（基础数学专业论文）具有常余维数2k9不动点集的z2k作用.pdf

摘要 设砂：( 易) 七xm n _ m n 是群( 易) 知= t x ，t 2 ，噩l 砰= 1 ，t , t j = t j 互) 在光 滑闭流形m n 上的光滑作用，则不动点集f 是m n 的有限个闭子流形的不交并若f 的 每个分支具有常维数礼一r ，则称f 具有常余维数r 设m 瓯代表n 维未定向上协边群， 令靠。是具有下述性质的礼维光滑闭流形m n 所在的上协边类构成的集合：m n 上存 在不动点集为常余维数7 的( 易) 詹光滑作用，则以构成未定向上协边群m 0 n 的子群， 矗知= n ，g t , 七构成未定向上协边环m o 。= n om 瓯的理想本文中，我们通过巧 妙的构造流形m ，使其所在的上协边类不可分解，从而可以作为上协边环m o 。的生成元， 并在m 上定义适当的( 易) 七作用使其不动点集f 具有常余维数r ，最终决定了未定向上 协边环m o 。的理想舞9 关键词：( z 2 ) k - 作用上协边 不动点集射影空间丛 i i i a b s t r a c t l e t ：( 汤) 奄x m ”_ 胗d e n o t eas m o o t ha c t i o no f t h eg r o u p ( 易) 老= 五，正，瓦i 砰= 1 ，互t j = 乃正) o nac l o s e dm a n i f o l dm n t h ef i x e dp o i n ts e tf o ft h ea c t i o ni st h ed i s j o i n t u n i o no fc l o s e ds u b m a n i f o l d so fm n ，w h i c ha lef i n i t ei nn u m b e r i fe a c hc o m p o n e n to ff i so fc o n s t a n td i m e n s i o nn 一7 _ ，w es a yt h a tfi so fc o n s t a n tc o d i m e n s i o nr l e tm o n d e n o t et h e u n o r i e n t e dc o b o r d i s mg r o u po fd i m e n s i o nn a n d 发。七t h es e to fu n o r i e n t e dc o b o r d i s m c l a s s e so fm nt h a ta d m i t sa ( 易) k - a c t i o nw i t hf i x e dp o i n ts e to fc o n s t a n tc o d i m e n s i o n7 - 矗知 i sas u b g r o u po fm o na n d 最七= n r 靠女i sa l li d e a lo ft h eu n o r i e n t e dc o b o r d i s mr i n g m o 。= n om o i nt h i sp a p e r , w ed e t e r m i n e 露9b yc o n s t r u c t i n gi n d e c o m p o s a b l em a n i f o l d sma n dd e f i n i n gaa p p r o p r i a t e ( 磊) k - a c t i o no nm k e yw o r d s ：( 易) k - a c t i o n c o b o r d i s mf i x e dp o i n ts e t p r o j e c t i v es p a c eb u n d l e i v 学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文具有常余维数2 。+ 9 不动点集的( z 。) 。作用，是在导师的指 导下，独立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中标明。 本声明的法律后果由本人承担。 指导教师确认( 签名) ： 卅年舌月罗日 学位论文版权使用授权书 马凯 本学位论文作者完全了解河北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保 存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在年解密后适用本授权书) 指导教师( 签名) ： 加罗年6 月7 何夕日 淑 丫 p ： 日 、， 名甲， 登 月 0 ， 者“ 饬年 刘7 论 沙 引言 拓扑学作为几何学的一个分支，研究几何图形在连续变形下保持不变的性质，现在已 发展成为研究连续性现象的重要数学分支由于连续性在数学中的表现方式与研究方式 的多样性，拓扑学又分为若干分支，例如点集拓扑学，几何拓扑学，代数拓扑学，微分拓扑 学等 代数拓扑是使用抽象代数的工具来研究拓扑空间的数学分支l e j b r o u w e r 在1 9 1 0 1 9 1 2 年间提出了用单纯映射逼近连续映射的方法，用以证明许多重要的几何现象 微分拓扑学是随着代数拓扑学与微分几何学的进步自二十世纪三十年代兴起的一门 新的数学分支，它是研究微分流形在微分同胚下不变性质的学科r t h o r n 的协边理论开 创了微分拓扑学与代数拓扑学并肩跃进的局面，许多困难的微分拓扑问题被转化为代数 拓扑问题而得到解决，同时也刺激了代数拓扑学的进一步发展微分拓扑的研究在本世纪 三十年代就有h w h i t n e y 的浸入理论f 1 1 ，s s c a i r n s 的三角剖分定理【2 】，j h c w h i t e h e a d 的组合流形的正则邻域定理1 3 ，为了研究微分流形上的向量场，h w h i t n e y 还提出了纤维 丛的概念，从而使许多几何问题都与上同调( 示性类) 和同伦问题联系起来在五十年代中 期以后，由于r t h o m ，j m i l n o r , s s m a l e ，m k e r v a i r e ，e c z e e m a n ，b m a z u r 等人一个又一 个的重要研究成果，微分拓扑学这门新学科受到极大的重视 微分拓扑学的研究对数学的各个领域及其它学科领域不断渗透，并相互结合，相互作 用六十年代初，s s m a l e 开始的微分动力系统理论就是流形上的常微分方程论a t i y a h s i n g e r 指标定理把算子的解析指数与流形的示性类联系了起来，这是分析学与微分拓扑 学结合的范例在经济学方面，j v n o u m a 首先把不动定理来证明均衡存在性，在现代数理 经济学中，对于经济的数学模型，均衡的存在性，性质和计算等根本问题都离不开微分拓扑 学 对群在流形上作用的研究几乎与微分拓扑的历史一样长，b r o u w e r 不动点定理即为最 早的例子模2 整数加群z 2 在微分流形上的作用，简称为对合，是一种十分重要的情形 吴振德教授从多方面对这一问题做了深入的研究 作者在王彦英教授和马凯副教授的指导下，结合协边理论研究了具有( 易) 知作用的一 类特殊流形的分类问题 为了清楚地表达结果，先介绍下列概念和记号 设多：( z 2 ) m n m n 是群( z 2 ) 知= t i ，t 2 ，瓦i 砰= 1 ，五乃= t j 正) 在光 滑闭流形m n 上的光滑作用，则不动点集f 是m “的有限个闭子流形的不交并若f 的每个分支具有常维数n r ，则称f 具有常余维数r 设m o 。代表未定向上协边群， m o 。= e 。 om o 。代表未定向上协边环，其中的加法运算为【m ”】u n “ = m “un “】， 】 乘法运算为【m n 】x 【n n = m “n “】由【4 】4 可知m o 。是历上的多项式代数，且在每 个维数n ( n 2 u 一1 ) 上有一个生成元，即m o + = z 2 x 2 ，x 4 ，x 5 ，x 6 ，x 8 ，】记以七是具有 下述性质的扎维光滑闭流形m n 所在的上协边类构成的集合：m n 上存在不动点集为常 余维数7 的( 易) 知光滑作用，则靠，构成未定向上协边群m o n 的子群，矗知= e n ，以，七 构成未定向上协边环m o 。的理想易证j z , k j z ，+ 1 ，知凫珐 s t o n g 【3 提出了计算矗1 的i 口- j 题，并计算了罡1 p e c o n n e r 和e e f l o y d l 6 证明了 矗1 = ( o ) ，e l c a p o b i a n c o 【7 】， 8 1 决定了曩1 和露1 ，而露1 ，罐1 ，l ，碍1 则分别由1 w a t a n ， w a d a 1 0 ，吴振德【1 1 】和k i k u c h i 1 2 】所决定 1 9 9 2 年p l q p e r g h e r 1 a 】开始考虑庇 1 的情形他证明了以= ( o ) ，蠢七包含所有 维数不小于2 的类r j s h a k e r 【1 4 】讨论了r 2 k 的情形，证明了当7 1 时，r p ( n 1 ，佗2 ，m ) 不可分解的充要条件是 s = ( 死鼍一2 ) + ( 佗七一2 ) + + ( 扎+ 二一2 ) 三1 m 。d2 其中凡= 7 2 1 + n 2 + + 7 2 1 流形r p ( n l ，礼2 ，7 2 1 ) 的维数为扎+ l 一1 当n 件1 = + 2 = = 砌= 0 时，r p ( n 1 ，n 2 ，m ) 简记为r p ( n l ，n 2 ，n i ；c ) 为应用引理1 1 计算示性数的方便，在此指出k u m m e r 的结果： 引理1 2 2 1 ；l 咖僦2 6 】设m = 名o m i 2 ，凡= 名。啦2 ，其中0 m i ，1 ，那么 砒 当且仅当对任意i ，有ms 砚 引理1 3 【1 4 ；3 1 】设：= 12 2 k ( o ) ，( 易) 作用于线丛九_ 五，在五上作用 的不动点集是尻，则r p ( a 1o a 2o 0 九) 上具有( 易) 知作用，不动点集为f 1x 局 x 局e ，其中e 是z 个点构成的集合 弓l 理1 4 【1 8 ；l 洲2 5 】对? + 3 2 知，【r p ( 3 m + 2 ，n 2 ，佗3 ，礼f ) j 鬻+ 。+ 1 引理1 5 【1 8 ；l m m 2 4 】对f + 1 2 七， r p ( 2 m + 1 ，n 2 ，? 2 3 ，n t ) 】聪2 引理1 6 【1 8 ；l 。m 僦2 3 】【r p ( ? 2 1 ，? 2 2 ，n e t ) 】以弦 引理1 7 1 1 8 ；l 帆m a 3 1 】令七2 ，7 = 2 r m + 2 7 m 一1 + + 2 7 1 2 七，r m 7 m 一1 r 1 0 ，则对佗2 7 m + “，n 2 u 一1 ，在靠七中存在不可分解元z n 引理1 8 【2 3 】若 m 几】不可分解且n r n 2 七】，则 m n 】隹丘七 引理1 9 【2 3 】设( 易) 知作用于流形胗且s ( x h 一，k ) m 】0 ，则m “的不动点集的某一 分支的维数不小于 a 2 七】+ + 队2 知 为了应用引理1 1 0 的方便，下面给出一种计算示性数的方法： 3 设u = ( i l ，i 2 ，i m ) 为正整数n 的一个分拆，警l 巧= 峨令u = ( z i ，i ：，t 二) 为礼的一个分拆，记u u 7 = ( i 17i 2 ，i m ，i i ，毛，z 二) 为n + 扎7 的一个分拆，如果“。是 i ，的一个分拆( 1 j m ) ，则称u l 忱为u 的加细 给定一个闭流形m n ，u = ( i l ，i 2 ，i m ) 为n 的一个分拆，8 w ( 亡) = e 扣扣t 器是 关于r 个变量1 ，2 ，0礼) 的最小对称多项式则钆( t ) 可表示为基7 1 - 本：1 2 t tr 对称多项 式o 1 ，0 2 ，西的多项式，不妨设8 w ( 亡) = p ( o r l ，0 2 ，西) ，我们用m 竹的第j 个 s t i e f e l w h i t n e y 类( m 竹) 代替a j ( 1 j r ) ，可得上同调类p ( w 1 ，w 2 ，嘶) ，记其为 s u ( m n ) 8 w 【m n 】表示与8 w ( m n ) 对应的示性数 引理1 1 0 【2 4 ；2 e m m a 3 如果z 竹( 礼2 一1 ) 是m o + 的生成元，则 帅一川一= 0 翥篡就_ 嬲 若w ( m n ) = n ：1 ( 1 + o i ) ，即m n 的全s t i e f e l w h i t n e y 类能分解成一次项因式相乘的形 式，则 4 8 w ( m n ) = s u ( 口1 ，a 2 ，a r ) 如果7 礼， s ua 1 ，a 2 ，a r ，0 ，0 ) 如果7 佗 、_ _ 。、，。_ 一 引理1 1 1 1 4 ；l e m 撇2 1 】对矗有下列结论 墨知 兰塞：宝nk e r x ，：蔓芸蓁： 5 2 不可分解元的存在性 首先，我们在不可分解的上协边类中选取恰当的代表元，并且在其上定义具有常余维 数不动点集的( 磊) 后作用，从而给出j y + 9 中的不可分解的上协边类 引理2 1 对七7 ，佗2 k + 1 1 ，n 为奇数且n 2 心一1 ，则存在不可分解元z n j n 2 k k + 9 证明考虑以下几种情况： ( 1 ) 钆= 2 知+ 1 1 取z n = 【r p ( 2 0 ；2 七一8 ) 】 因 ( 2 02 ) + ( 2 k - 9 ) 3 + 2 ) 砌 由引理1 1 知x n 是不可分解的 下证z n 露9 在r p ( 2 0 ) 上建立( 易) 3 作用，其中t 3 - ( 1 j 3 ) 作用在r p ( 2 0 ) 为 t i y l ，y 2 ，沈】= 【- q ；，- 4 ，q 1 1 0 2 ，一q 1 1 3 5 ，q 1 1 6 8 ，一o ；劲， 正龇y 2 ，y 2 1 】_ - q ：，q ；2 ，一q 1 1 3 8 ，q 翻， 乃y 2 y 2 ，地1 】- 【- a l ”，弼】， 3 i 可1 ，地1 j = i，仅嚣i ， 其中醒2 犰，玑+ 1 ，协且一= 一轨，一玑+ 1 ，一耽对z j 则( 乃，如，疋)r p ( 2 0 ) 上的不动点集为74 r p ( 2 ) ，令( 易) o 作用在其它上是恒同又2 3 + 2 岛一9 ：2 k 一1 2 k 由引理1 3 知作用的不动点集u r p ( 2 ) r p ( o ) 数是? _ = 2 詹+ 1 l 一2 = 2 + 9 ，即z n j n 2 + 9 ( 2 ) n = 2 + 1 3 x r p ( o ) xe 是2 维的，所以余维 取x n = r p ( 2 4 ；2 七一1 0 ) ( 2 七妄军；2 2 ) + ( 2 k - 1 1 ) ( 2 七+ 莒+ 2 2 ) 三1 m 砌2 由引理1 1 知z n 是不可分解的 下证露9 在r p ( 2 4 ) 上建立( 忍) 3 作用，其中乃( 1 j 3 ) 作用在r p ( 2 4 ) 上为 正f y l ，沈，y 2 5 】= 卜口i ，q 6 1 0 ，一q 1 1 5 】，q 2 1 6 0 ，口；铂， 死y 2 ，沈5 】： 一口1 1 0 ，a 2 l l ，0 一q 2 2 1 5 】， 乃溉，y 2 ， y 2 s 】= 一q ；o ，口翔 5 则( 五，疋，乃) 在r p ( 2 4 ) 上的不动点集为5 个r p ( 4 ) ，令( 易) o 作用在其它上是恒同 又2 3 + 2 k 一1 1 ：2 k 一3 2 k ，由引理1 3 知作用的不动点集u r p ( 4 ) r p ( o ) r p ( 0 ) e 是4 维的，所以余维数是r = 2 七+ 1 3 4 = 2 七+ 9 ，即x n 露9 ( 3 ) 2 k - i - 1 5 n 2 七- + - 3 1 ，扎= 2 七- - 1 5 - i - 2 p ， 为整数且0 p 8 ) 取。n = 【r p ( 2 0 + 6 p ；2 一4 4 p ) 】 佗一1 = 2 k + 2 p + 2 3 + 2 2 + 2 ，2 0 + 助= 2 2 p + 2 p + 2 4 + 2 2 ( 2 佗0 + 一6 1 p ) + ( 2 缸- 5 - 4 p ) ( n 一01 ) 兰1 m 。d2 由引理1 1 得z 。是不可分解的 下证z 礼2 k + 9 因2 + 3 = 2 k 一1 4 p r l = 0 ，r m 5 取z 礼= f r p ( 2 r r n + l + 2 一2 2 ，仡一2 知一2 m l ；2 七一2 7 m + 1 + 2 4 ) 】则 ( 2 ，。+ ，二乏二一2 2 ) + ( n 一2 7 二三。一1 ) + c 2 七一2 7 m + 1 + 蔓2 ，( n ：1 ) 三1 m 。d2 由引理1 1 得z 。是不可分解的 下证嚣9 因1 + 3 ：2 k 一2 r , , + 1 q - 2 4 + 3 = 2 k _ ( 2 ”m + 1 2 7 ) 2 k ( r m 5 ) ，3 m + 2 = 2 r r n + l + 2 m - 2 2 ， 所以m ：2 一一8 ，2 m + l + 1 = 2 2 + 9 ，由引理1 4 知z n 露9 ( 5 ) n ：2 k + 2 k 一1 1 = 2 k + 2 七一2 + 2 七一3 + - t - 2 + 1 取z n = 【r p ( 2 豇一1 + 2 一2 1 0 ，礼一2 七一2 知一2 5 ；2 南一2 。一1 - b1 6 ) 】 麓l 。m 一2 0 5 ) + ( 2 k - - 2 k - l + 1 4 ) ) 础 由引理1 1 得z 。是不可分解的 下证z n 七9 因f + 3 ：2 2 2 k 一1 + 1 6 + 3 = 2 七一( 2 血一1 1 9 ) r 1 = 0 ，因为2 知+ 2 七一1 + 1 n 2 七+ 1 1 ， 所以存在r i 使得r i + 1 r i + 1 ，而2 + 2 知一2 = 2 七+ 2 知一2 + 2 七一3 + + 2 ，含2 的从1 到k 一2 的任何次幂所以 品+ 1 ) - ( 2 七= 一2 卜 ( ：二他 由引理1 1 得z 。是不可分解的 下证z n 露9 因f + 1 = 2 七一1 + 1 9 + 1 2 七，2 m + 1 = 2 一1 9 ，所以仇= 2 知一1 1 0 ，m + l = 2 知十9 ， 由引理1 5 知z n 笼9 ( 7 ) 2 七+ 1 + 1 佗 2 奄+ 2 1 取z 。= r p ( 2 南+ 1 1 9 ，佗一2 岛+ 1 + 1 ；1 9 ) 】 ( 2 南n + 。- 一1 1 9 ) + ( 佗一2 二，+ 。) + ( 1 9 - 2 ) ( n ：1 ) 三1 m 。d2 由引理1 1 得z 。是不可分解的 下证z n 露9 因l + 1 = 1 9 + 1 2 七，2 m - + - 1 = 2 + 1 1 9 ，所以m = 2 七一i 0 ，m + f = 2 + 9 ，由引 理1 5 知z n 露9 ( 8 ) 扎22 + 2 + 1 由引理1 7 知存在不可分解元z 。舅9 7 引理2 2 对忌6 ，竹2 k + 1 0 ，n 为偶数则存在不可分解元z n 9 证明考虑以下几种情况： ( 1 ) 佗= 2 七+ 1 0 取z n = 【r p ( 3 1 ；2 七一2 0 ) 】 因为仃一1 = 2 七+ 9 = 2 知+ 2 3 + 1 因此 ( 2 4 + 2 3 ：乏? + 2 + 1 ) + c 2 k 一2 1 ，( 佗一01 ) 兰1 m 。d2 由引理1 1 得z n 是不可分解的 下证z n 露9 在r p ( 3 1 ) 上建立( 磊) 4 作用，其中t j ( 1 歹4 ) 作用在r p ( 3 1 ) 上为 丑b 。，可。，y 3 2 = 【一口；，血j ，一q 2 ，口；，一q 5 。，q i ，一q 2 ，及i 2 ，一q ；，口；3 ，一q 碧， o 爱，一口；2 ，a 2 2 8 7 ，一口3 2 0 9 ，a 器】， 正耽，y 3 2 = 【- q j ，0 1 2 ，一a 5 2 ，q i 2 ，一q 哿，q 瑟，一a ；2 ，q 氢 噩眵，可。，y 3 2 = 【一q ；，a 5 6 ，一a 2 ，4 7 ，q 嚣】，五阿，y 2 ，y 3 2 = 【一d 6 ，q i 现 则( 互，t 2 ，t z ，墨) 在r p ( 3 1 ) 上的不动点集为1 6 个r p ( 1 ) ，令( 历) o 作用在其它上是 恒同，且2 4 + 2 七一2 1 ：2 k 一5 2 ，由引理1 3 得z n 的不动点集为ur p ( 1 ) r p ( o ) r p ( o ) e 是1 维的，所以余维数是r = 2 k + 1 0 1 = 2 七+ 9 ，即z n 露9 ( 2 ) 扎= 2 知+ 1 2 取z 竹= r p ( 3 1 ；2 。一1 8 ) 】 因为佗一1 ：2 知+ 1 1 ：2 缸+ 2 3 + 2 + 1 ( 2 4 + 2 。：乏? + 2 + 1 ) + c 2 k 一1 9 ，( 礼一01 ) 三1 仇。d 2 由引理1 1 得z n 是不可分解的 下证z 。露9 在r p ( 3 1 ) 上建立( 易) 3 作用，其中乃( 歹= 1 ，2 3 ) 作用在r p ( 3 1 ) 上为令 正：，蜘。】_ 【- a ，位2 ，一q 5 2 ，。 2 ，一q ：豫a 臻一q 袭，q 孙 正陌，可。，船：】= 【_ 口 ，a 5 6 ，一a 2 ，4 q 翔，死阿，v 。，y 3 2 】= 一a 6 ，q 翻 则( 孔，疋，死) 在r p ( 3 1 ) 上的不动点集为8 个r p ( 3 ) ，令( 磊) o 作用在其它上是恒同，且 8 2 3 + 2 知- 1 9 = 2 k _ 1 1 2 知，由引理1 3 得z 。的不动点集为ur p ( 3 ) r p ( o ) 兄p ( o ) e 是3 维的，所以余维数是7 = 2 七+ 1 2 3 = 2 + 9 ，即z n 。, j 礼n 2 。k - f 9 ( 3 ) n = 2 知+ 1 4 取z n = 【r p ( 2 3 ；2 七一8 ) 】 因为礼一1 = 2 知+ 1 3 = 2 k + 2 3 + 2 2 + 1 ( 2 4 + 乏+ 1 卜叫0 ) 三1 由引理1 1 得z n 是不可分解的 下证z n 舅9 在r p ( 2 3 ) 上建立( 易) 2 作用，其中乃0 = 1 ，2 ，) 作用在r 尸( 2 3 ) i - _ y g 令r l y l ，y 2 ，y 2 4 】= 【- 4 ，口 2 ，一q 1 1 3 8 ，q ；勃，t 2 ! j l ，y 2 ，y 2 4 】= 【一q i 2 ，a ；訇 则( 丑，正) 在r p ( 2 3 ) 上的不动点集为4 个冗p ( 5 ) ；令( 磊) o 作用在其它上是恒同，且 2 2 + 2 血- 9 = 2 k - 5 r 1 1 ，k 一12r m 4 ， 取z 札= 【r p ( z n 一2 忌+ 1 1 7 ；2 + 1 一礼+ 1 8 ) 】 则2 n 一2 k + 1 1 7 = 2 k + a + 2 r m + l + + 2 1 4 - 1 2 k + a 一1 7 9 而n 一1 = 2 七+ 2 + 2 m 一1 + + 2 l l = 2 七+ 2 r m + 2 r m 一1 + - i - 2 r 2 + 2 r 1 1 + + 2 + l 所以 ( 2 n 一乏：，一1 7 ) + ( 2 k + l - n + 1 7 ) ( 佗一01 ) 三1 m 。d2 由引理1 1 得z 。是不可分解的 下证z 忆露9 因f + 1 = 2 知+ 1 一礼+ 1 8 + 1 = 2 k + 1 一佗+ 1 9 2 k + l + 1 9 一( 2 k + 2 2 ) = 2 k 一3 2 k ，2 m + 1 = 2 n 一2 k + l 一1 7 所以m = n 一2 七一9 ，m + f = 2 七+ 9 ，由引理1 5 知z n 露9 ( i i ) r l = 4 设死一1 = 2 k + 2 ”m + 2 7 m 一1 + + 2 仡+ 2 1 1 = 2 七+ 2 + 2 7 m - l _ i _ + 2 r 2 + 2 3 + 2 2 + 2 + 1 当n 一1 的分解式里含有2 的从r 2 到k 一1 的任意次幂时，取z n = r p ( 2 n 一2 七+ l 一 1 9 ，1 ；2 七+ 1 一礼+ 1 9 ) 】，否则取z n = 【r p ( 2 n 一2 七+ 1 1 7 ；2 知+ 1 一礼+ 1 8 ) 】 当取z n = r p ( 2 n 一2 七+ 1 1 9 ，1 ；2 + 1 一佗+ 1 9 ) ， 则2 礼一2 七+ 1 1 9 = 2 k + 1 + 2 m + 1 + + 2 r 2 + 1 + 2 5 2 k + 1 1 9 = 2 r m + l + 2 r 2 + 1 + 2 5 2 4 2 1 ：2 + l + 2 r 2 + 1 + 2 3 + 2 2 + 】 ( 2 礼一乏二，一1 9 ) + ( 礼：1 ) + ( 2 k + l - n + 1 7 ) ( n 一01 ) 三1 仇。d 2 由引理1 1 得x 。是不可分解的 下证露9 因f + 1 = 2 七+ 1 一n + 1 9 + 1 = 2 k + 1 一n + 2 0 2 k + 1 + 2 0 一( 2 k + 2 2 ) = 2 k 一2 2 2 ，2 m + l = 2 n 一2 2 + 1 1 9 ，所以m = n - 2 七- 1 0 ，m + l = 2 k + 9 ，由引理1 5 知z 。露9 当取z 竹= ( r p ( 2 n 一2 。+ 1 1 7 ；2 七+ 1 一佗+ 1 8 ) 1 则2 n 一2 七十1 1 7 = 2 七+ 1 + 2 7 m + 1 + + 2 r 2 + 1 + 2 5 2 k + 1 1 7 = 2 7 m + 1 + 2 2 + 1 + 2 5 2 4 1 = r m + l + 2 7 2 + 1 + 2 3 + 2 2 + 2 + 1 礼一l = 2 k + 2 r m + 2 r m 一1 + + 2 r 2 + 2 r 1 1 ：2 k + 2 r m + 2 r m 一1 + + 2 r 2 + 2 3 十2 2 + 2 + 】 ( 2 n 一乏二，一1 7 ) + ( 2 k + 1 - n + 1 7 ) ( n 一01 ) 兰1 m 。d2 由引理1 1 得z 。是不可分解的 下证z n 露9 因z + 1 = 2 七+ 1 一n + 1 8 + 1 = 2 奄+ 1 一佗+ 1 9 2 k + 1 + 1 9 一( 2 k + 2 2 ) ：2 七一3 2 七，2 m + 1 = 2 n 一2 七+ 1 1 7 ，所以m = n 一2 七一1 1 ，m + l = 2 知+ 9 ，由引理1 5 知露9 ( i i i ) r l = 3 ，您4 取z 住= 【r p ( 2 n 一2 知+ 1 1 7 ；2 + 1 一礼+ 1 8 ) 】 则2 n 一2 2 + 1 1 7 = 2 七+ 1 + 2 + 1 + + 2 r n + l + 2 r 2 + 1 + 2 r l + 1 2 k + a 一1 7 = 2 + 1 + + 2 r 3 + 1 + 2 r 2 + 1 + 2 r 1 + 1 2 4 1 = 2 + 1 + + 2 r 2 + 1 + 2 4 2 4 1 = 2 r m + 1 + + 2 r 2 + 2 r 2 1 + + 1 n 一1 = 2 南+ 2 7 m + 2 7 m 一1 + + 2 2 + 2 n - 1 + + 2 + 1 所以 ( 2 扎一乏：，一1 7 ) + ( 2 k + l - - n + 1 7 ) ( n 一01 ) 三1 m 。d2 由引理1 1 得是不可分解的 因l + 1 = 2 k + 1 一扎+ 1 8 + 1 = 2 + 1 扎+ 1 9 2 七+ 1 + 1 9 一( 2 知+ 2 2 ) ：2 k 一3 4 取z n = r p ( 2 n 一2 + 1 2 1 ，2 ；2 k + 1 一n + 2 0 ) 】 则2 n 一2 + 1 2 1 = 2 七+ 1 + 2 + 1 + + 2 r 3 + 1 + 2 r 2 + 1 + 2 3 2 + 1 2 1 = 2 m + 1 + + 2 r 3 + 1 + 2 r 2 + 1 2 3 2 2 一l = 2 r m + 1 + + 2 7 2 + + 2 4 + 2 + 1 n 一1= 2 k + 2 m + 2 一1 十+ 2 心+ 2 + l 1 1 ( 2 n 一乏：，一2 1 ) + ( 礼：1 ) + ( 2 k + l - n + 1 8 ) ( 凡一01 ) 三1 m 。d2 由引理1 1 得z n 是不可分解的 因l + 1 = 2 k + 1 一几十2 0 + 1 = 2 七+ 1 一r t + 2 1 2 k + 1 + 2 1 一( 2 七+ 2 2 ) = 2 k 一1 所以m = 佗一2 七一1 1 ，m + l = 2 七+ 9 ，由引理1 5 知z n 露9 取z n = 【r p ( 2 n 一2 2 + 1 1 7 ；2 七+ 1 一九+ 1 8 ) 】 则2 n 一2 k + 1 1 7 = 2 k + 1 + 2 7 m + 1 + + 2 r 3 + 1 + 2 4 + 1 + 2 3 + 1 2 k + 1 1 7 n 一1 = 2 七+ 2 + 2 m 一1 + + 2 4 + 2 2 + 2 + 1 所以 ( 2 佗一乏二，一1 7 ) + ( 2 k + l - n + 1 7 ) ( n ：1 ) 三1 m 。d2 由引理1 1 得z 。是不可分解的 因2 + 1 = 2 七+ 1 一n + 1 8 + 1 = 2 + 1 一凡+ 1 9 2 七+ 1 + 1 9 一( 2 奄+ 2 2 ) = 2 七一3 2 七，2 m + l = 2 r t - - 2 七+ 1 1 7 ，所哒m = n - 2 七- 9 ，m + l = 2 + 9 ，由引理1 5 知露9 ( v i ) r l = 2 ，r 2 = 3 取z 。= 【r p ( 2 n 一2 。+ 1 1 7 ；2 k + 1 一扎+ 1 8 ) 则2 n 一2 k + 1 1 7 = 2 k + 1 + 2 r m + l + + 2 r 3 + 1 + 2 4 + 2 3 2 k + 1 2 4 1 = 2 r m + l + + 2 r 3 + 1 + 2 2 + 2 + l 而 n 一1 = 2 k + 2 r m + 2 7 m 一1 + + 2 r 3 + 2 3 + 2 + 1 1 2 因此 ( 2 n 一乏二? 一，7 ) + ( 2 k + l - n + l t ) ( n 一01 ) 兰1 m 。d2 由引理1 1 得z n 是不可分解的 下证z n 露9 因z + 1 = 2 k + 1 一礼+ 1 8 + 1 = 2 七+ 1 一n + 1 9 2 k + 1 + 1 9 一( 2 七十2 2 ) = 2 k 一3 2 取z 。= 【r p ( 2 n 一2 + 1 1 7 ；2 奄+ 1 一几+ 1 8 ) 】 则2 n 一2 k + l 一1 7 = 2 k + 1 + 2 r m + l + + 2 r 3 + 1 + 2 r 2 + 1 + 2 2 2 k + 1 1 7 = 2 r m + l + + 2 r 3 + 1 + 2 r 2 + 1 2 s 一2 2 1 ：2 r m + l + + 2 r 2 + + 2 + 1 而 礼一1 = 2 七+ 2 r m + 2 r m 一1 + + 2 r 2 + 1 ( 2 扎一乏二：【一1 7 ) + ( 2 k + l - n + 1 7 ) ( 扎一01 ) 三1 m 。d2 由引理1 1 得z 。是不可分解的 因l + 1 = 2 + 1 一亿+ 1 8 + 1 = 2 七+ 1 一礼+ 1 9 2 k + 1 + 1 9 一( 2 七+ 2 2 ) = 2 k 一3 2 k , 2 m + 1 = 2 n - - 2 1 1 7 ，所以m = n - - 2 膏- - 9 ，m + l = 2 七+ 9 ，由引理1 5 知x n 露9 取x n = 【r p ( 2 n 一2 七+ 1 1 7 ；2 七+ 1 一佗+ 1 8 ) 】 则2 n 一2 k + 1 1 7 = 2 k + 1 + 2 r m + l + + 2 r 3 + 1 + 2 3 + 2 2 2 k + l 一1 7 = 2 r m + l + + 2 r s + l 一2 2 1 = 2 7 m + 1 + + 2 r 3 + 2 r 3 1 + + 2 3 + 2 + 1 而 n 一1 = 2 七+ 2 r m + 2 一1 + + 2 2 + 1 ( 2 礼一乏二，一1 7 ) + ( 2 k + l - n + 1 7 ) ( n 一01 ) 兰1 m 。d2 由引理1 1 得x n 是不可分解的 因2 + 1 = 2 詹+ 1 7 , + 1 8 + 1 = 2 + 1 一亿+ 1 9 冬2 七+ 1 + 1 9 一( 2 + 2 2 ) 2 。，2 m + 1 = 2 n 一2 七+ 1 1 7 ，所以m = 佗一2 七一9 ，m + f = 2 + 9 ，由引理1 5 知z 。露9 取z n = n p ( 2 南+ 1 ，2 七一1 9 ；2 七一1 + 9 ) 】 因 ( 姜：) + ( 2 七n 一，- 一1 9 ) + ( 2 k - 1 + 7 ) ( n 一01 ) 三m 。d 2 由引理1 1 得z 。是不可分解的 下证舞9 因1 + 1 = 2 七一1 + 9 + 1 = 2 k - 1 + 1 0 2 2 ，2 m + l = 2 k + 1 ，所以m = 2 k 一1 ，m + l ：2 k + 9 。 由引理1 5 知z n 露9 ( 7 ) 2 七+ 1 + 2 佗2 k + 2 1 4 取x n = r p ( 2 七+ 1 1 3 ，礼一2 七+ 1 2 ；1 6 ) 】 ( 2 七：。二1 3 ) + ( n 一乏二，一2 ) + 1 4 ( 凡j1 ) 兰1 m 。d2 这是因为2 七+ 1 + 2 扎2 k + 2 1 4 ，所以2 + 1 + 1 礼一1 2 k + 2 1 5 若设佗一1 = 2 七+ 1 + 2 , - m + + 2 “，k r m r m 一1 r 1 = 0 因为2 k + 2 - 1 5 = 2 k + 2 _ 2 3 _ 2 2 _ 2 1 = 2 k + x + 2 七+ + 2 4 + 1 ，所以礼一1 的分解式中不含有 2 n ，其中4 r isk 或r i = 1 ，2 ，3 ，而2 k + l _ 1 3 = 2 k + 12 3 _ 2 2 _ l = 2 k + 2 k 一1 + + 2 4 + 2 + 1 分解式中仅仅不含有2 3 ，2 2 所以 二1 1 3 卜删2 由引理1 1 得z 。是不可分解的 下证z n 露9 。 因1 + 1 = 1 6 + 1 = 1 7 2 k ( 七6 ) ，2 m + l = 2 七+ 1 1 3 ，所以m = 2 k _ 7 ，m + l = 2 k + 9 ， 由引理1 5 知z 。露9 ( 8 ) n = 2 k + n 一1 2 取z n = 【r p ( 2 船“一2 9 ，2 七+ 1 6 ；2 4 ) 】 n 一1 = 2 七+ 2 1 2 1 = 2 k + 1 + + 2 5 + 2 4 + 2 + 1 ， 2 七+ 1 2 9 = 2 七+ + 2 5 + 2 + 1 ， 三9 ) + ( 2 m n - 一