（基础数学专业论文）关于开流形曲率与拓扑研究的若干结果.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 产又 眦呷年z 月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 导师签名： 王| 罨 日期悦力年月2 日 本人已经认真阅读“c a l l s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l l 规定享受相关权益。 作者签名： 日期： 专艾 j 年6 月z 日 导师签名： 疼 尹 日飙劲0 年6 月 中的 工 v z叉、o 占 午 名 砌 叛叩 者期 作日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 中文摘要 非紧流形的研究相对于紧流形来说是比较困难的，因为紧流形本身的性质就决 定了研究过程可以计算积分，或者有一些好的估计，而非紧流形没有这些估计，于 是人们需要寻找新的手段来研究，主要研究工具就是比较定理本文研究了在特定 的情形下非紧流形可以微分同胚于舻，推广了前人的结果 本文主要结果如下。 1 设( m ，g ) 是n 维完备的黎曼流形，满足 冗i c 辫o ，q m 0 ，k k o 一o 。 且 掣= a m + o - - i - - ( 嘉) 一= 一- “k7 n 、r n 一1 7 则( m ，g ) 有有限拓扑型，其中k 是截面曲率 2 给定q o ，r o 0 和整数佗2 ，则存在e = e ( 礼，q ，矗) 0 ，使得对于任意完备 非紧的九维完备黎曼流形m ，若满足r i c m 0 ，o t m o t ，卵饥- 1 ，勺r o 和 矬掣一 0 ，使得对 于任意完备非紧的n 维完备黎曼流形m 若满足r i c m 0 ，q m o t ，k 罾n - 1 和 锷掣一 r o 都成立，则m 微分同胚于r n 4 设m 是n 维完备。非紧黎曼流形，朔饥0 如果 1 i m v o l b ( p , r ) ! r _ q nr ，一1 ) 一2 则m 微分同胚于r n i 关键词。大体积增长；有限拓扑型；微分同胚 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h en o n c o m p a c tm a n i f o l db yv i r t u eo fc o m p a r i s o n ，m o r e p r e c i s e l y ，c o n d i t i o n so nc u r v a t u r e a r eg i v e nt oe n s u r et h en o n c o m p a c tm a n i f o l db e i n g d i f f e o m o r p h i ct o 舻a sw ek n o w ，t h es t u d yo fn o n c o m p a c tm a n i f o l d st u r n sm o r e c o m p i l i c a t e dt h a nt h ec o m p a c to n e s ，w h o s ea t t r i b u t e sg u a r a n t e es i m p l e rc a l c u l a t i o n s a n de s t i m a t e s h e r ea sf c i l l o w sa r eo u rm a i nr e s u l t s 1 l e t ( m ，g ) b e 口c o m p l e t en m a n i f o l ds a t i s f y i n g r i c ( 辫0 ，o l f 0 ，k g o 一o o v o l f b ( p , r ) = q m + 。( 芦1 )k h r n 、r n 一1 t h e n ( m ，g ) h a sf i n i t et o p o l o g yt y p e 2 g i v e np o s i t i v en u m b e r so t 0 ，r o o a n d 口ni n t e g e r 佗2 , t h e r ei s a ne = e ( 礼，o t ，t o ) 0 ，s u c ht h a ta n yc o m p l e t er i e m a n n i a n 仃m a n i f o l dm , w i t hr i c c i c u r v a t u r er i c m2 o ，q m q ，9 7 饥一1 ，c p r o a n d v o l b ( p ，r ) 】 7 n q m 0 ，s u c ht h a ta n yc o m p l e t e r i e m a n n i a nn m a n i f o l dm w i t hr i c m 0 ，q m 及，k 罾n - l a n d v o l b ( p - , r ) 一q m 三 i万了矿之一2t-i, 2 a n 【7 - ，一lj t h e nmi sd i f f e o m o r p h i ct o 础 k e y w o r d s ：l a r g e v o l u m eg r o w t h ；f i n i t et o p o l o g i c a lt y p e ；d i f f e o m o p h i e i v 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 目录 中文摘要_ i a b s t r a c t i i i 第一章引言1 第二章准备知识5 第三章定理的证明一：1 0 参考文献1 7 致谢1 9 v 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一章引言 在本章中，我们首先综述非负曲率开流形的拓扑的研究历史与现状，其中着重 分析了与本论文有直接关系的有限拓扑型和微分同胚与r n 的研究，然后说明本文 的安排 微分几何中常见的曲率有三种；截面曲率，r i c c i 曲率和数量曲率r i c c i 曲 率可以看成是截面曲率的平均，而数量曲率则是r i c c i 曲率的平均，故截面曲率最 强而数量曲率最弱，对拓扑的限制也是数量曲率最弱 根据c a r t a n h a d a m a r d 定理，截面曲率非正的完备黎曼流形m 的通用覆盖流 形与欧氏空间微分同胚因此，它的二阶以上的同伦群7 r i ( m ) = 0 ( i 2 ) 所以， 这种流形的拓扑结构或多或少被它的基本群所控制 对于r i c c i 曲率r i c 0 或r i c ；，该流形就微分同胚于r n ，该 猜测至今未获解决 1 9 9 4 年，m a c h i g a s h i r a 在【1 2 1 中在射线截面畦b 率非负的情形 下证明了上述猜想 2 0 0 0 年，d e c a r m o 和x i a 在【3 】中用另外的方法也证明了在 非负射线截面曲率条件下，p e t e r s o n 猜想成立，并且他们得到了一些微分同胚于 r n 的结果2 0 0 3 年，x i a 用流形上的测地球体积与不同空间形式上的测地球体 积进行比较的到了一系列微分同胚于r n 的结果 本文基于比较几何的方法，改进了x i a 在【2 3 】的研究成果，支持p e t e r s o n 猜 想另外，我们用另外的方法证明了s h e n 在i n v e n t i o nm a t h 1 8 】中的结果，使之 更加完整。具体说来，我们有以下结果t 定理1 1 设( m ，夕) 是扎维完备的黎曼流形，满足 r i c 疡j 0 ，o t m 0 ，k2k o 一o 。 3 硕士学位论文 m a s t e r st he s i s 且 v o l 历 b ( p - , r ) = 口m + 。( 嘉) 则( m ，g ) 有有限拓扑型，其中k 是截面曲率 定理1 2 给定q 0 ，r o 0 和整数n 2 ，则存在e = e ( n ，o l ，r o ) 0 ，使得对于任 意完备非紧的n 维完备黎曼流形m ，若满足r i c m 0 ，q 膨q ，椤机一l ，勺r o 和 了vozb(p,r)-olm 0 ， 使得对于任意完备非紧的扎维完备黎曼流形尬若满足r i c m 0 ，q m 口，k 岔n 一1 和 掣- - q m 0 ) 上都是最短的称为射线的起点容易证明，在完备黎曼流形上过每 一点至少有一条测地射线的充分必要条件是流形是非紧的 为了给出一般的t o p o n o g o v 三角形比较定理，我们需要用到关于含有测地线 上切向量的切平面的截面曲率 定义2 2 给定p m ，我们称p 点处的射线截面曲率大于或等于c ，记为椤讯 c ，若对于任意从p 点出发的最短测地线所有与之相切的平面的截面曲率均大于或 等于c 定理2 3 ( 【1 1 】)似线截面曲率的t o p o n o g o v 三角形比较定理j 设m 是完备流 形， 够讯c ，m ( c ) 是常截面曲率c 的曲面 j ，设m ：【0 ，如】_ m ，l = 0 ，1 ，2 为肘中三条最短测地线，且饥( o ) = 仇( z 2 ) = p ，6 r o ( o ) = 7 l ( z 1 ) ，7 0 ( 1 0 ) = 仇( o ) 则在m ( c ) 中存在着最短测地线彳：【0 ，f t 】一 m ( c ) ，l = 0 ，1 ，2 满足7 1 ( 0 ) = ( f 2 ) ，( 0 ) = 彳l ( f 0 ) ，拍( z o ) = 镌( 0 ) 且 l ( 饥) = l c r , ) 么( 一7 ；( z t ) ，( o ) ) 么( 一彳；( f - ) ，( o ) ) ( - ( z o ) ，幔( o ) ) z ( - ( f o ) ，( o ) ) 纠设似2 【0 ，毛】- - + m ，i = 0 ，1 ，2 为m 中两条从p 出发的最短测地线，讯： 【0 ，如】_ m ( c ) ，t - - - - 0 ，1 ，2 为m ( c ) 中从同一点出发的最短测地线( 仉( o ) ，倪( o ) ) = 么( 科( o ) ，锡( o ) ) ，则d ( 7 i ( z 1 ) ，幔( f 2 ) ) 或( 科( z ) ，( f 2 ) ) ) ，d 和d c 分别为m 和m ( c ) 上的距离函数 对于r i c c i 曲率而言，我们有 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 定理2 4 ( 【2 】) ( b i s h o p g r o m o v 比较定理煅m 为n 维完备黎曼流形，r i c ( n 一 1 ) c ，则对于任意p m 和r o , v o 。t b 。，( p , r ) 是的非增函数特别地，v o t b ( p ，7 ) 】 v ( c ，r ) 其中，b ( p ，r ) 表示m 中中心在p ，半径为7 的实心开测地球，v ( c ，7 ) 表 示常曲率c 的空间形式m ( c ) 中半径为r 的测地球的体积 应该说上述定理的思想是源于b i s h o p 的，但是g r o m o v 是第一个真正认识到 其内在含义以及巨大威力的人，它在黎曼几何中的应用是极其广泛的 定义2 5 定义 l ；v o l b ( p ，r ) 】 蛳2 规而掣 r “j 7 ” ( 2 1 ) 易见，o t m 的定义与p m 的选择无关，从而定义是确切的当口m 0 时， 称流形m 具有大体积增长 定义2 6 对于给定的k ，l k n l ，称n 维黎曼流形m 的第k 个曲率张量 威c 7 c 在某一点p m 处成立，若对于任意的k + l 维子空间vc 弓m ，曲率 张量r 满足 七 ：k ( eae i ) c t = l 其中e ，e l ，e 七弓m 是v 中的一组标准正交基，k ( eae 1 ) 表示平面y 的截 面曲率 崩c 辫c 表示r i 毋c 对所有的p m 成立 显然，对任意的1 k f 佗一1 ，威c 绺k c 蕴涵着r i c ( 缨l c ，因而 r i c m = 兄 c 宅一u ( n 一1 ) c 设m 是n 维完备黎曼流形，m 上有一个自然的函数，即关于一固定点的距 离函数任取固定点p m 定义 d ；( z ) = d ( p ，z ) ，v z m 遗憾的是，黎曼流形肪上的这个最基本的距离函数一般情况下都不是光滑的 为此，人们引入了距离函数的临界点理论 g r o v e s h i o h a m a 1 0 】首次引进了的 临界点的概念 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 定义2 7 点q m 称为d p 的临界点，如果对于任意单位向量1 2 正m 都存在一 条从q 到p 的最短测地线盯，使得么( ( o ) ，) 詈 有关d p 的临界点的第一个结论是 引理2 8 ( 【4 】) ( 和痕引理) 设点p m ，r l r 2 ，且b ( p ，r 2 ) b ，r 1 ) 内没有 勘的临界点，则b ( v ，r 2 ) b ( p ，r 1 ) 同胚于o b ( p ，r 1 ) 【r l ，r 2 】更进一步，o b ( p ，r 1 ) o o 为没有边界的拓扑子流形 作为推论，我们有如下重要的 定理2 9 若流形m 上存在一点p ，使得彩除了p 点外没有其他的临界点，则流 形m 微分同胚于朋 。 微分同胚于冗n 的结论是非常强的，满足这样结论的流形太过特殊，下面给出 的有限拓扑型就是一个相对弱一点的概念 定义2 1 0 流形m 称为具有有限拓扑型，若存在一紧致区域q ，使得m 是一拓 扑流形，且m q 同胚于a q 【0 ，o o ) 从前面的合痕引理，我们可以得到 推论2 1 1 若流形m 上存在一点使得其距离函数的所有临界点都在的一个紧致 子集里面，则流形具有有限拓扑型 与临界点相关的另一个概念是临界半径 定义2 1 2 流形m 在点p 处的临界半径勺定义为使b ( p ，r ) 不合点p 临界点的 最大的r 由合痕引理，b ，c p ) 同胚于标准开球定义c m = i n f p m 勺称为流形 的临界半径 显然，若对于某点p ，c p = ，则m 微分同胚于俨 需要指出的是，由于临界点的定义中跟角的关系很大，因此应用起来常常要结 合t o p o n o g o v 三角形比较定理，对角或者边进行估计 对于非负r i c c i 曲率流形而言，下面的函数是非常重要的这个函数的性质跟 曲率关系很大，也常常为我们提供了流形的结构和拓扑的信息 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 定义2 1 3 给定两点p ，口m ，p ，q 的e x c e s s 函数定义为 e p 口( z ) = d ( x ，p ) + d ( x ，q ) 一d ( p ，q ) 其中d ( p ，q ) 表示从p 到g 的距离 下面的定理给出了在第k 个r i c c i 曲率非负的情形下e x c e s s 函数的一个上 界，在应用中很重要 定理2 1 4 ( 1 ，1 9 1 ) 设m 是完备非紧的黎曼流形，对于某个崩c 嚣0 ，y ：【o ，】_ m 是一条从p 到q 最短测地线，则对于任意的z m ， “班8 ( 掣) - ( 2 2 ) 其中h = d ( x ，y ) ，s = m i n ( d ( p ，z ) ，d ( q ，z ) ) 设是昂m 的闭子集，对于固定的p m ，记b ( p ，7 ) = z b ( p ，r ) i 若存 在连接点p 与z 的最短测地线7 ，且鲁( o ) e ) 对于0 r 0 0 ，记岛r ) = i7 ( t ) = e x p p ( t v ) 在【o ，7 ) 上是最短的) 易见， p ( r 2 ) c p ( n ) ，0 0 ，记 地r ) = z m s a x e ( z ) ( 2 5 ) z5 ( p ，r ) 。 其中s ( p ，7 1 ) 表示中心p 在半径为7 的测地球的表面 最后我们给出对证明主要结果有用的引理和推论 引理2 1 5 ( 【1 8 】) 设m 是完备的n 维黎曼流形， r i c m 0 ，o t m 0 ，则 v o l b r ，( ，) ( p ，r ) 】o t m t o n r n v r 0 ( 2 6 ) 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 引理2 1 6 ( 【1 3 】) 设m 是完备的佗维黎曼流形， r i c m 0 ，口m 0 ，则 v o l b r ，( ) ( p ，r ) 】口m 7 n 协 0 ( 2 7 ) 推论2 1 7 设m 是完备的n 维黎曼流形，r i c m 0 ，q m 0 则对于任意的r 0 及z o b ( p ，7 ) ，有 d ( x ，局) 2 m m - j v o t b p ( p , r ) 一q m ) 击 证明：设8 = d ( z ，易) ，则8 ，且 b ( x ，8 ) nb r p ( 。) ，r + 8 ) cb ( p ，r + 8 ) 注意到上式左边是两个不交集合的并，根据( 2 1 ) 得 v o t b ( p ，s ) 】口m s n 利用b i s h o p - g r o m o v 体积比较定理2 4 和( 2 7 ) ，( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) 知 即 ( 字) l b ( p ，r ) 】y 。l b ( p ，r + s ) 】 v o l b ( x ，s ) 】+ v o l b r p ( ) p ，_ + s ) 】 q 肘s n + q m u nr + s ) ，l 这就证明了( 2 8 ) 8 n ( r + s ) n q 看 ( 2 r ) n n 矗 v o t b ( v ，r ) 】 v o t b p ( p 7 ) 】 u n 7 n 1 0 一口a f 一q m ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 类似地，利用引理2 1 5 的( 2 6 ) 式，有 推论2 1 8 设m 是完备的n 维黎曼流形，r i c m 0 ，q m 0 则对于任意的 r 0 及z o b ( p ，r ) ，有 d ( x ，b e p ( 2 ，) ( p ，r ) ) o 截面曲率k 肘一1 ， 如果 v o 五l b 厂( p , r ) ：q m + 。( 去) ( 3 1 )，r n。、旦，、。， 则m 具有有限拓扑型 证明设z m ，r = d ( p ，z ) ，7 ： 0 ，2 r 】- - m 是一条连接点p 与q = r ( 2 r ) 的 。 最短测地线，使得 d ( x ，y ) = d ( x ，b r p ( 2 ，) ( p ，2 r ) ) 成立记 h = d ( x ，y ) 根据( 2 2 ) 和( 2 1 1 ) 知 0 ，使得对任意的z m b ( p ，r o ) ，有 口仁) e 其中e 满足 c o s hr c o s h ( r + e ) 一c o s h 2 ( 2 r ) 0 和两个整数n 2 ，k ( 1 k 凡一1 ) ，则存在石= 6 ( r o ，k ) 0 使得对于任意完备非紧的n 维完备黎曼流形m 若满足兄i c 辫o ，昭机一1 ，勺 r 0 和 。 7 l ( p ，7 ) 6 r 南 ( 3 5 ) 对某一p m 以及任意的r r 0 都成立，则m 微分同胚于舻 证明设z m ，7 是m 中从p 点出发的射线，由距离函数的三角不等式易知 e p ，( t ) ( z ) = d ( p ，z ) + d ( 7 ( t ) ，z ) 一t 关于变量t 是单调递减的，且，7 ( ) ( z ) 0 定义 则 取 e ”( z ) 2 l i 十m 。e p ，y ( t ) ( z ) e ”( z ) e p ，y ( ) ( z ) ，v t 0 6 = 虿1l n 再) ) 南 下证6 即为所求 设z m ，r = d ( p ，z ) ，剩下只需证明当r r 0 时， 点由( 3 5 ) 知 d ( z ，局) s6 r 研1 1 3 ( 3 6 ) ( 3 7 ) x 不是距离函数彩的临界 ( 3 8 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 因为局是m 的闭子集，所以存在点q m ，使得8 = d ( x ，q ) = d ( x ，局) 设 ，y ： 0 ，+ ) 一m 是从p 点出发经过q 点的测地射线因为r r o ，根据( 3 7 ) 和 ( 3 8 ) 知8 0 ，r 0 0 和两个整数n 2 ，k ( 1s 尼仃一1 ) ，则存在 e = e ( n ，q ，r o ，k ) 0 ，使得对于任意完备非紧的礼维完备黎曼流形m ，若满足 冗i c 治0 ，q m q ，k 罗n 一1 ，勺伽和 掣- - 0 r m 0 设 令 下证e 即为所求 由引理3 2 ，只需证明 ”譬心= q j n i 3 ( 2 n 一1 ) e = m i n ( o ，e 2 ) 0 危( p ，) 6 r 南，v r 伽 由h ( p ，) 的定义，只需证明 h p ( x ) 丹南，比s ( p ，r ) ，v r r o 固定7 r o 及z s ( p ，) ，由h p r 及( 2 8 ) ，( 3 1 0 ) 得 ，l ：= b ( z ) 2 r q 掣一a m ) 砉 e ，n 一错 0 ) 砉r 所以 邕1 + 3 扩1 r 一九 设；( o o ) = s p ( 1 ) 一岛( o o ) ，根据三角不等式得 b ( x ，危) cb r - i ( o 。) ( p ，7 + ) b r i ( 。) o ，卜1 1 1 ) 再利用b i s h o p - g r o m o v 体积比较定理2 4 得 业volb黜rf,( ( 等) n ) ( p ，r 一九) 】二、r 一 7 ( 1 + 3 h r _ 1 ) n 1 + 3 ( 2 n 一1 ) h r 一1 1 5 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 1 一口 r j l r 针 1 矿 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( 3 1 5 ) 所以 由( 2 1 ) ，( 3 1 4 ) 和( 3 1 5 ) 知 c y m w n h n v o l b ( x ， ) 】 y扰【b；c，r一，t善笺筐墓渊一， 3 ( 2 n 一1 ) h r 一1 v o l b r ；( 。) ( p ，r ) 】 ( 3 1 6 ) 因为s ( p ，7 - ) = b ，( ) 0 ，r ) u 魄；( ) ，r ) ，且b r p ( ) ( p ，r ) nb e ；( ) ( p ，r ) = 毋 v o l b ( p ，r ) = v o l b p ，( ) ，r ) 】+ v o l b r 墨( ) ( p ，r ) 】 再由( 2 7 ) ，( 3 1 0 ) 知 v o l b r i ( ) ，r ) 】= v o l b ( p ，r ) 】一v o l b r ，( ) ，7 ) 】 s ( a m + 南) r n - - o l m 蚶n ， n 上 e w n r 谢 联立( 3 1 6 ) 和( 3 1 7 ) 得 所以( 3 1 1 ) 得证证毕 ( 掣) 由7 南 q m ( 掣) 由r 南 口 0 使得任意l t 维完备黎曼流形，若满足r i c m 0 ，q m q ，k m 一1 则唧6 综合上述结论以及定理1 2 即得到定理1 3 的证明证毕 硕士学位论文 m a s t e r ，st h e s i s 定理1 4 的证明只需证明除了p 点自身外，没有其它的临界点反证法假 设点有临界点q ，口p 令r p 口= | ，昂mi 存在m 中最短测地线仃连接p 与q ，且仃( o ) = 砂) 对于0 p 豸， 令 k ( p ) = 昂mi 么( ，l 口) 口) 由于q 是p 的临界点，r p 口至少包含有两个不同的向量从而存在常数c 0 ，使 得v o l ( r p q ( 詈) ) l o t n 一1 + c ，故可以找到o o ( 0 ，詈) ，使得v o l ( r p 口( ) ) l o t n l + c 令r l = d ( p ，口) ，则对于任意的u r p q ( 如) ，有 c ( 让) r 1 ：= 丽i 1 ( 3 1 8 ) 其中c ( u ) 表示沿着测地线e x p p ( t u ) 点p 到点p 的割点的距离 事实上，记r = c ( u ) ，y ( ) ：= e z p p ( t u ) ，t 【0 ，r 】是一条最短测地线取钉 f p q ，卢：= 么( u ， ) 6 0 根据r p q 的定义，存在，y 1 ( t ) ，t 【0 ，r 1 1 是m 中连接p 与q 的最短测地线且，y i ( 0 ) = u 记z = e z p p ( r u ) ，t = d ( q ，名) ，对于( ，y ，3 1 ，卢) 利用定理( 2 3 ) ( 2 ) t 2 ，2 + r 一2 r r lc o s0 0( 3 1 9 ) 取m 中连接q 的z 最短测地线仃，由于q 是p 的临界点，存在着连接q 与p 的最短测地线6 t l 使得卢1 ：= z ( o ( o ) ，盯：( o ) ) 詈 对于( ，y ，o r ，盯1 ) ，利用定理( 2 3 ) ( 2 ) 有 将( 3 2 0 ) 代入( 3 1 9 ) 得 7 2 r ；+ t 2 r 云而t 1 c o s 伊0 ( 3 2 0 ) 这样就证明了( 3 1 8 ) 用d v ( e x p p ( t ) ) = 、丽d d 脚( ) 表示p 点附近极坐标系下的体积元素因 为r i c 一( n 一1 ) ，由b i s h o p g r o m o v 比较定理得 丽s i n h ”1t ，v t 0 1 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 故v r r 1 ，由( 3 1 8 ) 有 ，-，- m t n ( c 代) ，r ) v o t b ( p ，r ) 】d 坳( ) 夕( t ，荨) 出 + 厶一州厂“。，厕班 f，t c l， f r 冬d 坳( f ) s i n h 俨1t d t + d 脚( f ) s i n h 铲1 t d t j i 埘( o o ) j o j s p m - r p q ( ) j o v o l b ( r 1 ) 】+ ( 去q n l c ) s i n h n 一1t d t w 【b ( 冗，) 】+ ( 壹一亳) q n ( p 1 7 其中b ( r z ) 表示h n ( - 1 ) 中的以p 为中心r l 为半径的球，从而 矛盾证毕 恕渊r三2 一去1r 叶口n 【，一1 ) q n 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 【1 】u a b r e s c ha n dd g r o m o l l ，o nc o m p l e t em a n i f o l dw i t hn o n n e g a t i v er i c c ic u r 协 t u r e ，j a m e r m a t h s o c ，3 , 3 5 5 - 3 7 4 ( 1 9 9 0 ) 【2 】t a u b i n ，s o m en o n l i n e a rp r o b l e m si nr i e m a n n i a ng e o m e t r y , s p r i n g e r 1 9 9 6 【3 】3 m d c a r m oa n dc y x i a ，r i c c ic u r v a t u r ea n dt h e t o p o l o g yo fo p e nm a n i f o l d s 讹统 a n n ，3 1 6 ，3 9 1 4 0 0 ( 2 0 0 0 ) 4 】j c h e e g e r ，c r i t i c a lp o i n t so fd i s t a n c ef u n c t i o n sa n da p p l i c a t i o n st og e o m e t r y , l e c t u r e n o t e si nm a t h ，s p r i n g e r - v e r l a g ，1 - 3 81 5 0 4 ( 1 9 9 1 ) 【5 】j o h e e g e ra n dd g r o m o l l ，t h es p l i t t i n gt h e o r e mf o rm a n i f o l d so fo n n e g a t i v er i c c i c u r v a t u r e ，j d i f f g e o m ，6 ( 1 9 7 1 ) 1 1 9 1 2 9 6 】j c h e e g e ra n dd g r o m o l l ，o nt h es t r u t u r eo fc o m p l e t em a n i f o l d so fn o n n e g a i t v e c u r v a t u r e ，a n n o lm a t h ，9 6 ( 1 9 7 2 ) 4 1 3 - 4 4 3 f 7 】m g r o m o v ，m a t r i cs t u c t u r eo fr i e m a n n i a na n dn o nr i e m a n n i a ns p a c e s ，b i r k h f i u s e ， b o s t o n ，1 9 9 0 【8 】8m g r o m o v ，j l a f o n t a i n ea n dp p a n s u ，s t r u c t u r e sm d t r i q u ep o u rl e sv a r i d t d sr i e m 姗 n i a n n e s ，c d d i c f e r n a n d ，n a t h a n ，p a r i s ，1 9 8 1 【9 】k g r o v e ，c r i t i c a lp o i n tt h e o r yf o rd i s t a n c ef u n c t i o n s ，p r o c s y m p o s i a 凡r em a t h ，5 4 ， ( 1 9 9 3 ) 3 5 7 - 3 8 5 【1 0 】k g r o v ea n dk s h i o h a m a ，a g e n e r a l i z e ds p h e r et h e o r e m ，a n n m a t h ，1 0 6 ，( 1 9 9 7 ) 2 0 1 2 1 1 【1 1 】y m a c h i g a s h i r a ，m a n i f o l d sw i t ht ) i n c h e dr a d i c a lc u r v a t u r e ，p r o c a m e r m a t h s o c ， 1 1 8 ，( 1 9 9 3 ) 9 7 9 - 9 8 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 【12 】y m a c h i g a s h i r a ，c o m p l e t eo p e nm a n i f o l d so fn o n n e g a t i v er a d i c a lc u r v a t u r e p a c i f i c j m a t h ，1 6 5 ，( 1 9 9 4 ) 1 5 3 - 1 6 0 【1 3 】d o r d w a y , b s t e p h e n sa n dd g y a n g ，l a r g ev o l u m eg r o w t ha n df i n i t et o p o l o g i c a l t y p e ，p r o c a m e r m a t h s o c ，1 2 8 ，( 2 0 0 0 ) 1 1 9 1 11 9 6 【1 4 】g p e r e l m a n ，m a n i f o l d so fp o s i t i v er i c c ic u r v a t u r ew i t ha l m o s tm a x i m a lv o l u m e ， j a m e r m a t h $ o c ，7 ，( 1 9 9 4 ) 2 9 9 3 0 5 【1 5 】p p e t e r s o n ，c o m p a r i s o ng e o m e t r yp r o b l e ml i s t ，r i e m a n n i a ng e o m e t r y ( w a t e r l o o ，o n ， 1 9 9 3 ) ，8 7 1 1 5 ，f i e l d si n s t m o n o g r ，4 ，a m e r m a t h s o c ，p r o v i d e n c e ，r 1 1 9 9 6 【1 6 】j s h aa n dz s h e n ，c o m p l e t em a n i f o l d sw i t hn o n n e g a t i v er i c c ic u r v a t u r ea n dq u a d r a t i c a l l yn o n n e g a t i v ec u r v e di n f i n i t y , a m e r j o u r m a t h ，1 1 9 ，( 1 9 9 7 ) 1 3 9 9 1 4 0 4 【l