（基础数学专业论文）一些数论函数的敛散性及其均值估计.pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 自变量为正整数的函数称之为数论函数或算术函数，研究这些算术函数的均 值是数论这门课程的一个重要研究课题，而许多其他数学问题的求解也可以归结 到算术函数的求解上来 近代数学中的许多重要思想、概念和方法是随着整数性质的深入研究不断 发展起来的十九世纪随着解析数论的形成，算术函数均值的研究对解析数论的 发展越来越重要 本文研究了一些数论函数的均值估计问题，以及一些和s m a r a n d a c h e 相关 方面的问题，主要成果包括以下几方面： 1 研究了数论函数喜器和薹揣的敛散性咂并给出相关1 蹴了龇醐三赫和三揣撇龇施阱绌袱 于这两个函数的一些恒等式 2 设p 为素数，序列e p ( n ) 表示能被几整除的素数p 的最大幂，本文研究 了e 孑( 礼) 的一些混合均值 关键词： 数论函数；均值；h u r w i t zz e t a 一函数；无穷级数 摘要 m e a nv i l u ea n dc o n v e r g e n c eo ns o m ea r i t h m e t i c a l f h n c t i o n s a b s t r a c t ：ar e a l 一v a l u e do rc o m p l e x v a l u e df h n c t i o nd e f i n e do nt h ep o s i t i v e i n t e g e r si sc a l l e da na r i t h m e t i c a lf u n c t i o no ran u m b e r - t h e o r e t i cf u n c t i o n t h e r e s e a r c ho nm e a nv a l u eo fa r i t h m e t i c a lf u n c t i o n si sa ni m p o r t a n ts u b j e c ti nt h e s t u d yo ft h en u m b e rt h e o r y ，a n dt h es 0 1 v i n go fm a 1 1 yo t h e rm a t h e m a t i c a lp r o b l e m sc a nb ea t t r i b u t e dt oc o u n t i n gf h n c t i o no ft h es o l u t i o n w i t ht h ei n d e p t h s t u d yo ft h ei n t e g r a ld e v e l o p m e n t ，m a n yi m p o r t a n ti d e a u s ，m e t h o d sa n dc o n c e p t o fm o d e r nm a 七h e m a t i c sh a v eb e e nc o n t i n u a l l yd e v e l o p e d i nt h e1 9 t hc e n t u r y ，w i t ht h ef o r m a t i o no fa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y ，t h e r e s e a r c ho nm e a nv a l u eo fa r i t h m e t i c a lf u n e t i o n sp l a y sa ni n c r e a s i n g l yi m p o r t a n t r o l ei nt h ed e v e l o p m e n to fa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，、 伦s t u d yt h em e a nv a l u ep r o b l e m so fs o m ei m p o r t a n t a r i t h m e t i c a lf u n c t i o n sa n ds o m ea s p e c t 8a b o u ts m a r a n d a c h er e l a t e dp r o b l e m s t h em a i na c h i e v e m e n t 8c o n t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf 0 1 l ( ) 、v s ： 1 t h ec o n v e r g e n c ep r o b l e m so fs o m ef u n c t i o n sa r es t u d i e d ，a n dt h ep r o p e r t i e s 2 t h ep r o p e r t i e so ft h es e q u e n c e e p ( 佗) ) a n ds o m ei n t e r e s t i n ga s y m p t o t i c f o r m u l a sf o r e 多( 佗) a r eo b t a i n e dw h e r epi sap r i m e ，a n de p ( n ) d e n o t et h e n s z 1 a r g e s te x p o n e n to fp o w e rpw h i c hd i v i d e s 佗 k e y w o r d s ： a r i t h m e t i cf u n c t i o n ；m e a nv a l u e ；h u r w i t zz e t a - f u n c t i o n ； i n 矗n i t es e r i e s i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：碧这盈土指导教师签名：主盏乏卸绔 力谚年月夕日2 锄彩年万月口日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：兽遭善，】 矽砭；年多月汐日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1研究背景与课题意义 当自变量礼在某个整数集合中取值，因变量可取实数值或复数值的函 数可= ，( 礼) ，这种函数称之为算术函数【1 1 ，这类函数的均值，( 咒) 体现出很好 的规律性，它也能够很好的反映这些函数的性质，因此研究这些函数的均值有重 要的意义作为一门古老的数学分支，数论随着科学技术的快速发展，也在不断的 演变发展，并深入到多个数学分支中十九世纪欧拉在数论的研究中引入了分析 的方法，并给出了著名的欧拉恒等式狄利克雷更进一步用分析的方法研究了类 似问题后来，就形成了解析数论这门课程2 】【3 】算术函数的均值估计是数论尤 其是解析数论的重要研究课题之一，是研究各种数论问题不可缺少的工具许多 著名的数论难题都与这些均值密切相关，因而在这一领域取得任何实质性进展都 必将对解析数论甚至数学的发展起到重要的推动作用 罗马尼亚数论专家s m a r a n d a c h e 【4 】在0 n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s 一 书中，提出1 0 5 个尚未解决的数论问题对其中的一些问题进行研究，并给以一 定程度上的解决，是有趣并有一定的理论意义的研究课题 因此，我们应用初等数论和解析数论等知识对几个数论函数的问题进行了研 究，即就是主要研究了数论中一些和式的均值性质，以及它们与一些重要函数之 间的联系 1 2主要成果和内容组织 本文主要研究了一些算术函数的敛散性及其均值估计具体就是研究了函 o 。 ，1 、n o o 1 、礼 数三赫和三龋撇龇麒砸懒世恒弑好翱强 大指数e 孑( n ) 相关的渐近公式等几个方面，主要内容分布在第四至第五章本文 的主要成果和内容组织如下： 1 喊了黼酗三赫和善龋撇数蝴题糯蝴关 1 第一章绪论 于这两个函数的一些恒等式 2 设p 为素数，序列e p ( 礼) 表示能被n 整除的素数p 的最大幂，本文研究 了e 孑( n ) 的一些混合均值 n s z 2 西北大学硕士学位论文 2 1 数论的简介 第二章数论概况 “数论”是一门古老而充满现代魅力的数学学科在编著于纪元前一世纪前 后的我国数学名著九章算术中就讨论了整数，介绍了辗转相除法；在成书于 公元四世纪的孙子算经中给出了被世界数学界誉为“中国剩余定理”的孙 子定理 数论作为一门独立的数学分支出现却是迟至十九世纪初的事人们公 认高斯( c f g a u s s ) 在1 8 0 1 年发表的天才著作算术研究( d i s q u i s i t i o n e s a r i t h m e t i c a e ) 是数论作为一门独立学科诞生的标志数论最基本的特有的研 究方法就是高斯在这一著作中所创立的同余理论 近代意义的数论研究是从费马开始的费马提出了一堆定理，大部分是没有 证明的猜想这些猜想，使数学家们忙碌了好几个世纪，有的至今仍为现代数论饶 有兴趣的课题，下面是费马提出的部分“定理” 费马小定理：如果p 是素数，n 与p 互素，则扩一。可以被p 整除 这是费马在1 6 4 0 年1 0 月1 8 日致德贝西( b n e n i c l ed eb e s s y ) 的一封信中 提出的 费马大定理：方程 z 他+ 可n = z n ， 对任意大于2 的自然数礼无整数解 平方数问题：( i ) 每个4 n + 1 形的素数和它的平方都只能以一种方式表 示为两个平方数之和：每个4 仡+ 1 形的素数的三次方和四次方都能以两种方 式；其五次方和六次方都能以三种方式，如此等等，以至无穷如竹= 1 时， 5 = 2 2 + 1 2 ，5 2 = 3 2 + 4 2 ，5 3 = 2 2 + 1 1 2 = 5 2 + 1 0 2 ，等等( i i ) 每个正整数可表示 成四个或少于四个平方数之和 费马数：晶= 2 2 ”+ 1 ，n = 0 ，1 ，2 ，3 ，费马在1 6 4 0 年给梅森的一封信 中断言“形如2 2 “+ 1 的数永远是素数” 3 第二童数论概况 方程z 2 一a 可2 = 1 当a 是正数但非完全平方数时有无穷多个( 整数) 解 费马还研究过完全数、亲和数等到1 8 世纪数学家们也提出自己的猜想， 其中最著名的就是哥德巴赫猜想与华林问题 每个偶数是两个素数之和；每个奇数是三个素数之和 任意自然数佗可表示成至多7 个数的七次幂之和，即礼= z 1 七+ z 2 七+ + 研七， 其中z l ，z 2 ，研为自然数，r 不依赖于七华林问题1 9 0 9 年由希尔伯特首次 证明哥德巴赫猜想则至今悬而未决 数论中以分析方法作为研究工具是具有开创意义的分析方法在数论中的应 用可以追溯到1 8 世纪欧拉的时代，欧拉证明了：对实变数s 1 有恒等式 n ( 1 一p q ) = 佗一， p 几= 1 式中p 取遍所有素数，礼取遍所有正整数上式成立，并且由此推出素数有无穷多 个欧拉恒等式是数论中最主要的定理之一，随后狄利克雷创立了研究数论问题 的两个重要工具，即狄利克雷( 剩余) 特征标与狄利克雷l 函数， m ( s ，炉妻警， 其中s 是复变数，x 称为狄利克雷( 剩余) 特征，这奠定了解析数论的基础 令7 r ( z ) 表示不超过z 的素数的个数，关于丌( z ) 的研究是素数论的中心问 题，黎曼在数论中引入复变函数( ( s ) ，称为黎曼( 一函数 e ( s ) = 嘉， 其中s 为复变数，他对这个函数作了深入的研究，得到了许多重要结果特别是， 他建立了一个与( ( s ) 的零点有关的表示丌( z ) 的公式，因此研究素数分布问题的 关键在于研究( ( s ) 的性质，特别是它的零点的性质这样，黎曼开创了解析数论 的一个新时期黎曼提出一个猜想：e ( s ) 的所有复零点都在直线r e ( s ) = 1 2 上， 这就是所谓黎曼猜想它是尚未解决的最著名的数学问题之一 1 8 9 6 年，阿达马与瓦莱一普桑用解析方法同时并且相互独立地证明了素数 定理，即当z 一时，7 r ( z ) 一z 1 n z ，从此解析数论开始得到迅速发展1 9 4 9 西北大学硕士学位论文 年，塞尔伯格与爱尔特希分别给出了对于素数定理的一个十分初等的分析证明， 当然它是很复杂的 解析数论起源于素数分布、哥德巴赫猜想、华林问题以及格点问题的研究， 解析数论的方法主要有复变积分法、圆法、筛法、指数和方法、特征和方法、 密率等 数论形成了一门独立的学科后，随着数学其他分支的发展也在不断发展总 的来说，数论可按照方法的不同而形成不同的分支理论初等数论，初等数论是数 论中以算术方法为主要研究方法的一个分支，是研究整数最基本的性质解析数 论，数论中采用分析方法研究数的性质的分支叫做解析数论几何数论，几何数论 是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的几何数论研究的基本 对象是“空间格网”代数数论，代数数论是数论的一个重要分支，它以代数整 数，或者代数数域为研究对象还有超越数论，堆垒数论等等 我国古代在数论方面曾有过极其光辉的成就，例如前面提到的商高定理( 勾 股定理) 、孙子定理与圆周率的计算都比西方早数论也是我国近代数学发展得 最早的数学分支之一，有优良的传统从三十年代开始，在解析数论、丢番图方 程、一致分布等方面都有过重要的贡献著名的数学家华罗庚教授在三角和估计 与堆素数论方面的研究取得了很好的结果，中科院数学所陈景润研究员对哥德 巴赫猜想做了深入的研究，特别是他的“每一充分大的偶数都是个素数及一 个不超过两个素数的乘积之和”的结果仍然是这个问题当今最好的求解结果 2 2 学习数论的意义 任何一门课程都有它的重要意义，数论更是如此，下面结合自己几年来的学 习体会做一个简单介绍 首先，数包含了人类日常生活与生产实践中的多方面需要，数的规律的研究， 特别是研究整数性质，又一直活跃在数学研究的各个领域，代数数论的发展，它的 成果几乎可以用到每一个数学领域中去因此往往会导致研究深化，由此产生的 概念、结果和方法对其他数学领域的影响也日见明显它的概念与结果是构成抽 象数学的概念与方法的背景之一，而且也是促进数学发展的内部的重要源泉 5 第二章数论概况 其次，最近3 0 多年来，电子计算机的产生与发展，给科学技术带来无比巨大 的变革，这使数论有了非常广泛的直接应用途径例如，近年来发展起来的高维 数值积分的数论网格法的研究中，数论的成果被广泛应用在编码和数字信号处 理巾，数论也有很重要的应用随着科学技术的发展，数论除了它在纯粹数学中 的基础性质外，正日益展现出直接应用的途径，比如在计算方法、代数编码、组 合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果此外，数论的许多比 较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用特别是 现在由于计算机的发展，用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成 为可能 数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是 数学中的皇冠”因此数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做 “皇冠上的明珠”以鼓励人们去“摘取” 6 西北大学硕士学位论文 第三章预备知识 3 1 用到的几个定理 定理3 1 ：假定厂( n ) n 一5 在半平面盯 盯q 内绝对收敛如果，是可乘函 数，那么有 = 珥( 1 + 等+ 等+ ) 一 并且如果厂是完全可乘的函数，那么有 定理3 2 ：假定 a ( s ) n p 1 一厂( p 汩一s 仃 = 。( 礼) 佗，盯a ， 则对任意s o = 盯o + i 亡o ，及6 0 当6 0 6 0 ，6 0 仃o + 6 盯q ，t 1 ，z 1 时，有： ( i ) 若z 正整数时 三咖矿印= 熹e 帅s ，知。( 驾掣) + 。( 扩印即咖t n ( 1 ，字) ) + 。( z 咖删n ( 1 ，赢) ) ， 式中为离z 最近的整数( 当z 为半奇数时，取= z 一丢) ，i iz i l = i 一zi ( i i ) 若z = ( 正整数) 时 ，。( 咖叫。+ 三州) _ s 。= n 1 时有标准分解 式佗= p 1 p ；2 霹7 那么，( 死) 是可乘函数的充要条件是，( 1 ) = 1 ，及 厂( 佗) = 宇1 ) ( p 呈2 ) ( 霹7 ) ；( 3 3 ) ，( n ) 是完全可乘的充要条件是厂( 1 ) = 1 及 ，( 竹) = ，劬( p 1 ) 厂毗( p 2 ) 厂嘶慨) ( 3 4 ) 证明：必要性，由于厂( 佗o ) o 由式( 3 1 ) 得 o ，( n o ) = - 厂( 1 佗o ) = 厂( 1 ) ，( 佗o ) ， 这就推出厂( 1 ) = 1 ，式( 3 3 ) 和( 3 4 ) 可以由( 3 1 ) 和( 3 2 ) 推出 下面来证充分性，如果m ，n 中有一个等于l 时，不妨设m = 1 ，由厂( 1 ) = 1 可以推出式( 3 1 ) 和( 3 2 ) 成立当n 1 ，m 1 时，m 的素因数分解式可表示 为口? 1 移由( 3 3 ) 知，当( m ，几) = 1 时，m 仡的分解式为g f 轷才霹r 所以可得 ，( m 礼) = 厂( 口f 1 毋p ? - 霹r ) 8 西北大学硕士学位论文 = ，( g f l ) ，( g 爹s ) - 厂( 硝1 ) ，( p # ) = 厂( m ) 厂( 礼) ， 所以式( 3 1 ) 成立，即厂( 佗) 是积性函数当( 3 4 ) 式成立，设p 1 = 口l ，仇= 吼， 及其j t 时有功胁，1 i s ，和1 冬i 7 ，这样m n 的素因式分解式为 由( 3 4 ) 式得 p 宇1 + 风硝2 + 风g 黔1 g 争磋1 霹”， ，( n m ) =，a ，+ p t 1 ) ，a t + 成( 仇) ，风+ ，( 吼+ 1 ) 厂风( g s ) ，口( 仇+ 1 ) 厂a ( 肼) = ，p - ( 9 1 ) 产( g s ) ，n ( p 1 ) ，q 7 ( p r ) = ，( m ) ，( 礼) ， 这就证明了定理 3 3 两个用到的数论函数 ( 1 ) 除数函数( 礼) ：盯q ( 佗) = 俨为礼的约数的q 次方幂的和 d i 竹 当q = o 时，0 r o ( 佗) 是礼的约数的个数，常用d ( 佗) 表示，所以有 d ( 礼) = 1 d i 礼 当q = 1 时，盯1 ( 扎) 是n 的约数之和，通常称为除数和函数，用盯( n ) 表示 所以有 ( 佗) = d d i n ( 2 ) e u l e r 函数垆( n ) ：n 1 ，妒( n ) 定义为不大于礼并与礼互素的数的个数， 即 妒( 忱) = 7 1 9 第四章一个数论函数的敛散，1 1 生及其均值 第四章一个数论函数的敛散性及其均值 4 1 引言 对于任意正整数n ，数论函数五( n ) 和z ( 几) 被定义为 z + ( n ) = m a x ， 和 z ( 礼) = m ，n 0 时，这两个无穷级数是收敛的j 当s o 时，它们是发散的 定理4 2 ：设s 为任意的复数，当它的实部r e ( s ) 2 时，我们可以得到如 下恒等式 f 熹= ( ( s 一1 ) + ( ( s ) ， 鲁( 五( n ) ) 5 。叫r 门 和 而杀= ( ( s 一1 ) ， 鲁( z ( 礼) ) 8 “叫 其中( ( s ) 表示威e m n 咒礼z e o 函数 西北大学硕士学位论文 定理4 3 ： 对任意的正整数n 和复数s ，当复数s 的实部兄e ( s ) 1 时，我 们有 主揣：知，一如， 鲁( 级( 礼) ) 3 4 8 叫2 p r 门 和 薹器= ( 1 一跏s ，专( s ， 其中( ( s ，口) 表示吼似钯z e t n 一函数 特别在定理4 3 中取s = 2 时，可得 推论：设礼为任意给定的正整数，则有 盟：一! 鲁( 及( 佗) ) 2 1 6 。 4 1 1定理的证明 下面我们用初等方法给出定理的证明首先注意到如果 掣s 佗 堕警型， 伐z + ( n ) = m ，则幽数值重复出现的次数为 堕掣一掣：m + 1 ， 22 1 那么可以得到 薹揣= 耋譬掣， 在这里根据m 的奇偶性来讨论函数的值，当仇是奇数时，级数展开式的各项相 加刚好抵消当m 是偶数时，级数展开式中各项相加后每项仅有一项被保留一卜 来，因此我们可以得到如下等式 薹揣= 一去+ 去一+ 雠+ 鲁( 互( 礼) ) 8 2 3 4 86 8 。( 2 n ) 8 。 第四章一个数论函数的敛散性及其均值 = 一去( 去一去+ 刍+ ) 使用同样的方法我们也可以得到 霎器= 一去+ 刍一吉+ + 器一鲁( z ( n ) ) 8 1 8 3 85 8 。7 8 。( 2 n 一1 ) 8 根据交错级数的收敛准则，足理4 1 得让 下面我们证明定理4 2 ，如果 掣佗 堕掣， 2 2 那么函数的值重复出现的次数为 堕掣一掣：m “ 22 7 所以辘秆1 台旨得至“ 薹赤 使用同样的方法我们也能得到 o1 r ： 刍( z ( 佗) ) 8 = 妻等 t = 1 = ( ( s 一1 ) + ( ( s ) o o 竹l = 1 o o m = 1 ( ( s 竺! 竺1 2 一竺i 竺= 1 2 2至 m s m m 8 1 ) 这样我们就完成1 r 定理4 2 的让明 现在我们来证明定理4 3 ，由定理4 1 和定理4 2 可得 霎揣= 一刍+ 去一+ 器+ 鲁( 五( n ) ) 3 2 3 。4 36 5 。( 2 佗) 3 。 = 一l 矛+ 虿+ 百f + + 百丽面+ + ( 去+ 一+ 南+ ) 其中有 所以可得 同时我们也可以得到 其中有 因此可得 西北大学硕士学位论文 ( 1 一去) ， 揣= 知) 一如) ( 五( n ) ) 8 4 p r 7 2 5 叫 专专一吉+ 一+ 器+ 一f + 争一手+ 石+ + 矗高+ ( 击+ 刍+ 击+ + 一2 ( 击+ ( 4 礼一3 ) 8 这样我们就完成了定理4 3 的证明 4 2 一个渐近公式 ( 2 仃一1 ) 8 - l - - j l - 一去) ，一丢( ( s ，去) 对于任意正整数z ，数论函数互( z ) 被定义为 孙，= m a x m ：掣z 卜 南 脚 脚 = 坐蝴上 脚 可珍 一n 一g 小 x 一 2 一驴 卜 卜 三驴洳 、 1 一声 s 、l ， 1 4 +、， 仡 1 4 脚小 1 一妒 1 一妒 + 1 p + 1 一p ， = 妒两 卜一反 脚 1 ，有渐近公式 证明：设 三咖) = 南冉q ( n ，而= 1 ，( s )：f z - n 1 由妒( 礼) 的可乘性及预备知识3 1 可得 2 娶( 1 + 字+ 等+ 娶( 1 + 害( 1 + ( ( s 一1 ) 矿一p ( ( s )矿 9 3 一9 2 口3 3 1 ) ) 其中( ( s ) 是r i e m a n nz e t a - 函数，在预备知识3 2 中取s 。= o ，丁= z ，6 = 善，可 得 r 厶 竹 z ( 竹，p ) = 1 估计主项为 妒( n ) 佗s ( ( s 一1 ) 矿一p s p 8 1 ( ( s 一1 ) 矿一p s 矿一1 将积分线从s = l 土 丁移至s = ；士i t 那么函数 厂( s ) = 竺d s + o s 竺叔 s ( ( s 一1 ) p 8 一p z 8 s 在s = 2 处有一个极点，留数是高咯，所以有 丢堪+ 露+ 薯+ 圉 1 6 ( ( s 一1 ) 矿 s ，z ；、 l 丁广 印z 2 + 1 ) 7 r 2 矿石 以一g 一 确 = 业矿 韶 沁 坷 厂，=：!。 上流 订 r 争 叫 厂f 蝎 上执 幽 矿了p 一1 西北大学硕士学位论文 注意到 熹( 么譬+ 由以上几式，可得到渐近公式 妒( 几) = n 舞， + d o o t = 1 q m n + u 矿 1 8 ( 嘉) 2 r + 。( ( 嘉) 2 + ) ) 1 一矿 脚 + 旦矿 脚 霹 + 型矿 嘲 + 竺矿 脚 = 、li， m f o 口一p 墙 o 当 q 舻 d 二1 p 一十 文一p m f o 仡一p 脚 m 互。 口一p 嫱 m 一 罄胪 。爵 1 矿 m f o 佗一p 脚 西北大学硕士学位论文 = 薹筹+ 。 因此可以得出 e 孑( 佗) 妒( n ) = n z ( ( 寒) m 薹嘉+ + o ( z 一 1 0 9 m + 1z ) ， 3 p 一1 ) ( p + 1 ) 7 r 2。p c m ，z 2 + 。( z ；+ e = 黼咖炉+ 。( 疹) 这就完成了定理的证明 5 2与d ( 佗) 的混合均值 5 2 1 引言 设d ( n ) 表示d i r i c h l e t 除数函数，则有 ( 寒) 一1 薹) ) 筹+ o ( z 南秽) ) ) 定理5 2 ：设p 为任意的素数，对任意的z 1 ，有渐近公式 p 州一nz 番川n p 煎掣高等幽 + 0 ( z + e ) ， 其中e 为任意的正实数，y 表示e u l e r 常数 引理5 3 ：设任意的实数z 1 ，我们有渐近公式 d ( z ) = z l nz + ( 2 7 一1 ) 时d ( z ) 竹z 其中1 表示e u l e r 常数 引理的证明参阅文献 1 3 】 引理5 4 ：设p 为一个素数，整数m 1 ，我们有以下渐近公式 一1 ) 2+ 0( 嘉) ， ( 5 1 ) m f o 仡一p f l 脚 = 旦矿 啦 薹嘉= 器+ 。( 蒡) ，急p q ( p 一1 ) 3 一矿 芝筹= 笔铲+ 。( ；)幺矿 一1 ) 4一、矿 证明：这里我们只证明式( 5 2 ) 和式( 5 3 ) ，首先来计算 注意到恒等式 于是有 q 2 p a 小一三) 三参一三筹 noni ) 1n 2 = = p矿+ 1 1n 2 = p矿+ 1 = g _ 筹 1 1 礼2 一n 2 p pp 2 。矿+ 2 ，= ( 三+ 筹爿 ) ( 1 一三) 尝2 q + 1 + 圣爷 q = 1 1 + 薹寿+ n 2 一f n 2 + 2 礼 ( 5 2 ) ( 5 3 ) 一塞窘 佗2 一佗2 p 一( 2 n 一1 ) p 1 ) p 矿+ 2 p 叶2 1 一( 刍) 2 呦 = ，j 、 1 一p 一 有“ 耐司 篝 “耐 尘 西北大学硕士学位论文 因此可以得到 2 南+ 2 ( 矿一。一1 )礼2 矿一2 ( p 一1 ) 3 。 ( n 2 + 2 礼一1 ) p 矿一1 ) 2 + 南+ 。( ；) + d ( 蓦) 引理5 3 中的( 5 2 ) 式得证下来我们证明( 5 3 ) 式，首先设 注意到恒等式 9 ( 1 一三) 一三一旦牟掣( 竺! 笙二竺! p 矿+ 1 。鲁 矿“ 1n 3 1 3 q 2 3 q + 1 一 一一上、 一 p 矿“。幺 矿“ 1n 3 痧n 一1 1 ，2 n p 竹一2 1 、 3 l ：一l 一i ：一1 一p矿+ 1p 仡+ 1 一矿p 2矿+ 1 。矿+ 1 一矿1 一丢 n 3 一万+ 6 p ( 矿一3 1 ) 一3 ( p 竹一2 1 ) ( p 一1 ) p 礼一1 ( p 一1 ) 3 因此可得 筹= ( 瓮攀+ 志十器) 寿+ 。( 蓦)矿p ( p 一1 ) 2p ( p 一1 ) 。p ( p 一1 ) 3 p 一1 。矿 筹+ 。 一1 ) 4 一 引理5 2 中的( 5 3 ) 式得证 ( 嘉) 南器 = i i 舻一矿 睁 矿一矿 啦 = 夕 寿 n 戚 一 扩一矿 n 甜 = 第五章e 罗( 礼) 的混合均值 5 2 2定理的证明 下面我们给出定理5 2 的证明 ( n ) d ( 佗) = n z q d ( 矿乱) p a zp 口u z ( u ，p ) = 1 q ( 口+ 1 ) d ( 饥) p d z u 蠹 ( u ，p ) = 1 2 互巾圳( 丹嘉均一1 ) 删两) 刮虹均叫乏学_ n p 乏学a s 鲁暑 1 。 n s 等 1 + 。p 乏啦) = 加n 川，( 舄+ 南+ 。( 譬) ) 一n p ( 皆+ 舄+ 。( 譬) ) +0 0 = m z 番 + 0 ( z + ) 这就完成了定理5 2 的证明 冉剖) 川n p 坐型訾掣 2 2 嫱 口 ， 西北大学硕士学位论文 第六章小结与展望 本论文主要研究了其中的一些特殊数列及函数的均值，用初等方法和解析的 方法得出了一些较好的结果然而这些问题比较初等，还有许多深刻而有重要意 义的问题期待我们去解决另一方面，考虑研究这些数论函数与其他领域的一些 关系，以便得到更多更有趣的结果，也期待引进新的思想，新的方法，改进有关的 结论或得到更好的新结果 2 3 参考文献 参考文献 t m a p o s t o l ，i n t r o d u c t i o nt oa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y ，n e wy b r k ，s p r i n g e r v e r l a g ，1 9 7 6 2 】潘承洞，潘承彪，初等数论，北京，北京大学出版社，1 9 9 2 【3 】潘承洞，潘承彪，解析数论基础，北京，科学出版社，1 9 9 9 【4 】f s m a r a n d a c h e ，o n l yp r o b l e m s ，n o ts 0 1 u t i o n s ，c h i c a g o ，x i q u a np u b l i s h i n g h o u s e ，1 9 9 3 ，2 5 3 0 j s a n d o r ，0 nc e r t a i ng e n e r a l i z a t i o n s n u m b e t h e o r yd i s c r m a t h ，1 9 9 9 ，5 ， o ft h es m a r a n d a c h ef h n c t i o n n o t e s 4 1 5 1 l vc h u a n ，an u m b e rt h e o r e t i cf u n c t i o na n dm e a nv a l u e ，r e s e a r c ho ns m a r a n d a c h ep r o b l e m si nn u m b e rt h e o r y ，h e x i s ，2 0 0 4 ，3 3 3 6 l i u1 y a n n i ，o nt h ep r o p e r t i e so ft h eh e x a g o n n u m b e r s ，r e s e a r c ho ns m a r a n d a c h ep r o b l e m si nn u m b e rt h e o r y ，h e x i s ，2 0 0 5 ，3 3 3 5 8 】李文林，数学史概论，北京，高等教育出版社，2 0 0 2 ，2 2 3 2 3 2 【9 】杜瑞芝，数学史辞典，济南，山东教育出版社，2 0 0 0 ，1 5 7 1 5 9 1 0 】柯召等，数论讲义，北京，高等教育出版社，1 9 8 6 1 1 】闵嗣鹤，数论的方法，北京，科学出版社，1 9 8 1 1 2 】冯克勤，代数数论，北京，科学出版社，2 0 0 0 1 3 】张文鹏，初等数论，西安，陕西师范大学出版社，2 0 0 7 ，1 3 4 一1 3 9 1 4 】 【1 5 】 1 6 】 1 7 】 1 8 】 1 9 】 【2 0 】 2 1 d s m i t r i n o v i c ，b c r s t i c i ，h a n d b o o ko fn u m b e rt h e o r y ，n e t h e r l a n d s ， k 1 u w e ra c a d e m i cp u b l i s h e r s 1 9 9 6 l i uh o n g y a n ，z h a n gw a n p e n g ，0 nt h ed i v i s o rp r o d u c t sa n dp r o p e rd i v i s o r p r o d u c t ss e q u e n c e s ，s m a r a n d a c h en o t i o n sj o u r n a l ，2 0 0 2 ，1 3 ，1 2 8 一1 3 3 l i uh o n g y a n ，z h a n gw 宅n p e n g ，an u m b e rt h e o r e t i cf u n c t i o na n di t sm e a n v a l u ep r o p e r t y ，s m a r a n d a c h en o t i o n sj o u r n a l ，2 0 0 2 ，1 3 ，1 5 5 1 5 9 j s a n d o r ，0 nad u a lo ft h ep s e u d o s m a r a n d a c h ef u n c t i o n ，s m a r a n d a c h en 伊 t i o n sj o u r n a l ，2 0 0 2 ，1 3 ，1 8 2 3 j s a n d o r ，o nt h ep s e u d o s m a r a n d a c h ef l l n c t i o n ，s m a r a n d a c h en o t i o n sj o u r n a l ，2 0 0 1 ，1 2 ，5 9 6 2 j s a n d o r ，o nc e r t a i ng e n e r a l i z a t i o n so f n u m b t h e o r yd i s c r m a t h e m a t i c s ，2 0 0 0 ， t h es m a r a n d a c h ef u n c t i o n n o t e s 1 1 2 0 2 2 1 2 j s a n d o r ，o na d d i t i v ea n l o g u e so fc e r t a i na r t h m e t i cf h n c t i o n ，s a m a r a n d a c h e n o t i o n sj o u r n a l ，2 0 0 4 ，1 4 ，1 2 8 1 3 4 z h a oj i a n ，l ic h a o ，o nt h em e a nv a l u eo fn e wa r i t h m e t i c a lf h n c t i o n ，r e s e a r c h o ns m a r a n d a c h ep r o b l e m si nn u m b e rt h e o r y ，h e x i s ，2 0 0 5 ，3 6 4 0 2 2 j h l o x t o n ，r c v a u g h a n ，t h ee s t i m a t ef o rc o m p l e t ee x p o n e n t i a ls u m s ， c a n a d am a t h b u l l ，1 9 9 5 ，4 ，4 4 2 4 5 4 2 4 5 6 7 西北大学硕士学位论文 【2 3 】华罗庚，数论导引，北京，科学出版社，1 9 7 9 2 4 k g r i c h a r d ，u n s 0 1 v e dp r o b l e m si nn u m b e rt h e o r y ，n e wy 曲k ，s p r i n g e 卜 v e r l a g ，1 9 9 4 【2 5 】 2 6 】 【2 7 【2 8 】 2 9 】 【3 5 】 【3 5 】 3 6 】 z h a n gt i a n p i n g ，a r i t h m e t i cf h n c t i o na n dt h ed i v i s o rp r o d u c ts e q u e n c e s ，r e 卜 s e a r c 丘o ns 南a 而n d a c h ep r o b l e m si nn u m b e rt h e o r y ，h e x i s ，2 0 0 4 ，4 9 5 2 g a on a n ，an u m b e rt h e o r e t i cf u n c t i o na n di t sm e a nv a l u e ，r e s e a r c ho n s m a r a n d a c h ep r o b l e m si nn u m b e rt h e o r y jh e x i s ，2 0 0 4 ，2 l 一2 6 w a n gx i a o y i n g ，0 nt h em e a nv a l u eo fa na r i t h m e t i c a lf u n c t i o n ，r e s e a r c ho n s m a f a n d a c h ep r o b l e m si nn u m b e rt h e o r y ，h e x i s ，2 0 0 4 ，7 7 7 9 z h a n gw 色n p e n g ，0 nt h ep r i m i t i v en u m b e ro fpa n di t sa s y m p t o t i cp r o p e r t y ， s m a r a n d a c h en o t i o n sj o u r n a l ，2 0 0 2 ，1 3 ，1 5 5 1 5 9 z h a n gw 6 n p e n g ，a na r i t h m e t i cf u n c t i o na n dt h ep r i m i t i v en u m b e r o fp o 、鹏rp ， s m a r a n d a c h en o t i o n sj o u r n a l ，2 0 0 4 ，1 4 l vc h u a n o nt h em e a nv a l u eo fa na r i t h m e t i c a lf h n c t i o n ， r 联j e a r c h o n s m a r a n d a c h ep r o b l e m si nn u m b e rt h e o r y ，h e x i s ，2 0 0 4 ，8 9 9 2 z h a n gw 色n p e n g ，o nac o c h r a n