（基础数学专业论文）模李超代数w（111）的不可约模.pdf

摘要 本文利用诱导模的方法，讨论了特征p 2 的代数闭域上的c a n a n 型李超代数 w ( 1 ，l ，1 ) 的不可约限制模，确定了所有不可约限制模的同构类及维数当p 特征函数 高度不超过1 时，确定了所有不可约模的同构类及维数具体说来：所有不可约限制模 在同构意义下共有p + 1 个，同时给出了它的所有形式及维数对于彬( 1 ，l ，1 ) 的非限 制主要是讨论了高度为0 与1 的情形，在此情形下所有的不可约模在同构意义下分别 是矿+ 2 个和p 2 个，同时也给出了它的所有形式及其维数 关键词：李超代数，同构类，不可约表示，限制模，非限制模 a b s t r a c t i n 山i sp a p e r w ec o n s i d e rm ep r e s e n t a t i o no fc a n a nt y p el i es u p e r a l g e b r aw ( 1 ，l ，1 ) b y i n d u c e dm o d u l e i nt h ec a s eo fi r r e d u c i b l er e s t r i c t e dm o d u l eo fw ( 1 ，l ，1 ) ，w ep r o v et l l a ta l l i r r e d u c i b l em o d u l e sa r ei n d u c e dm o d u l e s a i s o m o r p h i s mc l a s s e so fi r r e d u c i b l er e s t r i c t e d m o d u l e sa r ep + 1 ，a n dt l l ed i m e n s i o n so fa l l i r r e d u c i b l em o d u l e sa r eg i v e n i i lm ec o r e s t r i c t e d c a s e ，w ec o n s i d e rt l l eh e i 曲to f0a n d1 a ui s o m o 叩h i s mc l a s s e so fh e i 曲t0 f0a n d1a r c p 2 + 2a n dp 2 ，a n dt h e i rd i m e n s i o n sa r eg i v e n k e yw o r d s ：s u p e m l g e b r a ，i s o m o r p h i s mc l a s s ，i s o m o 印h ， i 1 1 r e d u c i b l er e p r e s e n - t a t i o n 。 r e s t r i c t e dm o d u l e ，c o r e s t r i c t e dm o d u l e 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果 据我所知，除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写的研究 成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在本文中作了明确的说明并表示 谢意 作者签名：圣j 亟日期：型! 厶2 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位 论文并向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文用于 非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编 入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要出版保密的学位论文在解密后 适用本规定 学位论文作者签名：黝：瘦 导师签名： 日期： 当咀卜日期：胗耻 第一章引言 对于有限维c a n a n 型模李超代数w ( m 几，f ) 不可约表示缺少基本了解，为此本文讨 论了w ( m ，z ，! ) 中最特殊的类模李超代数( 1 ，l ，1 ) 的不可约表示 本文的结构安排如下：第二章回顾了李超代数中一些基础知识以及模李超 代数( 优，甩，d 的定义和基本性质，同时给出了模李超代数耿l ，l ，1 ) 的运算法 则在第三章中利用诱导模的方法讨论了模李超代数w ( 1 ，1 ，1 ) 的所有不可约 限制模在同构意义下共有p + 1 个，形式是w = z ( f ) = s p a n f 五固l 似i ) l 口 o ，o a ，也= l ，2 ，p 一2 ，其中j 乙( ) = 慨l 啦= ov 加工d = 也h ， 或者是 以下合成列中的合成因子：ocw 3cw 2cm ，其中啊= s p a n f 五。蜥l 口o ，口 4 ，f = 0 l 。，p i ，嘶= oy ，z d l ，= ( p 一1 ) l ， ；= s p a n f 五。唧一li 口o ，口 a ，h p l = d p - 1 圆y ，工d v = ( p 一1 ) v ：w j = s p a n p 办圆髓p li p = ( 1 ，l ，1 ) ，p a “p l = d p _ 1 y ，加1 ，= ( p 一1 ) 1 ， ( 定理3 6 ) 在第四章中主要讨论的是模李超 代数w ( 1 ，l ，1 ) 的非限制情形，类似于s t r a d e 在文【4 】中的基本定理( 见定理4 1 ) ，本文 也给出在李超代数情形下不可约模之间的维数公式此后讨论了高度为0 时的 不可约模，在高度为0 的时候所有的不可约模在同构意义下共有p 2 + 2 个，形如 w = “a ，f ) = s p a n f a 。四l ，ol ，if = o ，l ；_ ，= o ，l ，p 一1 ；工d v = v ，f a l ，= 加，z v = 、 、 o ( ，l p 一1 ) ；或者l ( p 一1 ，f ) ，其中f 1 ；或者以下合成列中的合成因子：ocw lc ， r l ( o ，o ) ，其中w 1 = s p a n f d pv ，a ( ) oyii = 1 ，p 一1 ；_ ，= o ，l ，p l ；岛，= 、 、， o ；或者以下合成列中的合成因子：oc 毗c ( p 一1 ，1 ) ，其中= s p a n f a ( 纩1 ) 圆 ， 、 l ，j 加- l ，= 仞一1 ) v ，印y = ，z 1 ，= o ( 见定理4 6 ) 对于高度为l 的情形在同构的意 j ， 义下共有p 2 个，形式如l ( l ，f ) = s p a n f a owii = o ，1 ；，= o ，l ，p l ；加w = 、 l 帆印w = m ，z w = o ，其中 ，f 分别满足方程一 = 口，矿一f = 6 o ，6 o ) ( 见定 ， 理4 7 ) 第二章概念与记号 2 1 关于李超代数 在本小节中，基域f 的特征数可以是任意的我们知道，域f 上的线性空间a 称 为f 上的代数，如果除了数乘和a 的加法运算外，a 还有乘法运算( 用叫表示工与) ，的 乘积，v 五y a ) ，并且满足如下条件： ( 1 ) 工( ) ，+ z ) = 拶+ 藏，( ) ，+ z ) 工= 弦+ z l ( 2 ) a ( 砌= ( a 曲y = x ( a y ) ，溉，m z a ，v 五只 如果代数a 的乘法满足如下条件： ( 1 ) 【x ，工】= o ，v 工a ， ( 2 ) k ， y z 】+ 【) ，【z ，卅】+ k ，【工，纠】= o ，v 工) ，z a ( j a c o b i 等式) 在本文中，z ，n 与n o 分别表示整数集，正整数集与非负整数集，z 2 = 1 6 ，i l 表示整数 模2 的剩余类环 定义2 1 1 设a 是f 上代数，并且a 还是z 2 一阶化线性空间，即a 可分解为子空间的 直和：a = oa i 如果a 4 a 脚，v 织砀，则称a 是f 上的超代数，同样，若超 代数a 的乘法满足结合律，则称a 为结合超代数 设a = a oo a i 是超代数，若工山，其中口殇，则称工是次数为目的z 2 - 齐次元 素，并记d ) = p 在本文中，若d ) 出现在超代数的某个表达式中，则约定工是z 2 齐 次元素，我们用h g ) 表示超代数a ( 或汤阶化线性空问a ) 的所有汤一齐次元素的集 合显然，h g 似) = a 6ua i 定义2 1 2 设l = 岛ol i 是f 上的超代数，它的乘法运算用【，】表示，如果 【z ，) ，】= 一( 一1 ) 烈枇【) ，硝，v 石，y h g ( l ) ( 2 1 ) ( 一1 ) 以。5 【z ，【) ，z 】+ ( 一1 ) 以神曲【) ，【z ，胡】+ ( 一1 ) 砌贼。【z ，【x ，) ，】= o ，v 砖_ ) ，z h g ( l ) ( 2 2 ) 则称l 是f 上的李超代数 2 华东师范大学模李超代数w ( 1 ，l ，1 ) 的不可约模 我们称( 2 2 ) 为阶化j a c o b i 等式，由于李超代数是超代数，故 ，】是双线性运算 的在定义( 2 1 2 ) 中，若i = 0 ，则l 就是李代数因此，如不特别声明，总设l i 0 而 且( 2 2 ) 式可由以下式代替 【工，【) ，z 】= 【 石，) ，】，z 】+ ( 一1 ) d ( 圳( ) ，【) ，【工，z 】， v 工，y h g ( l ) ，z l ( 2 3 ) 定义2 1 3 设l = 如ol i 是f 上的李超代数，h 是l 的子空间，令岛= 日nb ，v p z 2 ，若日= 凰。日i ，则称日是的殇一阶化子空问 若日是l 的z 2 阶化子空间，并且日关于的方括号运算是封闭的，则称h 是的 子代数设，是的砀- 阶化子空间，如果对于任意工，) ，l 均有【j 【，纠j ，则 称，是的理想 引理2 1 设，是李超代数l 的理想，则l ，：= 万+ ，l 工脚关于l 诱导的加法与数乘 是一个z 2 阶化线性空间，进而l 的 ，】运算诱导了l ，的一个【，】运算，使得l ，是 一个李超代数 注1 ：证明见【1 】，称李超代数歹为对理想z 的商代数 定义2 1 - 4 设a = a 6 。a i 与a = 钨o a ；是超代数，：a _ a 7 是线性映射若口) ，v 口z 2 ，则称妒是偶的线性映射若偶的线性映射妒还满足：驴( 秽) = ( 工) 妒( ) ，) ，v 五y a 则称是a 到a 7 的同态映射；若同态映射驴是双射，则称妒是同构映射 以上同态与同构的概念适合于李超代数，但是需要将代数的乘法写成方括号的形 式李代数的同态与同构定理对李超代数仍然成立 设y = oh 是域f 上的殇- 阶化空间，e n d ( n 是y 的所有线性映射构成的线 性空间任取日殇，令 e n 山( ”= x e n d ( ”i 工( k ) 屹m z 2 易见e n d ( 叻= e n d ( y ) ooe n d ( y ) i 。于是，关于线性变换的乘法e n d ( 是一个结合超 代数，则e n d ( n 一是李超代数，简记e n d ( 功为p l ( 叼于是p l ( 功= p l ( n oop l ( 功i ，其 中p l ( n 日= e n 幽( ，汤因为p 1 ( 在李超代数中的作用与g l ( 功在李代数中的作 用相仿，所以称p l ( 为y 的一般线性李超代数 注2 ：若a = a oo a i 是结合超代数，在a 上定义双线性的方括号乘法，使得 【j c ，) ，】= j 吵一( 一1 ) 烈。d o ) ) 伉，v z ，y h g ( a ) 可直接验证a 是一个李超代数，记为a 一 3 华东师范大学模李超代数w ( 1 ，l ，1 ) 的不可约模 定义2 1 5 设l = 岛o l t 是f 的李超代数，y = oh 是f 上的砀一阶化线性空间，则 称李超代数的同态映射p ：l p l ( ”为l 在y 上的表示 定义2 1 6 设l = 岛ol t 是f 上的李超代数，y = oh 是f 上的殇阶化线性空 间，若y 被赋于一个运算y y ，使得( 五v ) hx v ，v x l ，1 ，y ，且满足： ( 1 ) ( 五工+ 秽) ，= t ( 工，) + 叩( y l ，) ，v ，7 e 五) ，l ，v v ( 2 ) 工( a y + ，7 w ) = ( 工v ) + 町( 工w ) ，y 五，7 7 e 工，v ，w k ( 3 ) 若x 厶，v ，其中仔，p z 2 ，则x ， ( 4 ) 【x ，) ，1 y = 工( y v ) 一( 一1 ) d ( 。) d ( ) ，y ( 工v ) ，v 工，y h g ( l ) ，v 则称y 是一个l 一模 设p 是l 在y 上的一个表示，令工v ：= p ( 工) uv 石厶 ，y 直接验证可知，如上定 义的乘法使得y 是一个一模，称之为表示p 提供的模反之，给出一个l 模y ，可 定义映射p ：l 叫p l ( 功，使得尸( 功y ：= 工 ，h 厶 ，y ，p 是l 上的一个表示因 此，李超代数的表示的研究可以转化为李超代数模的研究，反之亦然 定义2 1 7 设a = a 6oa i 是域f 上的超代数，d p l 目( a ) ，其中p 殇如果 d ( 捌) = d ( 咖+ ( 一1 ) 坝j 加( ) ，) ，帆h g ( a ) ，渺a ， ( 2 4 ) 则称d 是a 的次数为口的齐次导子 令d e 功( a ) 是a 的所有次数为秽的齐次导子的集合，这里p z 2 定义 d e r ( a ) ：= d e r 6 似) od e r i 似) 可以证明，d e r ( a ) 是p l ( a ) 的子代数称李超代数d e r ) 为a 的导子超代数，并 称d e r ) 的元素为a 的导子 定义2 1 8 设l = 岛。断是域f 上的李超代数，u 是f 上的结合超代数，设f ： 一u 一是李超代数的同态若对f 上的任意结合超代数a 与任何李超代数的同态 ，：- a 一都存在唯一的结合超代数的同态，：u a ，使得，= 夕of ，那么我们 称( u f ) 为李超代数l 的普遍包络代数 我们可构造l = o 厶的普遍包络代数如下：设丁( d = o 脸o r ( ) 是z 2 阶化空 间l 的张量代数，其中丁( d = l o o 以，1 个) l 的殇阶化诱导了7 ( ) 的一 个z 2 阶化，使得丁( d 是一个结合超代数令尺是所有形如 【五) ，】一工固y + ( 一1 ) 政糊y0 b工，y h g ( d ，( 2 5 ) 4 华东师范大学模李超代数w ( 1 ，l ，1 ) 的不可约模 的元素生成的丁( l ) 的理想置u = 丁( l ) 俾显然，自然映射l 一( ，诱导了李超代数的 同态f ：l u 一，则( 配f ) 是l 的普遍包络代数所以李超代数l 的普遍包络代数是存 在的，由定义( 2 1 8 ) 知在同构意义下，j 乙的普通包络代数是唯一的 文献【2 】证明了李超代数l 的普遍包络代数u 的基元素定理，也称为船w 定理，叙 述如下： 定理2 1 肿w 定珊设l = 岛。厶是域f 上的李超代魏工l ，是岛的f 基 底乳，y n 是k 的强- 基底设u 是l 的普遍包络代数，则所有形如操强 厅阮素构成7u 的f 基底其中幻o ，f _ l ，m ，l f 1 2 的域( 因为p = 2 时，f 上的李超代数就是砀阶化李 代数，所以不考虑p = 2 的情形) 以下总是用p 表示基域f 的特征数，仍然用n ，n o 分 别表示正整数集与非负整数集我们称素特征域上的李超代数为模李超代数 设m ，l n l ，若厂，f n o ，令( r ) 表示二项式系数考蒜若， f ，约定( ：) = o 设口= ( 口l ，口2 ，o 。) n 坍，令川= 嘶设卢= 够1 ，皮，熊) n m ，定义口+ 卢= f - l ，、m ，、 ( 口l + 卢l ，口2 + 尼，口m + 阮) ，( ；) = n ( 象) ，口卢茸o fs 届，f = 1 ，2 ，朋设瓤( m ) 是 具有生成元集 少l 口全昭 的f 上的除幂代数，则瓤( m ) 中有以下运算公式： 妒= ( 口：哟，v 邶w ( 2 6 ) 令岛= ( 西。，西：，氓) ，其中如为l 湎n e c k e r 符号简记| 句) 为而，这里1 f m 我们用八( n ) 表示不具有甩个不定元南+ 1 靠+ 2 ，靠的外代数，其中s = m + n ，运 算如下： 靠白= 一白螽，f ，_ = m + 1 ，5 ( 2 7 ) 令八) 。= s p a n f l ，靠靠，l _ r ，l + l f l ，f ，s ，2 厂甩，r 是偶数) ，八( _ r 1 ) i = s p a n f 氢毒，l 班+ 1 记，i ，s ，ls 厂挖，是奇数) ，八细，露) = 瓤( ，1 ) 八o ) 则瓤沏) 的平凡汤一阶化与八( n ) 的自然的z 2 阶化诱导了八( m ，力) 的一个殇阶 化： 5 华东师范大学 模李超代数w ( 1 ，1 ，1 ) 的不可约模 ，1 ) o = 瓤( 珑) 入( n ) o ，入( m ，1 ) i = 疆( m ) 。入( 咒) i 从而八铆，1 ) 是一个结合超代数 设歹瓤( 拂) ，g a 仍) ，简记a 妇，靠) 中的元素，og 为船，于是在a 鲰，拜) 中，除 了( 2 6 ) ，( 2 7 ) 式外，还有如下运算公式： | 口= 白x 他，v 口娜，歹= ，l + l ，j ( 2 8 ) 对七= 1 ，z 定义鼠= ( f l ，f 2 ，如) i 聊+ 1 f l f 2 j ( ，z ，玎，9 = 肌l2 2 眠2 睚= 0 是w ( m ，l ，兰) 的一个滤过，称此滤过为瞅所，z ，砂的自然滤过 引理2 4 w ( 聊，z ，9 的自然滤过在自同构下是不变的 7 华东师范大学 模李超代数( 1 ，l ，1 ) 的不可约模 注5 ：此引理见【l 】的引理2 1 0 对于上面定义的w ( 聊，甩，d 的特殊情况，最简单的是： ( 1 ) 当m = l ，n = o 时，w ( m ，z ，d = w ( 1 ，9 这个方面的不可约模表示已由张禾瑞【3 】 和s 昀d e 【4 】研究清楚了； ( 2 ) 当m = o ，n = 1 时，w ，i ，参= w ( 0 ，1 ) = s p a n f a ，印 此时岛= s p a n f 印 ，l - = s p a n f a 1 由于 p ，印】= o 可知：是可解的李超代数由文献 2 】，c h3 可知：l 是可解 的李超代数又由于【厶，i 】= 0 ，则陋i ，厶】c 【岛，岛】，由文献【2 】，c h3 可知：三的所有有 限维不可约模都是一维 ( 3 ) 取m = n = l 。f = 1 时。 l = w ( 1 ，l ，1 ) = s p a n f 一d ，一a ，p ，一印io f p 一1 ， 其中= s p a n f 一d ，蜘lo i p l ，i = s p a n f 一a ，手di o fsp l 定义2 2 9 设l 是域f 上的李代数若存在l 到自身的映射【p 】，使得口h 口【川， l ，并且满足 ( 1 ) a d 口【川= ( a d 口) p ，v 口l ， ( 2 ) ( ：n ) 【川= 七p 口p ，v 七f ，v 口l ， ( 3 ) ( 口+ 6 ) 【川= 口【纠+ 6 【川+ 名1s f ( 口，易) ，v 口，易 其中f s f ( 口，易) 是( a d ( 砝+ 易) p 一1 ) ( 口) 中一1 的系数，则称( l 【纠) 是限制李代数，简称工是 限制李代数 定义2 2 1 0 设j p 是限制李代数在空间y 是的表示，若存在唯一的z l 满足： p ( 力p p ( 工【纠) = z ( 曲p 凡乙，v x l 则称彤为y 上的p 特征函数 设p 是限制李代数l 在空间y 上的表示，如果p ( 工m ) = p ( 功p ，帆l ，则 称p 是l 的一个限制表示 定义2 。2 。1 1 。设l = + l i 是域f 上的李超代数若如是限制李代数，并且岛模i 所 提供的表示是限制表示，则称l 是限制李超代数 定义2 2 1 2 设l = 岛。三f 是域f 上的限制李超代数，蹦( l ) 是f 上的结合超代数，设 f ：l 一“( l ) 一是限制李超代数的同态若对f 上的任意结合超代数a 与任何李超 代数的限制同态，：l a 一都存在唯一的结合超代数的同态，：“( l ) 叶a ，使 得，= ，of ，那么我们称( “( l ) ，f ) 为李超代数l 的限制包络代数 8 华东师范大学 模李超代数w ( 1 ，l ，1 ) 的不可约模 定理2 2 设l = k + l l 是限制李代数，l 1 是由z l ，z 2 ，z m 生成的子代数，且满足 ( 1 ) a d 忍，f = l ，2 ，m 是幂零的：( 2 ) 陋1 】cl l ；则l l 平凡作用于任何限制l - 模 上，而且限制单模与限制厶单模一致 证明：( 1 ) 设y 是一个不可约的限制l 一模，令= y yi z f v = o ，f _ o ，l ，1 ) ，则 一定是y 的一个l 子模，实际上v z f 厶v z 上0 ，v ， 刁- 删= 【z f ，卅l ，+ 心f v = 0 ， 所以= y 或= o 假设= o ，则v 0 y vl 1 y 0 这与厶幂零地作用 在y 上是矛盾的，因此= v ( 2 ) 这部分的结论可以从( 1 ) 中得到 2 3 模李超代数的l = w ( 1 ，1 ，1 ) 的性质 设y l i = 一a ，强= 孝ay 3 i = d ，= | 笋，f = 0 ，p l ，其中a 口) = o ，a 蟮) = 1 ，d ( 一) = 矿1 ，d 皤) = o ，扩= o 规定：y 玎= o ( 歹o ) 引理2 5 在l 中基元的关系式如下： ( 1 ) 【一d ，印】= ( j f ) 一+ 广f d ( 2 ) 【一印，手d 】= j c i + 7 f d ， ( 3 ) w d ，们= + 广1 a ( 4 ) 【一笋，刎= 一一+ ，a ( 5 ) 【一f d ，刎= _ ，z + j - 1 f a + 一+ j d 6 ) w 孝d ，亭d 】= o ( 7 ) 一a ，a 】= o ( 8 ) 防d ，f 刎= 中p ( 9 ) 【一d ，d 】= ( _ 一f ) 矿产1 d ( 1 0 ) p ，】= 0 。 证明：运用公式( 2 9 ) 直接证明可得 设u ( ) 是l 的普遍包络代数，则由p b w 定理可知所有形如： ) ，l ) ，l 沈几。妇五+ ：娩厶成y 舞：1 蝎攻1 其中岛，厶o ，f = o ，p l ，j l j 2 五，五十l 五+ 2 i 七p f ) ，= p o - v = a y ，其中a p = 五 箭 所以奴成为一个模，当然b 也是比( 眠) 一模因此w ( 1 ，1 ) 的诱导模( 1 ) = “( w ) 吼( ) 幻= s p a n f 1ov ，e 一1 。v ，略1 。yi 印v = t v 定理3 1 ( 1 ) l o 时，l ( i ) 是单的 ( 2 ) a = 0 时，w ( 1 ，1 ) 的不可约模f ( 0 ) 是以0 ) 的商模，即 7 ( 0 ) = ( 0 ) w ，其中w = s p a n f d 圆y ，d p 一1 固v 是l ( o ) 的极大子模，从而f ( 0 ) 是 一维的 注6 ：证明见文献 3 】 3 2 模李超代数w ( 1 ，1 ，1 ) 与模李代数w ( 1 ，1 ) 的关系 设己= w ( 1 ，l ，1 ) ，则l = 。l i ，其中岛= s p a n f 一d ，一笋io f p l ，己i = s p a n f ，统一手dio f p l 令岛，l = s p a n f f aio f p l 】，则岛= 华东师范大学 模李超代数( 1 ，l ，1 ) 的不可约模 w ( 1 ，1 ) o 岛1 由引理2 5 中( 8 ) ，( 1 0 ) 知1q 岛；又由于( a d ( 一亭a ) y = o 因此由定理2 2 可 知k 。平凡作用于不可约岛限制模y 上所有不可约岛一限制模与不可约( 1 ，1 ) 一 模是一致的且一印v = 0 从定理3 1 中可知所有不可约的限制( 1 ，1 ) 一模由权矗所确定的以a ) ，因此“ ) 可 看作是不可约的一限制模，从而所有不可约的m ( l ) 模均可由l ( 五) 得到 令l l = s p a n f ，alo f p 一1 ，己l = s p a n f ，f dlo f p l ，则l = l i + 岛+ 己1 由引理2 5 的( 6 ) 一( 7 ) 可知l l 、l l 都是的子代数设z + = 岛+ l l ，从 引理2 5 的( 1 ) 一( 2 ) 可知l i 是z + 的理想，因此不可约的z + 限制模与不可约的限制 模是一致的从而不可约的f 限制模与不可约的( 1 ，1 ) 一限制模是一致的，所以所有 不可约的“( l ) 模均可己( 五) 入手 引理3 1 设z ( i ) = “( l ) o 。( 上+ ) l ( 1 ) = “( l 1 ) p fl ( 矗) ，则任何不可约的”( l ) - 模均 是z ( t ) 的同态像 证明：设y 是不可约h ( l ) 一模，在y 中任取一个不可约的m ( f ) 一子模，则m ( l ) o 。( z + ) 是一个稚( d 模，且y = 摊( l ) 作映射妒：“( l ) o 。( + ) y = n ( l ) ) ，o 。) hy 显然妒是一个模同态，从而任何不可约的雎( l ) - 模 均是z ( 五) 的同态像 从引理3 1 我们知道只要讨论清楚z ( 五) 的不可约性就可清楚w ( 1 ，1 ，1 ) 的不可约 性 3 3w ( 1 ，1 ，1 ) 的不可约表示 在特征p 域上，从上面的分析可知要讨论l = ( 1 ，l ，1 ) 的不可约模，可从w ( 1 ，1 ) 的 不可约模入手由3 2 的分析及引理3 1 可知l = w ( 1 ，1 ，1 ) 的不可约模应该 是z m ) = “( do 。( z + ) l ( a ) 的同态像，其中l ( 矗) 是由权a 所确定的( 1 ，1 ) - 限制 模 3 3 1 讨论矗o 时的情形 对于a 0 ，此时w ( 1 ，1 ) 的不可约模y = l ( 矗) = s p a n ff l ，do 妇，旷1 固 蝴l ，令胁= 圆n ，则l ( 允) = 蹦o ，“l ，“p 一1j 由前面的分析可得，y 可看成是不可约 的“( z + ) 模在本小节，我们约定：y 看成是不可约的“( z + ) 一模 1 2 华东9 币范大学 模李超代数w ( 1 ，l ，1 ) 的不可约模 引理3 2 设y 是不可约的“( z + ) 模，则z + 中元素的模作用如下： ( ) 。阮= ( 一) 2 一l 忌： ( 。! 。) a 一( ：) 】“，一“，忌，z = 。，p 一 ( 2 ) 一笋蜥= o ，积汐蝴= o ，( 约定：蜥= o ，f p 或f f + 1 时，d 坼= 0 因此只要考虑七f + l 即可矿1 j d “f _ ( 一1 ) ( f + 1 ) ! a 坳前 面的系数( 一1 ) ( f + 1 ) ! 五对于f = o ，1 ，p 一2 ，l 五 ；当i 口i = 归i 时，按字典序排 歹0 ，即 f j f 口。一风= o ，o f 一1 一声f 1 = o 且口f 一屈 0 ，贝0 口 卢 引理3 3 设y 是不可约的“( z + ) - 模，y 如前所设五= ) ，篙y 口；联1 ，其中口a 则 ( 1 ) k 五 yc b 五，ov i 训= j h ，峥m ，e ( 2 ) 一印-k 五p yck ，五，固v i 口i j ll 叫一1 d 7 “ 产j扣f 证明：( 1 ) v h 岛，“= 1 王岛一d + 0 弘，由引理2 5 及引理2 6 可得 f = o ，= o 所以 “- 瑶= ( 詈啪+ 蒿w 印) 砩 口t ( 篙址一般。1 a + 笔乃( 一1 ) 扩a ) + y 甏“、f = o，- 0 ， 毗( 暮群y - 似一- + 篙+ t ) + 难嗽毗( 吞轨m - + 磊+ t j + 难嗽 h 瑞y ”塌= 口0 i ( 几 rj 口一i p i lf - 0 ，= i 其中 + ) ，韶“瑁) ，苍。， f o ， j = t ， 1 4 l2 i 幸j p i 1 兀y 咖帆水阻一耀i ( 3 1 0 ) 厂= l j “叫 、j p 陌一p 五 一o n 伽u 仁一 七 七 一 一 铲p 一 一 ，f i i 、 ， 川舢 + 一女+ k 一七+x 华东师范大学 模李超代数w ( 1 ，l ，1 ) 的不可约模 _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ - - _ - _ _ _ _ _ _ _ - - _ - 一一 一。 重复利用( 3 1 0 ) 式及引理2 6 中( 1 ) 、( 2 ) 可知： “k 二9yc k ，j c r ，。vj二j-_ 川= fl 口7 悻l 口j ( 2 ) 一手d k 五9y 川= = k p ) ，渺弘蟛1 y l 口| - j = ；砧口o 【f p ，y l o 】媚式z 1p y l 口l = j + 至匕( 一1 ) 印瑞一扣。砰；y 0 葛py c k 口。岛硝耀l y + ；( 一1 ) 口0 ) ，韶一印硝联l y i 口i ，船1 2 ， c k ，兀，oy + 砭五一f d ，p y i 口，| = 一l i a j c k ，五，pv 弓l 理3 4 设v 是不可约的“( f ) 一模，“，一l v ，l = p 一1 ，七= o ，l ，。p 一1 ，则如下性 质： f 疋一1 a ( + 1 a ) ( + 2 a ) ( 妒一1 a ) 圆“p l f = o ， ( 1 ) 一d a ( + 1 a ) ( 妒一1 a ) 。“p i = 一等产a ( + 1 a ) ( 妒一1 a ) 。“p - l f - l ， 【o ， f 2 ( 2 ) 棚确( 煳( 帅p 1 = 烈1 ”。1 回鲫川置 ( 3 ) 印相( 煳( 棚。= 僻舶卜。1 帅1 巍， ( 4 ) 砖d a ( + 1 功( 矿一1 m p l ：、o 证明：这几个结论的证明都是可由数学归纳法证得，我们只证( 1 ) 中f _ 0 的情况即可，其 它的都是类似的方法 ( 1 ) 当f _ o 时，即证 d a ( + 1 回( 矿一1 回。肌矿l = 彬一1 a ( + 1 d ( + 2 回( 矿一1 a ) 固即一1 当s = p l 时，dt 妒一1 a 圆掰p l = 一1 ) 扩2 a 圆“p l 等式成立； 当s = p 一2 时， d ( 扩一2 a ) 妒一1 a “p l =( p 一2 ) 妒一3 a ( 矿一1 a ) 0 蹦p 一1 + 妒一2 a ( d ) ( 妒1 a ) 固“p l ( p 一2 ) 妒一3 a ( 妒一1 a ) 0 蜘一l - 1 5 华东师范大学竖奎塑垡墼鲨! ! ：! ：1 2 塑至旦竺堡 _-_一一一 假设对七+ l s p l ，j z 时等式成立，则对s = 七时， d ( a ) + 1 a ( 妒一1 a ) 固“p l ：足一1 a ( + 1 a ) ( 矿1 a ) 圆“p l + a ( d ) ( + 1 a ) ( 妒- 1 a ) oh p l ： 惫一1 a ( + 1 a ) ( x 矿1 a ) p 一1 + ( 惫+ 1 ) a ( a ) ( + 2 a ) ( 矽一1 a ) “p l = 良一1 a ( + 1 a ) ( j c p 1 a ) 圆“p 一卜 注8 ：在此引理的证明过程中可知若a ( 1 ，l ，1 ) 时，肯定存在f ，j f 一手d - 五圆“p 1 0 推论3 2 设y 是不可约的“( z + ) 模，“尹l y ，y 如前所假设，五= 瑞硝联1 ，其 中口a ，l = p l ，则 ( 1 ) 岛k 五o “产lc 矗，oh p 小 i 口 划 哆犁 ( 2 ) 一f d k 尼 h ，一1c k ，矗p “p - 1 特别地：一f d 。后 “p l = o ，i - 0 ，l ，p i 口l = 忿1 譬1 l ，其中卢= ( 1 ，1 ，1 ) 证明：对于y 中元素“p l 来说：z + “p - l = o 因此( 1 ) ，( 2 ) 从命题的证明来看显然成 立只要证一p 后。p 一1 = o ，扛0 ，l ，p 一1 ，其中p = ( 1 ，1 ，1 ) 即可要证上式 需用引理3 4 中的结论当f = 0 ，1 时，由引理3 4 中的( 3 ) ，( 4 ) 可知成立当f 2 时， 一印a ( 妇) ( 妒一1 a ) “p 一1 = 一d x a a ) ( 妒一1a ) 圆h p 一1 一a ( 一亭d ) ( 舶) ( 妒一1a ) o “p - l = 一a ( p + ，+ 1 d ) ( ，a ) ( 扩一1 a ) 固比p l + a ( 妇) ( p ) ( ，a ) ( 妒一1 a ) o “p l =( 一1 ) p 一1 a ( 。妇) ( 工p 一1 a ) 手do “p 一1 =0 命题3 3 设y 是不可约的“( z + ) 模，v 如前所假设，z ( 允) = “( 一1 ) 唧y ，则 ( 1 ) 当l 五p 一2 时，z ( a ) 是不可约的l f ( l ) 一模，且d i m z ( ) = 2 印； ( 2 ) 当矗= p 一1 时，z ( 五) 是可约的，且有唯一合成列：oc cmc 彬= z ( a ) ，其 中m = s p a n f 厶圆“p ti 口o ，口a ) 是z ( 1 ) 的唯一极大子模，w j = s p a n f 协。比p 一，i 卢= ( 1 1 一 1 ) ) 证明：( 1 ) 显然z ( a ) = s p a n f j l r 圆yi 口o ，口a ) 当l 足p 一2 时，由命题3 3 知 印i = 口五。yc k ，五，。v i 口i r 1 2 | r 卜1 一c 1 6 华东师范大学模李超代数彬( 1 ，l ，1 ) 的不旦丝堕 从而对v 兀圆y z ( ) ，j 岛= ) ，毅；瑶l “( l 1 ) ，y a ，s f g ，。五。y cl 。v 下面只要证：l y 中存在1 比f ，i = o ，l ，p l 即可 v “v “= 皇如取j 是使k o 的最小的整数 扛- o 矿一1 一1 “= lpd p 一1 一“= k ( 1o 一1 ) z ( 1 ) 而 妒一1 d 1 弘p 一1 = ( p 1 ) ! 【( p 1 ) a l 】l 醒1 由注7 的( 1 ) 知1o l z ( 1 ) 又由于，d - l 固“l = 一2 l “o ，d l0 蜥= 10 “件l 知lo “f z ( 1 ) ，f - 0 ，l ，p 1 所以z 似) 是不可约的 ( 2 ) 第一步：由推论3 。2 及引理3 。4 知：v “厶h 后圆l l p l = 0 因此是z ) 的子模。同 时由于z + 比p l = o ，则w l 是z ( 1 ) 的子模，且cm 下证w l w j 是不可约的 显然w l = s p a n f 万面io 口 也) 设妒( 1o “o ) = k ，矗 蜥，五厂一五f = z ( o l 圬口 p 一1p l 若k ，0 ，川 1 ，b ，则厂= z + 小，记c = z + 1 ，1 ，则 ( 2 ) 因为【笋，们= 一一a ，h = o ，、，“v 所以 专8 厶国h =妒- 瑞) ，弘耀。比 咖( 一1 ) y 韶y 弘) ，落l “+ ) ，韶印硝耀l9 h = ( 一a 。垅 “ = 一i 口i 厶9 “ 又因为妒( 弘l 铷) = 弦够( 1 “o ) ，所以 。= 弘卜“- 砧+ 善k 巾厶固毒。k ，。矗圆】 = 一k ，+ ，矗 “f + f 一k ，c i 口魄圆 1 9 m 口m 川删 则 岛 一p i i 口若 “p 尼k m + h嘶 矗 “胁 川卸 + 聊 0 “ = 毋 “ p 妒 华东师范大学模李超代数w ( 1 ，l ，1 ) 的不可约模 所以k ，+ f = ，。= 0 ，f = o ，1 ，p 一1 ，v i 口i 1 ，a a 所以妒( 1o 坳) = ，( 1 “f ) ( 3 ) 因为妒( 一+ 1 d 1 圆“o ) = 一+ 1 d 妒( 1 比o ) ，所以o = 一+ 1 d ，( 1 “f ) = ，( 一1 ) ( ，+ 1 ) ! l ( 1 固“o ) 由于( 一1 ) 。( z + 1 ) ! 五j 0 ( 1 0 d p ) ，所以岛f = o 因此妒( 1 圆h o ) = 0 ( 4 ) 因为妒( d 1pm o ) = d 妒( 1o 呦) ，所以妒( 1o 距f ) = d 妒( 19m o ) = o ，这是不可能 的因此对五i 五f ，z ( a f ) 掌z ( l ) 证毕 定理3 6 在同构意义，不可约的m ( l ) 模只有p + 1 个形如： ( 1 ) w = z ( 五f ) = s p a n f 五。以a f ) l 口o ，口a ， f = 1 ，2 ，p 一2 ，其中l ( f ) = s p a n f 摊fl 掰f2j y 翰f ，如瑚j = 五f 翰， ( 2 ) 形如以下合成列中的合成因子：ocv 呢c 胍c 啊，