（基础数学专业论文）代数几何中的三种拓扑.pdf

摘要 代数几何中，给定一个局部有限形的复数域c 上的代数概形，其上可 以附三种不同的拓扑它们分别是z a r i s k i 拓扑，d t a l e 拓扑和复数域诱导的 一般拓扑在这篇论文中，我们首先利用局部环和凝聚层讨论了z a r i s k i 拓 扑和复数拓扑的一些关系然后我们讨论了它们的差别，并且介绍了d t a l e 映射我们将会学习d t a l e 局部环以及它们与其他两种局部环的关系在 最后一节，我们叙述了一个d t a l e 拓扑和一般复拓扑的比较定理这可以 视作s e r r e s1 9 5 6 年论文g d o m d t r i eal g d b r i q u ee tg d o m d t r i ea n a l y t i q u e 的类 比最后，我们将证明一个非常重要的定理一r i e m a n n 存在定理，并用它证 明比较定理所有证明可以在s g a 系列中找到，我们希望能补充部分细 节 a b s t r a c t t h r e ed i f f e r e n tt o p o l o g i e sc a nb eg i v e nt oa na l g e b r a i cs c h e m eo v e rc l o c a l l yo ff i n i t et y p e t h e ya r et h ez a r i s k it o p o l o g y , t h e6 t a l et o p o l o g ya n d t h ec o m p l e xt o p o l o g y i nt h i sp a p e r ，w ef i r s td i s c u s st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n t h ez a r i s k it o p o l o g ya n dt h ec o m p l e xt o p o l o g yw i t ht h e i rl o c a lr i n g sa n d c o h e r e n ts h e a v e s t h e nw ed i s c u s st h e i rd i f f e r e n c e s ，a n di n t r o d u c et h ec o n c e p t o f6 t a l em o r p h i s m w ew i l la l s os t u d y6 t a l el o c a lr i n g sa n dt h e i rr e l a t i o n st o t h eo t h e rt w ok i n d so fl o c a lr i n g s i nt h el a s ts e c t i o n ，w es t a t eac o m p a r i s o n t h e o r e mb e t w e e nt h e6 t a l et o p o l o g ya n dt h ec o r n p l e xt o p o l o g y , w h i c hc a nb e r e g a r d e da sa na n a l o g u eo ft h em a i nt h e o r e mi ns e r r e s1 9 5 6p a p e rg d o r a g t r i e a l g d b r i q u ee tg d o m d t r i ea n a l y t i q u e a tt h ee n d w ew i l lp r o v eav e r yi m p o r t a n t t h e o r e m ，t h er i e m a n ne x i s t e n c et h e o r e m ，a n du s ei tt op r o v et h ec o m p a r i s o n t h e o r e m 0i n t r o d u c t i o n i na l g e b r a i cg e o m e t r y , w es t u d ya l g e b r a i cv a r i e t i e sa n dm o r p h i s m sb e t w e e n t h e m l o c a l l ya na l g e b r a i cv a r i e t yi st h ez e r ol o c u so fs e v e r a lp o l y n o m i a l s i fx i s an o n s i n g u l a rv a r i e t yo v e rc ，w ec a na l s or e g a r di ta sac o m p l e xm a n i f o l d ，w h i c h m e a n sw ec a nu s ea n a l y t i cm e t h o dt os t u d yt h e m i ng e n e r a l ，g i v e na na l g e b r a i c s c h e m exo ff i n i t et y p eo v e rc w ea s s o c i a t ei tw i t hac o m p l e xa n a l y t i cs p a c ex h a l g e b r a i cs c h e m e sa r ee q u i p p e dw i t ht h ez a r i s k it o p o l o g y ，w h i l ec o m p l e xa n a l y t i c s p a c e sa r ee q u i p p e dw i t ht h eu s u a lt o p o l o g yc o m i n gf r o mt h ee u c l i d e a nm e t r i co n c t h e r ea x em a n yr e l a t i o n sb e t w e e nt h e s et w ot o p o l o g i e s t h e r ei sa l ld i c t i o n a r y b e t w e e nt h ec a t e g o r yo fa l g e b r a i cs c h e m e sa n dt h ec a t e g o r yo fa n a l y t i cs p a c e s ，l i k e r e g u l a rm a pa n dh o l o m o r p h i cm a p ，r a t i o n a lf u n c t i o na n dm e r o m o r p h i cf u n c t i o n ， c o h e r e n ts h e a v e sw i t hr e s p e c tt od i f f e r e n tr i n g e ds t r u c t u r e s ，a n ds oo n f u r t h e r m o r e ， t h e r ea r ed e e pr e s u l t sr e l a t i n gt h e m i nf s l l ，s e r r es h o w su st h a tf o rap r o j e c t i v e v a r i e t yx ，t h ec a t e g o r i e so fc o h e r e n ts h e a v e so v e rx a n dx ha r ee q u i v a l e n t ，a n dt h e s h e a fc o h o m o l o g ya r et h es a m ef o rc o h e r e n ts h e a v e s t h i st h e o r e mi sr e g a r d e da s ac o m p a r i s o nt h e o r e mo fa l g e b r a i cs c h e m e sa n da n a l y t i cs c h e m e s f r o mt h ep r o o f i n 【s1 】，w es e et h a tm o r ee m p h a s i ss h o u l db ep u to nc o m p a r i n gt h et o p o l o g i c a l p r o p e r t i e sa n dl o c a lr i n g s i nf a c t ，u n l i k el o c a lr i n go fc o n t i n u o u sf u n c t i o n s ，t h e l o c a lr i n go fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n sh a sb e t t e ra l g e b r a i cp r o p e r t y t h i si so n eo ft h e r e a s o n sw h yc o m p l e xg e o m e t r yb e h a v e sl i k ea l g e b r a i cg e o m e t r y o nt h eo t h e rh a n d t h ez a r i s k it o p o l o g yi sm u c hc o a r s e rt h a nt h eu s u a lc o m p l e x t o p o l o g y t h i si m p l i e sm a n yd i f f e r e n c e so nt o p o l o g i c a li n v a r i a n t s ，f o ri n s t a n c e ，t h e c o h o m o l o g i c a ld i m e n s i o n s h e r ei st h eq u e s t i o n ：w h a tt o p o l o g yc a nb a l a n c eo u r i n t u i t i o nf r o md i f f e r e n t i a lg e o m e t r ya n dt h ea l g e b r a i ca s p e c t sr e f l e c t e db yt h ez a r i s k i t o p o l o g y ? t h ea n s w e ri s6 t a l et o p o l o g y s t r i c t l ys p e a k i n g ，i ti sn o tt h eu s u a l t o p o l o g yw eu s e ；i ti sas i t ea sd e f i n e db yg r o t h e n d i e c k h eu s e s6 t a l em o r p h i s m so v e r xi n s t e a do fo p e ns e t s w bd e n o t et h es i t eo fxw i t ht h e6 t a l et o p o l o g yb y 咒t f o r n o n s i n g u l a rv a r i e t y , i ti se a s yt os e et h a tt h e4 t a l et o p o l o g yi sf i n e rt h a nt h ez a r i s k i t o p o l o g ya n dc o a r s e rt h a nt h ec o m p l e xa n a l y t i ct o p o l o g y i ng e n e r a lc a s e s ，w eh a v e t oa n a l y s et h el o c a lr i n g so ft h e6 t a l et o p o l o g y g e o m e t r i c a l l y , 6 t a l em o r p h i s mi sl i k e l o c a li s o m o r p h i s m i tc a nb er e g a r d e da sag e n e r a l i z a t i o no fo p e ne m b e d d i n ga n d f i n i t ec o v e r i n gm a p a f t e rw eg i v et h ed e f i n i t i o no fs h e a fo n 咒t ，w eu s eh o m o l o g i c a l a l g e b r at og e ts h e a fc o h o m o l o g y t h e nw ep r o v et h ec o m p a r i s o nt h e o r e mf o r6 t a l e t o p o l o g ya n dc o m p l e xa n a l y t i ct o p o l o g yo v e rs m o o t hs c h e m e ，w h i c hs t a t e st h a tf o r l o c a l l yc o n s t a n ts h e a fw i t hf i n i t es t a l k s ，n om a t t e rw h i c ht o p o l o g yw eu s e ，w eg e t t h es a m es h e a fc o h o m o l o g y f s e et h e o r e m4 4 ) t h ep r o o fi sb yi n d u c t i o n i tb e g i n s w i t hap r o o fo ft h ei s o m o r p h i s mo ft h ec o h o m o l o g yg r o u p si nt h ef i r s td i m e n s i o n t h i sc o m e sf r o mt h er i e m a n ne x i s t e n c et h e o r e mi nt h e o r e m4 7 w h i c hs a y st h a t t h ec a t e g o r yo ff i n i t e6 t a l em o r p h i s m so v e rxi se q u i v a l e n tt ot h ec a t e g o r yo ff i n i t e a n a l y t i cc o v e r i n g so v e rxh j i no r d e rt op r o v et h i st h e o r e m w en e e dt ok n o wm o r e a b o u t6 t a l em o r p h i s m s ，t of i n do u tw h i c ht o p o l o g i c a lo ra l g e b r a i c a lp r o p e r t i e sc a n b ep r e s e r v e d t h o u g ha l lt h ep r o o f sc a nb ef o u n di ns g a w ew o u l dl i k et od oi ti nd e t a i l i n t h i sp a p e r ，w es t a r tw i t ht h ep r e l i m i n a r yo fa l lt e r m i n o l o g ya n dc o n c e p t si n t h ef i r s ts e c t i o n ，e s p e c i a l l yt h et h r e et o p o l o g i e si n v o l v e d ：t h ez a r i s k it o p o l o g y , t h e c o m p l e xt o p o l o g y ，a n dt h e6 t a l et o p o l o g y i nt h es e c o n ds e c t i o n ，w ew i l lr e c a l ls e r r e s t h e o r e mi nf s1i ，a n dg i v es o m ec o u n t e r e x a m p l e st os h o wt h a tt h ec o n d i t i o n si nt h i s t h e o r e mc a nn o tb eo m i t t e d i ns e c t i o n3 ，w ef i r s ts t u d yt h el o c a lr i n g so fr e g u l a r f u n c t i o n sa n dl o c a lr i n g so fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n s ，a n dt h e ns h o wt h a tt h e ys a t i s f y t h ef a i t h f u l l yf i a tc o n d i t i o n ( s e et h e o r e m3 8 ) t h i sa l g e b r a i cp r o p e r t yh e l p su st o p r o v em a n yt o p o l o g i c a lp r o p e r t i e ss h a r e db ya l g e b r a i cs c h e m e sa n da n a l y t i cs p a c e s ( s e et h e o r e m3 1 ) t h e nw et u r nt of i n dt h ed i f f e r e n c e so fl o c a lr i n g s t h em a i n d i f f e r e n c ei st h a tt h ei n v e r s et h e o r e md o e sn o th o l df o ra l g e b r a i cs c h e m e s ow e l o o kf o rt h ea l g e b r a i cp r o p e r t yo fm o r p h i s m sw h o s ej a c o b im a t r i xd o e sn o tv a n i s h t h i sl e a dt oo u rd e f i n i t i o no f6 t a l em o r p h i s m i nt h el a s tp a r to fs e c t i o n3 ，w el o o k c l o s e ri n t ol o c a lr i n g so f6 t a l et o p o l o g ya n dt o p o l o g i c a lp r o p e r t i e sp r e s e r v e du n d e r 4 t a l em o r p h i s m s i nt h el a s ts e c t i o n ，w es t a t ea n dp r o v et h em a i nt h e o r e m ，t h e c o m p a r i s o nt h e o r e mi nt h e o r e m4 4 w bw i l la l s op r o v et h er i e m a n ne x i s t e n c e t h e o r e m j 1 l j o n v e n t l o n s s i n c et h eo b j e c t sw es t u d ya r ea l g e b r a i cs c h e m e so v e rc ，w i t h o u ts p e c i f i c a t i o n ，a l lt h e d e f i n i t i o n sa n dt h e o r e m sa r eg i v e nf o ra l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l dkw i t hc h a r a c t e r i s t i c z e r o 1 ，1 - 5 0 m ep r e l i m i n a r i e so na l g e b r a i cg e o m e t r y w eu s et h ed e f i n i t i o no fs i t ei ng r o t h e n d i e c k s1 9 5 7t o h 6 k up a p e rt oe x p l a i nt h e t h r e ed i f f e r e n tt o p o l o g i e s d e f i n i t i o n1 1 as i t eti sa c a t e g o r yci nw h i c hf o re a c ho b j e c tu o fc t h e r e i sad i s t i n g u i s h e ds e to ff a m i l i e so fm a p s ( 矾一u ) 讵j ，c a l l e dt h ec o v e r i n g so fu ， s a t i s f y i n gt h ef o l l o w i n ga x i o m s ： f o ra n yc o v e r i n g ( 巩一u ) ja n da n y p r o d u c t s 矾x uve x i s t ，a n d ( 矾x uv _ m o r p h i s mv_u i nc t h ef i b r e y ) 诞，i sac o v e r i n go fv ( b ) i f ( 阢一u ) t ji sac o v e r i n go fu ，a n di ff o re a c hi i ，( 一阢) j i sa c o v e r i n go f 阢，t h e nt h ef a m i l yo fc o m p o s i t i o n ( 一) f ，ji sac o v e r i n go fu f o ra n yui ne ，t h ef a m i l y ( u 旦v ) c o n s i s t i n go ft h es i n g l ei d e n t i t ym a pi s ac o v e r i n go fu t h es y s t e mo fc o v e r i n g si sc a l l e dag r o t h e n d i e c kt o p o l o g yo fc t h eu n d e r l y i n g c a t e g o r yco fas i t et w i l lb ed e n o t e db yc a t ( t ) b ya b u s e ，w eo f t e ns a yt h a t c = c a t ( t 1h a st o p o l o g yt g i v e na t o p o l o g i c a ls p a c ex i nt h eu s u a ls e n s e ，w ec a na s s o c i a t eas i t et oi ta s f o l l o w i n g l e tt o p ( x ) b et h ec a t e g o r yw h o s eo b j e c t sa r et h eo p e ns u b s e t so fx ， 2 a n dw h o s em o r p h i s m sa r et h ei n c l u s i o nm a p s f o re a c ho p e ns e tu w ec o l l e c ta l l f a m i l i e s ( 玩一) t 1w h i c hi sa no p e n i n gc o v e r i n go fui nt h eu s u a ls e n s e i nt h i s c a s e ，i ti se a s yt oc h e c kt h a tf o ra n yt w os u b s e t sva n dv 7o fu ，t h ei n t e r s e c t i o n ynv 7i st h ef i b r ep r o d u c ty uv 7 w bw i l ln o td i s t i n g u i s hxa sat o p o l o g i c a l s p a c eo ra sa s i t ea n dw i l lu s et h e s et e r m si n t e r c h a n g e a b l e i no r d e rt oc o m p a r ed i f f e r e n tt o p o l o g i e s ，w ed e f i n ec o n t i n u o u sm a p sb e t w e e n s i t e s d e f i n i t i o n1 2 ac o n t i n u o u sm a p - 厂：丑一正o ft w os i t e si saf u n c t o rf ： c a t ( t 2 ) _ c a t ( t 1 ) s e n d i n gc o v e r i n g st oc o v e r i n g s a n yu s u a lc o n t i n u o u sm a p s ，：x _ yo ft o p o l o g i c a ls p a c e sc a l lb ec o n s i d e r e d a sac o n t i n u o u sm a po fs i t e s t h ef u n c t o r f ：t o p ( y ) 一t o p ( x ) w i t hf ( u ) = - i ( v ) s e n d sc o v e r i n g st oc o v e r i n g s g i v e nac o m m u t a t i v er i n gaw i t hi d e n t i t y , w ed e f i n et h es p e c t r u mo fa ，s p e ca ， t ob et h es e to f 出lp r i m ei d e a l so faw i t ht h ez a r i s k it o p o l o g y e x p l i c i t l y i foi sa n y i d e a lo fa ，w ed e f i n et h es u b s e tv ( a ) s p e cat ob et h es e to fa l lp r i m ei d e a l sw h i c h c o n t a i no t h ez a r i s k it o p o l o g yo ns p e cai sd e f i n e db yt a k i n ga l ls u b s e t so ft h e f o r mv ( a ) t ob et h ec l o s e ds u b s e t s t h em a x i m a li d e a ls p e c t r u mo fa 。s p e c mai s s i m i l a r l yd e f i n e d i tc o n s i s t so fs u b s e t so fm a x i m a li d e a l s i ti se a s yt os e es p e c ma i se q u i p p e dw i t ht h es u b s p a c et o p o l o g yo fs p e ca e x a m p l e1 3 l e tkb eaf i x e da l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l d 仡a ni n t e g e r 0 l e t r = k x l ，z n 】b et h ep o l y n o m i a lr i n gw i t hnv a r i a b l e s w ed e f i n et h e 顿扎e 扎一s p a c eo v e rk ，a 2 ，t ob es p e c r a c c o r d i n gt oh i l b e r t sn u l l s t e l l e n s a t z ，t h ec l o s e d p o i n t si na 2a r ei no n et oo n ec o r r e s p o n d e n c ew i t ht h e 扎一t u p l e so fe l e m e n t so fk t h e yf o r m st h es p a c es p e c mr ，d e n o t e db y 钟as u b s e tyo fa 2i ss a i dt ob e a l g e b r a i ci ft h e r ei saf a m i l y 五 i e jo fp o l y n o m i a l si nrs u c ht h a tyi st h ec o m m o n z e r ol o c u so ft h e s ep o l y n o m i a l s i nt h i sc a s ew ew r i t ey = v ( 厶) b yh i l b e r t s n u l l s t e l l e n s a t z ，yi st h ec l o s e ds u b s p a c es p e c mr 饥( ) o fa 2 ，w h e r e9 t ( 五) i st h e r a d i c a lo f ( ) t h i si st h eb a s i cm o d e lo fa i l i n ev a r i e t yo ra f f i n es c h e m e s e ef h l 雒雒 e x a m p l e1 4 l e tc nb et h ec o m p l e xs p a c eo fd i m e n s i o n 礼，e q u i p p e dw i t ht h e e u c l i d e a nm e t r i ct o p o l o g y w es a yas u b s e tyo fc ni sa n a l y t i ci ff o re a c hp o i n tz yt h e r ee x i s tan e i g h b o r h o o duo fza n da f a m i l yo ff u n c t i o n s _ 五) 州h o l o m o r p h i c o nus u c ht h a tynu = z u i f , ( z ) = 0f o ra l li ，) t h i si st h eb a s i cm o d e lo fa n a l y t i c s p a c e ，s e ea p p e n d i x2i n 【h o rs e c t i o n s p a c e f o rt h ee x a c td e f i n i t i o no fa n a l y t i c i i 9i n d 】o rl a t e ri nt h i ss e c t i o n 3 i na l g e b r a i cg e o m e t r y , m u c hi n f o r m a t i o nc a nb er e a df r o mt h ec o h o m o l o g yg r o u p s o fs h e a v e so nx s i n c ew eh a v ec h a n g e dt h ed e f i n i t i o no ft o p o l o g y , w en e e dt om a k e s o m em o d i f i c a t i o n st ot h ed e f i n i t i o no fs h e a f l e ts e tb et h ec a t e g o r yo fs e t s d e f i n i t i o n1 5 ap r e s h e a fo fs e t so nas i t eti sac o n t r a v a r i a n tf u n c t o r 厂：c a t ( t ) _ s e t t h a ti s ，e a c ho b j e c tui nc a t ( t ) i ss e n tt oas e t 丁( 矿) ，a n de a c hm o r p h i s m 妒：u _ vi ss e n tt oa m o r p h i s m 厂( 妒) ：y ( v ) _ y ( u ) s u c ht h a t ，( 妒。砂) = 厂( 妒) o 厂渺) a n dy ( i d u ) = i d z ( v ) w eo f t e nc a l l 丁( 妒) t h er e s t r i c t i o nm a p a s h e a fo ns i t et i sap r e s h e a f 子t h a ts a t i s f i e st h es h e a fc o n d i t i o n ： ( s ) ：y ( u ) i i ，( 阢) j 歹( 阢c ，) i e l ( i d ) e l x l i se x a c tf o re v e r yc o v e r i n g ( 玩_ 矿) 拒f s h e a fa n dp r e s h e a fo fa b e l i a ng r o u p so rr i n g sa r es i m i l a r l yd e f i n e d ap r e s h e a fm o r p h i s m ( a l s os h e a fm o r p h i s m ) i san a t u r a lt r a n s f o r m a t i o n 矽：，一9 ， i e ，f o re a c ho b j e c tui nc a t ( t ) ，t h e r ei sam o r p h i s m 矽( v ) ：，( u ) 一夕( u ) s u c h t h a tf o ra n ym o r p h i s m 妒：u yi nc a t ( t ) ，t h ed i a g r a m 厂( y ) 塑g ( y ) 妒上妒上 歹( u ) 蛆歹( ) g i v e nat o p o l o g i c a ls p a c exi nt h eu s u a ls e n s e ，t h es h e a fc o n d i t i o n ( s ) i sj u s t t h ec o n d i t i o nw ea r ef a m i l i a rw i t hw h e nw et a k et o pxa st h es i t e f o rs i m p l i c i t y , w ef i r s tr e s t r i c to u ra t t e n t i o nt ot o p o l o g i c a ls p a c ew h e n e v e rw e h a v et ou s ep o i n t si nt h es p a c e f r o md e f i n i t i o n1 1 8 ，w ew i l lg e n e r a l i z ea l lt h e f o l l o w i n gc o n c e p t st o6 t a l es i t e e x a m p l e1 6 g i v e na n ys e ta ，t h ec o n s t a n ts h e a f 不o nat o p o l o g i c a ls p a c ex i s d e f i n e da sf o l l o w i n g f o ra n yo p e ns e tui nx ，w ed e f i n ej ：a ( u ) = 。( 们，p r o d u c t o fai n d e x e db yt h es e t7 i - o ( u ) o fc o n n e c t e dc o m p o n e n t so f 以a n df o ra n yo p e n e m b e d d i n gu _ y ，死( y ) _ 凡( u ) i st h er e s t r i c t i o nm a p d e f i n i t i o n1 7 l e t 厂b eap r e s h e a fo nx ，a n dl e tzb eap o i n to fx t h es t a l k 疋o f 歹a tzi s c o l i u m 乒 ( u ) w h e r e t h ec o l i m i ti st a k e no v e rt h es y s t e m u ) o f n e i g h b o r h o o d so fzv i at h er e s t r i c t i o nm a p s a ne l e m e n to f i sr e p r e s e n t e db ya p a i r ( 以f ) i nw h i c hu i sa no p e nn e i g h b o r h o o do fza n dfi sa ne l e m e n to f 厂( u ) s u c hp a i r ( f ) i sc a l l e dag e r mo fs e c t i o n so f 广a tz 4 d e f i n i t i o n1 8 ar i n g e ds p a c e ( x ，o x ) i sat o p o l o g i c a ls p a c exa n das h e a fo f r i n g so xo ni t t h er i n g e ds p a c e ( x ，o x ) i sal o c a l l yr i n g e ds p a c ei ff o re a c hp o i n t z x ，t h es t a l ko x 。正o fo xa tzi sal o c a lr i n g d e f i n i t i o n1 9 l e tab eal o c a lr i n gw i t hm a x i m a li d e a lm a 1 al o c a lh o m o m o r p h i s mo ft w ol o c a lr i n g si sa r i n gh o m o m o r p h i s mf ：a 哼b s u c ht h a ti - 1 ( m e ) = m a 2 am o r p h i s mo fr i n g e ds p a c e sf r o m ( x ，o x ) t o ( o f ) i sa p a i r ( ，桦) c o n - s i s t i n go fac o n t i n u o u sm a pl ：x _ ya n dam o r p h i s m 鲁：o y _ f o xo f s h e a v e so fr i n g so ny 3 am o r p h i s mo fl o c a l l yr i n g e ds p a c e si sa m o r p h i s m ( ，孝) o fr i n g e ds p a c e s s u c ht h a tf o re