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硕上论文分配环的一些刻画 摘要 本文首先建立一般环是分配坏的条件，即证明了一个环r 是分配环当且仅当r 中的 每一个不可约理想是强不可约理想。这一结论推广了w i l l i a mj h e i n z e r , l o u i sj r a t l i f f j r 及d a v i de r u s h 的一个结果。另外，我们给出了可迁的理想的定义并用可迁理想建立了 分配坏的扩张性定理，即我们证明了一个环只是分配环当且仅当存在r 的一个可迁的理 想l 使得，都是分配坏。之后我们讨论了分配环的一些性质，证明了环尺是分配环 当且仅当e x 】是分配环；环r 是分配环，s 是尺的一个乘法闭子集，则s 一尺是一个分配 环：令魄( r ) 是环ri 拘n xn 阶上三角矩阵，若鸠( 尺) 是一分配环，则r 是一个分配环； 若环r 是一分配环，则r 是一阿贝尔环。在文章的最后一部分，我们讨论了任意坏中的 强素理想与素理想之间，强素理想与强不可约理想之间，素理想与强不可约理想，素理 想与不可约理想之间，强不可约理想与不可约理想之间的关系。 关键词：分配环，理想，扩张性，不可约理想，强不可约理想，素理想，强素理想。 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ef i r s te s t a b l i s hac h a r a c t e r i z a t i o no fa r i t h e m e t i c a lt i n g s ，i e ，w ep r o v et h a t ar i n gri sa r i t h m e t i c a li fa n do n l yi fe v e r yi r r e d u c i b l ei d e a lo fr i ss t r o n g l yi r r e d u c i b l e t h e n w eg a v et h ed e f i n i t i o no ft r a n s i t i v ei d e a li na r i n ga n de s t a b l i s he x t e n s i o no fa r i t h e m e t i c a l r i n g s ，i e ，w ep r o v et h a tar i n gri sa r i t h m e t i c a li fa n do n l yi ft h e r ee x i s t ssat r a n s i t i v ei d e a l io frs u c ht h a tia n dma l eb o t ha r i t h m e t i c a l n e x tw ep r o v e ds o m e p r o p e r t i e so f a r i t h m e t i c a lr i n g s ri sa na r i t h m e t i c a lr i n gi fa n do n l yi f ri x i s 锄a r i t h m e t i c a l r i n g i f ri sa n a r i t h m e t i c a lr i n g ，si sam u l t i p l i c a t i v e l yc l o s e ds e ti nr ，t h e ns - 1r i sa na r i t h m e t i c a lr i n g 撕m 。( r ) b et h er i n g o fu p p e rt r i a n g u l a rnxnm a t r i c e sw i t he n t r i e si nr ，i f m 。( r ) i sa n a r i t h m e t i c a lr i n g ，t h e nri sa na r i t h m e t i c a lr i n g i f ri sa l la r i t h m e t i c a l r i n g ，t h e nri sa n a b e l i a nr i n g a tl a s t ，w ed i s c u s s e dt h er e l a t i o n s h i p sa m o n gt h ef a m i l yo f p f i m e i d e a l ，s t r o n g l y p r i m ei d e a l ，s t r o n g l yi r r e d u c i b l er i n ga n di r r e d u c i b l ei d e a lf o ra n yr i n g k e yw o r d s ：a r i t h m e t i c a lr i n g ，i d e a l ，t r a n s i t i v e ，i r r e d u c i b l ei d e a l ，s t r o n g l yi r r e d u c i b l e i d e a l ，p r i m ei d e a l ，s t r o n g l yp r i m ei d e a l i i 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本 学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或 公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使 用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文 中作了明确的说明。 研究生签名：趣查：为i 晖6 月2 珀 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或 上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并 授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密 论文，按保密的有关规定和程序处理。 o 幻年多月琴日 硕士论文分配环的一些刻画 第一章引言与主要结果 1 1 引言 在这篇文章中，所有环都假设是有单位的环。对于任意的环尺，用i d e ( r ) 表示只中 所有理想的集合。若对任意，j i d e ( r ) ，令i j = ，厂、，ivj = i + j ，则i d e ( r ) 构成了 一个格。 依据f u c h s 6 ，一个环r 称为分配的，如果r 的理想格i d e ( r ) 是分配格，即对任意 ，k i d e ( r ) ，有i n ( j + k ) = i o j + i r 、k 由分配格的知识知，环尺是分配环当且仅 当对于任意，j ，k l d e ( r ) ，有( ，厂、，) + k = ( ，+ k ) 厂、( ，+ k ) 在1 9 6 6 年，c j e n s e n 第一次建立了交换环是分配环的条件。他证明了一个交换环r 是分配环当且仅当对于r 中的每一个极大理想m ，尺在m 上的局部环r ，关于包含关系 是一个全序集见( 【1 0 】) 。在1 9 8 4 年，a a t u g a n b a e v 建立了右分配诺特环的一个刻画， 证明了坏r 是右分配诺特环当且仅当r 是有限个右链阿廷环( r i g h tc h a i na r t i nr i n g s ) 与不 变遗传诺特环( i n v a r i a n th e r e d i t a r yn o t h e r i a nr i n g ) 的直积( 见 2 4 】) 。早期的这两个刻画对分 配坏的研究起着很重要的作用，但这两个刻画并未给出任意的一个环是分配环的条件， 故这两个关于分配环的刻画带有特殊性。 分配环研究的另一个目标是研究分配环与其他环的关系。在1 9 7 6 年，m b b o i s e n 和p b s h e l d o n 引入了预分配环( p r e a r i t h m e t i c a lr i n g ) ，预贝祖环( p r e b e z o u tr i n g ) 的定义， 证明了预贝祖环，普吕弗环( p r u f e rr i n g ) 和分配环的关系，指出每一个预贝祖环是一个 普吕弗环( 见【1 】) 。在1 9 9 3 年，m i g u e lf e r r e r o 和g u n t e rt o m e r 建立了交换分配整环与普 吕弗整环的关系定理，证明了交换分配整环与普吕弗整环是等价的( 见 1 】) 。 在1 9 9 6 年，a v k e a r e v 引入了左半分配性的定义并证明了存在一个左半分配环r 使 得r 的根( r a d i c a l ) 不是一个半直和( 见 1 2 】) 。在1 9 9 8 年，a a t u g a n b a e v 证明了若一个分 配环尺的所有平方o ( s q u a r e z e r o ) 的元素是中心元或者r 对于其右和左的零化子满足极 大条件，则局部化环r ，( p 是尺的一个素理想) 存在且是一分配环( 见【2 5 】) 。在2 0 0 3 年， f r a n c o i sc o u c h o t 研究了分配环的维数，证明了每一个交换分配环尺的维数3 ，每一个 克鲁尔维数( k r u l ld i m e n s i o n ) 为0 的交换分配环既是一个卡普兰斯基( k a p l a n s k y ) 环，又是 一个a d e q u a t e 环( 见【5 】) 。在2 0 0 6 年，r m a z u r e k 和m z i e m b o w s k i 研究了幂级数环的 分配性，给出了使得生成的幂级数环尺叶】是分配环的充分必要条件( 见 1 6 1 ) 。在2 0 0 9 年，r m a z u r e k 和m z i e m b o w s k i 进一步地研究了贝祖环和分配环的关系，证明了扭曲 幂级数环尉【x ；仃】是右d u o 的右贝祖环当且仅当斛【x ；盯】是一约化右分配环( 见 2 0 1 ) 。 第一章引言与主要结果 硕1 ：论文 1 2 文中的主要结果 本文进一步地研究分配环，论文总共分为5 章。第一章中，简单介绍了分配环的发 展历史以及本文的主要内容。在第二章中，我们列举了分配环的大量例子，这充分说明 分配环是环中一个很大的分类，随后给出了分配环的一个刻画，建立了任意一个环是分 配环的条件定理。这个定理是对w i l l i a mj h e i n z e r , l o u i sj r a l t i f fj r 和d a v i de r u s h ( 见 【2 9 】) 所述结论的推广。在第三章中，给出了可迁理想的定义并用可迁的理想建立了分配 环的扩张性定理。在第四章中，讨论了分配环的一些性质。在最后一章中，我们研究了 任意环中的强素理想，素理想，强不可约理想，不可约理想之间的关系。 本文的主要结果包括： 定理2 4 r 是一个环，则r 是一个分配环当且仅当r 中的每一个不可约理想是强不可 约理想。 定理3 - 2 r 是一个环，则下列命题是等价的： 1 ) 足是分配环； 2 ) 对任意，k i d e ( r ) ，若，+ k ，则存在厂，k + i d e ( r ) 且，k + k 使得i = j + k ； 3 ) 对任意i i d e ( r ) ，i 是可迁的。 定理3 5 r 是一个环，则足是分配环当且仅当存在一个可迁的理想，r 使得，都 是分配环。 命题4 1 只是一个环，则r 是分配环当且仅当科x 】是一个分配环。 命题4 2 r 是一个分配环，s 是r 中的一个乘法闭子集，则s r 是一个分配环。 命题4 4 帆( r ) 是环ra x 的n xn 阶上三角矩阵，若鸭( r ) 是分配环，则r 是分配环。 命题4 6 若环灭是一个分配环，则r 是一个阿贝尔环。 定理5 3 足是一个交换环，i i d e ( r ) ，则若，是强素的i 是素的。 定理5 1 0 r 是任意的一个环，i i d e ( r ) ，若，是强不可约的，则，是不可约的。 定理5 1 2 j i c 是一个半单环，i i d e ( r ) ，则，是素的营i 是强不可约的铮i 是不可约 的。 2 硕i ：论文分配环的一些刻画 第二章分配环的例子与刻画 2 1 分配环的例子 首先，我们说明一下这篇论文的主要定义一分配环的定义。 定义2 1 尺是一个环，若对任意，k i d e ( r ) ，有 ( i n 力+ k = ( ，+ k ) r 、( j + k ) 则称月是一个分配环。 分配环是环中一类很大的环，分配环的例子也很多。下面我们给出一些分配 环的例子。 例2 2 1 ) 单列环( u n i s e r i a lr i n g ) 是分配环。 2 ) 欧几里得整环( e u c l i d e a nd o m a i n ) 是分配环。 证明：每一个欧几里得环月是一个有单位的主理想环 2 3 ，定理3 9 】。因此欧 几里得整环是p i d 环。若令，k l d e ( r ) ，则可令 ，= ( 口) ，j = ( 6 ) ，k = ( c ) ，a ，b ，c r ，c 0 。令a = q w + f i ，b = q 2 c + 吃，q l ，i ，q 2 ，r e r ，贝0 ( ( 口) n ( 6 ) ) + ( c ) = ( ( g l c + 吒) n ( q 2 c + 吒) ) + ( c ) = ( g l c + 吒) n ( 9 2 c + 眨) 和 ( ( 口) + ( 6 ) ) r 、( ( ( 6 ) + ( c ) ) = ( ( g l c + ) + ( c ) ) r 、( ( 9 2 c + 吃) ) + ( c ) = ( g l c + ，i ) n ( 9 2 c + r 2 ) 。 因此( ( 口) r 、( 6 ) ) + ( c ) = ( ) + ( c ) ) r 、( ( 6 ) + ( c ) ) ，从而证得r 是一个分配环。 3 ) 戴德金整环( d e d e k i n dd o m a i n ) 是分配环。 证明：令r 是一个戴德金整环，则尺中的每一个非零理想是可逆( i n v e r t i b l e ) 的 2 3 ， 定理6 1 0 】。因此r 是一个普吕弗整环( p r u f e rd o m a i n ) 。又因一个交换整环是分配 环当且仅当此环是一个普吕弗环 1 0 ，结论3 。故r 是一个分配环。 4 ) 每一个强正则环( s t r o n g l yr e g u l a rr i n g ) 是分配环 2 5 ，命题3 3 2 。 5 ) 每一个布尔环( b o o l er i n g ) 是分配环。 6 ) 每一个左半单环( 1 e f ts e m i s i m p l er i n g ) 是分配环。 证明：若r 是一个左半单环，则对r 中的任意右理想，和任意左理想，有 j i ，= i n ，【1 3 ，练习5 】。故对任意的，k i d e ( r ) ，有 ，n ( + k ) = i - ( ，+ k ) = ，+ ，k = ( ，n d + ( ，厂、k ) 故证得足是分配环。 从例2 2 的( 1 ) 一( 6 ) 知，环中存在大量的分配环。当然，也存在非分配环。在 第二章分配环的例了与刻i 面 硕十论文 下面的例2 3 中，我们给出了一个非分配环的例子。 例2 3 r 是一个实域，考虑r 的二阶下三角矩阵 鸩( 舻肥 【l c舢州斗 m 2 ( r ) 个是一个分配外。 证明：令 = ：三 i 口，c r ) ，厶= 兰三 jc ，d r ) ，厶= 兰兰 ic 月) 显然i 厶，厶是鸠( r ) 中的理想，并且有 c + 厶，n c 厶+ 厶，= 三暑 而c n 厶，+ 厶，= 三： ) + 厶= 厶， ( 1 + 1 3 ) n ( 2 + 厶) ( 1r 、厶) + 厶 因此m ，( 尺) 不是一个分配环。 2 2 分配环的刻画 在 2 9 1 ，w i l l i a mj h e i n z e r , l o u i sj r a t l i f fj r ，d a v i de r u s h 证明了分配环的这 样一个性质。若r 是一个交换的分配坏，则r 中的每一个不可约理想是强不可约 理想。在下面的定理中，我们将证明这个命题的逆命题对于任意的环都是成立的。 定理2 4 尺是一个环，则r 是分配环当且仅当r 中的每一个不可约理想是 强不可约理想。 证明： 由 1 0 】知，这个定理的必要性是显然的。我们只用证明充分性。下面 将分两步去证明。 第一步：证明对任意i i d e ( r ) ，i = n j i d e ( r ) i ，是不可约) 令为r 中所有包含，的不可约理想的集合。显然，n ，假设ic 7 nj ， ，e ，e a 取z ( i 1 ) i ，则必存在某个m v a l ( x ) 使得m2j 由引理2 1 知，m 是生成 j e 的不可约理想_ rx 仨m 因此x 叠f l d i d e ( r ) i ，厂，是不可约) 故 i = n j i d e ( r ) l ，是不可约 4 硕上论文 分配环的一些刻画 第二步：证明尺是分配环，即证对于任意的，k i d e ( r ) ，有 ，n ( j + 固j ( ，n 力十( ，n k ) 令a = ，r 、( t ，+ k ) ，b = ( i n j ) + ( 1 0 1 0 显然a2 丑由第一步知，只要证明 若m 是不可约并且m2e 则就有m2 彳一种情况是，若b = r ，这个结论是 显然的。另一种情况是b 冬r ，取s 尺b ，则存在某个n v a l ( s ) 使得 b = ( in j ) + ( i nk ) n n 是生成的不可约理想。由假设知，是强不可约的。 故我们有 b c _ n i n j n 或，nk nji n ，j 互n 或，k nj isn 药v + k 于是有a = i n ( j + k ) n 因此证得r 是分配环。 第三章分配环的扩张性硕i ：论文 第三章分配环的扩张性 3 1 可迁理想 定义3 1 r 是一个环，i i d e ( r ) 若对于任意的x ，y r ，当x + y i ，都 存在z r ，使得 x + z x r 厂、，y - z y r n i 则称，是可迁的理想。 定理3 2 尺是一个环，下面的命题是等价的： 1 ) 尺是分配环； 2 ) 对任意，k i d e ( r ) ，若j + k ，则存在，k i d e ( r ) 且 ，k + k 使得i = j + k ； 3 ) 对任意i i d e ( r ) ，i 是可迁的。 证明：我们将证明( 1 ) 营( 2 ) ，( 1 ) 营( 3 ) ( 1 ) j ( 2 ) ：假设r 是分配环，k i d e ( r ) ，is ，+ k ，则 i = ，r 、( ，+ k ) = ( i n j ) + ( i mk ) ，in ，r 、k k 令j = ，r 、，k = i n k ，则 i = ( in ，) + ( ，r 、k ) = d + k ( 2 ) j ( 1 ) ：令，k i d e ( r ) ，显然有 现我们要证明 ( i n j ) + ( i n k ) 互，厂、( ，+ k ) i n ( ，+ k ) ( ，厂、，) + ( ，r 、k ) 由( 2 ) 知，因i n ( j + k ) ，+ k ，则存在，k + i d e ( r ) 且，j ，k k 使得 ，r 、( ，+ k ) = j + k 因l ，+ k ，k j ，故厂，r 、j ，k s ，nk 因此有 6 硕1 ：论文分配环的一些刻画 ，r 、( ，+ k ) = j + k ( i n j ) + ( ，n k ) 综上所述，则有i n ( j + k ) = ( i n j ) + ( i n k ) 从而证明了r 是分配环。 ( 1 ) j ( 3 ) ：假设r 是分配环，x + y i ，则有 x + y i n ( x r + 加) = ( x r n i ) + ( 衄h i ) 故存在m x r n i ，刀y r r 、，使得x + y = 聊+ 玎令z = y 一万r ，则 x + z = x + ( y 一疗) = ( x + y ) + ( 一刀) = ( 聊+ 船) + ( 一，z ) = m x r 厂、i ， j ，一z = y 一( j ，一刀) = ( y y ) = ( 一疗) = 一力, v r n l 因此( 3 ) 是正确的。 ( 3 ) ( 1 ) ：令，k i d e ( r ) ，显然有 现我们要证明 ( i n j ) + ( ，n k ) ，n ( ，+ k ) ，n ( ，+ k ) ( i n j ) + ( ，厂、k ) 对任意的a i n ( j + k ) ，令a = m + n ，m j ，刀k 由( 3 ) 知，存在z r 使得 则有 m + z m r 厂、i j n i ，z - - z n rr 、i kr 、i 口= m + n = ( m + z ) + ( 刀- z ) ( ，n ，) + ( k 厂、，) 故证得，r 、( ，+ k ) = ( i n j ) + ( i n k ) ，r 是一分配环。 3 2 分配环的扩张性 证 命题3 3 r 是一个分配环，i d e ( r ) ，则也是一分配环。 证明：令么，是中的任意三个理想，要证也是一分配环，即 显然我们可得到 r 、( + ) = ( n ) + ( 么r 、) ( r 、) + ( 么n ) 么n ( + 呖) 7 第三章分配环的扩张性 硕】：论文 f 向我1 门妥让明 r 、( + m ；i ) c _ ( j 彳l n ) + ( 么n ) 对任意7 = f + ，么n ( + ) ，令 7 = a + i = ( 6 + ，) + p + n a j , b k ，c em 则有口一b c i 令口一b c = d i ，贝i j a = b + c + d k + m + 1sk + m 因此口j n ( k + m ) 又因r 是一个分配环，j ，k ，m i d e ( r ) ，故有 j n ( m + k ) = ( j n m ) + ( j n k ) ，口= o q + 岛，0 1 j n k ，岛j n m 从而有 口+ ，= ( q + ，) + ( 岛+ ，) ，n + m n 么， 又因 j n 么n , j n 勺巧n 所以有 口+ ie ( 么n ) + ( 么n ) ， n ( + ) = ( r 、) + ( n 呖) 从而证得是一个分配环。 从命题3 3 知，若环足是一个分配环，则，都是分配环。但是这个命题的 逆命题并不成立。通过下面的例3 4 可以验证这个判断是正确的。 例3 4 r 是一个实域，考虑r 的二阶下三角矩阵 如c r ，= ：三 l 口，c ，d r ) 蹴，= 口舢舢) 砒c 脯，视为一怖舭心( 都是 分配环，但是m 2 ( 尺) 不是一个分配环。 证明：i 的所有理想为： 厶= c 。，厶= ，厶= 兰三 lc r 8 硕l j 论文分配环的一些刻画 能够证明，是一个分配环。m 2 ( 的所有理想为：，鸠( 尺) 显然m 2 是 一个分配环。但是从例2 3 知，鸩( 尺) 不是一个分配环。 用前面引入的可迁理想，我们得到分配的环扩张性定理。 定理3 5 r 是一个环，则r 是分配环当且仅当存在一个可迁的理想 ，砘( r ) 使得，都是分配环。 证明：先证必要性。给定r 中任意的一个理想，使得x + y ，x y r 则 w = x + y 显然有w r = ( x + y ) r 斌+ y r 由定理3 2 知，存在j ，k i d e ( r ) r j x r ，k 地使得w r = ，+ k 于是存在某个x j ，y k 使得w = x 。+ y 现令z = x x ，则有 z = x 。一x = ( w y ) 一x = ( w x ) 一y = y y 于是我们有 z + x = x j x rn i ，y z = y k y rn i 因此证得，是可迁的。经运算可知j ，都是分配环。 再证充分性。假设是使得，都是分配环的r 的一个可迁理想。现证r 是一个分配环。对任意的j ，j ，k i d e ( r ) ，若c l ，n ( ，+ k ) ，则存在b j ，c k 使 得a = b + c 我们分两种情况去证明r 是一个分配环。 第一种情况：若a n ，则由n 的可迁性，我们可以假设6 ，c n ，使得 础，6 r ，c r i d e ( n ) 显然有a r 互b r + c r 又因n 是分配环，则有 a r = a r n ( 6 r + c r ) = ( a r n b r ) + ( 口尺n c r ) ( ，r 、力+ ( 1 厂、k ) 故a ( i n j ) + ( i n k ) 因此有i n ( j + k ) = ( ，n ，) + ( ，r 、k ) 第二种情况： 若口f tn ，则有乙= 石+ ；，一a ，一b ，；是在自然同态映射尺寸= 页 下口，b ，c 的各自的象。因为尺是分配环，又显然有口尺b r + c r ，从而有 a r = 口尺厂、( 6 r + c r ) = ( a r n b r ) + ( a r 厂、c 尺) ( ，n 刀+ ( ，r 、k ) 则存在d ( ，r 、，) + ( ，n k ) 使得口一d n 由第一种情况的讨论知，有 9 第三章分配环的扩张性硕i - i k 文 a ( ，n ，) + ( ，厂、k ) 因此证得，厂、( ，+ k ) = ( i n j ) + ( ，r 、k ) r 是一个分配环。 l o 硕七论文 分配环的一些刻画 第四章分配环的性质 在本章中，我们讨论分配环的一些性质。 命题4 1 r 是分配环当且仅当e x 】是分配环。 证明：先证必要性。假设r 是一个分配环，令，以，k i d e ( r x ) ，则存在 ，k i d e ( r ) 使得 = ，【x 】，以= ，【x 】，k = k 【x 】 则有 ( 厶r 、以) + k = ( 【x r 、以x 】) + k 【x 】= ( ( ，n ，) + k ) 【x 】= ( ( ，+ k ) r 、( ，+ k ) ) x 】 = ( ，【x 】+ k 【x 】) n ( ，【x 】+ k 【x 】) = ( - i - k 1 ) 厂、( 以+ k 1 ) 从而证得e x 】是一个分配环。 再证充分性。假设r x 】是一个分配环。令伊：r x 】j r ，对任意的 厂( x ) = a o + a l x + a 2 x 2 + + a n x n , 缈( 厂( z ) ) = a o 显然缈是满同态的。由环的第一同构定理知， 尉x 形 兰r 7k e r 9 2 “ 因，缈i d e ( r x 】) 且尺 x 】是一个分配环，故尉岁乞，伊是一个分配环( 由命题 3 1 ) ，因此证得r 是一个分配环。 命题4 2 若只是一个分配环，s 是r 中的一个乘法闭子集，则s r 是一个 分配环。 证明：令，k i d e ( r ) ，则s - 1 ，s - 1 ，s 1 k l d e ( s - 1 r ) 因尺是一个分配环， 则 ( s 一1 i n s 一1 ，) + s k = s - i ( i nj ) + s k = s - i ( ( ，n ，) + k ) = s _ 1 ( ( ，+ k ) 厂、( ( j + k ) ) 故有 ( s - ! i n s 一1 力+ s k = s - i ( ( ，n k ) n ( ( r 、k ) ) = ( s - 1 1 + s - 1 k ) n ( s 1 j + s - 1 k ) 从而证得s 。1 r 是一个分配环。 同命题4 1 ，我们也考虑命题4 2 的逆命题是否成立。从下面的例4 3 知，命 题4 2 的逆命题是不成立的。 第1 ，q 章分配环的性质 硕 ：论文 例4 3 r 是一个交换整环，尸是r x 】的素理想且p r 、尺= 0 ，则s 。1 r x 】是一 个分配环【2 3 ，p 4 0 8 ，练习8 】。但是r x 】可能不是一个分配环。 命题4 4 鸠( 尺) 是环r 上的n xn 阶上三角矩阵，若鸠( 尺) 是分配环，则r 是 分配坏。 证明：令缈：鸠( 尺) 专r ，对任意的 a = q lq 2 0 a 2 2 0o 对于任意的a ，b m 。( r ) ，令 则有 a = 彳+ b = 彳b = q 1q 2 0 a 2 2 0o 口1 。 口2 。 ： 口1 。 口2 n ： a 厶( r ) ，伊( 彳) = b = 6 l 。岛： 0 6 2 2 o0 q l + 岛l口1 2 + 岛2 q 。+ 6 1 。 0 口2 2 + 6 2 2呸。+ 2 j 2 。 00 + q 16 l lq l 岛2 + a 1 2 2 0 a 2 2 包2 ： 00 岛。 如。 ： 阮。 q l t , l 。+ + q 。 呸2 也。+ + 呸。6 朋 n n l 。 故有缈( 彳+ b ) = a n n + 6 删= 矽( 4 ) + 伊( b ) ，汐( 彳b ) = a n 。b b b = 伊( 彳) 妒( b ) ， 因此伊是一个 满同态。由环的第一同构定理知， m n ( r ) k e r q ，兰尺 ：= j l 天t k e 仰砒( 帆( 尺) ) 且鸠( r ) 是一个分配环，故m “? 么，矽是一个分配环( 由 命题3 1 ) ，因此证得尺是一个分配环。 同样去讨论命题4 4 的逆命题是否成立。由例4 5 知，命题4 4 的逆命题不成 立。 例4 5 r 是一个实域，显然r 是一个分配环。考虑尺的二阶上三角矩阵 1 2 硕士论文分配环的一些刻画 f r 口 鸠俾卜t l o 鸩( r ) 不是一个分配环。 证明：鸩( 尺) 的所有理想为： b d la , 6 , d r ) = c 。，厶= 如c 尺，3 = 苫三 l 口，6 尺) 厶= 三三 l6 ，d r ) ，厶= ：三 i6 r ) 取m 2 ( r ) 中的理想厶，厶，厶，( 3r 、厶) + 厶= a + 厶，但是 b o la , b r n ：扯) 故( 1 3n 厶) + 厶( 厶+ l ) n ( 厶+ 厶) ，m 2 ( r ) 不是一个分配环。 命题4 6 若r 是一个分配环，则尺是一个阿贝尔环。 证明：假设r 是一个分配环。首先证明尺中的所有幂等元之间是可换的。对 任意的幂等元p ，f r ，因r 是一个分配环，则有 e r = e r r 、r = e r r 、l 承+ ( 1 - f ) r 】= 【e r 厂、f e 】+ p r r 、( 1 一厂) 尺】 因e r n f r f r ，f e r n f r e rn f r ，3 l e rn ( 1 一f ) r 三( 1 一f ) r ，则有 f ( e r n o 一厂) 尺】) = 0 因此启r = e r n 肛e r ，从而有f e = e y e 同理有，f ( 1 一p ) = ( 1 - e ) f ( 1 - e ) 故 e f ( 1 一p 1 = 0 j e f = e y e = f e 下证月是一个阿贝尔环。对任意的幂等元e r 以及任意的，r ，令 f = p 一( 1 一e ) r e 显然f 2 = f ，于是可得e f = f e 因此有e = e f = f e = f ，即 r e = e r e 由对称性，同理有e r = e r e 故有e r = r e 于是证得r 是一个阿贝尔环。 可由由命题4 6 去判断一个环是否是分配环。 例4 7 1 ) 尺是一个实域，鸩( r ) 是r 的，z 以阶上三角矩阵，即 口0 ，c、 l i 以 + n+ 允 场 a = 第1 i j 章分配环的性质 鸠( 尺) = 鸩( r ) 不是一个分配环。 证明：易知 则 如卜 l 云 r 三 e2 1 1 ： 1 0 1 1 1 1q 2 0 a 2 2 00 1l o 0 ： 0 o q 。 扣r t m 。( 尺) 故可知p 是鸩( 尺) 的一个幂等元。对于任意的 有 f o l l l0 a e = 1 l 云 e a = a = 0 1 1q 2 0 a 2 2 0o 0 o 11 0 0 ： o 0 q i 0 o 口1 2 + a 2 2 o 0 = e 硕l ：论文 q 。+ + q 。 a e e a ，因此e 不是心( r ) 的中心幂等元，由命题4 6 知，( 月) 不是一个分配 环。 2 ) 令彳是 0 ，l 】上的所有实值连续函数的集合，对于任意的厂( x ) ，g ( x ) a ， 1 4 ( 厂+ g ) ( x ) = ( x ) + g ( x ) ，( 营) ( x ) = 厂( x ) g ( x ) ，x 【0 ，1 1 1 0 ；0 竹 ” 孵 ； 0 ；o o ； ； q o ；o 0 ；0 一旧二二一 = = 1 o 1 0 1 o 力 坩呸； 2 2 q 呸； 胛 疗 竹屯； 2 2 吒吒；00 ；0 1 o i o ；o o ；0 1 0 ；0 硕i ：论文分配环的一些刎俩 易知彳是一个环，但a 不是一个分配环。 证明：令e = f ，f ( x ) = 1 ，则 e 2 = f 2 , f 2 ( x ) = 厂( ( x ) ) = l = 厂( x ) ， 故e 是a 的一个幂等元。但由映射的非交换性知，e 不是彳的一个中心幂等元， 从而证得a 不是一个分配环。 1 5 第五章理想之间的关系 硕一1 二论文 第五章理想之间的关系 1 强素理想与素理想 百先讨论强索埋想与素埋想z 1 日j 阴天系。已伺阴缩化是：一i 、父珙外甲明埋 想若是强素理想，则此理想是素理想。但是这个结论在非交换环中是不成立的。 例5 1 r 是一个实域， m ：c r ，= 苫三 l 口，6 ，d 尺) ，= 他扯卜鸠c 啪一个强素理想，但是环是素理想。 证明：先证，是一个强素理想。令彳= 君主 ，b = ：乏 鸩c 尺， 机 瞄射警q 落破 若c ，则有碣- 0 或者破= 0 ，故可得a ，或b ，因此，是一个强素理想。 再证j ，不是素理想。m 2 ( 尺) 的所有理想为： 厶= c 。，厶= ：三 i6 尺) ，厶= 吕三 i6 ，d 尺) ，厶= ，厶= a 如c r ， 取 厶= 3 笔 1 6 尺) ，厶= ：三 1 6 ，d 尺) ， 厶，厶m 2 ( 尺) 且厶厶= ( o ) s ，但厶旺，厶旺，故证得，不是素理想。 由上述讨论知，非交换环中的一个强素理想可能不是素理想。同样也可证得 在非交换环中，一个素理想可能也不是强素理想。 例5 2 r 是一个实域， 如c r ，= 苫三 i 口，6 ，d r ) ，= ( 0 ) 是鸩( r ) 的一个素理想，但不是强素理想。 证明靠证i 县一个素理相。仟煮的j k i d e ( r 、仲得3 k ：f 0 、若j f 0 、令 1 6 硕l ：论文 分配环的一些刻l 面 彳= 嘲0 0 “则 ij 7 一 三三 ， ：? ， 则可得j = r ，j k = ( 0 ) jr k = ( 0 ) jk = ( 0 ) 故j 是一个素理想。 再证，不是一个强素理想。取 彳= 三三 ，b = | 1 0 1 0 1 如c r ， 【- o o j - | “” 则 彳b ：1 1 l - oo jl o州三牡 但a ( o ) ，b ( o ) 故，不是一个强素理想。 想。 在交换环中，强素理想与素理想是等价的。 定理5 3 尺是一个交换环，i i d e ( r ) ，则，是强素理想当且仅当，是素理 证明：首先假设，是强素理想。任意的，k i d e ( r ) 使得j k i ，若，岱i ，则 对任意口k ，c l 量i ，存在b j 使得b a i 因，是强素理想且，岱i ，则 口k 故k ，是素理想。 再假设，是一个素理想。对于任意的口，b r ，a b i ，则( 动) ，因r 是一个 交换环，则有( a b ) = ) ( 6 ) i ，是一个素理想，则有( a ) ，( 6 ) ，从而 a j ，b ，【9 ，p 1 6 5 ，命题1 0 2 】。故证得，是一个强素理想。 2 强素理想与强不可约理想 其次讨论强素理想与强不可约理想之间的关系。已有的结论是：交换环的一 个强素理想是强不可约理想。但是这个结论在非交换环中是不正确的。 例5 4 r 是一个实域， 如c r ，= 三三 l 口，6 ，d r ) 1 7 第五章理想之间的关系硕_ ：论文 ，= 他扎6 尺卜鸩c 舢一个强素理想，但是坏是强不可约理想。 证明：先证，是一个强素理想。令彳j 墨耋 ，口叠 苫乏 鸩c 尺x m 言射芍棚罐以 若c i ，则有碣= 0 或者以= 0 ，故可得a ，或b ，因此，是一个强素理想。 再证，不是强不可约理想。取 厶= ：三 1 6 ，d 尺) ，厶= 苫三 i 乜，6 r ) ， ，厶m 2 ( r ) 且厶厶= ( 0 ) ，但厶旺，1 2 岱，故证得，不是强不可约理想。 一个强不可约理想不是强素理想，即使是在交换环中。见下面的例子。 倒5 5 z 是一个交换整环，( 4 ) i d e ( z ) 。( 4 ) 是一个强不可约理想，但( 4 ) 不 是强素理想。 证明：先证( 4 ) 是一个强不可约理想。任意的，k i d e ( z ) 使得 ，厂、k ( 4 ) ，j = ( 聊) ，k = ( 门) ，m ，玎z 则j nk = ( d ) ，d 是m ，2 的最小公倍数，故4d 若4 不能整除m ，聆，则4 不能整 除d ，产生矛盾，故4 i m ，4 l ，? ，即，( 4 ) 或k ( 4 ) 再证( 4 ) 不是强素理想。取2 z ，因2 x2 = 4 ( 4 ) ，但2 萑( 4 ) ，故( 4 ) 不是强素 理想。 3 素理想与强不可约理想 接着我们讨论素理想与强不可约理想的关系。在 2 9 ，引理2 2 】中，w i l l i a m j h e i n z e r , l o u i sj r a l t i f fj r 和d a v i de r u s h 证明了若r 是一个交换环，是r 的 一个素理想，则，是强不可约的。但是这个结论在非交换环中是不成立的。 例5 6 r 是一个实域， f r 口 纵脚。“扯州r i = ( 0 ) 是鸩( 足) 的一个素理想，但不是强不可约理想。 1 8 硕j ：论文分配环的一些刻画 证明：从例5 2 知，是一个素理想。现证，不是一个强不可约理想。取 = 瞄三 i 以d 尺) ，厶= 暑三 i 口，6 尺) ， 厶，厶i d e ( m 2 ( 足) ) 且厶j ( o ) ，但，1 ( o ) ，厶( o ) 故证得，不是强不可约 理想。 同上，可以用例5 5 去证明一个强不可约理想不是素理想，即使是在交换环 中。因z 是一个交换环，( 4 ) 是一个强不可约理想，但( 4 ) 不是强素理想。由定理 5 3 知，