（基础数学专业论文）泛函微分方程的正周期解及奇异二阶边值问题的正解.pdf

东北大学硕士学位论文摘要 泛函微分方程的正周期解及奇异二阶边值问题的正解 摘要 近来，泛函微分方程及奇异二阶边值问题的正解这一课题引起了广泛关注，本文第 二章与第三章研究了泛函微分方程解的存在性及多重性，在方程的类型上推广了近期诸 多文献的方程类型第四章我们采用逼近方法，不动点指数理论及一个新的锥讨论了奇 异边值问题正解的存在性，减弱了以往文献的条件，更具有一般性本文采用的是锥理 论和不动点指数理论 第二章讨论泛函微分方程 x ( f ) = 一a ( t ) f ( x ( t r o ) ) ) x ( f ) + g ( t ，x ( t f ( f ) ) ) ， ( 1 ) 假设 ( h ) d o ) c ( r ，( 0 ，m ) ) ，f o ) c ( r ，r ) ，f c ( 【0 ，c 。) ，( o ，m ) ) ，g c ( r x 0 ，) ， 0 ，。) ) 并且 口( f ) ，f ( ，) 都是掰一周期泛函，g ( t ，x ) 关于，为6 9 一周期泛函，彩 0 为一常数，( x ) 为有界 泛函 在田) 满足时，如果 l i m 。i i 。n f 。m ；f 。i n 。】厂( g “( ) t 口, u ( f ) ) “ 1 且l i m 。t s 。u p ，m 。【。a ，。x l ，【g “( j t , u t ，) j “ 0 为一常数，厂( x ) 为有界 泛函 如果 一一 东北大学硕士学位论文摘要 且存在r o 0 使得 l i i n 时i i l i n 曼垒：尘一 1 。 ”w ，e m 】八u ) a ( t ) u 。 l i i l l 时i i l i n 鲤：1 2 1 f e 【o p lf ( u ) a ( t ) u g ( t ，“) 0 使得 l i m s u p m a x 鲤：尘 0 和9 c ( 0 ，1 ) ，r + 】，g c 【( 0 ，o o ) ，r + 】，满 足 0 f ( t ，y ) + fs g ( f ) g ( y ) ， v t ( o ，1 ) ，y ( o ，a 。) ， 和 0 0i sa c o n s t a n t 厂( x ) i sb o u n d e d s u p p o s et h a t ( h ) a r es a t i s f i e d i f l i r a 。抽i n fr n i ，n 。】j ! 尘! _ ! ! l 1 a n d h m 。t s 。u p ，m q 。a ，驯x ，【g “( ) t 日, u l f ) l e o f ( u ) a ( t ) u j 0i sa c o n s t a n t f ( x ) i sb o u n d e d a n dt h e r ee x i s t sr o 0s a t i s f y i n g l i r a i n f m i l l 丝：尘 1 ”- o _ 州o 叫f ( u ) a ( t ) u l i 。m 。i n f m m i n 训m g ( ) t 口, u ( r ) ) “ l ，v 。一，t 【o ，训，。 ) 口( r 姐 g ( t ，村) 0s a t i s f y i n g l i m 。+ s 。u + p ，m 。【。a 。x 】，【g “( j t c , l u l r ) j “ 0 a n dq c 【( 0 ，1 ) ，r + 】， g c 【( o ，0 0 ) ，r + ，w h i c hs a t i s f i e d 0 f ( t ，y ) + m g ( f ) g ( y ) ， v t ( o ，1 ) ，y ( 0 ，) ， a n d 0 0 为一常数 f a r ) 吼r a 。i n b ( t ) 一口( f ) ) o ； ( h 3 ) 存在6 0 0 使得，( f ，“) 在0 u 岛上单增； ( h 4 ) l i r a m i n 丛业：1 且l 啦m a x 丛业：0 、 u , l ot e o ，】 “”t t e o ，】“ 利用范数形式的锥拉伸与压缩不动点定理证明了问题( 1 1 ) 周期正解的存在性 文献【3 研究了非线性问题 “( f ) = 口( f ) g ( “( ，) ) “( f ) 一a h ( t ) f ( t ，u ( t r o ) ) ) ，五 0 ，( 1 2 ) 并作了如下假设： ( f 1 ) 口( f ) ，6 ( f ) c ( r ，【o ，。o ) ) ，f ( f ) c ( r ，r ) ，是一周期泛函，并且r 口( r ) 西 0 ， f 6 ( f ) 加o ； ( f 2 ) f ，g c ( r “o ，o o ) ，【o ，) ) 连续0 ，g ( “) 0 并且令 - ：a ( t ) d t ，聊刊n ：宰笋矧r ) 脚，= 懋) 利用不动点定理得出了问题( 1 2 ) 正解存在性的结果但是条件上比较特殊，因为其条件 东北大学硕士学位论文 第一章绪言 必须满足f o = 0 和五= ，或f o = 。和五= 0 ，或者f o = ，( 0 ， o 。) 和兀= l ( o ，且h 警麟裂 0 ，s r 一，且矗0 0 a s = 1 ，其中 g = * 巳胁s ：) , 。s o s u p d s 0 ； 删 “ ( l 4 ) f ( t ，妒) 将有界集映为有界集，且对c h ，庐( 口) 0 ，：f f f ( t ，庐) 0 在以上条件下获得了问题( 1 4 ) ( 1 7 ) 正解的存在结果 文献【6 】研究了非线性微分方程 “( f ) = - a ( t ) u ( t ) + a h ( t ) f ( u ( ，一r ( ，) ) ) ，a 0 ，( 1 8 ) 并在条件 f ： 0 ，+ 。) - - 9 【o ，+ 。) 连续且f ( 0 ) = 0 下应用第一特征值理论获得了方程( 1 8 ) 正解存在的结果 文献 7 】研究了微分方程 “7 p ) = - a ( t ) u ( t ) + 厂( r ，坼) ，( 1 9 ) 其中口( f ) 为t 一周期泛函且满足p j 。坤 i ，( ，坼) 在r 占c 上非负，b c 为有界连续泛 函痧：r 呻r + 的b a n a c h 空间作者利用l e g g e t t - w i l l i a m s 不动点定理得到t ( 1 9 ) 正解的存 在性结果 在以上文献的基础上，我们考虑了更一般条件的非线性微分方程 “( ，) = - a ( t ) f ( u ( t f o ) ) ) “( f ) + g ( t ，u ( t f ( f ) ) ) ， 其中a ( t ) c ( r ，( o ，o 。) ) ，r ( t ) c ( r ，r ) ，g c ( r 【o ，o 。) ，【o ，。) ) ，厂c ( 0 ，o 。) ，( o ，o 。) ) ，并且 d ( r ) ，f ( ，) ，g ( t ，“) 都是o j 一周期泛函， 0 为一常数 并且在条件： ( d )1 h i n f m i n 丛坐生 1 且l i m s u p m a x 丛! 坐l 1 且l i m i n f m i n 鲤：1 2 1 。o + t e o a 】f ( u ) a ( t ) u w t e | o ，。jf ( u ) a ( t ) u 一3 一 东北大学硕士学位论文第一章绪言 或 h m 。+ s 。u + p ，m 。【。a ，。x j ，【g “( j t c , 7 u 【f ) j ”t ：1且l i m s u p m a 。x 帅g ( 川t , u ) 村 l 下得出了方程多解存在的结果 t a l i a f f e r o 8 用打靶法研究了奇异边值问题 矿+ a ( t ) u 。= 0 ， f ( 0 ，1 ) ，五 0 ， “( 0 ) = u o ) = 0 正解的存在性 韦忠礼【9 】利用上下解方法研究了边值问题 “”+ d ( f ) “一2 = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， 五 0 和q c ( 0 ，1 ) r + ，g c 【( 0 ，o 。) ，r + ，满 足 0 f ( t ，y ) + m g ( f ) g ( y ) ，v t ( o ，1 ) ，y ( 0 ，。o ) ， 和 o f j ( 1 - s ) q ( s ) 西 0 和q c ( o ，1 ) ，r + ，g c ( 0 ，。) ，r + 】，满 足 0 f ( t ，y ) + m 蔓g ( f ) g ( y ) ，v t ( o ，1 ) ，y ( o ，c o ) ， 和 0 0 为一常数，f ( x ) 为有界泛函 文献 4 研究了非线性问题 “( ，) = 一口( f ) “c f ) 一g ( 1 ，u ( t f ( ，”) ( 2 1 2 ) 并假设： ( h 1 ) a ( t ) c ( r ，( o ，) ) ，f ( f ) c ( r ，冠) ，g c ( r x o ，o o ) ，【0 ，o 。) ) ，并且口( ，) ，f ( f ) 和g ( r ，“) 都是 国周期泛函，珊 0 为常数 f m ) 1 1 咿嬲裂 且l i 紫黝黜 0 为一常数，f ( x ) 为有界泛函 如果u ( t ) c ( 【o ，c o ，【o ，+ ) ) ，并j l u ( t ) 满足方程( 2 1 1 ) ，则称“( f ) 为方程( 2 1 1 ) 的解 如果在( o ，) 上甜( f ) 0 ，则称( f ) 为方程( 2 1 1 ) 的正解 引理2 2 1 设z 是b a n a c h 空间，k 是x 中的一个锥假设q 。，q ：是x 中的开子集 且0 q l ，n ic q 2 ，设o ：k n ( q 2 q 1 ) - - - k 是全连续算子，且满足： ( i ) f 1 巾4 - q x l l ，x 世n 鼬。， ( i i ) 存在y k o 使得x ( k + 五y ，x k f 0 n 2 且a 0 ， 则在岸n ( 五2 q ，) 上有一个不动点 2 3 主要结果 定理2 3 1 假设( p ) 成立，方程( 2 1 1 ) 若满足下列条件 ( i ) l i m 。i 。n f ，m 。【。i ，n 。】厂( g “( ) t 玎, u ( ，) ) “ l 且u m 。t s 。u p ，m q 。a ，。x j ，t g “( j t 口, u u ) j “ 0 为一常数f ( x ) 为有界泛函 如果“( f ) c ( 0 ，o j ， o ，+ ) ) ，并且“( f ) 满足方程( 2 1 1 ) ，则称u ( t ) 为方程( 2 1 1 ) 的解 如果在( 0 ，6 0 ) 上“( ，) 0 ，则称0 ) 为方程( 21 1 ) 的正解 引理2 2 1 设z 是b a n a c h 空间，k 是x 中的一个锥假设q ，q ：是x 中的开子集 且o n ，面 n ，设中：k n ( f i ：、n 。) 斗k 是全连续算子，且满足： ( i ) 1 i * z i i - 0 ， 则毋在置n ( 五：、q ，) 上有一个不动点 2 3 主要结果 定理2 3 1 假设( p ) 成立，方程( 21 1 ) 若满足下列条件 ( i ) l i m 。“i n f ，r a 。【。i 。n 1 ，( g “( ) t d , u ( f ) ) “ 1 且l i m 。t s 。u p ，m a ，。x i ，t g “( j t d , u u ) j “ 1 ， 或 ( j i ) 1 m 。l s 。u p q m 。a ，。x l ，l g “( j t d , u l r ) j ” 1 则至少有一个一周期正解 推论2 3 1 假设( p ) 成立，则方程( 2 1 1 ) 若满足下列条件 ( i ) l i m 。抽i n f m n f i n 。l ，( g 咖( t , u ( ，) ) “= 且l i m 。t s 。u p l e 0 ，m a 。x 】，g ( t , u z ) 皿。， 或 ( i i ) h m 山s u p m a x l 似g ( 川t , u ) h = 。且“毋魄r a i nm g ( ) t 口, u ( f ) ) “2 。 则至少有一个一周期正解 若证明定理2 3 1 ，首先我们指2 y 程( 2 11 ) 的一周期解即为积分方程 若证明定理2 3 1 ，首先我们指出方程( 2 1 1 ) 的m 一周期解即为积分方程 x ( r ) = f + 。( ；( ，s ) g ( j ，x ( s f ( 5 ) w s ， ( 231 ) 的解其中 1 东北大学硕士学位论文 第二章泛函微分方程的正周期解 印一= 高 这是因为 z v ) = 旷g 蝴一一) 冲 ( o a ( t ) f ( x ( s f ( s ) ) ) g ( j ，x ( s r ( j ) ) + g ( f ，t + a o g ( t + 埘，x ( t + t z ) 一r ( t + ) ) ) 一g ( t ，t ) g ( t ，x ( t f ( ，) ) ) ( 2 3 2 ) = 一日o ) 厂( x o r ( f ) ) ) f + 。g ( t ，j ) g ( 兄x ( j r ( s ) ) ) 出+ 【g o ，f + c o ) 一g ( t ，f ) 】g ( f ，x o f o ) ) ) = 一a ( t ) f ( x ( t f ( r ) ) ) x o ) + g ( t ，x ( t - r ( t ) ) ) 所以微分方程的解即为积分方程的解 令 m l ：s u pp f j d 8 m “8 m 。，k = e r a 8 m ”8 ” 令x = x ( f ) ：石( f ) c ( r ，r ) ，x ( t + c o ) = x ( f ) ) ，且定义 = 州s u 岫p ，) j ：x e x ， 则在范数| | | i 下是b a n a c h 空间定义上的算子： x = o x ( 2 3 3 ) 其中 ( 嘶) ( f ) = 广g ( t ，s ) g ( 蹦( s - - t ( j ) ) 陟，x x ( 2 3 4 ) 令k = x x ：x ( f ) o ，且x ( f ) 盯l l x l l ，t e 【o ，国】 ，0 0 ，使f 厂( x ( f f ( f ) ) ) f 毛，又口( o 在 o ，】上 连续，故存在m 。 0 ，对v f 【o ，】有i n ( f ) l m 。，所以岛_ 0o + m ) ， 并且 f 岛o ，x ( t f ( f ) ) ) i 蔓2 坞m 4 o x + 2 m 2 ， 由( 2 3 7 ) 得 鲁腿( 瑚训) ) 由l e b e s g u e 控制收敛定理可知 i l y 。l i = l l o x 一o x l l 斗0 所阻。连续 下证中( k n ( 西：q 。) ) 是紧的 f i x k n ( 磊。q 。) ，有 l 告f 啪坤叫呦踯号等， l ( ) 缸) i _ i 一砸) 厂( 坤一邢) ) ) ( ) ( f ) + g ( r 似卜呻) ) ) f 丝譬半+ 坞 因此西( 足n ( 五：q ，) ) 一致有界且等度连续，由a s e o l i a r z e l a 定理可知，m ( k n ( 孬2 q 。) ) 是紧的定理证毕 下面我们证明定理2 3 1 在( i ) 或( i i ) 成立下的结论： 证明：( i ) 由于1 i m 。扎i n f ，m 。【。i ，n 。】，( g “( 如t , u ( r ) m 1 ，存在常数r 。，使得 g ( t ，甜) f ( u ) a ( t ) u ，0 “r ， ( 2 3 8 ) 因此，如果x k ，且l l x l l = ，贝性( r ) 仃r 令= 1 ，t r ，我们证明 x m x + 置妒，x k n a q 】，旯 0 ， ( 2 3 9 ) 其中q ，= 甜e x ：l l u l l 0 ，使得 一1 0 东北大学硕士学位论文第二章泛函微分方程的正周期解 令2 1 密x o ( o ，则对，月有 ( f ) = ( 吐) ( f ) + 凡 = r g ( f ，s ) g ( s ，x o ( s f ( s ) ) 陟+ 厶 f 。g ( f ，j ) 口( j ) ，( o f ( j ) ) ) o r ( s ) ) 西+ r g ( t ，舢( s ) ，( ( 卜f ( s ) ) 协+ 凡 ：r 芝竺= ：! ：= = 口( 。( 一( 。) ) 冲+ 2iej：a(8)f(x。(a-r(o)do-口l5j，l57。5归5+九 叫了赢瓦 1 叫而而瓦 1 叫而瓦瓦 卜脚舶郴艄口( s ) 厂( 而( h ( s ) ) 陟+ 厶 广如舢叫郫瑚+ 凡 e j t “们7 1 妒m ”l f + 。+ 矗 ：坐：= ：竺= 竺= = = ! = 二凡 叫万赢忑万_ 蝴 = + 凡， 也即u + 厶，矛盾 另一方面，由于1 i m 。s u p ，m 。i a x j 八g “( j t 口l , u ) “ ，使得 g ( t ，“) f ( u ) a ( t ) u ， “， 令r = 盯，于是有 其中q ：= “x ：i o ， 这说明x ( t ) 是方程( 2 1 1 ) 的- - 个0 9 一周期正解 ( i j ) 由于l i m 山s u 9 鬈筠7 暑暑 。，使得 g ( t ，“) f ( u ) a ( t ) u ，0 甜， ( 2 3 1 1 ) 因此，如果工k ，且l l x l l = ，贝o z ( f ) e r r 于是，对x e k ，i ；r ，我们有 ( 。x ) o ) = f o g ( t ，5 ) g ( j ，x ( s f o ) ) ) 出 东北大学硕士学位论文 第二章泛函微分方程的正周期解 r g ( t ，5 ) 盯( j ) 厂o ( s - - r ( s ) ) 虹( s - - t ( j ) 协 j 广g q ，( s - r g ( ts ) a ( s ) f ( x ( s ( s ) ) 蚓x 0j ， ( s ) ) 灿 = i h i ， 也即i i x l l - ，使得 g ( t ，“) f ( u ) a ( t ) u ，甜， 令r = 肛，于是有 “( f ) - 盯l l u l l = g r = ，u e n 讹：， ( 2 3 1 2 ) 其中q ：= “x ： 0 ( 2 3 1 3 ) 如若不然，存在k n , g f l ：，凡 o ，使得 工o = 锄o + 凡妒， 令= m ) n x o ( t ) ，则对t r 有 4 t x o ( t ) = ( o x o ) ( t ) 十九 = 厂g ( f ，5 ) g ( s ，x o ( j f ( j ) ) 冲+ 凡 f ”g ( t ，s ) 日( j ) 厂( ( s - r ( j ) ) ) ( s - r ( j ) ) 凼+ 厶 j 。 r ，s - r ( g ( t s ) a ( s ) f ( x o ( s5 ) ) 冲+ 凡 j ，5 ) ) 冲+ 凡 = 卢+ 九 也即u + 如，矛盾 因此，由引理2 2 1 ，中有一个不动点x k n ( 五：q 。) ，此外，r - 0 ， 一1 3 东北大学硕士学位论文第二章泛函微分方程的正周期解 这说明工( f ) 是方程( 2 1 1 ) 的一个埘一周期正解 例：一( f ) = 一a q ) f ( x ( t f ( f ) ) ) x ( f ) + 6 ( f ) x 0 一r q ) ) e 一4 “7 其中日( ，) ，b q ) c ( r ，( o ，m ) ) ，f ( f ) c ( r ，矗) ，f c ( o ，m ) ，( o ，。) ) ，卢( f ) c ( r ，( 0 ，o 。) ) ，并且 a q ) ，6 ( f ) 和r ( f ) 都是甜一周期泛函，国 0 为一常数 取口( r ) = 2 ，6 0 ) = 2 “2 ，o ) = 2 - ，f ( x ( t f o ) ) ) = e 。叫”，r q ) = - t 3 - 1 ，贝0 有 l i m i n fm i n 韭：生 z j o r e 【o ，。】f ( x ) a ( o x 并且 = h 咿f 幽e o , a , l 鼍戡誉篆 f 抽 2 1 工“一彳( n k h 卜h f j = n 枷x $ o 聊，祟2e 小z f e 【o m 】 ” ，i 警黝篇焘 - ；警黝等舞筹筹 。l j t ms u p t m o , a e x ( t _ r q ) ) e e ( o x ( t _ r ( t ) ) ：0 0 为一常数，f ( x ) 为有界泛函 引理3 , 2 1 设e 是b a n a c h 空间，p 是e 中的一个锥q 是e 中的有界开集， a ：p n 而一p 是全连续算子，如果存在p 口) ，使得 一a u r u o ，v r 0 ，尸n a q ， 则不动点指数i ( a ，p n q ，p ) = 0 引理3 2 2 设e 是b a n a c h 空间，p 是e 中的一个锥q 是e 中的有界开集，