（基础数学专业论文）两类非线性离散动力系统的分岔分析.pdf

中南大学硕+ 学位论文摘要 摘要 本学位论文对一个离散时滞m a c k e y g l a s s 系统和一个二维离散 动力系统的稳定性及分岔进行了分析和讨论全文共分三章 第一章简单的介绍了非线性动力学的发展史，并列出分岔的基本 理论 第二章，讨论了一个离散时滞m a c k e y g l a s s 系统的稳定性及分 岔，首先研究了该模型的稳定性，并发现当参数经过一系列临界值时 n e i m a r k s a c k e r 分岔将会出现，接着我们使用中心流形定理和正规型 方法讨论了n e i m a r k s a c k e r 分岔方向及分岔的不变的闭曲线的稳定 性最后，用数值模拟说明我们分析的结果 第三章，讨论了一个二维离散动力系统正平衡点的稳定性，详细 讨论了出现n e i m a r k s a c k e r 分岔的条件，接着我们使用正规型方法 讨论了n e i m a r k - s a c k e r 分岔的分岔方向以及分岔出的不变的闭曲线 的稳定性最后，用数值模拟说明我们分析的结果 关键词：时滞m a c k e y g l a s s 系统，离散动力系统，稳定性， n e i m a r k s a c k e r 分岔，中心流形，正规型 中南人学硕士学位论文 a b s t r a c t a bs t r a c t i nt h i st h e s i s w ei n v e s t i g a t et h es t a b i l i t ya n db i f u r c a t i o no fa d i s c r e t ed e l a ym a c k e y g l a s ss y s t e m ，a n dac l a s so ft w od i m e n s i o n a l d i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m s i tc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e rl ，t h ed e v e l o p m e n to fd y n a m i c a ls y s t e ma r eg i v e n i nc h a p t e r2 ，ad i s c r e t ed e l a ym a c k e y g l a s ss y s t e mo b t a i n e db y t r a p e z o i d a lm e t h o di si n v e s t i g a t e d f i r s t l y , t h es t a b i l i t yo f t h em o d e li s s t u d i e d i ti sf o u n dt h a tt h e r ee x i s tn e i m a r k - s a c k e rb i f u r c a t i o n sw h e nt h e d e l a yp a s s e sas e q u e n c eo f c r i t i c a lv a l u e s t h e nt h ee x p l i c i ta l g o r i t h mf o r d e t e r m i n i n gt h ed i r e c t i o no ft h en e i m a r k s a c k e rb i f u r c a t i o na n dt h e s t a b i l i t yo ft h ec l o s e di n v a r i a n tc u r v eb i f u r c a t i n gf r o mt h ep o s i t i v e e q u i l i b r i u ma r ed e r i v e db yu s i n gt h ec e n t e rm a n i f o l dt h e o r e ma n dt h e n o r m a lf o r mm e t h o d f i n a l l y , c o m p u t e rs i m u l a t i o n sa r ep e r f o r m e dt o i l l u s t r a t et h ea n a l y t i c a lr e s u l t sf o u n d i nc h a p t e r3 ，t h el o c a ls t a b i l i t yo fp o s i t i v ee q u i l i b r i u mo fac l a s so f t w od i m e n s i o n a ld i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m si sc o n s i d e r e d t h ed i r e c t i o n a n ds t a b i l i t yo fn e i m a r k s a c k e rb i f u r c a t i o no ft h es y s t e m i sa l s o d i s c u s s e do fb y u s i n g t h en o r mf o r mt h e o r y f i n a l l y , c o m p u t e r s i m u l a t i o n sa r ep r o v i d e dt oi l l u s t r a t et ot h ea n a l y t i c a lr e s u l t sf o u n d e d k e yw o r d s ：d e l a ym a c k e y - g l a s ss y s t e m ；d i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m ； s t a b i l i t y ；n e i m a r k - s a c k e rb i f u r c a t i o n ；c e n t e rm a n i f o l d ；n o r mf o r m u 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说 明。 作者躲盟日期兰年月三日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论 文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：筐堕导师签名兰互j 塑鲐期：丝年月竺日 中南大学硕七学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 非线性动力学的发展综述 非线性动力学理论的研究和发展已经经历了一个多世纪，其中主要可以总结 为三个阶段：第一阶段是从1 8 8 1 年到1 9 2 0 年前后，主要是定性理论的发展，主 要的原动力来自于对天体动力学的研究，其主要的标志性成果为法国科学家 p o i n c a r 6 的系列论文【1 2 】，俄罗斯科学家l y a p u n o v 关于运动稳定性的论文【3 】以 及美国科学家b i r k h o f f 的著作【4 】其中，p o i n c a r d 所提出的用于研究太阳、地球 和行星之间相互关系的三体问题至今仍是一个待解决的世界性难题第二阶段 从2 0 世纪2 0 年代到7 0 年代，主要是研究非线性振动问题的定量方法的发展， 代表人物有俄罗斯科学家k r y l o v 和b o g o l i u b o v 5 、乌克兰科学家m i t r o p o l s k y 6 、 美国科学家n a y f e h 7 等在这个阶段，由于科学技术和工业发展的需要，k r y l o v 和b o g o l i u b o v 两人提出并系统地发展了平均法在平均法的基础上，k r y l o v 、 b o g o l i u b o v 和m i t r o p o l s k y 三人共同发展了三级数法，也简称为k b m 方法n a y f e h 系统地发展和总结了多尺度方法，并给出了在非线性振动中的系统应用许多科 学家利用这些方法解决了大量的非线性振动和工程科学中的问题在这个阶段 中，随着一些新兴工业的发展，抽象提炼出了著名非线性系统和动力学模型，如 d u f f i n g 方程、v a nd e rp o l 方程以及m a t h i e u 方程等，这些方程至今仍被人们用以 研究非线性系统动力学现象的一些本质特征 8 】从2 0 世纪六七十年代开始，原 来独立发展的分岔理论汇入非线性动力学研究的主流当中，混沌现象的发现更为 非线性动力学的研究注入了新的活力，分岔、混沌现象的研究成为非线性动力学 理论新的研究热点俄罗斯科学家k o l m o g o r o v 9 、a r n o l d 1 0 、m e l n i k o v 1l 】和 s i l n i k o v 1 2 ，美国科学家s m a l e 1 3 和m o r s e 1 4 等数学家和力学家相继对非线性 系统的分岔理论和混沌动力学进行了奠基性和开创性的研究第三阶段从2 0 世 纪7 0 年代至今，美国科学家l i 和y o r k e 1 5 提出了周期3 意味着混沌的判定准 则，美国应用科学家h o l m e s 、g u c k e n h e i m e r 、m a r s d e n 和w i g g i n s 等人则将分岔 和混沌理论与经典的非线性振动理论相结合 1 6 1 8 ，发展成为现代非线性动力学 理论他们的杰出贡献使非线性动力学从2 0 世纪7 0 年代起成为- i 7 重要的前沿 学科 中南大学硕十学位论文第一章绪论 1 2 分岔理论 从最著名的l o g i s t i c 模型开始，我们了解到即使是很简单的确定性的模型， 当参数在一定范围内变化时，它也会具有极其复杂的动力学行为，其中就包括分 岔和混沌 1 9 2 8 实际上，分岔现象出现在很多依赖参数的系统中当参数变化 的时候，对于一定的参数值，解的定性结构将发生变化而分岔理论则是研究非 线性方程解的定性行为的数学理论，见 2 9 3 9 近二十年来，国内外有很多数学 研究者运用各种差分方法，如e u l e r - 方法、t r a p e z o i d a - 方法、秒方法等对一些时 滞微分方程进行离散化，再利用离散动力系统的分俞理论得到了许多复杂的动力 学性质，见 4 0 5 0 1 2 1 最简单的分岔条件 考虑含有一个参数的离散时间动力系统 ， x t - - - ) f ( x ，口) ， z 口”，口口1 ， ( 1 1 ) 其中映射厂是关于x 和口光滑的有时候我们将系统( 1 1 ) 写成： 叠= f ( x ，口) ，x ，元口”，口口1 ，( 1 2 ) 其中叠表示x 在此映射下的象设x = x o 是系统( 1 1 ) 当口= 时的双曲不动点，当 参数口变化时我们考虑此不动点和它的特征值一般来讲只有三种情况下其双 曲性会被破坏当参数口取某些值时，一种是一个简单的正的特征值趋向于单位 圆且我们有1 1 = 1 ；一种是一个简单的负的特征值趋向于单位圆且我们有 h = 一1 ；一种是一对简单的复特征值趋向于单位圆且我们有“，：= p 撖，0 o o 万， 很明显我们还需要更多的参数来分配单位圆上其他的特征值 定义1 1 当鸬= 1 时，这种分岔我们称之为f o l d 分岔( 或切分岔) 定义1 2 当h = 一1 时，这种分岔我们称之为f l i p 分岔( 或倍周期分岔) 定义1 3 当h 2 = p 扣岛，0 o o o 胪一丽枷心) ，”n 茹( e o 毫s o - 烈s i n o ( x 1 刺删忙旷工 n 5 ， 埘均瞄等熊m h | 4 ) 一 一4 一 中南大学硕士学位论文第一章绪论 ( 1 5 ) 写成极坐标形式，则p 依赖于缈，该系统的极坐标表达式将与式( 1 4 ) 类似而 r 和q 必须是2 万一周期函数但是，系统( 1 5 ) 和系统( 1 3 ) 的相图还是有很多相同 的重要特征 引理1 1 p 0 1 o ( 1 l x l l 4 ) 不会影响系统( 1 5 ) 分岔中的不变闭曲线也就是 说，有唯一的一个不变闭曲线从原点开始分岔，并且具有与系统( 1 3 ) 相同的方向 和相同的稳定性 1 2 3n eim a r k s a c k e r 分岔的一般形式 我们现在来说明任意一个出现n e i m a r k s a c k e r 分岔的二维系统都可以转化 成式( 1 5 ) 的形式 考虑系统 x 卜f ( x ，口) ， x = ( 五，x 2 ) 7 口2 ，口口1 ， ( 1 6 ) 其中- 厂为光滑函数，在口= 0 时有不动点x = 0 且有简单的特征值 “2 = e i o o , o 0 ，口 0 ，f 0 ( 2 2 ) 本章，我们通过t r a p e z o i d a l 6 0 方法离散化系统( 2 2 ) ，不但分析离散化以后 的系统的平衡点的稳定性和n e i m a r k s a c k e r 分岔的存在性，而且利用中心流形 定理和规范形理论讨论n e i m a r k s a c k e r 分岔的方向和分岔的稳定性 2 2 稳定性分析 假设u ( t ) = x ( t r ) 则方程( 2 2 ) 可以改写为 纵沪删) + 等啬 ( 2 3 ) 中南大学硕士学位论文 第二章离散时滞m a c k e y - g l a s s 系统的稳定性与分岔 考虑步长j i 2 ：一1 ，其中聊口对方程( 2 3 ) 利用t r a p e z o i d a l 方法，得到以下时滞 差分方程 北慧 + ( - + - + 恕) ， 即 = 篇”南( 惫+ 悬) 亿4 ， 其中u n 为u ( n h ) 的近似值如果给出m + 1 个实数一。，g k o - m + l ， ，则方程( 2 4 ) 有唯一的解序列 二一。满足初始条件 = ，其中疗【一m ，】n 口 假设u 为方程( 2 4 ) 的一个正平衡点，则有 材= ( 争) - 设儿= “。一“，则有 = 丽2 - r y ht ”丽v f l h ( 嚣+ 插卜坪渤 引入一个新的变量k = ( 虬，只- l ，n 一册) t ，并将( 2 5 ) 写成以下形式 k + 。= f ( 艺，f ) ， ( 2 6 ) 其中 f = ( f o ，e ，c ) t ， e ： 百2 - 万r y h 以，十万r f l 磊h ( 【儿一“1 ， 虬一m + “毒 此- m + l + u 毒 1 + ( 儿一。+ “枣) 日1 + ( 虼一。+ l + 甜幸) f 显然，原点是( 2 6 ) 的不动点， r ( 2 6 ) 的线性部分为 + 。= 彳匕， 其中 ) 邓， 1 k m ( 2 7 ) 中南大学硕士学位论文第二章离散时滞m a c k e y - _ 1 3 1 a s s 系统的稳定性与分岔 a = a 10 哆吗 l0 0o ol o0 00 10 且 q = 丽2 - z t h ，呸= q = 赢- g - - 俨即帆 q2 万丽呸2q 2 丽o 一目( 一肌 矩阵4 的特征方程为 五”+ 1 一口1 名册- a 2 五一a 3 = 0 ( 2 8 ) 众所周知，方程( 2 6 ) 的零解的稳定性依赖于方程( 2 8 ) 的根的分布 引理2 1 4 5 1 假设b 口是一个有界的，连通的闭集，多项式 f ( 2 ，f ) = 旯”+ p 1 ( f ) 兄”- t - + p 。( f ) 关于( 五，f ) ( 口x b ) 连续，参数f b ，则当f 变化时，厂( 五，f ) 在单位圆外部 2 c o ：h 1 ) 的零点的阶数的和只有在有一个零点出现在单位圆或越过单位圆 时才发生变化 引理2 2 存在f 0 使得当0 f f 时，方程( 2 8 ) 所有根的模都小于1 证明当r = 0 时，方程( 2 8 ) 变成 名”+ 1 一兄”= 0 此方程在r = 0 处有一个m 重根名= 0 和一个单根兄= 1 考虑满足阻( o ) i = l 的根旯( f ) 此根连续依赖于f 且为r 的可微函数，由( 2 8 ) 有 盟l ：i 堕+ 万塑 ：一2 h y o ( f l - y ) o 有l 见( f ) i 1 所以对于足够小的正数f ，方程( 2 8 ) 的所有的根都位于i z l l 内，从而存在最大值f 当特征方程( 2 8 ) 有两个特征根穿过单位圆的时候，方程( 2 6 ) 出现 n e i m a r k s a c k e r 分岔因此，我们需要找出根在单位圆上所对应的r 此时，设 中南大学硕士学位论文 第二章离散时滞w a c k e y - 6 1 a s s 系统的稳定性与分岔 在单位圆上的根为兄= 扩，国( 一万，万】因为实系数多项式的复根成对出现，我们 只需考虑缈( o ，7 r 】扩( c oe ( 0 ，万】) 是( 2 8 ) 的根当且仅当p 蛔满足 由( 2 9 ) 可得 e 。( ”“- a t e 咖口一口2 e 切一口3 = 0 ( 2 9 ) f=：_：i歹-2石fi孓e：”：(_ey-：1i)砑，国(。，万】 17,lth(e e i - 1 1 1 。)f = f 可，国iu ，万i iu j ”+ 1 ) l ( 脚) + 口( 一y ) i 、。 因为1 不是方程( 2 8 ) 的根，且f 是实数，所以我们能够得到关于国( 0 ，万】和f 的 表达式 ：i 生_ ， (211)cosm(o 1 1 = 二_ 一， t 二 - o ( p y ) 、 一篆篇装茅 1 f = 一7 ：= ：t 一 i 二二， 7 办 一秒( 一y ) 】2 一2 若 罗( o - 2 ) ， f l ( o - 1 ) ， 00 弓i 理2 3 假设步长h 足够小若学 y 学，则对于所有f ：o ， 方程( 2 8 ) 没有模为1 的根 由引理2 3n - - i 矢n ：若7 p ( 丁o - 2 ) ，因为c 。s 朋国 。，r r 是正实数， 和( 2 1 2 ) 可得 2 t a l l 竺 f = ；= = = = = = = = = 三三= = = = = = = ： y 办【一秒( 一y ) 】2 一2 令 哆= 去 s ( 商岛卜万卜0 12 ” - m + l l j ， 。：嘉小叫1rh,g-o(g-r)f 名， 盟2 f i = = = = = = = = = 兰= = = = = = ，= u ，厶，i 1 。 一2 。 lj 、，、， m 柳 卸 q z q 眨 啦 q 亿 中南人学硕+ 学位论文第二章离散时滞m a c k e y - g l a s s 系统的稳定性与分岔 其中 】为取最大整数函数 设乃( f ) = ，：，( f ) p 唧u 是方程( 2 8 ) 在f = r j 附近满足0 ( 一) = 1 ，q ( 0 ) = q 的根 引理2 4 假设步长h 足够小且y p ( 丁o - 2 ) ，则 以：掣i 地 d f 其中乃和哆满足方程( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 证明由方程f 2 8 1 可得 d 2 2 五”( 五一1 ) 万一可焉两面而万；万耳i 且 吨龃 ：q 其中， = 五筹+ 万警 i ，：。，。：q r j ( 2 + 2 r j y h ) l 丽颤丽篙 i f = f 嘲 一 九面丽雨“而丽雨j | f = f 。 4 ( m + 1 + m a i a 2c o s m q ) ( 1 一c o s o j ) 一a 2s i n 聊缈，s i n 国， ：= 一一 r j ( 2 + r y h ) 孝2 + 刁2 孝= ( m + 1 ) c o s m c o j 一垅qc o s ( m 一1 ) 哆一a 2 ， r l = ( m + 1 ) s i n m 一m a ls i n ( m 一1 ) q 由( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) n 1 o 足够小) 因此，吨 0 由引理2 1 2 4 ，可得 引理2 5 ( 1 ) 若学哪丁, 8 ( 0 - 1 ) 则对于所有刚，方御8 ) n n n 根n n , j 、 中南大学硕士学位论文第二章离散时滞m a c k e y - - g l a s s 墨笙笪塑塞壁复坌坌 于1 ( 2 ) 若y 丁f l ( o - 2 ) 川当f = 。( 例，1 ，2 ， 字 卜方都8 ) 在单位圆 上有一对单彬慨( j = o 1 ，2 ， 字 ) 进咄当州) 时，方程( 2 8 ) 的 所有根的模小于1 ；当f = 时，方程( 2 8 ) 的根除了p “q 外，其它所有根的模小 孔当州坼+ 1 ) ( 刎凡2 ， 字肛方程( 2 固有2 ( k + 1 ) 个根晶模大于 1 证明 ( 1 ) 假设p ( o 日- 2 ) 0 方程( 2 8 ) 的所有根的 模小于1 因此，引理2 5 的结论( 1 ) 成立 ( 2 ) 若7 p ( 丁o - 2 ) ，由引理2 4 ，当r e ( o ，) 时，方程( 2 8 ) 的所有根的模小 于1 而当f = 时，方程( 2 8 ) 的根除了p “q 外，其它所有根的模小于1 ；进一步， 由r o u c h 6 郾1 】，当州+ 1 ) ( 刚，1 ，2 ， 孚肛方却8 ) 削k + 1 ) 个根的模大于1 因此，引理2 5 的结论( 2 ) 成立 由引理2 2 2 5 ，可得 定理2 1 ( 1 ) 若笪字 y o ，方程( 2 4 ) 的平 衡点u = ”渐近稳定 ( 2 ) 若厂 时，方程( 2 4 ) 的平衡点”= 甜+ 不稳定 当一旧墟， 等 ，方卸q 在处产生 m m a r k - s a c k e r 腧舯= 一m 墟， 字 扣2 朋i 中南大学硕士学位论文第二章离散时滞m a c k e y - g l a s s 系统的稳定性与分岔 2 3n eim a r k - s a c k e r 分岔的方向和稳定性 本节我仃 利用中心流形定理和规范形理论【3 6 】讨论n e i m a r k s a c k e r 分岔的 方向和分岔的稳定性 不失谁蚧耵为临界值。( 例，1 ，2 ， 字 卜在( 0 ，0 ，0 ) 处方程 ( 2 6 ) 出现n e i m a r k s a c k e r 分岔 对于映射( 2 6 ) ，我们有 匕+ 。= 彳匕+ j 1b ( k ，) + 丢c ( 匕，匕，匕) + d ( o 艺i | 4 ) 其中 b ( 匕，k ) = ( 玩( 匕，k ) ，0 ，0 ) r ， c ( 匕，匕，匕) = ( c o ( 艺，匕，匕) ，0 ，0 ) 7 ， 且 聪州= 焉2 ( 争卜( 即矿m 舶慨， 一，= 羔乒2 一t 小h 叫纠 一竽卜h 州，肛一概， 假设q c 肼1 是对应于e 删。的一个复的特征向量 a q = e ”q ，彳虿= e 1 。虿。 我们还引进一个伴随特征向量q c 肿1 使得 a r q 。= p 一砌一q ，a r q = p 砌一q ， 且满足正规化条件 _ 1 qq 1 ， 。 ， 其中 = z q j q j q qq = 引理2 6 假设q = ( q o ，g l ，q m ) 7 为a 对应于g 甜的特征向量，且 q = ( q o ，g ? ，以) 7 1 为a r 对应于特征值p 一珊的特征向量，则 q j = e ”q + l = 0 ，1 ，2 ，m 一1 ， 且q o = 1 ， 中南人学硕士学位论文 第二章离散时滞m a c k e y - g l a s s 系统的稳定性与分岔 其中 p i ( m 1 ) 矿 e 一。- a i e j ( m - i ) a , g 。斗_ _ k = ， 一l + e 口+ a 3 e 一”4 。 e ”一q 证明假设q = ( q o ，q l q 历) 1 为a 对应于e 聊的一个特征向量，则有 l q 吼+ 口2 q m l + a 3 q 胛= p “q o ， i q ，- e 埘q ，+ l ，j = o ，1 ，2 ，m 1 令q o = 1 由上式可知 q = ( 1 ，p 一，p - 2 i m ，e 一”) r 为矩阵a 对应于e 的特征向量类似的可得 其中 p ( m - d 矿 e 一”一a l ip f ( 埘一1 ) 珊 i i 一( m 一2 ) q = k l 1 ： k = ，玎一1 +e 聊上0 3 e 一”脚 e ”一a l 假设r 表示对应于e 的一个实的特征空间，它是由 r e ( q ) ，i m ( q ) ) 张成 的一个二维空间，而r 表示对应于彳丁除e 矿之外所有特征值的( m 1 ) 维实的特 征空间 二1 ， 矿 鬈咖 一p 口 一 吖 二1 口，一 矿 等严 一p 中南大学硕士学位论文 第二章离散时滞m a c k e y - g l a s s 系统的稳定性与分岔 对于任意x r 肼+ 1 有分解 x = z q + z q + y 其中z c ，z q + 鬲丁。，少丁5 复变量z 可以被认为是丁。上的一个新的坐标且 z = ， y = x 一 g + q 在此坐标上，映射在r = f 处有以下形式 z h z + ，一一 一( 2 1 6 ) y 卜a y + f ( z q + z g + 少) 一 q 一 q 对( 2 1 6 ) 进行泰勒展开，则有 z f ) e i o 。z + 丢9 2 0 2 2 + g u 厉+ 互19 0 2 - 2 z + 寻郇2 - + z + 6 0 l 护瓦 yh 4 y + 丢马。z 2 + h i 。z 2 + 去风2 手2 + d ( i z l 3 ) 其中岛，c ，g l o ，g o l c ”1 ，且 9 2 0 = ， g i l = ， 9 0 2 = ， g 2 l = ， = ， = ， h 2 0 = b ( q ，q ) - g 一 虿， q l = b ( q ，虿) 一 q 一 万， h 0 2 = b ( 虿，虿) 一 g 一 虿 计算具有如下表达式的中心流形 y ：y ( z ，i ) ：w 2 0 2 2 + 1 4 i i z 2 + 三w o ：三2 + o ( i z l 3 ) 其中 - 0 将( 2 1 8 ) 4 l z , ( 2 1 7 ) 中，则有 隹 = ( p 2 j 。，一彳) 一 = ( 1 - a ) h i l = ( e 2 ，一4 ) 马o ， ( 2 1 7 ) 中的泰勒系数可以用下列一组公式表示 9 2 0 = ， g l l = ， 9 0 2 = ， 且 一1 6 一 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 中南大学硕士学位论文第二章离散时滞m a c k e y - g l a s s 系统的稳定性与分岔 9 2 l = - 2 + + e - ( 1 - _ = 2 _ e 2 一 ) ， 1 一e 。 。 一专l 1 2 一瓦e i g o | 1 2 令 他，_ 锩饕署+ 咎+ 搞+ 譬 亿柳 将z = p 一砌代入式( 2 1 9 ) ，我们可以得出q ( r ) 由以上分析和讨论，有以下结果： 定理2 2 方程( 2 4 ) 的n e i m a r k s a c k e r 分岔的方向和稳定性由r e e 砌q ( r ) 】 的符号所决定：若i 沁【p 一q ( r ) 】 o ) ，则n e i m a r k - s a c k e r 分岔是超临界的( 次 临界的1 ，且分岔的不变的闭曲线为轨道稳定( 不稳定) 2 4 数值模拟 为了说明分析结果，我们考虑方程( 2 4 ) 在以下的特殊情况 假设m = 2 0 ，= o 6 ，0 = 4 ，厂= 0 2 则= 8 3 1 2 1 为n e i m a r k - s a c k e r 分岔值 在图2 1 中，我们取初始值为u n = 3 ，( n = 1 ，2 ，2 1 ) 当f = 7 5 r o = 8 3 1 2 1 时，平衡点失去稳定性出现唯一的稳定的不 变的闭曲线方程( 2 4 ) 的波形图和在( x ( n ) ，x ( n 2 0 ) ) 平面上的相图 中南大学硕士学位论文第二章离散时滞m a c k e y - g l a s s 系统的稳定性与分岔 c o n e - n 图( a ) 图( b ) 图2 1 ( a ) 当f = 7 5 r o = 8 3 1 2 1 时在平面 ( x ( 刀) ，x ( n 一2 0 ) ) 上出现稳定的不变的闭曲线 一1 9 一 中南大学硕士学位论文 第二章离散时滞m a c k e y - g l a s s 系统的稳定性与分岔 1 4 1 3 5 1 3 1 2 5 1 2 量1 1 5 1 1 1 0 5 1 0 9 5 0 9 o q 、e ，- 0 1 0 0 0 2 0 0 03 0 0 04 0 0 05 0 0 06 0 0 07 0 0 08 0 0 0 n 图( a ) 图( b ) 图2 3 ( a ) 当f = 9 = 8 3 1 2 1 时的波形图( b ) 当f = 9 = 8 3 1 2 1 时在平面 ( ，2 ) ，x ( n 一2 0 ) ) 上出现稳定的不变的闭曲线 一2 0 中南大学硕士学位论文第三章一类二维离散动力系统的稳定性与分岔 第三章一类二维离散动力系统的稳定性与分岔 3 1 引言 分岔现象出现在很多带有参数的系统中当参数变化的时候，对于一定的参 数值，解的定性结构将发生变化对于离散动力系统的分岔的讨论，见 6 6 6 9 1 本 章考虑一类二维离散动力系统 6 2 】 f a r x p 2 万葳 ( 3 1 ) 【+ l = 7 ( 毛+ 1 ) ， 其中，口( 1 ，佃) ，( 0 ，佃) ，7 ( 0 ，1 ) 我们将利用y u r i 3 6 1 的正规型理论讨论( 3 1 ) 的n e i m a r k - s a c k e r 分岔稳定性与方向，并通过数值模拟验证了所得结果的正确性 3 2 稳定性分析 考虑到模型的生物意义，我们只讨论离散系统在( x ，y ) 平面上第一象限上的 情况我们首先讨论平衡点的存在性，然后通过平衡点的特征根来研究它的稳定 性通过简单的计算，我们很容易得到以下结论 引理3 1 方程( 3 1 ) 有平衡点o ( o ，o ) ，a i a - - i ，0l ，和正平衡点b ( x 木，y ) ， p 其中( 砖州= 忙_ 1 l n f 口+ 一旦1 1 且口+ 胁盟 系统( 3 1 ) 在正平衡点bo ，y 木) 的j a c o b i a n 矩阵为 彳= 暖黔 其中 口l ：1 一生x 卑，口2 ：一x * e y * ，q = 7 y ，口4 ：1 因此，( 3 2 ) 的特征方程为 五2 一( 1 + q ) 旯+ 口l a 2 a 3 = 0 由s c h u r - c o h n j u r y 判别法，有 引理3 2 6 3 】假设丑，五为 尸( 旯) = 旯2 + a 2 + b = 0 的两个根，则i l 0 ， b i 1 由于方程( 3 1 ) 的正平衡点b 车，y 宰) 渐近稳定的充要条件是其特征方程的根五 和五满足l i 1 ，i 五i o ，i i n 砌，宰) 二掣 o ， a r 9 2 ( a 。* ) 0 三，等，万) 由引理3 2 - 3 5n - j 得 定理3 2 设b ( x 宰，y 木) 为( 1 ) 的正平衡点，则有 ( 1 ) 若a 1 一a 2 a 3 1 ，b 木，y 木) 不稳定， ( 3 ) 若a i 一0 2 a 3 = 1 ，( 3 1 ) 在b 毒，y 木) 处产生n e i m a r k - s a c k e r 分岔，即( 3 1 ) 在b 似气y 木) 附近分岔出不变的闭曲线 3 3n eim a r k s a c k e r 分岔的稳定性与方向 令6：芝坐，c：一4fix*ey-e如*-,b2x*2，d：_2ey-fix*， 口口 口 p 钒q ，k = 聊圳坤码l - 2 一q + 些学， 中南大学硕士学位论文第三章一类二维离散动力系统的稳定性与分岔 m = 一a , f l ( 3 + 口1 ) ( 口l + 1 ) 一a 2 b a 3 2 一a l b a 3 ( a l 一1 ) + 2 e ， n - - 2 a i 一_ a 2 b a 3 z + a l b a 3 + 导 我们知道，系统( 3 1 ) 能表示为 ( ： = ( 三：) ( ) + ( 乏譬三j ) ， c 3 4 ， 其中x = ( 矗，以) r ，e o = l ，2 ) 能被展开为 f i ( x , a 1 ) _ _ 2 口f lc h x f - 2 地毛以- b a 2 咖等3口口 吗3 + 6 f l a t d x 2 y 。- 3 c a i x , , y 2 + o 4 最( x ，a i ) = 2 y x y q ( a t ) c 2 是矩阵a 对应于名( q 。) 的特征向量，p ( q + ) c 2 是矩阵么r 对应 于名( q ) 的特征向量，即 a q = 幻，a 7 p = 卸 通过计算，可得 小刍) r ，小备) r ， 其中 。1 + 口l + i x 4 一( 1 + 口1 ) 2 = 一 因为 ( p ，g ) = p l q l + p 2 q 2 = 1 ， 可得 g = ( ，刍) ，p 确( ，击) ， 其中 纠：三塑型型 “ 2 ( 3 + 口1 ) 对于任意x r 2 ，有 x = 刃( q ) + z q ( c h ) ， 其中 z = ( p ( 口1 ) ，x ) ， 所以当a 。在口l 宰附近时，( 3 4 ) 可以变换为 z i - - ) 五( q ) z + g ( z ，z ，a 1 ) ， 其中五( q ) = ( 1 + 矽( q ) ) p 旧q ( 缈( q ) 是一个光滑函数，且伊( q 木) = 0 ) ， 中南大学硕士学位论文 第三章一类二维离散动力系统的稳定性与分岔 由公式 可得 由公式 可得 因此， g ( z ，；巾= k 知( 7 + l ：2几：二 2 e ( x ，y ) = _ 儿，c c 马少， ，= 妻号篓筹f 儿嘶 f 鼍o 。 。f | o ，2 l _ 2 a l f l _ a ba 3 2 万乞q 6 等，掣竽 ， 啪= l _ 2 a l f l _ a 2 b a 一3 q 2 + a l b a 3 , - y a 3 ) r ， 嘶q , 一q ，= - 2 a l f l - a 2 b 筹翻6 掣，掣半卜 嘶办扣( 等一2 器嘞奶( _ 1 + 葛卜2 ，。r 9 2 0 ( a 。) = ( p ，b ( q ，g ) ) ， 岛：( q ) = p ，b ( q ，孙 g l l ( a l ! = p ，b ( q ，孙 9 2 l ( q ) = ( p ，c ( g ，q ，g ) ) ， 踟( 栌石卜帆6 筹砌1 6 等+ 2 7 a 2 a 3 ( 2 + 1 ) 1 a l ， i“一l 一 酬= 百卜哪高a2 - a l b a 3 一警 ， 9 0 2 ( 班石卜即z 6 鲁也t 地i 2 - 1 + 2 7 i a 2 a 3 a l 1 1 ，l l 一 一q一口lj 黝1 - v 丁6 a , f 1 2 2 品删他( - 1 + 等卜2 一 地垆k 华h 错斗扣卜扣1 2 一了6 f 1 2 一丽a 2 c a 3 2 枷蜘叫击+ 夏a 扣i + 1 + 竿 等脚+ 鲁 _ 赤l m n 了1 龇删 一2 4 中南大学硕士学位论文 第三章一类二维离散动力系统的稳定性与分岔 + 丢洲( 卅) ( q 2 _ a 1 - 1 ) 俐( 州) ( a 1 2 - c 6 - 1 ) h 1 2 - 篱 + 粹+ 絮竽1 时丁2 e1 2 一丽a i + 3 h 球m 咽n 由以上分析和讨论，有以下结果： 定理3 3若定理2 中条件( 3 ) 成立，则系统( 3 1 ) 在a l = a l 处发生 n e i m a r k s a c k e r 分岔，分岔的稳定性和方向由口( q ) 的符号决定，若口( q 木) 0 ) ， 系统( 3 1 ) 在q = a 1 宰处的n e i m a r k s a c k e r 分岔是超临界的( 次临界的) ，并且在平衡 点b ( x 宰，j ，掌) 分岔出唯一的渐近稳定( 不稳定) 的不变的闭曲线 3 4 数值模拟 为了说明分析结果，我们考虑方程( 3 1 ) 在以下的特殊情形 假设口= 2 ，= 0 1 ，则y = 0 1 6 6 ，a l = a l 宰为( 3 1 ) 的n e i m a r k - s a c k e r 分岔值 在图3 1 中，当y = o 1 6 口l ，系统( 3 1 ) 在平衡点 ( x 气y 幸) = ( 5 2 5 ，0 3 8 8 7 ) 附近出现稳定的不变的闭曲线 中南大学硕士学位论文第三章一类二维离散动力系统的稳定性与分岔 o 6 5 0 6 0 5 5 0 5 ) 、0 4 5 o 4 0 3 5 0 3 0 2 5 35 44 555 566 5 x 图3 2 x 图3 3 2 6 中南大学硕士学位论文 参考文献 参考文献 1 】p o i n c 盯6 h ，s u rl ep r o b l 6 m ed e st r o i sc o r p s e se tl e s6 q u a t i o n sd el a d y n a m i q u e ，a c t am a t h ，18 9 0 ，13 ：1 - 2 7 0 2 】p o i n c a r 6 h ，l e sm 6 t h o d e sn o u v e l l e sd e l am & a n i q u ec d e s t e ，3 ，g a u t h i e r - v i l l a r s ( 18 9 9 ) ，2 6 3 】l i a p u n o v a m ，p r o b l e m eg e n e r a ld el as t a b i l i t ed um o v e m e n t ，p r i n c e t o np r e s s ： p r i n c e t o n ,