（基础数学专业论文）广义rees矩阵半群的讨论.pdf

独创声明 本人声明f 衍爷，史的学位论文是本人礼：导师指导下进行的f _ f 究i i 作及耿j 的州，e 成 来。 l c 我所知除j 文r p 特别加以标；i ! , t ：lj 致谢的地力。外，沦艾t t 小也禽jl 他人l 1 ，? t 发& ! 戈撰写过的研究成粜，也不包含为捩褂 蚂的，奉栏呵窄) 或3 他教育机构的学位或证10 使用过的利和i 。1 j 我 川i 作的忠埘 术研究所做的f 贡 驮均已存沦文中，作了明确的晚l 州并表爪谢意。 学位论文版权使用授权书 z 、彳 本学位论文作者完全了解堂撞有笑保留、使用学位论文的舰定，有权保剐并向 固家有关部门或机构送交论文的复| = | j 件厨】磁盘，允许论文被查蒯和借蒯。本人授十义堂 垫可以将学位沦文的全部或部分内容编入自关数据库进行检索，【i j _ 以采川影l = | 】、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文侄解密后适用本授杈 5 ) 姗虢壹盟 翱搏1 1 球 签字同期：2 0 0 6 年4 月f df 签字同期：2 0 0 凸 l j 尔“巾范k 学顺 0 j 协论文 广义r e e s 矩阵半群的讨论 董星 ( 山东师范大学数学科学学院济南山东2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文第一章 要对r e e s 矩阵半群进行了推广，研究了推r 之后的r e e s 矩阵 半群的刻画，其丰要思想是利用推广的格林关系来描述推广的r e e s 矩阵半群 矩形群、左群部是极其重要的半群在m a r i o 2 1 中这两种半群都已有了很 好的刻画，水文后两章将给出推广厂的矩形群和左群的详细刻画全文兆分三章， 具体内容如f ： 第章主要对推之后k e e s 矩阵半群的刻画进行r 描述在这章里先介 绍了无零r e e s 矩阵半群的概念，它是类矩阵半群m = m 丁；，a ；叫，其中7 - 为一个幺半群，p 为丁 ：的个夹心矩阵，其元素为p h i ( ( a ，j ) a i ) ，其中a 和 是非空的指标集肼f 丁，a ；p 1 上的乘法定义为 ( z ，3 7 ，a ) ( j ：，卢) = ( i ，z p j 、p ) 它是群上的r e e s 矩阵半群的一种推，“接下来就给出了i 种无零r e e s 矩阵半 群的抽象刻画，即+ + 一完全单半群、完全单半群、一完全单半群，它们 可被看作完全单半群的推广其中+ * 一完全单半群是指半群s 满足条件： ( i ) s 只含有一个匝则口一类； ( i i ) s 满足r p p 条件和l p p 条件； ( i i i ) s ( s ) 中的所有元素都是本原的 完全单半群是指半群s 满足条件： ( i 1s 是弱可消的； ( i i ) 5 _ 只含有一个t f 则口一类； ( i i i ) s 满足半r p p 条件和半l p p 条件 一完全单半群是指半群s 满足条件： ( i ) is 是右可消的： f i i ) s 只含有一个正则d 一类； ( i i i ) c = s s ； f i v ls 满足半 p p 条件 一一一：卫、_ _ 旦墨! 学1 7 1 i 上主旦j 塾一一 一一 第：章主要研究了+完全单半群在f ( s ) 是了半群时的情况，给mj 一矩形群和f 一* 一完仓单半群的定义，并证明r 二者的等价性，此外又给出 了+ 一矩形群的其它若干等价条件及同态定理 第三章t 要讨论了一矩形群在、j = 1 时的怕况先给出了+ 一左群j f f i m 一群的定义，然后给卅r 它们的符于等价条件 关键词：无零r e e s 矩阵半群，+ * 一完全单半群v 一完令单半群， 完 全单半群f m 一完全单半群，+ 一矩形群，+ 一左群，+ 一右群，+ 群 分类号：0 13 2 7 2 t h ed i sc u s s i o no fg e n e r a l i z e dr e e s m a t r i xs e m i g r o u p s d o n gx i n g t h ei n s t i t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i n t h i sd i s s e r t a t i o n w ef r s tg e n e la l i z er e e sm a t r i xs e l n i g r m l p sa i l ds lu d 3 。t h e a b s t r a c tc h a r a c t e r i z a t i o n so fg e n e r a i i z e dr e e sm a t r i xs c m i g r o u p sf n r t h e i ，7 l h cn l a i n i d e ai st od i s c u s sg e n e r a l i z e dr e e sm a t r i xs e m i g r o u p sb yg e n e r a l i z e dg r e e nr e l a t i o n s r e c t a n g u l a rg r o u p sa n dl e f tg r o u p sa r ea l lv e r yi n l p o r t a n ts e m i g r o u p s i n m a r i o 2 ，t h et w os e m i g r o u p sa l l h a v eb e e nd e s c r i b e di nt l t i ep a p e r ，t h eg e n e r a l i z e d r e c t a n g u l a rg r o u p sa n dg e n e r a l i z e dl e f tg r o u p sw i l lb ed e s c r i b e d t h e r ea r et h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ed e a lw i t ht h ec h a r a c t e r i z a t i o n so fg e n e r a l i z e dr e e sm a t r i x s e m i g r o u p s f i r s t l yw ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fr e c sm a l - r i xs e m i g r o n p sw i t h o u tz e r o i eas e m i g r o u pm = m 2 1 ；i ，a ：p 1w h i c hi sa na n a l o g u eo fr e c sm a t i i xs e l r f i g i ( ) t i p s w h m cti sar n o n o i daa n dia r en o n e m p t ys e t sa n dpi saa ，一m a t r i st ) 、e rt w i t he n t r i e sp x , ，w h e r e ( a ，i ) ax t h em u l t i p l i c a t i o no nmi sd e f i n e db y ( i ，z ，a ) ( j ，g ，肛) = ( i ，x p a j y ，卢) m o r e o v e rt h ea b s t r a c tc h a r a c t e r i z a t i o n so ft h r e ec l a s s e so fr e e sm a t r i xs e m i g r o u p s w i t h o u tz e r ot h a ti s c o m p l e t e l ys i m p l es e m i g r o u p s 、c o m p l e t e l ys i m p l e s e m i g r o u p sa n da c ( m l e t e l ys i m p l es e m i g r o u p sa r ep r u v i d e dt h e ya r et h en a t u r a l g e n e r a l i z a t i o no fc o m p l e t e l ys i m p l es e m i g r o u p s t h ef i r s ti s d e f i n e da 8as e m i g r o u p sw h i c hs a t i s f i e st h et b l l o w i n gc o n d i t i o n s i 1sc o n t a i n sas i n g l er e g u l a rd - c l a s s ； i i ) ss a t i s f i e sr p pa n d 即c o n d i t i o n s i i i ) a l le l e m e n t so fe ( s ) a i ep r i m i t , i v e t h es e c o n di sd e f i n e da sas e m i g r o u psw h i c hs a t i s f i e st h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s i 1si sw e a k l yc a n c e l l a t i v e ； i i lsc o n t a i n sas i n g l er e g u l a rd c l a s s ； i i i ) ss a t i s f i e ss e m i r l p pa n ds e m i l p pc o n d i t i o n s l 、h el a s ii sd e f i n e t ，1 sas e m i g r o u psw h i c hs a t i s f i e st h 1si s r i g h te a n c e l l a t i v p ： i ) sc o i l t a i l l si t , s i n g l er e g u l a rd c l a s s ： i i ) ：s v 1 ，s a t i s f i t , ss e m i i p pc o n d i ti o n i nc h a p t e r2w es t u d yt h eq u e s d o n so f 一c o m p l e t e l ys i m p h s e n l i g l ( , u p s w h e nf ( s ) i sas u b s e m i g r o u po fi t ，w eg i v et h ed e f i n i t i o n so f $ 一ie d a n g u l a r g r o u p a n de 一c o m p l e t e l ys i m p l es e m i g r o u p s ，a n dp r o v et h e i re q u i v a l e n t ( 、，5 1 r t h e r m o r e w ea l s og i v eo t h e re q u i v a l e n c e sa n dt h eh o m o m o r p h i s mt h e m e r o so fh ie c t a n g u l a r g r m l p i nc h a p t e r3 ，t h eq u e s t i o n so f $ 一r e c t a n g u l a rg r ( ) u pw h e ni ls a t i s f i e saj 1 w i l lb ep r o v e d f i r s tw eg i v et h ed e f i n i t i o n so f 一l e f tg r o u pa n d 一g r o u p t h e nw eg i v e t h e i rs o m ec o r r e s p o n d i n ge q u i v a l e n c e s k e y w o r d s ：r e e sm a t l i xs e m i g r o u p sw i t h o u tz e l o ， f c or n p l e t e l s i n l p l e s e m i g r o u p s 、 c o m p l e t e l y rs i m p l es e m i g r o u p s ，一c o m p l e t e l ys i m p k , s e m i g r o u p s e 一c o m p l de l ys i m p l es e m i g r o u p s ， 一r e c t a n g u l a rg r o u p s ￥一l e f t ，g ro u p s ， 一 r i g h tg r o u p s 4 g r o u p s c l a s s i f i c a t i o n ：0 】5 2 7 刚吾 众所周知，完全单半群的r e e s 矩阵表示定理是完令正则半群的核心定婵，特 别是研究具有完全单核的半群的结构时，其重要性不南而喻h o w i e 给 了完全单 、f ，群的r e e s 矩阵表示定胛巾在此基础卜可得剑若r 义完令单! # 群的r e e s 矩 阵表示定理李刚老师建芷j 型w u 一、 ，_ 富足! # 群的个r e e s 矩阵表示定理陈 秀梅师姐在这方【菌也做j 些工作此外p e t r i c h 和r e i l l y 在c o m p l e l e l yr e g u l a r s e r e i g r o u p s 中给出厂纯正的完全单半群( 即矩形群) 的何关理论 本文首先给出了二类广义完全单半群的r e e s 矩阵表示定理，又详细研究了 一完全单半群在e f 剐是了中群的情况，摊，1 一了f l e e s 矩阵半群和矩形群，丰富 r 完全单半群的r e e s 矩阵袁j 定理 0 第一章几类广义r e e s 矩阵半群 本章给i i jj 儿类、义完全单、仁群的定义及其相i 、女的h 【、( 、h 矩阵表_ j 短件 5 1 - 1 引言 众所用知完全单半群的r “、s 矩阵表示定理足壳全i f 则、 ，群的核心定理划 研究半群的性质和结构f j 重要的价值此定理的叙述为：半群s 是个完伞坼1 r 群当日仪、与s 同构丁一个无零r e e s 矩阵半群 ，：，、；尸 ，其中r f 足一个群，) 是一个y 1 上的ax 一矩阵，其元素为p 。r 此定理的详细描述见h o | i o 1 我们可以从i i e e s 矩阵半群的构造出发，由可消幺半群和正则央心矩阵：弱町消 幺半群和i t 贝1 j 夹心矩阵；右可消幺半群和：i e n 夹心矩阵、分别构造二类新的r e e s 矩阵半群，它们显然可以作为山群和群i ：的臾心矩阵构造的r e e s 魁! 阼半群的 个捧广，然后再柬研究这三类新的r e e s 矩阵半群的抽象刻画 由完全单半群的r e e s 矩阵表示定理不难发现要讨论这一类新的r e e s 矩阵 半群的抽象刻画叮以从推“的完全单半群入手，而由2 1 ，我们义知道下面陈述足 等价的： i ) s 足完全单半群； i i ) s 是j 卜 则半群且对任意的n b s ，有6 “c n 或a b t 2 a ： i i i ) s 是正则半群 l 是弱可消的 因此、我们将首先把完全单半群厂义化，从斯给出t * 一完全单、卜群，完 全单半群和完全单半群的定义然后进一步给出了这三种推广的r e e s 矩阵 半群的抽象刻画 本章中，除非特别说明，一般s 表示一个半群，f ( s ) 表示s 的幂等元集，对 v a s ，e 。= f e g ( s ) d o , = 。e = n ) 定义半群si 二的关系”。如卜| a b 铮存在e ，e ( s ) ，使o = e b = b ( n ，6 s ) 容易验证在e f s ) 上有 e f 骨e = c ，= ，e ( e ，e ( s ) ) h 茎是f ( s ) h 的自然偏序s 的一个幂等元e 称为本原的如果一是自然偏序集 ( e ( s ) ) 的一个极小i 若t 为含幺半群，g ( 丁) = f t 叫i f 7 7 1 _ 使t t 7 t t p 其中e 为丁的幺兀 ，即c ( r ) 表示丁的可逆兀集is , 代表s 。| j 的幺元 6 # 1 0 沦上 定义【11 称矩阵、卜群1 ，= ，f 丁：，、：p 1 为一个带仃兴心矩晖，的无零 r e e s 矩阵半群，如果t 为+ 个幺半群其幺元记为r g ( 丁) 为，厂的i ，j + 逆，群_ p 为te 的一个、，一矩阵，其i 索为以。r 其中、和，是非窀的指标集 1 ，丁：，、：川的乘法定义为： ( i ，l f ，a ) ( ，肛) ：( z ，3 1 p 7 ，l - zj 称p 足正则的若p 的每f = j 二和缚 列部至少岔c 1 7 1 ) 中的个元豢 定义11 j 定义半群s 上的等价关系* 冗t ，丸4 如f n c + b 当且仪蔓j ( v z ， s 1 ) 。_ - ：a y 车 b z = b y ， 。冗+ 6 当且仪。j( v 。y s 1 ) x a = 。甘z 6 = y b ， w + = c + nj 兄+ 易见：氕+ ( 三c + ，佗+ 易证c + ，冗+ 、“+ 分别是s 上的有同余，左同余同余另外 显然c + ；佗冗，又荇s 正则时，对任意的n b s ，存在z ，y s ，满足 h n z ，6 = b y b ，当n c + b 时：“= n z 兮b b z a b = b y bja = a y b 因而a b 即c + c ，进而c + = 同理可证s 正则时，冗+ = ，尼对任意的o s 、含元素a 的c + 一类限+ 一类，爿8 一类j 分别也为l ： r ：蛾】划任意的e e ( s ) e 分别是 l ：癣和爿；中的右币讧元，力二荦位元和单位元而若n ，b h ：有 e z = c y 号a b e z = a b e y 号n 知= 。切 a b x = a b y 寺a ( b z ) = n ( 切) = e ( b x ) = e ( b y ) 号b x = 叻专e z = e y 故曲c + e ，对偶的有b 佗+ e 凶此0 6 哦，h ：为s 的予半群，又易得h ：为可消 的，因此蟛是s 的个含幺兀e 的可消予半群从而易知e 咒+ ，甘e = f f e ( s ) ) 定义113 【： j j 定义半群s 上的等价关系，瓦，霄如下 c 6 当且仅当( e ( s ) ) e = 。 = 6 e = b 冗b当且仅当 ( v e e ( s ) ) e n = n 铮e 6 = b 霄：n 茏 易见，霄，瓦对任意的。s ：含元素n 的一类哼类，霄一类 分别记为云 ! 厩瓦 易知c ，冗亿t 至琵，且对任意的e e ( s ) ，e 分别是l c ，赢 和玩中的右单位元，左单位元和单位元从而易得e y f e = _ 厂( e ，e ( s ) ) 我们可以证明，在正则半群中，c = ：= c + = ，冗= 冗+ = 瓦 i i 末师范大学颈卜? ：府沦艾 定义lj 一 分别称、卜群s 为。个强，p p 十群, f 1 1个强7 ，二川融姗粜计 v “5 、分别汀r d ；n 只r 】和l 圪n 2 = - 1 分别称、# 群s 为个强、# 7 p p 半群和。个强、rf ，掣、卜群如果刈v “s 分 别_ 仃l 。nf ，。= 1 和r 。n 以。= 1 定义l1 驴1 分别称二# 群s 为一个r p p 半群和一个i p p 半群如果对v n ， 分别何l ：nf ( s ) 0 和r ：ne ( s ) 0 分别称半群s 为一个半r p p 半群和一个j 仁i p p 半群，如果剥v c z s ，分别有 l 。n f ( s ) 0 和r 。n e ( s ) 0 定义 16 称半群s 是一个* 一完全单半群，如果s 满足条件 j ) 刈。任意的ncs ，e 0 ； i i ) 刈任意的o ，b s ，6 口2 0 ，a b e + o 定义l17 称半群s 是一个一完全单半群，如果s 满足条件： 1 ) 对任意的。s e 0 ： i i ) 埘任意的h ，b s6 r “，n b 冗o ： s 是弱町消的 定义1 18 【7 称半群s 为型一p 一二f - 富足半群，如果s 满足条件： i ) s 只含一个j 卜则口一类； i i ) s 满足半r p p 条件和半f p p 条件； m ) f ( s ) 的所有元素为本原的 定义1 1 9 称半群s 是一个t + 一完全单半群，如果s 满足条件： ( i ) s 只含有一个正则口类： ( i i ) s 满足r p p 条件和f 即条件； ( i j i ) f ( s ) 中的所有元素都足本原的 定义1l1 0 称半群s 是一个完全单半群，如果s 满足条件 ( i ) s 是弱可消的： ( i i ) s 只含有一个正则口一类； ( i i i ) s 满足半7 卯条件和半f 即条件 定义1 1n 称半群s 是个一完全单半群，如果s 满足条件： ( i ) s 是右可消的； ( i i ) s 只含有+ 个正则口一类； ) = s s ： ( i v s 满足半i p p 条件 8 j 尔。m j 范人学颐 学随论文 1 2* * 一完全单半群 引理1 2 1 设一、= a ，【7 ：，：，) 为一个无零r ! sl i t 阵半# 、 其中了1 为l ：j 消幺半群( e 为丁的幺元) ，且央心斟i 阵p 是正则的则有 i ) m 是弱可消幺半群： i i ) 对任意的。，b a ，若n = 曲n 则b ：b a b ： i i i ) e ) = ( i ，) 未 ) z ，a f ip “g ( y ) ： i v ) m 的幂等元鄙足本原的： v ) r e g ( m ) = ，c ( w ) 、： v i ) 在肘中，( z ，“，a ) c + d ，b ，卢) 当且仪当a = ，z ：f j t 。，a ) r8 f j ，6 ，岸) 当上j 仅当 i = j ； v i i )对任意的n ，b ，z 吖，n 冗4a b ，n c 6 。，。b 咒t n z 6 ： v i i i ) 对任意的，e ( m j ，；= f a t f ； i x ) m 只含有。个l e 则口类 证明( i ) 对任意的( i ，n ，a ) ，( j ，b ：，( f ，c ，) m ，若 ( i ，n ，a ) ( z ，c ) = ( j ，b ：肛) ( f ，”) ， ( f ，c ，v ) ( i ，。，a ) = ( f ，c ，) ( j ，b “) ， 则 【i 印州，) = ( j ，b p “v ) ， ( f ：c p 。i a ，a ) = ( f ，c p ，6 卢) ， 从i jz27 ，a 。= 肛n p 州c = b p p l c ，“ t 为1 | 消的町得n ：b ，从而( i ，n ，a ) = ( j d 上) ， 即w 为弱可消的 i i ) 对任意的，b m ，设n = ( z ，z ，a ) ，b = 一( j ，9 ，) ，若( z ，z ：a ) = ( z ，z ，a ) ( j ：，卢) ( z z ：a ) ，即。= ：c p _ ) , j y p p t z ，由t 为町消的知，e = 。】， p p p 。= p m g p 如y p 再由 l 可消得e = p p z z p j ，因而= p m z p j g ，进而( j ，) = ( j 9 ，p ) ( z ，z ，a ) ( j ，目，肛) i i i ) 设( 。，n ，a ) e ( m ) ，则( i ，n ，a ) = ( i ，n ：a ) 2 = ( i ，a p ：n ，a ) ，从而。m ：o ：n 出7 1 为可消幺半群知，印m e 且p 如。二- 。，所以n = p 。1 g ( t ) 、从而( z ，o ，a ) ： ( z ，p 五1 ：a ) 另一方面，有( t p - 1 ，a ) 2 = ( i ，p 崩- 1 p 。p 意，a ) = ( i ，p 聂，a ) e ( m ) i v ) 对任意的( z ，_ ；) 寻，a ) ，( j ，p 孑，卢) e ( m ) ，若设( 2 ，p i l ，a ) 茎( j ，耐：“) ：则有 ( z ：p i l ，a ) = 0 ，p 五1 ，a ) ( j i p 力1 ，“) = 0 ，p 孑，p ) ( z ，p 嚣，a ) ，故i = ，a = 卢，冈而 ( z ，p a ) = ( j ，1 ) v ) 事实h 任意取( i ，o ，a ) j g ( 丁) a ，存在( j ，p ? n1 p 。1 ，肛) g ( t ) 、 使( z ，n ，a ) ( j ，p 弓1 n1 p u i 1 ，口) ( z ，( z ，a ) = ( j ，。，) ，故( i ，。，a ) r e 目m 反之设旧n ) i z 月f 删肓【，r f 0 h ( z 、ma ) ) 使 ( j a ) = 一( i n ，a ) ( 7 zp ) ( i ，aa ) ， i 矧止匕f = 旧p t z p “。h 再皓 的l 叮消陆矢up x j z p ( z = nf l ” ) i 、芦一r l ! ij “( ；f i 习两m ) ，州t ) 、 、7 i ) 改h f la j + ( ，d 芦) 则存在( w p ? ， ) h ( a i ) 使得( 1 a ) ( 一，i 1a ) ( i ，。， ) ，凶而 ( j ，b 肛) ( u ，p ? a ) = ( j ，b ，卢) ， 从而a = 肌 设a = “任取( c 。，v ) ，( k ，、u ) m ，有 ( i ，n ，a ) ( f ，z ，v ) 一( j ，a ，a ) ( ，u ) 甘( i ，a p 、t z ，) = ( i ，n p m g ，u ) 甘( z ，p ”r 、) 一( 2 ，p x k 9 ：。)( ； 丁是可消幺半群) 车 ( ，p u i z ，1 2 ) 一( j ，p “k ，u ) ( 眭ja = p ) 骨( j ：b p 叫z ，1 2 ) = ( j ，b p 。 ，u ) 付( j ，b ，卢) ( f ，：r ，) = ( j ，b ，p ) ( k ，i t ，“) ， 且 ( z ，。、a ) ( f ，z ，) = ( z ：a ，a ) 1 m 营( i ，a p x t z ，i j ) = ( i ，a ，a ) 协( j ，p x t z ，) = ( i ，e ，a ) 骨( j ，p u g x ，) = ( ) 兮( j ，b p 肼z ，v ) = ( 7 ，6 ，“) 车 0 ，b ，肛) ( f ，。，v ) = ( j6 ，肛) 1 m 同理 ( i ，o ，a ) 1 m = ( z ，o ，a ) ( k ，u ) 甘( j ，b ，肛) 1 m = ( jb ，t ) ( k f ，u ) 从而( z ，a ，a ) c + ( ib ，卢) 可类似的证明( i jn ，a ) 冗( j ：6 肛) 当且仪当i = v i i ) 由v i ) 知v i i ) 是显然的 v i i i ) 对任意的，一( m ) ，h ；= ，- w ， 1 0 生鱼塑j 生孓兰塑兰。! 些堡鉴 筝实i 一，若任意取i ) ，7 j 。t fc “，、) = ( _ p m 。 ) ( ，na j ( f ，) 五1 ) ( 1p j 反之对任意的( j 7 j ：1 ，, x l ( jb ) ( h ：1 ( z ，融a ) ( 曲，) ( z ，p i - i 1 ，1 ) ， 由j 五1a ) 是片i 。 的l 、p 协几功 a ) j i ( 1 瓯。a ) ，) ( z ，p 五1 、 ) ，( z ，p 。，a ) 1 1 1v i ) 知 i x ) 由i i i ) 知f ( ，) 0 ，则m 必含宵一个i e 则口。类 列任意的g ，h e ( ，设9 = ( i p , x ? ，a ) ， = ( j ，p 身， ) ，山v i ) 知对任意的 ( ，6 ，“) 1 ，有( i ，p 五。，a ) 冗+ ( i ，6 ) c 8 舰，1 ，口) 营b g ( 7 1 ) ，有( ? 、6 “1 ， c ( t ) 、= r e g m ，又vj f j 则时，c = 8 ，足= 冗+ ，因而( z ，p ? ，a ) r ( z 、6 ，u ) c ( j ，p i ，1 ，u ) 进而有( i p z l ，a ) 口( j ，p 暑 ) ，即9 d h ，则m 只含有一个f 则口一类 引理12 2 设m = m 了1 ；，a ；p 为一个无零r e e s 矩阵半群，其中1 1 为可消 幺半群，且央心矩阵，) 是i f 则的，则m 为* + 一完全荤半群 证明由引理12 1 易知。1 ，只含有一个f f 则d 一类，且e ( ) 中的所有元 部足奉原的对任意的( z ，n a ) c ，j ( 。i p 未a ) f ( a ，) ，山引碑12 1 v i ) 知， ( i 、。，a ) c + ( j ：p i ? a ) ，同理j ( i p ：，：1 t ) f ( ，) ，有( z n a ) 兄”( z ，i 。，t ，) ，口口 ，i 1 自足 r p p 条件和l p p 条件，网而m 为s + 一完仝啦半群 引理1 23 设半群s 是一个+ * 一完全单半群，则有 i ) 对任意的o ，b s ，o d b a n 冗+ a b ； i i ) 对任意的n s ，彤是s 的f 半群； i i i ) 对任意的s ，域n l i e g s 0 ) ： i v ) 对任意的g 曰f5 ，) ，彤= e s e 证明 i ) 因为半群s 是一个 t 一完全译半群，所以s 满足r 条件和l p p 条件：对任意的n s ，设e l ：nf ( s ) ，由e e = e 知。e = o ，对任意的b s ， b a e = b a ，设f l 乞f - ie ( s ) ，由b a e = 6 0 得，e = f ，又c ，e = e ，。，= e f ：冈而 e f = e ，进而 b n z = b n 可j ，z = ，号e ，z = e ，号e z = e ? 1jo z 二n 掣 0 0 = = o 可= 6 0 z = b n 即o c 勺o 可类似的证明n 冗+ a b i i )设z ，域，则z - r ：，l ：，冈而r ：= r ：，工：= l ：，由i ) 知 z 琏nl ：= 域 由s 为”一完全单半群，对任意的o s ，存在e ，e ( s ) ，使e 彤。， 又s 只含有一个正则d 一类，因而( e ，f ) d ，进而存在c s ，一v ( c ) ，满足 且f 厂再由c 1 2 ” y c 忍点f lr 冗f 佗+ “i 上。+ 厂2 f lh | j 对任意的( z z ：e 是：的单位儿有n = “r s - 反之对任意的 p 肼 f s _ 有c 正c l ：c ir j = 彬， 司而e 上f h ： 定理12 。i 改s 是、卜群，则s 是；+ 一完全单半群当且仪当，s | r _ _ 】构r 个7 己 零f e e s 矩阵半群m m 丁i ，：p ，其中丁为可消幺半群l l 火心矩阵p 是l f 则的另外f ( s ) 在此同构映射卜的象是e ( m ) 证明充分性叮e 引理l22 直接得到 必要性设，和、分别是s 的，足+ 。类利c 8 一类的指标策且设，n 、= f l 任耿e f ( s ) ，设r 一_ s e 日j 易见丁是町消幺半群n ，是t 、的幺，i 画s 的一个蛋壳幽， f 表示s 的冗一类，列表示s 的一类行年u 列的交恰 好是s 的咒4 一类记日：= 日；。，l ：中的咒+ 一类记为矗( z ) ，吃中的觎+ 一类h ! 为“a ( a a ) 令叭日文n r e g s ，7 i 霸n r e g s ，下证a n ：蟛斗蟛，zl y i x 是双射p q 。e 瞄_ 日矗，g 一弧是双别的证明是相似的 先吐a ，是良定义的 对任意的z f i = ；l ：山7 。z + z p r t ，7 ：z 冗+ r 。号r ：z 死2 r ：寺7 。m - 设f f ( s ) 满足，冗+ n ，因为，：r i r e g s ，冈此，咒r 。c e ，则存在，：y ( ，：) 使得即：一，；7 瓤= e 再证a ，是单射 设z ，v 鬈，令t i x r i y ，由z ：_ t = r 死z = r 以= 叫= 知a 足单射 最后证a ，是满射 发d ，嵋，则d 冗8 f ，由_ 厂f = ，f d = d ，又r ：d ，足，：冗。e r d d c + ，：+ e 有r ：d 蛾，且n ( r ；d ) = f d = d 在7 1 = e s e 上定义一个a ，矩阵p = ( p 如) ：其中p ，= 叭7 。卧r 。 成、nl ；，= ，i = e7 、为可消幺半群，e 是7 _ 的幺元 对任意的z f ，由 * 一完全单半群的定义知，存在f e ( s ) ，满足，冗+ r ：( z n 设，口瓠( a a ) ：义e ：f 弧，r 。r e g s ，救，叭冗e ，冗r 。c p ，则( ，) d ，令 以v ( q x ) n 及r y ( “) n 日氦，满足 弧吐= e ，q i 叭= f ，r r ：= e ，n r ：= - ， 且叭，。r ；、nl ；：= 日：，因为 q 7 。r ：g i = g ，q i = f r ：q i q r 。= - = 7 ，r ：= = 7 ：r ：= 二r 冈此，r m 足叭“的群逆元，h pm ，g ( 丁) 1 2 尼h s 四叼 ，f c l 且 f h一 ji j 、一啊i 匹 。、声面t 1 二j 订沦乏 i r 理1 ；f i e 对f 千意的 ( 、f ，在 irf 韭 导p 、：c i t i | 这就i j e 明m = 1 ，1 7 1 ：i 、：，j 是。个光零f c 矩陇! # ：_ ；i ；巾y 1 为叫消幺 半群且灾心矩阵尸是i ：则的， 定义映射0 ：sjm i m ；，。、；p ，5r ( i ，z ，a ) 其奇s i 喙z 逄h ：印满足r 。z q 、= s 懿唯。无 易证0 是一个取射 现在汪明0 是。个闻态映射设s ，f s 并设s 口二= ( i z ： ) 1 0 = ( j ! ，越) 鼬1s t h ：u ar i 茁q x = = s ，r j y q u = t j 墨翔z p u = z q f l 。q i i i 、= h ：j 1 q z 掣q p = r i m q r j 纠虬= s f ，所以( s t ) p = ( i j ：r , p x f i ，“) = ( z ，z ，a v p ) = d 触 最后证明( o l e ( s ) ) ：f ( s ) f ( ) 设f 爿矗n e ( s ) 则r 。( r ：瓠) 玑= u 厂2 = ， 因_ 【| _ et o = ( i ，r ：t q t a ) = ( i p 五1 ，a ) 推论125( r s ) 口= fxg ( t ) ) ( a 证明没r r e 口。且设h t z r c 9 ，其中 ，9cf ( s ) 假定，0 = ( z z ，a ) 则 7 ，= r ：。弧、凼而e t z r t 4 h ，e 冗叽r c 口改r7 v ( r ) ，q ic1 ( 叭) ，：( i ( 7 。) 满 足 r r7 = h 1 i r = 9 r 。r ：= ，r ：r ：= e ，叭口i = e ，g i 叭= g ， 容易验证z = ? ：r q l 又 z 卧r 7 72 = t i 。iq i 叭7 。r ，= r ，9 r 7n r ，r r 7 r ：= r ：7 玑= r ；。n e 叭r7 r iz = 叭77 7 。r ，r q i = 甄r 研- 以= 卧7 7 r q i = 弧q q i = 卧以= e 从而弧r7 r 。v ( z ) ，这就证明了2 2 g ( r ) 反之：设z g ( y 1 ) 且z 一1 y ( z ) 并设a a ，i 令r = 7 ；z 叭且 ，尼+ r c + 9 ， 其中h ，9 e ( s ) ，则r o = 二( z ，z ，a ) ，且r 。冗r 冗，z ：q c 7 。g 珥义q j ，r ：如上，满足 n r ：- = ，r “二= e ，叭q i = e 酿弧- = 9 则 r q i z 一1 r ：- r = r q i 。一1 r ； r 。z q = r 。q i q = r 。9 = r t z q a 口= r 。z z q = r q i z 一1 r ：- r q j 。1 r ：t = q i z1 r ：r 。z q ，q j z1 r ：= q a iq q i z 一。r ：= q i z 一1 7 ：t 即，1 t e g s 推论12 6r e g s 是s 的一个子半群当且仅当p 的所有元素都属于g ( 丁) 证明设p 的所有元素都属于g ( t ) ，并设s ，t r e g s 及s o = ( i ，。，a ) ，t o = ( j ，g 肛) ：由上面的推论知z ，g ( r ) ，从而z p j y g ( 7 1 ) 因此( “) 日= ( z z p j y ，p ) ( r e g 5 _ ) 口，进而证明s 几e 9 s 引理l27 i )改半群5 1 满足，p 7 ) 和伽p 绦，牛虬s 的幂等元f i | j 造瓜j j j 的 则对任意的a 、6 5 有8 + 船n r 4 m 6 i i )i 殳、# 群s 满足半，。即和半f 即条件，且s 的幂等死都是本原的，则对任 意的8 ，b s 有n f b n ，n 矗h 6 证明 i ) 见引理12 3i ) 中的汪明 i i )因为五nf ( s ) 0 ：设g 五1e ( s ) l k 口 b s b a g = 掘，改，j n n f ( s ) 由b a g 二- = 她得乃 9 ，因而9 ，一，进而对任意的e e ( s ) b a e = b ajf e = jj g l e = g j 寺9 e g 寺a g e n e = jb a e = b a 即动n 9 知叼一“、埘壬崽的 疋gfq qr ( | e f = 可类似的证明a r a b 引理12 8 s 为半群：对v a ，6 s 。b a ，o 冗4 a b