（应用数学专业论文）矩阵frobenius范数不等式.pdf

摘要 矩阵的特征值不等式是矩阵扰动分析的主要课题之一。 f r o b e n i u s 范数是典型的酉不变范数，是研究最小二乘解、矩阵扰动 的主要手段。k r o n e c k e r 乘积和h a d a m a r d 乘积是比较特殊的两种矩 阵乘法，前者广泛应用于矩阵方程的求解过程中，后者则在组合论 中的组合方案、概率论中的特征函数及通信工程等方面都有着重要 的应用。 本文可以分为以下四个部分：第一部分主要介绍相关的问题背 景，并概述文章的主要内容；第二部分在著名的w ie l a n d t h o f f a m a n 定理的基础上，给出了矩阵和与差的特征值不等式，并作出了比较 简洁的证明。这个结论与w i e l a n d t - h o f f a m a n 定理的形式几乎一样 完美。最后把它推广到奇异值的情形，通过构造对称矩阵的方法巧 妙地证明了奇异值不等式，同样得到了矩阵和与差的奇异值不等式， 它的形式与w i e l a n d t - h o f f a m a n 定理也是一致的；第三部分给出了 一些关于矩阵乘积的f r o b e n i u s 范数不等式：第四部分将第三部分 的结论应用到k r o n e c k e r 乘积和h a d a m a r d 乘积，得到了类似于通常 定义下的矩阵乘积的f r o b e n i u s 范数不等式。 关键词：特征值，奇异值，h e r m i t e 矩阵，酉矩阵，f r o b e n i u s 范数， k r o n e c k e r 乘积，h a d a m a r d 乘积 a b s t r a c t s i n g u l a rv a l u ei n e q u a l i t i eo fm a t r i xi s o n eo ft h em a i nt o p i c so fm a t r i x p e r t u r b a t i o na n a l y s i s f r o b e n i u sn o r mi sat y p i c a le x a m p l eo ft h eu n i t a r i l yi n v a r i a n t n o r m s ，w h i c hi st h ep r i m a r ym e a n su s e di r tl e a s ts q u a r e ss o l u t i o ns t u d y i n ga n dm a t r i x p e r t u r b a t i o nr e s e a r c h k r o n e c k e rp r o d u c ta n dh a d a m a r dp r o d u c ta let h et w or a t h e r s p e c i a lm a t r i xm u l t i p l i c a t i o n t h ef o r m e ri sw i d e l yu s e di nt h ep r o c e s so fs o l v i n g m a t r i xe q u a t i o n s ，t h el a t t e rh a si m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si nt h ec o m b i n a t i o np l a no f c o m b i n a t o r i a l t h e o r y , t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o no f p r o b a b i l i t y t h e o r y ， c o m m u n i c a t i o ne n g i n e e r i n ga n ds oo n t h i sp a p e rc a nb ed i v i d e di n t ot h ef o l l o w i n gf o u rp a r t s t h ef i r s ts e c t i o n i n 拄o d u c e st h ec o n t e x to fr e l a t e di s s u e s ，a n do u t l i n e st h em a i nc o n t e n t so f t h ea r t i c l e o nt h eb a s i so ft h ef a m o u st h e o r e mo fw i e l a n d t h o f f a m a n ，t h es e c o n ds e c t i o ng i v e s a ni n e q u a l i t ya b o u tm a t r i xs u m m a t i o na n dm a r g i n ，a n dar e l a t i v e l ys i m p l ep r o o f t o t h ep e r f e c tf o r m ，t h i sc o n c l u s i o ni sa l m o s ti d e n t i c a lw i t ht h ew i e l a n d t - h o f f a m a n t h e o r e m f i n a l l y , i te x t e n d e dt ot h e c a s eo fe i g e n v a l u e s w i t ht h ep r o o fo fa e i g e n v a l u e si n e q u a l i t yi n ac l e v e rw a yo fc o n s t r u c t i n gs y m m e t r i cm a t r i x ，a e i g e n v a l u e si n e q u a l i t yi so b t a i n e dw h i c hi sa b o u tm a t r i c e ss u m m a t i o na n dm a r g i n ， a n di t sf o r mi sa st h es a m ea sw i e l a n d t h o f f a m a nt h e o r e m s t h et h i r ds e c t i o ng i v e s s o m ef r o b e n i u sn o r mi n e q u a l i t ya b o u tm a t r i xp r o d u c t o nt h eb a s i so ft h e c o n c l u s i o n so ft h et h i r dp a r t ，t h ef o u r t hs e c t i o ng e t ss o m ef r o b e n i u sm a t r i xn o n l l i n e q u a l i t i e sa b o u tk r o n e c k e rp r o d u c ta n dt h eh a d a m a r dp r o d u c tw i t ht h ea p p l i c a t i o n o ft h et h i r ds e c t i o n sc o n c l u s i o n s k e y w o r d s ：s i n g u l a rv a l u e s ；e i g e n v a l u e s ；h e r m i t a nm a t r i x ；u n i t a r ym a t r i x ；f r o b e n i u s n o r m s ；k r o n e c k e rp r o d u c t ；h a d a m a r dp r o d u c t i i 学位论文独创性声明 本入郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发 表或撰写过的研究成果 5 、其他同志对本研究所做的贡献均己在论文中作了声 作者签名； 日期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸 质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书 馆被查阅：有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索：有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 作者签名： 日期： 南京信息工程大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 本文的基本概念及所要研究的问题 作为数学的一个重要分支，矩阵理论有着悠久的发展历史和极为丰富的内容。作为一 种基本的数学工具，矩阵理论在数学学科以及其它科学技术领域，诸如数值分析、最优化 理论、概率统计、运筹学、控制论、管理科学与工程、信息科学与技术、系统工程、通信 工程等学科都有着广泛而重要的应用，甚至在经济管理、社会管理、博弈娱乐等人文社会 学科方面，矩阵理论也起着十分重要的作用。 矩阵的特征值( 奇异值) 估计或特征值( 奇异值) 不等式是矩阵扰动分析的主要课题 之一。矩阵f r o b e n i u s 范数是典型的酉不变范数，是研究矩阵方程最t j 、- - 乘解、矩阵方程极 小范数最小二乘解、矩阵特征值( 奇异值) 扰动等问题的主要手段。矩阵k r o n e c k e r 乘积和 l t a d a m a r d 乘积是两种常用的比较特殊的矩阵乘法，前者广泛应用于线性矩阵方程和微分方 程的求解过程中，后者则在组合论中的组合方案、概率论中的特征函数以及通信工程等方 面有着重要的应用。 本文所要研究的问题主要基于上述三个方面，而这三个方面又是与矩阵方程的解，矩 阵方程组的解，以及方程解的扰动等方面的研究密切相关的。如著名的s t o r m - l i o u v i l l 问 题的反问题，就是利用特征值或特征值和特征函数来确定s t o r m - l i o u v i l l 方程的系数及边 界条件的，而该问题的最小二乘解、极小范数最小二乘解又是利用矩阵k r o n e c k e r 乘积、 f r o b e n i u s 范数来研究的。 1 2 本文的主要工作 本文的主要工作分为以下三个部分。 第一部分，主要在著名的w i e l a n d t - h o f f a m a n 定理和文献 4 的基础上，分析矩阵和与 差的特征值( 奇异值) 的特性，给出了扩充了的特征值不等式o 而w i e l a n d t h o f f a m a n 定 理和文献 4 主要针对的是实对称矩阵，本文将其推广到h e r m i t e 矩阵的情形，给出了 h e r m i t e 矩阵和的特征值( 奇异值) 的上界和下界、h e r m i t e 矩阵差的特征值( 奇异值) 的 上界和下界，这些结论与w i e l a n d t - h o f f a m a n 定理的形式几乎一样完美。本文利用文献 3 3 和文献 4 ，对结论作出了比较简洁的证明。然后，巧妙地通过构造对称矩阵的方法，将先 前得到的结论推广到正规矩阵、一般矩阵的情形，并且在一般矩阵的情形下给出了一个数 南京信息工程大学硕士学位论文 值例子。 第二部分，在第一部分的基础上，给出了h e r m i t e 矩阵和与差的特征值( 奇异值) 在 f r o b e n i u s 范数下的上界或下界。同时，在关于矩阵乘积的特征值( 奇异值) 和迹的不等 式的引理2 1 、引理2 2 、引理2 3 、引理2 5 的基础上，再利用j e n s e n 不等式、h o l d e r 不等式、m i n k o w s k i 不等式，给出了有关两个矩阵幂的乘积、两个矩阵乘积的幂、多个矩 阵幂的乘积的f r o b e n i u s 范数的一些不等式。文中还作出了多个注记，举出了多个简单的 数值例子，对所得的结论进行说明。 第三部分，主要将第二部分的某些结论应用到k r o n e c k e r 乘积矩阵和h a d a m a r d 乘积矩 阵上，得到了类似于通常定义下的矩阵乘积的f r o b e n i u s 范数不等式。这其中也举出了多 个简单的数值例子。 1 3 本文所用的数学符号 本文采用的数学符号作如下规定。 用c 表示复数域，用r 表示实数域。用c “”表示所有肌n 复矩阵集合，用尺埘”表 示所有嬲摆实矩阵集合。用厶表示嚣阶单位矩阵，用a 表示矩阵么的共轭转置，而么r 表示矩阵a 的转置，a 一表示矩阵a 的逆。 设么c ，用i i a i i ：= d 一( 4 ) = 压巧丽表示矩阵4 的2 一范数或者谱范数， 表示矩阵么的f r o b e n i u s 范数。 设么，b c 为h e r m i t e 矩阵，则用a b ( 么召) 表示a b 为正定( 半正定) 矩 阵，而用a 0 ( a o ) 表示么为正定( 半正定) 矩阵：类似地，用彳 o 。 设矩阵ae c “”，a r ，有奇异值分解a = v d i a g ( o r l ，仃l ，一，仃1 ) u 日，其中 v , u c “为酉矩阵，则彳口= v d i a g ( c r f ，叮；，仃：) u 。 3 南京信息工程大学硕士学位论文 第二章矩阵和与差的特征值不等式 2 1 研究背景 矩阵的特征值( 奇异值) 估计问题始终在数值代数和矩阵理论中占据十分重要的地位， 而矩阵最小奇异值和矩阵最大特征值的估计又是矩阵特征值( 奇异值) 估计的重要课题， 对它们的研究具有重要的理论意义和实际应用价值。研究的主要课题包括：单个矩阵特征 值( 奇异值) 之间的关系问题，多个矩阵之间特征值( 奇异值) 关系的问题，矩阵范数与 特征值的关系问题，矩阵特征值( 奇异值) 的界的估计问题等等。1 6 0 多年来，矩阵特征 值( 奇异值) 问题的研究已经取得了丰硕的成果，文献 5 2 、 5 3 、 2 等著作都对矩阵特 征值( 奇异值) 问题的理论和方法进行了总结。 代数特征值( 奇异值) 问题一直以来都具有很重要的地位，矩阵特征值( 奇异值) 的 计算与估计在理论和应用上都具有十分重要的意义。然而，随着矩阵的巨型化、变态化、 复杂化，要精确计算任意矩阵的特征值( 奇异值) 并非总有可能：即便是借助于最先进的 电子计算机，也还会有一定的误差存在。所以，虽然特征值( 奇异值) 具有简洁明了的定 义，并且其基本理论多年来也已为人们所熟知，然而在求解的过程中总会遇到各种各样的 挑战性问题。值得注意的是，特征值( 奇异值) 在很多方面的应用往往无需精确计算特征 值( 奇异值) ，而只需有一个粗略的估计就够了。这就为人们对矩阵特征值( 奇异值) 的估 计的研究指明了道路，并且人们也在寻找更为精确的估计式。 1 8 5 8 年，英国著名数学家凯莱发表的了矩阵论的研究报告，文章中给出了方 阵的特征方程和特征值的定义。1 5 0 年以来，关于特征值( 奇异值) 界的计算与估计的 研究一直保持着比较高的热度，并且获得了一些经典的结论。1 9 0 2 年，h i r s c h 给出了特征 值的模、实部和虚部的范围，1 9 0 9 年，s c h u r 给出了特征值估计的s c h u r 不等式和f r o b e n i u s 不等式。这两个著名的估计式都是从矩阵元素的结构上给出了特征值的范围，然而因为需 要一些值的最大( 小) 值，使得所给出的界的范围较大。另外，自2 0 世纪8 0 年代以来， 利用矩阵的迹来估计特征值的界成为特征值估计的一种主流方法，研究者们也获得了大量 的成果。文献 8 、 9 、 1 0 、 1 1 是从矩阵特征值的均值的标准差与矩阵迹的关系来确 定特征值的简单实用的上、下界；文献 1 2 、 1 3 、 1 4 等是从矩阵的秩与迹的关系式来 讨论问题的，由于前者没有后者那么多限制条件，因而其结果的使用范围很广。于此同时， 研究者对特殊矩阵、矩阵和与差、矩阵乘积的特征值( 奇异值) 又进行了大量的研究。文 献 4 、 5 、 6 主要研究的是实对称矩阵和与差的特征值和奇异值；文献 1 5 、 1 6 研究 的则是正定或半正定h e r m i t e 矩阵的和与差的特征值：文献 1 7 、 1 8 、 1 9 、 2 0 、 2 1 利用迹的性质，研究了正定或半正定h e n n i t e 矩阵幂乘积的特征值估计。 通过对上述文献的阅读，你会发现对矩阵和与差的特征值( 奇异值) 估计主要停留在 特殊矩阵的阶段。本章将在更广一点的范围，即正规矩阵和一般矩阵上，对矩阵和与差的 特征值( 奇异值) 的界进行有意义的探究。 4 南京信息工程大学硕士学位论文 2 2 准备知识 定义2 1 1 1 设彳c “，如果存在a c 和非零向量喜c ”，使得彳考= 允考，则称九 为彳的特征值，称专为彳的对应于特征值允的特征向量。矩阵彳的所有特征值的全体，称 为a 的谱( s p e c t r u m ) ，记为九( 么) 。 定义2 2 t 2 1 设a c ”，若存在非零实数仃及非零向量“c ”，v c ”使得 a u = 0 l y ，a 日1 ，= o u ， 则称万为a 的奇异值，甜和v 分别称为a 的对应于奇异值仃的右奇异向量和左奇异向量。 定义2 3 【3 】设x = ( 一，吒) 7 r ”，xj ，= ( 1 。】，1 ：1 ，。】) r 表示x 的递降排序， 即1 l 】1 2 l 1 。1 。对于任意的x ，y er ”，如果 则称x 被y 弱控制，记为x _ 。y 。特别地，如果当后= ”时，有 1 ，】_ 坼】， ，害lt = l 则称y 控制x ，记为x y 。 引理2 1 3 1 设x = ( 一，x 2 ，) r r ”，y = ( 儿，y 2 ，此) 7 r ”，且 五x 2 ，y l y 2 儿。若z 一 y ，则对任意的实数组“l u 2 “。，有 引理2 2 吲设x = ( _ ，x 2 ，) r ，y = ( m ，y 2 ，儿) 7 r ”，如果x 一 夕，则， ( 巧2 而2 ，) r 。( 订，以，y 玑 引理2 3 4 1 设两个数组五吃，m 儿y 。，而f 1 ，之，与 5 、j 玎2 l = 后 ，- ， y 。斟 一 甜 +一矗 。耐 南京信息工程大学硕士学位论文 五，五，丘是1 ，2 ，刀的任意两个排列，则 口l 屯+ a 2 b n l + + a n b i a l l b j , + 口t + + 口- 吒口l6 l + a 2 b 2 + + 毛。 引理2 4 1 2 1设a c “，a 酉相似于一个对角矩阵的充分条件为彳是正规矩阵。 引理2 5 2 1设a c “”，且彳是h e n n i t e 矩阵，则a 必相似于实对角矩阵，即存在 酉矩阵u c “”使得 u h 彳u = a ， 其中人= 旃昭( 丑，九，九) ，九( f _ l ，2 ，玎) 是爿的实特征值。 引理2 6 设彳c ，且彳是正规矩阵，其特征值为 ，如，九，则2 n x 2 n 矩阵 4 = ( 三笞 的特征值为 ，九，丸，( 一 ) ，( 一九) ，( 一九) 。 证明 因为彳是正规矩阵，由引理2 4 可知，存在酉矩阵u c “”，使得a = u a u ， 即a = u 日a u ，其中人= d i a g ( ，疋，九) 。 lj ， 阪叫f 2 l 竺 i - 1 弛一u a u 何l l - u a u 胃 旯l l = 随 i a 厶 2 i a l 一人、i f ，u 胃0 、i 旯lj lou 叫 6 南京信息工程大学硕士学位论文 一凡 一五 一丸 一九 一 砰 l 一- l 九 一九 一九 碍 九一上 a = 允”冉( 旯一等 = 冉( 允2 一砰) = 1 3 ( 九一九) ( 九+ 九) 。 j = l 一九 一九 。砰 一一 允 所以b 的特征值分别为 ，疋，九，( 一九) ，( 一九) ，( 一九) 。证毕。 2 3 主要结论 定理2 1 【h 。腼姗一晰e l 锄出定理，5 1 设b = c a ，并且彳、b 、c 都是门门实对称矩阵， 它们的特征值按降序排列为a l a 2 a 。，屈反成，y l y 2 n ，则 7 南京信息工程大学硕士学位论文 定理2 2 f 6 1设b = c + 彳，并且彳、b 、c 都是刀x 甩实对称矩阵，它们的特征值 按降序排列为a l a 2 a 。，卢le 色f t ，y 1 y 2 e7 。，则 定理2 3 t 6 1设召= c 一彳，并且a 、b 、c 都是纷x 纷实对称矩阵，它们的特征值按 降序排歹0 为a l a 2 a 。，a f 1 2 成，y 1 y 2 7 。，则 定理2 4 【6 】设b = c + 么，并且4 、召、c 都是，2 ，z 实对称矩阵，它们的特征值 按降序排列为a l 口2 a 。，届f 1 2 成，y l 7 2 以，则 一一 ( a ，+ y 州+ ，) 2 卢? ，+ y f ) 2 。 定理2 5 设b = c a ，并且么、召、c 都是刀xnh e r m i t e 矩阵，它们的特征值按 降序排歹0 为a 1 a 2e a 。，卢l 卢2 成，7 l 7 2 7 。，则 证明显然，当彳、b 、c 都是胛胛实对称矩阵时，本定理就是定理2 3 ，因此本 定理可视为定理2 3 的推广。 下面分两种情况来证明本定理，即彳为正定阵的特殊情况和彳为非正定阵的一般情 况。 ( 1 )假设彳为正定矩阵。 由于a ，b ，c 都是聆n h e r m i t e 矩阵，根据引理2 5 ，分别成立，z n 酉矩阵u 、 u 使得彳= u , d i a g ( = l ，口2 ，o t 。) u ，b = u ；a i a g ( 3 l ，卢2 ，卢。) u 2 ， 8 卢 。斟 一 p 口+ y ，l 。尚 户 +一九 一位 ，l 。m o ( f = 1 ，2 ，聆) 。 t r ( a 2 ) = 打( u ，讲昭( 侥。，a ：，a 。) g u f f d i a g ( a 。，a ：，a 。) u ) = f ，( 畔击昭( a ? ，a ：2 ，a 。2 ) u ) = 加( 西昭( 口? ，a ：2 ，a ：) u 吖) a ? ， 耳o t r ( a 2 ) = a ；。同理，护( b 2 ) = 群，驴( c 2 ) = i = l i = ii = 1 y ? 。 f r ( b 2 ) = 护( ( c 一4 ) 2 ) = 驴( c 2 一c a a c + 彳2 ) = 驴( c 2 ) - t r ( c a ) - t r ( a c ) + t r ( a 2 ) = 护( c 2 ) + 妒( 4 2 - 2 t 厂( 么c ) 。 打拧 从而，欲证钟 故有 l = li = 1 ( ) ，广a ，) 2 ， 只须证明驴( 么c ) z a ，n 成立即可。而 i = l 钞( 么c ) = 护( u f 旃昭( 口，a ：，a 。) u , v ；d i o g ( r 。，y ：，。) ) = f r ( 抛( a 。，a ：，a 。) u , 叫 d i o g ( r 。，y ：，以) 卵) 。 令u 皑= 尸= ( p ) ，易知p 仍是酉矩阵，则 弹 # l 岛1 2 = 1 ( = 1 ，2 ，力) ，窆岛l = 1 ( = 1 ，2 ，力) ， j = l 1 2 岛i 亍1 0 = 1 ，2 ，刀) 。 t r ( a c ) = t r ( d i a g ( a 1 ，口2 ，以) p d i a g ( y l ，) 尸h ) = ( ，a 2 ，仅。) a 。1 2 p ：。1 2 ； 2 2 见。1 2l p 2 1 2 1 2 9 斟 n 如；n ，。，。l 月 ； 也 晓 坦 勉； p p 南京信息工程大学硕士学位论文 胤 引 i = l 同时，对于任意的整数k ( 1 k ) 有 y 岂： 厶， 2 yj 杰f ，一壹i 岛1 21 办+ k 窆 i = 1 j = l 1 = 1j = k + l 鼢i f f i l 鼬i = 12 卜 i1 一l 岛1 2l + y 。 p 式 yy - 二0 i = 1j = k + l j 蚶 l-7,壹(矿12)+n圭(t一荟k1-zlpi=l i = li = li = 1 j = ll 岛1 2 ) i 矿2l 坛il 一蚶l 、 n 。 f - l 因为对任意的整数后有 的定理1 2 2 ，有 i = 1 再 t r ( a c ) = 晓，考， 一刀 从而群 - z i = l ( y ，一a ，) 2 。 a 以 ，甩) ，则 ，玎) 成立，f f a ， 0 ，根据文献 3 中 t = li = l ( 2 ) 假定么为非正定矩阵。 如果彳是非正定矩阵，则存在充分大的实数a 0 ，使得彳+ 叮为正定矩阵。此时， 么+ 甜的特征值降序排列为( a 1 + 口) ( a 2 + 口) ( a 。+ 口) ，b 一甜的特征值降序排 l o 。州 。商 y ；蔺 y y 。商 一 2 k = 七 ，ly 。甜 - x ( r ，一口一2 口l nn，n t = li = 1 t = l( y ，一a f ) - 将屏= 驴( b ) = t r ( c - , 4 ) = j = l i = 1 7 i 1 成) o ( n a ，) 代入上式，有 l = l 卢? ( y ，一位，) 2 。证毕o i = 1i = 1 定理2 6 设b = c a ，并且彳、b 、c 都是 刀h e r m i t e 矩阵，它们的特征值按 降序排列分别为a l a 2 a 。，屈反成，n ，2 n ，则 一月 卢? - z ，= l，；1 ( a ，- y n - i + 1 ) 2 。 证明由于么、b 、c 都是甩玎h e r m i t e 矩阵，根据引理2 5 可知，分别成立刀x n 酉矩阵u、弘，使得么= 吖d i a g ( a l ，口2 ，a 。) u ，b = 皑d i a g ( f l l ，卢：，卢。) ， c = 畔扔昭( y 。，y 2 ，儿) 弘。再根据定理2 5 的证明过程可知，t r ( a 2 ) = t r ( b 2 ) = 群，t r ( c 2 ) = y 0 护( b 2 = t r ( c 2 ) + 护( 么2 - 2 t 厂( 彳c ) 。 1 = 1 = l 从而，欲证卢f 2 t = l t = l ( a j y n - i + 1 ) 2 口? ， ，只须证明驴( 彳c ) a ，y 州+ ，成立即可。而 i = 1 t r ( a c ) = t r ( u f d i a g ( a ，仅：，a ，) g u 3 u d i a g ( r ，n ) ) = t r ( d i a g ( a 。，a ：，a 。) u , u ， d i a g ( r 。，：，) 呼) 。 l l 瑚 南京信息工程大学硕士学位论文 令u 蜉= p = ( p i j ) ，易知尸仍是酉矩阵，则 故有 1 2 p 驴l = l ( j = 1 ，2 ，行) ，p v 2 = 1 ( f - l ，2 ，z ) 。 t r ( a c ) = t r ( d i a g ( o t l ，口2 ，a 。) ? d i a g ( r l ，y 2 ，儿) ) 博 = ( a l ，a 2 ，a 。) 见：1 2 见：| 2 b ，j 2l a ：1 2l a 。1 2 p ：。1 2i 仍：1 2 阮1 2 圳2i 岛：1 2 l 1 2 窆髻，= 羔窆l 既1 2y ，= 窆窆l p f ，1 2 a = l，= lj = 1 j = 1t = l 显然鲁 圳2 阮1 2 i 1 2 一 = i = l 岛1 2y = 1 ，2 ，力) ，则 圭fy ，窆l p 。1 21 = 窆n 。 j f f i l f - li f l 记毒= ( 钿，考f 2 】，考h ) ，= ( y ，儿， ) ，根据定义2 3p - i 知，考 ) ，。下面将向 量考中的元素按降序重新排列一下，记为考l 考2 善。再由引理2 i 和引理2 3 可知， 所以 t r ( a c ) = t = l 铂a ， + 。口，讲。口，。 i = 1 j e i ；= 护( b 2 ) = 驴( c 2 + t r ( a 2 + 2 t r ( a c ) i = l h 2上 in - i + l 仅? 一2 y 一f + 1 仅o i 1 ( 口，一y ) 2 。证毕。 1 2 一 瑚 n 如； ，。一 r 幢 m ； a p n 圪；以 ，j。l 。m 闽m闽 南京信息工程大学硕士学位论文 定理2 7 设b = c + a ，并且彳、b 、c 都是刀以h e r m i t e 矩阵，它们的特征值按 降序刳 列为口1 a 2 a 。反卢2 成，n ，2 y 。- 则 证明必须指出的是：当么与b 都是实对称矩阵时，上述不等式就是定理2 4 ，而不 等式右端即为文献 6 中的定理1 ，但 6 中的证明是冗长的，这里简证如下： 由于彳，b 都是h e r m i t e 矩阵，故由文献 3 之定理5 3 可得，允( b ) z a ，y 。+ ，成立即可。而 ，只须证明 t r ( a c ) = t r ( u h d i a g ( a l ，a 2 ，a 。) u , u d i a g ( r 1 ，y 2 ，n ) 虬) = t r ( d i a g ( a 。，晓2 ，a 。) u 1 u f d i a g ( 7 。，y 2 ，y 。) u 3 u h ) 。 令u 蜉= p = ( 岛) ，易知尸仍是酉矩阵，则兰l 岛j 2 = 1 ( = 1 ，2 ，力) ， 1 3 2 、l ， y +a 。闽 - i l l 和y 1 y 2 以一n - y 2 - - - y 1 。 由定理2 5 和定理2 6 可知 z z 一2 n ( 九( 彳) 一九( c ) ) 2 砰( b ) ( 丑( 彳) 一如。一川( c ) ) 2 i = 1 j = l，= i 一 ”月 即( 口，- y ，) 2 - a 。一a 2 一a l ， + 屈反成一成一厦一屈和) ，l y 2 n - y - y 2 一n 。 由定理2 7 可知 2 主( 九口) 一 ( c ) ) 2 2 宝砰( b ) 羔2 主( 丑( 彳) + 乃( c ) ) 2 ，= l i = l，= l 1 5 p y +口 。硝 2 一解 。瑚 2 一 卜 y 一 口 ，l 。硝 2 p y +口 ，l 。鲻 一砰 。硝 一py 一口 ，l 。斌 2 吩 c ，- 丑 、j 4 ，l 九 ，i 加耐 一、， 8 l砰 h 矧 一 2 n c l +肛t + 、， 4 l九 ，i 孙斟 南京信息工程大学硕士学位论文 一月疗 即( 晓，- y ，) 2 筘产 ，+ ，) 2 。 证毕。 由定理2 8 和定理2 9 得条件可知，这两个定理的结论都是在门阶正规矩阵上得到的。 实际上，我们把条件放宽到任意的掰x n 矩阵上去，仍然有这样的结论。同时注意到，这 两个定理的结论在形式上是一样的，所以可以简化它们的表达形式。 定理；1 0 设a ，b ，c c “”，它们的n ( m 刀) 个奇异值按降序捧列分别为 a 1 芝a 2 a 。，屈反尾，n y 2 y 。如果b = a + c ，则 窆卢? 主( a ，圯) 2 。 本定理的证明可以参照定理2 8 和定理2 9 的证明过程，本文在这里就省略了，只举 出一个数值例子来说明一下。 a = b = 例2 1 用m a t l a b 随机生成矩阵a ，b c 1 咖， 0 3 3 3 71 1 7 0 30 6 9 1 31 4 4 4 30 3 0 7 8- 0 0 7 4 91 5 9 2 41 1 9 9 4- 2 0 3 2 l 一0 8 5 7 8 1 1 7 8 9 1 。5 7 6 5 1 。1 5 9 0 - 0 4 8 6 40 7 8 6 7 - 0 ，9 7 3 2 0 0 3 3 21 。2 2 0 2 0 7 7 1 6 0 5 6 7 9 o 6 1 0 10 6 8 6 30 3 3 1 0 - 0 1 3 7 1 1 1 4 7 7 - 0 5 4 1 4 国3 6 4 8 1 4 6 4 3 1 1 7 7 3 0 3 7 6 70 7 3 0 4 0 7 7 6 7 0 6 3 6 5 1 4 8 4 5 - 0 0 6 7 4 0 6 3 2 8 1 。0 9180 2 2 5 71 2 7 2 80 514 50 。3 3 2 71 5 7 81- 0 9 6 612 。2 5 6 0- 0 2 2 2 6 0 2 1 6 80 7 5 7 6- 0 5 9 1 81 6 9 5 82 0 9 6 30 0 3 0 9 0 0 3 9 70 2 1 2 4o 1 8 0 6 1 4 1 9 9 - 0 8 4 8 42 2 4 9 60 6 7 6 30 3 8 8 80 3 1 6 3- 2 1 2 1 9o 1 8 8 40 8 9 7 1 0 6 2 6 91 8 5 9 50 0 1 6 33 4 1 2 8 - 0 6 5 2 5 1 9 8 4 81 8 3 6 4 0 2 8 4 7 1 2 3 0 5 2 2 2 1 5- 0 0 3 6 00 7 3 5 8加3 9 4 7 0 0 5 6 8 0 6 4 5 0 1 5 4 2 0 1 5 2 9 60 1 2 5 4 1 2 9 2 42 5 9l5_ o 6 4 0 91 2 0 5 9 0 4 2 2 5 0 313 30 2 3 5 4- 2 3 7 0 20 8 0 7 4 1 0 6 5 3 1 6 9 3 5- 0 3 6 2 60 5 3 9 6- 0 2 1 4 8 0 1 0 2 40 8 2 1 2o 5 7 1 20 5 5 9 9 2 0 0 9 l 0 4 5 7 3- 0 9 8 4 1 0 6 9 1 81 0 8 2 0- 0 6 6 7 60 5 9 7 31 4 1 6 6 - o 6 1 9 9 0 2 4 3 2 1 0 6 7 11 3 6 5 01 0 8 4 1- o 1 7 1 0 。0 7 0 5 7 0 0 3 9 61 0 5 6 9 1 2 4 6 9 0 1 4 9 5加1 2 7 60 8 6 7 00 。6 2 9 4- 0 8 1 0 30 2 2 0 11 。1 2 6 51 7 6 6 70 0 9 5 2 2 6 0 7 80 1 8 8 0- 0 。4 2 8 9 七7 5 6 1 0 。0 0 5 7 - 0 4 5 0 60 6 8 2 42 1 0 7 80 0 6 6 4 0 0 5 3 2 - 0 4 5 3 30 9 7 1 80 2 3 8 81 1 6 2 90 1 4 0 80 2 7 1 9 1 0 2 2 51 3 7 2 2 o 0 1 4 70 6 2 0 1一1 1 4 3 5 1 2 0 3 30 6 4 7 11 5 8 1 40 1 6 4 00 11 2 10 。6 7 5 0 一o 5 1 6 7 1 9 2 5 42 0 4 7 70 3 0 8 21 5 7 2 3- 0 2 9 7 10 4 7 3 30 0 6 2 90 0 5 6 7 1 2 0 7 31 4 2 5 50 0 0 7 81 5 3 7 90 1 3 0 20 3 5 1 30 4 5 1 80 4 3 9 31 3 2 3 2 o 1 1 0 8 0 2 6 8 00 7 4 6 8- 0 6 2 0 3 0 8 0 4 3 0 8 7 2 5加2 7 1 11 8 3 5 00 2 3 2 5 彳的两个扰动矩阵分别为c = a + b ，d = 么一b 。 1 6 、l ， y a ， 。瑚 南京信息工程大学硕士学位论文 用m a t l a b 计算这四个矩阵的奇异值， a ( 爿) = ( 6 3 9 8 7 ，5 7 6 3 2 ，4 5 4 4 0 ，3 3 6 6 8 ，2 4 6 0 2 ，2 0 8 7 3 ，1 4 8 2 3 ，0 7 7 5 1 ，0 2 0 8 0 ) ， 允( b ) = ( 5 1 5 7 3 ，4 1 5 6 9 ，3 9 0 0 7 ，2 8 4 1 4 ，2 5 2 4 1 ，1 7 2 0 7 ，1 3 7 1 9 ，1 0 2 0 1 ，0 3 6 3 1 ) ， a ( c ) = ( 8 4 8 2 3 ，7 8 2 6 7 ，5 6 7 9 9 ，4 0 6 2 5 ，3 0 7 2 4 ，1 9 9 5 2 ，1 5 0 8 8 ，0 7 9 6 3 ，0 1 0 2 5 ) ， 九( d ) = ( 8 0 5 5 4 ，6 4 2 2 8 ，5 7 2 8 ，4 6 6 6 6 ，4 3 1 8 1 ，3 1 7 0