（基础数学专业论文）两类riemannhilbert边值问题和四元数空间的pompeiu算子的一些性质.pdf

两类r i e m a n n h i l b e r t 边值问题和四元数 空间的p o m p e i u 算子的一些性质 基础数学专业 研究生鄢盛勇指导老师杨丕文 本文研究了两类方程组的r i e m a n n - h i l b e r t 边值问题。在第一章中，研究 了由双解析函数产生的一类n 一阶椭圆型方程组的r i e m a n n - h i l b e r t 边值问题， 建立了其解的积分表示，并利用不动点原理证明了其解的存在性。在第二章中， 通过引入多双曲数，用函数论的方法研究了一个双曲复变函数的超定双曲型方 程组的解。在一般柱形域上，得到了它的r i e m a n n - h i l b e r t 边值问题的可解条 件，解的表示，唯一性和存在性。在第三章中，研究了四元数分析中有界域g 上，非齐次方程a ：u ；f 的分布解t 0 f 的一些性质：当f l 。( g ) ，1 s p 4 时， 它属于空间e ( g ) ；当g 的边界s 分片光滑时，它还属于空间l ，( s ) ，还得到 其p o m p e i u 公式。 关键词：r i e m a n n - h i l b e r t 边值问题；椭圆型方程组：双曲型方程组；p o m p e i u 算子；四元数分析 r i e m a n n - h i l b e r tp r o b l e m sf o rt w 0c l a s so f s y s t e m s a n ds o m e p r o p e r t i e s o ft h e p o m p e i u o p e r a t o r ti n q u a t e r n i o n i ca n a l y s i s m a j o r ：b a s i cm a t h e m a t i c s p o s t g r a d u a t e ：y a hs h e n gy o n gs u p e r v i s o r ：y a n g p iw e n t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e sr i e m a n n h i l b e nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rt w o c l a s so f s y s t e m s i nc h a p t e ro n e ，t h er i e m a n n h i l b e r tb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sf o r ac l a s so fn t ho r d e rd l i p t ms y s t e mi sd i s c u s s e d w ep r o v ei t ss o l v a b i l i t ya n dg i v e t h ei n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o no ft h es o l u t i o n i nc h a p t e rt w o ，w ei n t r o d u c es e v e r a l h y p e r b o l i cc o m p l e x a n d g e n e r a l i z e dh y p e r b o i cr e g u l a r f u n c t i o n sf u s t l y , d e a lw i t h t h er i e m a n n - h i l b e r tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rg e n e r a l j z e dh y p e r b o l i cr e g u l a r f u n c t i o n s i nt h e g e n e r a lb i e y l i n d e r w ep r o v e i t s s o l v a b i l i t y , g i v e t h e r e p r e s e n t a t i o n s o ft h es o l u t i o na n di t su n i q u e n e s s i nl a s tc h a p t e r ，w es h o w n t h a ti f f e l 。( g ) ，1 量p s 4 ，t h e d i s t r i b u t i o ns o l u t i o n t g f o ft h e i n h o m o g e n e o u s e q u a t i o n 0 u fo nab o u n d e dd o m a i ngi nq u a t e m i o n i ca n a l y s i si si nt h es p a c e o f f u n c t i o n s 磷( g ) w e a l s oo b t a i nt h e p o m p e i u s f o r m u l ao f q u a t e m i o n a l o p e r a t o rt g f k e yw o r d s ：r i e m a n n - h i l b e r tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；e l l i p t i ce q u a t i o n ； h y p e r b o l i cc o m p l e xe q u a t i o n s ；p o m p e i uo p e r a t o r ； q u a t e m i o n i ca n a l y s i s 刖昌 本文对一类椭圆型方程组与一类双曲型方程组的r i e m a n n h i l b e r t 边值阀题 进行了研究，并且在四元数空间中，讨论了对解决r i e m a n n h i l b e r t 边值问题起 重要作用的t 算子的一类重要性质。 复形式的高斯公式导出了带光滑边界有界区域内的解析函数的积分表示， 推广解析函数的柯西积分公式得到了一般函数的积分表达式，也就是p o m p e i u 公式，公式中出现的区域积分给了一个带弱齐性的积分算子t ，它在广义解析 函数理论中起着重要作用。i n v e k u a 2 1 对它的性质进行了深入的研究，利用t 算子，n 算子以及积分方程的理论研究平面上一阶椭圆型方程组更得到了丰硕 的成果，如参考文献【3 】【9 】等。 h b e g e h r 和gn h i l e t ”1 1 1 ”从一个方面推广了t 算子，得到平面上更一般 的算予t m 。，m + 1 1 苫0 ，并利用此算子研究高阶椭圆型方程【1 2 ”】，本文第一章就 是利用t m 。，m + n 0 算子生成一些新的算子，研究一类高阶椭圆型方程的 r i e m a n n h i l b e r t 边值问题，将其转化为积分方程，由s c h a u d e r 原理证明其解的 存在性，建立解的积分表示。 平面上的解析函数论一方面往高维进行推广，发展成为多复变函数论，四 元数分析以及c l i f f o r d 分析，特别是在多复变函数中推广t 算子，在【1 4 】- 2 2 】 中研究了很多椭圆组的r i e m a r m h i l b e r t 边值问题；另一方面濮德潜t 矧闻国椿 1 5 1 “1 引入双曲数以来，很多学者用函数论的方法来研究双曲型方程组( 见 【2 5 3 0 】) ，基于这两方面，本文在第二章中引入多双曲数，研究了一类超定双 曲型方程组，在一般柱形域上研究了其r i e m a r m i - i i l b e r t 边值问题，得到了其解 的表示，解的唯一性以及存在性。 四元数分析是复分析在高维空间中的另一种形式的推广( 见 3 1 】 3 3 】) ，很 多学者( 【3 4 一 3 5 】) 对其中的p o m p e i u 公式以及边值问题进行了研究，杨丕文 3 7 1 ”l 在四元数空间中推广了复平面上的p o m p e i u 算子t ，并用它研究了一些椭 圆型方程组的r i e m a n n h i l b e r t 边值问题。四元数分析中的p o m p e i u 算子t 也将 象复平面上的t 算子一样，在研究椭圆型方程组中将起重要作用。本文在第三 章研究了当1 p s 4 时，t 算子的一些性质。 第一章平面上一类n 阶椭圆型方程组 的r i e m a n n i - i i l b e r t 边值问题 本章中讨论了由双解析函数产生的一类n 阶椭圆型方程组的 r i e m a n n h i l b e r t 边值问题，建立了其解的积分表示，并利用不动点原理证明 了其解的存在性。 1 1 基础知识 在【3 9 】中，作者讨论了一类二阶椭圆型方程组( 其解为双解析函数) 的 r i e m a n n h i l b c r t 边值问题，我们讨论下面的一类方程组： 兰；掣庐+ 百a + i 妒- ( 1 1 ) a -4 a 。4 a 。 。 坐；f( 1 2 ) 扼o ( 其中a 0 , 1 ；n 2 1 。) 在单连通区域d 上的解。在【9 】中作者讨论了方程 f = 0 ，h ( z ，f ，f ：) ，h ( z ，妒，丸，f ) ( n 一2 ) 的情况。下面我们讨论 f h z 旗芸，誓，警，者专，r ，笔， ；州磐嵩+ 。秘盟0 z i o z j + 扣，氐 的情况，其中q 。都是z 旃警，差，窘，者专f 篆，器的函数，而 销a 是z ，妒，差，争，竽，雾，r ，争等的瓯 为了简单，考虑d = z ：i z i s q ，f = 信：旧= q 。 问题a 求满足方程组( 1 1 ) ，( 1 2 ) 的函数f ( z ) e c ”1 ( 西，且适合下面 2 的边值条件： r e 瞎“f 售) ) = r + h ； 啡1 = y k + h k , o s k 一； 虬囝2 卜鼬一黔均乳叩。； 其中对，h 是待定系数，m ，m 。z ，y ，y 。满足 c 。n - k ( 、y k ，r ) s k l ( k = 毗n 一1 ；j 1 口 2 ，在 d 上均可测，并且还满足c 。( a “) s k 。c m ，i + j = 0 ，1 ，n ；c 。( b j ) s ( 可任 意小) ，j = o a ，n ；c 。( a 。) s k 。，k 。为正常数。 2 ) 上述所有函数q 日，a 日，b j ，a 。关于它们各自的各个变量都连续。 3 ) f 满足一致椭圆条件，即 脚，驴0o - 1 卅，卅，f ，争懈打一，等飕m f ，一，翱 3 s 驯u i u 非q 0 - 善q j 1 z e d ，妒，u 扎u 2 e e ( j = 1 2 ，n ) q j ( j o ，n ) 是非负常数。 下面考虑方程组( 1 1 ) ( 1 2 ) 的问题a 的解。 1 2 微分方程解的表示和存在 j 曼f ( z ) e c a ( _ ) ，定义 t ，r c z ) - 三号鸶vi 善= 丢手”- 1 g ，d 静叩，苫pz o ，yz l c t 3 ， t - 1 f(z)，,k k “牲b 。移c 力+ 萎锱器等掣击 ( 1 4 ) ( 1 5 ) 卢，k1n 都为正整数。这些算子有很多类似通常的t ，算子的性质 ( 见参考文献【1 0 【1 2 】【1 3 】) ，我们仅列举下面有用的性质： 命题1 1 设f ：( z ) c ：( 功，0 t 口c 1 ，则t _ i 。f ( z ) c ：( _ ) ，从而有 t - 。e c ：( 甄t o ，1 ，n 。并且还有下面的不等式成立 c ：( t _ 。，f ，西sm ( n ，口) c ：( f ，_ ) ；c ：”c r _ 。f ，百) sm ( n ，t ，a ) c ：( f ，石) t 面设w e c 。( 西，定义算子 t o j ( z ) _ t 0 1 ( z ) ； ) = = 扣掣孚叫m j 0 ) ： 4 一 协 仃 扩扩扩一扩 孕( z ) ：- - l 石z 2 m ji 肛器毗，( m j 哦( o 眯n m 州z ) = 一扭謦岘( m c 0 ) ； t m 雌) 石1 z m l 肛器峨，( m = o ) 易见在d 上，t j ( z ) ，t m ( z ) 都是解析函数。令r j 一t o j + t j o j ， r m w = t 6 0 + t m ，由 2 】【3 】知r j ，f 是a c o ( 西) 到c 。( e ) ，a = 旦 的紧算子， 并且还是从c ：( e ) 到c ：1 ) 的紧算子。 设口；害一脚旗誓，警，岩，害专，r ，兰，争，则有 庐( z ) ；r 0 。p 。r d ，( z ) + 苫8 t ( 1 6 ) r e 售一坩- 要兰要) ；i k 亭1 - - t ( l 一。8 + ( n 一1 ) ! a 。信) ) 】 = r 啦“_ 1 ( _ 妻) 肛罄d 吒 伊“+ 1 ( 一妻碾黑d + ( n 刮a 一纠 = ( n 一1 ) ! r e 佶- r a n - i a 。皓) ) 一y 。一，+ h 。1 售) 当m。一。时，还设ji：j：!_：i；挲a。，。；l2，一m。一。 当m o 时，还设正1 i = 嚣五- 一d t o ，s 拳1 ，2 ，一m n 一 南3 1 知道。r z 、一z m 。- 竺r 竺竺：+ r 8 善( 矿“砰1 垮1 亭+ z 。 邮伽遗a n - “z ) _ 幼正菁 嵩 凯删蚰一( z ) ；知篇高岍1 z i 其悯。1 是满足 石f c 爱一的任意常数。 姚n 加知背尚岍融屯， 其中h 。信) 是问题a 中所设，而c ? 4 满足： 当m 。 o 时c ? - 1 0 i ；o ，2 m 。；当m 。i o 时，研i 一一c 瓮，。 一般情况( o ks n 一1 ) 有 y 。佶) + h 。停) ；r e 佶一m t 旦亚、a 王- k = r e 陪一m - ( l 。r “p + k ! a 。售) + 垦音型a 。+ ，晤) f 菩专鸶蛳“- 1 ) ， 峨【k f a r 。+ 堡裂t 错“_ 1 + + 高尚a 口- l 雠4 _ ( n i 。 其中r 。= l 。r k + ，。r n 。k 一0 ，1 ，n 一1 ；r “( z ) = ( z ) 。下面令 钟值) ；r e 晦a k 佶) ) ，宇e f ；k = 1 ，n 一1 ；1 = m k - 1 + 1 ，m + 2 ，m o + k 。从而 有 r e 【k ! a k r 小”小学雎卜1 踹瞄一q 6 当m。时还设j：二_=兰二兰羔兰兰兰三二)邀m。， s ；1 , - - - , - m k 。所以当aa _ l ，a n _ 2 ，ak + 1 已经确定时，可以确定a k ： 妒蓑c + 惫如也，嵩晦 一知击【堡卢器+ + 踹一，) 】君最d 亭 k o 工，n 一2 ；其中h 。瞎) 是问题a 中所设，而c ? 满足：当m c 0 时c ：= o ， 当m 。2 0 时，砰一c l 一，1 = o ，卜，2 m 。 又由( 1 i ) 可得 f ( z ) 一r m ( 等驴+ 百a + i 咖- 西( z ) ( 1 _ 7 ) 其中中( z ) 解析函数，又因为r e ( 亭- m f 佶”一r + h ，所以币( z ) 满足 r e 售”中皓) ) 一y + h 当m o 时还设j r r 弛k ! t 。t = 0 , s - 1 , 2 , - - , - m 。于是有 坼) = 知雌) + h 洲盎m 扣1 其中h 瞎) 是问题a 中所设，而c 。满足：当m 0 时c 。一0 ，；当m 0 时， 一c i c 2 i n d ，1 = 0 ，1 ，2 m 。 令 即( z ) = 等( t - 1 , 10 f 啊+ 蔷t 。n ) + 等( t 1 1 0 确+ 导t m o - 。 p ( z ) 。乏8 薄。 g l ( z ) = 百a - i 【t _ l 烈z ) 等t m p ( z ) 】+ 等雨+ t m p ( z ) h ：，疗( z ) 。t _ 啦。r 。p ( z ) + 等t 5 。r ”1 p ( z ) 1 一o ，1 ，2 ，n ；s + t = 1 ；s = o 工，1 ；s s n 一1 由t - l ，一l 是从c ：( 6 ) 到c ：( _ ) ( m 为非 负整数) 的紧算子，有下面的命题： 命题1 2 ”1 设o ( z ) e c 。( 石) ，贝h i ；p ( z ) c ：一1 ( 百) ，s + t 。l ，s ，日吐，1 ， ss n 一1 ；c 7 , 。1 ( - ) ，1 一o ，1 ，n ，并且有下面的估计式成立 c ：。( h ：，。日( z ) ) sm 1 ( n lta ) c 。p ( z ) ) ；c - “1 ( h l o ( o ) sm 2 ( n ，1 ，口，z ) c 。p ( z ) ) 证明由命题1 1 知t 1 j 0 c 。( _ ) ，又因为 昙r j 口( z ) = 口( z ) ，昙r j 口( z ) = t _ i j 口( z ) + 壶t j 疗( z ) ，j 一1 , 2 , - - - , n - 1 m ， 所以由参考文献 2 9 知，r 日。疗( z ) c ：( _ ) 。又因为 a 砭r ”2 口( z ) 。l 一日( z ) ，羞zr ”2 口( z ) = t t ，。r n t 口( z ) + 壹z 【l 一：。r n 一- p ( z ) 】，d zdd t _ 。r n 。口( z ) c ：( - ) ，t n 一：。r n 。疗( z ) c ：( - ) 所以r ”2 口( z ) c ：( _ ) 。类似可得f ”3 日( z ) c ：( - ) ，f o 日( z ) c ：( 瓦) ，以及 f o 疗( z ) c ：( _ ) ，从而可得h ：。口( z ) c ：。( _ ) ，h 。o ( o e c 7 。1 “( 两，l o ，n 。 c ( h ：。口( z ”s c ：_ 1 。f 5 口( z ) ) + c ：。1 ( t s 。r ”1 口( z ) ) 佗 s m ( n ，l ，t ，口) c 5 ( r 5 口( z ) ) + c ：“亿。r 5 “口( z ) ) s m ( n ，l ，t ，口) m ，( s ，口，n ) c 1 ( r 1 p ( z ) ) + m ( s ，口，n ) c ：_ 5 。1 ( r 5 + 1 口( z ) ) s m 1 ( n ，l ，t , a ) c 。佃( z ) ) c 。n - l + l ( 即( z ) ) sl 刽吲“( tu o f 。0 ( z ) ) + c 1 葛t m o r 0 坼) ) 】 + 例吲“n ，。n ( z ) ) 蜮奇t m o _ 0 ) 】 s m 2 ( n ，1 ，a ，a ) c 。p ( z ) ) 。 命题得证。 经计算容易得篓! 掣：h l 口( z ) + g l ( z ) + 垂o ( z ) ，l 。0 , 1 , 2 ，n d z 。 器吼坼) + 等 其中訾| f ( 蜘0 ( z ) = 垂( z ) , 1 - s + t , l = 峨，n “ 由前面西( z ) ，a o c a 。一1 的表达式易得。 c 。( a o ( z ) ) sm o ，c 。( a 。一1 ( z ) ) sm 。1 ，c ：( m ( z ) ) sm 。， 其中m 。- m o ，m 。，k 1 ) ，m 。4 一m 。d ，m 。d ，k 1 ) ，m 。= m 。 ，m ，k 1 ) 。由式 ( 1 7 ) 有c 。( f ( z ) ) e m c 。p ( z ) ) + c ： ( z ) ) s m 。c 。 ( z ) ) + m 。令 扣警| b ( z ) ，则有 c 腆) ) 静c 。( 等s 弘nc 撕( z ) ) 墨扣m 属鼢m n 】， m 。= m 。( a ，n 口) 。又由( 1 6 ) 式得 c ： ) s 厨c 。( 岩) + m t 所以有c 。( b ( z ) ) s 蔷b 钮m 。( 厨c 。喀+ 薹m - ) + m 。】 c 期吒( 啦h ；。坼) + p ( z , - - - , h = d 雕) + 主罴， h 。p ( z ) + g 。( z ) + 垂扪( z ) , - - - , h 。护( z ) + g 。( z ) + 中8 ( z ) ) ) 5 善q j c 。( h ：r ，) + 。x 。k o c ( h + c a ( 酬+ k 0 s 【善q j m 卜。；警。m ：k ) ) + c a ( b ( z ) ) + k 。 其中m ：是与n ，i ，口有关的常数，m ：是与n ij 口有关的常数。故有 c 。( 警洲+ 扣m 硒c 。( 掣) + 薹m 小m n 】+ k 0 其中m + 一m ( n ，口，q 1 一，q 。，k 。) ，因为，。可以任意小，故可取，s 。使 得妻q m - 丽c 1 ，从而有 c 。( 旦笋) s m ，m m 眦一，q n k 0 ，k 1 m mo ，- 一，m 4 。) 于是方程组( 1 1 ) ( 1 2 ) 的问题a 的可解性问题转化为下列积分方程的可解 性问题： 口= f ( z , h o 。删z ) + p ( z ) , - - - , h ：排) + 差甏， h 。口( z ) + g o ( z ) + 垂“( z ) ，h 。臼( z ) + g 。( z ) + m 。( z ) ) ( 1 8 ) 记b 。为b a n a c h 空间c ：( 两中的一有界开集，其中元素是满足在c ：( 西) 中 的范数小于常数m 的任意可测函数o ( z 1 。记 扎f ( z 川o ，o o 嗡一h n - 1 , 1 0 ( z ) + 恶， h o p ( z ) + g o ( z ) + 中8 ( z ) ，h 。移( z ) + g 。( z ) + 垂扣( z ) ) 由条件c 知道映射口一0 是b m 到b m 的连续函数，由s c h a u d e r 原理知可从以 上积分方程( 1 8 ) 可以求得唯一解0 e b 。从而有下面的定理： 定理1 3 ”1对于满足条件c + 的非线性椭圆型复方程组( 1 1 ) ( 1 2 ) ： ( i ) 当m ，m k 苫0 ( k 一0 , 1 ，n 一1 ) 时，有解。 ( i i ) m 0 或m l 0 , k e 0 , 1 , ，1 1 一q 时，满足一定条件可解a 解可以表示成( 1 6 ) ( 1 7 ) ，其中o ( z ) 为积分方程( 1 8 ) 的解a 第二章一般柱形域上广义双曲正则函数的 r i e m a n n - h ii b e r t 边值问题 本章通过引入多双曲数，用函数论的方法研究了一个双曲复交函数的超定 双曲型方程组的解，即多双曲复数的广义双曲正则函数，在一般柱形域上它的 r i e m a n n - h i l b e r t 边值问题的提法，可解条件，解的表示，唯一性和存在性。 2 1 引言与预备知识 在 4 1 4 2 中，作者用实方法考虑了许多有关双曲型方程的问题，在 5 ， 2 3 卜 2 7 中通过引入双曲数，把实双曲型方程组化为双曲型复方程，在 平面上得到了一些结果。本文将引入多双曲数，并考虑一般柱形域上广义双曲 正则函数的r i e m a n n - h i l b e r t 边值问题，即一个双曲复变函数的超定双曲型 方程组的r i e m a n n - h i l b e r t 边值问题，得到了此问题的可解条件，解的表示， 解的唯一性和存在性。 双曲数是指z ；x + 抄，这里x ，y 是两个实数，而j 是双曲单元，使得j 2 1 记巳一( 1 + j ) 2 , e ：一0 一j ) 2 容易看出： q 肾蚍= 倍誊妻，z 进而，= f ( z ) 一u ( x ，y ) + j v ( x ，y ) 称为双曲复变函数，其中u ( x ，y ) ，v ( x ，y ) 都是 实变量x ，y 的实值函数，分别叫作棚= f ( z ) 的实部与虚部，记作 r c w u ( z ) = u ( x ，y ) ，i m w ；v ( z ) av ( x ，y ) 显然z = x + j y - 弛1 + 肛2 ，一f ( z ) = u + j v 一鸯l + ，7 e 2 ，其中 抽+ y ，脚x ；掣，y 。掣；细“例一v ) u ：卑，v _ 孕 a = x + y ，p 2 x y ，x2 _ 产，。_ 产；亭- u + v ，7 。” 2 广，v _ ；_ 用三= x j y 表示z 的共轭数，用c 表示所有双曲数的集合，即双曲平顽。记 c “一 ( z 。，z 2 ，z 。) ：z i e c , i = 1 2 ，n ) ，其中元素称为多双曲数，易见 c “；r “+ j r “，r “是1 1 维实空间，记x = ( x l ，x 。) ，y 一( y l ，- 一，y 。) ， z l = x 1 + j y l ，z 。= x 。+ j y 。，z ；( z 1 ，z 。) x + j y ，三一x j y 。z 的双曲模定义 为| | z | | 。0 彳i _ i i i 了i _ j _ 再。可见按通常向量和双曲数的加法，c n 是 b a n a c h 空间。 记口一以1 ，- 一，) ，吒( i = 1 ，n ) 是非负整数。令d ；c 生，三) ， d z l0 z n d 。： 型 o z r 一把，h q + + 吒，类似于双曲数平面上的正则函数 1 5 卜 1 8 3 定义c o 上的双曲正则函数。 定义2 1 4 a ! 设多双曲复变函数= f ( z ) = f ( z 1 ，一，z 。) 在区域d ( c 。) 内 满足：一o _ l e 。0 , i 1 ，n ，则称f ( z ) 是d 内的双曲正则函数。 d z ： 由 5 儿2 4 可见上述定义中的= o f 一一0 可以换成u x l v y i ) v h u y t ，或者换oz ： 。 成亭h ；，7 = 氩，其中珊一f ( z ) - u + j v - 知1 + r e 2 ，z i x i + j y i a l e l + 心e ：，i - 1 ，2 ，n 。作为任一个双曲数z ；的函数，珊是双曲正则函数。 定义2 2 叫 设多双曲复变函数山一f ( z ) 一f ( z 1 ，一，z 。) 在区域d ( c “) 内 存在所有一阶连续偏导数昙，且要：f ；( ：1 ，：。，( z ) ) ，i 。1 ，n 。则称f ( z ) d z ：o ) z 帚d 内的广义双曲诈刚函数。 为了简单下面考虑n 2 2 的情况。设一般柱形域d 一 d 。，d ：卜d ，d ：，d 。， d ：都是双曲复平面c 上的一有晃单连通区域，其边界分别为e ku l 。u l du l h ，这里l i l ； x i 掌- y i ，0 sx 。s r l ) l 皿= x i 鲁y i + 2 r l ，r l s x 。s r 2 ) ， l n 墨 x i - - y i + 2 r z 一2 r 1 ，r 2 一r l x j 主r 2 k l 洱篁 x j 置y ；，0 sx ；r 2 一r 1 ， z i = ( 1 一j ) r ，i ；l 2 ，r r 2 一r 1 记z o 一( z l ，z 2 ) ，l i l i lu l n ，l = l 1 l 2 ，还 设r 2 2 r 1 。 2 2 一般柱形域上双曲正则函数的r i e m a n n - h i l b e r t 边值问题 下面考虑方程组 婴。f l ( z 。，z 2 ) ， 量。f 2 ( z 1 z 2 ) ， 瓴 z 2 婷d 1 x d ： q j 由 5 ， 2 4 - 2 6 知道上述方程组的实形式是两个未知实函数四个方程组 成的超定双曲型方程组。 假设复方程组满足条件c ，即 l 函数f l ，f 2 在。内具有连续的偏导数，且满足老= 鲁。 2 c m i ( z ) ，- m 小胸丽套c 。【警，_ 】州0 ，i 都。 其中m 。一m 。 ，k 。，k ：，d ) ，a ，k 。，k ：在后面问题a 中给出- 一般柱形域上双曲 正则函数的r i e m a n n h i l b e r t 边值问题可叙述如下： 1 4 问题a 求复方程组( 2 1 ) 在百上的连续解甜( z ) ，使它适合边界条件 r e a ( z ) c , o ( z ) 】一f ( z ) z = ( z 1 ，z 2 ) l l x l 2 ，t m a ( z o ) ( z o ) 】一b o ( 2 2 ) 这里b 。是实常数，a ( z ) = a ( z ) + j b ( z ) ，r ( z ) ，b 。满足条件 q 【a ( z ) ，l 】z c 。【r e a ( z ) ，l 】+ 吱【i m a ( z ) ，l 】s k o , c 。( r ( z ) ，l ) s i 【： 学酾1 ，警酾1 s k 。，吣k ： ( 2 3 ) 此处口( o 4 ，4 一( 二4 罢q ) 一( 4 2 a q ) ：i 4 2 q + 一8 q 。由引理 ，j)j 33 v 3 1 可得 s 2 堕n - 2f l ，( f g ) ，_ ) 】1 x 【面( v ，p ) # i z | 写4 2 + 要x ( 肚科p z i 等 f - z - a z g - - z - - i - 4 + 2 w l d v ，) 啦) 卜p z 1 1 + 了 i，) ” 所以有 饭”d v ：) ；is 互1 i z 1 2 ，n - 1 + 五8 噼，( v ，p ) 】j 【l ，( f 。) ，琶啪1 咀d v 埴) 卜p z f 4 了2 a v p z a z - 4 + 2 m d v ，) ； 一专h 和要噼，( v ，p ) 】；x 【l ，( f g ) ，_ ) 】。： 咀| f g _ 9 d v ，正k z j 芋g - - z - - z | - 4 d v ；) i 1 又因为2 4 - z v 口c t 詈c 詈一詈v ac 詈，4 一c 4 一知a ，一哼4 一詈v a ，一；v a 一三， 由引理3 1 可得：当旦3 v a 一4 3 co 时，有 咀1 1 1 | v d v ：) s 互1 削。4 一_ 1 + 喜噼，( v ，p ) 】i 1 【l ，( f g ) ，- ) 】【m ，( v ，p ) 】i 1 h 尹8 一砉 = 芝字l p ( ，百) 时 当垦v 口一! 。o 时，4 1 + 旦：4 a ，故有 33 3 q 3 v ! 匝| 1 1 | v d v ：) s 三1 l 叫写4 - 1 + 妻x 【厨，( v ，p ) 】i 1 【l ，( f ( f ) 萄】【m ”( v ，p ，g ) + 3 加2 i l o g i z 旷1 一字x l ，嗽_ ) 时 总之有 瓴1 1 1 l v d v ：) i s m ：，( g ) l ，( f g ) ，百) x 时8 ( 3 2 同理可以证明 咀1 1 2 l ”d v ：) i sm 0 ( g ) x l ，( f g ) - ) x i a z i “ 3 3 f f o l ，1 d v ：) i s m 0 ( g ) l ，( f g ) ，石) 蚓“ 3 4 由( 3 1 ) ，( 3 2 ) ，( 3 3 ) ，( 3 4 ) 以及m i n k o w s k i 不等式叫可得 ( j g ( z + 蚴一g ( z ) i d v ：) i 一幔i i - + i ：+ i ，i 7 d v ：) i g f f o l i 。i d v ：) i + f f o i 。i d v ；) ；+ 哐阱d v ：) i g m ，。( g ) l ，( f ，_ ) i a z l “ 注1 由定理3 。2 证明易见；如果f l 。( g ) ，g 为c 2 中的有界域，1 p 4 ， 则有t o f e l ，( g ) ，其中v 满足詈c v c ：兰。 定理3 3 ”1 设f l 。( g ) ，g 为c 2 中的有界域，1 sp 弓2 ，则 t 6 f 砖。( g ) ，1 t v t 量，a ；i 1 一i 1 ， 且此时有 l 。c r o f ，g ) s m ( v ，g ) 。l 。( f ，g ) ， 咀l t o f ( z + 厶z ) 一t g f ( z ) i 7 d v ：) is m ( v ，回l - ( f ，g ) 。l z f “2 证明由h s l d c r 不等式4 5 1 有 叫s 云缸| f g 炉z i - 3 叱 s 扭吲i l p 玎i i 吲讪1 ， s 专啦| f g ) 忙一z r + 1 “d v ，) ；瓴 f g d v ，) 1 又因为1 2 1 2 a v 4 ，0 1 2 - 1 2 a v 4 。故 l v ( 1 1 ，g ) s 势l l ( f ，g ) 】【m 如，g ) 】- 1 i a z i 4 同理可证 s m ：( g ) x l l ( f ，g ) i a z “2 ( 3 5 ) l ，( 1 2 ，g ) sm ：( g ) l 。( f ，g ) j a z r 2 l ，( i ，g ) sm ? ( g ) l 。( f ，g ) j a z r “2 由( 3 1 ) ，( 3 5 ) ，( 3 6 ) ，( 3 7 ) 以及m i n k o w s k i 不等式【叫可得： ( 3 6 ) ( 3 7 ) 咀k f ( z + a z ) 一t g f ( z ) | ”d v ：) i s m ( v ，g ) l ，( f ，g ) i z i “。2 定理3 4 设f l ，( g 姐cp 5 4 , g 为c 2 空间中边界s 分片光滑的有界 域，贝 j w o f e l , ( s ) ，v 是适合条件l v l g 蔓b c 2 中的有界域，则总可在c a ( _ ) 中找到函数列 f 。( z ) ，它按l ，( - ) 的范数收敛于f ( z ) ，由参考文献 3 2 引理1 ，有t f 。( z ) c 。( _ ) ，由参考文献 3 2 引理1 ，有 t f 。( z ) - 嘉且a ：t f 。g ) d s + 丢靠( a ：( a ；t t f 。g ) d w ，z g ( 3 8 ) 即 t f 。( z ) ；一丢钽a ：；汐矸。g ) d s + 乏吐( a ：多f 。g ) d w ，z g ( 3 9 ) 由前面定理3 4 有 l p ( t f 。一t f ，s ) s m p ( g ) l p ( f 。一f ，g ) 一o ，n 一0 ； 由前面定理3 3 有 l p ( t f 。一t f ，g ) s m p ( g ) l p ( f 。一f ，g ) + o ，n 一0 ； 在( 3 9 ) 式两边令1 1 0 取极限可得下面定理： 定理3 5 老f f e l 。( g p s4 ，o 为c 2 空间中边界s 分片光滑的有界 域，那么有 t f ( z ) 一一i 昼a ；f a t f 。g ) d s + 4 - 三- 2 f o ( a ：砉) f g ) d v a z g 这里舻= c o s o ：1 + i c o s a 2 + j c o s e f 3 + k c o s 口4 ，口1 0 1 2 3 4 ) 是曲面s 上点f 处的 外法线方向，与x 轴之间的夹角。 3 0 参考文献 1 a h l f o r slv ，c o m p l e xa n a l y s i s ( t h i r de d i t i o n ) b e i j i n g ：c h i n am a c h i n ep r e s s 2 0 0 4 ，1 2 依涅维库阿，广义解析函数北京：人民教育出版社。1 9 6 0 3 闻国椿，杨广武，黄沙等，广义解析函数及其拓广石家庄：河北教育出版社，1 9 8 9 4 闻国椿，线性与非线性椭圆型复方程上海：上海科学技术出版社，1 9 8 6 5 闻国椿，非线性偏微分复方程北京：科学出版社，1 9 9 9 6 李子植，谢素英，函数论的边值问题保定：河北大学出版社，2 0 0 0 7 李明忠，宋沽，一般形式的一阶椭圆组的非线性r i e m a n n 问题。应用数学和力学。2 0 0 5 ， 2 6 ( 1 ) ，7 2 7 6 8 李明忠，温晓琴，一般形式的一阶椭圆型偏微分方程组拟线性r i e m a n n - h i l b e r t 问题 数学年刊，a 辑，2 0 0 2 ，2 3 ( 1 ) ，1 3 - 2 0 9 k u m a ra ，r i e m a u n h i l b a r tp r o b l e mf o rac l a s so fn t ho r d e rs y s t e m s c o m p l e x v a r i a b l e s ，1 9 9 4 ，2 2 ，1 卜2 2 【1 0 b e g e h rh h i l eg n ，ah i e r a r c h yo fi n t e g r a lo p e r a t o r s r o c k ym o u n t a i nj m a t h ，1 9 9 7 ，2 7 ( 3 ) ，8 5 1 3 9 1 1 b e g e h rh ，p o m p e i uo p e r a t o r si nc o m p l e xh y p e r c o m p l e xa n dc 1 i f f o r da n a l y s i s r e v r o u m a i n em a t h p u r e sa p p l ，2 0 0 1 ，4 6 ( 1 ) 。l 一1 1 1 2 m a h i n b aa s ，t h eg e n e r a l i z e dr i e m a n n - h i l b e r tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o r n o n l i n e a ra n dn o n h o m o g e n e o u sc o m p l e xp o l y h a r m o n i ce q u a t i o ni nt h es o b l e v s p a c e ，p ( d ) c o m p l e xv a r i a b l e s ，2 0 0 0 ，4 1 ，3 3 1 3 4 3 1 3 a k a lm b e g e h rh ，0 nt h ep o m p e i uo p e r a t o ro fh i g h e ro r d e r a n da p p l i c a t i o n s c o m p l e xv a r i a b l e s ，1 9 9 7 ，3 2 ，2 3 3 2 6 1 1 4 b e g e h rh ，d z h u r a e va ，a n i n t r o d u c t i o nt os e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e sa n d p a r t i a ld i f f e r e t i a le q u a t i o n s h a r l o