（基础数学专业论文）极小模型纲领.pdf

中文摘要 本文的目的是给予森理论高维代数簇的分类和结构理论一个简短但完整的综述介绍。代 数簇的分类问题是一个古老的代数几何核心问题，也涉及影响很多数学领域。曲线和曲面的 分类理论早在5 0 年代已经由e n r i q u e s ，k o d a i r a 等人给出框架，而高维簇的分类和结构一直 让人觉得难以描述，其原因在于各种奇点问题，直到森重文在8 0 年代利用m o r ic o n e 的概念 给出了3 维簇的分类。更高维的森理论由于s m a l lc o n t r a c t i o n 的复杂性很长时间没有突破， 直到2 0 0 6 年的有限生成定理的证明，给出了森理论在高维可行的一个进步。特征p 域的代数 簇由于没有奇点消解，我们暂时难以处理，本文讨论的仅仅是特征0 的代数簇，特别的，复 代数簇的森理论的介绍。目前，高维复代数簇的研究帮助我们了解复流形的拓扑结构及基本 群，某些特殊的奇点的类型等等。因此，高维代数簇的分类和结构理论是一个非常重要的理 论。 森理论的目标是对高维代数簇作出双有理等价下的分类，它的基本思路是给定一个簇，我们 希望通过一系列的几何手术得到一个等价类中的代表元，称为极小模型。这一系列的几何手 术的核心是收缩映射( c o n t r a c t i o n ) 。所以我们必须首先保证收缩映射的存在性，这个定理 的证明是本文的核心内容。而另一方面，如果收缩映射造成过于奇异的奇点，我们通过一个 叫做f l i p 的操作来变换它。f l i p s 的存在性和有限性仍然没有解决，不过近年来已经有很大 的进展。另一方面，我们需要保证极小模型的唯一性，事实上，它并不是唯一的，但是可以 简单的证明( 如 k a w a m a t a 0 8 ) ，某些条件下( 很宽松的条件) ，两个极小模型可以被一列f l o p s 连接起来。 本文通过引入一些概念来简化原有的证明中的计算( 如 脚9 8 和s h o k u r o v 的证明) ，这也是 近年来代数几何学家研究一些奇性簇的结果的应用。本文引入抽象卜簇的概念试图简化一些 几何描述，事实上，抽象k _ 簇上的除子的定义正是b - d i v i s o r 的定义。文章的第二部分简单 的介绍了c o n ea n dc o n t r a c t i o nt h e o r e m ，并且给出了完整的证明。本文的证明思路大致和 f u j i n o 的想法类似，是一个偏几何的证明。该定理保证了我们可以将一个不是极小的代数簇 进行收缩映射将其上一些子簇收缩成维数更低的子簇。我们希望这个过程可以完好运行 直到达到极小模型。由于s m a l lc o n t r a c t i o n 会制造过于奇性的奇点，其中的困难是，我们 无法保证d l tf l i p s 的存在性和有限性。近年来晟大的进展有限生成定理保证了在一些假设 下，d l tf l i p s 的存在性和有限性可以证明。本文暂不介绍这个定理，但会在第二章用到该 定理来傲相交数的估计。 an o t eo nm i n i m a lm o d e lp r o g r a m h u z h e n g y u a b s t r a c t t h ea i mo ft h i sp a p e ri st og i v eac o n c i s eb u tc o m p l e t e a n ds e l f - c o n t a i n e ds u r v e yo nm i n i m a lm o d e lp r o g r a mw i t hm o d e r n m e t h o d s c o n t e n t s 1 t h el a n g u a g eo fa b s t r a c tk - v a r i e t i e s 1 1 p r e l i m i n a r i e s 1 2 a b s t r a c tk - v a r i e t i e s 1 3 d i v i s o r sa n dl i n eb u n d l e so n 。彩 1 4 m o b i l ep a r ta n df i x e dp a r t 1 5 l o gg e o m e t r y 1 6 m u l t i p l i e ri d e a ls h e a v e s 2 f u n d a m e n t a lm o r i st h e o r y 2 1 g e o m e t r yo fm o r ic o n e s 2 2 m u l t i p l i e ri d e a l so nl o gc a n o n i c a lp a i r s 2 3 e x t e n s i o np r o p e r t y 2 4 b a s ep o i n tf r e et h e o r e m 2 5 r a t i o n a l i t yt h e o r e m 2 6 l e n g t h so fe x t r e m a lr a y s 2 7 c o n ea n dc o n t r a c t i o nt h e o r e m 2 8 r e l a t i v ec o n ea n dc o n t r a c t i o nt h e o r e m r e f e r e n c e s 1 t h el a n g u a g eo fa b s t r a c tk v a r i e t i e s t h i ss e c t i o nd e v e l o p sal a n g u a g et od e s c r i b eb i r a t i o n a la l g e b r a i cg e - o m e t r yw i t ht h en o t i o no fa b s t r a c tk - v a r i e t i e s ，i np a r t i c u l a rt h em i n i - m a lm o d e lp r o b l e m 1 1 p r e l i m i n a r i e s d e f i n i t i o n1 1 1 l e tk cb eaf i n i t e l yg e n e r a t e df i e l de x t e n s i o n a d i s c r e t ev a l u a t i o nr i n g ( r ，m ) o fki sc a l l e dg e o m e t r i ci ft h e r ee x i s t sa n o r m a lv a r i e t yo v e rcw i t hc ( x ) = k ，ap r i m ew e i id i v i s o rd o i lx s u c ht h a to x p 全ra sl o c a lr i n g sw h e r epi st h eg e n e r i cp o i n to fd 1 1 1 2 5 7 8 9 n n垢均毖船丝凹 an o t eo nm i n i m a lm o d e lp r o g r a m h u z h e n g y u a b s t r a c t t h ea i mo ft h i sp a p e ri st og i v eac o n c i s eb u tc o m p l e t e a n ds e l f - c o n t a i n e ds u r v e yo nm i n i m a lm o d e lp r o g r a mw i t hm o d e r n m e t h o d s c o n t e n t s 1 t h el a n g u a g eo fa b s t r a c tk - v a r i e t i e s 1 1 p r e l i m i n a r i e s 1 2 a b s t r a c tk - v a r i e t i e s 1 3 d i v i s o r sa n dl i n eb u n d l e so n 。彩 1 4 m o b i l ep a r ta n df i x e dp a r t 1 5 l o gg e o m e t r y 1 6 m u l t i p l i e ri d e a ls h e a v e s 2 f u n d a m e n t a lm o r i st h e o r y 2 1 g e o m e t r yo fm o r ic o n e s 2 2 m u l t i p l i e ri d e a l so nl o gc a n o n i c a lp a i r s 2 3 e x t e n s i o np r o p e r t y 2 4 b a s ep o i n tf r e et h e o r e m 2 5 r a t i o n a l i t yt h e o r e m 2 6 l e n g t h so fe x t r e m a lr a y s 2 7 c o n ea n dc o n t r a c t i o nt h e o r e m 2 8 r e l a t i v ec o n ea n dc o n t r a c t i o nt h e o r e m r e f e r e n c e s 1 t h el a n g u a g eo fa b s t r a c tk v a r i e t i e s t h i ss e c t i o nd e v e l o p sal a n g u a g et od e s c r i b eb i r a t i o n a la l g e b r a i cg e - o m e t r yw i t ht h en o t i o no fa b s t r a c tk - v a r i e t i e s ，i np a r t i c u l a rt h em i n i - m a lm o d e lp r o b l e m 1 1 p r e l i m i n a r i e s d e f i n i t i o n1 1 1 l e tk cb eaf i n i t e l yg e n e r a t e df i e l de x t e n s i o n a d i s c r e t ev a l u a t i o nr i n g ( r ，m ) o fki sc a l l e dg e o m e t r i ci ft h e r ee x i s t sa n o r m a lv a r i e t yo v e rcw i t hc ( x ) = k ，ap r i m ew e i id i v i s o rd o i lx s u c ht h a to x p 全ra sl o c a lr i n g sw h e r epi st h eg e n e r i cp o i n to fd 1 1 1 2 5 7 8 9 n n垢均毖船丝凹 2 h u ，z h e n g y u p r o p o s i t i o n1 1 2 l e tk cb e 0 , 8b e f o r e ，ad v r ( r ，仇) 盯ki s g e o m e t r i c 矿a n do n l yi f f cgr i 2 t r d e g c ( r m ) - - - - t r d e g c ( k ) 一1 m 西( 番) o b v i o u s ( 仁) l e t2 7 1 ，x k ，x k + l z 饥 b eat r a n s c e n d e n t a lb a s i so fks u c h t h a tx i rf o ri 0a n dt h en e g a t i v eb o u n d a r yd i v i s o r 矽= a 0 a n dhs u f f i c i e n t l ya m p l e ，w em a yd e f i n e t h er e s o l u t i o nc o h o m o l o g y 研。( 形，9 ) ：= h 。( k 现) 1 0 h u ，z h e n g y u 群。玖9 ：= 殿 级 w h e r eyi sal o gs m o o t hr e s o l u t i o no fap r o j e c t i v ev a r i e t yx r e m a r k1 6 5 t h i sd e f i n i t i o ni sw e l l d e f i n e ds i n c el e r a ys p e a c t r a ls e - q u e n c ea n d 磷 。吸= 01w h i c hi se q u i v a l e n tt ot h ec o n d i t i o ni np r e v i - o u sd e f i n i t i o nb y k m 9 8 t h e o r e m1 6 6 j t h e r ee x i s ts p e c t r a ls e q u e n c e s 霹丹= 钟 砚8 级，。( 勿) 番n ，p + j ( fo 级) ( 叨) 霹丹= h p ( x ，砚。级，。( 9 ) ) 舀所p 。w 。q ( 彩，9 ) w h i c ha t eb i r e g u l a ra n dl i ei nt h ef i r s tq u a d r a n t 2 r ，i 铘玖( 勿o d 留少4 矽) 笺群。舅( 9 ) o o x 芎 d e f i n i t i o n1 6 7 ( i n t e r s e c t i o nn u m b e r so n 彤) l e t 级d i v ( 3 f ) b enc a r t i e rd i v i s o r s ，d e f i n et h ei n t e r s e c t i o nn u m b e r ( 纺玩) t ob e x 删( 形，m l 勃+ + ? t i n 玩) 兰( 级玩) m 1 m o do t h e rt e r m s l e m m a1 6 8 s u p p o s e 易d e s c e n dt oan o r m a lp r o j e c t i v ev a r i e t yx ， t h e n ( 纺纹) = ( 幼，x 玩，x ) w ew o u l di n t r o d u c es o m ev a n i s h i n gt h e o r e m so n 昆 t h e o r e m1 6 9 ( k o d a i r av a n i s h i n g ) l e t 勿d 伽( 形) b eab i ga n d n e fd i v i s o r , t h e n 壤占( 彤，地+ 9 ) = 0 加r p 0 p r o o a c c o r d i n gt ol e m m a1 5 4 ( 2 ) ，k x + f 纠i sg o o do ns o m el o g s m o o t hx t h er e s ti st os h o wf o rar e s o l u t i o ny ，h 。( y k y + 1 9 i + 厂+ h ) = 0f o ri 0a n dhs u f f i c i e n t l ya m p l ew h i c hi so b v i o u ss i n c e ，。hi sa l s ob i ga n dn e f ，a n da p p l yt h eu s u a lk o d a i r av a n i s h i n g 口 t h e o r e m1 6 1 0 ( l o c a lv a n i s h i n g ) l e t ( x ，) b eap a i r t h e n 群。苏产。圾( f d ( x ，) ) = 0 | 0 ri 0a n d 研( 彩，( x ，a ) 1 ) = h ( x ，了( ) ) p r o o a s s u m exi sp r o j e c t i v e l | ：y xi sal o gr e s o l u t i o n ， f ( x ，z x ) y = 【一y j ，t h u s 日( y ，【一y j + 矿h ) = h ( k r 一( 凤+ a l y l ) + 矿日) = h ( k y + r g + ( 日一i x a x ) 1 ) ) = 0 f o rhs u f f i c i e n t l ya m p l ea n db yk o d a i r av a n i s h i n g t h u s ， 群。易( ，。o 缎( f ( x ，a ) 1 ) = 0 f o ri 0s i n c er e m a r k1 6 5 b yl e r a ys p e c t r a ls e q u e n c e1 6 6 ( 1 ) ，w e g e tt h ec o n c l u s i o n 口 v i i n i m a lm o d e lp r o g r a m 1 1 t h e o r e m1 6 1 1f n a d e lv a n i s h i n g ) l e t 三b eac a r t i e rd i v i s o ro nx s u c ht h a tl k x 一i sb i ga n d 仃吐t h e n 日( x ，o x ( l ) q 了( ) ) = 0 | 0 ra l li 0 p r o o f a p p l yl o c a lv a n i s h i n g1 6 1 0a n dp r o j e c t i o nf o r m u l a e1 6 6 ( 2 ) w eh a v e 群。级，。p 锻( ( x ，) + 矿l ) = 0 f o ri 0 a p p l yl e r a ys p e c t r a ls e q u e n c e1 6 6 ( 1 ) 日( x ，o x ( l ) o 歹( ) ) = h 他i 。( 。彩，少。l + f ( x ，) ) = 研。( 。形，k x + 少+ ( l k x 一) ) = 0 f o ri 0s i n c ek o d a i r av a n i s h i n gt h e o r e m1 6 9 口 2 f u n d a m e n t a lm o r i st h e o r y i nt h i ss e c t i o nw eg i v ea 谳c o u r s eo l lt h ef u n d a m e n t a lt h e o r yo f m i n i m a lm o d e lp r o g r a m ，a n dp r o v et h ec o n ea n dc o n t r a c t i o nt h e o r e m f o rl o gc a n o n i c a lp a i r sw i t ho u rl a n g u a g e t h ep r o o f sg i v e nh e r ea r e d u et o f u j 0 9 2 1 g e o m e t r yo fm o r ic o n e s d e f i n i t i o n2 1 1 l e txb eap r o p e rs c h e m e ( a l g e b r a i co v e ra l la l - g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l dkt h r o u g h o u tt h i sc h a p t e r ) o fd i m e n s i o n 礼，w e d e f i n e 1 ( x ) ：= ( a l ( x ) 三) p zr ( r e s p 1 ( x ) z ：= a n 一1 ( x ) 兰a n d 1 ( x ) q ：= ( a n 一1 ( x ) 三) p zq ) a n d 1 ( x ) ：= ( p i c ( x ) 三) 圆zr ( r e s p n 1 ( x ) z ：= p i c ( x ) 兰a n dn 1 ( x ) q ：= ( p i c ( x ) 兰) p zq ) d e f i n i t i o n2 1 2 l e txb eap r o p e rs c h e m eo v e r 七，w ed e f i n et h e i n t e r s e c t i o nn u m b e r sb ye x t e n d i n gt h ei n t e r s e c t i o nn u m b e r s ( d c ) o f c u r v e sca n dc a r t i e rd i v i s o r sda sf o l l o w s ： x ( c ，o c ( m d ) ) = m ( d c ) + ( c o n s t a n t ) p r o p o s i t i o n2 1 3 l e tl ：x 叫yb eq | m o r p h i s mo p r o p e rv a r i - e t i e s ， j 死ei n t e r s e c t i o np r o d u c tg i v e sap e r f e c tp a i m n g 1 ) n 1 ( x ) 一 豫t h u sn 1 ( x ) = n s ( x ) zr ，w h e r en s ( x ) i st h en e r o n s e v e r i g r o u p 2 p = d i m 1 ( x ) = d i mn 1 ( x ) i sf i n i t e ，c a l l e dt h ep i c a r dn u m b e r 3 ( ，4 d c ) = ( d c ) ，w h e r e d e n o t et h ep r o p e rt r a n s f o r m a t i o n 名，+ ：p i c ( y ) 一p i c ( x ) i n d u c e s ，4 ：n 1 ( y ) 一n 1 ( x ) 1 2h u z h e n g y u 5 t h ep r o p e rt r a n s f o r m a t i o ni n d u c e s ：n 1 ( x ) 一n 1 ( y ) 6 。i | xi ss m o o t ho v e rc ， n l ( x ) zq 凰( x ，z ) ；n 1 ( x ) z = 日2 ( x ，z ) ，n 圩1 , 1 ( x ) 7 仇耐氇 ? v l ( x ) q 凰( x ，酞) ；n 1 ( x ) = h 2 ( x ，r ) nh 1 , 1 ( x ) p 阳西1 n o t et h a tn 1 ) i saq u o t i e n to fn s ( x ) o zrb y 【h a r t 7 7 s i n c en 1 ( x ) ( n s ( x ) q zr ) 一ri sap e r f e c tp a i r i n gb y k l e 6 6 ， 1 ( x ) = n s ( x ) o z r b yo u rc o n s t r u c t i o n 2 b e c a u s en s ( x ) h a saf i n i r eb a s i sb yi k l e 6 6 i 3 c o n s i d e ra l li r r e d u c i b l ec u r v ec ，w em a ya l s s l u n et h ei m a g e ( c ) i sac u r v e ，o t h e r w i s e ，d i e = o x l c t h u si ts u 伍c e st os h o wf o r am o r p h i s mf i e ：c 一，( c ) ，( c ，+ d ) = x ( o o ( f 4 d ) ) 一x ( o e ) = d e g ( f l c ) ( x ( o f t d s ( d ) ) 一x ( 0 丽) ) = ( l c d ) b yr i e m a n n - r o c ht h e - o r e ma n dt a k i n gt h e i rn o r m a l i s a t i o n n o t et h a tt a k i n gn o r m a l i s a t i o n d o e sn o ta f f e c tt h ei n t e r s e c t i o nn u m b e rs i n c ef o ra n yc u r v eca n da n e f f e c t i v ed i v i s o rl ，t h ee x a c ts e q u e n c e o a - - - - - 4 仉矿m l m l 叫0 o nc g i v e st h es a m ei n t e r s e c t i o nn u m b e r 4 l e td 1 三d 2b et w oc a r t i e rd i v i s o r s ，i ts u f f i c e st op r o v e 厂d 1 三 f d 2 t h i si sf o l l o w e db y3 5 i f a 三c 2 ，w ep r o v e c 1 三 c 2 t h i si sa l s of o l l o w e db y3 6 s e e g h 7 8 1p 1 6 3 口 d e f i n i t i o n2 1 4 l e txb eap r o p e rv a r i e t y s e t e ( x ) = ( a i c , 1 0 倪r ) c 1 ( x ) ； n e ( x ) q = 口t 俐o o i q ) cn i ( x ) q ； 而( x ) = t h e c l o s u r eo fn e ( x ) i ny l ( x ) t h i si sc a l l e dt h em o r ic o n e d e f i n i t i o n2 1 5 l e tf ：y 一义b eac o n t r a c t i o no f p r o p e rv a r i e t i e s t h a ti s ， o r = o x ，w ed e f i n et h ek e r n e lc o n eo ft h ec o n t r a c t i o n n e ( f ) = 旧n e ( x ) i f , c 】= o ) a n dn e ( f ) b e i t sc l o s u r e l e m m a2 1 6 w i t ht h ep r e v i o u sa s s u m p t i o n ，n e ( f ) = n e ( f ) n n e ( x ) p r o o f n o t et h a tn e ( f ) = k e r ( f ) nn e ( x ) a n dn e ( f ) = k e r ( f ) n n e ( x ) 口 p r o p o s i t i o n2 1 7 l e t ，：x 叫yb eac o n t r a c t i o no f p r o p e rn o r m a l v a r i e t i e s ，yi sp r o 哑c t i v e t h e n _ f ac u f o ec n e ( f ) i fa n do n l y 矿f ( c ) i sap o i n t 2 ，i su n i q u e l yd e t e r m i n e db yn e ( f ) u pt oa u t ( y ) m i n i m a lm o d e lp r o g r a m 3 n e ( f ) i s 口ne x t r e m a lf a c eo f e ( x ) jn e ( f ) i sa ne x t r e m a lf a c e o fn e ( x ) p r o o f 1 b yl e m m a2 1 6 ，c n e ( f ) s i n c e 【q = d e g ( f l c ) f ( c ) 】= 0 ，( ，( c ) h ) = 0f o ra n ya m p l ed i v i s o rh t h u sf ( c ) i sap o i n t 2 l e tg ：x yb ea n o t h e rm o r p h i s mw i t hn e ( g ) = n e ( f ) ，n o t e t h a tgi sa l s oac o n t r a c t i o ns i n c ek ( y ) i sa l g e b r a i c a l l yc l o s e di nk ( x ) f ( x ) = f ( v ) i fa n do n l yi ft h e r ee x i s t sac u r v ecp a s s i n gt h r o u g hz ，y s u c ht h a tc n e ( f ) t h u sfog i saw e l l - d e f i n e db i j e c t i v em a p ， a n di saw e l l - d e f i n e di s o m o r p h i s m 3 l e t 让+ v n e ( f ) ，w h e r e 乱= 口i 盼】；v = 玩【c ! f n e ( x ) ， w es h o w 乱v n e ( f ) i nf a c t ， q t 盼】+ 6 t 嘲= q t d e g ( ，ic ) 【，( g ) 】+ b t d e 9 ( ，lq ) 【，( q ) 】0 i n 1 ( y ) s i n c ey i sp r o j e c t i v e ，( g ) a n d ，( q ) m u s tb ep o i n t s ， o t h e r w i s ew em a yc h o o s es u i t a b l ev a r ya m p l ed i v i s o rhs u c ht h a t ( ，( c i ) h ) 0 一一 l e t “+ u n e ( f ) ，w h e r eu ，勘n e ( x ) ，w ep r o v eu ，v n e ( f ) f i xa na m p l ed i v i s o r 日o ny ，a s s u m e 就= l i m 讹a n du = l i m v i ，f o r is u f f i c i e n t l yl a r g e ，( ( + 仇) h ) i sa r b i t r a r ys m a l l ，h e n c e 日) a n d ( 仇h ) a r ea r b i t r a r ys m a l l ，w h i c hp r o v e st h ep r o p o s i t i o n u d e f i n i t i o n2 1 8 l e txb ea c o n e si nn 1 ( x ) a sf o l l o w s ： p r o p e rs c h e m eo v e r ，w ed e f i n et h e a m p ( x ) = ( d 】i di sa m p l e n e f ( x ) = 【驯i di sn e f b i g ( x ) = 吲i d i sb i g p s e f ( x ) = c l o s u r eo f d i di se f f e c t i v e l e m m a2 1 9f k l e i m a n sc r i t e r i o n ) l e txb eap r o j e c t i v eo rap r o p e r q - f a c t o r i a lv a r i e t y , ac a r t i e rd i v i s o rd i sa m p l ei fa n do n l yi f 而( x ) 0 ) d 0 p r o o f s e e 【k m 9 8 】t h e o r e m l 1 8 口 t h e o r e m2 1 1 0 l e txb eap r o j e c t i v ev a r i e t yo rap r o p e rq - f a c t o r i a l ， a m p ( x ) = i n t e r i o ro fn e f ( x ) i sa no p e nc d 佗ea n dn e f ( x ) = c l o s u r e o fa m p ( x ) i sac l o s e dc o n e p r o o f l e tdb eac a r t i e rd i v i s o rs u c ht h a td i n t e r i o ro fn e f ( x ) t h e n 而( x ) 0 ) d o t h u sd i sa m p l e c o n v e r s e l yi fdi sa m p l e ， t h e r ee x i s t s athei n t e r i o ro f 厕n e g f ( 曲x 。) 血。du 。吼小蛐锄p l e s 。舢豁啬 j 1 4 h u z h e n g y u r e m a r k2 1 1 1 b yt h ep r e v i o u st h e o r e m w es e et h a ta m p l e n e s si sa n u m e r i c a lp r o p e r t yo i lap r o j e c t i v ev a r i e t y w es a yt h a tk l e i m a n s c r i t e r i o nh o l d sf o rap r o p e rs c h e m exi fxh a st h ep r e v i o u sp r o p e r t y t h u s ，k l e i m a n sc r i t e r i o nh o l d sf o rp r o j e c t i v ev a r i e t i e sa n dp r o p e rq f a c t o r i a lv a r i e t i e s f o rd e t a i l s ，s e e p u j0 5 t h e o r e m2 1 1 2 l e txb eap r o j e c t i v ev a r i e t yo rap r o p e rq - f a c t o r i a l v a r i e t y ，b i g ( x ) = i n t e r i o ro fp s e f ( x ) sa no p e nc o n ea n dp s e f ( x ) = c l o s u r eo fb i g ( x ) sac l o s e dc o ? l e p r o 西n o t et h a tb i g ( x ) i so p e ns i n c efi sb i gi fa n do n l yi ff = 叼+ w h e r e 叩i sa m p l ea n d i se f f e c t i v e f o rap r o o f ，s e e 【k m 9 8 】l e m m a 2 6 0 i ts u f f i c e st os h o wt h a ta n ye f f e c t i v er - d i v i s o r i sal i m i to f b i g 豫一d i v i s o r s w es i m p l yt a k et h es e q u e n c eo fb i gd i v i s o r s 靠= 【日】+ f 】- 口 t h u s ，w eh a v eo b t a i n e dt h a to nap r o j e c t i v ev a r i e t yx ， a m p ( x ) hn e f ( x ) 上j ， b i g ( x ) qp s e f ( x ) w h e r et h ev e r t i c a lm a p sa r eo p e ne m b e d d i n g sa n dt h eh o r i z o n t a lm a p s a r ee m b e d d i n gt ot h e i rc l o s u r e s r e m a r k2 1 1 3 a l lt h e s es e t t i n g sc o u l dt r a n s i tt ot h er e l a t i v es e t t i n g s w i t h o u tm u c hd i 伍c u l t i e s c a u t i o u sr e a d e r sw o u l dt a k eag l i m p s ea t f k a w 0 8 1o r k m m 8 7 i t i sm e n t i o n e dt h a tn 1 ( x v ) i sn ol o n g e r i s o m o r p h i ct on s ( x ) 厂4 n s ( u ) f o rap r o p e rm o r p h i s mo fn o r m a l 、，8 广 r i e t i e sf ：x u f o rac o u n t e r - e x a m p l e ，s e ei k m 9 8 e x a m p l e1 4 6 r e a d e r sw o u l dr e a l i z et h a tw ew o u l df r e e l yu s e dt h er e l a t i v ev e r s i o no f r e s u l t so n l yp r o v e df o ra b s o l u t ec a s eh e r e d e f i n i t i o n2 1 1 4 l e txb eap r o j e c t i v ev a r i e t yo v e rc ，d e f i n ea c o n t i n u o u sm a p h 。= 舻( x ，) ：n 1 僻) r b ye x t e n d i n gt h em a p i l l 一砸= u m s u p 垫掣 w h e r ed = d i m x r e m a r k2 1 1 5 i ti sa l r e a d yk n o w nt h a t i sw e n - d e f i n e da n dc o n t i n - u o u