（基础数学专业论文）关于gl3上的局部尖性表示逆定理.pdf

d i s s e r t a t i o no fm a s t e rc a n d i d a t ei n2 0 1 0 l i i i1 ii ie i l li ii i iiiil y 17 4 3 4 7 9 u n i v e r s i t yc o d e ：1 0 2 6 9 s t u d e n ti d ：5 1 0 7 0 6 0 1 0 4 3 e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y o nt h el o c a lc u s p i d a lc o n v e r s e t h e o r e mf o rg l ( 3 ) d e p a r t m e n t ： s p e c i a l t y ： r e s e a r c hd i r e c t i o n ：i c e s e a rl r e c t l o n s u p e r v i s o r ： c a n d i d a t e ： d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s p u r em a t h e m a t i c s r e p r e s e n t a t i o n so fp - a d i cg r o u p s a s s o p r o f q i nv u j u n x up e n g c o m p l e t e di na p r i l ，2 0 1 0 华东师范大学学位论文著作权使用声明 谚于q ( 岁) 上b 学位期间在导师指导下完 巫参多呈 系本人在华东师范大学攻读 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东 师范大学所有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管 部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网送交学位论文的印刷版和电子版；允 许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入 全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版， 采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部或“涉密学位论文幸， 于 年 月 日解密，解密后适用上述授权。 ( ) 2 不保密，适用上述授权。 v、 导师签名 “涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位 论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上 述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用 上述授权) 。 一 日 ，口马笪 i 九讶n 一 一一 月 人歪d 彳一 年 一 名 。 签 引 艏 劲 徐鹏硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称 单位备注 药倾旅梭 豳蚀教辱系 主席 诩乃彳2 川 q y 、_ ，一 时i 锰 l ，印 、，- ，一、 定7 r ，让x 历遍f “的特征标) 的l o c a lc o n s t a n t s 读出一部分关于表示 7 r 的内部信息 关键词：t y p e ，l o c a lc o n s t a n t ，尖性表示 a b s t r a c t t h e6 r s tr e s u l to fo u rp a p e ri st h e o r e m1 1 w bp r o v et h a tt h e l e v e lo f7 ri sp o s i t i v ei fa n do n l yi ft h er e p r e s e n t a t i o nc o n t a i n saf u n - d a m e n t a ls t r a t u m w h e r e7 ri sa ni r r e d u c i b l es m o o t hr e p r e s e n t a t i o no f g = g l ( 3 ，f ) t h e nw ep r o v et h e o r e m1 4 ，i nw h i c hw er e d u c et h e c o n s t r u c t i o no fc u s p i d a lr e p r e s e n t a t i o n so fgt ot h a to fc u s p i d a lt y p e s i np r o p o s i t i o n1 3a n d1 4 w ea l s og i v et h em o s tb a s i ci n f o r m a t i o n a b o u tt h es t m c t u r eo fc u s p i d a lt y p e s a sa na p p l i c a t i o no fc l a s s i f i c a - t i o nr e s u l t si nc h a p t e ri ，w ep r o v et h e o r e m2 4i nt h es e c o n dc h a p t e r r o u g h l ys p e a k i n g ，w ec o u l dc a t c hs o m ei n f o r m a t i o nf o r7 rf r o ml o c a l c o n s t a n t so fa l lt h et w i s t so f7 rb yc h a r a c t e r s k e yw o r 出：t y p e ，l o c a lc o n s t a n t ，c u s p i d a lr e p r e s e n t a t i o n 目录 1 预备知识 1 1 内容与背景介绍 1 2 基本s t r a t a 的计算 1 3 尖性表示的构造与分类 2 逆定理1 3 2 1b u s h n e l l 的定理与稳定性定理1 3 2 2主要结果的证明1 7 参考文献2 l 致谢2 2 v f ：f _ z 是正规加法赋值 通用的记号，然后我 其它一些记号将在第一次出现时给予解释 内容梗概与进一步的问题：这篇论文的第一个主要结果是定理1 1 ：设7 r 是g = g l ( 3 ，f ) 的一个不可约光滑表示，则f ( 7 r ) 0 当且仅当7 r 包含一个 基本s t r a t u m 我们认为这样的结果在一般的情况下( 对于g l ( n ) ) 是不成立 的，但从我们的证明可以推测若n 是一个素数，则应该有类似的结论然后 我们在定理1 1 的基础上给出g l ( 3 ) 上尖性表示的构造与分类，主要结果是 定理1 4 ，这在g 的尖性表示等价类的集合与g 中尖性t y p e s 的共轭类的 集合之间建立了一个双射自然地，根据诱导表示的传递性，前面的双射给 出了g 的尖性表示等价类的集合与g 中i n d u c i n gd a t u m 的共轭类的集合 之间的双射，这便得到4 1 的一个主要结果 第二章的内容我们可以看作第一章内容的一个应用，主要结果是定理 2 4 我们希望可以利用这个结果给出g 的尖性表示逆定理的内蕴证明定 理2 4 告诉我们，可以从所有表示x o d e t 圆7 r ( 固定7 r ，让x 历遍f 的特征 标) 的l o c a lc o n s t a n t s 读出一部分关于表示7 r 的内部信息 在对g 的表示有了较多的了解后，我们认识到下面的情况是给出一个完 全局部证明( 关于g 上的局部l a n g l a n d s 对应) 最主要的障碍：当f 的剩余 特征为3 时，怎样的尖性表示对应于从一个三次循环扩张( 注意此时这个扩 张是w i l d 分歧的) 的乘法特征诱导上来得到的不可约表示( w e i l 群的) ；或者 我们如何用表示部分的局部d a t a ( 即和一个尖性表示联系在一起的s i m p l e s t r a t a ) 来刻画这样的不可约表示 背景介绍：假设f 是一个非阿基米德局部域，局部类域论则告诉我们， 在f 的特征标群与w 色i 1 群( 相对于f 的某个可分闭包f ) 的特征标群之 间存在一个良好地双射g l ( n ，f ) ( 下面简记为g l ( n ) ) 上的局部l a n g l a n d s 猜想即是这个经典结论最自然的类比与推广它预测在g l ( n 1 的不可约 光滑表示( 等价类集合) 与w e i l - d e l i g n e 群( f 上的) 的n 维连续表示( 等价类 集合) 之间也存在一个自然的双射，这个双射满足一些良好的性质，而这些 性质反过来唯一决定了这个双射，我们把这个双射称为g l ( n ) 上的局部 l 1 2 基本s t r a t a 的计算 i a n g l a l l d s 对应这个猜想在p - a d i c 域的情况下，亦即f 是特征0 的情况， 已于1 9 9 8 年左右分别由h a r r i s - t a y l o r ，及h e n n i a r t 解决但是他们的证明 对于对应本身以及对应两边的内部结构并没有给出更多的信息b u s h n e l l 与 k u t z k o 在其1 9 9 3 年出版的普林斯顿橘皮书里( f 2 1 ) 利用局部方法构造出了 一般线性群的所有超级尖性表示，这便首先对对应中的自守部分给出了深入 和详细的理解通过t y p e s 的方法来刻画局部l a n g l a n d s 对应便是一个非常 重要和有挑战性的问题( 【8 1 ，【9 】) 这个问题到现在已经有很大的进展( 主要是 b u s h n e l l 与h e n n i a r t 的工作) ，但还未完全解决 1 2 基本s t r a t a 的计算 假设y 是一个f 上的三维向量空间，我们可以将y 写为fof0f 从而g = a u t f ( y ) ，a = e n d f ( v ) v 中的一个o - l a t t i c ec h a i n 是y 中的 一个o - l a t t i c e 的非空集合，满足：( 1 ) 在包含关系下可以排序；( 2 ) 并且在f 的作用( 自然的将f 等同为g 的中心) 下是稳定的一个o 1 a t t i c ec h a i n 即是y 中的一些o - l a t t i c e 构成的一个序列 厶；i z ：厶厶+ l ，存在一 个正整数e = e c ，使得对所有i ，p l i = l i + 。 我们感兴趣的是由o - l a t t i c ec h a i n 导出的o - o r d e r ：2 【= 疆( c ) = f z a ；z l icl i ，t z ) ，它是a 的一个o - l a t t i c e ，也是一个子环在我们考虑的 情况下，可以利用上面出现的e 给出a 中所有的o - o r d e r ( 共轭意义下) 命题1 1 假设c = 厶，i z 是y 中的一个o - l a t t i c ec h a i n ，则我们有相 应的o - o r d e r ，赐= 纽( c ) ，则e = l ，2 ，3 当e c = 1 时，存在g g ， 9 厶= p 。0 矿0p l i z 当e c = 2 时，存在g g ， 9 工2 i = p 。0p 。0p ， g l 2 i + 1 = p i0p op 件1 ，i z 当e c = 3 ，存在g g ， g z b k = p op 0p ， 9 l 瓤+ 1 = p 0 p 0 p t + l ， 9 l 默+ 2 = p iop + l0p t + l ，i z 2 1 2 基本s t r a t a 的计算 将上面三条换成疆= 2 【( ) 的语言，即有下面的：存在g g 使得 9 2 【9 一l = 吼= 9 t = 了= 若e = 1 ， 若e c = 2 ，( 1 1 ) 若e c = 3 我们这里不给出这个命题的证明，一般情况参见 4 1 需要指出的是： ( 1 ) 在上面，我们从y 中一个0 - l a t t i c ec h a i n 得到一个a 中的一个0 o r d e r ，这是一个遗传o r d e r ( r p 每个g - l a t t i c e 都是外射影的) ，而且可以知道 a 中所有的遗传o o r d e r 都可以通过这种方式导出 ( 2 ) 一般地，一个。一o r d e r 的g 共轭类( 在a 中) 由一组正整数决定( 可以 差一个循环置换) ，这些正整数共有e 个，它们是佗( 向量空间y 的维数) 的 一个分拆 注意到上面给出的三类c h a i no r d e r 是有区别的，在后面的表示构造中， 只有第一类瓤，和最后一类3 会起作用和第二类9 t 的区别在于，它们都是 p r i n c i p a l 的，关于这一点可参考f 4 1 有了o r d e r ，我们现在去考虑它们的j a c o b s o n 根，币= q 曳： 秘= 若e c = 1 ， 若e = 2 ，( 1 2 ) 若e c = 3 我们可以自然地定义这些根的方幂，即笫n ，对所有的整数n 我们现在 考虑由这些o r d e r 给出的单位群用魄表示疆，而对几1 ，叼= 1 + q 3 n 我们注意到这些单位群都是g 中紧开子群我们现在对一个g 的不可约光 滑表示7 r 定义它的l e v e lz ( 丌) ： 3 叭叫叭叫叭4 o o o o o p o o p 卜卜by冲v 、l、i，、i p p p o o p d o p p p p p p p o p p p p p p p p p p p ，0一，i， 1 2 基本s t r a t a 的计算 我们先回忆下一个g 的表示( 丌，y ) 称为光滑的，若对任意的t ，v ，t ， 在g 中的稳定化子都包含g 的某个紧开子群 定义1 1 用s ( 丌) 表示下面二元组的集合：( 2 t ，n ) ，疆是一个c h a i no r d e r ， 住20 ，7 r 包含叼“的平凡特征我们令：z ( 丌) = m i n n e a ；( 组，n ) s ( 丌) ) 定义1 2 一个s t r a t u m 是一三元组( 疆，n ，a ) ，疆是a 中的一个c h a i no r d e r ， n 是一个整数，o t 币一n 定义1 3 一个a 中的s t r a t u m 称为基本的，若陪集口+ 币1 - 竹没有包含a 中的幂零元 定义1 4 称两个s t r a t a ( 疆，n ，o t ) 与协，佗，卢) 是等价的，若q p 秘1 - n 定义1 5 我们说( 2 【l ，n 1 ，a 1 ) i n t e r t w i n e ( ，t 1 2 ，n 2 ) ，若存在9 g ，使得 9 - 1 ( a l + 币；一m ) gn ( 口2 + 秘；一啦) 是非空的 下面是关于基本s t r a t a 的主要结果 命题1 2 ( b u s h n e l l ) ( 2 t ，佗，o t ) 是a 中的一个s t r a t u m ，爷= r a d2 t ，则下面 的( 1 ) 和( 2 ) 是等价的， ( 1 ) a + 郫1 - n 包含幂零元 ( 2 ) 存在一个整数r 1 ，使得o t r q 3 1 - m 证明首先注意到条件( 2 ) 是陪集口+ q 3 1 - n 自身的性质，从而从( 1 ) 推出( 2 ) 是自然的我们去考虑( 2 ) 兮( 1 ) ：我们只考虑上面的( 1 1 ) 给出的三类o r d e r ， 即疆，9 t ，了，因为共轭一个g 中的元素后对命题没有任何影响同样地，我们 可以用一个f 中的素元口的某个方幂乘到q 上，这样我们就可以只考虑一 些特殊的n ，具体地：( 疆，n ) = ( 9 y t ，o ) ，( 了，o ) ，( 了，一1 ) ，( 了，- 2 ) ，( 仉，o ) ，( 仇，- 1 ) 对于( 吼，0 ) ，完全类似于f 1 1 上的处理 对于e = 3 ，经过仔细的分析我们有下面的等式- 对m = 0 ，1 ，2 ， lq 口+ q 3 m + 1 = l0 f 刃桫+ 1 固 程可验证( 1 ) 成立当m = 2 时，由( 2 ) 推出0 1 a 2 a 3 三0 ( m o dp ) ，类似地 q + ( ii ；) = ( 毫：气a 孑1 2 三) + ( ；兰i ) c - 4 ， 4 虮0 0 ，玎 、i 0 1 0 1 o o 1 2 基本s t r a t a 的计算 这样邮m 蠕钋从而n 韶而吻a 1 2 ) 要么等玑要么 g l c 2 ，。卜共轭于g0 ，无论哪种情况，我们都可知c ，成立 现在考虑( 叽，- 1 ) ，我们同样地有 n + g 耋i ) = ( 刃兰3 。留0 3 。罨；) + ( 耋至三) c 1 脚 由条件( 2 ) ，我们得到a 1 3 a 3 1 + a 2 3 a 3 2 三0 ( m o dp ) 若a 1 3 ，a 3 1 ，a 2 3 ，a 3 2 中有一个在p 中，则有另外一项也在p 中这就可以推出( 1 ) 不然，在这四 个整数中必定有一个为单位，比如说幻l ，那么我们可以做一个平移，将口3 1 变为某个a 3 1 + 刀口( 对适当的整数a o ) ，这样得到的代表元的平方就是幂 零的 口 我们根据上面的结果与分析，得到a 中所有非平凡的，非基本s t r a t a 都 等价于下面某一个s t r a t u m 的g _ 共轭： ( 1 ) ：( 觋，n ，刃一n p ) ，p ( 3 ，3 n 一 ( 了，3 n 一 ，留一n p ，一n 卢 ( 4 ) ：( 9 t ，2 n ，冒哪卢) ，p o 0 ：io o f 臼 口 f o i ，p ：lo 0 、 o l ，卢：fo o 、 o 1 ：io o bo c 5 ，：c 吼，2 n 一，四一n p ，p = ( 0 吕0 ，或者( 量吕0 ) ，( 0 量0 7 r 包含一个s t r a t u m ( 2 【，佗，q ) ，是指n 1 ，而7 r 包含叼的特征妒a ( 这个 特征的具体定义见下面1 3 ) 5 、li 、0 0 0 o l 0 叭o o o o 刃 。o o几几旧p 艄艏 或叭砂八 八叫1 o o o o o 叭叫 1 2 基本s t r a t a 的计算 引理1 1 ( m o y - b u s h n e u ) 设( 2 1 ，n ，q ) 是a 中的一个非基本s t r a t u m ，秘是 2 i 的根则存在a 中的一个c h a i no r d e r2 1 1 ，根为秘1 ，以及一个整数n l ，使 得 q + 币1 一nc 秘f n l ，h i e 2 1 n e a l l 啊们l 聃，o u ， 匕i ，h g l 了n rl c - , p， 再v 司儿口f ；肭且。 假设( 嘎，n ，q ) 是非平凡的，我们可以化到上面列出的情况，即( 觋，o ) ， ( 3 ，- 1 ) ，( 了，- 2 ) ，( 9 i ，o ) ，( 仇，- 1 ) 逐个分析计算，得到下面的： f 1 1 ：口+ 日3 蛳c 1 我们有一昙 0 。这里对应于上面的列表中的元素 c 2 ，：卢+ 币；c 秘9 t ，我们有一； 一；，这里卢= ( 量三；) 或者 ( 兰量p 需要注意的是，我们这里灵活地选取了p c 3 ，：卢十币；c 帮姐，这里p = ( 量量0 ，而锄，共轭于秘弧：币瓤n ， 这里= ( 量吕1 三) ；而当卢= ( 昙量o ) 时，卢+ 峭c 秘觚，无论哪种 c 4 ，：卢+ 秘吼c 锄，我们有一； 。，这里卢= ( 曼曼) c 5 ，：卢+ 币轰c 秘哪，我门有一1 一；，这里卢= ( 量i ) ； 卢+ 秘表c 印咖，我们有一1 一；，这里卢= ( 三三爹； 卢+ 币表c 秘；，我们有一； 0 面的记号下，我们有昭，嵋假设z ( 丌) = 0 ，则我们知道7 r 包 含的平凡特征这样由于我们有u 1 ) 蝎，则7 r 包含的某个特征， a 三睢| ) ( m o ， 7 1 3 尖性表示的构造与分类 1 3 尖性表示的构造与分类 嫩= ( ；) 及n 1 ，n 秘茄，厶( ) ( 仍n q 的特征多项式，下同) 在七= b 上是不可约 在这种情况下，域扩张e = 州0 d 是在a 中的一个三次非分歧扩张，e x ( 2 ) ：e 嘎= 3 ：( 3 ，m ，卢) ，这里 3 = ( ii i ) ， m 是一个与3 互素的正整数，卢币i m 在这种情况下，域扩张e = f 是a 中f 的一个三次完全分歧扩张， e 正归化o r d e r3 ，而口在f 上也是极小的 上面的两种情况中的o r d e r 都是p r i n c i p a l 的( 当作为a 中理想时，它们 是一个双边主理想) ，并且它们都可以由o e - l a t t i c ec h a i n 伽b ：i z 得到 后面这一点对于下面有一个简单的构造是至关重要的，在后面我们将进一步 阐述这一点 作为第2 步，我们现在考虑特征标我们下面定义的特征是表示构造的起 点，这与2 1 中的s i m p l ec h a r a c t e r ( f 2 1 ) 有一些区别，但在我们考虑的情况下， 我们更强调下面的特征标对于一个s t r a t u m ( 2 i ，n ，口) ，我们定义群l ，置上的 一个特征标札：z 卜妒ot r a ( c t ( x 一1 ) ) ，事实上，用同样的公式，我们可以将 8 1 3 尖性表示的构造与分类 这个特征定义到更大的群上去：u l n l 2 + 1 我们回忆到，我们说g 的一个不 可约表示7 r 包含一个s t r a t u m ，是指丌包含叼的特征札我们现在需要 知道妒q ( 作为睹7 2 l + 1 的特征) 在g 中的i n t e r t w i n i n g 是什么： 定理1 2 ( i n t e r t w i n i n g 定理) 设( 2 【，n ，a ) 是一个s i m p l es t r a t u m ，e = 州叫则口的i n t e r t w i n i n g 是e 础n + 1 ) 2 】 注1 1 一个s i m p l ec h a r a c t e r 的i n t e r t w i n i n g 在【2 】3 3 2 中给出，一般情况 可以参考那里的论述如果承认这一点，我们可以直接推出：若gi n t e r t w i n e 札，则9 正规化饥当然，我们也可以利用类似于【1 11 6 1 ，1 6 2 的过程得 到这一结果，这里的关键点是有一个类似的引理( l e m m a l 6 1 ) 成立，而这样 类似的引理能够成立最主要的原因就是前面提到：我们这里关心的o r d e r 都 满足条件2 l = 组( e ) 现在假设( 疆，礼，q ) 是一个s i m p l es t r a t u m ，n 1 ，e = f 【q j 设厶= e 谐”+ 1 ) 2 1 我们注意到厶c 国( 2 【在g 中的正规化子) ，它包含中心并且 模去中心是紧的 现在我们给出尖性表示的定义： 定义1 6 设( 丌，y ) 是g 的一个不可约光滑表示，称7 r 是尖性表示，若存 在丌的某个矩阵系数，c ( 7 r ) ( 【1 1 】) ，满足s u p p fcz t ，对某个g 的紧集 t ，这里z 是g 的中心 定理1 3 设a 是j 的一个不可约表示，包含睹7 2 】+ 1 的特征标妒口则有： ( 1 ) a 在赌72 j + 1 的限制是化。一个m u l t i p l e ( 2 ) 紧诱导表示 7 r a = c - i n d , 是不可约的，并且是尖性表示 证明有了前面的 a i n t e r t w i n g 定理，证明则类似于【1 1 1 5 3 口 我们现在考虑尖性t y p e s 下面的是其主要成分： 定义1 7 设( 疆，n ，q ) 是一个s i m p l es t r a t u m ，n 1 用c ( 妒n ，疆) 表示下 面的集合：群厶的那些在赌7 j “的限制是i q 的m u l t i p l e 的不可约表示 等价类的集合 定义1 8 g 中的一个尖性t y p e 是下面的若干类三元组阻，za ) 中的一种， 这里疆是一个c h a i no r d e r ，j 是i ；匆的一个子群，而a 是，的一个不可约 表示 ( 1 ) 组型溉，j = z ，及a l 魄是群池兰g l ( 3 ，后) 的一个不可约 尖性表示的扩张， ( 2 ) 存在一个s i m p l es t r a t u m ( 疆，n ，a ) ，n l ，使得j = 厶以及a c ( 妒q ，2 【) ， ( 3 ) 存在一个三元组( 2 【，za o ) 满足( 1 ) 或者( 2 ) ，以及一个特征标x ( f 的特征标) ，使得a 垒h oo x o d e t 9 1 3 尖性表示的构造与分类 定义1 9 用一个g 中元素9 共轭到一个尖性t y p e ( 嘎，z a ) 上，自然 得到另外一个尖性t y p e ( 掣，j g ，a g ) 这里群的共轭以及表示的共轭都是 用的通常的记号我们注意到，g 的一个不可约表示7 r 若包含一个尖性 t y p e ( 且p7 r 包含a ) ，根据定义也包含这个尖性t y p e 的任一共轭 定理1 4 ( i n d u c t i o n 定理) 设7 r 是g = g l ( 3 ) 的一个不可约尖性表示则 存在一个g 中尖性t y p e ( 嗄，z a ) ，使得7 r 垒c i n d 了a 表示7 r 唯一地决 定了这个t y p e 的共轭类 我们将在e x h a u s t i o n 定理后面给出上面结果的证明 从上面的定理得出：下面的映射 ( 疆，z a ) 卜7 r a = c - i n d g a 给出了一个g 中的尖性t y p e 共轭类的集合与g 的不可约尖性表示等价类 集合之间的双射 现在，我们对一个s i m p l es t r a t u m ( 疆，口) ，n 1 ，e = f n ，去分析集 合c ( ，嘎) 中的表示a 我们需要下面的两个中间群：( f 1 】) 或= 畦睹2 】“，以= 皑n + 1 ) 2 1 命题1 3 假设n 是一个奇数每个a c ( 札，疆) 的维数为1 证明类似于【1 】1 5 6 ，注意在下面关于n 是偶数情况的论述给出了其中最主 要的步骤 口 当佗是偶数时，我们知道以砚，从而需要做进一步的说明现在我们 手上拿着的是特征妒a ，我们先将其延拓为峨的一个特征口取u 刍的一 个特征标，满足钆在譬周十1 上一致的，则映射 0 ：z t 上卜( z ) 妒口( t ) ，z u 刍，u u 岔7 2 j + 1 定义了磁上的一个特征标自然地我们可以想到将d 直接诱导到群以上 去，但这样得到的表示太大，而我们需要的只是其中的一个不可约分支 引理1 4 假设n 是偶数，设0 是由札扩张上来的矾的某个特征则存 在一个唯一的以的不可约表示珊，使得伽在砩的限制包含0 ，进一步的 有： ( 1 ) d i m 珊= 协若翱疆垒- - - 弧3 , ( 1 6 ) ( 2 ) 珊i 砚是0 的m u l t i p l e 1 0 1 3 尖性表示的构造与分类 证明参看【2 】5 1 1 关于一般的情况我们注意到这个结果和【1 1 1 5 6 ， l e h u n a ( 1 ) 的区别 命题1 4 ( 1 ) 珊在g 中i n t e r t w i n i n g 是厶 ( 2 ) 咖可以扩张为厶的一个不可约表示，且任意的一个扩张都在 c ( 饥，疆) 中 证明考虑到i n t e r t w i n i n g 定理以及f r o b e n i u s 互反律，则( 1 ) 是标准的 在( 2 ) 中，我们注意到以nf = 啡，伽i 畦是特征阳的m u l t i p l e ，我们 则可以将其先扩充到f 以的一个表示p 由于珊在厶的共轭作用下是 稳定的，则对于p 也是如此注意我们现在是在n 为偶数的情况当e f 是非分歧时，j a f 以是循环的，阶数为口2 + 口+ 1 ；而当e f 为完全分歧 时，厶f 以也是循环的，阶数为3 从而在任何一种情况，p 都可以扩充到 厶口 为了后面的应用，我们简要的写出上面主要结果定理1 4 的另外一个方 面 定义1 1 0 g 中的一个尖性i n d u c i n gd a t u m 是一个二元组僻，兰) ，这里疆 是一个c h a i no r d e r ，而兰是肠的一个不可约光滑表示，并且是从一个尖性 t y p e 上诱导而来，即有：三= i n d a ，对某个尖性t y p e ( za ) 在上面的i n d u c i n gd a t u m 的语言下，根据诱导表示的传递性，平行于 i n d u c t i o n 定理，有： 命题1 5 ( 1 ) 若( 嘎，三) 是g 中的一个尖性i n d u c i n gd a t u m ，则表示匏= c i n d 置三是g 的一个不可约尖性表示 ( 2 ) 映射( q ，三) h 丌e 给出了一个从g 中的尖性i n d u c i n gd a t u m 的共 轭类的集合到g 的不可约尖性表示等价类集合之间的双射 我们需要下面的关于尖性d a t u m 的l e v e l 的概念，这自然与其对应的尖 性表示的l e v e l 是联系在一起的： z 囊( 三) = m i n n 0 ：叼+ 1c k e r 曼 = e a l ( t r z ) 下面我们给出e x h a u s t i o n 定理，并去证明上面的i n d u c t i o n 定理 定理1 5 ( e x h a u s t i o n 定理) 设( 7 r ，y ) 是g 的一个不可约光滑表示，满足 条件2 ( 丌) sf ( x 7 r ) ，对所有f 的特征x 下面的的结果是等价的： ( 1 ) 7 r 是尖性表示 ( 2 1 要么 ( 口) f ( 丌) = 0 ，7 r 包含c k 笺g ( o ) 的一个表示，这个表示是从g l s ( k ) 的一个不可约尖性表示扩张而来。或者 ( b ) f ( 7 r ) 0 ，7 r 包含一个s i m p l es t r a t u m 1 1 1 3 尖性表示的构造与分类 证明若f ( 7 r ) = 0 ，( 1 ) 与( 2 ) 的等价性是熟知的( 【1 3 】) 我们假设z ( 7 r ) 0 若7 r 不包含一个s i m p l es t r a t u m ，则根据定理的假设，我们知道丌一定包含 一个分裂的基本s t r a t u m ( ，q ( t ) 在b 上有不同的不可约因子) ，但是这样，根 据f 2 t h e o r e m8 2 ，7 r 是非尖性表示反过来，若7 r 包含一个s i m p l es t r a t u m ， ( 疆，n ，q ) ，这就是说7 r 包含已瑶的特征掣h 因为己尝例十1 正规化口，7 r 包含 嘴2 1 的一个特征，使得在哿的限制等于吡。我们可以把这个特征 写为咖，从而我们有卢兰a ( m o d 私l - n ) 类似的原因，如自然作用到v * a ， 从而7 r 包含如的一个不可约表示a ，它在峭v j 的限制包含妒8 ，从而 根据上面的定理1 4 ，这个限制是锄的一个m u l t i p l e 这就是说，r 包含尖 性t y p e 偿，如，a ) ，这就证明了丌皇丌a 是一个尖性表示( f r o b e n i u s 互反律， s c h u r 引理) 口 l ( x 7 r ) 对所有f 的特征标x 成立的情况e x h a u s t i o n 定理及其证明告诉 t y p e s ，满足7 r = l r a l = 7 r a 2 这样，a 1l 魄l 与a 2i 是i n t e r t w i n e 的分 别共轭以后，我们将表示凡i 变成表示p i ，p i 是k = g l ( 3 ，0 ) 的一个不 的p l 与p 2 是i n t e r t w i n e 的我们要去证明历竺历假设g gi n t e r t w i n e ，矿0o 、 g = u a 6 ok1 0 60iz k ， 0 0 l ，霄口0o 、 这里k = g l ( 3 ，o ) ，z 是g 的中心所以，我们可以假设9 = 1 0刃b0i ， 0 0 l 对某两个整数n ，b ，口b 0 若n = 0 ，g = 1 ，这就是我们需要的若 肺= c 9 在这个群上，表示理是平凡的这样就推出p l 包含n o 的平凡特征，但这与 厦是尖性表示矛盾若n 1 ，n = b ，故b 1 类似的，群g i f - ) k 包含下面 1 2 则7 r 1 竺7 r 2 e ( x 7 r i ，s ，妒) = e ( x 丌2 ，8 ，妒) ，( 2 1 ) 注2 1 这个结果出现在【1 2 】中我们希望可以通过下面的定理2 4 给出上 面经典结果的一个局部证明 注2 2 定理2 1 中出现的e 因子即是g o d e m e n t j a c q u e tl o c a lc o n s t a n t 。 这方面的基本文献是【1 2 】，而我们主要参考的是文献【l 】1 第六章的论述 定理2 2 ( s t a b i l i t y 定理) 假设7 r 是g 的一个不可约尖性表示，x 是f 的 一个特征，l e v e l 为m ，满足m 2 1 ( 7 r ) 假设p 是f 的一个特征标，p 1 假设c f 满足x ( 1 + z ) = p ( 凹) ，z p i m 2 】“则有： ( x 7 r ，s ，p ) = ( c ) 一1 占( xod e t ，s ，p ) 。( 2 2 ) 我们首先陈述b u s h n e l l 的一个定理，它将l o c a lc o n s t a n t 用一个非交换 的高斯和表出 定理2 3 ( b u s h n e l l ) 假设( 7 r ，v ) 是g 的一个不可约尖性表示，妒是f 的一 个l e v e l1 的特征假设( 疆，三) 是7 r 中的一个尖性i n d u c i n gd a t u m 假设n 是三的l e v e l ，从而f ( 7 r ) = n 镪，我们记够= r a d 疆，则我们有 (丌，s，妒)=(g：q3n)(12一s)3赫=口3“7r)(一8) 1 3 f ( 三，砂) ( q ：币n + 1 ) 1 2 ( 2 3 ) 2 1b u s h n e l l 的定理与稳定性定理 而我们需要的是下面的l o c a lc o n s t a n te ( 7 r ，s ，妒) 的积分公式： 如s 州i 虻= 黼上咱t 差州i i d 酬2 。8 氘( 2 4 ) 我们现在回忆上面公式中非交换高斯和r ( 一，妒) 的定义假设三的 表示空间为w ，我们可以定义一个元素，它属于e n d f ( w ) ：丁( 一，妒) = 三( ) 纵( 凹) ，这里c 玩满足穰= 帮一，从而r c - ，砂) 是 x e u | ! n 垤+ 1 满足下面等式的唯一复数： 丁( 三，妒) = r ( 三，妒) 1 v ， 对上式两边取迹，我们得到 r ( 巨，妒) = 志l t 匹v ( c z ) 儿( 凹) ( 2 5 ) x e u 盘l 叼” 我们现在给出高斯和的另外一个公式，它用尖性t y p e 写出根据【3 】6 1 1 ， 我们有如下的： r ( a ，妒) = c ： t r a v ( p z ) 妒a ( 芦b ) ，( 2 6 ) 霉谐n + 1 ) 2 1 沿2 l + 1 这里a c c ( g l ，p ) ( 这里我们延用了f 3 】中的记号) ，而c 等于娅竺塞笋 我们自然可以直接的从( 2 5 ) 得到( 2 6 ) ，如【1 1 2 5 5 那样利用c u s p i d a lt y p e 和c u s p i d a ld a t u m 之间的关系注意到丁( a ，妒) = 7 - ( 三，妒) 现在我们重新定义一种三角和，利用它我们给出l o c a lc o n s t a n te ( xo d e t ，s ，妒) 的另外一种定义 假设疆是一个c h a i no r d e r ，秘= t a dq 【，e = e 嘎假设x 是f 的一个特 征，满足l e v e l2 1 当我们将x od e t 看作 国的表示时，它的l e v e l 则为e f 我们可以定义一个高斯和： 傀( x ，砂) =：；2 ( d e t c x ) 妒a ( c x ) 善啦睹+ 1 这里c 是f 中任一满足c o = p l 的元素我们可以将这个高斯和简化为： 引理2 1 设妒是f 的l e v e l1 的加法特征假设c f 满足x ( 1 + z ) = 妒( 凹) ，z p l l 2 + 1 则x od e t i 啮2 】+ 1 = 妒。并且 他( x ，妒) = ( 2 【：秘【( e l + 1 ) 周) 爻( d e t c y ) 妒a ( 咧) ( 2 7 ) 这里y 历遍哨8 h 1 ) 周啮。2 + 1 1 4 行直接计算例如，当e 疆= 3 ，我们有下面的 赢精= ( 耩镐) 3 但当叼= i 时，z 为奇数和l 为偶数时有一些区别( 我们记住这里l 为x 的 l e v e l ) ，我们写下下面的结果： ：塑! 善娑! 鬲霄：( 乐船巍1 3 ， 若2 是奇数， ( 2 9 ) 甭f 虿而面7 可一1 ( i 船铬) 3 ，若z 是偶数 u 搿 无论那种情况，我们都可以统一的写为公式( 2 8 ) ( 2 9 ) 的证明作为一个例子，我们现在给出( 2 9 ) 较为详细的证明当z 为 奇数时，故z 1 ，根据【1 4 】中7 ( x ，妒) 的简化公式，以及上面的( 2 7 ) ，我们 便知( 2 9 ) 中两边的高斯和都只有一项，取y = 1 ，c = 1 ，则( 2 9 ) 直接可得 当f 为偶数时，基本的思路是把对矩阵求和转化为对矩阵每个位置的元素求 和在最后一步需要知道下面的等式成立： 妒( u 口6 ) = 口， ( 2 1 0 ) 口，b e o p 这里妒如前面引理2 1 ，u 是f 中任一单位具体细节如下：设z = 2 m ，下 面利用( 2 7 ) 中的记号与结果在左边的高斯和中，对耖= 1 + 矿( o 巧) 叼嘲+ 1 求和，作一变形得到 d e t y = h 1 t 3 ( 1 + 四m a i i ) 一石7 2 m ( a 1 3 a 3 1 + a 1 2 g 2 1 + a 2 3 a 3 2 ) + 留3 m 口 = 兀l i 2 f ( 7 r ) ， a 在峭。m + 1 ) 2 】上是平凡的，所以我们有x od e t a i 略m + 1 ) 2 】= xo d e t i 谜8 m + 1 ) 2 】，而我们有xod e t l 岵m 】2 + 1 ：p 。这就是说( 疆，e m ，c ) 是出 现在尖性t y p e ( 纽，zx a ) 里的一个s i m p l es t r a t u m ，即x a 叱协，c ) 根据 1 6 结果的证明 =