（基础数学专业论文）时滞duffing型方程周期解.pdf

时滞d u f f i n g 型方程的周期解 基础数学专业 研究生邓伟指导教师蒲志林教授 论文摘要：本文应用叠合度和不动点等理论讨论了两类d u f f i n g 型方程周期 解的存在性第一章介绍相关背景及已有的结果第二章结合b r o k e r 度定理 以及建立在m a v h i n 叠合度上的连续定理，研究了一类中立型d u f f i n g 方程周 期解的存在条件第三章运用不动点理论讨论了一类d u f f i n g 型方程伴随时 滞f 在更一般的非线性项g 下周期解的存在性 关键词：d u f f i n g 型方程，周期解，不动点，叠合度，b r o k e r 度 p e r i o d i cs o l u t i o n so f d u f f m ge q u a t i o n sw i t hd e l a y b a s i on a t h e m a t i c s a u t h o r ：d e n gw e is u p e r v i s o r ：p uz h il i n a b s t r a c t ：t h i sp a p e ri sd e v o t e dt os t u d yt w ok i n d so fp e r i o d i cs o l u t i o n s o fd u l l i n ge q u a t i o n sb yb r o u w e rd e g r e ea n df i x e dp o i n tt h e o r y i n c h a p t e rl ，w ei n t r o d u c es o m ei m p o r t a n tt h e o r e m s i nc h a p t e r2 ，c o m b i n g t h eb r o u w e rd e g r e et h e o r yw i t hac o n t i n u o u st h e o r e mb a s e do nm a w h i n s c o i n c i d e n c ed e g r e e ，w eo b t a i nas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n t o fp e r i o d i cs o l u t i o no f t h en e u t r a ld u f f i n ge q u a t i o n s i nc h a p t e r 3 ，u s i n gt h ef i x e dp o i n tt h e o r e m ，w es h o wad u f f i n ge q u t i o nw i t hd e l a y fa d m i t sap e r i o d i cs o l u t i o nw h e ngi nac o n o nc o n d i t i o n k e yw o r d s ：d u f f i n ge q u a t i o n ，p e r i o d i cs o l u t i o n ，f i x e dp o i n t ，b r o u w e r d e g r e e ，c o i n c i d e n c ed e g r e e l l v $ 范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师瞳圭盐教援指导下，独立 舷旋 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学 拥有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交 印刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索；2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的 学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在校园网上供校内师生阅读、 浏览 论文作者签名：夏1 5 7 南 2 0 0 7 年0 4 月0 9 日 第一章前言 1 9 1 8 年, d u f f m g 引进了d u f f m g 方程，用以描述在许多机械问题中的硬化 弹簧效应从此，d u 伍n g 方程成为非线性扰动问题研究中最常用的例子 以前对d u f f m g 方程的研究，主要是讨论周期d u n g 方程，研究它的调和 解和次调和解的存在性、解的有界性及拟周期解的存在性 对d n f f m g 方程 了。+ 十g ( 曲= p o ) ，j r ( 1 ) 通常作如下分类： ( 1 ) 假设g ( x ) 满足超线性条件 l i m 墨盟；- b o o 1 叶啐x 则称d u f f a n g 方程是超线性的； ( 2 ) 假设g ( x ) 满足次线性条件 l i r a 塑：0 i x l - - , 。工 则称d u t s , u g 方程是次线性的： ( 3 ) 假设g ( x ) 满足半线性条件 0 l i m i n f 量盟1 i m s u p 墨盟 帕， i x l - - , *工! 灿- 盖 则称d u f f i n g 方程是半线性的； 1 9 7 5 年j u 吝i k 与l o c i c a r d i 正明了超线性d u t r m g 方程 ，+ 9 0 0 = p o ) ( 2 ) 的p o i n c a r 6 映射至少有一个不动点，从而证明了周期解的存在性他们的工作 先后由s t r u w e 2 和s h e k h t e r 3 推广到方程 名。+ g ( x ) = p ( f ，毛工，) ， 其中p ( t ，z ，工，) 对r 可以是无界的c 印i e n o ，m a w h i n 与z a l i l l 【4 】利用延拓法 b e l i e v t 6 5 3 0 s i n a c o m 毕业论文 第一章前言 将 1 】 3 】中的周期解存在定理进一步推广到了方程组 波兰数学家z 0 p i a l 【5 】在1 9 6 0 年首次证明了次线性d u f f m g 方程至少有 一个调和解1 9 8 9 年t d i n g 6 对一类次线性d u f f i n g 方程证明了高阶次调和 解的多解性 有关半线性d i l 伍n g 方程的研究，不再像研究超线性和次线性d i l 伍n g 方程 那样，可利用p i o n c a r 6 - b i r k h o f f 扭转定理证明调和解以及各阶次调和解的多样 性转为研究保证周期解存在性的非共振性条件1 9 6 7 年, i o u d 4 提出了下述条 件： 肖： 一a - g q f t ，j 一吃) ，( r 一巧) ) + p o ) ， = 去r 。x ( t ) d t 朋z ，盘= 去f 。荆如z 为k e r l = r ，i m l = x z ：r x ( t ) d t = o ) ，i n l 工是闭的，g t m k e r l = d i m z i m l = 1 因此工是指标为0 的f r c d h o l m 映射 对应的算子方程 因而有 x = a n x ，丑e ( 0 ，1 ) ， 酊。( f ) + 删o ) + a a c ( f ) + a g ( t q ，( f 一乇) ，( f r 0 ) = a p ( t ) ( 2 2 3 ) 设对一个确定的ae ( 0 , 1 ) ，x ( t ) x 是方程c 2 3 ) 的解，把( 2 2 3 ) 式从。到 2 石积分得 f c x ( t ) d t = r 【p ( f ) 一g ( t f l ，( f 一乇) ，( f 一乃) ) 弦， 由积分第一中值定理知，存在一个t 【0 , 2 z c 使得 6 毕业论文 第二章一类中立型m i 胁g 方程周期解的存在性 2 m ：x ( t = f 。【p ( | ) 一g ( t - r t , x ( f 一2 ) ，( f f 3 ) 弦 设m = m a ) 【l , ( o l ，那么有 t t o 2 u 2 z r t c x ( t ) ls 2 ，r ( 肌+ 肘，) + f 届国 + 屈f 。f ( f f 2 粑+ 肛r p ( f 一) 毋l ! 9 2 n ( m + m 。) + 屈r p ( f ) 眵+ 店f 防( f ) 卅 对任意的r 【o ，2 万】， 工( f ) = 工o ) + f 工7 0 陋) s 妒) f + r p 陋 南【瓜( ) + ( 屈+ 2 万i c l ) ( f 。k ，( f ) 1 2 出) ；+ 屈( r 扛一o ) 1 2 出) ；】 因此 时。俐2 出) ；母i ，器弦) i s 玩研+ m ，) + 馋+ 妨愀f 。k ，( f ) f 2 彬j 1 + 历( r 4 | 工( f ) 1 2 出) ； ( 2 2 4 ) 7 毕业论文 第二章一类中立型d u n g 方程周期解的存在性 用，o ) 乘以( 2 2 3 ) 并从0 到2 石积分得 4 r k ( r ) 1 2 d t + 五f 石。( f ) 【g o f l ，x 9 一f 2 ) ，( f 一乃) ) 一p ( f ) 撺 一知f 7 1 2 d t = 0 ， 也即 卅”i x ( t ) 1 2 a r t 吣。p 1 2 d t 因此 因而 + r 矿( f ) 研+ 膨+ 屈l ，( f f 2 ) i + 属p ( f 一, , s a t h r 。p ( f ) ：陋+ ( f p 删2 矗矿1 【磊伽+ 肘) + 压( r 。f ( f ) 1 2 d 妒+ 属( r 。p ( f ) 1 2 出) 毛 q 口i - 屈) f 。i z o ) 1 2 出sh f p ( r ) z 陋+ ( f 。p ( | ) 1 2 出) j 1 【瓦( m + 肘) + 历( f 。y ( f ) 1 2 出) j 1 】，( 2 2 国 2 ( 1 a l 一层) ( f p ( f ) 1 2 出) i i 引互- ( 珊+ 膨) + 屈( r 。p ( f ) | 2 廊) i i 】+ 脚l - 局) h r 7 l 一( 0 1 2 d t + 【瓜( 册+ 盯) b c 妇嘶5 3 吨妇n 8毕业论文 第二章一类中立型o u t r 】n g 方程周期解的存在性 + 反m 一( f ) 1 2 t i t ) i 2 - ( 2 2 6 ) 1l 三三三 应用不等式0 + 6 ) 2s 口2 + b 2 ，当口o , b 0 时，我们可得 4 q 4 卜- 屈) h f v ( 0 1 2 出+ 【磊( 册+ m ) + 岛( r k ，( f ) 1 2 西) ；】z 声 s 万( 小+ m ) + 尾( r 5 v ( 0 1 2 d t ) i i - + 2 ：丽同瓣( f 陶i 1 ( 2 2 7 ) 由( 2 2 6 ) ，( 2 2 7 ) 知： 删一层) ( f 。p ( f ) i 2 d r ) i 2 4 瓦( m 1+ 肘) + ( 岛+ 辱阿f ) ( n 酬2 d t ) i ， ( 2 2 8 ) i 用五( f ) 乘以( 2 2 3 ) 式，并从0 到2 霈积分，我们可得 6 f 。i 一( f ) 1 2 d t + r 。x ( t ) c g ( t 1 巩一f 2 ) ，( f 一弓) ) 一p ( t ) l c l t = 0 ， 即 h f 。k ，刚2 疵( r 。p ( ，) 1 2 奶；【芴+ 膨一) + 屈( r p o 一屯) | 2 出) i 1 + 岛( f 一白) 1 2 西) 毛 = ( f f ( f ) 1 2 出) ；【磊( 所+ m 一) + 岛( r i , e ( 0 1 2 出) ； b e l i e v e 6 5 3 0 m l a c o m 9 毕业论文 第二章一类中立型m l 仿n g 方程周期解的存在性 + 尾( r 。) i i 】 因此 ( h 一尾) f 。k 一( f ) 1 2 出s 磊( m + m - ) + 愿( f k ( f ) 1 2 出) ； ( 2 2 9 ) 由( 2 2 8 ) ，( 2 2 9 ) 知 啦卜岛) 酗卜尾) f 。k ( 0 1 2 d t s 芴h + 尼( m m 勺+ ( 岛屈+ 屈柝阿= j 溺) ( f 。k ，( f ) 1 2 出) ；) ( 陋i - 屈h 一尼h 一层抓阿：硼) ( r 。忙，( f ) 1 2 廊) ； 芴h + 历c 膨一膨。) ( 2 2 1 0 ) 由( 2 2 国知，存在一个正的常数冠使得： f p ( f ) 1 2 出墨 由( 2 2 6 ) 和( 2 2 i l ) 知，存在一个正的常数r 使得 f 。p 1 2 出s 是 由( 2 2 4 ) ，( 2 2 1 1 ) 和( 2 2 1 2 ) 知矗筝在一个正的常数玛使得 f k ( f ) f 出s 焉 ( 2 2 1 2 ) 毕业论文 第二章一类中立型1 ) 1 1 f f a n g 方程周期解的存在性 因此，存在三个常数耳，避和碍，使得对任意的f 【o ，2 石】， 陋) f 耳，f p ) i s 碍和p ( f ) f 碍 令爿= 一 茸思碍，箐糟q - 非x ：h 2 a ) 我们将证明对任意的x 孬，n 在q 上是三一紧的 i q t v x l o 去f 。喇+ p t r ；+ 掰+ 膨+ 展+ 屈霹弦2 鸠， m i = 4 纠】霹+ i c 时+ 掰+ 肘+ 尾碍+ 层霹弦 凼此q ( q ) 征r 上是有界时集合 很显然，q ：西_ z 是连续的，对f t 意的z l m l c 、z ， ( k p z ) o ) = i 凼f z 似) 一去r 7 疵f 凼f z 似胁， 对每个z 都是连续的 k a 。s ；万2 然z ( r ) l ， k u q ) n x o 0 ：( 2 1 工= a 。f 0 盯 蚍) = 叫+ 0 一) 【酏一q ，o 一瓦1r p ( f ) 刎 2 c a _ i - 。p ( i g ( f f l ，o ，o ) p + - 去f p ( t ) d t “一一型丝) 0 c c 2 ) 当工= a ，c 0 时把条件 ( 3 1 2 ) ，( 3 l 3 ) 改进为： s g n ( x ) ( g ( x ) - 刃 0 g ( 力i c b e l i e v e 6 5 3 0 s i n a e o m 1 5 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 毕业论文 第三章一类d l i 腼g 型方程周期解的存在性 实际上当f = 0 ，g ( x ) = a s i n x 0 o ) 时，经典强制摆动方程通常是不能 满足条件( 3 1 3 ) ，( 3 1 4 ) 的在文 1 5 中的结论虽然依赖一个复杂的不等式， 但仍然不适合强制摆动方程 本章应用不动点等理论讨论了一类d u f f i n g 型方程在更一般非线性项g 情况下周期解的存在性 3 2 预定义 对于一个给定的t o ，设c ( n 表示所有在盂上连续的周期为r 的实值函 数，工i ( r ) 表示所有在r 上周期为ti e i 在区间【o ，明是l e b e s g u e 可积函数的集 合设c ( d 表示所有在c ( n 中连续可微函数的集合c 2 ( 巧表示在c ( 乃中 所有二阶连续可微函数的集合r 仃) 表示对任意的工f ( t ) 有有限范数 i n i ：= 砖r 陋) 问i 并赋以内积 仁力：= 专f 双f ) 烈f ) a t 生成的的h i l b m 空间 对于一个给定的c r ，设工是线性算子 l x = 工+ a + 工 本章将研究以下形式的d u f f m g 型方程 厶( f ) + g ( t f ，z ( t f ) ，一( f f ) ) = p ( f )( 3 2 1 ) 其中f o 是时滞，g 是连续的，周期为t ，并满足i j p s c h i t z 条件 i g ( f ，x 2 ，y ：) - g ( t ，毛，m ) i 彳i 屯- , , , i + b l y ：一乃 b e l i e v e 6 5 3 0 s i n a c o m 1 6 ( 3 2 2 ) 毕业论文 这个条件蕴含下面的不等式 第三章一类d u f f i n g 型方程周期解的存在性 i m p 日g ( t ，五圳：f r s 彳l 爿+ 纠叫+ c ( 3 2 3 ) 任意x 掣( d 的均值；由渤g 积分定义为；= ；r 坪) 摩 x 能够由它的f o u r i e r 级数所确定 这里待j ，缈= 等以及 工= 颤甩) p ”， 颤彪) = ；r 工( f 弦“疵 因此，烈o ) = ；，因为工是实值的，议叫) 是烈以) 的完全共轭令 工c ( d ，三表示l l 9 子集，且 z = 缸一i ：x g l 因而有工= 舅+ 膏当工菪( 乃时如果当薯) ，曰( d 使得同样定义的声( d 对任 意的口e 声( d 有 f x ( t ) q ( t ) d t = 一ly q q ) a t 那么y 就是工的弱导数( 记为) ，取z = z - - 乞，则工就是连续的，这里 z ( 0 5j y ( t ) d t f e 五 _ b e l i e v e 6 5 3 0 目i n a e o m 1 7 毕业论文 同理如果工，z p ( r ) 使得 第三章一类d u 伍m g 型方程周期解的存在性 f x ( t ) q ( t ) d t = f z ( t ) q ( t ) d t 对所有的g e 歹( 乃，那么z 就是x 的弱二阶导数( 记为，) x 能被取为连续微分 设h 是r ( t ) 的子集，由任意的x c f i ) 且弱导数一 2 ( ，d 组成在h 中 内积定义为 范数定义为 似力嚣= 协力：+ 扛，y ： i i n l 。- - 4 n i ：+ 删了- - i # + - 1 1 ： 在青中有著名的s o b o l e v 不等式【1 6 】 器) 1 2 西7 2 ：2 因而在罾中强收敛蕴含一致收敛而且青是完备的，下面将证明 命题3 2 1 膏是h i l b e r t 空间 证明：设 _ ) 是豆中的一个c 缸c h y 序列，存在y 弘( t ) 使得当n 寸m 时， l l y - 4 1 1 ：- - - 0 ，由上知存在工仨e ( n 使得当n 一。时陋一毛0 2 - - 4 , 0 对于任意的 q 多口) ，似，q ) ：= 一似，g ) ：，对任意的一都成立因而当i t - - - ) e o 的极限 是，0 ，q ) ：_ - - ( y ，g ) ：，从而在p ( d 就有y = ，这就说明了工詹 b e l i e v e 6 5 3 0 , 豳, a c o m 1 5 毕业论文 注记3 2 2 由s o b o l e v s 不等式知 第三章一类d u f f i n g 型方程周期解的存在性 俐壶v l 上 对任意的f r 成立因此，一个点的赋值是在詹上的有界泛函因而如果一序 列 工。) 在青中弱收敛到( 记为毛3 ) 那么它就是逐点收敛到的由 b a n a e h - s t e i n h a u s 定理， ) 在詹上是有界的，又由以上的不等式知，缸。( f ) 是 函数的一个一致有界序列 对于缈日，令 l 【】( f ) t g ( t f 。_ c ，( f f ) ，矿o f ” 命题3 2 3 ：给定一个连续函数g ：r 3 呻r ，周期为t 设存在 a ，b ，c 【o ，) ，当f ，x , y r 条件( 3 2 3 ) 成立，那么当妒h 时g ，【纠l 2 ( t ) 证明：对任意的h ， i i s , t ￥, l l l ：陟i + 印7 i + c 0 ：c + 厨呲 所以g f 眇】l 2 ( t ) 下面介绍一个螽的子空间令d 是h 的子空间， 内积定义为： d = 协c 1 ( 3 ：，h ) b e l i e v e 6 5 3 0 s i n a c , o m 1 9 毕业论文 范数删。定义为 第三章一类d u f f m g 型方程周期解的存在性 仁，j ，) 口= ( 工，y ) 。 = 。 命题3 2 4 d 是一个1 y 1 l b e r t 空间 证明方法类似于命题3 2 1 ，只是用序列饥 和瓴 分别替代玩，和纯”) 注记3 2 5 由w m h l g 盯不等式叫嘲：m l ：知 o , l l x l l 。s 挑当石西 又由s o b o l e v 不等式可知 俐去 当工西，如果一个序列瓴，在6 上弱收敛到而( 仍然记为工。一w 而) ，那么毛7 逐 点收敛到0 序列瓴) 依然在詹弱收敛到而，因而对所有的口声( d ，有 ! i - m h a 。( - - 毛，q 。) 。= 一姆( ，g ) 。= 瓴，g ) 。= 磊，g ) 。= ( 而，q ) 由上可知矗也逐点收敛到而 令p l l ( t ) ，存在唯一的一个函数9 已( t ) c 螽，存在弱二阶导数 矿( t ) ，并且满足线性微分方程 t z ( t ) = p ( f ) ( 3 2 4 ) 而且当p c ( r ) 时矿0 2 ( 乃用p + 工e 胃替代工日代入( 3 2 1 ) 得到相当的 方程 b e l i e v e 6 5 3 0 n n e e o m 2 0 毕业论文 第三章类d u f f m g 型方程周期解的存在性 厶+ & 【尹+ 明= 多( 3 2 5 ) 方程3 2 5 解的存在性与下面方程 l x + g , + 了+ ，】= 多 在r ( d 中解的存在是一致的在p ( 乃中存在一个标量r r ，一函数t 西 使得工= t 是上面方程的解转而，这同样相当于找到一个标量r r ，一函数 te d ，使得z = x r 同样地也是方程 i j + 墓【矿+ 并+ ，】= 0( 3 2 6 ) 在p ( d 以及 夏【尹+ z + r 】= 歹 ( 3 2 7 ) 的解为了简化符号，令g f i 明= g f 印+ z + r 】那么在p ( d 中方程( 3 2 6 ) 变为 厶+ 莓，冈= 0( 3 2 8 ) t i 百( 3 2 7 ) 采用下面的形式 蚕， 明= 芦( 3 2 9 ) 3 3 主要定理及证明 对于一个给定的，r ，方程( 3 2 8 ) 相当于方程 ( 栉2 t d 2 一加扰一1 ) 量( 再) = 垂，【卅( 弹) 对任意的栉z o 令 b e l i e v e 6 5 3 0 s i n a c o m 2 1 毕业论文 如果记 第三章一类d u f 血g 型方程周期解的存在性 g f ，( 堋= 。荟。，雨酉1j 两引荆 ) 则对任意的工厅 表示卷积运算符号 心) ：e z x o ，而吉丽 g f ，( 力= y * g 。i x 3 3 1 西上的收缩原理 l i p h i t z 条件( 3 2 2 ) 蕴含条件( 3 2 3 ) ，又由命题3 2 3 ，当缈e h 时 g f 【纠r ( r ) 因此g r ，：膏一西c 费，因而g ，殃西到其自身因而当 工= 西是g f ，在西上的一个不动点时，苫是( 3 2 8 ) 在z 2 口) 中的解 定理3 3 1 设g ：帮_ r 是一连续函数，使得当f e r ，似力e r 2 g ( t ，五y ) 周 期为t ，令a ，b e 【o ，叫，c e r 使得 国2 + 1 i 一2 + m i n 3 2r a m 3 一占，c 2 ) 国+ t 一+一1 i ，c a 2 + 占2 国2 ( 笪再r 吐_ ( 3 3 2 ) 且满足l i p h i t z 条件( 3 2 2 ) 又设p 口( d ，r r ，存在唯一一个连续可微t 周 期函数，均值为o ，且有弱二阶可微# r ( d ，那么就是方程( 3 2 8 ) 在 2 ( 乃中的一个解，并且 t 2 舰g ， ( 3 3 3 ) 毕业论文 第三章一类d u f f m g 型方程周期解的存在性 在r 口) 中对任意的，r 叮) 成立，如果p c ( n 那么c 2 ( d 证明：对任意工，j ，百如果有 岐，o ) 一g f ，( x ) 卜 z 、 o 仃2 i 垂，l y 】o ) 一香。口】( 功f n z 、 o j s 仃2l k ，【) ，卜g f ，融蛭 这里弘。s u 郴p ，皤石2 ( 0 矿2 + n 鬲4 0 9 4 丽j i l_ t z 、l o 【以出一l j + 以国c 。 那么可得 如果c 22 3 1 1 国 如果。： 3 一三 国 0 g f ，( 力一g f ，( x ) l l 。s 虽= i 习莎一x l l 。 因此，当( 3 3 2 ) 满足时，g f ，勘上的一个收缩，因而得到一个唯一不动点 百，x r 由b 髓a c h 和p i e a r d 的连续逼近( 3 3 3 ) 给定， 因为矿卫( r ) ，上述结论能得到以下推论 h 醴i c v e 6 5 3 蜓蛐也 2 3 毕业论文 第三章一类d u f f m g 型方程周期解的存在性 推论3 3 2 设g ：r 3 一矗是一连续函数，使得当t r ，o ，) ，) r 2 时 g ( t ，工，y ) 周期为t 又设c r ，以矗【o ，) 使得( 3 2 2 ) ，( 3 3 2 ) 式对一切f 矗成 立那么，令，r ，p z ( 乃，存在一函数z r e c a ( 1 0 且均值为r ，弱二阶导数为 z 口( 刃，使得对实数砟r ，z = z r 是下面d u f f i n g 型方程在口( 乃的解 ，+ d ) + j ( f ) + i r ( f 一巧x ( t f ) ，o f ”= p 9 ) + 砖 时滞f r 而且如果p c ( 刃，那么z r c 2 ( 7 3 常数屯定义为 1 ， t = 去【g ( f ，o ( f ) ，z p ) ) 一p ( t ) d t ( 3 j 3 4 ) 守恒摆动方程 ，+ a s i n x = p ( f ) ( 3 3 5 ) 这里a r ，强制p ( t ) 是连续的且周期为t ，能够被用于说明( 3 2 8 ) 可能无 解，( 3 2 9 ) 也一样( 比如，当，r ，t 0 时) 例如，如果实数项在强制p ( t ) 的 f o u r i e r 级数过大，那么摆动将在其不动点上难以确定，也就不会有周期运动( 见 【1 7 】) 当多 夏，k 】：r r ，方程( 3 2 9 ) 对于某些，r 是满足的并且能够得到 对原始方程( 3 2 1 ) 以下的解决 推论3 3 3 对于前文的定理，如果当某些rcr 时有声= 夏，陴】，那么就存 在一个连续可微且在p ( 乃中有弱二阶导数的函数，此函数亦是方程( 3 2 1 ) 在 0 ( 乃中的解而且如果p c ( 2 3 ，那么解就是二阶连续可微的 现在对条件的研究会得到一些，尺使得t = o ( 例如不仅解决7 ( 3 2 8 ) 而且解决了( 3 2 9 ) ) 引理3 3 4 在前文的定理中，如果在矗中r ，那么在西中专而 证明：由收缩原理知，集合 ：r e r ) 是在西的一个( 弱紧) 球，那么存在一个 毕业论文 第三章一类d u f f m g 型方程周期解的存在性 子序列 t 乙使得当一斗。，一对_ 弱收敛于一个在西的元素因此 由注记3 2 5 知， _ ) ：， ) 二均是一致有界序列，各自逐点收敛到而，矗因此 对所有的碍声( 乃，由l e b e s g u e 的控制收敛定理知 熙( 厶j ，g ) ：= 一。l i m 。( ，z 。+ + _ ，q ) ：= - ( 磊+ + 而，q ) ：= ( z x o ，g ) ： 舰( g f ，。【_ 】，q ) ：= ( g f 。，】，g ) ： 因为+ g k 】，g ) ：= o ，当h n ，那么当行时极限有 ( 如+ & 。【划，q ) a = 0 ， 当g 户( d 由唯一性知，工= 是下面方程在西的唯一解 恤+ g f ，。m g ) ：= o 因而有而= 现在介值定理就能够用于证明方程( 3 2 9 ) 解的存在性( 例如当r r 时 疋= o ) 因而得到定理3 3 1 的下列推论 推论3 3 5 如果以下不等式成立 理；烈缈+ + r 矿+ 群) s 哥s ，u 。p s ( l 矿+ + r ，矿+ z ) ， ( 3 3 6 ) 那么方程( 3 2 1 ) 存在一个连续可微的解，并在卫( n 中弱二阶可微，而且如果 p 是连续的，那么解就是二阶连续可微的， ( 3 3 6 ) 要求的条件在大多数情况下都很难计算，而蕴含条件( 3 3 6 ) 的 芦的一个先验界将能够马上得到 毕业论文 第三章一类1 ) e f f m g 型方程周期解的存在性 3 3 2 芦的一个先验界由( 3 2 2 ) 知 i 爵， 卜蚕，【g ：，( 曲i 亍1r k ，【】( f ) 一g f ， 嘭，( 瑚( f ) p s 专r 捌r ( 力一【g ：，( 瑚( f 她 r b 。i + ；r 丑k 一【嘭，( 功y ( f ) 陋 s 厕忙一暖，l 。 、= ；芦7 歹窆g 一够，( 刮f s 厨8 一捌。薹( 钉 ：璺一敝眦 ( 3 3 7 ) 因此( 3 3 6 ) 满足如果对一个工西，一些n n 有 骠藓，【暖，( 瑚+ 钏g f ，一4 1 。 芦 _ s u p s , ，【g ：，o ) 】一凡0 g f ，( 力一4 。 r 月 一 b e l i e v e 6 5 3 0 s i n a e e r a26毕业论文 第三章一类d u f f i n g 型方程周期解的存在性 丑：是一 当x = 一妒有g f ，( 力= o ，因而( 3 3 6 ) 满足对于一些雄n 有 唔磊，【g ：，( 1 ，) 】+ m l 芦s 磐夏，【( - 力】- 以i 刎口， ( 3 3 8 ) 这里 1f 羲。，( 嘭，( - 训2 毒j ：g 。【暖，( - 咖陟 得到易于应用的一个结论： 定理3 3 6 设函数，：五- 4 r ，均值为歹，周期为t 在【o ，刀上l e b e s g u e 可积对于一个给定的c r ，设9 是线性方程，+ d + 工= p 一芦的连续可微 解，且均值为0 当f r ，“，y , x x ，弘) r 2 ，a ，b 【o ，叫时使得 口= 这里m = 等，令函数g ：r 3 _ r 是连续的周期为t ，使得 如果 悟o ，而，y 2 ) - g ( t ，而，x ) l - 4 k 一而l + 召k 一咒 i n f r g r 融9 + r ，们+ 删】芦s 掣手( f ，矿+ ，力一五】， b e h e v e 6 5 3 0 s i n a c o m 2 7 毕业论文 第三章一类d u f f m g 型方程周期解的存在性 这里 季( f ，妒+ ，) = 吾r g o ，口( f ) + r ( f ) ) 西， l 训。= 弓r p ( r ) + 矿9 ) 1 2 西# ， 五：上、历丽； 一社 那么d u f f i n g 型方程 工( f ) + c f ( f ) + 工( f ) + g o - z ，x ( t - r ) ，o f ) ) = p o ) 带有时滞f r 。有一个连续可微周期为t 的解，且解是二阶可微的，并在 【o ，刀区f a - l e b e s g u e 可积如果p 是连续的，那么解还是二阶连续可微的 例3 3 7 如果口e r ，带有对滞f r 的d u f f i n g 型万程 ，+ ，( f ) + 雄) + 1 3 c o s 2 0 r ) h 1 0 + x 2 ( t f ) + ( x 3 2 0 f ) ) = 口+ s i n f 使得c = 1 ，丁= 2 万( 因此= 1 ) ，妒( f ) - - - - - - c o s t 以及 g ( f ，五y ) = l c o s 2 ( t ) l n o + 工2 + y 2 ) 。 又因为 i l n ( 1 + 霹+ 以) 一螂+ 砰+ 衍) 怿 她一而| + k y , d 当“，乃) 如，耽) r 2 ，那么 k ( f ，而，儿) 一g ( t ，玉，咒) ls 【k 一而i + k 一乃b ， 因而当4 = 曰= 吾( 3 2 2 ) 满足而且声= 詈 1 ，i l 酬= 1 ，五= 学， 赚酏，矿+ 唧，) - 螬击c ( 嘟2 r ) i n 0 + ( ，一s f ) 2 + s j n 2 f ) d r b e h 。6 5 3 硼 a 2 8 毕业论文 第三章一类d u 伍n g 型方程周期解的存在性 赠击r 。( c o s 2 t ) h o + 卅陋巾2 + s i n 2 t ) d t ：1 i n 2f r c o s 2t d t 6 万 ：土i n 2 6 万 以及 翟戤伊+ r 矿) = 翟击r 4 ( c o s 2 t ) 螂竹一c o s t ) 2 + m r , = t ) d t 2 因此，由前面的定理可知，当去l n 2 + 兰= 箬口 o o 时d u f f i n g 型方程存在 oj 个周期为2 石的解 上面的例子不能满足条件( 3 1 4 ) 因而不能应用已有文献如 1 3 和 1 5 结果得到该结论 b e l i e v e 6 5 3 0 s m a c o m 2 9 毕业论文 参考文献 参考文献 1 s f u c i k s , v k ，v i c 盯v p e r i o d i c s o l u t i m s o f t h e e q u a t i m 窘+ g ( f ) = p o ) g a s o p i sp e s t w a t ，v 0 1 1 0 0 ，1 6 0 - 1 7 5 ，1 9 7 5 2 s t r u w e 乩m u l t i p l es o l u t i o n so fa n t i c o e r c i v eb e u a d a r yv a l u ep r o b l e m sf o ra c l a s so fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fs e c o n do r d e r j o u r n a lo fd i f f f a s ，v 0 1 3 7 ：5 8 5 - 2 9 5 ，1 9 8 0 3 s h e k b t e rl ab o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fp e r i o d i ct y p ef o ran o n l i n e a r s e c o n d - o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( t r a n s l a t i o no fd i f e r e n t i a l n y eu r a v n e n i y a ) v 0 1 2 2 ，1 0 8 0 - 1 0 8 4 ，1 9 8 6 4 l o u d - p e r i o d i cs o l u t i o n so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fd u f f i n g t y p e p r o c u s - j a p a ns e m i n a ro nd i f f e r e n t i a la n df u n c t i o n a le q u a t i o n s 1 2 2 - 2 2 4 ，( m i n n e a p o l i s ，m i n n ，1 9 6 7 ) n e wy o r k ，1 9 6 7 【5 o p i a lz s u rl e as o l u t i o n sp e r i o d i c a le q u a t i o nd i f f e r e n t i a l 鲁+ 卵) = 球) b u l l a c 8 d ，p o l 。s c i s e r s c i m 8 也a s t r p h y s 。 v 0 1 8 ，1 5 1 1 5 6 ，1 9 6 0 6 3t 仁关于亚线性d u f f i n g 方程的研究应用数学学报，v 0 1 1 2 ，4 4 9 - 4 5 5 ，1 9 8 9 7 reg a i n e sa n dj l m a w h i i l ，c o i n c i d e n c ed e g r e e a n dn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，s p r i n g e r - v e r l a g , b e r l i n ，1 9 7 7 8 i t rd i n g n o n l i n e a ro s c i l l