（基础数学专业论文）离散曲面上曲率的刻划.pdf

离散曲面上曲率的刻划 摘要 本文应用细分的思想，以离散曲面上的离散参数曲线网为研究对象，在文献【1 】的基 础上，提出了一种简洁快速的重心加细方法。应用这种加细方法，我们给出了一种针对 由离散参数曲线网形成的四边形网格上任意顶点处的离散估计值的定义方法。它主要包 括：离散g a u s s 曲率与离散平均曲率等的定义。同时，基于数学软件m a t l a b ，在计算机 上实现了上述问题的程序化，证明了该方法的有效性和优越性，并给出了各种实例图像 和一些曲率结果的比较。 第一章介绍了古典微分几何的思想、 想起源与发展情况；介绍了细分的思想、 领域的国内外学者所取得的成果。 历史与发展等情况：回顾了离散微分几何的思 历史与发展情况。同时介绍了一些关于该学科 第二章介绍一系列的预备知识，主要是关于古典微分几何中第一，第二基本形式的 定义，法曲率，主曲率，平均曲率，g a u s s 曲率，单位法向量，主方向等的定义。同时介 绍了三角形网格曲面，四边形网格曲面上各种离散曲率的定义方法，主要有离散平均曲 率，离散g a u s s 曲率等。最后给出了参数曲线网，等温网，共轭网，曲率线网的一系列定 义，之后给出文献f 1 1 中的一个重要定理并简单证明。 第三章以离散化思想为指导参考文献【2 1 ，并利用重心加细的方法，给出了一系列 离散他的研究对象，如离散参数曲线网等。最后利用数学软件m a t 2 a b ，给出了一系列的 由光滑曲面上的参数曲线网经过离散化得到的离散参数曲线网，如平面，正螺面，三 维g a l s s 型分布图，由3 d m a x 生成的一般曲面等。 第四章考虑上述的重心加细方法，将之应用于任意的离散参数曲线网上。由此获得 了一系列的相对于光滑曲面的离散定义，如离散平均曲率，离散g a u s s 曲率等。最后，利 用m a t l a b 进行计算，并与相应光滑曲面上的实际曲率值进行了比较。 第五章主要是结论与设想，总结了本文的主要内容并大概的提出了作者将来的设 想。 关键词：离散参数曲线网，重心加细，离散单位法向量，离散法曲率，离散g a u s s 曲率 离散平均曲率； 壹堕堕亘圭堂皇堕型型 a b s t r a c t an e ws u b d i v i s i o nr u l ei sp r o p o s e di nt h i sp a p e r a p p l y i n gt h i sr u l e ，w eg i v ea k i n d o fd e f i n i t i o no fd i s c r e t eg a u s sc u r v a t u r ea n dm e a nc u r v a t u r eo nt h ed i s c r e t ep a r a m e t r i c c u r v e sn e t a tl a s t ，w ei l l u s t r a t et h ev a l i d i t ya n ds u p e r i o r i t yo ft h i sd e f i n i t i o nb yn u m e r i c a l e x p e r i m e n t s c h a p t e r1i sd e v o t e dt oi n v e s t i g a t i n gt h ei d e a ，h i s t o r ya n dd e v e l o p m e n t o ft h ec l a s s i c d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y a n dt h e n ，w er e v i e wt h eh i s t o r y , d e v e l o p m e n ta n da c t u a l i t yo ft h e d i s c r e t ed i f f e r e n t i a lg e o m e t r ya n ds u b d i v i s i o nm e t h o d c o r r e s p g n d i n g l y , s o m ed i s s e r t a t i o n s a n da c h i e v e m e n t so nt h e s es u b j e c t sw e r el i s t e d ，w h i c hi n c l u d ed o m e s t i ca n da b r o a d ， c h a p t e r 2i n t r o d u c e ss o m e p r o p a e d e u t i c so fc l a s s i cd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , w h i c h i n c l u d e t h ef i r s tb a s i cf o r m ，t h es e c o n db a s i cf o r i n ，n o r m a lc u r v a t u r e ，m a i nc u r v a t u r e ，m e a ne u r v b , - t u r e ，g a u s sc u r v a t u r e ，u n i tn o r m a lv e c t o r ，m a i nv e c t o r ，e t c a n dt h e n ，t h ep a p e r i n t r o d u c e s s o m ed e f i n i t i o n so fd i s c r e t ec u r v a t u r eo nt r i a n g u l a rn e ts u r f a c e sa n dq u a d r i l a t e r a ln e ts u r f a c e s a tl a s t ，w eg i v et h ed e f i n i t i o n so fp a r a m e t r i cc u r v e sn e t ，i s o t h e r m a ln e t ，c o n j u g a t e n e t ，l i n eo fc u r v a t u r en e ta n da ni m p o r t a n tt h e o r yi n 1 】 c o n s i d e r i n gt h e 2 】a n db a r y c e n t r i cs u b d i v i s i o nm e t h o d ，c h a p t e r3i m p o r t ss o m ed i s c r e t eo b j e c t s _ t l i s c r e t ep a r a m e t r i cc u r v e sn e t a n dt h e n ，u s i n gm a t l a b ，w eg i v es o m ee x - a m p l e so nr e g u l a rs u r f a c e s f o re x a m p l e ，p l a n e ，h e l i c o i d a l ，3 - d i m e n s i o n a lg a u s sp r o f i l e ， e t c ， c h a p t e r4u s e sb a r y c e n t r i cs u b d i v i s i o nm e t h o do na r b i t r a r yd i s c r e t ep a r a m e t r i cc u r v e s n e t a n dt h e n ，w eg a i ns o m ed e f i n i t i o n st h a ti nr e l a t i o nt or e g u l a rs u r f a c e sw h i c hi n c l u d e d i s c r e t eg a u s sc u r v a t u r ea n dd i s c r e t em e a nc u r v a t u r e i nt h e e n d ，u s i n gm a t l a b ，w ec o m p a r e t h ed i s c r e t ec u r v a t u r e sa n dr e a lc u r v a t t t r e s c h a p t e r5i n c l u d e sc o n c l u s i o na n dc o n c e i v e k e yw o r d s ：d i s c r e t ep a r a m e t r i cc u r v e sn e t ；b a r y c e n t r i cs u b d i v i s i o n ；d i s c r e t e u n i tn o r m a lv e c t o r ；d i s c r e t en o r m a lc u r v a t u r e ；d i s c r e t eg a u s sc u r v a t u r e ；d i s - c r e t em e a nc u r v a t u r e ； 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学 或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：日期：一 离散曲面上曲率的刻划 1 引言 本章第一节简要叙述古典微分几何的背景与发展概况，第二节主要是关于离散微分 几何的历史，发展与现状，最后一节介绍了细分方法的背景与发展概况等。 1 i 古典微分几何思想 几何的观念最初来源于人们对自然空间的直观感受和经验。古希腊时期的几何学家 欧几里得( 约公元前3 3 0 - 前2 7 5 7 ) 首先给出了直观几何的条理化结构，他所编写的几 何原本对几何原理作了系统的阐述，并开创了公理化的数学研究方法。长期以来，关 于欧几里得几何公理体系的完备性、无矛盾性引起了许多数学家的兴趣，特别是关于平 行公理的研究更是导致了非欧几何学的诞生，其中决定性的工作应归功于j b o l y a i ( 匈牙 利) 和n 工l o b a 胜h e v s k y ( 俄国) 。h i l b e r t 在其名著几何基础中所规定的公理体系也 许是最严密和最精炼的。 由于欧几里得几何的研究对象是图形。按照所研究图形的性质，可分成两种情况进 行讨论。第一是关于全图形所具有的性质。例如，决定一条直线与一条圆锥曲线交点的 问题就属于此类性质的问题，因为所求的交点是由直线与曲线的整体位置决定的。第二 种是关于图形的局部性质。例如，在曲线上一点引曲线的切线就与这种性质有关，因为 大家知道，切线仅仅涉及到曲线在切点附近一阶展开的状况，而与曲线在其他部分的更 改毫无关系。对后一性质的研究便属于古典微分几何的范畴。 古典微分几何学是为了研究图形在其元素近旁性质而发展起来的一门学科，所以必 然要运用函数及微积分学作为工具。自古以来，e u l e r ( 1 7 4 4 ) ，m o n g e ( 1 8 0 7 ) ，l a g r a n g e ( 1 7 1 3 ) ，c a u c h y ( 1 8 2 6 ) 等著名数学家把微积分学应用于曲线、曲面的研究，这也是古 典微分几何学的开端。然而微分几何这门学科的系统化，则是与c f g a u s s ( 1 8 2 6 ) 的努力分不开的。g a u s s 关于曲面的理论，建立了基于曲面第一基本形式的几何，并 把欧几里得几何推广到曲面上“弯曲”的几何，使微分几何真正成为一个独立的学 科。r i e m a n n 在1 8 5 4 年的有名演讲【2 l 把g g l l 吕8 的理论推广到高维的空间，r i e m a a n 几何就 此诞生。p d e m a n n 的思想引起了许多工作来处理和发展他的新几何。另外，十九世纪 时的几何学家，如o s s i a ab o n n e t ，s o p h u sl i e ，e b e l t r 目l m i ，e c e s a r o ，j w e i n g a r t e n ，g d a r b o u x 等人对于微分几何学的发展都作出了相当的贡献。 与上述想法不同，f k l e i n 在1 8 7 2 年发表了后人称之为“爱尔郎根纲领( e r l a n g e n p r o g r a m ) ”的著名演讲“最新几何研究的比较评论”。他的基本思想是把几何看作某个 变换群作用下的不变量。根据k l d n 的思想，有一个变换群就有一个几何与之对应，古典 微分几何就是研究几何图形在欧几里的变化群下不变的性质和量。它属于运动群，所以 古典微分几何学也称为运动几何学或初等微分几何学。如果我们用别的基本变换群来代 替运动群，那们就能得到其他种类的微分几何学。这个想法的具体化便是二十世纪以来 几何学的一系列新发展。例如。g h b i n i ( 1 9 1 6 ) 的射影微分几何学，w b l a s c h k e ( 1 9 1 6 ) 仿射微分几何，g t h o m s e n 与w b l a s c h k e ( 1 9 2 3 ) 的保角微分几何学等都是在k l e i n 的这个 1 离散曲面上曲率的刻划 具有深远影响的思想指导下产生的。 e l i ec a r t a n 融合了上述两种观点，以联络为主要几何观念，创立了外微分法，使几 何不变量得以更充分的显示。外微分与活动标架法相结合，使得整体微分几何有了突飞 猛进的发展。陈省身将e l i ec a r t a n 的方法发扬光大。他关于纤维丛和示性类的理论，建 立了微分几何与拓扑的联系，是一个光辉的里程碑。 由此可见，古典微分几何学是一门古老陈旧的学科，固然无须多言，但它形成了现 代微分几何学的基础，也是毋庸置疑的。 上述部分的论述主要参考了f 3 与f 4 】中的部分内容。 1 2 离散微分几何思想 由第一节可知，古典微分几何的主要研究对象是光滑的曲线和曲面，并且已经有了 很长的历史。对于光滑的几何对象( 主要是正则曲面和曲线) 的研究主要是应用几何或 分析的手段来进行，并且有了一套比较成熟的，相对来说比较机械化的手段和方法。例 如，在曲线上一点引曲线的切线就用到了函数及微积分学作为工具。然而，非光滑曲 线，曲面也是一类很自然地几何对象。但相对来说却很少有比较成熟的研究方法。而这 一方面的开创性工作，就是由俄罗斯的a l e x a n d r o v 在多面体曲面上所作的。他在 5 】中提 出了一系列的研究手段和方法来处理多面体曲面。并且这些手段和方法是与那些光滑曲 面上的定义和名词是相对应的。他提出了多面体曲面，凸曲面等概念，并对非凸非光滑 曲面进行了分类。 由此也可知，离散微分几何的主要目的也可以说是通过把古典微分几何对象离散 化，来寻找古典微分几何对象、名词和方法的恰当的离散等价物，并由此发展出一整套 相应的理论和方法。离散微分几何是一个非常活跃的数学研究领域，是古典微分几何 知识与离散几何知识的交叉运用。因为古典微分几何的主要研究对象是光滑的几何形 体，如曲面、曲线等。而离散几何主要是研究具有有限元素的几何形体，例如多面体曲 面等。离散微分几何的目的就是发展和应用古典微分几何中的几何对象与方法的离散 等价物。它在计算机图形学，计算机可视化等领域有着广泛的应用。当然，其他的领 域，如p o l t h i e r 与p i n k a l l 分别在文章 6 】与f 7 l 中介绍的离散极小曲面，b o b e n k o 与p i n k a l l 在8 1 中介绍的离散日曲面( 离散常平均曲率曲面) 与离散等温曲面等。当然，这里对于 离散极小曲面，离散等温曲面，离散常平均曲率曲面等对象与古典微分几何中的相应对 象并不一致。他们的定义可以参考文献 9 与【6 】 特别地，我们在这里提到位于德国的一个研究组织s o n d e r f o r s c h u n g s b e r e i c h2 8 8 ( s f b 2 8 8 ) ，他们在离散微分几何，可积系统等领域作出了很大的贡献，发表了大量的 文章，具体可参考他们的网站h t t p ：w w 一s f b 2 8 8 m a t h t u b e r l i n d e 。在网站上， 该组织对其研究领域和范围傲了详细的分类和说明，并给出了许多相关领域的文献和资 料。 2 离散曲面上曲率的刻划 1 3 细分的历史与发展 人的感知信息7 0 来自视觉。可视化技术为人类观察世界、理解世界开辟了新的途 径。在近三十年的时间里，随着硬件技术和计算机图形学的高速发展，利用飞速发展的 计算机的计算能力，生成具有真实感或非真实感的图象，即这种计算机图形学中的可视 化技术取得了举世嘱目的成就，并且已广泛应用于计算机动画、虚拟现实、人口统计 ( 地理) 、世界经济形式( 实事政治) 、商业网点的分布和发展空间、科学研究、工程设 计、影视制作、广告艺术、教育培训等众多领域为社会的发展与进步做出了重大贡 献，成为了人类日常生活中不可或缺的一部分。而在可视化技术中，对二维，三维对象 的实现占了很大的比重，提到这一点就要提到曲面的离散化，即曲线，曲面对象在计 算机上的实现，造型。 在曲面( 曲线) 造型中的一项主要技术就是细分造型方法。所谓细分是指对初始网 格依据一定规则通过不断细化产生光滑的极限曲线或曲面。细分方法作为曲线曲面造型 的重要方法得到图形学界的一致公认始于1 9 9 9 年，当年a c ms i g g r a p h 的成就奖授 予t o n yd e r o s e 的一个重要原因是为表彰他把细分方法创造性地应用于解决图形学中的 实际问题所做的贡献。 细分方法可以追溯到5 0 年代，g r h a m 的通过对折线角点进行切割( c o r n e rc u t ) 生 成光滑曲线。但在当时并未引起人们关注。在1 9 7 4 年，c h a i k i n 提出的生成曲线的细分 方法 1 0 a 是这种角切割思想的具体实现1 9 7 8 年c a t m u l l 和c l a r kf 1 1 1 ，d 0 0 和s a b i nf 1 2 】 的文章发表在同一期期刊上，分别提出了双三次、双二次b 样条曲面推广到任意拓扑 网格上的细分算法，这是细分方法开始成为曲面造型手段的标志。d o o 和s a b i n 采用离 散f o u r i e r 交换的方法，对c a t m u l l - c l a r k 陵式的收敛性进行了分析，从此细分模式收敛性 分析有了矩阵特征分析和离散f o u r i e r 变换这样理论分析很好的工具。 8 0 年代末到9 0 年代初的工作主要是对已有方法的改进和新方法的提出，1 9 8 7 年l o o p 在其硕士论文中提出的一种基于三角网格的逼近细分方法【1 3 】，该方法是在箱样条的基础 上提出的。d l 等人1 1 4 1 提出了四点插值细分模式，并在此基础上给出基于三角形网格的 插值细分方法，生成所谓蝶形( b u t t e r f l y ) 曲面f 1 5 1 。 9 0 年代中期到现在已有的细分方法得到进一步的改进、完善，z o r i n 提出改进的蝶形 细分算法f 1 6 l ，解决了原方法不能适用于任意曲面的问题，同时k o b b e l t 提出基于四点方 法的张量积曲面插值细分模式【1 7 】。k o b b e l t 提出新的基于三角形网格的细分方法 1 8 】， 称之为瓶细分方法。在这个时期还开始建立了细分模式的系统的连续性分析理论，提 出了任意拓扑情形下收敛性分析的理论框架【1 9 卜 2 0 1 。这些理论又反过来指导了细分模 式的构造。此外，各种细分模式的内在联系也逐渐被揭示出来，例如z o r i n 和s c h r s d e r 为 基本( p r i m a l ) 四边形网格细分模式和对偶( d u 啦) 四边形网格细分模式建立了统一的框 架【2 1 】。更为重要的是，在这一时期，细分方法得到了广泛应用。国内中国科学院、浙江 大学、中国科技大学、中山大学、吉林大学、大连理工大学都有专门研究小组。同时细 分方法与多分辨分析小波变换之间的本质联系也被揭示出来并得到进一步拓展。出现了 细分小波。同时细分也由曲线、曲面细分过渡到了三维立体细分。 3 离散曲面上曲率的刻划 现在，细分凭借其规则简单、高效、易于局部修改和极限曲面良好的光滑性等优 点，已经广泛地应用于航空航天、机械工程、医学、电影、游戏、服装鞋帽模型设计等 各种行业，而其可以逐层加细显示图像的特点，也使得细分在互联网的数据显示及传输 中发挥着重要的作用。一方面，把参数曲面的造型技术移植到细分曲面，并最终把细分 方法应用于c a d ( c o m p u t e ra i d e dd e s i g n ) ，c a g d ( c o m p u t e r a i d e dg e o m e t r i c d e s i g n ) 等 领域成为人们追求的目标，这已经成为当今最为热门的学科之一。另一方面，由于三 维扫描仪、计算机断层成像( c t ) ，磁共振磁共振血管遗影( m r i m r a ) ，超声波 ( u l t r a s o u n d ) ，单光子成像( s p e c t ) ，正电子成像( p e t ) ，数字减影血管成像 ( d s a ) 等等设备的出现，使大规模三维数据的获取变得很容易。例如，m i c h e l a n g e l o 计 划中的大卫雕像就有2 0 亿三角面片 l e v o y2 0 0 0 。因此在没有产品的定义和图纸，而只有 产品模型和实物模型的情况下，为了适应先进制造技术的发展需要将这些样件和实物 转化为c a d 模型。这种根据实物模型和样件来测量数据，建立数学模型，并得到其设计 思想，从而进一步修改原有设计，然后将这些模型和表征用于产品分析、制造和加工生 产的过程就是逆向工程，它已经广泛应用于机械、轻工、航空、汽车、家电、玩具等众 多领域。 经过二十多年的发展，细分模式的构造、细分曲面性质分析及其在多分辩率表示中 的应用等方面的研究都取得了长足的进步。细分方法已经成为计算机图形学的一个标准 造型技术。不但被学术圈所理解同时也被工业界所广泛接受。例如，象w 科e f x o n t ，m a y a ， s o f t i n m g e 等一些著名的3 d 造型系统都加入了支持细分造型的功能。因此，研究曲面细 分有着重要的实际意义。 4 离散曲面上曲率的刻划 2 各种曲率与参数曲线网 本章第一节简要叙述古典微分几何中的部分内容，介绍了一系列光滑曲面上任意顶 点处的曲率定义方法，第二节给出了几种方法来定义三角形网格曲面上任意顶点处的离 散曲率的定义，最后一节详细的介绍了光滑曲面上的参数曲线网，并给出了一个重要的 定理。 2 1 光滑曲面上各种曲率的定义 关于古典微分几何中g a u s s 曲率和平均曲率的详细介绍，读者可以参考由d oc a n n o 编 写的微分几何的经典教材1 2 2 或者中文教材【3 】。这里，我们仅仅给出一些本文中要用到的 基本概念和名词解释。 从平面区域d = ( u ，v ) 至u e 3 的映射r ( u ， ) = ( z ( u ， ) ，y ( u ， ) ，z ( u ，口) ) ，满足： ( 1 ) 每个分量函数是无限阶连续可微的， ( 2 ) 向量= ( 器，器，器) 与h = ( 器，舄，器) 线性无关，目p r u a r v o 时，我们称r 是e 3 的 一个曲面，( u ，口) 称为曲面的( 坐标) 参数。法向量n 是垂直于雎面的一个单位向量。曲面 的形状可以由参数( e ，f i g ，厶m ，) 来刻画，它们分别称为曲面的第一，第二基本形式。 其定义如下： d r d r = e d u 2 + 2 f d u d v + g d v 2 ( 2 1 ) 一d i d n = l d u 2 + 2 m d u d v + n d v 2 ( 2 2 ) 其中 e = r u ，f = r u h ，g = r v - l = 一九，m = 一九= - - t ，m = 一h 在曲面上任意一点p 处，我们考虑那些经过该点并且在曲面上的曲线，如果它们有共 同的切向量t ，那么? 曲线曲率k ( r ) 是那些曲线中任意一条曲线的曲率。 法曲率k 口) 是在曲面上给定点p 处的曲线的曲率，并且这条曲线是由切向量t 与曲 面的法向量n 所成的平面与曲面相交形成的( 为法截线) 。法曲率与曲线曲率的关系由如 下的m e u s n i e r s 定理确定。 k = k ，( t ) c o s ( o ) = 器= 丽- d r d n ( 2 3 ) 其中，口是曲面上过p 点的任一条曲线的主法向量与曲面的法向量竹之间的夹角。 主曲率l ，女2 如下定义。在上面的m e u s n i e r s 定理中，法曲率随着切向量方向的变化 而大小发生变化( 因为切向量沿着曲面的法向量旋转) 。从而，法曲率有极大极小值， 我们把这两个极值称为主曲率。法曲率在任意方向的e u l e r 公式如下： = h c d s 2 ( a ) + k 2 s i n 2 ( a )( 2 4 ) 5 离散皓面上曲事的刻划 其中，a 是1 所在切方向( 即主方向) 与任意切方向的夹角。 当然，我们也可以从方程： k2一lg面-2fmf一+ne+丽ln-m2=0e f a ( 2 5 ) g 一e g p 。 中计算出任意正则点的主曲率，两个主曲率为方程的两个根，( e ，只g ，厶m ，) 为相应的 第一，第二基本形式。 主方向乃，孔是切平面上相应于主曲率的两个切方向，它们可由方程 ( e m f l ) d u 2 + ( e n g l ) d u d v + ( f n g m ) d v 2 = 0 ( 2 6 ) 给出，该方程的两个根即为两个主曲率。 平均曲率日是两个主曲率的平均值，即h = ( k l + k 2 ) 1 2 。 g a u s s 曲率耳是两个主曲率的乘积，即k = k l k 2 。 一般地，利用公式( 2 5 ) ，我们还有 h = l g 百- 丽2 m f 矿+ n e ，k = 面l n 玎- m r2 f e g f 2 ) 一 e g p 利用e u l e r 公式( 2 4 ) ，对法曲率k ) 和它的平方分别进行积分，我们有 h 。去j ( k ( 妒) 却 ( 2 7 ) k = 3 日2 一言f 磲( 妒) 如 ( 2 8 ) 其中，妒是任意切向量t 与主方向五之间的夹角。在 2 3 1 中w a t a n a b e 和b e l y a e v i f i j 用公 式( 2 7 ) 和( 2 8 ) 分别定义了离散的平均曲率和离散g a u s s 曲率a 进一步地，我们给出g a u s s 曲率和平均曲率的几何解释。 首先，设曲面s 的参数表示为r = r ( u ， ) ，它在每点有一个确定的单位法向量 n ( 刚) = 而7 ua 而r v ( 2 9 ) 平行移动礼使之起点落在原点，则棚目终点就落在e 3 的单位球面铲上。这样就得到一个映 射。 口：s 一铲 r ( u ，u ) hn ( u ， ) 称为曲面s 的g a u s s 映射，见图( 2 1 ) 图2 1g a u s s 映射 6 高教曲面上曲率的刻划 设上述曲面s 的面积元为 d a = ( 代ah ，n ) d u d v = f 2 d u d v ( 2 i o ) 它是曲面s 上由参数u 一0 + d u ，u 一 + 如所围成的小平行四边形的面积，如图( 2 。2 ) 图2 2 曲面上的小平行四边形面积 在g a u s s 映射g 下，9 ( ) 的( 定向) 面积打为 ( ( 托( 珏+ 如，掣) 一扎( 铭，口) ) a ( n ( u ，”+ d v ) 一扎( 缸，移) ) ，扎( 牡，钟) ) ! 7 k a7 h ，n ) d u d v 利用n 。a n u = ar v ，有 d a = ( m 。an 。，n ) d u d v = k d a ( 2 1 1 ) 其 k 是：g a u s s t i f f 率。因此若d 是s 上包含点p 的个区域，9 ( d ) 是d 在g a u 韶映射下的 像， a r e a ( g ( d ) ) = d a = k d a( 2 1 2 ) j g ( v ) j d 当d 趋向于p 时 牌错= k ( p ) ( 2 1 3 ) 上式说明了g b u 鼬曲率的几何意义。即通过g a u 船映射反映的曲面在一点的弯曲程度，正 好是该点的g a u s s 曲率。 对于平均曲率的几何解释，我们作如下的描述。 首先- 引进变分的概念。设x ：u c 豫2 一辩是正则曲面。选一个有界区域dc u 和 一个可微函数 ：万一皿，这里西是区域d 和d 的边界a d 的并x ( d ) 的由九决定的法向变 分是下面给出的映射： 妒：面( 一s ，) _ r 3 妒( 牡，口，t ) = x ( 缸，口) + t h ( u ，”) ( 让，秽) ，( “，口) 万，t ( 一，) 对于每一个固定的t ( 一，) ，映射刀：d r 3 ，州( u ， ) = l p ( u ，u ，t ) 是一个参数曲 面，且 等= 氙+ t 眠+ t 。i等：五+ t 眠+ 于是，若用，表示x 。的第一基本形式系数，则有 酽= e + 饥( ( 五，帆) 十( 五，u ) ) + 亡2 2 ( 帆，) + t 2 h h 。 7 离散曲面上曲率的刻划 由 和平均曲率 = f + t h ( ( 墨，肌) + ( 凰，帆) ) + t 2 2 帆，虬) + t 2 h 。k g g + t h ( ( 五，眠) + ( 托，肌) ) + t 2 h 2 ( 眠，眠) + t 2 h 。h 。 ( 瓦，帆) 一e ，( 五，机) + ( 五，肌) = - 2 f ，( 凰，虬) = 一g h = 兰墅= ! 丛生 2e g 一舻 得到 e 。g 。一( ) 2 = e g f 2 2 t h ( e 9 2 f f + g e ) + r = ( e g f 2 ) ( 1 4 t h h ) + r 其中脚( r t ) = 0 +? 这就说明，若充分小，x 。是正则的参数曲面。此外，( 司的面积a ( t ) 是 a o ) = _ 、彭g 一( f ) 2 d u d v j u ： 1 4 t h h + 面以死= 下_ d 心口 其中西= 剜( e g 一，2 ) 。可见，若e 充分小，a 是可微函数，且它在t = o 的导数为 爿( o ) = 一2 h 日以灭孓_ 芦d 讪 j d 从这里，我们可以发现平均曲率实际上是面积的一个变分。 2 2 离散曲面上各种曲率的定义 这一部分我们将重点介绍在几种离散曲面上的任意顶点处的离散曲率的定义方法。 这主要是关于三角形网格曲面上任意顶点处的离散法曲率，离散平均曲率，离散g a u s s 曲 率等的定义。对于其他的离散曲面形式。应用上述的定义可以得到类似的结果。 l ，密切抛物面法 古典微分几何中有如下的定义：在与曲面上一点p 之距离为小量的二阶小量范围内展 现曲面在该点附近的形状的抛物面。设雪是以p 为顶点且与曲面在该点相切的抛物面( 见 图( 2 3 ) ) 。令h 和d 分别为抛物面上任意点q 到曲面和) u p 的距离。若当印一p 时 舻一 0 ，贝i j 西称为密切抛物面。 利用上述的思想，我们可以如下的定义三角形网格曲面上任意顶点处的离散g a u s s 曲 率和平均曲率。设移为三角形网格曲面s 上任意顶点，砘为其直接的邻接点，e = v - v t 为网 格曲面上的边。令 地) 留为顶点 的直接领域的集合， 掣) ；r * = 0 - - i 为这些顶点所成三角形的 集合，并且有 掣= a ( v i v v ( i + 1 】m 嘲) 令j 为s 在顶点 处的单位法向量，其中 眠= 嵩，两= ：喜w ，婶= 意三享寒警恙篆焉 c z z a ， 8 离散曲面上曲率的刻划 图2 3 曲面上的一点处的密切抛物面 而川，即为三角形雩所在的平面的单位法向量，风为这些法向量的一个加权平均。 着对顶点 进行坐标平移。使之成为原点，并且把矾所在的方向规定为z 轴的正向， 即进行了旋转，规定任意的与。轴正交的方向为卫轴的方向，而定义g = z o 。则密切抛 物面的方程可以如下表示： z = 船2 + b x y + c y 2( 2 1 5 ) 系数a ，b ，c 可以通过最小二乘法来求解，带入顶点 的各个直接邻接点饥哥后即可计算。则 项点 处的离散g a u s s 曲率和平均越率为 k = 4 a c b 2 ，h = g + c( 2 1 6 ) 这部分更为详细的介绍可以参考文献 2 4 ，1 2 5 】，【2 6 卜 2 圆盘法 本方法利用了公式( 2 3 ) 与( 2 4 ) 来估计离散曲面上任意顶点处的主曲率，从而可以得 到该顶点处的离散g a u s s 曲率和平均曲率。 其主要步骤如下：利用公式( 2 ，4 ) 经过简单的变形后，我们有 k = 言( h + k 2 ) 一言( 知1 + 乜) ( c o s 2 0 0 c o s 2 0 e + s h n 2 如s i n 2 ) ( 2 1 7 ) 其中日。是任意选定的切方向与主曲率h 所在的主方向之间的夹角，口是上述的法曲 率所对应的切方向与切方向晶之间的夹角。 一般地，我们有方程 k = a b c o s 2 a + g s i n 2 a ( 2 1 8 ) 类似于密切抛物面法我们利用最 b - - 乘法来计算a ，b ，g 。因为三点可确定一个圆周， 利用这个性质，由顶点口和它的两个直接邻接点姚，来确定a ，b ，c ，并且能保证所得到 的为最小即可a 当然，这里的m 一 ) 与( 一 ) 的夹角应该以接近7 r 为好。这样，当选 择的圆周数目k 3 时，即可求得a ，日，c 的值。这里利用了两个主曲率为极值的性质，即 公式( 2 3 ) 。 从而，我们有 七l 。4 + 、百可磁如= a 一、百丽，e o - - i a r c t a n ( 苦) ( 2 1 9 ) 这部分更为详细的介绍可以参考文献【2 7 】与 2 8 】。 9 离散曲面上曲率的刻划 3 g a u 8 8 - b o l l l l e t 公式法 古典微分几何中有如下的g a u s s - b o n n e t 公式 3 】：设d 是曲面s 上的一块单连通区 域，a d 是分段光滑闭曲线，设啦是a d 的顶点的外角( 如图( 2 4 ) ) ，则 f s o k d a + r o d k a d s + = z 丌 ( z 瑚) 图2 4a d 为分段光滑的 ，瞪t 图2 5 点周围的情况 利用空间解析几何的知识，我们有 - - in - - 1 2 一啦2 2 一m( 2 2 1 ) 具体的证明可以参考文献【2 9 】 从而，利用上述的g a u 明b o n n e t 公式( 2 2 0 ) ，我们有 ， n - 1- 1 n k d a = 2 1 r 一啦= 2 7 r 一m ( 2 2 2 ) 这其中注意到，对于任意顶点口处的直接邻接点相连所成的边讶晤葡鬲；石是直线，从而为 三角形网格曲面上的测地线二即有厶db 如= 0 。 对于三角形网格曲面上的任意顶点口，假设其离散g a u 鹳曲率为一常值，我们有 k = 1 0 ( 2 2 3 ) 离散曲面上曲率的刻划 ：丝1掣-ih( 2 2 4 )= 垒生孚# 竺( 2 2 4 ) 其中吲为e i 的长度，而溉；z ( 婀， r + 1 ) 。咖) 为法向量之间的夹角e 这一部分更详细的介绍可以参考文献【3 0 l 与【3 1 】，里面给出了关于顶点口周围面积的详 令乃，乃为正则曲面s 上任意一点p 处的主方向，对于p 点处切平面上任意的单位切方 b c 即= ( 乏) ( 岛于b 。0 死，) ( 乏) c z 。s ， 其中，t 1 = c o s ( 0 ) ，2 = 8 i n ( 口) ，b ( 正) ，b ( 正) 为两个主曲率，孔，马为两个正交的主方向， 从而仉，乃) 为一标准正交基。 如果我们加入p 点处的单位法向量到基底 t 1 ，t 2 ) 。即有三维欧氏空间的标准正交 一陋b 蜣) 注z e ， 进一步地，我们记t 为正交向量 巩，巩，巩) 的线性组合。即丁= u l u i + u 2 沈+ u s ， 其中u = ( u 1 ，u 2 ， 3 ) 。，( t ) 为一对称距阵，并且以0 ，b ( 噩) ，b ( t 2 ) 为其特征值。 由此，曲面s 上一点p 处的主曲率和主方向可以通过先限制距阵口) 到切平面，再计 坞2 云上。k p ) t t d 8 ( z 2 s ) 1 1 离散曲面上曲率的刻划 其中 从而，有 t 虮删m 咖= ( 丑乃) ( 然) “m p = t 1 2 ( 霉霉) 瑶 ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 砖2 = 嘲= 挈”c o s s ( 岫啪 + 皂婴j 厂打c o s ( 口) 8 一( 口) 拈o 。2 7 r 一o 7 i 喝1 = 郴= 挈”c 。即脚 + 趔2 1 r 仁”c o s 即) 8 i 即) 瑚 。 ，一” = ；b ( 噩) + ；岛( 正) 类似的，有m ；22 1 呲- l 1 - i s 岛( 死) 则 ? b ) = 3 喝1 一嵋2 ，b ) = 3 嵋2 一僻1( 2 3 1 ) 一般地，对于离散曲面上任意一点。和它的直接邻接点q 处，我们定义单位切方向为 正= 艇黜 懈，= 襻帮 ( 2 3 2 ) 其中蚍的规定在参考文献 3 2 】中。从而，即可计算三角形网格曲面上任意一点处的两个主 曲率了。进一步可得离散的g a u s s 曲率和平均曲率。 这一部分更详细的介绍可以参考文献 3 2 】。 5 w a t a _ n a b e 与b e l y a e v 的方法 该方法充分的利用了公式( 2 7 ) 与( 2 8 ) ，虽然最后的目的是估计三角形网格曲面上的 任意一点的主曲率，但是求解离散g a u s s 率和平均曲率却是其中的中间过程。 令s 为一光滑曲面，t 为任意顶点p 处的一个切方向，n 为该点处的单位法向量。 由( 2 1 ) 节可知，法截线r ( s ) ( s 为弧长参数) 为通过p 点的一条曲线，并且这条曲线是由 切方向t 与法方向所张成的平面与曲面踹交成的平面衄线( 法截线) 。令丑，t 沩p g 巧 噩噩k u “：i = 瓦 离散曲面上曲率的刻划 处的主方向，l ，k 2 为相应的主曲率，k 为法截线r ( 8 ) 在p 点处方向为t 的法曲率，其 中妒为切方向t 与主方向五之间的夹角。 那么，变形公式( 2 7 ) 与( 2 8 ) 有 去f k ( 纠= ，嘉j ( 打磅( 却= ；日2 一互1 k ( 2 3 3 ) 对于上式，为了获得平均曲率和g a u s s 曲率值，我们需要确定任意一点处的任意切方 向的法曲率值，根据曲面上任意一点的t a y l o r 展开公式，我们有 r ( s ) = r ( o ) + s r ，( o ) + r ”( o ) + - - = r ( o ) + s r ( o ) + 寻k + ( 2 3 4 ) 从而， k 。型盟二掣2 ：坐( 2 3 5 ) 考虑三角形网格曲面上的任意顶点 和它的直接邻接点饥) 留，风为根据“密切抛物 面法”中的公式( 2 1 4 ) 定义的单位法方向，为了计算的方便，我们设u 为原点， 0 与坐标 轴2 轴所在的正方向相同，则可以离散化( 2 3 5 ) 为如下的形式 k “翠铲 ( 23 6 ) 由于8 为弧长参数，所以l 两l “s 。 则，我们可以离散化公式( 2 7 ) 与( 2 8 ) 为 2 ：, r h 碟( 型学) ( 2 3 7 ) z ”h 2 - 豹* 喜碟2 ( 牛) 偿s s ， 从而，即可确定三角形网格曲面上任意顶点处的离散g a u s s 曲率和平均曲率了。 这一部分更详细的介绍可以参考文献2 3 1 。 特别地，我们注意到，这里的两个公式给我们提供了一个思路来求解离散曲面上任 意一点处的离散g a u s s 曲率和平均曲率。关键的就是找到一种新的离散法曲率的定义方 法。下面，我们给出一种新型的法蓝率的定义方法。 6 离散法曲率的一种新定义 利用公式( 2 3 ) ，我们给出了种新的离散曲面上任意一点处的离散法曲率的定义。 为了说明的方便，我们利用三角形网格曲面给出它的一般公式。 考虑三角形网格曲面上的任意顶点 和它的直接邻接点 讪) 寄。v ；为在“密切抛物 面法”中定义的单位法方向， k 为点珥处的单位法方向