（基础数学专业论文）阶化平移toroidal李代数与babytkk代数的表示.pdf

中文摘要 摘要 v 扩张仿射李代数是一类重要的阶化李代数，它包含了所有有限维单李代数，仿 射k a c - m o o d y 代数，以l a u r a n t 多项式环面或量子环面为坐标代数的李代数，同时 还包含了一类带j o r d a n 代数结构的t i t s - k a n t o r - k o c h e r 代数t o r o i d a l 李代数( 加 适当的中心和导子) 是无扭仿射k a c m o o d y 代数的推广它是以多变量的l a u r a n t 多项式环面a = c 时1 ，軎1 】为坐标代数的扩张仿射李代数仿射k a c m o o d y 代数和t o r o i d a l 李代数的不可约可积表示的分类问题一直是人们关注的焦点，参见 【c ，c p l ，e 1 ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e j 】等在研究它们的不可约可积表示分类时，涉及到一类 中心作用为零的表示，而这类中心作用为零的表示和相应的l o o p 代数或多元l o o p 代数的有限维不可约表示密切相关所以研究无穷维李代数的有限维不可约表示是 有意义的 本文首先推广了昂型和毋型t o r o i d a l 李代数设s o ( n ，c ) 是n ( 3 ) 阶复正 交李代数，即所有的礼阶反对称矩阵的集合取它的一组基 q 巧：= e 巧一勺t1 i j n ) ， 其中为( i ，j ) 位置是1 ，其它位置是0 的佗阶矩阵设a 是任意带单位元的交换 结合代数固定a 中的n 个元素毋，政在张量空间s o ( n ，c ) o a 上定义双线 性运算： 陋巧of ，q 詹og 】= o q kqe j 厂夕， q 巧o ，a 巧og 】= 【q 巧o ，o l k log 】= 0 ， 其中f ，g a ，1 z ，j ，k ，f n 是互不相同的整数，使其构成李代数，称之为阶化平 移t o r o i d a l 李代数，记作厶( e l ，日) 选取a = a y 当e 1 = = r = 1 时， 厶( 1 ，1 ) 是多元l o o p 代数，其泛中心扩张是t o r o i d a l 李代数文章 l t 】中定义 的无穷维李代数是佗= 3 的情形他们给出了：3 ( t 勘，t 幻，1 ) 的导子和泛中一5 - 扩张， 并且给出了含两个变量的：3 ( t l ，t 2 ，1 ) 的类顶点算子表示，紧接着在 c l t 中，作 者给出了c ( l ，亡2 ，1 ) 的自同构群和一类w a k i m o t o 模特别地，当佗= 3 时，文章 【s g 】也将这一定义推广到a 为非交换结合代数的情形我们定义的这个代数也是 l t 】的自然推广 访 厦门大学理学博士学位论文 我们证明了，阶化平移t o r o i d a l 李代数厶( 日，磊) 是完全的，当且仅当， e l ，r 中任意礼一2 个元素生成的a 的理想是a 本身特别地，我们总选 取a = a y ，e 1 ，鼠都是单位，这时存在s 1 ，s n z g ，使得c n ( e l ，磊) 同 构于c n ( 8 1 ，伊) 本文只考虑这种情形此时，厶( 勘，t ) 是有限生成的阶 化的完全李代数进一步，我们给出了阶化平移t o r o i d a l 李代数的导子和泛中心扩 张因为当n = 4 时，结果很特殊，所以我们都分成两种情况给出结论 接着我们讨论阶化平移t o r o i d a l 李代数的有限维不可约表示通过变量的赋值， 我们定义了阶化平移t o r o i d a l 李代数厶( 垆- ，t ) 到半单李代数s o ( n ，c ) c g n ( 个 单李代数s o ( n ，c ) 的直和) 的满同态通过满同态自然可以将半单李代数的有限维 不可约表示诱导为阶化平移t o r o i d a l 李代数的有限维不可约表示反之，我们也证 明了阶化平移t o r o i d a l 李代数的有限维不可约表示均可由这种方法给出值得一提 的是，在阶化平移t o r o i d a l 代数里没有一般的c a r t a n 子代数，故s e s w a r ar a o 在 研究多元l o o p 代数时给出的证明方法这里大部分都不能用在后面的证明中，我们 选取一个有限维交换子代数替代c a r t a n 子代数，用不同的方法给出引理的证明 由 a a b g p 】可知，n u l l i t y 为的a 1 型的扩张仿射根系的分类完全由掣空间 的半格决定n u l l i t y 为0 的只可能是有限维单李代数，n u l l i t y 为l 的只可能是仿射 k a c - m o o d y 代数所以一般都是从n u l l i t y 等于2 开始考虑a l 型扩张仿射李代数的 结构和表示理论我们知道在相似的意义下，欧氏空间瞅中只有两个半格，其中一 个是全格半格z 2 ，另一个是最小的非格半格s 其中b a b y - t k k 代数多( 了( s ) ) ( 加适 当的中心和导子) 可以看作是除有限维单李代数和仿射k a c m o o d y 代数之外的最小 的扩张仿射李代数在文章 t 3 】和 m t l 中，作者给出了b a b y - t k k 代数9 ( 歹( s ) ) 的泛中心扩张的顶点算子表示在文章 m t 2 】中，作者也构造了b a b y - t k k 代数 夕( 歹( s ) ) 的一类w a k i m o t o 模 由量子环面c q ，这里q = ( q i j ) l i , j 4 ，e 6 ，e 7 ，e s 型根 系分次李代数的分类1 9 9 6 年，b e n k a r t 和z e l m a n o v ( 见 b e z ) 同样在模去中心扩 张的基础上给出了a 1 ，岛3 ，q 2 ，f 4 ，g 2 型根系分次李代数的分类同年，n e h e r ( 见 n 】) 用j o r d a n 代数的方法对除了b ，毋，g 2 三种类型以外的其余所有类型的约化 根系分次李代数给出了分类2 0 0 0 年，a l l i s o n ，b e r m a n ，郜云( 见 a b g i ) 通过 求出中心扩张对上述所有类型的约化根系分次李代数给出了完全分类为了包含全 部的仿射k a c m o o d y 代数，他们也给出了非约化不可约根系b a 1 型分次李代数 ( 见 a b g 2 ) 与此同时，和根系分次李代数相关的一些代数结构也得到了广泛的研 究，如s t e i n b e r g 李代数，s t e i n b e r gu n i t a r y 李代数等，见【a f ，g 1 ，a g l ，g 2 ，g s ( 4 ) 受量子规范场理论的研究工作的启发，r h o e g h - k r o h n 和b t o r r e s a n i ( 见 【h k t i ) 推广有限维单李代数和仿射k a c - m o o d y 代数，提出了一类被称为扩张仿 射李代数( e x t e n d e da f f i n el i ea l g e b r a ) 或拟单李代数的无穷维李代数实际上，在 给出代数定义之前，扩张仿射李代数这个名字就出现在文章 w l ，y 卅中简单来 说，扩张仿射李代数是有非退化对称不变双线性型，有限维c a r t a n 子代数，离散 不可约根系，以及非迷向根向量是a d - 局部幂零的李代数1 9 9 0 年，r h o e g h - k r o h n 和b t o r r e s a n i ( 见 h k t ) 把仿射k a c m o o d y 代数的坐标代数换成多变量 l a u r a n t 环面，从而得到了许多例子在有限根系分次李代数的分类结果的基础上 b e r m a n ，郜云等人( 见 b g k ，b g kn 】给出了a t 3 ，d l 4 ，e 6 ，岛，e s 型和a 2 型扩 张仿射李代数的分类 a l l i s o n ，郜云( 见【a g 2 ) 和y o s h i i ( 见 v 0 2 ) 又分别给出了 鼠 3 ，c f 2 ，毋，g 2 型和a 1 型的分类b q 型是最复杂的情形，最近也已经被完全 分类了( 还未发表) 他们发现除l a u r a n t 环面外，量子环面，一些特殊的交错代数 ( 见【s c h ) ，j o r d a n 代数( 见 s c h ，j 】) 等也可以作为扩张仿射李代数的坐标代数 所有这些新型的广义k a c - m o o d y 代数本身的代数结构，中心扩张，w e y l 群， 及表示理论在数论，非线性发展方程，孤立子理论中的应用还处于初步阶段这些 问题无疑是数学界追求的目标之一 下面我们来介绍和本文相关的一些代数结构和结果 t o r o i d a l 李代数( 加适当的中心和导子) 是无扭仿射k a c - m o o d y 代数的自然推 广它是以多变量的l a u r a n t 多项式环面屯为坐标代数的扩张仿射李代数 1 9 9 0 年，m o o d y , e s w a r ar a o 和y o k o n u m a ( 见 m r y 】) 首先给出了单边情形的t o r o i d a l 李代数的顶点算子的齐次表示 1 9 9 4 年， e s w a r ar a o 和m o o d y ( 见 e m ) 推广 了s u g a w a r a 构造法，给出了t o r o i d a l 李代数的一类顶点表示1 9 9 8 年，b i l l i g ( 见 b i 】) 将 k k l w 】中关于仿射k a c m o o d y 代数的情形推广，得到t o r o i d a l 李代数的 一类顶点算子的主表示 1 9 9 9 年，b e r m a n 和b i l l i g ( 见 b b ) 通过顶点代数给出 了某些t o r o i d a l 李代数的一系列不可约表示的实现同年，谭绍滨( 见【t 1 ，w 2 ) 给 出了a 1 型和岛型t o r o i d a l 李代数的齐次顶点表示2 0 0 2 年，c o x ( 见 c o ) 给出 了a 1 型t o r o i d a l 李代数的两种自由场实现，其中一种给出了虚v e r m a 模( 见 f 1 】) ， 另一种给出了w a k i m o t o 模( 见 w 2 1 ) 的实现之后，姜翠波，孟道骥和尤宏( 见 j m ，y j i ) 给出了一类新的顶点算子，研究了日型和只型t o r o i d a l 李代数的不可 约表示刘东和胡乃红( 见 l n ) 构造了g 2 型t o r o i d a l 李代数的齐次顶点表示其 4 厦门大学理学博士学位论文 他关于顶点表示的还有 e 2 ，b b s ，j m t 】等2 0 0 5 年，林亚南和彭连刚( 见 l p ) 用r i n g e l - h a l l 李代数实现了几类t o r o i d a l 李代数此外，关于t o r o i d a l 李代数的 可积表示见【e 3 ，e 4 ，e j ，v e r m a 模见 b c ，c o f 】等在研究仿射k a c - m o o d y 代数 ( t o r o i d a l 李代数) 的不可约可积表示分类时，涉及到一类中心作用为零的表示中 心作用为零的表示跟l o o p 代数( 多元l o o p 代数) 的有限维不可约表示密切相关这 些结果可见 c ，c p l ，e 1 ，e 2 以量子环面为坐标代数的a 型扩张仿射李代数的表示理论也取得了许多成果， 可见 b s ，g 3 ，g 4 ，g 5 ，e b ，e 5 ，g z 】等特别地，由量子环面c q ，这里q = ( q i j ) l _ i , j _ 2 ( q i j = 矿，口为阶本原单位根) 为坐标代数的李代数s l t + i ( c q ) 的有限维不可约 表示的分类也由 e b 】给出在这篇文章中，作者证明了任意一个s l l + ( c q ) 的有限 维不可约表示都可以通过一个满同态由半单李代数q ) s 1 n ( 1 + 1 ) ( c ) ( 若干个单李代数 s l n ( t + 1 ) 直和) 的有限维不可约表示提升而得 4 1 型的扩张仿射李代数共分为五类( 见 y 0 2 ) ，其中类是以c l i f f o r dj o r d a n 环面j ( a ) ( 见 y o l l ) 为坐标代数以c l i f f o r dj o r d a n 环面为坐标代数的a 1 型扩张 仿射李代数可以如下构造：a 是任一个半格对任意的盯a ，设矿代表一个符 号，定义向量空间歹= 了( a ) = o 盯a c x 盯上的乘法为： 。下l z 盯+ 1 r ，如果盯，7 a mua i ，1 i 仇一1 ， io ，其它 此时歹是一个具有单位元一= 1 的j o r d a n 代数令l ：r 表示了上的所有左 乘算子的集合，可如下定义与半格a 相关的t i t s - k a n t o r - k o e c h e r 代数夕( 歹) ：= s 1 2 ( c ) q 了o l j ，l j l aoa ，bo6 = 【a ，b 】a b + 2 t r ( a b ) l 。，l b ， p ，ao 叫= aod a ， d ， 厶，l b 】- l d n ，l b 】+ l n ，l d b ， 其中a ，b s i 2 ( c ) ，a ，b 了，d l j ，l a 由 a a b g p 可知，n u l l i t y 为的a 1 型的扩张仿射根系的分类完全由r p 空间 的半格决定n u l l i t y 为0 的只可能是有限维单李代数，n u l l i t y 为1 的只可能是仿 射k a c m o o d y 代数所以一般都是从n u l l i t y 等于2 开始考虑a l 型扩张仿射李代数 的结构和表示理论我们知道在相似的意义下，欧氏空间r 2 中只有两个半格，其中 个是全格半格z 2 ，另个是最小的非格半格s 其中b a b y - t k k 代数9 ( 7 ( s ) ) ( 加 适当的中心和导子) 可以看作是除有限维单李代数和仿射k a c m o o d y 代数之外的最 小的扩张仿射李代数在文章i t 3 】中，作者给出了b a b y - t k k 代数9 ( 了( s ) ) 的泛 中心扩张的顶点算子表示在文章和【m t l 】和 m t 2 】中，作者也分别构造了t k k 代数9 ( 歹( z 2 ) ) 的顶点算子表示和一类w a k i m o t o 模 本文第一章推广了岛型和现型t o r o i d a l 李代数设s o ( n ，c ) 是n ( 3 ) 阶 复正交李代数，即所有的n 阶反对称矩阵的集合取它的一组基 q 巧：= e i j 一勺tl 1 i 4 ，e 6 ，e 7 ，e 8 型和a 2 型的扩张仿射李代数的分类a l l i s o n ，郜云( 见 a g 2 ) 和 y o s h i i ( 见 y 0 2 ) 又分别给出了b t _ 2 ，a 3 ，f 4 ，g 2 型和a 1 型的分类b a 型是最 复杂的情形，最近也已经被完全分类了( 还未发表) 实际上，扩张仿射李代数的分 类决大部分依赖于它的坐标代数，其坐标代数可以是l a u r a n t 多项式环面，量子环 面，交错环面，j o r d a n 环面 我们先来简单给出扩张仿射李代数的定义设c 是复数域c 上的李代数假 设： ( e a l ) c 上有一个非退化对称不变双线性型( ，) ( e a 2 ) c 有一个有限维交换子代数冗，满足冗 o ， 何= z ci z ， t 】= 0 ) ) ， 且a d t 在c 上作用可同时对角化称咒为c 的c a r t a n 子代数 为了给出三元组( c ；( ，) ；7 - ) 上的其他三个条件，我们给出下面的约定由( e a 2 ) ， 有 c = 厶， a e t - i 且 c o = 冗， 这里咒+ 是h 的对偶空间， c q = z cl h ，z 】= a ( h ) x ，v h 咒) 8 厦门大学理学博士学位论文 设 r = q 冗。ic q o ) ) 称尺为c 的根系注意到咒 o ) ，所以0 r 并且如果a ，p r ，o + p 0 ，则 ( c q ，岛) = 0 因此 r = r 且( ，) 在咒上限制非退化所以咒上的双线性型( ，) 可以自然地诱导为冗+ 上 的双线性型设 r = q ri ( q ，q ) o ) ，钟= o rl ( q ，口) = o ) ， 则有r = r u 础我们称r 中的元为非迷向根，础中的元为迷向根 进一步，假设： ( e a 3 ) 对任意的q r ，z q c q ，有a d z n 在c 上作用局部幂零 ( e a 4 ) r 是咒+ 的离散子集 ( e a 5 ) 冗是不可约的即 ( a ) 如果r = r 1or 2 ，( r 1 ，r 2 ) = o ) ，则冗1 = ，或者忍= ； ( b ) 如果盯r o ，则存在a r ，使得a + 仃r 如果李代数c 满足( e a l ) 一( e a 5 ) ，则称三元组( c ，( ，) ，冗) ，或者直接称c 自身 为扩张仿射李代数 由印线性张成h + 的子空间的维数称为c 的n u l l i t y 当n u l l i t y 为0 时，c 只可能是有限维单李代数；当n u l l i t y 为1 时，c 只可能是仿射k a c - m o o d y 代数 所以一般都是从n u l l i t y 等于2 开始考虑扩张仿射李代数的分类和表示理论由c 的所有的非迷向根空间生成的子代数c 。叫做c 的核事实上，c 。是c 的理想 扩张仿射李代数的分类绝大部分依赖于它的核 下面我们给出几个扩张仿射李代数的例子 例1 ：我们给出x 型以交换结合l a u r e n t 多项式环面为坐标代数的扩张仿射李 代数的构造 设多是x 型的有限维复单李代数，咒是其c a r t a n 子代数设( ，) 是9 上的 k i l l i n g 型固定一个正整数，设a = c 亡 1 ，吉1 】是个变量的交换l a u r e n t 多项式代数x 型的多元l o o p 代数夕= 9oa p 上的李运算定义为： zoa ，yo6 】= z ，y 】oa b 第一章扩张仿射李代数和阶化平移t o r o i d a l 李代数 9 其中z ，爹，a ，b a p - i = 饨 1 是9 的满足( e a 2 ) 的有限维交换子代数 夕 是z p 阶化的李代数，阶化空间为夕m = 乡ot m ，其中m z y 定义a 上的c - 线性函数： 础个1 ：果果：叫m - - - 0 , 下面利用9 上的k i l l i n g 型给出9 上的非退化对称不变双线性型： ( z a ，yob ) ：= ( z ，可) e ( 0 6 ) ， 其中z ，y 9 ，a ，b a y 李代数多上添加适当的中心和导子可以得到n u l l i t y 是 的x 型的扩张仿射李代数下面我们给出一类最简单的构造( 见 a a b g p ) 构造法：定义d i 为9 上的度导子，即 d i ( xot m ) = m t z t m ， 其中z 9 ，m = ( m l ，m p ) z 扩令 这里 c = c c lo oc c v ，维向量空间， d = c d lo oc d v 如下线性扩充的定义c 上的反交换运算【7 】： 【c ，c 】7 = p ，驯7 = 0 ， d i ，zo 口】7 = d t ( z 口) ， p 。，yo6 】7 = i x 。a 7y 。6 】+ ( 也( z 。) ，可。6 ) g ， i - - - - 1 其中z 圆口，y ob 9 容易验证如上定义的c 是一个李代数下面将夕上的双线性 型扩充的定义为c 上的非退化对称不变双线性型，只需增加定义 ( 多，c + d ) = ( c ，c ) = ( 口，d ) = 0 ， ( d i ，勺) = 如，i ，j = 1 ， 1 0 厦门大学理学博士学位论文 三元组( ；( ，) ；7 - ) 满足( e a l ) 一( e a 5 ) ，即( c ，( ，) ，冗) 是一个扩张仿射李代数 通常情况下，我们称9 的泛中心扩张为t o r o i d a l 李代数下，也即扩张仿射李代 数c 的核c 。= 9 + c 的泛中心扩张它的泛中心扩张可如下给出设s 是由 严qlm 刀，1 i ) 线性扩张而成的向量空间，z 是由如下形式的元素张成 的子空间： m i t m c ili l l = ( m 1 ，仇p ) z y ) t = 1 记商空间j | i c = s z 设c ( u ，m ) = u i t m c i s ，u = ( u l ，p ) c p ，m 才 将c ( u ，m ) 在瓦中的像仍然记为c ( u ，m ) 则泛中心扩张7 = 9 0 a o 瓦由如下李 运算给出 囟 t m ，y t n 】= k ，y 】ot m + n + ，y ) c ( m ，m + n ) ， 。 f ，c ( u ，w ) 】= 0 ， 其中z ，y 夕，i l l ，1 1 ，w z v ，u c y 当1 = l 时，t o r o i d a l 李代数7 就是无扭的仿 射k a c m o o d y 李代数t o r o i d a l 李代数是一类非常重要的无穷维李代数，其上有 一系列的顶点表示构造，见 m r y ，e m ，b i ，k k l w ，b b ，t 1 ，t 2 ，c o ，w 2 ，j m ，y j ， l h ，e 2 ，b b s ，j m t 】等此外，关于t o r o i d a l 李代数的可积表示见 e 3 ，e 4 ，e j 】) ， v e r m a 模见 b c ，c o f 】等 例2 ：我们给出a ，f 1 型以量子环面c q 为坐标代数的扩张仿射李代数的构 造事实上，由 b g k 】可知，任一a ，f 3 型的扩张仿射李代数，存在量子环面 c q ，使得扩张仿射李代数的核与8 1 l + l ( c q ) 具有相同的泛中心扩张 设q = ( ) 是一个阶方阵，满足 q i i = 1 ，蚴= 啄1 c + ，v l 乏，j 则称q 是量子环面矩阵结合于量子环面矩阵q 的量子环面c q 可如下构造： 设s = c t t l ，孝1 】是个非交换变量的l a u r e n t 多项式代数，设是由 t , t j q t j t j h1 i tj 】生成的结合代数的双边理想 c q = s v | j q 显然c q 结合代数把自然同态下t i 的像仍然记为t i c q ，则有 t i t j = 如，1 i ，j 第一章扩张仿射李代数和阶化平移t o r o i d a l 李代数 1 1 定义映射吼，：z dxz d _ c 如下： 盯( n ，m ) = 秽m ，( n ，m ) = 口( n ，m ) 盯( m ，n ) 一， 1 i j 其中! 1 1 = ( m l ，m ，) ，n = ( n 1 ，n p ) z ”定义关于，的核r a d ( f ) 为， r a d ( ，) = i i z vi ，( n ，m ) = 1 ，v m z 显然r a d ( f ) 是刀的子群 定理1 1 1 ( b g k ) 对如上构造的c q 有： 以) c q 的中心z ( c q ) 有如下形式的一组基 亡nn t a d ( f ) ， 俐李代数 c q ，c q 】有如下形式的一组基 mm 甓r a d ( f ) ， 俐c q = 【c q ，c q 】oz ( c q ) 设蚴+ 1 ( c q ) 是量子环面c q 上的f + 1 阶矩阵代数记结合代数蚴+ 1 ( c q ) 相 应的李代数为g l l + l ( c q ) 定义g l l + l ( c - q ) 的子代数： s l l + 1 ( q ) = a g l l + l ( c 口) lt r a c g ，c g 】) ， 其中t r a = a 试，a = ( a 玎) 设，( z ) = 竺：易i z g l l + 1 ( c ) oc q ，z c q ， i g l + l ( c ) 是单位矩阵 定理1 1 2 ( b g k ) 对于g l l + l ( c q ) 和8 l l + l ( c q ) ，我们有 p ) g l l + l ( c q ) = s l l + l ( c q ) oi ( z ( c q ) ) 是理想直和，且i ( z ( c q ) ) 是中心， 俐s l t + 1 ( c q ) 竺s h + l ( c ) oc qo ，( c q ，c d ) 是理想直和 设饨是s l t + 1 ( c ) 的c a r t a n 子代数，则7 - = 氕 1 是s l t + l ( c q ) 的满足( e a 2 ) 的有限维交换子代数显然，s f f + 1 ( c q ) 是刀阶化的，且阶化子空间 s f f + 1 ( c 口) m = s l l + l ( c ) 。严。c 川n ，t 8 】) ， n + 81 1 1 其中m ，n ，s 刀 定义c q 上的c 一线性函数： 印m ) _ 1 如果m = 0 io 如果i l l 0 1 2 厦门大学理学博士学位论文 接下来，定义s l l + 1 ( c q ) 上的双线性型( ，) ： ( a ，b ) = e ( t r ( a b ) ) ，v a ，b 8 1 1 + l ( c q ) 易知， ( ，) 给出s l l + i ( c q ) 上的非退化对称不变双线性型 利用例1 中相同的构造法，给李代数s f f + l ( c q ) 上添加适当的中心和导子，即 可得到n u l l i t y 是的a 型的扩张仿射李代数以量子环面为坐标代数的a 型扩 张仿射李代数的表示理论也取得了许多成果，可见 b s ，g 3 ，g 4 ，g 5 ，e b ，e 5 ，g z 】 等由于代数结构比较复杂，更多的结果还有待研究 例3 ：我们给出a 1 型以c l i f f o r dj o r d a n 环面歹为坐标代数的扩张仿射李代数 的构造事实上，由 v 0 2 】可知，任一a 1 型以c l i f f o r dj o r d a n 环面了为的扩张仿 射李代数的核与t i t s - k a n t o r k o e c h e r 代数9 ( 了) 具有相同的泛中心扩张 参照 a a b g p ，t 3 1 ，我们先来简单的给出半格a 相关的t i t s - k a n t o r - k o e c h e r 代数的一类构造设是任意正整数r ”的一个子集合a ，如果满足a 是离散的， 能r 线性张成r ，且 0 a ，- a = a ，h + 2 a a ， 则称a 为肜的半格若a 还满足a + a a ，则称为全格在相似的意义下总可 以假设人是2 z 在刀中的几个陪集的并，并且包含平凡陪集2 ，即a = u 罂o a i ， 这里a o ，人m 是2 刀在中不同的陪集，且a 0 = 2 z ”对任意的盯a ，设矿 代表一个符号，定义向量空间了= 歹( a ) = o 盯a c x 盯上的乘法为： ，仃，一j z 盯+ r ，如果盯，r a oua t ，l i m ， d 一、 1 0 ，其它 此时歹是一个具有单位元一= 1 的j o r d a n 代数( 代数歹叫做j o r d a n 代数，如 果对任意的z ，y 歹，满足 x y = y x ，( z y ) z 2 = x ( y x 2 ) ) 令l j 表示歹上的所有左乘算子的集合可以如下定义一个李代数多( 了) ：= s h ( c ) o 了o 【l j ，l j 】： ao a ，bo6 】= 【a ，b 】oa b + 2 t r ( a b ) l 口，l b ， d ，aoa 】= aod a ， d ， l 口，l b l 】