（基础数学专业论文）纽结补中的不可压缩分段不可压缩曲面.pdf

学位论文独创性声明 i i j l ll lii i il ll iiii ilu i y 17 9 5 7 81 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注和 致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本人的 启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名： 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名： 指导教师签名：她 签名日期： 年多月多日 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 首先，我们讨论曲面f 与s 3 一k 中2 维球面交集的性质它们的交集构成一 个拓扑图，其中交集由一系列环路和马鞍型圆盘组成然后，我们定义一些变换 即r m o v e 、类s 2 一m o v e 和连通和分解以及拓扑图的特征数，即 e ( r ) = n + + n 一一n ，其中r l + ，n 一分别表示为拓扑图中fn 和fn 贮的分支数； 1 1 。表示拓扑图中马鞍型圆盘的个数可以证明这些变换不改变特征数事实上， 当拓扑图满足一些条件时，特征数就是欧拉性示数通过这些，我们刻画环链补 中不可压缩分段不可压缩曲面的性质 首先，用分类列举法证明，如果f n s ：( o rf n s ；) 的分支数小于5 并且交错 纽结或几乎交错纽结的拓扑图是几乎简单时，曲面的亏格等于零；然后用数学归 纳法证明，如果拓扑图是简单的，对于任意的1 1 ( 1 1 是f n s ：( o rf n s ! ) 的分支 数) 都有曲面亏格等于零 关键字：( 几乎) 交错环链；不可压缩分段不可压缩曲面；标准位置；亏格 纽结补中的不可压缩分段不可压缩曲面 i n c o m p r e s s i b l ep a i r w i s ei n c o m p r e s s i b l es u r f a c e si nk n o t c o m p l e m e n t a b s t r a c t f i r s t l y , w ed i s c u s st h ep r o p e r t i e st h a tt h es u r f a c efi n t e r s e c t sw i t h2 - s p h e r e si n s 3 一k t h ei n t e r s e c t i o nf o r m sat o p o l o g i c a lg r a p hw h i c hc o n s i s t so fac o l l e c t i o no f c i r c l e sa n ds a d d l e - s h a p e dd i s k s t h e nw ei n t r o d u c et h em o v e sa n dd e f i n et h e c h a r a c t e r i s t i cn u m b e ro ft h et o p o l o g i c a lg r a p hf o rfns ：t h ec h a r a c t e r i s t i cn u m b e r i su n c h a n g e du n d e rt h em o v e s i nf a c t ，t h ec h a r a c t e r i s t i cn u m b e ri se x a c t l yt h ee u l e r c h a r a c t e r i s t i cn u m b e ro ft h es u r f a c ew h e nag r a p hs a t i s f i e ss o m ec o n d i t i o n s b yt h e s e w a y s ，w ec h a r a c t e r i z et h ep r o p e r t i e so fi n c o m p r e s s i b l ea n dp a i r w i s ei n c o m p r e s s i b l e s u r f a c e si nl i n ke x t e r i o r s f i r s t , w ep r o v et h a tt h eg e n u so ft h es u r f a c ee q u a l sz e r oi ft h ec o m p l e m e n t sn u m b e r o ffn s ：( o r fn s ；) i sl e s st h a nf i v ea n dt h eg r a p hi sa l m o s ts i m p l ef o ra l t e r n a t i n g o ra l m o s ta l t e r n a t i n gl i n k s t h e nw ep r o v et h a tt h eg e n u so ft h es u r f a c ee q u a l sz e r o f o re a c hnw h i c hi st h ec o m p l e m e n t sn u m b e ro ff n s ：( o rf n s ；) i f t h eg r a p hi s s i m p l e k e y w o r d s ；a l t e r n a t i n gl i n k , ：a l m o s ta l t e r n a t i n gl i n k , ；i n c o m p r e s s i b l ep a i r w i s e i n c o m p r e s s i b l es u r f a c e ，；s t a n d a r dp o s i t i o n ，g e n u s h 辽宁师范大学硕士学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i 引，言1 l 预备知识2 2fn 的分支数小于5 并且拓扑图几乎简单情形5 2 1 交错纽结k 拓扑图几乎简单时的性质5 2 2 几乎交错纽结k 拓扑图几乎简单时的性质7 3 ，厂、跹( 或fn 世) 有有线条分支情况2 0 3 1 拓扑图t 简单时的性质2 0 3 2 拓扑图t 几乎简单时的性质2 6 4 结论2 7 参考文献2 8 攻读硕士学位期间发表学术论文情况3 0 致谢3 1 i 1 。 辽宁师范大学硕士学位论文 引言 文献【l 】中用几何的方法讨论了交错环链补中的不可压缩分段不可压缩曲面 的性质令k 是一个不可分裂的，素的，交错环链，f 是s 3 一k 中有n 个边界分 支的不可压缩分段不可压缩曲面，其中每个边界分支都是k 的的子午线如果 刀6 ，那么g ( f ) = 0 在这个证明的过程中，标准位置起到了关键的作用我们知 道，如果k 是一个( 几乎) 交错环链，那么我们可以把f 放到标准位置因此， 我们可以计算曲面f 的欧拉性示数然后f 的亏格也可以确定了通过类似的方法， 文献【2 j 中讨论了交错纽结补中不可压缩边界不可压缩曲面的性质并且证明了交 错纽结的索猜想文献 3 1 中证明了，如果f 是s 3 一k 中闭的不可压缩曲面并且k 是一个几乎交错环链，那么f 中包含一个s 3 一k 中合痕于k 的子午线的环路因 此，我们可以对曲面f 实施子午割补手术，并且这样的割补手术总是保持不可压 缩性的，经过有限次这样的子午割补手术f 变成为分段不可压缩文献【4 j 中研究 了几乎交错纽结的情况，并且证明了如果k 是几乎交错纽结那么可以把f 放到标 准位置于是，给了几乎交错纽结补中曲面亏格的一个刻画但是在文献扭- 4 j 的讨 论中都对曲面的边界分支数进行了限制虽然文献【5 j 中，没有对曲面边界分支数 进行限制，但却只讨论了f n s ：( o rf n s ；) 小于5 的情况同时，在文献【l - 5 j 的讨 论中都对拓扑图进行了限制，即拓扑图都是简单的 本文中，我们分别讨论了扑图是几乎简单和f n s ：( o rf n s ；) 有有限条环路 的情况，并且给了一种亏格的描述令k 是一个环链，f 是s 3 一k 中的曲面我们 主要讨论f 与s 3 一k 中2 维球面交集的性质本文共分为四部分第一部分为预备 知识，主要给了一些基本定义，同时也给了一些引理特别地，我们定义了拓扑 图的一些变换，并且在这些变换下，拓扑图的特征数不改变；第二部分讨论了 f n 醴的分支数小于5 并且拓扑图几乎简单情形，即定理2 1 及2 2 ；第三部分 讨论了f n ( 或f n 贮) 有有线条分支情况，即定理3 1 及3 2 ；第四部分为 本文的主要结论 纽结补中的不可压缩分段不可压缩曲面 1 预备知识 令s 2 = r 2u o o ，k 是s 3 中的一个环链除了交叉点的邻域外，我们把k 投影到s 2 上为了表达交叉点的性质，我们把每个交叉点放在一个b u b b l e 上，其中每个b u b b l e 同胚于一个三维球如果k 在s 2 上的投影图有n 个交叉点，那么存在i 1 个 b u b b l e sb ；，b ：，b ：，使得每个b u b b l e 与s 2 相交于一个圆盘，不妨设其为 d 1 ，d 2 ，d 。，也就是b ；n s 2 = d i ，( i = 1 , 2 ，n ) 令 s i = 0 2 一u 筒n ) u ( u 圣。 ? ) ) ， 其中s ? = a b ；( i = 1 , 2 ，n ) ，p ? ) 分别是s ：2 的上半球和下半球 令fcs 3 一k 是一个边界曲线都是与b u b b l e s 不相交的k 的子午线首先通过合 痕使得f 与每个b u b b l e 的极坐标横街性的相交，然后将f 从极坐标向外推，这样我 们可以使f 与每个b u b b l e 界定的球相交成马鞍型圆盘假设f 与& 横截性的相交所 以f n 的每一个分支是中的一条简单闭曲线( 或者称为环路) 并且每条环路对应 一个由p ( = p u n c t l l r e ) * as ( _ s a d d l e s h a p e a - d i s k ) 组成的字，记为q ( c ) 其中p 表示为c 与k 的交点，s 表示为c 与b u b b l e s 的交点于是啦( c ) 的一般表现型式如下： 吐( c ) = p i , s j r p s 厶 定义1 1 【l j 曲面fcs 3 一k 称为分段不可压缩如果对于每个与k 横截性地交于一 点且满足dnf = a d 的圆盘dcs 3 ，都存在一个与k 横截性地交于一点的圆盘 d cf uk ，满足a d = a d 定义1 2 【l j 令f 是环链k 外部的曲面。如果，满足下列条件： ( 1 ) f n 中没有空的字； ( 2 ) fn 鹾中不存在与一个b u b b l e 交于超过一段弧的环路； ( 3 ) f n 中的每条闭曲线都在中界定一个圆盘； 则称f 在标准位置 通过上面的讨论我们知道f n 霹由一系列简单闭曲线组成，并j f l f f l 【u 墨。b ) m - 系列马鞍型圆盘组成简单闭曲线和马鞍型圆盘形成一个图，我们称其为，与髓相交 的拓扑图，记为r ( r ) 或简记为t 令n + ，n 一分别表示为拓扑图中，n 砖和，n 世的分 支数；n 。表示拓扑图中马鞍型圆盘的个数令e p ) = n + + n 一一n 。，称其为拓扑图的特 征数 定义1 3 【3 j 令c 是拓扑图t 中的一条简单闭曲线，如果存在s ：( 或s ：) 中的一个 圆盘d 使得0 d = c ，并且d 的内部不含有丁其它曲线，那么就称c 是r 的最内部曲线 辽宁师范大学硕士学位论文 定义1 4 1 3 如果丁的每一条曲线都是最内部的，则称拓扑图是简单的 定义1 5 如果拓扑图丁中有且只有一条曲线是非内部的，则称r 为几乎简单的 定义1 6 【5 j 令k 是一个环链，d 是k 的一个投影图如果改变d 的一个交叉点后 d 变成交错投影图，那么称d 是几乎交错的如果环链k 有一个几乎交错投影图但不 存在交错投影图则称k 是几乎交错的我们称改变的交叉点为d e a l t e r n a t o rp o i n t ， 其相应的b u b b l e 称为d e a l t e r n a t o rb u b b l e 定义1 7 【6 】令丁是f n 墨的一个投影图如果存在一个一维球面s 使得s 与丁只 交于两点并且s 不与任何b u b b l e 相交，那么丁称为两组图的连通和假设丁是互，疋的 连通和，则表示为t = 互撑t ， 定义1 8 f l o j 称图1 1 中的变换为拓扑图的r m o v e 图1 1 定义1 9 称图1 2 中的变换为拓扑图的类s 2 一m o v e l ( 二 ) 、 ， )l 图1 2 3 上 纽结补中的不可压缩分段不可压缩曲面 引理1 1 【6 】( 1 ) 令r 是f n 的一个投影图假设r 经过r m o v e 后得到一个新 图t ，那么e p ) = e ( 丁) ( 2 ) 如果r = t , # t 2 ，那么e p ) = e 亿) + e 伍) 一2 引理1 2 【4 】令k 是一个交错纽结，fcs 3 一k 是一个不可压缩分段不可压缩曲面 假设，r 、踺的拓扑图丁是联通并且简单的如果，n ( 或f n 史) 的分支数小于5 ， 那么g ( f ) _ 0 引理1 3 【4 】令k 是一个几乎交错纽结，fcs 3 一k 是一个不可压缩分段不可压缩 曲面假设f r 、的拓扑图丁是联通并且简单的如果，厂、( 或f n 贮) 的分支数小 于5 ，那么g ( f ) _ 0 引理1 4 p 令k 是一个几乎交错纽结，fcs 3 一k 是一个不可压缩分段不可压缩 面那么f 一定可以处于标准位置 辽宁师范大学硕士学位论文 2 拓扑图几乎简单情形 、 由引理1 3 我们知道当拓扑图r 简单并且如果，r 、( 或，n 贮) 的分支数小于 5 时有g 护) = 0 那么当拓扑图丁几乎简单并且f n s ；( 或f t 7 贮) 的分支数小于5 时又有什么结论呢? 我们看定理2 1 定理2 1 令k 是一个交错环链，fcs 3 一k 是一个不可压缩分段不可压缩曲面 假设，n 的拓扑图丁是连通并且几乎简单的如果，r 、( 或f f 7 筻) 的分支数小 于5 ，那么f 的亏格为0 证明：由引理1 4 有f 处于标准位置因为拓扑图丁是几乎简单的，所以f 厂、至 少含有3 条环路下面分别讨论，厂、跹含有3 条环路和4 条环路 情况1 ：若，n 含有3 条环路，设其为c ，c 1 ，c 2 ，其中c 为非最内部环路 那么c 穿过c 1 ，c ：所穿过的所有b u b b l e s 这是因为c l ，c ，分布在c 的两侧，所以 c l ，c 无公共b u b b l e ，从而如果c 不穿过c 1 ，c 2 的所有b u b b l e s 那么至少存在4 条 环路，这与假设只有3 条环路相矛盾又因为尸在标准位置，所以不存在图2 1 所示 形式： 图2 1 因此当f r 、醴含有3 条环路时仅有图2 2 所示基本形： - 5 - 纽结补中的不可压缩分段不可压缩曲面 图2 2 从而，n 筻只有3 条环路，所以e ( r ) = 3 + 3 4 = 2 然而当，n 含有3 条环路时的 其他形式只是在上述形式的基础上增加b u b b l e 的个数，每增加一个b u b b l e 的同时 f 厂、中环路的个数也增加l ，这样不会改变拓扑图丁的特征性示数，所以亏格数也 不会改变，即结论正确 情况2 ：若fn 口含有4 条环路，设其为c ，g ，c 2 ，c ，其中c 为非最内部环 路于是有下述两种基本形： a c 1 ，c 2 ，g 中存在两条环路有公共b u b b l e ，如图2 3 ： 图2 3 6 o o o o o o o o o o o o 。1 1 o 。- 。_ _ _ _ 辽宁师范大学硕士学位论文 a k 而fn s ：只有3 条环路，所以e p ) = 4 + 3 5 = 2 b c l ，c 2 ，g 中任意两条环路无公共b u b b l e ，如图2 4 - 图2 4 从而fn 霹有4 条环路，所以e ( 丁) = 4 + 4 6 = 2 然而当，n 含有4 条环路时的其他形式只是在上述两种形式的基础上增加b u b b l e 的个数，每增加一个b u b b l e 的同时f n 筻中环路的个数也增加l ，这样不会改变拓扑 图丁的特征性示数，所以亏格数也不会改变，即结论正确 定理2 2 令k 是一个几乎交错环链，fcs 3 一k 是一个不可压缩分段不可压缩曲 面假设fr 、霹的拓扑图丁是连通并且几乎简单的如果f n ( 或f r 、贮) 的分支数 不超过4 ，那么f 的亏格为o 引理2 1 令k 是一个几乎交错环链，fcs 3 一k 是一个不可压缩分段不可压缩曲 面假设，厂、踺的拓扑图丁是连通并且几乎简单的如果，r 、墨( 或f 厂、世) 的分支数 为3 ，那么，的亏格为0 证明：若fn 含有3 条环路，设其为c ，c 1 ，c ：，其中c 为非最内部环路由 引理1 4 有f 处于标准位置，所以至少两条必然穿过d e a l t e r n a t o rb u b b l e 因为 f n s ：含有3 条环路，所以c 穿过c l ，c 2 所穿过的所有b u b b l e s ，并且q ，g 无公共 b u b b l e 下面分别讨论存在s 2 ，p s 3i 、i i 型环路的情况： ( 1 ) 存在s 2 型环路c l 时，有图2 5 所示基本形： 纽结补中的不可压缩分段不可压缩曲面 图2 5 从而fn 受只有3 条环路，所以e p ) = 3 + 3 4 = 2 然而当f 厂、s ：含有3 条环路且有 一条是s 2 型环路时的其他形式只是在上述形式的基础上增加b u b b l e 的个数，每增加 一个b u b b l e 的同时f r 、影中环路的个数也增加1 ，这样不会改变拓扑图丁的特征性示 数，所以亏格数也不会改变，即结论正确 ( 2 ) 存在i 型邢3 环路c l 时，有图2 6 所示基本形： 图2 6 8 辽宁师范大学硕士学位论文 从而f n 只有4 条环路，所以e p ) = 3 + 4 5 = 2 然而当f n s ；含有3 条环路且有 一条是i 型邢3 环路时的其他形式只是在上述形式的基础上增加b u b b l e 的个数，每增 加一个b u b b l e 的同时f n 贮中环路的个数也增加1 ，这样不会改变拓扑图丁的特征性 示数，所以亏格数也不会改变，即结论正确 ( 3 ) 存在i i 型邢3 环路q 时，有图2 7 所示基本形： 图2 7 从而，r 、筻只有4 条环路，所以e ( 丁) = 3 + 4 5 = 2 然而当fn 霹含有3 条环路且有 一条是i i 型p s 3 环路时的其他形式只是在上述形式的基础上增加b u b b l e 的个数，每增 加一个b u b b l e 的同时f 厂、艇中环路的个数也增加1 ，这样不会改变拓扑图丁的特征性 示数，所以亏格数也不会改变，即结论正确 引理2 2 令k 是一个几乎交错环链，fcs 3 一k 是一个不可压缩分段不可压缩曲 面假设，厂、的拓扑图r 是连通并且几乎简单的如果f 厂、( 或，厂、) 的分支数 为4 ，那么f 的亏格为0 证明：若f n 簧含有4 条环路，设其为c ，c 1 ，c ：，c ，其中c 为非最内部环路 由引理1 4 有f 处于标准位置，所以至少两条必然穿过d e a l t e r n a t o rb u b b l e 下面分 别讨论存在s 2 型和i 、i i 型p s 3 环路的情况： ( 1 ) 存在一条s 2 型环路c 时，存在图2 8 ，2 9 ，2 1 0 ，2 1 1 所示四种基本形： 纽结补中的不可压缩分段不可压缩曲面 图2 8 图2 9 1 0 辽宁师范大学硕士学位论文 图2 1 0 图2 1 l 其中，图2 8 、图2 1 1 对应，r 、史中有3 条环路，所以e p ) = 4 + 3 5 = 2 ；图2 9 、 图2 1 0 对应fn 贮中有4 条环路，所以e p ) = 4 + 4 6 = 2 然而当fns + 啪- 3 条 环路且有一条是s 2 型环路时的其他形式只是在上述形式的基础上增加b u b b l e 的个 纽结补中的不可压缩分段不可压缩曲面 数，每增加一个b u b b l e 的同时尸厂、筻中环路的个数也增加1 ，这样不会改变拓扑图r 的特征性示数，所以亏格数也不会改变，即结论正确 ( 2 ) 存在两条s 2 型环路g ，c ，时，则c 穿过c 1 ，c ，的除公共b u b b l e 外的另外 两个b u b b l e s 和c 穿过的所有b u b b l e s 因此存在图2 1 2 所示基本形： 图2 1 2 从而，r 、筻只有3 条环路，所以e ( 丁) = 4 + 3 5 = 2 然而当f 厂、含有4 条环路且有 两条s 2 型环路时的其他形式只是在上述形式的基础上增加b u b b l e 的个数，每增加一 个b u b b l e 的同时fr 、贮中环路的个数也增加l ，这样不会改变拓扑图丁的特征性示数， 所以亏格数也不会改变，即结论正确 ( 3 ) 存在i 型粥3 环路c l 时，因为，厂、含有4 条环路，所以i 型粥3 环路有且 只有一条( 否则拓扑图不连通) a 如果c ，c ，有公共b u b b l e ，则环路c 穿过g 穿过的所有b u b b l e s 和c ：，c ，的 除公共b u b b l e 外的所有b u b b l e s 从而有图2 1 3 所示基本形： 辽宁师范大学硕士学位论文 图2 1 3 b 如果c 2 ，g 无公共b u b b l e ，则环路c 穿过c 1 穿过的所有b u b b l e s 和c 2 ，c 3 的 所有b u b b l e s 从而有图2 1 4 所示基本形： 图2 1 4 而对于图2 1 3 ，f 厂、s 2 只有4 条环路，所以e p ) = 4 + 4 6 = 2 ；对于图2 1 4 ，fn s 2 只有5 条环路，所以e p ) = 4 + 5 7 = 2 然而当，ns ：含有4 条环路且有in p s 3 环 1 3 纽结补中的不可压缩分段不可压缩曲面 路时的其他形式只是在上述两种形式的基础上增加b u b b l e 的个数，每增加一个b u b b l e 的同时fr 、贮中环路的个数也增加1 ，这样不会改变拓扑图丁的特征性示数，所以亏 格数也不会改变，即结论正确 ( 4 ) 存在一条i i 型邢3 环路c 1 时，有图2 1 5 ，图2 1 6 ，图2 1 7 所示三种基本形： 辽宁师范大学硕士学位论文 图2 1 7 从而对于图2 1 5 ，2 1 6 ，f n 奠只有4 条环路，所以e ( 丁) = 4 + 4 6 = 2 ；对于图2 1 7 ， ，r 、簧只有5 条环路，所以e ( 丁) = 4 + 5 7 = 2 然而当，厂、含有4 条环路且有一条i i 型p s 3 环路时的其他形式只是在上述三种形式的基础上增加b u b b l e 的个数，每增加一 个b u b b l e 的同时，n 筻中环路的个数也增加1 ，这样不会改变拓扑图丁的特征性示数， 所以亏格数也不会改变，即结论正确 ( 5 ) 存在两条i i 型粥3 环路c l ，c ：时，c 穿过c 1 ，c ，除公共b u b b l e s 外的所有 b u b b l e s 和e 穿过的所有b u b b l e s 从而有图2 1 8 所示基本形： 图2 1 8 1 5 纽结补中的不可压缩分段不可压缩曲面 从而，厂、奠只有4 条环路，所以e 仃) = 4 + 4 6 = 2 然而当，厂、含有4 条环路且有 两条i i 型p s 3 环路时的其他形式只是在上述形式的基础上增加b u b b l e 的个数，每增加 一个b u b b l e 的同时，厂、史中环路的个数也增加1 ，这样不会改变拓扑图r 的特征性示 数，所以亏格数也不会改变，即结论正确 ( 6 ) 存在一条s 2 型环路c 1 和一条i 型船3 环路c ，时，若c 穿过c 1 ，c ，除公共 b u b b l e s 外的所有b u b b l e s 和c ，穿过的所有b u b b l e s 从而有图2 1 9 所示基本形： 图2 1 9 从而fn 筻只有4 条环路，所以e p ) = 4 + 4 6 = 2 然而当fns f 含有4 条环路且有 一条s 2 型环路c 1 和一条i 型粥3 环路c ，且c 穿过g ，c ，除公共b u b b l e s 外的所有 b u b b l e s 和c ，穿过的所有b u b b l e s 时的其他形式只是在上述形式的基础上增加b u b b l e 的个数，每增加一个b u b b l e 的同时，n 史中环路的个数也增加1 ，这样不会改变拓扑 图丁的特征性示数，所以亏格数也不会改变，即结论正确 若c 穿过c l ，c ，除公共b u b b l e s 外的部分b u b b l e s 和穿过c ，穿过的所有b u b b l e s 从 而有图2 2 0 所示基本形： 辽宁师范大学硕士学位论文 图2 2 0 从而，n 簧只有3 条环路，所以e ( 丁) = 4 + 3 5 = 2 然而当f 厂、含有4 条环路且有 一条s 2 型环路c 1 和一条i 型粥3 环路c ，且c 穿过c l ，c ，除公共b u b b l e s 外的部分 b u b b l e s 和穿过c ，穿过的所有b u b b l e s 和时的其他形式只是在上述形式的基础上增加 b u b b l e 的个数，每增加一个b u b b l e 的同时f 厂、贮中环路的个数也增加1 ，这样不会 改变拓扑图丁的特征性示数，所以亏格数也不会改变，即结论正确 ( 7 ) 存在一条s 2 型环路c 1 和一条i i 型丹3 环路c ，时，若c 穿过c 1 ，c ，除公共 b u b b l e s 外的所有b u b b l e s 和g 穿过的所有b u b b l e s 从而有图2 2 1 所示基本形： 图2 2 1 1 7 纽结补中的不可压缩分段不可压缩曲面 从而，n 筻只有4 条环路，所以e ( r ) = 4 + 4 6 = 2 然而当fr 、含有4 条环路且有 一条s 2 型环路和一条i i 型粥3 环路且c 穿过c 1 ，c ：除公共b u b b l e s 外的所有b u b b l e s 和e 穿过的所有b u b b l e s 时的其他形式只是在上述形式的基础上增加b u b b l e 的个数， 每增加一个b u b b l e 的同时，r 、贮中环路的个数也增加l ，这样不会改变拓扑图丁的特 征性示数，所以亏格数也不会改变，即结论正确 若c 穿过c 1 ，c ，除公共b u b b l e s 外的部分b u b b l e s 和g 穿过的所有b u b b l e s 从而有 图2 2 2 和2 2 3 两种基本形： 辽宁师范大学硕士学位论文 从而fn 筻只有3 条环路，所以e ( 丁) = 4 + 3 5 = 2 然而当fr 、墨含有4 条环路且有 一条s 2 型环路和一条i i 型邢3 环路且c 穿过g ，c 除公共b u b b l e s 外的部分b u b b l e s 和e 穿过的所有b u b b l e s 时的其他形式只是在上述形式的基础上增加b u b b l e 的个数，、 每增加一个b u b b l e 的同时，厂、贮中环路的个数也增加1 ，这样不会改变拓扑图丁的特 征性示数，所以亏格数也不会改变，即结论正确 定理2 2 证明：由引理2 1 和2 2 可知定理2 2 结论成立 纽结补中的不可压缩分段不可压缩曲面 3f n s ：( 或f n 贮) 有有限条分支情况 上面我们讨论了拓扑图( 几乎) 简单且f n 簧( 或f n 畿) 最多有4 条环路的情 形，那么对于拓扑图简单且，r 、簧( 或fr 、艇) 有有线条时又有什么样的结论呢? 我 们看下面的定理： 定理3 1 令k 是任意环链，fcs 3 一k 是一个不可压缩分段不可压缩曲面假设 f 处于标准位置，fn 受的拓扑图丁是联通并且简单的对于任意的，z z 且，z 5 ( 行为 ，n 簧( 或f r 、史) 的分支数) ，都有g c f ) = 0 证明：用归纳法证明当n = 5 时，设其分别为c l ，c 2 ，c 3 ，c 4 ，c ，任取其中一条 环路，不妨设g ， 情况1 ：若剩余四条环路中有一条环路穿过c 1 的所有b u b b l e s ，不妨设其为c 2 ， 则存在图3 1 所示情形： 图3 1 2 _ 于是可以做连通和丁= 正撑疋，其中正为含有四条环路的拓扑图，互有图3 2 所示形式： 辽宁师范大学硕士学位论文 图3 2 所以e 伍) = e 伍) = 2 ，从而e p ) = e ( t 1 ) + e 亿) 一2 = 2 情况2 ：若剩余四条环路中有两条环路穿过c 1 的所有b u b b l e s ，不妨设其为c 2 ，c 3 ， 则有图3 3 所示情形： 图3 3 2 1 2 3 纽结补中的不可压缩分段不可压缩曲面 首先将上图进行r - m o v e 可得图3 4 ，设此时有拓扑图互： 图3 4 在经过类s 2 一m o v e 后可变成图3 5 所示形式，设此时有拓扑图正： 图3 5 我们知道r m o v e 不改变图的欧拉性示数，即e p ) = e 伍) ；下面我们看类s 2 - m o v e ， 设变换前e 亿) = ”+ + 刀一一，经类s 2 一m o v e 后，z ：= - 1 ，万：= ，z 一，胛：= ，z ，- 1 ，从而 辽宁师范大学硕士学位论文 有e 亿) = e 亿) 我们可以看到经过r m o w 和类s 2 一m o v e 后图正比图互少一条环 路，即图乃含四条环路，而当图含有四条环路时有e 亿) = 2 ，所以 e 留) = e 亿) = e 忸) = 2 情况3 ：若剩余四条环路中有三条或以上环路穿过c 1 的所有b u b b l e s ，下面我们 讨论四条环路都穿过c 1 的b u b b l e s 时情况，不妨设其为c ：，c 3 ，c 4 ，c 5 ( 1 ) 若存在环路c 满足c 只与c 1 有公共b u b b l e s ，那么做连通和t = 互舟互将c 分离 出来，其中z 为含有四条环路的拓扑图，互有图3 6 所示形式： 图3 6 所以e 亿) = e 伍) = 2 ，从而e p ) = e 亿) + e 伍) - 2 = 2 ( 2 ) 对于任意c ( f 1 ) 满足q 与c l 有连续相交的b u b b l e s 时，有图3 7 所示基本形： 图3 7 2 3 纽结补中的不可压缩分段不可压缩曲面 于是先经过r m o v e 后可得图3 8 ： 在考虑图3 9 所示变换： 图3 8 图3 9 2 4 辽宁师范大学硕士学位论文 设变换前e p ) = + 咒一一刀，经上述变换后以= - 1 ，疋= m 一3 ，以= n s 一4 ，从而 有e p ) = e 伍) 其它形式为在c j 与c l 之间增加b u b b l e s ，每增加一个b u b b l e ，甩一也随 之增加1 而n = 不变从而e p ) = e 亿) 仍成立，其中互为有四条环路的图，所以 e p ) = e 亿) = 2 ( 3 ) 对于任意q ( f 1 ) 满足q 与c 1 有不连续相交的b u b b l e s 时，当也存在有连续相交 b u b b l e s 时可先经过r m o v e 将其消去得图3 1 0 所示基本形： 图3 1 0 在经过类s 2 一m o v e 可得拓扑图正，如图3 1 1 ： 图3 1 1 2 5 纽结补中的不可压缩分段不可压缩曲面 在经过r m o v e 可得图3 1 2 - 图3 1 2 其它形式为在c ，与g 之间增加b u b b l e s ，每增加一个b u b b l e ，咒一也随之增加1 而n ：不 变显然互为含有四条环路的图，所以e p ) = e 亿) = 2 假设当有n 一1 条环路时定理成立，下证当存在1 1 条环路时也成立 证明：证明方法同前 由引理1 4 可得下述定理： 定理3 2 令足是一个( 几乎) 交错环链，fcs 3 一k 是一个不可压缩分段不可压 缩曲面假设fn 岛的拓扑图丁是联通并且简单的对于任意的z z z 且n 5 ( n 为 ，n ( 或fr 、奠) 的分支数) ，都有g ( f ) = 0 辽宁师范大学硕士学位论文 结论 最后，由引理1 2 ，引理1 3 ，以及定理3 2 ，可得下述结论： 定理令k 是一个( 几乎) 交错环链，fcs 3 一k 是一个不可压缩分段不可压缩 曲面假设，r 、的拓扑图t 是联通并且简单的对于任意的n z ( n 为fns 2 + ( 或 f r 、史) 的分支数) ，都有g p ) = o 纽结补中的不可压缩分段不可压缩曲面 参考文献 1 w w m e n a s c o c l o s e di n c o m p r e s s i b l es u r f a c e si n a l t e r n a t i n g k n o ta n dl i n k c o m p l e m e n t s t o p o l o g y 1 9 8 4 ，2 3 ( 1 ) ：3 7 4 4 2 w w m e n a s c oa n dt h i s t l e t h w a i t e s u r f a c e sw i t hb o u n d a r yi na l t e r n a t i n gk o n t e x t e r i o r s j r e i n ea n g e w m a t h 1 9 9 2 ，4 2 6 ：4 7 6 5 3 3c c a d a m s ，e t c a l m o s ta l t e r n a t i n g l i n k s t o p o l o g y a n di t s a p p l i c a t i o n s 1 9 9 2 ， 4 6 ：1 5 1 - 1 6 5 4 h a ny o u f a i n c o m p r e s s i b l ep a i r w i s ei n c o m p r e s s i b l es u r f a c e si na l m o s ta l t e r n a t i n gk n o t c o m p l e m e n t s t o p o l o g ya n di t sa p p l i c a t i o n s 1 9 9 7 ，8 0 ：2 3 9 2 4 9 5 h a ny o u f a i n c o m p r e s s i b l ep a i r w i s ei n c o m p r e s s i b l es u r f a c e si na l t e r n a t i n gk n o t c o m p l e m e n t s j m a t h s r e s e a c ha n de x p o s i t i o n 1 9 9 7 ，1 7 ：4 5 9 - 4 6 2 6 h a ny o u f a ，z h a oy a n ，y a n gs h e n g w u p r o p e r t i e so fi n c o m p r e s s i b l es u r f a c e si na l t e r n a t i n g l i n kc o m p l e m e n t s j o u r n a lo fj i l i nu n i v e r s i t y 。2 0 0 5 ，4 3 ：1 6 1 9 7 3j s i m o n a na l g e b r a i cc l a s s i f i c a t i o no nk n o t si ns a n n o fm a t h 1 9 7 3 9 7 ：卜1 3 8 w w m e n a s c o d e t e r m i n i gi n c o m p r e s s i b i l i t yo fs u r f a c e si na l t e r n a t i n gk n o ta n dl i n k c o m p l e m e n t s p a ci f i cj m a t h 1 9 8 5 11 7 ：3 5 3 3 7 0 9 w w m e n a s c oa n dm b t h i s t l e t h w a i t e ag e o m e t r i cp r o o ft h a ta l t e r n a t i n gk n o t sa r e n o n t r i v i a l m a t h p r o c p h i l s o c 1 9 9 1 1 0 9 ：4 2 5 - 4 3 1 1 0 r n c r o w e l l g e n u so fa l t e r n a t i n gl i n kt y p e s a n n o fm a t h 1 9 5 9 6 9 ：2 5 8 2 7 5 1 1 3o i ur u i f e n g ，d e n gx u e g o n g i n c o m p r e s s i b l es u r f a c e si nh a n d l e b o d i e sa n dc l o s e d 3 - m a n i f o l d s n o r t h e a s t m a t h j 1 9 9 8 。1 4 ：6 9 - 7 4 1 2 t o s h i os a i t o s a t e l l i t e ( 1 ，1 ) 一k n o t sa n dm e r i d i o n a l l yi n c o m p r e s s i b l es u r f a c e s t o p o l o g ya n di t sa p p l i c a t i o n s 2 0 0 5 ，1 4 9 ：3 3 5 6 1 3 3m a k o t oo z a w a c l o s e di n c o m p r e s s i b l es u r f a c e si nt h ec o m p l e m e n t so fp o s i t i v e k n o t s c o m m e n t m a t h h e l v 2 0 0 2 ，7 7 ：2 3 5 - 2 4 3 1 4 3m a r i oe u d a v e - m u n o z i n c o m p r e s s i b l es u r f a