（基础数学专业论文）李超三对系统.pdf

摘要 本文中，我们首先给出了李超三对系统的实现：每一个李超三对 系统都可以由一个李超代数得到；其次，给出了李超三对系统的一些性 质；最后，我们得到了李超三对系统上的超对称不变双线性型可以唯一 地扩张到它的标准嵌入李超代数上的定理 本文的主要结论是： 定理1 李超三对系统y ，l = vo y ，且李超代数l 上的 k i l l i n g 型是非退化的，那么v 的导子均是内导子 定理2 设咖是李超三对系统y 上的超对称右不变双线性型，那 么有唯一一个超对称不变双线性型由，西是在标准嵌入李超代数( 上的，满足 1 ) 垂1 v 一曲 2 ) 垂( h ，v ) = 0 而且母是非退化的当且仅当垂是非退化的 关键词李超三对系统，超对称不变双线性型，嵌入李超代数 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ef i r s ts h o wt h a te v e r yl i es u p e r t r i p l es y s t e mc a n b eo b t a i n d e db ys o m eal i es u p e r a l g e b r a a n dt h e n ，w eo b t a i ns o m e b a s i cs o l u t i o n so fl i es u p e r t r i p l es y s t e m f i n a l l y , w es h o wt h a ta n i n v a r i a n ts u p e r s y m m e t r i cb i l i n e a rf o r mo i lal i es u p e r t r i p l es y s t e mc a n b eu n i q u e l ye x t e n d e dt oi t ss t a n d a r di m b e d d i n gl i e s u p e r m g e b r a t h em a i nr e s u l t si nt h i sp a p e ra r et h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m1i fvi sal i es u p e r t r i p l e s y s t e m s u c ht h a tl= v o 【矿：a n dt h el i es u p e r a l g e b r alw h o s ek i l l i n gf o r mi sn o n d e g e n e r a t e ，t h e ne r e r yd e r i v a t i o no fv i si n n e r t h e o r e m2l e t 西b eas u p e r s y m m e t r i cr i g h ti n v a r i a n tb i l i n e a r f o r mo nal i es u p e r t r i p l es y s t e m t h e r ei sau n i q u es u p e r s y m m e t r i c i n v a r i a n tb i l i n e a rf o r m 西o nt h es t a n d a r di m b e d d i n gl i es u p e r a l g e b r a 三( y ) ，s a t i s f v i n g 1 ) 西 v = 曲 2 ) 垂( h ，v ) = 0 m o r e o v e r ，西i sn o n d e g e i l e r a t ei fa n do n l yi f 垂i sn o n d e g e n e r a t e k e yw o r d sl i es u p e r t r i p l es y s t e m ，s u p e r s y m m e t r i ci n v a r i a n t b i l i n e a rf o r m ，i m b e d d i n gl i es u p e r a l g e b r a i i 独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表的研究成果，也不包含他人为获得东北师范 大学或其它教学机构的学位或证书而取得的研究成果与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 谢意 签名：翌曼生2 拄盘坠日期：1 塑鞋， 关于论文使用授权的说明 本人了解并遵守东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留、向国家有关部门送交学位论文的复印件，允许论文 被查阅和借阌：学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、 缩印或其它复印手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名：建查垩指导教师签名 日 期：2 塑! 雏，羔1 日期 彼孬( 正 生丑蛰：l l 羔1 1 引言 李超三对系统的概念是在解物理上的y a n g b a x t e r 方程的过程 中逐渐提出的在文献【9 1 ( 1 9 9 3 年) 中s u s u m uo k u b o 应用三角积解 决y a n g b a x t e r 方程的问题进而，在文献【1 ( 1 9 9 4 年) 中作者给 出了李超三对系统及其左变换的定义，并且给出了大量的例子在文献 2 ( 2 0 0 2 年) 中作者主要讨论了q u a s i c l a s s i c a l 李超三对系统，在给 出了大量例子之后，将其应用于解y a n g b a x t e r 方程但是，李超 三对系统的理论仍是不完备的 李超三对系统虽然是新提出的，但是它是易于接受的它与李超 代数有密切的关系，就如同李三对系统与李代数的关系一样本文，将 文献 3 1 中李三对系统上的右乘变换，超对称不变双线性型等定义推广 到了李超三对系统上文中主要讨论了李超三对系统与李超代数的关 系，李超三对系统的一些基本性质，李超三对系统的超对称不变双线性 型的一些性质 2 预备 定义2 1 1 】一个易一阶化向量空间y 被称作一个李超三对系统， 如果它有一个三角积：v 圆v o y y ，满足如下条件： 1 ) 盯( 【z ，g ，z 1 ) = ( 口( z ) + o ( y ) + 盯( 。) ) ( 7 n d d 2 )( 21 ) 2 ) 陋，y ，z 】= 一( 一1 ) 。”b ，。，z 】( 2 2 ) 3 ) ( 一1 ) 。i x ，y ，z + ( - 1 ) y 。阿，。，。】+ ( 一1 ) 2 ”陋，z ，y 】= 0( 2 3 ) 4 ) u ，口， 。，y ，z 】= 【乱，口，z ，z 】4 - ( 一1 ) ( “+ ”) 。【z ， u ， ， ，z 】 + ( 一1 ) ( ”) ( ”， 2 ，hv ，z 】( 2 4 ) 其中o ( x ) 表示z 的阶化次数，指数上的茁表示。的阶化次数 注：应用( 2 2 ) 式对( 2 4 ) 式做适当变形，我们有如下几个等式： 【札u ，z ，y ，。 一( 一1 ) 2 ”( u ， ，引，z ，。 + ( 一1 ) 。+ ”) ( u + v 扛，u u ，2 】 一( 一1 ) “” 陋，u 】，札，z j = 0( 2j ) ( 1 ) ( u + v ) y “，口，z 】，y ，z 一( 一1 ) 。+ ( “+ ”h 阻，u ，引，z ，z + ( 一1 ) ( “+ ”) 。【 z y ，札】， ，z l 一( 一1 ) ( “+ ”) 。+ “” 陋，y ，u ，“，z j = 0 ( 2 6 ) ( 一1 ) ( “+ 们( 。+ + 。【z ，【u ，掣，。 】( 一1 ) 。p + ( “+ ”) 2 ( u ， ，可 ，z ，z 】 + ( 一1 ) + ”) 2 【 “，u ，z 】，可，。 一( 一1 ) 扣”) 2 【“， 、b ，y 。 = 0( 27 ) 再应用( 2 3 ) ，( 2 5 ) ，( 26 ) ，( 2 7 ) 式我们有 ( 一1 ) ( 计”) ( z + k m ，口，z 】，y ，。 ，自，f 】 一( 一1 ) ( “+ ”) ( ”) + 。 “，口，z ，y ，纠，。，f 】 一( 一1 ) ( ”) ( “) + 。” 【( u u ，1 ，z ，。 ，1 + ( 一1 ) ( “) ( 2 + 2 ) + 。+ 曲( ( “， ，扪，z ，】，z ，1 + q + r = 0 ( 2 8 ) 其中q ，r 是( 2 8 ) 式中前四项通过( ， ) ，( z ，) ，) 的循环得 到 由文献 1 】知，在李超代数三上令k ，y ，z 】= 盼，姝z 】，则己在此 定义下是一个李超三对系统 2 定义2 2 李超三对系统v ，b 是v 的子集合，若满足 b ，v b ，则称b 是y 的理想 定义2 3 李超三对系统v ，若瞰v v 】0 ，且v 无非真理想，则 称y 是单的李超三对系统 定义2 4 李超三对系统v 在李超代数己中的嵌入是个线性变 换s ：z 斗，满足 ( 1 ) b ，y ，。j 8 = 5 ，y s 】，z 5 】 ( 2 ) 像集y 5 的包络李超代数是工 像集v 8 的包络李超代数由v 3 生成的李超代数 在李超代数l 中，由j a c o b i 等式，对于l 任意的子空间m ，n ，b ，d 我们得到如下两式成立 【 m ，v 】， b ，d c m ， b ，d 】+ m ， ，d 】，b 】( 29 ) ( m ， ，b 】，d c m ， ，( b ，d 】 + 【 m ， ，d 】，b ( 2 1 0 ) 定义2 5 2 】李超三对系统v 的左( 右) 乘变换是定义在y 矿斗 e n d v 上的变换 l ( x ，g ) z = x ，y ，z 】 r ( z ，口) 。= ( 一1 ) 。( ”。 。，z ，y 称工( z ，) ，n ( x ，y ) 为李超三对系统v 的左( 右) 乘变换 定义2 6 李超三对系统v ，1 7 的导子是v 到v 的一个线性变换 d ，满足： d p ，y ，。 = d x ，y ，。】+ ( 一1 ) 。d i x ，d y ，z + ( 一1 ) 呻+ y ) 。k y ，d z l 其中o ( o ) = 盯( z ) + o ( y ) 4 - 口( ：) 十o ，若陋，y ，z 】k 指数上的 d 表示d 的阶化次数 由( 2 4 ) 式可知l ( x ，可) ，z ，y v ，是李超三对系统y 的导子我 们把这样形式的导子d ，d = l ( x 。，玑) ，z 。y i v ，称为李超三对系 统v 的内导子 所有李超三对系统v 的导子组成的集合，记做d ( y ) 3 若d ( v ) 中的运算 ， 规定如下： f d l ，d 2 】= d 1 d 2 一( 一1 ) d ，d 2 d 2 1 9 1 其中口( 【d i ，d 2 ) = a ( d t ) + a ( d 2 ) 可知d ( v ) 在这样的运算下是一个作用于y 上的线性变换所构 成的李超代数d ( v ) 称为李超三对系统y 的导子代数 由定义( 2 5 ) 及( 2 2 ) 一( 2 4 ) 式可得到 2 】： l ( x ，y ) z = ( - 1 ) 。( 9 “) r ( 9 ，z ) z( 21 1 ) l ( y ，x ) = 一( 一1 ) 。y l ( x ，y )( 2 1 2 ) l ( 茁，9 ) = ( 一1 ) 。口r ( 口，z ) 一r ( x ，口)( 21 3 ) 【l ( u ，u ) ，l ( x ，) 】= 工( 【u ，v ，z ，y ) + ( - 1 ) ( “+ 咖l ( x ， ， ，纠) ( 2 1 4 ) 设h 是d ( v ) 的子集合，h = d i d = l ( x 。，y i ) ，x i ，肌 由( 2 1 4 ) 式知，日对于【， 是封闭的，则h 被称为v 的内导子 代数 我们考虑这个直和向量空间l ( v ) = 片0 l 小1 ，规定其中的f 1 运算如下： 瞵l ，x 2 l = 【h l o z l ，h 2 0 2 2 = ( 【 1 ，h z 十l ( x l ，z 2 ) ) 0 ( h l z 2 一( 一1 ) 6 。- h 2 x 1 ) 其中x i = h 。o z ：，h 。h ，x ：v ，i = l ，2 那么，l ( v ) 在这个运算下是一个李超代数 注意特别的当z ，y k h h 时，我们有 k y - n ( x ，9 ) ，【h ，x - h x 且 日，日 日， h ，吲i ， i ：i 日 定义2 7 一个李超三对系统y 的超对称双线性型庐，若满足下面 条件： ( r ( n ，b ) z ，y ) = ( 一1 ) ( 8 + 6 ) 。+ 曲( z ，r ( b ，o ) g ) ( l ( 。，6 ) 。，y ) = ( 一1 ) ( 8 + 6 ) 。+ 8 6 毋( z ，n ( b ，a ) ) 4 则称毋为y 的右( 左) 不变超对称双线性型 3 李超三对系统的实现 我们知道，在李超代数三上令陋，y ，z = ，引，z ，则l 在此定义 下是一个李超三对系统在这部分，我们将说明任意一个李超三对系统 均可由这种方法得到 设y 是特征数不为2 的域上的任意一个李超三对系统，做克罗 内克积( 张量积) v v ，设r 是由这样的向量构成的子集r = a b ie i a ，b ，x j = 0 ，vz y ，很明显兄是一个子空间因此，我们可以 做一个商空间v v = ( v xv ) r 我们要说明向量空间l = v o 矿i 可可以构成一个李超代数 在l 中我们做如下定义： 如果a b v 我们定义 a ，b j = a b ，引。，b = e ( a ) 十口( 6 )( 31 ) 那么矿页可中的任何元素都可以写成和 o ，b 的形式 接着，如果a ，b ，c d ，y ，我们定义 【h6 】，c 】= x l a ，b ，c 】( 3 2 ) c ，e k6 1 1 = 一( 一1 ) ( ”6 ) 。b ，c l( 3 3 ) ( o ，6 】，e c ，d 1 = ( 。，b ，c 】，d 】一( 一1 ) 出 0 ，b ，d ，c ( 3 4 ) 如此定义的【，1 是双线性的 首先，我要们说明( 3 2 ) 一( 3 4 ) 式的定义是合理的，即单值的 在( 3 2 ) 式中，左边若每一个因子是零，那么右边也是零因为设 kb = 0 ，根据商空间定义a b r 由r 的定义hb ，c = 0 类似，其它等式也是合理的 我们定义三中一般的乘法运算 u ，u j ，a ，b ，c ，d ，e ，v 令乱= a + x b ，c l ，u = d + 【e 】门，定义 沁， 1 = 陋，d l + 扛，【e ，1 1 + e i b ，c j ，d | + e i b ，c ， e ，j 】 5 由上面( 3 2 ) 一( 3 4 ) 式知如此定义是合理的 下面，我们说明在如上的定义下，l 是一个李超代数 1 首先说明，上面定义是斜超对称的，即需验证va ，b ，c ，d v 有 【a ，b 】- 一( 一1 ) 曲 6 1a 】 ( 35 ) 陋， b ，c 】= 一( 一1 ) 。( 6 + 。) 6 ，c ，n ( 3 6 ) 【n ，纠，【c ，d 】= 一( 一1 ) 。+ ”( 。+ 8 c ，d ，f a ，6 】j ( 3 7 ) 成立 在李超三对系统中有【a ，b ，x 】一一( 一1 ) 曲p ，a ，z ，即 a ，b ，。 + ( 一1 ) 曲【6 ，口，x = o ，则有n xb + ( 一1 ) 口6 b a r ，所以( 3 5 ) 式成立 由( 32 ) 和( 3 3 ) 式知( 36 ) 式成立 将( 3 7 ) 式变形，得到 0 ，b ，c ，d 一( 1 ) 如【 o ，b ，d 】，c 】 + ( 一1 ) 。舢) ( 。+ 8 【c ，d ，口 ，b 一( 一1 ) 。6 【f c ，d ，6 】，。 ) = 0 由( 2 5 ) 式知( 3 7 ) 式成立 2 接着，我们来说明j a c o b i 等式成立 我们需要考虑四种情形： 1 ) 所有元素均在v 中 2 ) 两个元素在v 中，一个元素是【a ，b 的形式 3 ) 一个元素在v 中，两个元素是【a ，翻的形式 4 ) 所有元素均是( a ，b 】的形式 第一种情形：va ，b ，c v 由( 3 2 ) 式，有 o ，6 ，c 】= a ，b ，c 1 ，所 以由( 2 3 ) 式，我们直接可得到 ( 一1 ) “ o ，6 ，c 】+ ( 一1 ) k 【6 ，c 】，n 】+ ( 一1 ) 曲 【c ，n ，6 = 0 成立 第二种情形：va ，b ，c ，d v ，需要证明 ( 一1 ) ( 。+ ”“b ，6 3 ，c j ，d 3 + ( 一1 ) 。+ 6 ) 。【c ，d ，【o ，q 】 + ( 一1 ) 甜【d ，陋，6 】，c = 0 6 将其变形得到 ( 一1 ) ( 。+ 6 m 【 ，b ，c 】，d + ( 一1 ) ( 。) 。【c ，d ，n 】，6 1 一( 一1 ) ( 8 + 6 ) c + a b c ，d ，6 】，a 】一( 一1 ) 如+ 扣+ 6 m 口，b ，词，c = 0 由( 2 6 ) 式知上式成立 第三种情形：让= 【a ，翻，u = c ，d ，w = e ，vo ，b ，c ，d ，e v ，需要 证明 ( 1 ) 8 + 6 k o ，6 】， c ，d ，e 】+ ( 一1 ) ( 。+ 6 ) ( 。+ 。 ( c ，d l ，e ，【a ，6 l + ( 一1 ) 8 ( 。+ 4 e ，【o ，胡】，【c ，d = 0 将其变形得到 ( 一1 ) ( n + 6 ) 8 o ，b ，c ，d ，e 一( 一1 ) 。+ 6 ) e + d c 陋，b ，d ，c ，e 】 一( 一1 ) 扣+ 6 ) 8 ，b ， c ，d ，e 1 + ( 一1 ) 。+ 6 ) ( 。+ 4 + 8 c ，d ，【a ，b ，e 】 = 0 由( 27 ) 式知上式成立 第四种情形：“= a ，6 ，v ： c ，d 1 ) w = e ， va ，b ，c ，d ，e ，f v 需要证明 ( 1 ) ( “+ 6 ) 8 + 7 眦o ，州， c ，d 1 ，【e ， 】+ ( 一1 ) c 。+ 6 ) ( 。+ 4 c ，d ， c ， ，【o ，q + ( 1 ) ( ”，) ( c + d e ，】j a ，6 c ，d 】= 0 将其变形得到 ( 一1 ) 。+ 6 。+ 扣，b ，c ，d ，e ，门一( 一1 ) 。舳) ( 8 + ，) + 。7 【n ，b ，c ，d ， ，e 】 一( 一1 ) ( ”6 ) ( 。+ ，) 十“。，b ，乩c ，e 】，】 + ( 一1 ) ( 。+ 6 ) ( “，) + “。+ 8 7 ( ，b ，d ，c ，f l ，e 】+ q 十r = 0 其中q r 是上式中前四项通过( a ，6 ) ，( c ，d ) ，( e ，f ) 的循环得到 由( 28 ) 式知上式成立 4 李超三对系统的基本性质 我们知道，若李超三对系统v 含在李超代数l 中，且k9 ，。 = 陋，乩z l ，那么由( 2 9 ) 式知卅是三中的子代数，y o v j 也是 l 中的子代数因此，任意一个李超三对系统v ，s 是它的个嵌入， 7 那么y 5 的包络李超代数是y 5o y 5 ，y 5 】 在第三部分的讨论中，我们知道对于任意李超三对系统y 有一个 一对一的嵌入s ，满足；【n ? ，酵】= 0 ，a 。，b i v 等价于。 o f ，6 s ，z 】= o ，v v ，而且有l s = v 5 0 【v 8 ，v 5 】我们把这个嵌入称作矿的标 准嵌入，简记为l = v 0 k v l ，将工称作y 的标准嵌入李超代数 第二部分中定义的l ( v ) 即是y 的标准嵌入李超代数 定理4 1 李超三对系统y 嵌入李超代数己中，且l = v o y 】 那么，y 是由l 中的斜对称元素构成的集合这里的斜对称元素是相 对于l 中的一个唯一的周期为2 的自同构的 证明对于vx ，y l ，z = x l + x 2 ，y = y l + y 2 ，z l ，y 1 k z 2 ，y 2 kv 】设a x = x 2 一z l ，a 是一个三中的自同构，且a 2 = i ， 有 a x ，a y 】= x l ，9 1 + ( x 2 ，y 2 一p l ，y 2 】一 x 2 ，y l 】 而a 陋，y 】= a x x ，y l 】+ a x 2 ，y 2 + a z l ，y 2 】+ a x 2 ，y 1 = 睁l ，g l 】+ 【x 2 ，9 2 1 一l r l ，y 2 一【x 2 ，y l 】 我们看到 x l ，9 1 ， x 2 ，y 2 】【kv 】，( x l ，驰】， x 2 ，y 1 v a 在眦v 】上的作用是恒同的，而a 在上的作用是斜对称的 因为l 是由1 7 生成的，所以4 是唯一的我们可以说v 是由 决定 的李超三对系统 口 引理4 2 李超三对系统v ，b 是它的理想设b ( 1 ) = 眦b b 1 b ( ) = ( 1 i b ( “，b ( k - u 则对于每个k ，b ( 。是l7 的理想，且b 三 b ( 1 ) 2 - 三b ( 证明 旧“，v v 】= u b ，b 】，k v v b ，y 】，b y + k b 】， k b i ，y 】 由( 2 2 ) 式有，【k b ，v 】= 【b ，k l 】b 所以 【k b ，明，b v 】垦【b ，b ，v + 】 由( 2 3 ) 式有， u b 】， k b ，l 】 8 【v b ，y 】，l v b 】+ 【v 【v b 】，【v b 】 【 v b ，矿】， u b 】+ v b 】，v 【k b 】 i 【k b ，y 】，【v b 】 所以，【b ( ”，k v 】【b ，b ，v + i v , b ，y ，【v b v b ，b 1 + b ， k b 】 【k b ，b 】+ k 矧，b 】= k b ，b = 日( 1 ) 所以j b 【1 ) 是v 的理想 因为b ( ) = ( b ( k - - i ) ) ( ，假设b ( 一1 ) 是y 的理想 b ( “，kv = 【( b ( k - i ) ( ”，kv ( 日( k - i ) ( 1 ) = b ( 鼬，所以b ( k ) 是 v 的理想显然， b 2 b ( ”一d b ( 扪口 定义4 1 李超三对系统y ，b 是v 的理想如果存在一个正整数 ，使得b ( 引= 0 ，则称b 是v 的可解理想 下面，我们看一下李超三对系统矿的可解理想与李超代数l 的 可解理想间的关系 v 是李超三对系统，三是李超代数，且l = v o 吲若r 是 l 的可解理想，有b = r n v 是y 的可解理想因为瞰b 】r 】 r ，b ( 1 ) = k b ，b r ，b 】f r ，r 】= r ( ”因为r ( ) = ( r ( 一1 ) ) ( “， 所以对每个k 有b ( r ( “特别的，若r 在李超代数l 中是一个可 解理想，那么r 在李超三对系统己中也是一个可解理想易知，c ，和 b 是李超三对系统y 中的理想，且u b 若b 是可解理想，则u 也 是可解理想；若b ( 2 ) 是可解理想，则b 也是可解理想 引理4 3 李超三对系统y ，mb 是v 的可解理想，则u + b = “+ iu 口) 也是l 的可解理想 证明 ( 【，+ b ) ( 1 ) = k ( u + 口) ，( u + b ) 】 u 弘u 】+ k b ，b + 【v 以b 】+ v b ，u u ( 1 ) + b ( 1 ) + b n u 设( 己厂+ b ) ( ) u + 召( + b n u 9 归纳证明( 厂+ b ) ( + 1 ) = i u ( u + b ) ( 舢，( uq - b ) ( 七】 v ( u ( + b ( 七4 - b n u ) ，( u + b ) 七】 u ( + 1 ) + b ( + 1 ) + b n u 因此，存在着这样的n ，使得( c 厂4 - b ) “) 互b n u 所以( u + b ) 是可解理想口 现在设r ( v ) = 。b 。，既是李超三对系统y 中的可解理想， 由引理43 知r ( v ) 是y 的可解理想，且是y 中最大的可解理想称 r ( v 】为y 的根基 定义4 2 李超三对系统v ，r ( v ) 是它的根基若r ( v ) = 0 ，则称 v 是半单的李超三对系统 定理4 4 若兄是李超三对系统y 的根基，则v r 是半单的李 超三对系统如果b 是v 的理想，使y b 是半单的，那么r cb 证明 v 7 一r 中的理想是这样的形式u r ，这里，是包含r 的 理想因为( u 冗) ) = u ( 2 + r ，若矿一r 是可解的，则对于某个n ，有 ，( ”) 冗，则u 是v 中的可解理想，所以u = r ，有y r 是半单的反 过来，设v b 是半单的，我们考虑它的可解理想再= r + b lr r ) ， 因为r = 0 ，所以r b ，有r b 口 引理4 5 若v o u v = l ，那么 k y i ( n ( t - i k n k n 2 ( v o = v ) 证明 由( 22 ) 和( 2 9 ) 式，有 p i y 】( 1 = k y k v 】1 限：k v 】，v 】= v ( ，r 1 设 1 iv ( n - 1 ) 【y ( ，v ( n l 一1 n l k 兰( n l 】2 卜jv 7 ( “) = k 明n - 1 ) ， kv 3 n - 1 ) 。”，。川聂，。 y “，v 一1 _ 砷】， v ( y ( n - 1 - 】 i 1 ) 2n 一1 兰t ( n 1 ) 2 ，n 一l ( n 一 。 我们选择展开的任意项来计算，由于括积的斜超对称性，我们只 1 0 考虑k i 的情况由( 2 2 ) ，( 2 9 ) 式，且因为k n i 1 有 【v ( 剐，y n 一1 一 ， y ( “，v ( n - l - i ) 】 【v ( ，v ( n 一1 一，v ( 1 】，v n 一1 一。1 】+ 【v ( m ，y ( “一1 一，y 恤一1 1 1 ，v ( 1 】 1 jv ( “，矿( 。 ，v ( “一1 一 + 【i v , y ( “一卜，y ( n 一1 一。 ，1 7 ( 2 ) 由上面的计算，我们有 【v ( ，y ( “一1 一七 ，【v ( ，v 一1 2 】 y “+ ，v ( “一1 一。 + y ( n - i ) ，y ( 。 我们看到展开的每一项都含在所要求的形式中， 口 这个引理告诉我们：y 是可解的李超三对系统，那么【u 卅也是 y 的包络李超代数的可解子代数 定理4 6 若vo k v 】= l 那么 l c n 旷。，。 ，+ ￥：2 舭：羹鲁萋_ ( n - o 2v(k)v(n-k-1)012n l kl o 、“ o 赶：。司姒 证明归纳法 ( 1 ) = l ，l 】cv ( 1 1 + v ( 2 y ( 1 + 矿( ，矿( 1 + 【v ( ，v v ( 1 + y ( ，v 设n 为偶数时结论成立 l ( “+ 1 ) = 【三( “) ，l ( “ ( ( v ( m ，v ( “一。一1 】+ v ( “2 ) ，( 【1 7 ( “， i ( 一1 1 14 - 订“2 ) = 【“，矿( “一1 ，”，v ( 7 一1 1 + v ( “，v ( “一一1 】，y ( n 2 4 - 【v ( n 2 ) ，v _ 2 由引理45 的证明可知： 第一项是包含在f v ( “，v ( n - k ) 1 中的 n k _ n 2 第二项 矿( 舢，v ( “一2 1 1 ，v ( “2 】 kv m 扪，v m 2 1 = y ( ( “2 ) + 1 ) 第三项 矿( n 2 ) ，“2 = v m 2 、，v ( ( n + d 一( “2 ) 一1 】 y ( “，y ( n 一) 1 1 1 综上所述结论成立当n 是奇数时。类似地讨论，有 【y ( m ，v _ 一一，y ( ( n + 1 ) 2 】矿( ( n + 1 ) 2 口 推论4 7 可解李超三对系统的任意包络李超代数是可解的：若李 超三对系统的某个包络李超代数可解，则此李超三对系统可解 推论4 8 设a 是李超代数l 的周期为2 的自同构，且有或者( 1 ) l 是单的，或者( 2 ) l = l 0 l 2 ，厶是单理想，且a ( l 1 ) = l 2 如果y 是 由l 中关于a 斜对称的元素构成的李超三对系统，那么v 是单的 证明 设l = v o c ，c 是l 中相对于a 恒同的元素组成的 集合易证v 是一个李超三对系统 明c ， k c 】v 下证 f o k 明是三中的理想 【( v o u v ) ，( y 0 g ) 】 k v + 【v c 】+ 【k k y + k v 】，g 】 y + k + e ， k v l v0 ”矿1 在情形( 1 ) 下，l = v o 【vv 若日是v 7 中的理想且不为零， 可证b o b 卅也是l 的理想，所以b 0 旧，= l 因此b ：v ， 所以l 7 是单的 在情形( 2 ) 下，a 在v o k 上作用是不变的因此，v of v v l 既不同于l 也不同于工2 而三中不变理想只有0 和l ，所以l ： i o 1 ：卅可证v 中的理想b 生成l 中的一个不变理想b o b ，v 1 但是l 在a 下无不变的真理想，所以b = 0 口 定理4 9 李超三对系统v ，l = v o ，且李超代数上的 k i l l i n g 型是非退化的，那么v = o v 2 0 0k ，这里k 是v 的 单理想 证明 因为l 的k i l l i n g 型是非退化的，所以l 有如下分解 l = l lo l 2 o 0 厶，这里厶是工的单的阶化理想设a 是l 上决 定y 的自同构因为a 2 = i ，通过重新排列l 的直和分量，我们有l ： 1 2 1 0 a ( l t ) 0 0 岛o a ( l 口) o l q + l o t o l r i q 时，a ( 毛) = l ；设尬：l ；o a ( l 。) ，i 一1 ，2 ，r vz v ，则有x = e ，岛，由y 和a 的定义，有a ( x 。) = 一墨记k 是舰中相对于a 斜对称的元素， 则有乱k ，所以有矿o k o o w 反过来，v ：孔，x i ， 由y 的定义有。x 。k 所以有v = o ko o w 因为 k ，k = o ( i j ) ，所以 k ，uv = 瞰，k ，k 】k ，有k 是v 的理 想由定理4 8 知k 是单理想口 定理4 1 0 李超三对系统v ，l = v ( 9 i v , 吲，且李超代数l 的 k i l l i n g 型是非退化的那么v 的导子均是内导子 证明 设d 是v 的导子定义m 卅中的映射面，面i v = = d i v 面k ，y = 万( 。) ，y + ( 一1 ) d ( 。k 面( y ) = d ( z ) ，y 】+ ( 一1 ) d 江 z ，d ( g ) 因此d 是l 中的导子由于l 的k i l l i n g 型是非退化的，所以 l 的导子均是内导子面是l 的内导子，所以一d = a d u ，某个“l 又d l v = d i g ，d 作用在i7 上是不变的，所以u 是k y ) 的形式，即 d 是内导子口 5 5 李超三对系统上的超对称不变双线性型 引理5 1 若母是李超三对系统v 的右不变双线性型，则西是扩 的左不变双线性型 证明由( 2 1 3 ) 式知 ( l ( o ，) o ，b ) = 曲( ( ( 1 ) x y r ( y ，z ) 一r ( x ，g ) ) mb ) = 庐( ( 一1 ) x y r ( g ，z ) o ，b ) 一砂( 兄( z ，y ) a ，b ) = ( 一1 ) 8 ( 。+ ”( o ，r ( 。，y ) b ) 一( 一1 ) 。( 。+ g ) + 。9 ( o ，r ( y ，z ) 6 ) = ( 一1 ) o ( 。+ v ) + x y 西( o ，l ( y ，。) 6 ) 口 注：由引理5 1 知李超三对系统的双线性型是不变的等价于是右 不变的 1 3 设西是李超三对系统y 上的右不变超对称双线性型我们将通 过扩张定义一个它的标准嵌入李超代数l ( v ) = hov 上的双线性 型圣( 采用预备中的记号) 定义圣i v = 西，西( h ，v ) = 圣( k h ) = 0 圣( l ( n 1 ，6 1 ) ，l ( a 2 ，6 2 ) ) = ( ( l ( 1 ，b 1 ) a 2 ，6 2 )( 5 1 ) 对于va ，b iev ，i = l ，2 那么，西在日上是双线性的 引理5 2 若庐是李超三对系统v 的右不变双线性型，则： 咖( ( l ( l ，b t ) a 2 ，b 2 ) = ( 一1 ) ( a l + h i ) ( a 2 + b z 毋( ( l ( 0 2 ，b 2 ) a 1 ，b 1 )( 5 2 ) 证明由的不变性，我们有 咖( ( l ( o ，b 1 ) a 2 ，6 2 ) = ( 一1 ) ( a i + b ! ) a 2 - a l b l 咖( 啦，( l ( b 1 ，a 1 ) 6 2 ) = ( 1 ) 。z z ) a z + b 渤( 0 2 ，( r ( a 1 ，b 2 ) 6 1 ) = ( 一1 ) b l a 2 + b l b 2 + a 2 b 2 + a l b 2 妒( ( r ( 幻，a 1 ) 0 2 ，b 1 ) = ( 一1 ) ( 8 + 6 - ) ( a 2 + 6 2 曲( ( 工( 。2 ，b 2a l ，b 1 ) 口 由( 51 ) 和( 5 2 ) 两式，我们得到： d p ( l ( a l ，6 1 ) ，l ( a 2 ，6 2 ) ) = ( ( l ( n 1 ，b 1 ) a 2 ，b 2 ) = ( 一1 ) 。1 + 6 1 ) ( a 2 + b 2 ( ( l ( n 2 ，b 2 ) a l ，b 1 )( j 3 ) = ( 一1 ) a i + b t ) ( a 2 + b 2 ) 圣( l ( 0 2 ，b 2 ) ，l ( a l ，b 1 ) )( 54 ) ( 5 4 ) 式说明西在日上是超对称的， 下面，我们说明圣在日上是双线性的，并且定义是合理的 很明显，从( 51 ) 和( 52 ) 式可以看出圣在日上是双线性的 下面，我们说明垂在日上的定义是合理的如果 l ( a l ，b ) = l ( n j ，6 i ) ，g ( a t ) + o ( b 1 ) = 盯( o i ) + a ( 6 ：) l ( a 2 ，b 2 ) = l ( a 2 ，6 ：) ，a ( a 2 ) + 口( 6 2 ) = 口( o ：) + 口( 6 ：) 对于va i ，巩，n ：，e k i = 1 ，2 那么，由( 5 1 ) 和( 52 ) 式，有 1 4 西( l ( 口：，6 i ) ，l ( a 2 ，碗) ) = ( 三( n i ，6 ：) n 幺6 ：) = 4 ( l ( a l ，6 ，) o ：，6 ：) = ( 一1 ) 扣1 + 6 1 ) ( 。：+ 畦咖( l ( 口：，畦) 。l ，6 1 ) = ( 一1 ) ( a l + b 1 ) ( a 2 + b 2 曲( l ( 。2 ，b 2 ) n l ，b 1 ) = ( ( o l ，b 1 ) a 2 ，b 2 ) = 西( l ( 8 l ，b 1 ) ，l ( a 2 ，6 2 ) ) 引理5 3 李超代数l ( y ) 上的超对称双线性型西在h 上是不变 的，即： 西( 虬h 2 ) = 中( 1 ， h ， 2 】) ， vh ，h 1 ， 2 h 证明 对于 1 ，h 2 日，由( 2 1 4 ) 式有 h z ，l ( o ，b ) j = l ( h i a ，6 ) + ( 一1 ) “一l ( a ，h i b ) i = 1 ，2f 55 ) 因此，设h = l ( a ，b ) n ，b v ，由( 5 4 ) 和( 5 5 ) 式，有 中( ，州，h 2 ) = 中( 陋l ，i ( a b ) 1 h 2 ) 2 ( p ( l ( h l a ，b ) + ( - 1 ) “m l ( a ，丘1 6 ) ，h 2 ) 2 a p ( l ( h l a ，6 ) ， 2 ) + ( 一1 ) “，。西( ( o ，h i 6 ) ，h 2 ) = ( 一1 ) 6 2 “1 + 。+ 移( h 2 h l a ，6 ) + ( 一1 ) h l a + “。( t + n + 6 1 ( 2 0 1 6 ) = 一( 一1 ) 也6 咖( 危l n ， 2 6 ) + ( 一1 ) 6 - n + “2 m + n + 6 ) 曲( 2 0 ，h 1 6 ) 而壬( h j ，f h ，h 2 ) = 中( ， l ( a ，6 ) ，h 2 ) 2 西( 1 一( 一1 ) “2 ( 。+ 6 限2 ，l ( a ，6 ) ) 2 中( l ，一( 一1 ) 6 2 陋+ 们( l ( h 2 a ，6 ) + ( 一1 ) “。( a ) ( n ，h 2 6 ) ) ) = 一( 一1 ) h 2 ( a + b ) + h l ( “2 + 。+ 垂( 三( 2 口，6 ) ，h 1 ) 一( 一1 ) h b + h d a + h = + t 垂( l ( n ， 2 6 ) ，h i ) 3 ( 1 ) “2 扣+ 6 ( h l h 2 a 1 6 ) 一( 一1 ) “。6 毋( l n ， 2 6 ) = ( 一1 ) b 。+ 哪+ 6 1 陋2 + ( h 2 a ，h 1 6 ) 一( 一1 ) h ：6 ( 1 口， 2 6 ) 1 5 因此，