（基础数学专业论文）拟线性椭圆型方程（组）有界正整体解的存在性.pdf

a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，o u rm a i np u r p o s ei st oe s t a b l i s ht h ee x i s t e n c eo f e n t i r eb o u n d e dp o s i t i v es o l u t i o n so fs e c o n do r d e rq u a s i l i n e a re l l i p t i c e q u a t i o n s ( s y s t e m s ) w i t hs u p e ra n ds u bs o l u t i o nm e t h o d t h em a i n c o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，w el i s t e ds o m er e l a t e dr e s u l t sa n dm a i nm e t h o d s w h i c ha r et h eb a s e do ft h i sp a p e r w ep r o v e dt h a tt h e r ee x i s t s i n f i n i t e l ym a n yp o s i t i v es o l u t i o n sw h i c ha x eb o u n d e df r o mb e l o w b yap o s i t i v ec o n s t a n tf o rq u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n si nc h a p t e r 2 ；s t i l lm o r e ，w eo b t a i nas u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h e e x i s t e n c e ；w ea l s og i v et w oe x a m p l e st h e r e i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o nf o r q u a s i l i n e a re l l i p t i cs y s t e m s ，a n dt h e no b - t a i na na p p l i c a t i o nt h e o r e m f o ras p e c i a le a s es y s t e m t h ea b o v er e s u l t sa r et h ei m p r o v e m e n ta n dg e n e r a l i z a t i o no f t h ec o r r e s p o n d i n gp a r t l yr e s u l t sh a db e e ng i v e nb yf 5 ，1 0 ，4 3 k e yw o r d s ：q u a s i l i n e a re l l i p t i cs y s t e m s ，p o s i t i v ee n t i r es o l u - t i o n ，b o u n d e d ，s u p e r ( s u b ) s o l u t i o n 摘要 本文的主要目的是运用上下解方法建立了二阶拟线性椭 圆型方程( 组) 的正整体有界解的存在性，主要内容如下： 在第一章我们介绍了作为本文基础的相关结果和主要方 法 在第二章证明了拟线性椭圆型方程存在无穷多个正整体 解，每个解都以某个常数作为下界，同时还得到了解存在性的 一个充要条件，此外，还给出了两个例子 在第三章研究了拟线性椭圆型方程组正解的存在性，得到 一了关于一类特殊方程组解的存在性定理 充 本文主要结论是文献【5 , 1 0 ，4 3 1 中的相关结果的推广和补 关键词：拟线性椭圆型方程( 组) ，正整体解，上( 下) 解，有 界性 c h a p t e r1 p r e f a c e t k n s a n oa n ds 0 h a r u1 1 ( 1 9 8 5 ) c o n s i d e r e dt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ee n t i r e s o l u t i o n so fs e c o n do r d e rs e m i l i n e a re l l i p t i co ft h et y p e ： a u + f ( x ，u ) = 0 i nr n ( 1 1 1 ) w h e r e i st h en - d i m e n s i o n a ll a p l a c eo p e r a t o r ，n 3 ，a n d ，仕，t ) i sac o n t i n u o i l sf u n c t i o no nr n ( 0 ，c o ) b ya ne n t i r es o l u t i o no fe q u a t i o n ( 1 1 1 ) w em e a n af u n c t i o nu c 1 ( r n ) w h i c hs a t i s f i e s ( 1 1 1 ) a te v e r yp o i n to fr n t h ei m p o r t a n c eo ft h i sp r o b l e mi nm a t h e m a t i c a la n a l y s i s ，i ng e o m e t r ya n d i nv a r i e sa p p l i c a t i o n sh a sb e e nr e c o g n i z e df o rm a n yy e a r s ，s e e ，f o re x a m p l e ，t h e p a p e r s 【1 - 1 6 m o s to ft h el i t e r a t u r eo nt h es u b j e c t ，h o w e v e r ，h a sb e e nd e v o t e d t o ”a u t o n o m o u s e q u a t i o n so ft h ef o r m ： t - i - f ( u ) = 0 i nr n ( 1 1 2 ) a n di ts e e m st h a tv e r yl i t t l ei sk n o w na b o u te n t i r es o l u t i o n so fe q u a t i o n sw i t h g e n u i n e l y ”n o n a u t o n o m o u s s t r u c t u r eb e f o r en i ss i g n i f i c a n tc o n t r i b u t i o ni n1 9 8 2 i n 【l z - 1 8 ，n ie s t a b l i s h e dt h ee x i s t e n c eo fe n t i r es o l u t i o n sf o rt h ef o l l o w i n gt w o s p e c i a lc a s e so f ( 1 1 1 ) ： t + k ( z ) e 2 u = 0i nr n( 1 1 3 ) t + ( z m 倦= 0 i nr n ( 1 1 4 ) w h e r en 3 f o rt h el a t t e re q u a t i o n ，n iu s e de x p l i c i tb a r r i e rf u n c t i o n s ，h ep r o v e d i np a r t i c u l a rt h a t ，i f 扛) i sab o u n d e dl o c a l l yh s l d e rc o n t i n u o u sf u n c t i o ns u c h t h a ti k ( z ) i 爵f o rs o m ef 2i nr n ，t h e nt h e r ee x i s t si n f i n i t e l ym a n yb o u n d e d p o s i t i v es o l u t i o n s ，w i t ht h ep r o p e r t yt h a te a c ho ft h e s es o l u t i o n si sb o u n d e df r o m b e l o wb yap o s i t i v ec o n s t a n t n ii n d i c a t e da l s ot h a ts i m i l a rr e s u l t sc a nb ep r o v e d i ft h e r el l o l d s p k ( 。) ”赢嬲r = 蚓。0 3 ， m a n yw o r k sh a v eb e e nd o n ea f t e rn i sr e s u l t st os t u d ye q u a t i o n s t 士p ( x ) ( u ) = 0 ， f o re x a m p l e ，k a w a n oi m p r o v e da n de x t e n d e dn i sr e s u l t si n1 9 8 3 ，s e e 【1 9 ，a n d t h e nt k u s a n oa n ds o h a r uc o n s i d e r e dm o r eg e n e r a le q u a t i o n ( 1 1 1 ) i n ”t h e f o l l o w i n gc o n d i t i o nh a sb e e no f t e nu s e dt og e n e r a l i z en i sc o n d i t i o n ： f o o r 妒( r ) d r c o ，w h e r e 妒( r ) = 皿a xi p ( z ) i ( 1 1 5 ) j 0 i x l = r r e c e n t l y , k h a l i f ae 1m a b r o u k 【2 0 1o b t a i n e dt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fan o n n e g a t i v en o n t r i v i a lb o u n d e ds o l u t i o nt ot h e s u b f i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n a u = ( z ) t 7i n q w h e r e0 0 ，一y p 一1a n d z ”( 1 一t s # - q ( s ) d s ) 1 ( p 一”d 。 m o r e o v e r ，i tw a sa l s os h o w ni n 【4 2 】t h a tp r o b l e m d i v ( 1 v i t l p 一2 v u ) + 口( z ) 缸一1 = 0 ，$ r n h a sap o s i t i v ee n t i r es o l u t i o ni f q c ( r + ) ，q ( x ) = q ( 1 。1 ) 0 ，0s7 p 一1 ，f o r a n y 0 ( n p ) ( p 一1 一i r l ) c p 一1 ) ， 一h 吧一1 + i ( 。一p ) | r i ( j - - 1 ) l q ( r ) d r 0 0 ， a n d f o rr ( 0 ，1 ) ，6 1 ，q ( r ) = o ( r 一6 ) o nt h eo t h e rh a n d ，i tw a ss h o w ni n 【1 0 】t h a tp r o b l e m d i v ( i x 7 i t l p 一2 x t i t ) + ，( 。，i t ) = 0 ，$ f p o s s e s s e si n f i n i t e l ym a n yp o s i t i v ee n t i r es o l u t i o n sw h e nf ( x ，u ) i sd e f i n e do nr p l a n di sl o c a l l yh s l d e rc o n t i n u o u si n 。a n di sl o c a l l yl i p s c h i t zc o n t i n u o u si nt 工t h e r e e x i s t sal o c a l l yh s l d e rc o n t i n u o u sf u n c t i o n 妒( r ) 0o n 【0 ，o o ) ， z ”( z 。删t ) i o - 1 ) d s 0o n ( 0 ，o o ) s u c ht h a t ( x ，钍) 妒( f $ i ) f ( u ) ，( z ，t ) r ( 0 ，) a n dl i i l l t o 笔辫= 0 m o t i v a t e db yt h er e s u l t so f t h ea b o v ec i t e dp a p e r s ，w ef u r t h e rs t u d yt h ee x i s - t e n c e o f p o s i t i v ee n t i r es o l u t i o n s f o r ( 1 1 6 ) ，t h e ( e s u l t s o f t h e s e m i l i n e a re q u a t i o n s a r ee x t e n d e dt ot h eq u a s i l i n e a ro n e s i nf a c t ( 1 1 8 ) i sag e n e r a l i z e dc o n d i t i o no f ( 1 1 5 ) b u tt h i sk i n do f c o n d i t i o n h a sas h o r t a g e ，t h a ti s ，i ti sn o ti n v a r i a n tu n d e rt h ei s o m e t r yg r o u pgo fr h ti n p a r t i c u l a ru n d e rt r a n s l a t i o n s y e da n dz h o u fi m p r o v e dc o n d i t i o n ( 1 1 5 ) a n d o b t a i n e dt h ef o l l o w i n gm o r eg e n e r a lc o n d i t i o n ： 一a u = p ( z ) h a sab o u n d e ds o l u t i o ni n r n ( 1 1 9 ) c l e a r l y , ( 1 1 9 ) i si n v a r i a n tu n d e rg ，a n d ( 1 1 5 ) i m p l i e s ( 1 1 9 ) ，w h i l et h e i n v e r s e l i sw r o n gi ng e n e r a l ，s e e 【4 3 】i nt h i sp a p e rw es t u d ye q u a t i o n ( 1 1 6 ) w i t ha n a r g u m e n ti n s p i r e db yy e da n dz h o u f1 4 3 】a n dy a n gz d 【1 0 1 t h ea u t h o r sa l s os t u d i e dt h ee x i s t e n c eo rn o n - e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s f o re l l i p t i cs ystems： ja u + f ( u ， ) = 0 ，z r n ia v + 9 ( n ，”) = 0 ，z r n w el i s th e r e ，f o re x a m p l e 1 ，3 ，5 ，7 - 9 ，4 4 】，l a i ra n dw o o d 【4 5 le s t a b l i s h e dt h ee x - i s t e n c eo fe n t i r ep o s i t i v ee x p l o s i v es o l u t i o n sw h e nf = 一p ( i x l ) v 。g = - q c i x l ) u p l a i ra n dw o o dp r o v e dt h a ta l lp o s i t i v ee n t i r er a d i a ls o l u t i o n sa r ee x p l o s i v ep r o - v i d e dt h a t z 。龇) d r = c o ，f o ”t q ( 咖t = o o 0 nt h eo t h e rh a n d i f z ”印( 力班 0 孟t 害君桀 一pg ( p 1 ) + 即 1 ) p 一1 舡一( p 1 ) ( g 一1 ) 二粤) 0 g 一1 t h e nt h ep r o b l e m ( 1 1 1 0 ) h a sa tl e a s to n ep o s i t i v er a d i a ls o l u t i o n s 【牡， ) 锑( 【r o ，r 】) 础( i t 0 ，r 】) i n 【5 ld i s c u s s e dt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ee n t k es o l u t i o n so ft h eq u a s i l i n e a r e l l i p t i cs y s t e m ， d i v ( i v t p v t ) = n ( 洲。，z ( 1 1 1 1 ) 、， 【d i v ( 1 v v q - 2 v v ) = 6 ( r ) l t 严，z r n w h e r ena n dbs a t m f y 0 ( r ) 鲁，盼) 鲁f o r r r o o ， a n dk 1 ，k 2a r ep o s i t i v ec o n t a n t sa n d b 寺( g 叫) + p ( 1 1 1 2 ) 【p 与( p a ) + g 、 7 t h e n ( 1 1 1 1 ) h a si n f i n i t e l ym a n ys p h e r i c a l l ys y m m e t r i cp o s i t i v ee n t i r es o l u t i o n s r e c e n t l y , y a n gz d1 7 le x t e n d e dt h er e s u l t st ot h em o r eg e n e r a lt y p es y s - 击v ( i w l p - 2 v u ) = 0 ( i 叫冶p ) 联r n( 1 3 ) id i v ( i v v l q - 2 v v ) = b ( i x l ) f ( u ) ，z r n 。 a n de s t a b l i s h e dt h es i m i l a rb u tm o r eg e n e r a lr e s u l t so fl a i ra n dw o o d i nt h i sp a p e r ，w ew i l ls t u d yt h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l eb o u n d e dp o s i t i v e s o l u t i o n sf o rt h ef o l l o w i n gs y s t e mw i t hs u b - s u p e rs o l u t i o n sm e t h o d m v ( i w l p - 2 v u ) - n o b 扣) i 蚝r n( 1 “4 ) id i v ( i v v l q 一2 v v ) = 6 ( z ) ，( 札) ，z r n t h em a i nr e s u l t so ft h ep r e s e n tp a p e ri st og e n e r a l i z et h er e s u l t si n 【5 ，3 3 ， 4 7 lf o rs y s t e m ( 1 1 1 4 ) w h e np = 2 ，t h er e l a t e dp a r tr e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e d b y 【4 3 】o u rt h e o r e mf o re x i s t e n c ee x t e n ta n dc o m p l e m e n tt ot h ep a r t l yr e s u l t s b y 【5 ，1 0 ，3 3 ，4 3 ，4 7 8 c h a p t e r2 e x i s t e n c eo fb o u n d e dp o s i t i v e e n t i r es o l u t i o n sf o rq u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s 1 p r e l i m i n a r i e s i nt h i sc h a p t e rw ea r ec o n c e r n e dw i t ht h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ee n t i r es o l u - t i o n so fs e c o n do r d e rq u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n so ft h et y p e d i v ( w u l p 一2 v t i ) + ( z ，u ) = 0 ，z r n ，( 2 1 1 ) w h e r e ( z ，u ) i sac o n t i n u o u sf u n c t i o no nr n ( 0 ，e o ) ，n 3 b ya ne n t i r e w e a ks o l u t i o no fe q u a t i o n ( 2 1 1 ) w em e a naf u n c t i o nt 咄( r y ) nc 1 ( r n ) w h i c hs a t i s l l e s ( 2 1 1 ) a te v e r yp o i n to fr n ( s e e 【3 8 】a n dr e f e r e n c e s t h e r e i n ) ，t h a t i st 略( r ) n e 1 ( r n ) s a t i s f y i n g d i v ( i v v l p 。2 v v ) + ( z ，t ，) = 0 ，i nd ( r n ) t h i sp r o b l e ma p p e a mi nt h es t u d yo fn o n n e w t o n i a nf l u i d s ( 【3 5 ，3 6 j ) a n d n o n n e w t o n i a nf i l t r a t i o n ( 【3 7 1 ) t h eq u a n t i t ypi sac h a r a c t e r i s t i co ft h em e d i u m m e d i a 丽t hp 2a r ec a l l e dd i l a t a n ta l l i d sa n dt h o s ew i t hp 0 s u c h t h a ti l ( x ，u r ( z ) ) j i l * ( b 2 ) ma n d0 札r ( 。) ) l f l * ( b 2 ) m ，f o ra l lr 2 1 0 f r o m ( 2 1 5 ) ，u rs a t i s f i e s ： 厶刚k 厶胁 t h e r e f o r e ， l v u r t 9 i i f l l o ( m e a s b 2 ) 1 9 c 1i l v u r i i p h e r el l q + l i p = l ，a n dqi st h es o b o l e ve m b e d d i n gc o i l s t a n t s o ，i i t r i i i p g 0 州驴- 1 跏w h e n1 p n ，t h ee m b e d d i n go f 嘣9 ( 岛) i nl l v v ( n - v ( b 2 ) i m p f i 髑t h a tu r l n v i ( 刊( b 2 ) a p p l y i n gt h e o r e m7 1i n 【2 5 ，p 2 8 6 - 2 8 7 ，w e o b t a i nt h ee s t i m a t e ： s u p l t l r i ；。b 2 g ，( 2 1 7 ) h e r ea = 伤( 1 l f l l 0 ) i fp n ，w eg e t ( 2 1 7 ) f r o mt h es o b o l e ve m b e d d i n g t h e o r e m u s i n gt h e o r e m1 1i n 【2 5 ，p 2 5 1 ，w es e et h a tu rb e l o n g st o 俨( _ ) f o r s o m e0 q 0s u c ht h a t 0 t r i i c l 抽( 风) c ，f o ra 1 1 r 2 s i n c et h ee m b e d d i n gc 1 + 口( b 1 ) _ c 1 ( b i ) i sc o m p a c t ，t h e r ee x i s t sas e q u e n c e d e n o t e d b y t 凡l j j 。1 ( w h e r er l jto 。) ，w h i c hc o n v e r g e si nc 1 ( 日1 ) l e tu l ( x ) = l i m j _ 。o t 凡1 j ( 。) ，f o r 。b l ；t h e n “li s a s o l u t i o n o f ( 2 1 5 ) w i t h w ( x ) t 正1 口( z ) s t e p2 r e p e a ts t e p1u pt ot h ee x i s t e n c eo ft h es e q u e n c e m r l f ) j = 1 t og e t as u b s e q u e n c e u 珏2 c o n v e r g i n gi ng 1 ( 岛) t oal i m i tu 2 t h e nl i k e w i s e u 2i sas o l u t i o no f ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) a n du 2 1 b i = 1 1 1 r e p e a ts t e p1a g a i no nb 3 ， e t c i nt h i sw a y , w eo b t a i nas e q u e n c e m r ) j = l 一2w h i c hc o n v e r g e si nc 1 ( 玩) a n di sas u b s e q u e n c eo f 让r i i ) j ) l e tu k = u i 码- t f 吣，t h e n ，t 上ii sas o l u t i o n o f ( 2 1 5 ) - ( 2 1 6 ) i nb ka n du k b k 一，= 札k 一1 1 1 s t e p3 b yad i a g o n a lp r o c e s s ， “。) m ：l 丑i sas u b s e q u e n c eo f u r h ) j ：l “ f o re v e r yk t h u s ，o n b k f o re a c hk w eh a v e l i m “日。2 钍k s o ，i fw ed e f i n e “( z ) = l i r a 。u 且。0 ) ，t h e nu ( x ) s a t i s f i e sd i v ( 1 d u l n 一2 d u ) + f ( x ，t 1 ) = 0a n d ( z ) t ( 。) 2w ( x ) s i n c ev ( x ) u k ( x ) 叫( z ) f o re v e r yk t h i s c o m p l e t e st h ep r o o fo fl e m m a2 1 1 r e m a r k1 af u n c t i o n ( 。) ( r e s p t u ( z ) ) s a t i s f y i n gt h ed i f f e r e n t i a li n e q u a l i t y ( 2 1 2 ) ( r e s p ( 2 1 3 ) ) i sr e f e r r e dt oa sas u p e r s o l u t i o n ( r e s p s u b s o l u t i o n ) o f ( 2 1 1 ) j n r n l e m m a2 1 2 s u p p o s et h a tp ( x ) c ( r s ) i sn o u n e g a t i v ea n d 如= z ”( s 1 州z 帅妒幽 ( 2 1 8 ) w h e r e 妒( r ) = m a x i z 忙r p ( z ) t h e nt h ee q u a t i o n d i v ( i v u i v u ) = p ( 。) ，h a sag r o u n ds t a t es o l u t i o nu ( oi nr n ，( 2 1 9 ) w h i c hi sb o u n d e da n d j i m i f 。( ? ) = 0 p r o o f b e c a u s e 吩) = e ( 击1 抛两1 d s w h i c hi sas o l u t i o nf o rt h e d i v ( 1 w v i 一2 v y ) = 妒( r ) i nr na n df i m 。j 。y ( z ) = 0 ，s ovi sas u p e r s o h i t i o nf o r ( 2 1 9 ) o nt h eo t h e rh a n d ，0i sas u b s o l u t i o nf o r ( 2 1 9 ) f r o ml e m m a2 1 1 ，t h e n ( 2 1 9 ) e x i s t sab o u n d e de n t i r es o l u t i o n r e m a r k2 i fn 3 ，p n ，t h e nc o n d i t i o n ( 2 1 8 ) o fl e m m a2 1 2i s r e p l a c e db y o r 由妒( r ) 占d r o o ，i f l p 2 ， c a ) o 厂。r 咛半州d r ，i f p 2 2 ( b ) l e t m ) = z 一，。t 8 n - 1 帅) d s ) 击出 i ff a c t ，i f1 0 i nt h e f i r s tc a s e ，日奇s1 ，a n dh e n c e ， j ( r ，：厂1 p - - - n ，爿( ，= i 1 出g + f t 可l - i v 以 一 j 0 j 1 s 0t h a ti ，( r ) h a saf i n i t el i m i tb e c a u s e p n i nt h es e c o n dc a s e ，日( s ) 者h ( s ) f o rs s oa n dh e n c e 帅) 曼g + 并p “馋舭 e s t i m a t i n ga n di n t e g r a t i n gb yp a r t s ，w eo b t a i n m 觚+ 两p - 1 二f i 州n1 岫+ 焉听t 警俳胁爿姒伽司 岛+ 岛厂7 畔毕州出岛+ 岛 ! i 2 妒0 ) 出 b y ( b ) ，日。= l i m ，。j ( r ) o o r e m a r k3 i fp ( x ) = p c t z l ) g ( r n ) i sn o n n e g a t i v ea n d = 小川f o t n ( 岫向s p 一1 r e m a r k4 i fp ( x ) = p ( i x l ) c ( r n ) i sn o n n e g a t i v ea n d 比= o ”( s l 一。t n _ l p ( 击d s t h e nt h ee q u a t i o n d i v ( i v u p - 2 v u ) = p ( z ) u 7 ， h a sa ne n t i r eb o u n d e dp o s i t i v er a d i a ls o l u t i o ni f0 7sp