m a l yf o r m u l a ，o f w h i c has p e c i a l c a s eh a sb e e np r o 、；f e di n 【6 ，t h e o r e m4 2 】 t h er e s to f t h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e r2 ，w er e c a l lt h eb e r e z i n i n _ t e g r a la sw e l la sc l i f f o r da l g e b r a sa n d e x t e r i o ra l g e b r a s i nc h a p t e r3 ，w er e c a l lt h eb a s i c d e f i n i t i o no fb u r g h e l e a h a i l e rt o r s i o na s s o c i a t e dw i t hag i v e nn o n d e g e n e r a t es y m m e t - r i cb i l i n e a rf o r mo na c o m p l e xf l a tv e c t o rb u n d l e ，a n ds t a t et h ea n o m a l y f o r m u l a w i t h o u t p r o o f i nc h a p t e r4 ，b yp r o v i n ga l le x p l i c i ti n f i n i t e s i m a lf o r m u l af o rt h e v a r i a t i o no ft h e b u r g h e l e a h a i l e rt o r s i o n s ，w ee s t a b l i s h t h ea n o m a l yf o r m u l a 2 c h a p t e r2t h eb e r e z i ni n t e g r a l , c l i f f o r da l g e b r a sa n de x t e r i o ra l g e b r a s c h a p t e r 2t h eb e r e z i ni n t e g r a l ，c l i f f o r da l g e b r a sa n d e x t e r i o ra l g e b r a s i nt h i sc h a p t e r , w ef i r s tr e c a l lt h eb a s i cd e f i n i t i o n so ft h eb e r e z i ni n t e g r a l ，a sw e l l a st h ec l i f f o r da l g e b r ao f a ne u c l i d e a nv e c t o rs p a c ee a n di t sn a t u r a l a c t i o n so na ( e 4 ) 2 1t h eb e r e z i n i n t e g r a l ； l e tea n dvb er e a lf i n i t ed i m e n s i o n a lv e c t o rs p a c e so fd i m e n s i d nna n dm l e t 矿b e a l le u c l i d e a nm e t r i co ne l e te l ，b ea no r t h o n o r m a lb a s i so fe ， a n dl e te 1 ，矿b et h ec o r r e s p o n d i n gd u a lb a s i so f e 幸 a s s u m et e m p o r a r i l yt h a tei so r i e n t e da n dt h a te l ，e ni sa no r i e n t e db a s i so f e l e tf bb et h el i n e a rm a pf r o ma ( v + ) 园人( e 4 ) i n t oa ( v + ) w h i c hi ss u c ht h a ti fa a ( v + ) ，j b a ( e + ) ，t h e n ( c 【5 ，( 3 1 ) 】) r 雪仅卢：o i f d 嘴e 卢 o ， 风m ：2 n ( 一1 ) 掣f ( 坼( 比) ) 一 ( 21 8 ) 1 8 风m = 一1 ) 广f 2 ( 坼( 比) ) “ u 7 c h a p t e r 3 s y m m e t r i cb i l i n e a rt o r s i o n sa s s o c i a t e dt ot h ed e r h a m c o m p l e x e s i nt h i sc h a p t e r , f o ra n o n d e g e n e r a t eb i l i n e a rs y m m e t r i cf o r mo nac o m p l e xf l a t v e c t o rb u n d l eo v e ra l lo r i e n t e dc l o s e dm a n i f o l d ，w ed e f i n ea n a t u r a l l ya s s o c i a t e ds y m m e t r i c b i l i n e a r f o r m o n t h e d e t e r m i n a n t o f t h e c o h o m o l o g y h + ( 膨，f ) w i t hc o e f f i c i e n t f c o n s t r u c t e di na l la n a l y t i cw a y t h r o u g ht h ed er h a mc o m p l e x ，w h i c hw ec a l lb u r g h e l e a h a i l e rs y m m e t r i cb i l i n e a rt o r s i o n a na n o m a l yf o r m u l ao ft h i st o r s i o ne s s e n t i a l l vd u e t ob u r g h e l e a h a i l e r 6 】w i l ia l s ob er e c a l l e d 3 1 s y m m e t r i cb i l i n e a rt o r s i o no faf i n i t ed i m e n s i o n a lc o m p l e x i fzi sar e a ll i n e ，l e t 九b et h ed u a ll i n e i fe i saf i n i t ed i m e n s i o n a lr e a lv e c t o t s p a c e ，s e t d e t e = a 懈陋) l e t ( c + ，a ) b ea f i n i t ec o c h a i nc o m p l e x ( c + ，a ) ：o _ c 0 鸟c 1 乌与_ o ， w h e r ee a c hc t ，0s i n ，i saf i n i t ed i m e n s i o n a lc o m p l e xv e c t o rs p a c e l e t 力 日4 ( c + ，a ) = 0 ( ，a ) i = 0 b et h ec o h o m o l o g yo f ( c 4 ，a ) l e t d e t ( c * ，a ) = 圆( d e t c ) 一y ， i = 0 d e t h + ( ，a ) ：o n ( d e t h ( c 车，训一i ) i = 0 b et h ed e t e r m i n a n tl i n e so f ( c * ，a ) a n d h ( 矿，a ) r e s p e c t i v e l y 8 ( 3 1 ) ( 3 2 ) l a ) i ti sw e l l k n o w nt h a tt h e r ei sac a n o n i c a li s o m o r p h i s m ( c f 1 4 】a n d 3 ，s e c t i o n d e t ( c * , a ) 型d e t h + ( ，a ) ( 3 3 ) l e te a c h ，0 i ，l ，a d m i tan o n d e g e n e r a t es y m m e t r i cb i l i n e a rf o r mb i ，t h e nb y ( 3 1 ) t h e yi n d u c ec a n o n i c a l l yas y m m e t r i c b i l i n e a rf o r mb d e t ( c ，a ) o hd e t ( c * , a ) ，w h i c h i nt u r n ，v i a ( 3 3 ) ，i n d u c e sas y m m e t r i cb i l i n e a rf o r mb d e 泞( c - ，a ) o nd e t h ( c + ，a ) d e f t n i t i o n3 1 ( c 【l o 】，i q a