（工程力学专业论文）抛物线形楼梯的内力计算与结构分析.pdf

南置大学硕士掌位论文擅要 抛物线形楼梯的内力计算与结构分析 摘要 垂直交通工具楼梯是现代建筑必不可少的重要组成部分。曲线形楼梯，不仅 可达到垂直交通的目的，更丰富了空间的结构布局，对建筑有良好的装饰效果。目前 最常用的曲线形楼梯多是纯圆形，曲线类型单一。因纯圆形楼梯的设计方法比较成熟， 所以工程设计中很少灵活地使用其他曲线形楼梯来丰富建筑空间。 为了提供更多的曲线形状，使建筑形体更加丰富，增强建筑效果和空间美感，完 善楼梯设计理论，本文大胆创新，提出了抛物线形楼梯这一全新命题。推导并建立了 抛物线形楼梯的计算理论和计算方法。应用v i s u a lc + + 将理论计算编成程序，便于工 程设计应用，增强了可操作性。应用a n s y s 有限元软件对本文提出的计算方法做了比 较分析，结果表明运用本文方法能得到相当准确的内力数据。分析了与纯圆形楼梯内 力分布规律的异同。分别考虑抛物线形状变化和楼梯层高变化对内力的影响，在详尽 的比较研究和分析中得出这些参数对内力的影响规律。最后对对称性楼梯做了进步 的简化，得出了更加简便的理论计算公式。对建筑结构理论及结构设计具有一定的指 导意义。 关键词：抛物线形楼梯内力分析计算程序 南昌大掌硕士掌位论支 扫r 要 c o n s t r u c t i o na n a l y s i sa n di n t e r n a lc a l c u l a t i o no f t h es t a i r si nt h ef o r mo fp a r a b o l a a b s t r a c t v e r t i c a lt r a f f i cm e a n s s t a i r si sa ni m p o r t a n tp a r to fm o d e r nb u i l d i n g s b e s i d e s v e r t i c a lt r a f f i cm e a n s c u r v i l i n e a rs t a i r sc a ne n r i c hs p a c ec o n s t r u c t i o nd i s t r i b u t i o n a n dh a v eg o o dr e s u l to no r n a m e n to fb u i l d i n g ，a tp r e s e n t ，t h em o s tc o m m o n l yu s e d c u r v i l i n e a rs t a i r si sc i r c u l a rs t a i r sa n dt h et y p eo fc u r v i t i n e a ri ss i n g l eb e s i g n m e t h o do fc i r c u l a rs t a i r sj sr i p e s oh a r d l yu s i n go t h e rc u r v i l i n e a rs t a i r se n r i c h c o n s t r u c t i o ns p a c e f o rp r o v i d i n gm o r ec u r v i l i n e a rf o r m ，e n r i c h i n gc o n s t r u c t i o ns h a p e ，e n h a n c i n g b u i l d i n ge f f e c ta n ds p a c ea e s t h e t i cf e e l i n g p e r f e c t i n gt h et h e o r yo fs t a i r sd e s i g n ， t h i sp a p e ra d v a n c e su s i n gt h ep a r a b o l i cs t a i r s t h eg e n e r a lp r i n c i p l eo ns t r u c t u r a l d e s i g no fp a r a b o l i cs t a i r si sd e r i v e d ，a n dc o r r e s p o n d i n gp r o g r a mi sw r i t t e ni nv i s u a l c + + p r o g r a m m i n gl a n g u a g ef o rt h ep u r p o s eo ft h ec o n v e n i e n ta p p l i c a t i o n o ft h e p r i n c i p l et oe n g i n e e r i n gd e s i g n ac o m p a r a t i v ea n a l y s i si sd o n eb e t w e e n t h er e s u l t s f r o mt h em e t h o do fc a l c u l a t i o ni nt h i sp a p e ra n da n s y ss o f t w a r e ，w h i c hp r o v e st h e c o n s i d e r a b l ea c c u r a c yi ns t r e s sd a t ad r a w nf r o mt h em e t h o d i nt h i sp a p e r c o m p a r i s o nb e t w e e nt h ed i s t r i b u t i v e i a w so fs t r e s so f c i r c u l a rs t a i r sa n do f p a r a b o l i cs t a i r si sa l s om a d e c o n s i d e r i n gt h ev a r i a t i o n si ns h a p eo fp a r a b o l as t a i r s a n di ns t o r y - h i g ho fs t a i r sa f f e c t i n gs t r e s s ，t h er u l eo fi n f l u e n c ee x e r t e db ya b o v e v a r i a t i o n si sc o n c l u d e db yt h ed e t a i l e da n a l y s i so fc o m p a r i s o n t h em o r es i m p l i f i e d f o r m u l ai sg i v e nb ys i m p l i f ys y m m e t r i c a lp a r a b o l i cs t a i r si nt h ef u r t h e rs t u d y i ti s v a l u a b l ea n dh e l p f u lf o rt h es t r u c t u r ed e s i g n k e yw o r d s ：p a r a b o l i c s t a i r ss t r e s sa n a l y s i s c o m p u t e rp r o g r a m i i 独创性声明 妒8 9 9 6 5 本人声i j j j 所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 州究成果掘我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得寿爻季或其他教育机 构f l j 学位或证二恬m 使_ 过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均已，l ；论文t i j 作r 明确的说明并表示谢意。 垮。立沦文作者签名：琢跏 签字嗍：州年期只 学位论文版权使用授权书 本学位沦文作者完全了解壹量苤壁 有关保留、使用学位论文的规定， 仃权保刚j f 向图家有关部门或机构送交沦文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 f j 恻。本人授权 盎墨姜鲎 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 用：进 t 检索叮以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适片j 奉授权书) 学位论史作并签名 褫 篙。i _ l j j ：山咕n f j 月响 翮j 签名：丁戊夯 签字二| 期： 伽年f 月j 6f 1 学位沧文f 1 ：者毕、后去l 勺：；l 弓省；工p 昨辱凄竞氛专叟；寸饭司 l i f t ：f j 位：；工始；叩睁珲履窆萄设冲么琵话：n 为。，9 岁，6 湎讯地址：1 p 7 芩毒9 了犯j p 。j邮编：1 ) 班f 哆 南昌大掌硕士学位 i 演 1 1 研究问恶的背景 1 1 1 楼梯概述8 】【2 5 l 第一章绪论 从人类的历史来看，无论是制造工具还是制造房屋，初衷都是从使用出发，楼 梯的产生也是如此远古人类的房屋，无论是穴居还是巢居，它们都同地面有着定 u 的高度差，人们为了出入的方便，便在斜坡上或树干上做一些处理，后来就演变成了 楼梯。那时的审美还处于一种不自觉的状态，楼梯的使用功能占绝对的主导地位。一 i i 建筑满足了人类的基本生理要求之后，心理要求就上升为主流。建筑形式也由简单， 简易变的丰富而美观了，然后建筑体系也走向成熟、烦琐，最后被新的形式所取代。 楼梯的发展演变始终伴随着人类营造的一切活动，经历了漫长的过程。 在古代早期建筑中，空间很不发达，大部分的房屋都是一层建筑，很少量的建 筑4 有楼梯，即使有了楼梯，也往往作为建筑的附属部分，通常设嚣在建筑的阴暗角 落，狭窄而封闭。表现为使用功能单一、形式简单固定、材料构造也都是有限的简单 类型。 中世纪的公元十五到公元十六世纪的欧洲文艺复兴时期，在新的文化思潮下， 建筑活动也变的活跃丰富起来，进入了一个崭新的阶段。从前的桎梏型体被打破，平 面布局和空间布局都有了很大的进步，并在这个时期出现了旋转形楼梯，也就是说从 中世纪，r 始出现了曲线形楼梯开放是当时重要的特点。 早期文艺复兴时期楼梯是封闭的，随着时间的推移，楼梯形体和空间的作用逐 渐被人们所认识，楼梯从封闭走向开放，本质的特性被充分发现，它独特的形体和高 差变化所带来的魅力得到挖掘，成为建筑重要的构成元素。晚期文艺复兴时期，楼梯 较多的应用于建筑外观。例如：威尼斯总督附、道利亚府第( p a l a z z a d o r i a ，1 5 6 4 。 设计人r o e c o l u r a g o ) 、热那亚大学校舍( p a l a z z ad e l l su n i v e r s i t a ，t 5 6 3 ，设计 人b a r t o l o m e ob l a n c ) 他们门厅里的楼梯上部开敞，不同高程的空间交流穿插，形 成了丰富的层次，楼梯既作为空间的装饰同时也成为空间的纽带。这期间楼梯摆脱了 南昌大学硕士掌位论文 厚重的墙体，甚至成为建筑景观的一部分。 到了十六世纪初期，曲线形楼梯发生了巨大的变化。螺旋楼梯间的中心柱消失 了，取而代之得是中空楼梯井，这是一个革命性的突破。水平空间和楼梯空间相互融 合，在连续螺旋上升的过程中，可以体现强烈的垂直向上的感觉，这种宽大的楼梯被 视为文艺复兴时期的重大建筑成就之一。双折式楼梯的梯段相互平行，通过平台连接 并完成行进方式的逆转，在文艺复兴时期曾一度取代螺旋楼梯成为受欢迎的形式。此 外还发展了双螺旋楼梯，之后又有围绕方形梯井的三跑楼梯，梯井完全开放，空间充 裕、流通，异形楼梯的类型丰富多变。随着历史的发展，社会的变革，楼梯不仅仅起 到交通的功用，人们在楼梯满足了交通功用这个基本要求之后，从美观，布局等精神 层次的审美角度深化了楼梯的使用功能，从而也突现了楼梯在建筑中的重要地位。 巴洛克风格的出现，出现了一批宏伟壮观的大搂梯，伴随着豪华的室内装修， ) - 始探索楼梯的仪典性。大楼梯实体和空间规模要解决的问题就是妥善处理好正交体 系中的斜向平面问题。 随着近代工业化社会的到来，楼梯的作用已经大大增强，使用上也不局限于原 有的单一的交通功能，自身体系也不断完善和扩大。高层建筑的中庭是最具活力的空 间，而楼梯在其中是晟具活力的要素，有的空间甚至是围绕着楼梯展开的，承担着多 种功能，曲线形楼梯得到了迅速发展。 2 0 世纪，人们应用钢材和混凝土做成多种形状的楼梯，更加充分利用了钢的韧 性和混凝土的可塑性，结合具体的建筑环境设计，使楼梯具有了更多很优美的曲线和 丰富的轮廓，也使空问更灵活多变，成为现代建筑设计的重要特征。景观楼梯、旋转 楼梯除了交通功能以外，自身也成为环境的亮点。在建筑内部，不同类型的楼梯有蓿 不同的视觉效果；在高级的民用建筑或别墅住宅中，小尺度的各种类型的异型楼梯往 符结合家屠功能，造型灵活多变，更是受到了建筑师、结构工程师及人们的青睐。在 公共建筑中，华丽气派的楼梯结合景观绿化、休息观娱，成为大空间中的小空间，形 式丰富，n 女i s ：上海商场剧场采用的是中柱式圆旋楼梯，上海美术馆二心圆旋楼梯， 陕诬西安宾馆应用s 型楼梯，香港高架道中空式圆旋楼梯，日本琦玉大宫市的高架立 交采用了双连对折交叉式楼梯，在日本的神户，墙承对折式悬挑楼梯应用于高层住宅 等等。无论是国内，还是国外，无论是民用住宅，公共建筑，还是厂矿企业工业建筑， 都体现了异形楼梯发展的形体多样化。 2 南昌大掌司睦学位论文 1 1 2 现有楼梯的主要分类1 8 1 1 2 5 】 楼梯按照不同的条件有很多种，各有侧重，具体分类情况如下： 按梯段的数量分：单跑楼梯、双跑楼梯、三跑楼梯和n 跑楼梯。 按使用通途：来分：普通楼梯、景观楼梯、消防楼梯等。 按使剧者来分：残疾人楼梯、老年人楼梯、儿童楼梯和普通楼梯等。 梭结构形式分：褴浇式楼梯、支撑式楼梯、吊挂式楼梯和悬挑式楼梯等。 按楼梯外观形状及受力形式可大致分为： 1 直线型楼梯：型悬挑楼梯，u 型悬挑楼梯，l 型悬挑楼梯，v 型悬挑楼梯 等四种悬挑楼梯等； 2 螺旋楼梯：纯圆弧形楼梯，上端有直段板或平板的螺旋楼梯，中间有休息平 台的螺旋楼梯；或中柱式螺旋楼梯，中空式螺旋楼梯等； 3 其他二次曲线形楼梯：椭圆楼梯等； 1 1 3 研究现状及常用方法1 1 1 1 2 1 1 3 1 t 4 删1 0 1 曲线形楼梯的结构设计有很多种方法，有些方法普遍应用于楼梯结构设计中，有 些方法较多出现在理论研究方面，还有待于应用于工程实际。我们这罩蔫重介绍在i l l 线形楼梯结构设计及计算中常用的几种方法，并对现在研究的现状做简要的说明。 钢筋混凝土曲线形楼梯中最常用的是纯圆形螺旋楼梯，早在上个世纪5 0 年代就 柯一些学者从事研究，提出过多种计算方法，他们把纯圆形螺旋楼梯简化成一根水平 的弧形曲梁，忽略了纯圆形螺旋楼梯的空间特性。何乐姆司( a m c h o l m e s ) 考 虑了纯圆形螺旋楼梯的空间特性，却假定荷载的重心是沿着楼梯的中心线作用的，这 与摩根( va m o r g a n ) 、麦托克( a h m a t t d c k ) 、丁大钧、丁大业介绍的方法 比较起来就有些不足之处。因为实际上，在均稚荷载作用下，荷载的重心线与楼梯的 中心线星平行而并不是重合的，后面几位研究者提出的公式考虑了荷载对于楼梯中心 线有个偏心距。【8 l ( 一) 空间曲梁法h 2 1 f 3 | 空f b j 曲粱方法是目前计算纯圆形螺旋楼梯最常用的方法，也考虑了以上的空间特 性和荷载偏心等问题。该方法把螺旋形楼梯梯段板的问题简化成空间曲梁的问题，从 南昌犬掌司i 士掌位论文 而达到简化计算的目的。螺旋楼梯是多次超静定结构，内力变化复杂，截面e 六个内 力在沿中轴线不同位置处有各自不同的变化规律，并互有影响，没有明显的规律可循。 j 总旋转角不同或支座条件略有改变时，内力变化相当敏感。把螺旋楼梯简化成沿中 轴线的窀问简支曲梁利用力法计算，计算简便，很容易编程计算，而且受力概念比较 清晰，并能符合实际设计的安全要求。 空间曲梁法的优点：现行的螺旋形板壳设计计算方法的理论( 空间曲梁法) 近似的将 板壳形心线视为空间螺旋线，板壳面荷载简化为线荷载，作用在与形心线平行的荷载 作用线上，推导空问曲梁的内力公式。这种方法理论比较完善，计算相对简便，实用。 应用结构力学中常用的超静定结构计算方法力法，思路清晰，便于理解。工程设计可 、一 以直接套用公式计算内力，也编制出了相应的设计手册和计算表格，因此得到了广泛 的应用。现行的各种螺旋楼梯结构计算配筋大都是依此作为理论依据。 目前已经对于两端固定，两端半铰支。一端固定一端半铰支，一端固定一端铰支 等不同的支承以及不同半径，不同截面尺寸，不同层高，不同的荷载等情况下的螺旋 楼梯分别进行了内力计算，分析整理，并列出了每一截面的空间六种内力的图表i ”。 工程设计中，只要确定了螺旋楼梯的各种参数，查图表即可找出内力，依据内力即可 计算配筋。因此只要确定了几个原始的参数，根据现有资料查图表就可以计算了某 实际螺旋楼梯的内力，计算配筋安全合理。经过实践检验此种方法设计出来的楼梯完 全可以满足实际工程需要。所以以空间曲梁法为理论依据的设计手册大大简化了工程 实际发计螺旋楼梯的计算量，提高了设计速度及准确率，体现了该方法的优点。 另外，螺旋楼梯的内力与支承条件也有密切的关系，不同的支座嵌固，会有不同 的内力分布与之相应，通过实验研究i ”，比较论证得出结论为：钢筋混凝土螺旋楼 梯内力分都及内力大小与支承条件密切相关。假定支座为理想固定或理想铰支所得计 算内力不同，特别是切向弯矩和径向弯矩差别较大。切向弯矩和径向弯矩在两端固 定支座条件下数值较小且分布均匀，因此设计中应采取合理的构造措旎，实现接近固 定的支座条件。 为慎重且节约资源，应按不同支座情况计算内力，视实际支承条件 给予调整，但未必要按各峰值内力配筋并沿板通常设置，在详细分析不同支座条件内 力的条件f ，可按内力分布规律，合理配置钢筋。给出了口( 两种支承条件下应力 的比值) 与螺旋楼梯总旋转角的关系为工程设计考虑支座影响，调整内力提供了实 辟j 的参考依据，设计，等等。这项研究更加完善了空间梁的理论，并使得本理论能够 很好的处理内力与支承的问题，更能够反映实际的内力情况，从而根据本理论能够做 刮更加合理的配筋，也使空问梁的应用更加趋向完善，安全与经济。 4 南矗大掌硕士学位 e i 文 第一章绪论 空间曲梁法的缺陷：尽管以空间曲梁法作为理论依据的应用非常广泛，但空间粱 法中仍然存在着缺陷，空间曲梁法以线代板，在离开板壳形心线处的实际内力与计算 内力必然存在误差，并且空问曲粱法不能反映螺旋楼梯的空问效应和局部平衡状态， 也无法螺旋了解螺旋楼梯沿梯宽截面上的内力与变形如何分布，对于大梯宽或有局部 约束，局部荷载作用的情况，空间曲梁法更是无法反映其真实情况，存在更大的误差。 相关文献【5 】做了这方面的研究：利用板带样条法做了另外两种计算模型，进行内 力分析计算，并将结果与应用空间曲梁法分析计算的内力结果做比较发现：沿板宽，j 向的内力误差与螺旋楼梯的旋转角，层高，均布荷载的大小无关；与螺旋楼梯的旋转 半径，梯宽及半径与梯宽的比值有密切的关系，半径增大，误差减小，梯宽增大，误 差增大，比值增大，其他条件不变时，误差减小。 并有大量的研究对这种结果提出了一些配筋措施，现行内力计算方法为弹性理 论，大都为弯，剪，扭，拉，压分别配筋，简单叠加，其配筋偏于保守。对于一般的 情况，可以不分条计算，但应在现行方法计算的内力按板宽均匀分布的基础上，对内 侧板带降低叩的总内力配筋；对外侧板带增加叩的配筋；中间板带不调整。野反映 内，外板带内力调整的幅度。 ( 二) 螺旋板有限元法1 1 7 虽然用有限元分析螺旋板的内力分布更加精确，但这方面的研究却很少一般一 维有限元程序给出的螺旋板内力分析结果，实际工程使用不是很方便。 螺旋板有限元法的概念：把螺旋楼梯的力学模型按空间螺旋板计算，采用正交曲线坐 标中螺旋板几何方程，并加以修正，按位移模式推导了螺旋板单元剐度矩阵，考虑横 向剪切变形的影响。利用有限元法，求解各结点内力。 螺旋板有限元法的优点：该方法计算精度相当高，大量研究已经做了这方面的比较 研究，这些研究表明：螺旋板有限元法位移精度相当高，4 1 8 与8 1 8 网格的计算位 移误筹几乎可以忽略不计，2 1 8 网格与8 1 8 网格的计算结果相比，其最大相对误差 不会超过1 ，如果只求位移值，2 1 8 网格就可以得到满意的计算精度。内力大小相 对较底，这是位移有限元的弱点。可以考虑空间效应和局部平衡效应，可以计算出 螺旋板卜各点内力的分布规律，为结构配筋提供了更符合实际的内力情况。使得在沿 截面方向配筋时更加合理。并揭示了螺旋楼梯的内圈内力集度高，最大位移不是在楼 梯中断截面上，这些结果无法通过空间曲梁法得到。 见外，一些研究又进一步细化了螺旋板单元的计算。当计算的螺旋楼梯为t 型截 南昌大掌硕士掌位论文 而时，不计翼缘刚度影响的有限元法计算的极值不是被过商估计就是被过底估计，其 内力的极值与考虑翼缘副度的有限元结果的误差至少为l o ，其中主要内力之一( 由 内梁弯矩) 相对误差竟高达5 0 1 0 0 。这样使得有限元法的计算更加精确与完善。 螺旋板有限元法的缺陷：虽然该方法有上面这么多的优点，它仍有不足之处。 板式有限元法，公式与空间曲梁法比较多而且长，计算烦琐，受力途径也不甚明了， 内力分析的结果难于处理。工程实践还有待发展。 “麦托克”( a h m a t t o c k ) 、“土桥由造”( 日本北海道大学教授) 等人提出应 按壳板理论分析，这在理论研究是必要的，但目前要实际应用还有一定的困难。 虽然螺旋形楼梯根据空间曲梁法计算已经编制了内力图表，但在实际工程中还是 有些工程查不到对应的内力图表。相关文献就根据现有的计算公式，编成计算程序， 只要输入基本参数，便可以求出内力系数表。这样设计的螺旋形状可以更丰富，计算 也很简便。1 3 7 l 带有直线段的螺旋楼梯或是几种纯圆形组合的螺旋楼梯也做了一定的研究。这类 器形楼梯可以看作是直线形楼梯和纯圆形楼梯的组合。 卜面介绍了螺旋楼梯的设计现状，这里的螺旋形是纯圆形。也有相关文献1 9 1 做了 椭圆形楼梯的一些研究。采取了计算与构造相结合的方法，进行了必要的计算简化 和假定在椭圆形旋转楼梯的内力计算时，把固定坐标转换成动点坐标，推导了相应 的汁算公式，并把该计算应用于某商贸中心的大型椭圆形旋转楼梯，通过对该楼梯竣 工后的实际检测表明，楼梯的各项指标( 控制截面的应力、楼梯的变形等) 均满足设 计要求。 1 2 选题的意义 虽然曲线形楼梯得到了广泛的使用，但其形式局限于纯圆形、直线形与纯圆形 组合。s 形，几种不同半径的圆形组合等等都可视为纯圆形的简单变异，( 从t 面所 列举的一些例子可以看到) 这方面的研究在理论上也有很多文献做了相应的论述。近 来也有人做了椭圆形的楼梯等方面的研究，他们结合工程实例，应用计算与构造n f i 。, 合的方法推导了内力计算公式。椭圆形楼梯的计算理论公式还有待继续完善，其实际 应用还不是很广泛，是个别情况，目前还是刚冈4 起步。曲线形楼梯真j f 已经广泛应厅j 的有纯圆形，所以对于不同形状的曲线形异形楼梯的研究空间是很大的，在这方面还 6 南昌大学磺士掌位论文 是有很多的研究要做。 实际工程应用中，因为没有其他异形楼梯的理论，也没有这方面的结构设汁手册， 很多工程师只得选用现有形状。另外从给定的楼梯空间上来说，应用其他的曲线形楼 梯或许能够达到更为美观更能节约空间的效果。可见没有其他曲线形楼梯的理论研 究，没有其他曲线形楼梯的理论依据指导工程设计实践，限制了工程设计。为了异形 楼梯有更为开阔的应用空间，为了给异形楼梯的形体变化上提供更多的选择，以达到 美观，和谐，曲线形楼梯的理论研究是很有必要的。所以无论是从理论方面还是从实 际工程应用方面，本课题都具有一定的价值。 2 3 课题的研究内容 本文在现有的纯圆形螺旋楼梯的计算理论上，进行了大胆的创新，提出了设计抛 物线形楼梯的命题，主要研究内容如下： 1 以力法作为理论依据，建立抛物线形螺旋楼梯的力学计算模型，推导出 计算抛物线形楼梯各个截面内力的理论计算公式。 2 利用v i s u a lc + + 程序设计语言将内力计算公式程序化，根据几个基本的参 数便可以迅速的求解出楼梯梯段板任意截面的六组内力，给出一种简便 的计算抛物线形楼梯内力的方法。 3 将本文所编写的程序计算出的内力数据与a n s y s 下计算的内力数据比较分 析，验证本文方法的准确性及可靠性。为工程应用提供了更准确的内力 数据。 4 由基本参数入手，对于影响梯段内力的因素做详尽的比较分析研究，得 出影响因素及其规律。 南昌大学硕士学位论文 第二章力学模型 在计算纯圆形的螺旋楼梯时，把梯段板简化成空间曲梁，计算结果比较合理。因 此本文也是应用空间曲粱法，把空问抛物线形梯段板简化成空间曲梁，利用结构力学 中的力法对其进行受力分析，并应用数学的高斯积分法求解，具体做法下面一详细 介绍，先简单回顾力法和高斯积分法。 2 1 力法概述 力法是求解超静定结构的最基本的方法，在解超静定结构中遇到的最关键的问题 就是计算多余未知力的问题，在力法中不会把全部未知力等同看待，而是先求出多余 未知力即基本未知量，把超静定问题转化成静定问题从而解决问题。 我们把原超静定结构中去掉多余约束后得到的静定结构称为力法的基本结构，把 基本结构在荷载和多余未知力共同作用下的体系称为力法的基本体系。这时力法的基 本体系已经转化成为静定结构。将基本体系转化为原超静定结构的条件是：基本体系 沿多余未知力方向的位移与原结构相同，即： ，= 0i = 1 疗( n 为多余未知力的个数) 这个方程( 组) 即为求解多余未知力时补充的方程力法的基本方程。是根据变形 条件建立的。 因为变形条件足在结构承受的荷载q 和多余未知力爿共同作用所得，根据叠加 原理，上式可转化为： j l j x l + j 1 2 2 + 十4 。+ 】口= 0 五l x i + 盈2 2 2 + + 8 2 一+ 4 l2 p5 0 ( 2 1 ) 6 7 。l x i + 6 。2 x2 + 。+ 6 嚼+ n 。= 0 其中巧。为j 方向单位力在i 方向作用产生的位移，。为荷载在i 方向产生的位移。 出于基本结构是静定结构，所以计算这些系数和自由项并不困难。公式如下： = 心+ 避扣+ 墚知 沼z ， 南昌大学硕士掌位论文 氏= j 挚+ 挚+ j 挚 ( 2 3 ) m ，9 为单位力( 力矩) 引起的内力： m ，p ，q 。是荷载p 作用引起的内力： m 。，q ，为j 方向的作用力引起的内力； 由基本方程求出多余未知力爿，后，利用平衡条件便可求出原结构的支庭反力和 任意截面的内力。也可以用叠加原理求内力： m f = m 1 xl + m l x2 + + m 。x n + mp q ，= q 】x l + q 2 x 2 + - + q 。x 。+ q 。 【2 4 ) n d = n 1 x l + 2 肖2 + + n h + 口 其中m 。，q 。表示任意d 截面的弯矩( 扭矩) 。剪力，轴力；m ，q ，n ，分别 表示基本未知力x ，= l 时对任意的d 截面所产生的弯矩( 扭矩) ，剪力，轴力；m 。，q 。，n 。 分别表示荷载对任意的d 截面所产生的弯矩( 扭矩) ，剪力，轴力。 2 2 高斯求积法概述 在内力分析中，微积分有着广泛的应用，我们知道，对于定积分：，( ，) = ff ( x ) d x 如果能求出被积函数f ( x ) 的原函数f ( x ) ，就可以用n e w e o n l e i b n i z 公式： f 。厂( z ) 出= f p ) 一，和) 来计算，但是在实际的内力分析计算中，用这种方法求积分值 i h 困难。比如：f ( x ) 的原函数有时不能用初等函数表示，也就是说f 【x ) 属于刁i 可积类 型，或者“x ) 的原函数存在，但该原函数相当复杂且很难求出结果，基于以上的原因， 本文对于很难求解的积分函数采用高斯积分法。 高斯积分法的计算公式为： ( 工胁m 窆4 ，( 坼) ( 2 5 ) 其中：a 。为高斯积分的求积系数，x 。为高斯积分的求积节点值。可以根捌下 表选取： 南基大学硕士学位论文 n x a 女 o 0 0 0 0 0 0 0 02 0 0 0 0 0 0 0 10 5 7 7 3 5 0 31 0 0 0 0 0 0 0 2 0 7 7 4 5 9 6 70 5 5 5 5 5 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 8 8 8 8 8 9 3 o 8 6 1 1 3 6 30 3 4 7 8 5 4 8 0 3 3 9 8 8 1 00 6 5 2 1 4 5 2 0 9 0 6 1 7 9 80 2 3 6 9 2 6 9 4 、 0 5 3 8 4 6 9 30 4 7 8 6 2 8 7 0 0 0 0 0 0 0 00 5 6 8 8 8 8 9 表中n 表示高斯节点的个数。 如果积分区间为【a ，b 】，则令：石：一b - _ a f + b + i a 强：胁) d x = 宰鼽宰h 半) d r ( 2 - 6 ) 高斯积分的精度问题。利用余项r ( f ) 可以描述数值积分公式的精度，也可以用代 数精度说明。若数值积分公式对于一切次数m 的代数多项式，都准确成立，则称该 数值积分公式至少具有m 次代数精度，若数值积分公式对于一切次数s m 的代数多项 式都成立，而对于某个m + 1 次多项式不准确成立，则称此求积公式有1 1 1 次代数精度。 本文中因为积分的上下限并不是1 和1 ，所以采用上式进行计算，考虑到计算精 度，本文采用了2 节点( 具有5 次代数精度) 进行计算。 2 。3 计算的基本假定 1 ) 将楼梯简化为单跨空阊曲梁，以楼梯的中轴线为空间曲梁的计算轴线。虽然用板 式有限元计算精度很高，但计算相当复杂，实践表明，空间曲梁法能符合实际设 计的安全要求，并且该法的受力概念比较清晰。 2 ) 将楼梯支座看作固定端。且在相邻的两支座间的楼梯梯段具有相同的坡度，楼梯 存每一梯段板上是等截面的。 3 ) 困为轴力和剪力对于变形的作用很小，所以在内力计算过程中，忽略轴力和剪力 对变形的影响。 i 0 2 4 坐标系的选择及内力的表示 在抛物线形空问曲梁的内力计算中，利用曲线局部坐标系可以带来许多便利凶 此计算时采用了两种不同的坐标系：固定坐标系和动点坐标系( 自然坐标系) ，并建 立了两种坐标系之间的转换关系。 2 4 1 固定坐标系 以空间曲粱的任意一点作为坐标系的原点0 ，x 轴和y 轴位于空间曲梁水平投影的 抛物线平面内。x 轴通过0 点与投影的抛物线对称轴平行并指向曲梁延伸的方向：j ，轴 + 通过0 点与x 轴垂直，并指向抛物线内：2 轴蛏直向上( 如图2 1 ) 。x ，y ，z 轴随着0 点在曲线上的移动平行移动。抛物线形空间曲粱在固定坐标系下在动点d 处沿x ，y ，2 轴 的分量的参数方程可表示为： 口( 警) 2 + a ( 掣) c o t o - b ( 2 7 ) 2 a s + t a n 口 ，中：，b 分别为楼梯中心线水平投影抛物线方程x = a y 2 + b y 的二次项系数和一次项 系数( 并l b 图形所给的坐标系可知a o ) ； 0 为水平投影抛物线任意点的切线与x 轴所成的夹角； p 为空间曲梁的坡度角，因为假定了楼梯梯段有相同的坡度，所以对于同一段 梯段板妒为定值( 妒= h s 、，其中s ，为梯段板的水平投影总长，h 为层高) ： j 为水平投影抛物线上任意一点d 到原点的曲线长度s = i _ 1 + ( 一) 2 妙； 如果窄问曲梁的参数方程用极坐标表示，则曲线的位置矢量r 为： r ：陋( 墨攀) 2 + 6 ( 掣) ”c o t 0 - bj 咖体 ( 2 - 8 ) 上“z “二“ 式中i ，j ，k 是圈2 1 中0 一x y z 固定坐标系中各轴正方向的单位矢， 2 。4 2 动点坐标系 以宅问曲梁上任意一动点d 为坐标原点，f 轴与空间曲线d 点的切线重合并指向 南昌大掌司e 士掌位论文 n “线增长方向。，轴与空间曲线d 点法线重合指向曲线内侧，p 轴通过空间曲线d 点并睡赢r 轴和。轴的平面，方向向上( 如图2 1 ) 。 图2 一i 固定坐标和动点坐标示意圈 外衙载，作用力及力矩的方向与相应坐标系正向相同取正，反之取负。与各个广义力 相应的广义位移( 两者相乘得正功) 取正，反之取负。 2 4 3 坐标系相互转换 幽固定坐标系分量向动点坐标系分量的转化。首先z 轴不动，将原坐标系绕z 轴 逆时针旋转护进行坐标变换t l ，得到坐标系o x yz 如下( 图2 2 ) ： y 、 a 融： 图2 2 绕z 轴坐标转换图 图2 3 绕y 轴坐标转换图 m 图2 2 可知： x = r + c o s 口y 月= r + s i n x = ，+ c o s ( 口一日) = ，c o s t 2 c o s 0 + ，+ s i n a s i n = b + c o s o + y + s i n 8 y = ，+ s i n ( a 一9 ) = r s i n ac o s 0 一r 4c o s f zs i n 0 = y + c o s 9 一。+ s i n 8 南量大学硪士掌位论文 第= ，f 力学相型 所以有： ；：j = 一c 。o i s n o 口。s i 。n 。o 臼 。y x 。 | i ： = 雕斑扫 l ；降酬 协- ， 再将第一步柯到的坐标系d 一一y z 的y 轴不变，绕少轴顺时针旋转妒进行坐标变 换t 2 ( 如上图2 3 所示) 得到坐标系口一一，即动点坐标系。一删。 z at = r + c o s ( o r + 伊) = ，+ c o s 口c o sg o r4 s i n as i n q 砂i 以有： z l = 。一c o 。m s q p ) ：翌； ： 川鼎三! ：1 c o s f o 0 s i n 妒 耻l 一曼妒：。曼一 q 。 pu r = l t 。by = 】， 南昌夫掌硕士掌位论文第：；+ 章。力掌模裂 c o s 6 p c o s 8 c o s 妒s i n 目 s i n l t 2t i = l s i n # c o s 80( 2 - 1 1 ) i s i n 妒c o s b s i n ( p s i n 秒c o s ( pi 同样，也可以将动点坐标系的坐标系下的分量逆向转化成固定坐标系下的分量，将动 点啦标系的分量进行e 1 变换，再进行t i l 变换，也就是进行t 1 - 1 e 1 的变换，就, t l g , 得到相应的分量在固定坐标系下的表达，又因为这两个矩阵都是正交变换矩阵，所以 满足： 耳1 e 1 = ( t t o = ( t 2t 1 ) r c o s c p e o s 0 一s i n 0 一s i n p c o s 0 7 ( t ) 1 = l c o s o s i n o c o s o - s i n ( p s i n 8i ( 2 1 2 ) s i nc p0 c o s p l 4 南品大掌磺士掌位论文 3 1 变形协调方程 第三章内力计算 对于两端固定的空间抛物线形楼梯，总旋转角为织一o o ( 鼠，o o 分别为平面投影 抛物线两端点的切线与x 轴所形成的夹角) 、楼层总高度为h ，承受的任意外荷载为 q ( s ) 时，这早我们假定q ( s 】是梯段板上的均布力，作用的方向为蛏直向下，简化到宅 闻抛物线上则为均布线荷载，空间抛物线的每个固定端有三个未知反力，三个未知反 力矩，整个结构为六次超静定空间结构体系。应用力法求解该超静定结构，从卜i 端点 处切除约束，体系成为一个静定悬臂空间曲梁，即为应用力法求解的基本静定体系， f 端点的变形协调方程为： 西3 d 2 3 以， 文s 占2 6 岛s d 。6 艿5 6 氏一陲 ( 3 1 ) x l 斗k ：切口0 点处待求未知力及未知力矩， x l x ，：沿x ，y ，z 轴正方向作用的力， z 4 斗x 。：沿x ，y ，z 轴正方向作用的力矩矢； 瓯，( i = l 6 ，j = l 6 ) ：在点0 处单位力x ，= 1 ( 单位力：力和力矩矢) 作用卜，在x ，作用正方向上的广义位移：根据马氏互等定理有：j 。= j 小 ，。( f _ l 6 ) ：为基本静定体系在荷载口( s ) 作用下，在切口处x ，作用正方 向上的位移； 求得的各位移：瓯，。后代入( 3 1 ) 式，即可求得而_ + x 。之值： *砌氟如出“ vnhjjjinihujim 西如最函夙。&如+。 4 十 $ 南岛大学硕士掌位论文 第三章内力计算 a 1 q a 2 v a 3 q a 4 q a 知 a 6 口 3 2 各单位力及荷载对各个截面的作用力 ( 3 ，2 ) 为了求得各个单位力位移值，应首先求出o 点上延各坐标轴正方向上的单位力 及o d 段上的荷裁对手任意的动点d 点所产生的作用力。 3 2 1 单位力对动截面作用力 ：一r - 口( 譬娑) 2 州下c o t o - b ) j - 一_ c o t o - - b - j ：- s t a n 蕊 ( 3 3 ) z az 口2 a 衅蚓= 罔 。， i j k m ? = 一d ox i l = b 掣) 2 “( 了c o t o - b ) 一1 c o t 0 - - b t a n 刮 z “z 口z d 0 一s + t a n 口 c o t 0 一b 2 a 科料吼刚：翻 1 6 ( 3 5 ) 如如知知西知 ，j 函易矗尻正。4 毛也。+ +。+ 4 十 十 十 砌如舢心斯 1j t r f m m m 。l 1 0 i m n ! 苎查兰竺主竺苎竺苎 一! 兰r ! 兰塑竺l 蚓吐啦：二蘸c o t o - b 一e ， 2o 点处沿y 轴正方向作用的单位力x ：= 1 对动点d 的作用力，先求在固定坐标 系一卜的作用力： 即： m ：= 丽i ：= 晔暖m x 2 丁 出s * t 乙a n 妒气c o t s - b ， 。 求得在动点坐标系下d 点作用力的分量：应用( 5 ) ! p ? 霉霉 c o s 缈s i n 0 c o s 0 l s i n ps i n p j j c o t 0 6 2 a 1 k s + t a n 刊 0 ( 3 7 ) ( 3 - 8 ) ( 3 9 ) 3d 点处沿z 轴正方向作用的单位力x ，= 1 对动点d 的作用力，先求在固定坐标系下 的作用力： 1 7 ( 3 - 1 0 ) h h = 1、ji 只0 p 。 rl 1 1 0 l p 掣 叫 ；峄。 掣 五 1lllj 蛇 此 北 m 肼m p，。l = ，_-_tjj_j 以 啦 雕 m m m 。l i l ，2 m 与 口学哗 枷辅 与缈口鬈哗 h = 1，ji 只r 只 p，。l l i o 3 p ! ! 兰兰竺曼兰竺! 竺 一苎苎! 塑丝茎苎 - 一 。一 m ：= 丽i ， m ：= 应用( 5 ) 式求得在动点坐标系下d 点作用力的分量： p ? = f 誊 一= lt 誊1 = i 兰三 m ，f m 。 咐2 蚓吐_ 蚓 j c o t 0 一b 2 a o 4 o 点处沿七轴正方向作用的单位力x 。= 1 对动点d 的作用力： 叫引| 阱材r 乏 o 点上单位力x 。= 1 对动点d 仅有力矩作用，没有力的作用。 5 o 点处沿j ，轴正方向作用的单位力黾= 1 对动点d 的作用力 m ：= 1 8 k 一s + t a n 刊 1 ( 3 1 1 ) ( 3 - 1 2 ) ( 3 。1 3 ) ( 3 一1 4 ) 等 竽 唑：哗堡警 ；分。坠幻卜。 掣型 础如 一 一如 1j- 订 一 o ”吖m _，l n 6 i ， 一 诳 灿 旦 一一孙一一拍一一撕 幕晔 兰乌与 一一撕一孙一知噼哗哗 卵 乳 舢 舳 咖 r一翰一一 一一幻8i一一知 们甜。l l l 1；，llj 2 一 曲 m m m 。、l 南昌大学硕士学位论文 晔褂叱 瑟 o 点上单位力x 。= 1 对动点d 仅有力矩作用，没有力的作用。 6o 点处沿z 轴正方向作用的单位力x 。= 1 对动点d 的作用力 晔褂； m ? = 荔兰 lt - 薹兰 = f i 兰l 3 2 2 竖向均布荷载作用下对动点的作用力 3 22 1 荷载偏心系数 ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 计算o d 段上竖向均布荷载作用下对动点d