（基础数学专业论文）有限域上三类不可约有限反射群的不变式.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 实数域与复数域上的有限反射群的分类工作已经完成，对特证数2 的有限域上的 有限反射群的分类也已经完成而利用不变式对群进行分类刻画是很有效的途径，因此 许多数学家致力于不变式理论的研究实数域与复数域上不可约有限反射群的不变式都 已经求了出来，本文所关注的是有限域上三类不可约有限反射群的不变式 本文包括以下的内容： 引言中，回顾了有限反射群的发展历史和现状，介绍了不变式理论的研究情况 第一章相关知识简介：主要介绍了本文将要用到的基本概念和定理，给出了和本 文相关的实数域与有限域上不可约有限反射群的分类结果 第二章实数域上有限反射群的不变式：主要介绍了实数域上不可约有限反射群的 不变式 第三章群( p f ( n + 1 ) ) ，职( 佗2 ) ，d 嚣( 几4 ) 的不变式：本文的主体部分，通过计 算给出了织( pf ( n + 1 ) ) ，砩2 ) ，d 嚣( n 4 ) 的本原不变式，从而也就给出了它们的 全部不变式 关键词；有限域；有限反射群；多项式函数；不变式 a b s t r a c t t h e c l a s s i & a t ? n s o f 岛i t ei r r e d u c i b l er e a la n dc 。m p l e xr e 丑e c t i 。n g r 。u p 8h a v eb e e n 媳c o m ，p l e t e d ，a n d 二胡e c 惦o ng r o u p s 。v e r 丘n i t e i e l d s ( c h a r 2 ) h a v ea l s 。ob = c l a s s 三： 慧n 。：s 翼舶毗溉t o c l a s s i f yg r o u p sb ym e a n s o f i n v a r i a n t s ，m a n ym a t h 锄：茹 粤诧t h 哪s 紫t o ，i n v a r i a n tt h e o r y w ek n o wt h a tt h ei n v a r i a n t so f n i t ei r i i ：竺竺d ? m ? kj e 丑e c 戗o n g r o u p sh a eb e e nw o r k e d 。u t i nt h i s p 印e r ，w em ： c o 瑚：d e r t h e 蛔v a r i a n t so ft h r e ek i n d so f 缸i t ei r r e d u c i b l e r e 丑e c t i 。ng r o u p ：。v e rf init：fie l d s 。”“1 e 。d 竺1 n ：r o d l ：? 1 7 ，w e r e v i e wt h eh i s t o r ya n dd e v e l 。p m e n to f 矗n i t e r e 丑e c t i 。ng r 。u p 8 ， a n d ? r o d u c e t h e1 a t e s tr e s u l t 8 。fi n v a r i a n t t h 。e r yr e l a t e dt 。五n i t er e 丑e c t i 。ng r 。孟_ q 血c ：a p ：1 ，玳i n t r o d u c e s o m ee s s e n t i a ld 龌n i t i 。n sa n d prelimina可the。remsla t e dt 。m s h e s i s ，a n dq u 。t et h e r e s u l t so fc 1 淞s i i 。n s 。忘n i t e i r r e d u c i b l er “e f l “e “c 。t i i o n - l 。 g r o u p so v e rr e a ln u m b e rf i e l da n d o v e rf i n i t ef i e l d 8 一 i nc h a p t e r 2 ，w ei n t r o d u c et h ei n 、饿r i a n t s 。fa l lk i n d s 。f f i n i t ei r r e d u c i b l er e a lr e 丑e c t j 。n g r o u p s k e yw o r d s ：f i n i t ef i e l d ，f i n i t er e f l e c t i 。ng r 。u p ，p 。驷。m i a l f u n c t i o n ，i n v a r j a n t 1 l 叩 慧h 溅 n 吖 研 强 耐嘣晒胍 跳 m 蚵 星& k c n 小 呛 班 出嘶 抡 e h 吐 咖 硼也 r n f 证 m 谨 e 文 s 钯 b 1 l n k 围鼬砌斌 “ 潍疵 斫 鸲 吼 矾粤一 | j 赋 炝 妇地 m 枷蚵抛 ； a n 竺一麓一 由磁吼 咖铣耋； 大连理工大学硕士研究生学位论文 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文申特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名： 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 名：霹! 垒至 导师签名! 蠡兰遮 竺丑年月堕日 大连理工大学硕士学位论文 引言 有限反射群是群论研究的重要对象，人们对它的研究已有一百多年的历史早在1 9 世纪末、2 0 世纪初，一些数学家就在他们的研究工作中涉及到了有限反射群第个让 有限反射群的研究充满活力的数学家是h s m c o x e t e r 1 9 3 4 年，在论文【1 】中，c o x e t e r 利用几何的方法对有限反射群进行了完全的分类，并且还推导出了一些其他的性质后 来，在他的著作 1 2 1 中又包含了关于有限反射群方面的一些研究成果 1 9 4 1 年，e w i t t 在文章【3 】中用更加代数化的方法讨论了有限反射群c o x e t e r 主要 是对实数域上有限反射群进行了分类，但人们对有限反射群的研究并不限于实数域的情 况1 9 5 4 年，g c s h e p h a r d 和j a t o d d 完成了复数域上有限反射群的分类工作 在他们的论文f 4 1 中，分别研究了本原反射群与非本原反射群在他们的工作中，群的不 变式理论起到了特别重要的作用2 0 0 4 年，b m o m o n 和e s c h u t e 在【5 】中对有限域 ( 特征数2 ) 上的有限反射群进行了分类 至此，有限反射群的分类工作已经取得了重要的进展虽然如此，有限反射群的研 究工作还远远没有结束随着人们对有限反射群研究的深入，以及其他数学学科发展的 需要，人们越来越认识到有限反射群的重要性现在。有限反射群在代数学的其他分支 中，在几何学中，在组合学中，以及很多其他的数学学科的研究中都起到了很重要的作 用人们对有限反射群的研究兴趣也越来越浓厚而有限反射群本身也自成个研究体 系，它涉及到生成元与关系。表现，根系，根图，不变式，自同构等众多的内容本文关 心的正是有限反射群研究的一个重要内容一有限反射群的不变式 不变式理论本身也自成个体系，而且，近年来越来越多的数学家在关注这方面的研 究成果和进展同时，新的成果不断涌现出来目前这方面的论著也相继得到出版有限反 射群的不变式研究已经取得了很多成果，实数域和复数域上的不可约有限反射群的不变式 都已经被彻底地计算出来了特别是复数域上的不可约反射群，它们在群的分类工作中起 到了很重要的作用因此，研究有限域上有限反射群的不变式也是件很有意义的工作 本文主要研究了三类有限域上不可约有限反射群麟印十m + 1 ) ) ，职2 ) ，d 24 ) 的不变式，试图给出它们的本原不变式，从而便可以求出它们全部的不变式 大连理工大学硬士学位论文 1 相关的基础知识 1 1 约定 1 ) 如不特别声明本文总假设基域k 是特征数p 2 的有限域或者无限域，关于向量空间 或域的其他假设在需要时再明确给出 2 ) 本文中用，或者f ( w l ，z 2 ，) 表示托维向量空间上的多项式函数，而用f ( h ，t 2 ，k ) 或者，( 蜀，托，k ) 表示关于n 个未定元t l ，t 2 ，“或未定元x 1 ，局，的多 项式 1 2 向量空间上的多项式函数 设k 是域，n 是正整数，而y 是k 上n 维向量空间设，是定义在y 上而在k 上取值的函数，即 f ：v _ k a ，( a ) 所有这种函数的全体记作k ”设，g k y ，而a k ，定义 ( ，+ g ) ( a ) = ，( a ) + 夕( a ) ， ( f g ) ( a ) = ，( a ) 9 ( a ) ， 和 ( n ，) ( a ) = o ，( a ) 则k y 对于上面规定的加法、乘法和纯量乘法来说组成个k 一代数 定义1 2 1k 一代数k 7 叫做y 上的函数代数 3 有限域上三类不可约有限反射群的的不变式 定义1 2 2 设，k v ，如果对va ，p kv a ，b k ，都有 ，( n a + b p ) = a f ( a ) + b f ( p ) ， ，就叫做定义在y 上的线性函数y 上全体线性函数对于加法和纯量乘法组成k 上的 一个向量空间。叫做y 的对偶空间，记作p 命题1 2 3设9 1 ，e 2 ，矗是y 的一组基，按以下方式定义矿上的线性函数 z 1 ，勋，： x i ( $ j ) = 奶( 1 l ，j 扎) ， 那么z l 劫，是矿的一组基因此，矿也是k 上的n 维向量空间 证明设a l x l + a 2 x 2 + + a n x n = 0 ，啦珏【，则 0 = ( d 1 z l + a 2 x 2 + + 口 z 。) ( 句) = 6 1 x 1 白) + a 2 x 2 ( e j ) + ，+ n i ( 勺) = ，1sjs ，l ， 这说明z l ，如，是线性无关的如果f p ，并有 ，( 勺) = 码，1 s 歹竹， 那么 扩一( b l x l + b 2 x 2 + + k 赫。) 1 ( 勺) = ，( 勺) 一( b l x l + b 2 = 2 + + k z 。) ( 勺) = b j 一 = 0 ，1 曼js n 这说明，一( b l x l + 6 2 观+ + 厶n ) = 0 ，即，= b l x l + 6 2 2 2 + + k 从而 $ l ，z 2 ，是y 的个基 定义1 2 4v 的基o l ，勋，z 。称为y 的基1 ，5 2 ，如在矿中的对偶基 定义1 2 5k v 中形如 啦l 训。x “1x ”2 话，n i l 钒矗k i l t 2 的有限和式叫做定义在y 上而在k 上取值的多项式函数直接验证可知它们的全体组成 的集合是k y 的个k 一子代数，叫做v 上的多项式函数代数，记作k x l ，匏，】 4 大连理工大学硬士学位论文 命题1 2 6v 上的多项式函数代数与基的选取无关 证明设s l ，是y 的另一组基，那么 弓= e t o e i ，j = 1 ，2 ，礼，t o k = l 根据线性代数的知识可知 t = ( t , 3 ) 1 蚶s 。g l ( k ) 这里g l ( k ) 是k 上的n 级一般线性群，它是由k 上的所有礼，l 非奇异矩阵之集对 矩阵乘法组成的群设z i ，。；，是s i ，吃，在v 。中的对偶基，那么，同样 根据线性代数的知识可知 n 戤= 哆，i = 1 ，2 ， i = 1 显然，有k p l ，如，jck v 由上式可知 k x l ，x 2 ，$ 。】c k 陋l ，呓，】 对称的，也有 k 旧，g ，lc k x l ，勋，】 则 k x l ，勋，】= k x l ，如，】 这说明y 上的多项式函数代数与y 的基的选取无关因此，也把它记作k v 】 命题1 2 7设k 是域，墨，恐，是k 上的佗个未定元，k 阢，恐，1 是 k 上的n 元多项式代数，那么映射 k 阢，恐，矧一k z l ，钇，】， 嬲1 砑砖一0 4 。饥舻i 1 x 。i a 话 i l 2 k i l 赴“ 是代数同态如果k 是无限域，那么上面这个映射是同构 证明利用代数同态的定义直接验证可知第一个断言是正确的只需证明第二个断言 显然，这个同态是满的，从而只需要证瞻这个同态是单的，也就是验证z l ，勉，在 5 有限域上三类不可约有限反射群的的不变式 k 上代数无关就行了为此，我们对礼做归纳证明 当n = 1 时，因为个未定元x z 的m 次多项式至多有m 个根，而k 是无限域，所 以z 1 在k 上代数无关设n 1 ，并且第二个断言对n 一1 成立假定z i ，勋，z 。在k 上代数相关，即它们适合一个非零多项式，( 局，恐，j 0 ) 可以把，( 噩，尼，) 写成 ，( x l ，x 2 ，) = f o ，墨一1 ) + ( x 1 ，x 2 ，一1 ) + + ，m ( x 1 ，x 2 ，矗一1 ) x n m ， 其中，工( x z ，x 2 ，一1 ) “= 0 ，1 ，m ) 都是礼一1 个未定元x l ，恐，一1 的多 项式，而，仇( 置，一1 ) 0 ，于是 而( z 1 ，z 2 ，。一1 ) + ( z 1 ，勘，。一1 ) 为。 + 十，m ( z l ，x 2 ，一1 ) 瑶= 0 根据归纳假设，m ( z l ，勋，靠一1 ) 0 ，总能在y 中选个向量a = a l e l - b + 一1 一1 ， 使，m ( z z ( a ) ，一- ( a ) ) = ，m ( a l ，a n 1 ) 0 那么对va n k ，总有 即 f o ( x l ，x 2 ，一1 ) + ，1 ( 。1 ，x 2 ，一1 ) + + ，m ( x l ，2 ：2 ，x n 1 ) z 列d + a n e 。) = 0 ，0 ( 口l ，n 2 ，一1 ) + ( a l ，啦，a n 一1 ) 0 t l + + ，仇l ，n 2 ，一1 ) a m m = 0 但是，这与k 是无限域的假设矛盾 1 3 有限群的不变式 定义1 3 1设y 是k 上的n 维向量空间y 上所有可逆线性变换之集对映射的合成 组成个群，叫做y 上的一般线性群，记作e l ( v ) 命题1 3 2设g 是g l ( v ) 的有限子群，对v 盯g ，v ，k v + 】，定义 盯，( a ) = ，( 口一1 a ) ，va k 则盯f k 【p 】 6 大连理工大学硕士学位论文 证明 取矿的基5 l ，龟，有a = 6 1 i + b 2 e 2 + + k 如= ( l ，5 2 ，) 屈其中， 卢= ( b l ，6 2 ，k ) r 设仃一1 ( l ，e 2 ，g 。) = ( e 1 ，如，弘，这里，a - 1 = ( a , j ) l i j 。 则 ( r - 1 ( a ) = 盯。1 f ( 1 ，2 ，) 用 = p _ 。( e l ，e 2 ，s 。) 妒 = ( 5 1 ，2 ，e 。) 一1 口 = ( 1 ，8 2 ，) ，y ， 其中， ，y = ( c l ，c 2 ，c 。) t ，c i = 知，1 i n 取k v + 】中多项式函数雄z 挚堙，则有 ，( 砰z 挚螺) ( a ) = z 毋毋( 仃- 1 a ) = x t l 。i 孝话( c 1 1 + c 2 2 + + 岛) = z l ( c l e l + c 2 e 2 + + ) 乱x 2 ( c 1 e 1 + c 2 2 + + n ) 缸 x , , ( c l e l + q 勖+ + “) 妇 = 碍货索 = ( a l ，巧) 1 ( a ) ( 巧) 如( a ) ( a 啊x j ) h ( a ) = 【( n d 巧) 1 ( a 2 j x j ) 虹( 巧) k ， 这说明 矿( z 毋堙) = ( n u q ) n ( a 2 1 x j ) 缸( 叼) k k v + 】 对 ，= a 4 饥舻 z 挚话k v 1 ， l b “ 有 ，m ) = ( 啦。饥，l 砰磅2 鲁) ( 一。( a ) ) 1 如k = a l l 机k 防露话( 一4 ( a ) ) 1 1 1 i 2 “ 一啦，饥k ( a 砰磅诒( a ) ) l l 2 k = 【啦池矗( a 绪孝话) 】( a ) ， 7 有限域上三类不可约有限反射群的的不变式 那么 一，= 啦m h ( a 。 砖话) k i v 1 l 屯“ 根据上面的命题，我们就定义了一个映射 g x v 。】- - - - , n q v + 】， 0 ，n o f 。 并且。直接验证可得如下两条性质： ( i ) ( 仃盯，) f = 仃( 仃，) ，v 盯，盯g ，f k 【y 1 ( i i ) 1 f = f ，对于g 的单位元1 和任意f k v 1 定义1 3 3设f k v + 1 ，如果对任意矿g 都有口f = f ，f 就叫做g 的一个不变 式，简称g 一不变式 把k v + 】中g 一不变式的全体记作k y 1 g ，即k 【y 】g = ，k 矿】i 盯，= ，对所 有的盯g 都成立 设五，2 n q v 1 ，那么对任意a y ，都有 p ( 厶) ) ( a ) = ( ，l ，2 ) p _ 1 a ) = ( 仃- 1 a ) ，2 ( 一- 1 a ) = ( 一 ) ( a ) ( 口f 2 ) ( a ) - - i ( ， ) p ，2 ) l ( a ) ， 因此， p ( ，2 ) ) = p ，1 ) p 五) 由此可以推出k v + 】g 是k 【p 】的子代数显然，kck 【y 1 g 定义1 3 4设r 是有单位元的交换环如果冗的每个理想都是有限生成的，r 就叫 做n o e t h e r 环 定义1 3 5 设r 是有单位元的交换环，而m 是r 一模总假定，对任意m 舰l m = m 如果仇1 ，m 。是m 中有限个元素，使得m 中任一元素m 都是它们的r 一线性组 合，即m = 7 1 m l + + 他。，其中，n ，r 竹r ，那么就说m 由这有限个元素 m “， k 生成，也说m 是有限生成的r 一模 定义1 3 6 如果r 一模m 的每个子r 一模都是有限生成的r 一模，m 就叫做n o e t h e r - 模 8 大连理工大学硕士学位论文 引理1 3 7 设兄是n o e t h e r 环，而m 是有限生成的r 一模，那么m 是n o e t h e rr 一 模 证明假设m 是由m l f 在r 上生成设m o 是m 的任意子r 一模对任一 i ( 1 i n ) ，用厶表示m o 中可以表成帆，他+ l ，m 。的r - 线性组合的那些元素的 碱的系数组成的r 中的理想因为足是n o e t h e r 环，l 是由有限个元素生成，设这有限个 元素是o t l ，a “。选m o 中元素册1 ，。，它们表成m i ，7 l l + l ，的r 一线性组 合时，m i 的系数分别是a 1 1 ，钒，那么，r o l l ，r o l l l ，忱l ，m ，”，”嘛 这些元素就生成m o 定义1 3 8设r 是有单位元的交换环，s 是它的子环，并假定s 含r 的单位元如 果r 中有有限个元素8 l ，使得r 中每个元素都可以表成形如 靠口主i o 鲁，8 礼 s 1 1 _ i ，i 的有限和，即表成口i ，的多项式，而系数属于只那么就说r 在s 上有限生成， 并记r = s a l ，d f i 】如果r 中有有限个元素a l ，使得r 中每个元素都可以表 成a 1 ，的s 一线性组合，就说r 在s 上有限，并记r = s a l + + s 定义1 3 9 设r 是有单位元的交换环，s 是月的子环，s 含r 的单位元再设x 是 s 上的未定元，n r 如果n 适合s f x 】中个首相系数等于1 的多项式，就说a 在s 上整如果r 的每个元素都在s 上整，就说r 在s 上整。 引理1 3 1 0 设r 在s 上有限，那么r 在s 上整设r = s i r l ，】在s 上有限生 成，而r l ，都在上整，那么r 在s 上有限 证明先设r 在s 上有限。那么有n ，r ，使得r = s r i + + s 可设 n ，h 全不为0 因为r 是环，r ，因此 佻= 8 1 7 i + + s i ，s n ，s 将上面的式子看作7 l ，h 的齐次线性方程组，它有非零解，因此 d e t ( r l a ) = 0 ， 其中，是n n 单位矩阵。而 a = ( 8 t j ) l i d 2 ，n 1 ) 上的向量空间，并假定g 保持某 非零对称双线性型不变那么，在g l ( v l ) ( l 是k 的代数闭域) 的共轭条件下，有 ( a ) c = o ( n ，口，) 或q ( n ，q ，e ) ，其中，= - 4 - 1 ，0 ，但g d 1 ( 3 ，3 ，o ) ，0 2 ( 3 ，5 ，o ) ，0 2 ( 5 ，3 ，o ) ( 假 设这三种情况下， 矿的判别式d l s c ( v ) = d e t ( a i a j ) 一1 ， 啦 是y 的某个基) ，以及 g o j ( 4 ，3 ，一1 ) ；或者 ( b ) g = 职白t + 1 ) ) ，b p m 3 ) ，d ：4 ) ，瑶p 3 ) ，霹，霹，曰，霹或明 大连理工大学硕士学位论文 2 实数域上有限反射群的不变式 2 1 基本概念 在这部分，我们不加证明地引用一些结果，也就是实数域上各类不可约有限反射 群的不变式 定义2 1 1设g 是作用在实数域上的向量空间y 上的有限反射群， ，仉是g 的 不变式如果存在多项式 ( x t ，。) 0 ，使得 ( ，m ) = 0 ，则称 ，仇代数 相关否则，称，l ，代数无关 定义2 1 2 设g 是作用在实数域k = r 上的”维向量空间y 上的有限反射群，g 的n 个代数无关的齐次不变式如果在k 上生成k w + j g ，就叫做g 的一组本原不变式 定理2 1 3 n 设y 是实数域匕的n 维向量空间，g 是作用在y 上的有限反射群，g l ，g m 是g 的m 个代数无关的齐次不变式，它们的次数分别是e 1 ，岛，如果e l e m = i g i ， 那么g l ，9 m 就是g 的一组本原不变式 2 2 有限实反射群的不变式 2 2 1 a 21 ) 的不变式 如可以看作舻+ 1 的一组标准正交基s l ，坼l 的对称群。设z 1 ，+ 1 是l ，h 在舻+ 1 中的对偶基，即 x i ( e j ) = 幻，1 s i , j + 1 令 v = a l e l + + n n + l g n + l | n 1 + + a n + l = o ， 则矿是a 的不可约不变子空间，厶是作用在y 上的不可约有限反射群把l ，+ l 看作v 上的线性函数时，它们适合关系式1 + + z 1 = 0 ，因此可以把z l ，z n 看作 有限域上三类不可约有限反射群的的不变式 矿的一组基，而+ l = 一( x l + + $ 。) ，令 = $ r 1 + + z i n + + 1 1 ，i = 1 ， 那么 ，厶是的齐次不变式，它们的次数分别是2 3 ，l + 1 ，这些次数乘积 就是i l = 何+ 1 ) ! 此外，还可以证明 ，a 代数无关那么，根据定理3 1 3 可知 五a = 1 ，n ) 是在y 上的一组本原不变式 2 2 2 玩2 ) 的不变式 设s 1 ，是舻的一组标准正交基玩的一个元素在舻上的作用，或者引 起e l ，如的个置换，或者改变若干个e i 的符号，或者两者兼有再令。1 ，是 e “，“在舻中的对偶基，那么风中的个元素，或者引起$ l ，的个置换， 或者改变若干个魏的符号，或者两者兼有令 五= 砰+ + ，i = 1 ，n 显然，五是晶的瓤次其次不变式，而2 4 ( 2 n ) = 铲m = i 晶| 又可证明 ，厶 代数无关，因此 ，厶是岛的一组本原不变式 2 2 3 历。m 4 ) 的不变式 设l ，岛是舻的一组标准正交基巩中的个元素在舻上的作用或者引起 l ，“的个置换，或者改变偶数个目的符号，或者两者兼有如果令z 1 ，是 l ，“在酽中的对偶基，那么，巩的一个元素，或者引起。l ，的一个置换， 或者改变偶数个戤的符号，或者两者兼有令 = + + 瑶，l = 1 ，n 一1 厶= ；r i 易知，l ，厶一1 ，厶都是队的齐次不变式，它们的次数的乘积等于2 ，l - 1 耐= l 现i 又可 以证明 ，厶代数无关所以，1 ，厶是巩的一组本原不变式 2 2 4 飓的不变式 日3 是二十面体的对称变换群二十面体有1 2 个顶点，分成六对，每对顶点由对于中 心对称的两个顶点组成显然凰的每个元素都把这六对顶点变到它们自己因此也把各 对顶点连线的垂直平分面变到它们自己，可以选取坐标使得这六个垂直平分线的方程分 别是t 2 ：1 士x 2 = 0 ，”24 - 蜘= 0 ，t z 3 士z l = 0 ，这里。r = ( 1 + v 信) 2 于是，下面这1 2 个齐 次线性函数 l 士勋，2 士x 3 ，t x 3 士劫 1 4 大连理工大学硕士学位论文 在凰的每个元素的作用下变到它们自己令 j 五= ( 竹l + z 2 ) 毖+ ( t ：r 2 + 船) 镛+ ( 下船- l - z 1 ) 2 k - - - ( 口1 一x 2 ) 蚀十( t x 2 一x s ) 2 k + ( 瑚一z 1 ) 2 k 那么，1 2 k ( k 1 ) 是凰的齐次不变式而如，矗， o 是代数无关的，并且2 6 1 0 ；1 日3 i ， 因此坛如， o 是玛的一组本原不变式 2 2 5 4 的不变式 凰是4 为欧氏空间风中正超多面体的对称变换群，这个正超多面体有1 2 0 个顶点， 7 2 0 条边，1 2 0 0 张面，6 0 0 张正四面体面它的1 2 0 个顶点分成6 0 对，每对顶点由对于 中心对称的两个顶点组成，各个定点连线的垂直平分3 维总共有6 0 张，它们在凰的每 个元素的作用下都变到它们自己。可以选取坐标使得定义这6 0 张3 维面的线性函数是 士2 粕，i = 1 ，2 ，3 ，4 ；士1 - 4 - x 2 士粕士x 4 ； 士t x l - 4 - t - - 1 现士z 3 ，= i = t ：r l 士t - i z 2 士x 4 ， 士 l4 - t - - i x 3 x 4 ，：i = r x 2 4 - t - - i 黝士x 4 ， 士r 一1 $ l 士z 2 士r z 3 ，士r 1 x l 士现士t x 4 ， 士t - - i x l 4 - x 34 - t x 4 ，- 4 - 1 一l x 2 士：r 3 士t z 4 ， 士l 士f 王24 - t - - i x 3 ，士善l4 - r 现- 4 - t - - i x 4 ， 圭$ 1 - 4 - 佑3 士t - i x 4 ，+ x 2 士r z 3 士t - - i x 4 定义 4 j 靠= ( 2 甄) 驰+ ( z 1 + a 2 2 2 + a 3 ：r 3 - i - a 4 x 4 ) 啦+ i = 1 d 2 ，b t a 4 = ：i = l ( 他l + r 。1 + ) 站， ( i l ，缸，妇) 这里，最后一个求和号是对 1 ，2 ，3 ，4 的所有有序三元子集( i i ，i 2 ，i s ) 求和可以证明 忌，凡，肠，是代数无关的，并且它们次数的积就是l 凰l ，因此，毛， 2 ，场，是甄 的本原不变式 2 2 6 f 4 的不变式 令 = ( 嗣+ 唧) 2 + ( 毛一) 舳) 1 i 勺t k - 1 = ( 8 2 2 h - i ) 咄+ ( 芬砌锄= l 2 有限域上三类不可约有限反射群的的不变式 可以证明，玩都是毋的不变齐式，这里 = z 哥+ 梦+ z 哥+ $ 驴 而2 ，6 ，s ， 2 代数无关，并且2 6 8 1 2 ；l 凰| ，从而拓五， 2 是玩的组本原不变 式 2 2 7 晶m = 6 ，7 ，8 ) 的不变式 对于甄，定义 8 = ( 2 x ；) 2 + i = 1 ( 巧七1 1 衄，a 4 m + l ( x i + n 2 q + a 3 x k + 口4 印) 轴 这里似女f ) 是对( 1 2 3 4 ) ，( 1 2 5 6 ) ，( 1 2 7 8 ) ，( 1 3 5 7 ) ，( 1 3 6 8 ) ，( 1 4 5 8 ) ，( 1 4 6 7 ) ，( 2 3 5 8 ) ，( 2 3 6 7 ) ，( 2 4 5 7 ) ，( 2 4 6 8 ) ，( 3 4 5 6 ) ，( 3 4 7 8 ) ，( 5 6 7 8 ) 这些有序数组求和又可知如，尾，1 1 2 ，五4 ，1 1 8 ，1 2 0 ，玩，代数无 关，并且它们指数的积就是旧i ，所以厶，瓦 2 ，几，1 1 8 ，锄，坛，3 0 是取的组本原不变 式 对于岛，令 如= ( x i 土q 士柳) 抽，= l 2 ) 这里( o k ) 是对( 1 2 7 ) ( 1 3 6 ) ( 1 4 5 ) ( 2 3 5 ) ( 2 4 6 ) ( 3 4 7 ) ( 5 6 7 ) 这些3 一数组求和可以证明如，如，b ， j l o ， 2 ， 4 ， 8 代数无关，并且它们的指数的积是旧l ，所以，如，矗，厶，j 1 0 ， 2 ，凡，风是助 的一组本原不变式 对于届，取如下的齐次线性函数 2 x 丽z o ，以万( 士屈5 一x e ) ， 士x l - 4 - 2 一、2 3 2 6 ，+ x a 士x 4 一2 3 2 6 ， 士z 1 士z a + ( 1 、6 ) ( 、3 2 5 + x 6 ) ， 士；9 1 士x 4 一( 1 、6 ) ( 、3 2 5 一知) ， 士砚士奶一( 1 6 ) ( 、3 如一x 6 ) ， 土耽土x 4 + ( 1 、6 ) ( 、3 2 5 + ) ， 它们都是昂的不变式定义 = l 2 ) 是这2 7 个齐次线性函数的k 次幂的和，显 然也是玩的不变式而如，如，j 6 ，如，9 ， 2 是代数无关的，并且它们次数的积就是i 风i ，所 以它们是风的组本原不变式 1 6 大连理工大学硬士学位论文 3a ：( p f 伽+ 1 ) ) ，鳏0 2 ) ，瑞4 ) 的不变式 以下讨论中所提到的域都指特征数是p ( 2 ) 的有限域k = k ( g = 矿，a 1 ) 设y = k ”是k 上m 维向量空间，在y 上定义对称双线性型。 p p = 啦k ，v p = ( n l ，) ，p = ( 6 1 ，) e 矿 1 s i m 显然。y 是非奇异的y 中向量 地= ( 五l ，最2 ，民m ) ，奶= 轰j 雾，1 i ，j s m 组成y 的一组基，称为y 的标准正交基以下提到的向量空间y 都指已经定义了这样 的对称双线性型 3 1 织f + 1 ) ) 的不变式 命题3 1 1 设v = k n + 1 , p 是素数，并且，p t + 1 ) 又设h = o 抽= ( 1 1 ，1 ) ， n k ，= 川p = ( o l ，n 。+ 1 ) ，e 。0 4 = o ，口e k ，贝q u 上班，h o = 矿 证明直接验证可知h 是y 的1 维子空间，是y 的n 维子空间对a = n 知m ，p ； ( b l ，k + 1 ) v 2 ，有a p = e t 口k = o i6 l = 0 ，这说明k 上耽如果a = n 知u n k ， 那么a a = e o o ；( n + 1 ) a 2 = 0 由于p f ( ，l + 1 ) ，则加+ 1 ) 1 0 ，从而n 2 ；0 ，口= 0 以及 a = 0 那么，u n = 0 对v 矿= ( d l ，a n + 1 ) 1 i , 如果= 0 ，那么= p + pe v l + v 2 ； 如果| ，0 ，但 啦= 0 ，那么= 0 + p h + k ；如果p 0 并且，啦= 口0 ，由于 p t ( n + 1 ) ，可令a ；彘a o ，p = v 一 显然，入ek ，p k ，p = a + peh + b 故 v c h + c kv = h 十b ，v = h o 由于魄一吩o ( i 五1 i ，j s n + 1 ) ，所以我们可以构造v 上以心一吻为根的反射 一t ，) = v - - 2 芒热( 魄刊，t ，矿 1 7 有限域上三类不可约有限反射群的的不变式 那么，由这些反射生成的群 就是职根据锦的定义可知，职的元素。在y 上的作用就是把每个h i ，j ) 都 保持不动，而交换地和岣从而，鸠的每个元素在矿上的作用就是引起似 的一个置 换显然，鸠是y 上的有限反射群，并且，m