（基础数学专业论文）关于弱遗传闭包保持集族与紧有限集族的研究.pdf

摘要 从2 0 世纪6 0 年代起，广义度量空间理论一直是一般拓扑学中活跃的 研究方向由于各种网比起“形式太好”的基具有更加微妙和更加可变 的结构，拓扑学者们通过对各种网进行各种各样常常是巧妙的限制，使 许多重要的广义度量空间类得以引入并加以研究 在过去的几十年中，拓扑学者们已经对具有d r 一离散的、a 一局部有 限的以及t 7 一遗传闭包保持的各种网的空间，及空间的关系进行了探索 本文围绕具有t 7 一弱遗传闭包保持或一一紧有限的k 一网、c s 一网或 者w c 矿网的空间进行了研究，分别给出了这些空间之间的部分关系，并 运用这些关系推广了广义度量空间理论的部分已有结果全文主要工作 如下： ( 1 ) 分别给出具有一一弱遗传闭包保持k 一网( c s 一网、”c s _ 网) 与具有t 7 一紧有限的k 一网( c 8 一网、伽c 矿一网) 的空间之间的关系，以 及具有o r 一弱遗传闭包保持的( a 一紧有限的) k 一网、“一网、加c 矿一 网的空间之间的部分关系 ( 2 ) 通过对上述空间关系的讨论，将许多广义度量空间理论的已有 结果加以推广，从不同角度介绍了新的遗传亚l r t d e l 6 f 空间和仿紧空间 的判定方法，并给出了g 一可度量空间关于o - 一弱遗传闭包保持闭弱基的 一个刻画，进一步丰富和发展了广义度量空间的基本理论 另外，通过对本文结论的总结，最后提出了可以继续进行探索的几个 方面，为进一步的研究奠定了良好的基础 关键字，一一弱遗传闭包保持，a 一紧有限，k 一网，c s 一网， c s + 网 捕要 2 a b s tr a c t s i n c e1 9 6 0 s ，t h ei n v e s t i g a t i o n so fg e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e si s a l la c t i v ed i r e c t i o no fg e n e r a lt o p o l o g ya l lt h et i m e b e c a u s et h e s t r u c t u r eo fn e t w o r k si sm o r ed e l i c a t ea n dm o r ev a r i a b l e ，t h et o p o l o g y s c h o l a t sh a v em a d e 村ls o r t so fr e s t r i c t st ov a r i o u sn e t w o r k s t h e n m a n yd a s s e so fg e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e sw e r ed r a wi na n ds t u d i e d t o p o l o g ys c h o l a r sh a v ei n v e s t i g a t e ds p a c e sw i t h 盯一d i s c r e t e a l o c a l l yf i n i t e ，盯一h c pv a r i o u sn e t w o r k s ，a n dt h er e l a t i o n s h i p sb e - t w e e nt h e m i nt h i st h e s i s ，w ei n v e s t i g a t et h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e ns i xk i n d s o fs p a c e sw i t ha - w h c p ，盯一c o m p a c t f i n i t ek - n e t w o r k s ，c s - n e t w o r k s a n dw e s * - n e t w o r k s i na d d i t i o n ，w ed e v e l o pt h et h e o r yo fg e n e r a l i z e d m e t r i cs p a c e sb yt h e s er e l a t i o n s t h ep r i m a r ys t u d i e si nt h i sp a p e r a r et h ef o l l o w i n g ： f 1 ) w eo b t a i nt h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e ns p a c e sw i t hd w h c pk - n e t w o r k s ( c s - n e t w o r k s ，w a s 匕n e t w o r k s ) a n dw i t ho - 一c o m p a c t f i n i t ek n e t w o r k s ( a s n e t w o r k s ，w a s * - n e t w o r k s ) a n dt h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e n s p a c e sw i t h 口一w h c p ( o - - c o m p a c t f i n i t e ) k - n e t w o r k s ，c s - n e t w o r k s ， w c s * - n e t w o r k sr e s p e c t i v e l y ( 2 ) w ea p p l yt h ea b o v er e l a t i o n st od e v e l o pt h et h e o r yo fg e n - e r a l i z e dm e t r i cs p a c e s w ea l s oo b t a i nad e w j u d g e m e n tt h e o r e mf o r h e r e d i t a r i l ym e t a l i n d e l s fs p a c ea n dp a r a c o m p a c ts p a c e i na d d i t i o n l w eg i v ead e p i c t i o nf o rg - m e t r i z a b l es p a c ef r o man e wd i r e c t i o nw i t h a - w h c pc l o s e dw e a kb a s e t h e ye n r i c ht h eb a s i ct h e o r yo fg e n e r a p i z e dm e t r i cs p a c e s i na d d i t i o n ，t h r o u g hs u m m a r yo fr e s u l t si nt h i st h e s i s ，w ec a n 摘要 3 c o n t i n u ee x p l o r i n gi ns e v e r a ld i r e c t i o n si no r d e rt oe s t a b l i s hf o u n d a t i o n f o rt h en e x ti n v e s t i g a t i o n k e yw o r d s ：a - h e r e d i t a r i l yc o l s u r ep r e s e r v i n gf a m i l y , 仃一c o m p a c t f i n i t ef a m i l y , k - n e t w o r k s ，a s n e t w o r k s ，w c s * - n e t w o r k s 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：1 韵云 日期：枷舌年r 月加日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有 权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸 质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复诒并允许论文迸入学校 图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索有权 将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规 定 学位论文作者签名：i 桶云 日期：如6 年r 月知日 引言 拓扑学是近代数学一个十分重要的分支拓扑学作为一个学科出现， 从p o i n c a x e1 8 9 5 年相继发表的一系列论文算起，至今只有一百多年但 是，拓扑学发展到今天已经成为包括一般拓扑、代数拓扑和微分拓扑等 重要分支的庞大学科，有着丰富的结果和方法一般拓扑作为拓扑学的 基础分支，已成为近代纯粹数学的重要支柱，它的方法和结果不仅深刻 的影响着数学其他分支，而且在其他学科和社会实践中也得到了日益广 泛的应用 早期一般拓扑学研究的中心课题是关于空间的度量化问题及关于空 间的紧性问题2 0 世纪上半叶，对于度量空间、紧空间、正规空间、完 全正则空间的大量基础性研究工作取得了丰硕的成果，为一般拓扑学奠 定了坚实的基础，但也产生了一系列亟待解决的问题 1 9 4 4 年法国数学大师d i e u d o n n d 引进仿紧性的概念是一般拓扑学进入 全盛时期的重要标志随后拓扑空间论以惊人的速度迅猛发展，其表现 形式是为适应不同的目的而定义或发现各种各样的拓扑性质，其基本方 向是为解决各类问题而对仿紧性与可度量性作各式的推广这些工作产 生了近四十年一般拓扑学研究的重要课题一一覆盖性质与广义度量空间 理论 从2 0 世纪6 0 年代起，广义度量空间理论一直是一般拓扑学中活跃的 研究方向粗略地说，广义度量空间是一些空间类，它们继承了度量空 间的许多优美性质，并且度量空间的某些理论或技巧能拓广到这些空间 类因此，对它们的研究有益于刻画空间的可度量性，增加我们对度量 空间的理解许多知名学者不断提出大量有挑战性的问题，汇同一些长 期未解决的经典问题成为广义度量空间理论进一步向前发展的源泉但 是，广义度量空间的研究还不是完整的，更确切地说，随着每年许多新 的重要成果的出现，它还在不断地成长壮大 引言 在广义度量空间类中，有相当一部分的空间是从1 9 5 0 ，1 9 5 1 年建立 的b i n g - n a g a t a - s m i r n o v 度量化定理，或m i c h a e l 关于仿紧性的刻画等，利 用o r 一离散集族，或一一局部有限集族，或a 一闭包保持集族来定义的， 这是产生广义度量空间类的有效方法 b i n g - n a g a t a ，s m i r n o v 度量化定理【1 】正则空间x 可度量化的充要条件 是x 满足下述条件之一： ( 1 ) x 具有口一离散基 ( 2 ) x 具有a 一局部有限基 b i n g - n a g a t a - s m i r n o v 度量化定理为全面探索度量性质带来了根本性的 变化，同时对广义度量性质的研究展示了光明的前景 由b i n g - n a g a t a ，s m i r n o v 度量化定理诱发了人们对于具有各种基性质的 空间的热情 然而，一方面，由基所定义的空间的不足之一在于考虑一些与“闭” 性有关的运算时会带来诸多不便，有时甚至很困难因而，有必要对基的 概念作适当的推广a r h a n g e l s k i i ( 1 9 5 9 年) 为证明任意基数的a l e x a n d r o f f - u r y s o h n 加法定理时引进了基概念的推广一一网m i c h a e l ( 1 9 6 6 年) 引进 了伪基的概念，并依照u r y s o h n 度量化定理定义了一空间a r h a n g e l s k i i ( 1 9 6 6 年) 还引进了弱基的概念受a r h a n g e l s k i i 引进的网的概念的启 发，o m e a r a ( 1 9 6 6 年) 引进了k 一网的概念并且定义了x 一空间1 9 7 1 年，g u t h r i e 为刻画x 0 一空间引入了c 8 一网的概念1 9 7 4 年，s i w i e c 引进 了g 一可度量空间另外，还有c 8 + 一网、半层空间、k 一半层空间以及层 空间等许多概念的引入，为广义度量空间理论锦上添花 另一方面，1 9 2 4 年a l e x a n d r o f f 引进了局部有限集族的概念仿紧性的 定义及b i n g - n a g a t a - s m i r n o v 度量化定理的建立表明了局部有限集族是一 般拓扑学中的重要概念但是，在一一离散集族与a 一局部有限集族中， 问题大多有正面答案，而在。一局部有限集族与一一闭包保持集族中，问 引言 题显得异常的困难。于是，1 9 6 6 年l a s n e v 引进了遗传闭包保持集族的概 念1 9 7 5 年b u r k e ，e n g e l k i n g 和l u t z e r 证明了具有o r 一遗传闭包保持基 的正则空间等价于可度量空间 由于各种网比起“形式太好”的基具有更加微妙和更加可变的结构， 因此，常常通过对各种网进行各种各样的巧妙的限制，使许多重要的广 义度量空间类得以引入并加以研究 人们不断对具有各种各样限制的各种网之间的关系进行探索，在这 方面得出了许多结论，如 2 】。 对于正则空间x ，下述条件相互等价， ( 1 ) x 是x 一空间 ( 2 ) x 具有矿一离散k 一网 ( 3 ) x 具有一一遗传闭包保持k 一网且不含有闭子空间同胚于& ， ( 4 ) x 具有口一离散c 8 一网 ( 5 ) x 具有。一局部有限c s 一网 ( 6 ) x 具有一一遗传闭包保持c s 一网 由于度量空间的重要地位，度量空间概念提出后，学者们不断的寻求 着空间的度量化定理，即对可度量化空间给出内在刻画，得到了下面的 结果【2 】： 对于正则空间x ，下述条件相互等价t ( 1 ) x 是度量空间 ( 2 ) x 具有o r 一遗传闭包保持基 ( 3 ) x 是具有a 一可数弱遗传闭包保持基的k 一空间 ( 4 ) x 是具有a 一可数遗传闭包保持基的点伉一空间 ( 5 ) x 是具有o r 一可数弱遗传闭包保持k 一网的强f r 6 c h e t 空间 ( 6 ) x 具有一一紧有限基 ( 7 ) x 是具有o - 一紧有限k 一网的强f r c h e t 空间 引言 由此，对度量空间的多种刻画又将弱遗传闭包保持集族和紧有限集 族推上了广义度量空间理论的重要位置许多学者对具有弱遗传闭包保 持集族和紧有限集族的空间进行了研究如t2 0 0 4 年，林寿f 5 】给出了具 有0 - 一紧有限弱基与具有a 一弱遗传闭包保持弱基的空间之间的关系 本文则给出了具有一一紧有限k 一网、c 8 一网与具有盯一弱遗传闭包 保持k 一网、c 8 一网的空间之间的关系 另外，近年来，一批一般拓扑学工作者对空间中的点可数集族和w c 矿 网产生了浓厚的兴趣广义度量理论与覆盖性质理论中的许多问题涉及 点可数覆盖的研究2 0 世纪9 0 年代一般拓扑学的发展动力之一是专著 o p e np r o b l e m si nt o p o l o g y 中的问题，其中的一些问题涉及具有点可数基 空间与度量空间的紧覆盖映射，引起了一批拓扑学名家对点可数覆盖的 兴趣，许多优秀的结果不断涌现1 9 9 4 年，林寿、t a n a k a 定义了训c s 网，术语”c s + 网的更早描述是在t a n a k a ( 1 9 8 7 年) 中记为条件( 岛) 许多k 一网、c 8 一网的集族性质都蕴含了w e 8 + 网这一集族性质，学者们 将过去已获得的在点可数覆盖方向上关于弱基、k 一网、c 8 一网等一些重 要结果统一到了”c s + 网上于是，”c s + 网备受关注如【3 1t 对于空间x ，考虑下述条件： ( 1 ) x 有点可数c 8 + 一网且x 的每一紧子集是序列紧的 ( 2 ) x 有点可数”c s + 网且x 的每一紧子集是序列紧的。 ( 3 ) x 有点可数k 一网 那么，( 1 ) = ( 2 ) 争( 3 ) 本文也给出了具有a 一紧有限”c s 网与具有一一弱遗传闭包保持”c s 网的空间之间的关系，以及具有a 一弱遗传闭包保持( a 一紧有限) k 一 网、c 8 一网、w c 8 + 网的空间之间的关系 覆盖性质在发展广义度量空间理论中起了很大的作用这两个一般 拓扑学的研究方向时常是难以区分的，其中一个方向的进展立即导致另 引言 一个方向的进展仿紧性、亚l i n d e l f f 性等都是重要的覆盖性质 度量空间具有很好的覆盖性质，广义度量空间也有一些相应的覆盖性 质如，具有i t 一遗传闭包保持k 一网的正则的k 一空间是遗传亚l i n d e l s f 空间，具有一一遗传闭包保持k 一网的正规的k 一空间是仿紧空间等 本文将上述两个命题推广到了；具有一一弱遗传闭包保持闭k 一网的 正则( 正规) 的k 一空间是遗传亚l i n d e l s f 空间( 仿紧空间) ，并利用前 面证明的具有不同集族性质的k 一网与c 8 一网的空间之间的关系，得到 了具有。一弱遗传闭包保持闭c s 一网的正则( 正规) 的k 一空间是遗传亚 b i n d e l s f 空间( 仿紧空间) 的结论 另外，1 9 9 2 年，莉川 7 】用一一紧有限闭弱基给出了关于9 一可度量空 间的一个刻画本文推广了这一结果，给出了9 一可度量空间关于a 一弱 遗传闭包保持闭弱基的一个刻画 最后，针对本文的研究内容，通过对本文所得到的结果的总结，我们 还提出了可以继续探索的几个方向，为进一步的研究奠定了良好的基础 第一章预备知识 本章所论空间均指满足t 。分离性的拓扑空间，映射指连续的满函数 对于拓扑空间x ，7 _ 表示空间x 的拓扑，一表示空间x 上闭集的 全体，表示自然数集 先引进几个记号与概念，对于空间x ，记 k ( x ) = 恤cx ：k 是x 的紧子集) ， s ( x ) = i s c x ：s 是x 的收敛序列( 含极限点) ) ，其中每一非空有 限集视为一确定的平凡收敛序列 对于空间x 的子集族p ，记 p 一= 伊c p ：f 是有限的) p ，= u ，：，p “ u p = u p ：p p ) ，p 的并 n p = f l p ：p 尹 ，p 的交 _ p 一= - ：p 斜，i d 的闭包 对于a c x ，。x ，记 ( p ) = p p ：p n a # ) ， ( p ) 。= ( p ) 扛 定义l 【1 】对于拓扑空间x ( 1 ) x 称为紧空间，如果x 的每一开覆盖具有有限子覆盖 ( 2 ) x 称为可数紧空间，如果x 的每一可数开覆盖具有有限子覆 盖 ( 3 ) x 称为序列紧空间，如果x 的每一序列具有收敛子序列 定义2 【2 】设p 是空间x 的子集族。 ( i ) p 称为x 的局部有限集族，若对于每一z x ，存在z 在x 中的 开邻域u ，使得 p p ：p r i g # ) 是有限的 ( 2 ) _ p 称为x 的闭包保持( 记为c p ) 集族，若对于任一p cp ，有 第一章珂备知识 ( u p ) 一；u 乒：p ) ( 3 ) p 称为x 的遗传闭包保持( 记为h c p ) 集族，若对于任一h ( p ) c p p ，集族 日( p ) ：p p ) 是闭包保持的 ( 4 ) p 称为x 的弱遗传闭包保持( 记为w h c p ) 集族，若对于任一 z 0 ) p p ，集族扛p ) ：p 辨是闭包保持的( 等价于 x ( p ) ：p p ) 是x 的离散子集) ( 5 ) p 称为x 的点可数集族，若对于任一。e x ，( p ) 。是可数的 ( 6 ) p 称为x 的紧有限集族，若对于任一k k ( x ) ， p p ：p n k 奶 是有限的 一般地，设p 是一集族性质，可数个具有性质p 的集族之并称为 口一p 一集族 显然【2 】，空间x 的局部有限集族是遗传闭包保持集族，也是紧有限 集族；遗传闭包保持集族是闭包保持集族，也是弱遗传闭包保持集族； 一一紧有限集族是点可数集族 定义3 【3 】设p 是空间x 的覆盖 ( 1 ) p 称为x 的网，如果对于z u 7 - ，存在尸p 使。p c u ( 2 ) p 称为x 的女网，若对于x 中的每一个紧子集耳及x 中包含耳 的开集矿，存在p “，使得kcu p 7cu ( 3 ) p 称为x 的网，若对于x 中的收敛序列一z 及z u r ， 存在m n 和p p ，使得缸) u z 。：n m ) cp cu ( 4 ) p 称为x 的t t j c 8 网，如果 z 。) 是x 中收敛于。的序列且。u r ，则存在p p 和 z 。) 的子序列( z 。；) ，使得 茁。：i ) cpcu ( 5 ) p 称为x 的弱基，如果p = u 。x 凡满足t ( 1 ) z n p 。 ( 2 ) 若u ，v 或，则存在w 终使得w c u n v ( 3 ) x 的子集g r 当且仅当对z g ，存在p r 使得p c g 第一章搏备知识 不难得到f 3 】。弱基净c s 一网号t i c 矿网 = 自一网 下面介绍几个本文涉及到的广义度量空间 定义4 t 1 】( 1 ) 具有一一局部有限网的正则空间称为a 一空间 ( 2 ) 具有a 一局部有限k 一网的正则空间称为x 一空间 ( 3 ) 具有一一局部有限弱基的正则空间称为g 一可度量空间 ( 4 ) 空间x 称为半层空间，如果存在函数f ：n r 一一 满足： ( i ) 对u 7 - ，u = u 。e f ( n ，u ) ( i i ) 对vcu 有f ( n ，v ) cf m ，u ) 其中嘲，g 一可度量空间= x 一空间= 一一空间辛半层空间 定义5 i 1 j 空间x 称为序列空间，如果对于ucx ，u 是x 的闭子 集当且仅当对z s ( x ) ，z n u 是x 的闭子集 定义6 1 1 1 空间x 称为k 空间，如果对于u c x ，u 是x 的闭子集 当且仅当对k k ( x ) ，k n u 是k 的闭子集 显然，序列空间是k 空间 为了完备起见，这里给出几个涉及到的覆盖性质的定义 定义7 【2 】设x 是一个空间 ( 1 ) x 称为仿紧空间，若x 的每一开覆盖存在局部有限的开加细 ( 2 ) x 称为亚乜n d e 硒，空间，若x 的每一开覆盖存在点可数的开 加细 其中【2 】仿紧空间是亚l i n d e l s f 空间，g 一可度量空间也是亚l i n d e l 6 f 空间 引理1 【1 】对于度量空间x ，以下条件等价： ( 1 ) x 是紧空间 ( 2 ) x 是可数紧空间 ( 3 ) x 是序列紧空间 第一章预备知识 引理2 【2 】具有口一w h c p 的k 一网的空间具有口一紧有限k 一网 引理3 n( 1 ) 具有点可数k 一网的紧空间是可度量空间 ( 2 ) 具有点可数k 一网的k 空间是序列空间 引理4 【2 】可数紧的半层空间是紧可度量空间 引理5 【6 】设p 是序列空间x 的点可数集族若p 是x 的”c s 网， 则p 是x 的k 一网。 引理6 c 3 j 具有o - 一遗传闭包保持k 一网的正则的k 空间是遗传亚 i a n d e l s f 空间 引理7 【3 具有e r 一遗传闭包保持k 一网的正规的k 空间是仿紧空间 引理8 【2 3 对于正则空间x ，下述条件相互等价t ( 1 ) x 是x 一空间 ( 2 ) x 具有。一遗传闭包保持c 8 一网 ( 3 ) x 具有。一遗传闭包保持k 一网且满足如下条件之一t ( i ) 不含有闭子空间同胚于咒， ( i i ) 具有点可数c 8 一网 引理9 【5 | x 是9 一可度量空间营x 具有口一紧有限闭弱基 引理1 0 2 1 对于正则空间x ，下述条件相互等价： ( 1 ) x 具有。一离散弱基 ( 2 ) x 是g 一可度量空间 ( 3 ) x 是具有一一遗传闭包保持弱基的k 空间 ( 4 ) x 是具有o - 一遗传闭包保持k 一网的g 一第一可数空间 第二章六种具有特定集族性质空间的关系 这一章我们主要讨论具有一一弱遗传闭包保持、a 一紧有限的k 一网、 c 8 一网、0 c 8 网的空间之间的关系 为方便讨论，这里所论空间都是满足正则且t ，分离性的拓扑空间 预备知识中未定义的术语可参考文献 1 】， 2 】， 3 引理1 1k 空间中，紧有限集族是w h c p 集族 证明t 设p 是k 空间x 的紧有限集族对于每一p c , p a p ，及x 的 紧子集k ，由 p a 尹：只n k 庐) 是有限的则k n 饥：o a ) 是有限 集，从而k n m ：o l a ) 是k 的闭子集，由x 是k 空间知， ：q a ) 是x 的闭集，故_ p 是w h c p 集族 由引理1 l 可知，具有一一紧有限k 一网( c s 一网、w c 8 网) 的k 空间 一定具有口一w h c p 的k 一网( c 8 一网、w c 8 。网) 那么，具有a w h c p k 一网( c 8 一网、w e 8 网) 的空间是否具有一一 紧有限的k 一网( c 8 一网、”口网) 呢? 下面我们分别加以讨论 对空间x 的子集族p ，置 d ( p ) = z x ：( p ) 。不是有限集) ， ，( p ) = p d ( p ) ：p p ) u ( z ) ：z d ( p ) ) 定理1 若p 是空间x 的w h c p 集族，则，( p ) 是紧有限集族 证明：对任一k k ( x ) ，首先，k a d c p ) 是有限集否则，k m d ( 7 0 ) 含 有无限子集 。：n ) 由d 沪) 的定义，存在p 的无限子集 r ：n ) 使得r 由p 是x 的w h c p 集族知， 。：n ) 是x 的闭离散 子集，这与k 的紧性相矛盾 其次，( ，伊) k 是有限集否则，有_ p 的无限子集 q 。：n ) 使每 一( q 。d ( p ) ) n ，那么，有k 的无限子集协：i ) 和子集列 q 。) 使每一执q 。由p 是x 的w h c p 集族知，协：t ) 是x 的闭离散 子集，这与的紧性相矛盾 故，( p ) 是紧有限集族 第二章六种具有特定集族性质空间的关系1 1 上述定理说明具有w h c p 集族的空间一定具有紧有限集族，但并不 一定是同种集族引理2 说明具有一一w h c p 的一网的空间具有一一紧 有限k 一网 下面给出对于w c 8 网的情况 定理2 具有一一w h c p 的w e 8 + 网的空间具有一一紧有限”。+ 网 证明：设p 是空间x 的口一w h c p 的w e 8 网记p = u n e n _ p 。，其中 每一r 是x 的w h c p 集族且rcp 。+ 。 对于每一n n ，置 仉= 。x ：( p 。k 不是有限的) ， ，= p d 。：p p 。) u z ) ：x d 。) 首先证明，咒是x 的紧有限的子集族 设肖是x 的任一非空紧子集首先，k n d 。是有限集否则，存在肖 的无限子集协：i ) 和的无限子集 只：i ) 使得每一如只 由r 是x 的w h c p 集族知，：i n ) 是k 的闭离散子集，与k 的 紧性矛盾 其次，若存在p 。的无限子集 r ：i n ) 使得每一( f i d 。) o k 庐， 那么存在k 的无限子集 雏：k ) 和子集列 f i 。) 使得每一y k 只。 由p 。是x 的w h c p 集族知， 讥：k ) 是耳的闭离散子集，与k 的 紧性矛盾 故( ，) x 是有限的 其次证明，u 。只是x 的w c 8 网 若 。 是x 中收敛于。的序列，且xeu r 由p 是x 的 c s 网 知，存在 g 。) 的子序列 z 。) 及p p 。，使得 x n 。：k n ) cp cu 因 为 。 u z 。：n n ) 是紧集，所以( 和) u ：n ) ) n 以是有限集，设为 协：1 j f ，令 嚣。：i ) = z 。：k 珊：1 j z 第= 章六种具有特定集族性质空间的关系 及f = p 现，则 。：te ) c fcu ，其中 。帆：i ) 是 t 。：川；町 的子序列，f 只 故u 。_ 只是w c 8 网 综上所述，u 。 是x 的一一紧有限”c s - 网 下面给出具有一一w h c p ( 小紧有限) t u 网的空间与具有a w h c p ( 一紧有限) k 一网的空间之间的关系 推论1( 1 ) 具有口一w h c p w c s 网的序列空间具有口一w h c p 的k 一 网 ( 2 ) 具有一紧有限”c s 。阿的序列空间具有一一紧有限的k 一网 证明- ( 1 ) 设p 是序列空间x 的口一w h c p t l l c 8 网由定理2 知， x 具有。一紧有限”c s + 网，由引理5 知，是序列空间x 的一一紧 有限k 一网因为序列空间是k 空间，所以由引理1 1 知，f 是空间x 的 a w h c p k - 两即具有口一w h c p ”c s + 网的序列空间具有一w h c p 的 k 网 ( 2 ) 可由引理5 得到 下面仿照已有的具有点可数k 一网空间的关于点可数w c s + 网的等价 刻画，给出具有一一w h c p k 一网的空间的关于一一w h c pw c 8 网的等价刻 画 先介绍一个引理 引理1 2 设p 是空间x 的w h c p 集族，耳是x 的紧子集，则存在 k 1 k “使( p ) k k 。是有限的 证明：若不然，即对于任一k t k “，( p ) k k 。是无限的 那么，存在可数子集 p n ：n n 及x 中的序列 z 。：n n ) 使得 x l p 1nk ， x n + l r + 1 n ( k x l ：i n ) ) ，n n 因为p 是w h c p 集族，且以只，t n ，所以协：i n ) 是离散子集 第二章 六种具有特定集族性质空间的关幕 而协：t ) ck ，这与k 的紧性相矛盾 因此，存在k 1 k 一使垆) 肌x 。是有限的 定理3 对于空间，以下条件等价t ( 1 ) x 具有一一w h c p 的”c s 网且x 的每一紧子集是序列紧的 ( 2 ) x 具有口一w h c p 的矗网 证明：( 1 ) 号( 2 ) ：设p 是空间x 的口一w h c p 的如c s + 网记 p ：u n e n p 。，其中p 。是x 的w h c p 集族，p 。cp 。+ 1 下证p 是女一网 对于k k ( x ) 且k c u r ，令 f n = u p 只。：p c 田 下证存在七n ，使kcu 蛐只若不然，则存在x 中的序列 。) 使每一z 。g u 。冠由k 是x 的紧子集知，k 是序列紧的因此，序 列 z 。) 有收敛子列，不妨设为 ) 一z k 由p 是x 的”c s 网知， 存在子序列 。) ，m n 及p p 。，使得t 。) cp cu 由p p 。且 pcu 知，pc 矗所以x 。f m ，又m ，这与。的取法矛盾 因此，存在k n ，使得k c u t s 女e 。由引理1 2 知，存在，( u 外p i ) “ 使得k cu ，c u 故p 是七一阿 ( 2 ) = ( 1 ) ：因为k 一网是 c s 网，所以只需证明z 具有o w h c p 的缸网的空间，其每一紧子集是序列紧的 由引理2 知，具有一一w h c p 的虹网的空间具有一一紧有限的肛网， 也就具有点可数一网设k 是x 的任一非空紧子集，由引理3 知，k 是可度量空间又由引理1 知，k 是序列紧的 下面给出具有a w h c p ( a 一紧有限) c s 一网与具有叮一w h c p ( o 一 紧有限) 七一网的空间之间的关系为证明方便，我们定义f c s 网 定义8p 称为x 的f c 3 网，若对于x 中的收敛序列。一z 及 。e u f ，存在m ，k n 和只p ，使得 。) u z 。：m ) cu 冬1 b c u 第二章 六种具有特定集旅性质空闻的关系 1 4 显然，k 一网和c 8 一网都是f c 8 网 定理4 具有，一w h c pc 8 - 网的空间具有a 紧有限k 一网 证明：首先证明，具有a u 汀c pc 8 一网的空间具有一一紧有限f c s 网 设p 是空间x 的o - 一w h c pc s 网记p = o n e n p 。，其中每一_ p 。是 x 的w h c p 集族且p 。c p 。+ 1 对于每一n n ，置 d 。= 扣x ：垆。) 。不是有限的) ， ，= p d 。：p p 。) u z ) ：o d 。) ( 1 ) 证明矗是x 的紧有限的子集族 设k 是x 的任一非空紧子集首先，k m d 。是有限集否则，存在耳 的无限子集 如：i n ) 和p 。的无限子集 r ：t ) 使得每一如只 由p 。是x 的w h c p 集族知， ： ) 是k 的闭离散子集，与k 的 紧性矛盾 其次，若存在r 的无限子集 f i ：ie ) 使得每一( 只d 。) n k ， 那么存在k 的无限子集 瓠：k 研和子集列 f “ 使得每一y u & 由是x 的w h c p 集族知， 弧：k r ，是k 的闭离散子集，与k 的 紧性矛盾 故( 只) x 是有限的 ( 2 ) 证明u 。只是x 的f c 8 网 对于任意的。u r ，设序列 z 。) 一x ，由p 是c s 一网知，存在 m n 及p p 。，使得( 。) u 托：i m ) cpcu 若疟d 。，由 z ) u 。：n n ) 是紧集，知( 扛n z 。：n n ) n d 。为有 限集，则存在m n 及f = p 仉， n ，使得( 扛) u ：t m ) ) cf cu 若z d n ，仍由恤) u ：n n ) 是紧集，知( 如 u 。：n ) ) nd n 为有限集，则存在m n 及f l = p o 。 ，f 2 = 和) 矗，使得 第= 章六种具有特定集族性质空间的关系1 5 ( z ) u q ： m 7 ) ) c 日u f 2cu 因此，对于任意的z u r ，设序列 z 。) 一z ，存在m ，k n 及 e 只，使得( z ) u 协：i m ) cu 叁1 最c u ，即只是x 的f c s 网 由此，= u 。只是x 的n 紧有限f c 8 网 其次证明，具有a 一紧有限f e 8 网的空间具有口紧有限k 网 设p 是空间x 的一紧有限f c 8 网，下证p 是一紧有限k 一网 对于x 的任一紧子集k c u r ，令 = p p ：p n k d 且pcu ) ， 则p 可数，记p f 为 只： 】 下证存在n n 使kcu i _ n 只否则，存在k 中的序列 。) 使 $ 。k u t n 只由k 是紧集，知耳有可数f c 8 网，因此，是a 一 空间，则x 是半层空间又因为x 是正则空阔，由引理4 ，所以是 紧可度量空间因此，k 是序列紧的，即t ) 存在收敛子列不妨设为 z 。) 一z k ，由p 是x 的f c s 网知，存在m ，k n 及p j 。p ， 使得( 如 u 缸： m ) c 啦：1 p j cu 这时，p j ep 7 ，l 墨n 女，因 此，存在。，使只。= ，1 墨k 取f m a x m ，i 。：1 n ) ，则 锄幢：l b 。= u n - k1 r 。与动的取法矛盾 因此，p 是a 一紧有限虹网 综上所述，具有一一w h c pc 8 网的空间具有n 紧有限k 一网 由定理4 及引理1 1 ，不难得到下面的推论 推论2 具有o - 一w h c pc 8 网的k 空间具有盯一w h c p 的k 一网 由c s 一网是f c s 网以及定理4 的证明过程，可以得到下面的推论 推论3 具有n 紧有限c 8 一网的空间具有a 紧有限的k 一网 由引理2 和引理3 ，可以将关于点可数集族的结论推广到w h c p 集 族上，从而得到： 第= 章六种具有特定集族性质空间的关系1 6 推论4 具有一一w h c p 的k 网的k 空间是序列空间 由定理4 、推论2 ，3 以及引理3 ，容易得到下面的推论 推论5 ( 1 ) 具有a w h c pc s 网的紧空间是可度量空间 ( 2 ) 具有口一w h c pc s 一阿的k 空间是序列空间 ( 3 ) 具有一紧有限c s 一网的紧空间是可度量空间 ( 4 ) 具有一一紧有限c s 一网的k 空间是序列空间 第三章理论推广 本章我们要利用上一章得到的六种空间的相互关系，将广义度量理 论的部分结果加以推广 引理1 3 序列空间中，w h c p 的闭集族是h c p 集族 证明：设p = 只：a j ) 是序列空间x 的w h c p 闭集族 对于任一子集jci ，及 gcr ：a j ) ，若u 。j 瓦不是闭集， 由x 是序列空间知，存在收敛于z 的序列( ：n ) cu 。j 碍且 x g u 。j 瓦，那么，存在子序列 z 。：k ) 使。瓦：c 瓦：= r 。，其中 n j ，k n 否则，若对于任意子序列 。：k ) ，存在m ，使 得 z m ：k n c u m v - 2 , ：啦以于是，存在o m j 及 。：k ) 的一个子序列 。h ：t ) ，使得 z 。h ：i n c c - - - 磊，则z 磁= 与 x g u 。j 巧矛盾由p 是w h c p 集族知， z 。：k ) 是空间x 的闭离散 子集，与。一x 矛盾 因此，u 。，巧是闭集即u 。，弓：= 瓯：j 瓦 所以，p 是序列空间x 的h c p 集族 应用上述引理，可将引理6 、引理7 进行推广 推论6( 1 ) 具有一一w h c p 的闭b 阿的正则的k 一空间是遗传亚 l i n d e l s f 空间 ( 2 ) 具有一一w h c p 的闭k 网的正规的k 一空间是仿紧空间 证明：这里只证明( 1 ) ( 2 ) 可类似得到 由k 空间x 具有a w h c p 的闭k 一网以及推论4 可知，空间x 是 序列空间又由引理1 3 知，序列空间x 具有一一h c p 的k 一网由引理 6 可知，x 是遗传亚乜n d e l 6 f 空间 推论7 ( 1 ) 具有a w h c p 的闭c 8 网的正则的k 一空间是遗传亚 l i n d e l s f 空间 ( 2 ) 具有a w h c p 的闭c 8 一网的正规的k 一空间是仿紧空间 证明t 这里只证明( 1 ) ( 2 ) 可类似得到 第三章理论推广 由k 空间x 具有矿一w h c p 的闭c 8 一网以及推论5 ( 2 ) 可知，空间x 是序列空间又由引理1 3 知，序列空间x 具有o - 一h c p 的c s 一网由引 理8 可知，x 具有a h c p 的k 一网因此，由引理6 得到，x 是遗传 亚l i n d e l s f 空间 以下对刘川吲给出的g 一可度量空间关于o - 一紧有限闭弱基的刻画加 以推广，给出g 一可度量空间关于盯一w h c p 闭弱基的一个刻画 定理5x 是g 一可度量空间甘x 是具有口一w h c p 闭弱基的正则的 k 空间 证明，。告”t 由弱基是c 8 一网以及推论5 知，x 是序列空间由引 理1 0 和引理1 3 知，x 是g 一可度量空间 “辛”：由x 是g 一可度量空间知，x 是k 空间，也是正贝i 空间 因此，只需证明x 具有a w h c p 闭弱基即可 由引理9 知，x 具有一一紧有限闭弱基，设为p 则由引理1 1 可知， p 是x 的口一w h c p 闭弱基 第四章总结与展望 近几十年，拓扑学者们对具有一一离散的、仃一局部