（天体物理专业论文）相空间中sz效应及其非高斯性的交叉相关分析探测.pdf

摘要 本文主要介绍了利用交叉相关分析的方法探测w m a p 的s z 效应，其 重点是研究w m a p 由2 m a s s 星系团所引起的s z 效应及其非高斯性，并分别 由s z 效应及非高斯特性对2 m a s s 星系n 及, n n 围的气体分布模型给予双重 限制，本文的s z 效应探测和非高斯性研究都是基于相空间中的位置一尺度多 分辨分析的方法，全文共分四章。 第一章介绍了宇宙大尺度结构的形成和演化及其统计特性。主要包括 宇宙学背景和标准宇宙学模型；结构形成的线性扰动理论；非线性结构形 成理论及模型：随机场的统计方法，如两点相关函数，功率谱及高阶统计 方法。 第二章讨论了多分辨分析方法即离散小波变换方法及其在大尺度结构 统训分析中的应用。首先介绍了基于d w t 、即离散小波变换的多分辨分析 方法的数学理论，其次讨论宇宙密度场在d w t 表象下的分解及获得的统计 信息，主要包括d w t 功率谱和尺度一尺度相关等。 第三章着重讨论t s z 效应探测及其在相空间中的非高斯性研究。 首先我们描述t 2 m a s s 的空间局域性和非高斯特性；其次我们介绍 j w m a p 温度扰动s z 效应的描述及其来源，并利用交叉相关分析的方 法分别探钡0 w m a p 由2 m a s s 所导致的s z 效应和非高斯性，我们发现在高 密度的2 m a s s 星系团区域，s z 效应的污染非常显著，导致该区域的温度比 全天平均温度大约降低了1 5 土i o # k ，不过所有的高阶交叉相关都没有发 现w m a p 类似于2 m a s s 的非高斯特性；接下来我们w m a p 观n s z 效应 来拟合2 m a s s 星系团及其周围的气体分布模型，并通过对比观测样本和模 拟样本的非高斯特性来对模型做出更进一步的检验和限制，由此得出s z 效 应扰动的功率与原初扰动的功率之比! o o l o0 4 ；最后，我们还对模拟样 本和观测样本的非高斯特性做了更深入的研究，分别与2 m a s s 高密度星系 团进行高阶交叉相关分析，这更进一步证明了上述2 m a s s 星系团中热气体 中文摘要 分布模型的正确性。 第四章是对全文的总结，并提出了该领域存在的一些问题和今后的研 究方向。 a b s t r a c t t h i st h e s i sm a i n l yf o e u so nt h ec r o s s c o r r e l a t i o na n a l y s i sa n dt h ed e t e c t i o no ft h et h e r n r a ls u n y a e v 、z e l d o v i c hf s z le f f e c to fw m a p t h ee m p h a s i s o ft h i ss t u d y1 st od e t e c tt h ep o s s i b l ei m p r i n to ft h e2 m a s ss ze f f e c to n t h ec m bf l u c t u a t i o n sa n dt h en o n ，g a u s s i a no rh i g h e ro r d e rb e h a v i o r so ft h e c m b t e m p e r a t u r ef i e l di n d u c e db yt h es ze f f e c to fc l u s t e r s w ei n d e p e n d e n t l y u s et h es ze f f e c ta n dn o n g a u s s i a nf e a t u r e st og i v ead o u b l e c o n s t r a i n t so f h ep h y s i c so ft h ei n t r a a n do u t s i d ec l u s t e rm e d i u mt 1 l es zd e t e c t i o nm e t h o d a n dn o n g a u s s i a n i t ya n a l y s i sa r eb o t hb a s e do ns p a c e s c a l em u l t i r e s o l u t i o n d e c o m p o s i t i o ni 1 2p h a s es p a c et h et h e s i sc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s f i r s t ，w ei n t r o d u c et h ef o r m a t i o na n de v o l u t i o no ft h el a r g e s c a l es t r u c t m ei nt h e u n i v e r s ea n di t ss t a t i s t i c sf e a t u r e s ，i n c l u d i n gb a c k g r o u n dk n o w l e d g eo fc o s m o l o g y ，s t a n d a r dc o s m o l o g ym o d e l ，t h el i n e a rp e r t u r b a t i o nt h e o r y i ns t r u c t u r ef o r m a t i o n n o n l i n e a rt h e o r ya n dn o n l i n e a rm o d e l ，t h es t a t i s t i c so f r a n d o mf i l e d s u c ha st w o p o i n tc o r r e l a t i o nf u n c t i o n ) p o w e rs p e c t r u ma n a l y s i s a n dt h eh i g h o r d e rs t a t i s t i c s i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s st h em u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i so rd i s c r e t ew a v e l e t t ia n s f e r ( d w t ) m e t h o da n di t sa p p l i c a t i o n so nt h es t a t i s t i c so ft h el a r g e s c a l e s t r u c t u r ew ef i r s ti n t r o d u c et h em a t h e m a t i c a lt h e o r yr e l a t e dt ot h em u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s t h e ni n t r o d u c et h ed e c o m p o s i t i o no ft h ec o s m i cd e n s i t y f i e l do nt h ed w t r e p r e s e n t a t i o na n dt h es t a t i s t i c a li n f o r m a t i o n 、s u c ha st h e d w tb a n dp o w e rs p e c t r u ma n dt h es c a l e s c a l ec o r r e l a t i o n e t c c h a p t e r3i s t h em a i np a r to ft h i st h e s i sw eg a v ead e t a i l e dd i s c u s s i o no nt h es ze f f e c td e t e c t i o na n dt h es t u d yo fi t sn o n g a u s s i n i t yi np h a s e s p a c ew ef i r s td e s c r i b et h es p a t i a ll o c a l i t ya n dn o n g a n s s i a nf e a t u r e s o f 英文摘要 2 m a s s ；s e c o n d l yw ei n t r o d u c et h es o u r c eo ft h es ze f f e c to nw m a pt e m p e r a t u r ef l u c t u a t i o n sa n di t sc h a r a c t e rd e s c r i p t i o n ，a n dw eu s et h ec r o s s c o r r e l a t i o n m e t h o dt oe x t r a c tt h es ze f f e c ta n dc o r r e s p o n d i n gn o n g a u s s i a n i t yi n d u c e d b y2 m a s sr e g i o n si d e n t i f i e db yd w tc l u s t e r s ，w ef o u n dt h a ti nt h eh i g hd e n s i t yr e g i o n so f2 m a s s t h e r ei sat e m p e r a t u r ec h a n g e11 5 土l o p ki na v e r a g e o nw m a ps k y ，w h i c hs u g g e s t e dt h es zc o n t a m i n a t i o no fw m a pi ss i g n i f i c a n t h o w e v e r t h e r ei sn on o n g a u s s i a ns i g n a ls i m i l a rt o2 m a s si sd e t e c t a b l e i na l lh i g h o r d e rc r o s sc o r r e l a t i o n ；t h e nw eu s et h eo b s e r v e ds zs i g n a lt of i t t h em o d e lh o wt h eh o tg a sa n dh o te l e c t r o n sa r ec o n f i n e db yc o m p a c to b j e c t s ，a n dw eg a v ea na d d i t i o n a lc o n s t r a i n t o ft h em o d e lt h r o u g hc o m p a r i n g t h en o n g a u s s i a n i t ya n a l y s i so ft h eo b s e r v e da n dm o c ks a m p l e si ti n d i c a t e s a g a i nt h a tt h er a t i oo ft h ep o w e r so ft h es ze f f e c ti n d u c e db y2 m a s s t ot h a t o ft h ec o s m i ct e m p e r a t u r ef l u c t u a t i o n so nt h es c a l eo ft h e2 m a s sc l u s t e r s s h o u l db ei nt h er a n g e00 1 一o0 4 ；a tl a s t ，w ec a r r yo u tad e e ps t u d yu s i n g t h et o pd w t c l u s t e r s h i g ho r d e rc r o s sc o r r e l a t i o nw i t ho b s e r v e da n dm o c k s a m p l e s ，w h i c hi l l u s t r a t et h a tt h eb e s t f i t t i n gm o d e l so ft h ec l u s t e rh o s t i n g h o t g a sw e l ld e s c r i b et h et r u t h t h el a s tc h a p t e ri st h eb r i e fs u m m a r yo ft h i st h e s i st h ep r o b l e m sa n dt h e h o tt o p i c si nt h i sa r e aa r ea l s ol i s t e d c h a p t e r1大尺度结构的形成及统计特性 第一章 大尺度结构的形成及统计特性 1 1引言 现代宇宙学的建立，可一直追溯到上一世纪二十年代初，h u b b l e 发现 大部分星云是星系，而且它们正离我们远去，对星系的认识，第一次把人 类的目光引向宇宙深处，加上后来轻元素相对丰度的测量和宇宙微波背景 辐射的观测，一并称为现代宇宙学的三大基石，奠定了现代宇宙学的理论 框架，即现在被广泛接受的基于热大爆炸的标准宇宙学模型。而爱因斯坦 广义相对论和宇宙学原理基本假设则提供了描述宇宙概貌及其演化的有效 手段。 在宇宙学原理，即宇宙在空间大尺度上是均匀和各相同性的假定下， 宇宙时空度规可简单描述为： a 2 ( 州尚舻s i n 2 鲥 称为r o b e r t s o n + w a l k e r 度规，其中r ，目，妒为共动坐标，t 为宇宙时，是 曲率因子，为一常数，它描写了宇宙的几何，适当选取r 的单位， 可使k 取+ l ，0 ，一1 。n 是宇宙尺度因子，它描写了宇宙的动力学演 化。r o b e r t s o n w a l k e r 度规大大简化了宇宙的时空度规，使之仅含有一 个未知变量n 和一个未知常数。 将此度规代入e i n s t e i n 场方程，并取均匀各相同性宇宙介质的能动张量 12 结构形成中线性扰动理论 和理想流体有相同的形式，则我们得到两个解 8 ；r g p ：3 ( ! ) 2 + 一a ，( 1 - 2 ) 竽( 争一：+ 舍，( 1 - s ) 其中g 是万有引力常数，p 是宇宙平均密度，p 是压力，a 是宇宙学常数。 这组方程决定了宇宙尺度因子。( t ) 的演化行为。令h ；a a ，称h 为哈勃常 数。定义临界密度： 3 h 2 p c 5 丽，( 1 - 4 ) 则宇宙物质密度可由参数q 。= p p 。表示。类似地，宇宙学常数和曲率因子 也可以写成：= a 3 h 2 及一一k ( a h ) 2 。这样d i e d m a n n 方程( 1 - 2 ) 可化简为： 1 一q m + q a + q ，f 1 - 5 ) 这样，宇宙的演化可由几个基本参数来刻划：q 。，吼以及哈勃常 数日。n 。和q a 决定了宇宙是加速还是减速膨胀，q 决定了宇宙的几何，哈 勃常数日的倒数则给出了宇宙的年龄。现代宇宙学的一个重要任务就是确 定今天这些宇宙学参数的值，从而确定宇宙的动力学演化和大尺度结构的 形成。 宇宙学原理表明宇宙在大尺度上是均匀各向同性的，但观测宇宙在各 种尺度上都存在着层次性结构，如星系，星系团等。这些结构是如何在原 初高度均匀的背景上产生的，又是由哪些物理机制主导? 一个普遍的观点 认为，这些结构是由原初物质密度涨落在引力作用下增长最后塌缩而形成 的。因此研究结构形成包括两个方面的内容：一是原初密度扰动的特性； 二是在膨胀宇宙背景下扰动的演化过程。标准宇宙学能提供扰动演化的宇 宙背景，而原初扰动的产生机制则可以由暴涨理论给出。 1 2结构形成中线性扰动理论 1 2 1小扰动i ! t t j j e a n s 模型 在结构形成的线性阶段，认为密度涨落远小于1 ，这样在考虑尺度范围 2 c h a p t e r1 大尺度结构的形成及统计特性 远小于视界的密度涨落时，我们可以直接使用牛顿理论来讨论，假设采用 共动坐标系统x r a ( t ) ，本动速度v = 一日r = n 文，引力势( x ，t ) ，以及 物质密度p ( x ，t ) ，则可以用流体运动来刻划物质运动，其三个基本方程即连 续性方程、欧拉方程和泊松方程分别为： 1 0 ( a r v ) + ( v - v x ) v = 一；v 。p - v x ，( 1 - 6 ) 瓦o p + 3 日p + ：v 如v ) = o ，挑n 一”7 1 v ：西= 4 丌g 。2 ( p p o ) = 4 7 r g n 2 p 0 5 其中p o 是宇宙平均背景密度，d 是密度涨落： ( 1 7 ) ( 1 - 8 ) 6 ；旦，( 1 9 ) p 0 由于只考虑线性情况，我们将方程作线性近似，保留一阶小量。按照傅立 叶分析的数学理论，任意的密度扰动都能展开为正余弦型扰动的叠加，这 样我们就司只讨论一种波矢k 确定的初始扰动的演化，而不失一般性。很容 易得到k 空f 司中密度涨落5 k 所满足的方程： 菇+ 2 h 赢= 氓( 4 7 r g p o c ；2 2 ) ，( 1 - 1 0 ) 其中c ；o p o p ，为介质中的声速。定义一个特征氏度： b = ( 警) 1 2 ( 1 - 1 1 ) 当k k j 时，扰动将以短波振荡的形式存在；而k - 与j e a n s 长度对应的j e a n s 质量是： 弛= 孚( 害) 3 ( 11 4 ) 当密度扰动区域内总质量大于j e a n s 质量时物质就会演化成团，否则涨 尊将以声波的形式振荡。而且随着宇宙的膨胀，j e a n s 质量是随咧问变化 的，这就直接影响了不同时期的结构形成。当光子和实物退耦后( 。e 。e c 1 1 0 0 ) ，对非相对论性单原子理想气体，声速为： 轳( s d k m b 。t , i 2 其中m p 为质子质量，从而金斯波长为 f l 1 5 ) a o o l ( n 。a 2 ) 叫2 丽l + z j 一1 坳c山6 ) 相应的金斯质量为： 尬= 等风a ； 1 3x l o 即。舻) _ 1 7 。，( 1 - 1 7 ) 在复合时期以前，电子和光子通过t h o m s o n 散射耦合在一起，在这种 。n7 s t t ，物质和光子的行为等价于具有密度为p ：2 t t p c 2 + 。，t 4 和压强 为p = ( 1 3 ) a ，。的单一流体，所以其声速为： 篙4 糍刊一怕。禹( z ) 一o f l 1 8 1 我们考虑当实物和辐射相等的时刻，红移2z4 0 0 0 ( a 。d ：) ，这要大大早于 复合时期，当时的金斯质量为： 4 尬9 1 0 1 6 ( q 。，o h 2 ) 一2 ， ( 1 1 9 ) 呈望垒呈三呈呈! ：奎垒星篁垫竺丝些垒篁兰竺些 这相当于超团的尺度，所以，我们可以看到，在复合时期p a 前，所有超 团以下尺度都无法增长，而当重子和光子退耦以后，金斯质量一下降低 了1 0 个量级，大约为球状星团的尺度。 1 2 2线性扰动的一些特解 下面我们来看下由方程( 1 - 1 0 ) 描述的线性扰动演化的一些特解 我们在此仅考虑绝热扰动的情形。 零压流体情形 当k j 1 , j ，忽略压力项，则方程( 1 - 1 0 ) 简化为： 垫d t 2 + 丝a 垒d t = 4 ”。， v p u “月， 不难证明方程( 1 - 2 0 ) 的增长模可以写成： 即，z 。鬲“即，。锗彬 其中e ( z ) 的形式由下式给出： e 2 ( 。) = n m ( 1 + z ) 3 + q k ( 1 + 。) 2 + q a ， 对e i n s t e i n d es i t t e r - 孰 ，我f f 把a ( t ) i xt 2 3 代入( 1 - 2 1 ) 式，可求得 方程( 1 - 2 0 ) 增长模的一个解析解为“o ( f 2 3 ，对宇宙学常数为零的 丌放宇宙模型( f 2 。，0 1 ，o = 0 ) ，( 1 - 2 1 ) 式有一个渐近解： 6 + i x l + ；+ 鼍l n ( 1 刊玳2 ，( 1 - 2 3 ) 其中z 兰( n 巩- i o 一1 ) ( 1 + 。) ，当z o 时，ni x ( 1 + z ) ，即回 至l j e i n s t e i n d es i f ：t e r 宇宙的情形，更一般的，我们可以通过数值求解 ( 1 - 2 1 ) 式，c a r r o l l ，p r e s s & t u r n e r ( 1 9 9 2 ) 找到了一个很好的近似 解： no ( d ( z ) o ( 9 ( z ) o + z ) ， ( 1 - 2 4 ) 5 u 动 毒； m 弛 姐 q q 6 12 结构形成中线性扰动理论 = ! = = = = = ! = = = = ! = = = = = = = = = = = = 一 其中9 ( z ) 满足： 9 ( 。) z ；q 。( z ) b ( 小尺度上) 时，重子的扰动将暗物 质扰动，而我们知道，暗物质的演化完全由引力主导，所以在重子退 耦以前就形成了势阱，重子退耦后小尺度以上的扰动在暗物质势阱中 就能得到优先的增长。 声波振荡解 以上我们都只考虑了增长模的解，若k j ，则重子将以声波的形式 振动，由于振动叫标 i - i u b b l e b , j 标，所以我们忽略宇宙的演化，这时 方程( 1 1 0 ) 变为： 显然， ( 1 2 8 ) 式是典型的受迫振动方程，f 的定义为r ：t 。，并假 定机为一常数，则方程( 1 - 2 8 ) 的一个解可以写成： 叫r ) = 0 ) + 考】c o s ( 地r ) + 瓦1 啾0 ) s i n ( 帆r ) = = = = = = = = = = = ：呈坠! ：! 兰垒! ；奎垒堡篁垫竺矍壁矍篁墼坌竺 相应的速度扰动为： 嘶) 一簧髭一警舯) + 如m 酬十菩) c o 啪训巾_ 3 0 ) 二! 寸! 孽意义的事情，就是把上述解应用到复合时期以前，这时重 子和光子耦合在起，故声速为： c s2 志，r ；襄，( 1 - 3 1 ) 篓跫塞誓子的压力推动，对于一个特定的模，振动的频率、幅度以及 雩点都与重子和光子组份的比例相关，反应在c m b 扰动谱上，谱的幅 度以及尖峰的位置信息能够帮助我们对宇宙中重子密度给出限制。 干目对论背景下的解 9 签考虑两组份模型，不过这时不再局限于非相对论组份，我们把由 7 程( 1 2 0 ) 确定的扰动置于相对论宇宙演化背景中，尺度因子n 的演 化由r 式给出： ( ：) 2 = - 陆5 p - ( j 抖剐，0 - 3 2 ) 3 、n 7“ p 1 ， 具中p m 。( ( z - 3 为非相对论物质，“n 一。为相对论陛的宇宙背景，简 单起见，我们考虑e i n s t e l n d es i t t e r 宇宙，并定义一个新的变量，c ； ；志 m 。s ， 4 o ( 1 + ；，( 1 - 3 4 ) 由( 1 3 4 ) 式可以看出，如果( 1 ，也即是说，当相对论组份占主导 时，扰动将无法增长，这种效应被称为m d s 。d ，。s 效应。 1 2 3 线性转移函数 假设原初密度扰动谱的形状是在宇宙极早期就确定了的，则多种形式 7 盟武 坠旦 堕舻 为 解的漠 曲日勒 ! ；! 量丝丝些皇竺些垫耋堡篁 的极早期宇宙暴涨都预言了一种幂率形式的原初扰动谱： p ( k 1 。( 护， ( 1 - 3 5 ) 其中对应标度不变的h a r r i s o n z e l7 d o v i c h 形式的谱指数n = 1 ，原干刀扰动 谱的幅度，则是从另外的观测种确定的，一个是c m b 观测，一个是富星系 团数目，两者分别对应于c o b e 和。8 归化。从原初密度扰动谱到我们目前 的观测功率谱，两者之间可以由转移函数联系起来。宇宙学中主要有两种 扰动：绝热扰动，对应物质和辐射的扰动，空间熵不变：等曲率扰动，对 应扰动是熵扰动，能量密度不变。前者是暴涨宇宙和大部分模型的简单预 言。影响转移函数的主要有以下两方面的因素： 1 平衡时的视界尺度 在物质一辐射平衡以前，由于辐射压的作用，视界内的扰动是无法增长 的，扰动行为有如下表现： k d h ( z e 目) 1 f 13 6 1 k d h ( z 。) 1 ， 、 对应物质一辐射平衡时的视界大小可算出为： 蹦锄) 一( 以- 1 ) 熹( 吣一。2 = 1 6 ( 。1 蛳c ，( 1 - 3 7 ) 2 d a m p i n g 效应 除了视界内的扰动受到限制以外，在特别小尺度上的扰动还会被整个 的抹平，对于无碰撞暗物质，扰动会被粒子的随机运动消除，在宇宙 早期，粒子以光速运动，视界内的扰动就被抑制了，对于冷暗物质， 这种作用在在物质+ 辐射平衡以后就消失了，而对于热暗物质，只有 非常大尺度上的扰动爿能保留。另外虽然重子光子耦合在一起，但光 子的自由程并不完全等于0 ，由于光子在等离子体内的散射，尺度小 于 。! 、1 ( n 口t ) d 上的扰动会被抹平。 而整体的作用可由转移函数来描述，它给出了后期扰动模相对于原初扰动 8 七1 ，、i 以 c h a p t e r1 大尺度结构的形成及统计特性 模的幅度比，其定义如下 死；蔫 ( 1 3 8 ) 氏( 。= 磊) 为初始时刻的扰动，其m d ( z ) 为线性增长因子，其形式和方程 ( 1 - 2 4 ) 和( 1 - 2 5 ) 中描述的一致，归一化红移值的选取是任意的。现在 k o m h 2m p c 一1 图1 一l ：多种宇宙学模型的转移函数( p e a c o c k2 0 0 3 ) 。对绝热扰动，在小 的k 值，n 一1 ，而等曲率扰动正好相反。图中显示了纯重子、纯冷暗物质、 纯热暗物质，及混合暗物质( 3 0 热暗物质，7 0 冷暗物质) 模型。 考虑一些常见宇宙学模型的转移函数。对于无碰撞暗物质宇宙学模型，假 设q 。则所有的尺度都可以用物质一辐射平衡时的视界来定标，定义 波矢： 9 5 丽意了， ( 1 - 3 9 ) 我们列出以下几种宇宙学模型转移函数的拟合公式( b a r d e e ne t a l 1 9 8 6 ) ： 绝热冷暗物质模型 7 j = ! 兰i ! ：i ； ；i ；! ! ! ! 1 + 3 8 9 q + ( 1 6 1 9 ) 2 + ( 5 4 6 q ) 3 + ( 67 1 q ) 4 一l 4 ，( 1 - 4 0 ) 9 13 非线性结构理论 绝热大质量中微子模型 死= e x p ( 39 q 2l q 2 ) ( 1 - 4 1 ) 等曲率冷暗物质模型 t k 一( 5 6 q ) 2 ( 1 + 1 5o g + ( o9 q ) 3 7 2 + ( 56 q ) 2 12 4 ) 图1 - 1 显示了几种常见模型的转移函数。 1 3 非线性结构理论 1 3 1 球对称塌缩模型 当密度扰动演化到定的程度( 一般认为d 1 ) 时，则进入非线性增 长阶段。描述非线性演化最简单的模型是球塌缩模型。由于任何球对称扰 动的演化和有同样质量及半径的均匀球演化一致，我们首先考虑这种简化 的模型。对物质为主的宇宙，可进一步简化为n 。= 1 ，不同f 2 及有宇宙学 常数a 的情形在m o 等人( 2 0 0 2 ) 的文章中有详细的讨论。 考虑固有半径为岛的一个物质球，并假设高斯型原初扰动的涨落瓯满 足1 ，则任一时刻的固有半径r 和密度涨落6 的关系为( r o r ) 3 ； f 1 + 6 ) ，对e i n s t e i n d es i t t e r 宇宙，我们很容易得至0 r ( z ) 的一个参数解： r f z l r o 1 + z ! ! 塑( 1 - c o s 0 ) ( 5 3 ) 1 5 0 l 2 c 篙， f 1 4 3 1 f 1 4 4 1 其中6 0 是原初密度扰动瓯线性外推至当前时刻的值，由方程( 1 - 4 3 ) 可得 而r o ：竿攀，( 1 - 4 5 ) 丽2 t 可= i 石万 由式可以看出，当0 = 0 时物质球开始塌缩，密度扰动逐步增长。当日= ”时，物质球膨胀达到极大值，并脱离宇宙膨胀开始收缩，我们定义这个 1 0 c h a p t e r1 大尺度结构的形成及统计特性 时刻为翻转时刻，从( 1 31 ) 式很容易计算出此时 风n ( z 。1 = ( 3 7 r 4 ) 2 ， 这时对应球内的物质密度155 5 背景密度。当o = 2 7 r 时，如果只有引力作 用，则物质球会塌缩到个奇点。这时，如果在( 1 - 4 3 ) 中取线性近似， 则对应的线性密度扰动可算出为函。= f 3 2 0 ) ( 1 2 7 0 2 311 6 9 。但人们一 般并不认为物质球会完全塌缩到奇点，而是收缩到最大半径的一半时， 即达到维里化，这时动能和势能y 之间有关系：v 一一2 k ，此时即被认 为是引力塌缩的终点。对应于o = 3 7 r 2 ，此时的也。115 8 ，相对物质密 度11 4 7 。不过有的人还是倾向于在塌缩时达到维里化，这时的相对物质密 度1 1 7 8 。 从( 14 4 3 ) 式的第一个方程可以看出，如果在z 时刻形成的结构，那么 其原初密度扰动必须要大于某一个临界值，原初扰动线性外推至结构形成 时刻的关系如下： 半掣i = ；( 等) 2 3 ， ( 1 - 4 6 ) 1i 、q ， 、7 上面讨论的是在e i n s t e i n d es i t t e r 宇宙中的情况，对于具有其他宇宙学 参数的模型，瓯，。受到的影响并不是很大( m o2 0 0 2 ) ，影响较大的只是维 黔七时的相对密度，其大致可近似写成： 1 + d 。1 1 7 8 d 。- 0 7 在数值模拟中，不同的作者采用的函。和6 。的值可能会有所不同。 1 3 2 半解析模型 ( 1 4 7 ) 物质密度扰动的功率谱是宇宙大尺度结构定量化的基本统计量。它不 仅给出了结构形成中基本物理过程的特征空间尺度，同时也包含着主导宇 宙动力学演化的暗物质的物理特性，以及宇宙中各种物质成分相对含量等 重要信息。但有一个困难就是，目前测量的扰动功率谱已经经过了引力的 非线性演化，偏离了线性密度扰动功率谱的形状。 而我们的目标就是把线性和非线性两个区域的信息联系起来，对非线 性功率谱的讨论分为两个部分：在大尺度上线性理论仍然成立，但对非常 小的尺度，基于稳定成团的假设，可以简单的从线性功率谱的谱指数求得 非线性功率谱。h a m i l t o n 等人( 1 9 9 1 ) 采用一个统一的经验公式来描述两 者过渡区域的标度关系。此后，p e a c o c k d o d d s ( 1 9 9 4 ，1 9 9 6 ) 做了进一步 1 1 13 非线性结构理论 的推广和讨论，并给出了对多种宇宙学模型都适用的拟合公式。 考虑一个处于非线性演化阶段，共动半径为r l 的球对称区域，其质量 为m = ( 4 3 ) 斋l 1 + n l ( r n l ) 】，其中为体积一平均相关函数： 0r # 孔( z ) = 告d r r 2 。( r ) ， ( 1 - 4 8 ) r n l 对应线性阶段的拉格朗日半径r l ! ( 3 m 4 邓，所以很显然，7 l 演化至高 度非线性后尺度变为7 l ，两者的关系为： t n l 而蒜( 1 - 4 9 ) 既然r 尺度上的非线性结构是线性尺度r l 上结构的演化结果，那么7 l 上 非线性相关函数必定和r l 上的线性相关函数满足一定的函数关系，我们假 设这个函数为f ( x ) ，则： 知l ( 7 b l ) = ，v l ( 7 l ) f l 一5 0 1 我们首先分析一下f ( x ) 的特性，显然，当z 1 ，即取线性近似时，那 么a l ( o ) = o ，由球塌缩模型的结果，v l ( 1 ) = 1 0 0 ，当。1 ，由稳定成 团性假设，lx ) 13 c 3 2 ，h a m i l t o n 等人( 1 9 9 1 ) 利用数值模拟的方法拟合 出其系数为：，l ( o ) 一1 16 8 x 3 2 p e a c a c k d o d d s ( 1 9 9 4 ) 把上述关系推广到对线性功率谱的计算上， 同样可得如下两个相似的关系： a 舭2 ( k n l ) = ，l 【z ( 札) 】， ( 1 - 5 1 ) l = 1 + 知l ( v l ) 1 3 v l ， 对于f 6 n l 的形式，广泛采用的是以下数值计算的公式： 梳= zf 南蒜端r f 1 5 2 1 f l 一5 3 1 其中9 ( q ) 为增长因子，a = 0 8 4 1 9 ( a ) “2 ，o l = z 9 ( n ) ，卢= 2 9 ) ，这个公 式对03sg ( q ) 1 的所有宇宙学模型都适合。 1 2 c h a p t e r1 大尺度结构的形成及统计特性 1 3 3n b o d y 模型 由于只有引力主导星系尺度以上的动力学演化，所以给我们用数值模 拟的方法研究非线性引力成团效应带来了极大的方便，考虑由n 个无碰撞粒 子随机分布的原初条件，然后就可通过简单的牛顿引力来计算n 粒子体系的 后续演化。数字模拟之所以重要，是因为它作为联系理论和观测的桥梁， 不但可以研究非线性引力成团效应，而且还可考虑流体动力学扰动效应以 研究星系形成，当然，最主要的应用还是用来检验各种结构形成的宇宙学 模型。 一个具体的数值模拟包括以下几个部分：宇宙学模型的选取；数值 模拟程序；实施过程。宇宙学模型的选择首先要在观测允许范围内，然后 结合宇宙大尺度结构及演化的定量理论。主要依据以下几方面的假设和考 虑：基本宇宙学参数，原初扰动谱转移函数，扰动功率谱的归一化，扰动 功率谱的形状因子。目前采用的数值模拟程序主要源于三种思想：p a r t i c e m e s h ( p m ) 方法，p a r t i c l e p a r t i c l e 方法和t r e e 方法，当然具体程序的选择 婴依据数值模拟的目的来定，例如，对大尺度环境下的单个星系的细致模 拟，则要采用高的质量分辨率和力的分辨率的程序。图1 - 2 给出了一个数 值模拟的具体例子。 图1 2 ：( a ) 暗晕分布的数值模拟；( b ) 单个暗晕的细致模拟。 1 3 i4 随机场的统计方法 1 4随机场的统计方法 1 4 1随机场的描述 大尺度结构的研究，就是要揭示大尺度的空间密度分布，或者相应尺 度上的功率信息，但因为我们无法对密度场p ( x ) 中的每一点都进行分析，所 以我们一般借助统计的方法来研究大尺度结构的分布并借此揭示其物理内 涵，另外，也一般不存在多次测量的可能，所以我们常用系综平均代替统 计平均，这样操作的目的，是因为在数学上可证明，对于一个各态历经的 宇宙密度场，系综平均将趋于统计平均。 要刻画一个密度场扰动场6 f z ) ，由于分辨率的限制，我们需要对其在 一定尺度r 上进行平滑， 一沌) ( z “：剐w ( 咖) 如乩( 1 - 5 4 ) 这里w 为窗口函数，平滑密度场就表示在真实密度场和窗口函数的卷积。 常用的窗函数有两种： 尖帽型窗函数 高斯型窗函数 刚巧r ，= f 。1o 班 s x 。组l 2 m s j ， w g ( z ；冗) 丽瓣1e x p ( 一豢)面可丽“9 【一旃 f 1 5 6 1 1 4 2两点相关函数 最早也是最常用的统计方法是两点相关函数。两点相关函数给出了在 某一尺度上星系成团性的大小。两点相关函数的定义是物质密度涨落d 佃) 的 协方差： ( r 1 2 ) 一 ，( 1 - 5 7 ) 其中i m l = 1 x 1 一x 2 。两点相关函数也可以看成是一个概率上的概念。在 1 4 c h a p t e r1 大尺度结构的形成及统计特性 距离r 的两个地方同时发现星系的联合概率为 d 6 2 一f i 2 【1 + ( r ) 】d d k ，( 1 - 5 8 ) 其中元场的半均数密度。如果( r ) = 0 ，则物质均匀分布，尢成团性；若大 于0 ，则同时发现星系的概率变大，有成团性；反之则有反成团性。从而得 到： 盼) = 翥斋( 1 - 5 9 ) 其中一) 是样本中距离为r 到r + 咖的星系对数目。在实际计算中，我们通 常通过观测样本与生成的随机均匀分布样本之间的比较来计算( r ) ： 盼) 一薏涨( 1 - 6 0 ) 其中，d d ( r ) 表示在观测样本中距离为r 的星系对数目，而兄r ( r ) 则是在随 机样本中的值，n d 和n r 分别是观测样本和随机样本的平均数密度。因为观 测样本不可避免地受到各种观测效应的影响，我们在生成均匀样本时也要 加上同样的观测效应。这样就可以消除观测效应对结果的影响。 观测结果表明( d a v i s p e e b l e s1 9 8 3 ，h a w k i n se ta l _ 2 0 0 3 ) ，对于光 学波段的星系，其相关函数在尺度rs2 0 m p c 时可以用幂率谱较好地近 似： 盼) ：( 扩，( 1 - 6 1 ) 其中，r o 5 h m p c ，7 1 8 。这一结果表明在尺度rs5 m p c h 上，星系 分布具有很高的成团性。而( r ) 在更大尺度上( 乏2 0 h - 1 m p c ) 的行为目前 还不能很好地确定。 三维两点相关函数只能应用于给出了红移的三维巡天，而对只有角位 置的巡天，如果要研究其成团相关性，我们可以类似地定义角相关函数： d p l 2 = 而2 d 9 l d q 2 【1 + u ( 日1 2 ) 】，( 1 - 6 2 ) 其中q 1 ，q 2 是角位置 1 和如处的立体角元，口1 2 是 和f 2 之间的角度。 1 5 14 随机场的统计方法 1 4 3f o u r i e r 功率谱 任何密度扰动场可以用傅立叶级数展开为 其中以为傅立叶系数 功率谱就定义为 m ) 一蒜址6 ( 。) 一赢i 址 耻南砸) e i “d 3 k ( 1 6 3 ) f 1 6 4 1 f 1 6 5 1 利用傅立叶分析中的巴塞瓦尔定理，不难证明：功率谱与两点相关函数互 为f o u r i e r 变换对： ( r ) = i 1 ? 3 p ( 女) s i n 。k xd 。& 一z 。2 ( ) s i 。k ：。d 。k ( 一6 6 ) 我们还可以定义一个无量纲形式的功率谱2 f ) 2 ( ) ；0 j k 。p ( ) z 丌。 f 1 6 7 1 物质密度扰动的功率谱是宇宙大尺度结构定量化的基本统计量。它 对宇宙学参数的确定有着极其重要的作用，一般都用功率谱来鉴别宇宙模 型。因此我们需要对不同参数的宇宙模型给出其功率谱。原初功率谱的形 状在宇宙极早期就已经确定，暴涨理论都给出的是一种幂率形式的谱： p ( k 、= a k “ f 1 6 8 1 其中对应标度不变的h a r r i s o n z e l d o v i c h 形式的谱指数n = 1 ( h a r r i s o n 1 9 7 0 ，z e l d o v i c h1 9 7 0 ) 。从原初扰动谱到我们目前观测到的功率谱， 经过t j e a n s 质量效j 立$ 1 3 d a m p i n g 效应，两种效应都对小尺度的扰动模有 抑制作用，因此我们用一个转移函数疋；5 k ( o ) 民( z ) d ( z ) 将二者联系起 来( 1 23 ) ，其中d ( z ) 是从红移z 到现在的线性增长因子( ( 1 - 2 4 ) 和 1 6 c h a p t e ri大尺度结构的形成及统计特性 ( i - 2 5 ) ) 。因此线性扰动谱就是原初功率谱与转移函数之积。 1 4 4 其他二阶统计 两点相关函数和功率谱是宇宙大尺度结构研究的基本统计量。标准 的功率谱分析方法是把宇宙密度场按离散的平面波模式进行f o u r i e r 分解。 这种方法的缺陷是，对非周期场，它的基函数在一个有限体积内不是正交 的，因而使得该变换在任何有限频段上的信息都不足以给出物理场的高空 间分辨率分析。比如说如果我们有一个脉冲函数( 在大尺度结构研究中， 通常认为有星系的地方为1 ，没有星系的地方为0 ，这样一个星系就是一个 脉冲) ，我们就需要无穷多个f o u r i e r 模才能给出它在空间的信息，而实际 上我们只能获得有限多个f o u r i e r 模，则我们给出的信息是不完全的。 一个可能的代替方法是采用基于离散小波变换( d w t ) 的多分辨分 析方法。由于小波基函