（应用数学专业论文）banach空间和orlicz空间的若干几何性质.pdf

砼 j 0 “ 圣。； ， 。1 i。趣o。蠢， 。 ， ，! 一 一 ， ， ：f ： 独创性声 i i l ll li iii lr f i i ii i iiil y 18 0 6 0 5 1 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：日期：丝z 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘， 允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学 位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名罐 指导教师签 日 期：乙缁4 ：日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： ， t 、取 一哆，嚏 卜 f 。 只 一 户 ， 。0 i j i l i ， 摘要 本文主要对b a n a c h 空间和一类特殊的b a n a c h 空间o r l i c z 空间的一些 几何性质进行了研究全文共分六章，主要工作总结如下： 第一章是绪论，介绍了b a n a c h 空间和o r l i c z 空间理论的发展历史、背景，给 出了本文研究的主要内容 第二章研究b a n a c h 空间的七可凹性作为可凹性概念的推广，在b a n a c h 空 间中引入了一些七可凹性的概念，讨论了各种七可凹性的性质，并且利用它们描 述了一些具有某种七凸性的b a n a c h 空间的特征另外，我们还说明了如可凹性 蕴含僻+ 1 ) 一可凹性，但反过来不一定成立 第三章研究b a n a c h 空间的紧强凸性质和弱紧强凸性质我们首先在b a n a c h 空间中引入了紧强凸和弱紧强凸性的概念，它们分别是强凸和弱强凸性的推广 然后讨论了紧强凸和弱紧强凸性质与其它一些几何性质之间的关系，同时证明了 紧强凸性质与s 性质具有对偶性质，弱紧强凸性质与w s 性质相对偶最后在一 类具体的b a n a c h 空间赋o r l i c z 范数的o r l i c z 序列空间z 巴中给出了紧强凸 性质和弱紧强凸性质的具体刻画 第四章研究了赋p a m e m i y a 范数的o r l i c z 空间的励和峨性质我们证明 了对于无原子的无限测度，空间( 妇，i l j l ，p ) 中的玩性质和性质不是相同 的，更具体地说就是若生成函数m 只在零点取零值，则性质竭和凰是相同的， 都等价于m a 2 且m 是有限值的；若m 不只在零点取零值，则性质岛和乓是 不同的对于切的由序连续的元素所构成的子空间e m ，我们也证明了类似的结 果 第五章讨论了m u s i e l a k o r l i c z 序列空间的s 性质在本章中。我们给出了 m u s i e l a k o d i c z 序列空间中s 点的判别条件，在此基础上给出了这些空间具有s 性质的充分必要条件，完善与推广了对s 性质的讨论 第六章讨论了赋o r l i c z 范数m u s i e l a k o r l i c z 序列空间的几类点态几何性质 端点、强u 点、局部一致凸点和弱局部一致凸点是b a n a c h 空间几何中具有广泛 应用的基本概念在经典o r l i c z 空间中：这些点态性质的判据已经获得然而，由 于m u s i e l a k o r l i c z 序列空间的复杂性，在这类空间中上述那些点态性质的判别条 件一直没有得到在本章第一节中我们给出了赋o r l i c z 范数的m u s i e l a k o r l i c z 序 列空间的端点和强u 点的判别准则，作为推论给出这些空间是严格凸的充分必 要条件，并且我们还列举一个例子说明在上述这些空间中强u 点一定比端点强 在第二节中我们给出了局部一致凸点和弱局部一致凸点的判据，并依此得到整个 空间是局部一致凸和弱局部一致凸的等价描述，从而解决了以前没有解决的问题 关键词：b a n a c h 空间；o r l i c z 空间；七可凹性；( 弱) 紧强凸性；端点；强u 点；s 性质；( 弱) 局部一致凸点；竭性质；性质 p 。 ， i 一 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nm a i n l yf o c u s e so ns o m eg e o m e t r i cp r o p e r t i e so fb a n a c hs p a c e s a n dt h ep a r t i c u l a rb a n a c hs p a c e s o r l i c zs p a c e s t h ed i s s e r t a t i o nc o n s i s t so fs i x c h a p t e r sa n dt h em a i nr e s u l t so ft h i st h e s i sa r es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c et h ed e v e l o p i n gh i s t o r ya n d b a c k g r o u n do ft h et h e o d e so fb a n a c hs p a c e sa n do r l i c zs p a c e s ，a n ds h o wt h em a i nc o n t e n t so ft h i st h e s i s i nc h a p t e rt w ow es t u d yt h ek - d e n t a b i l i t yo fb a n a c hs p a c e s a sa g e n e r a l i z a t i o n o ft h en o t i o no fd e n t a b i l i t y , w ei n t r o d u c es o m ed e f i n i t i o n so fk - d e n t a b i l i t yi nb a n a c h s p a c e s a l s o ，w ed i s c u s st h ep r o p e r t i e so fv a r i o u sk - d e n t a b i l i t y , a n dd e s c r i b et h ec h a r - a c t e r i z a t i o no fb a n a c hs p a c e st h a th a v ec e r t a i nk - c o n v e x i t yb yu s i n gt h ea b o v en o t i o n s i na d d i t i o n ，w ea l s os h o w st h a tk - d e n t a b i l i t yi m p l i e s ( 忌+ 1 ) 一d e n t a b i l i t y ，b u ti t s c o n v e r s ei sn o tn e c e s s a r i l yt r u e i nc h a p t e rt h r e ew ec o n s i d e rc o m p a c t l ys t r o n g l yc o n v e xp r o p e r t ya n dw e a k l y c o m p a c t l ys t r o n g l yc o n v e xp r o p e r t yo fb a n a c hs p a c e s w ef i r s ti n t r o d u c et h ec o n c e p - t i o n so fc o m p a c t l ys t r o n gc o n v e x i t ya n dw e a k l yc o m p a c t l ys t r o n gc o n v e x i t yi nb a - n a c hs p a c e s ，t h e ya r et h eg e n e r a l i z a t i o n so ft h en o t i o n so fs t r o n gc o n v e x i t ya n dw e a k l y s t r o n gc o n v e x i t y t h e nw ei n v e s t i g a t et h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nc o m p a c t l ys t r o n g l y c o n v e xa n dw e a k l yc o m p a c t l ys t r o n g l yc o n v e xp r o p e r t i e sa n ds o m eo t h e rg e o m e t r i c p r o p e r t i e s ，a n dp r o v et h a tt h ec o m p a c t l ys t r o n g l yc o n v e xp r o p e r t yi st h ed u a lp r o p e r t y o fsp r o p e r t ya n dt h ew e a k l yc o m p a c t l ys t r o n g l yc o n v e xp r o p e r t yi sd u a lt ow s p r o p - e r t y f i n a l l y , i nas p e c i a lk i n do fb a n a c hs p a c e _ o r l i c zs e q u e n c es p a c e se q u i p p e d w i t ht h eo r l i c zn o r m 曙，w ep r e s e n tt h ec o n c r e t e l yd e p i c t i o no fc o m p a c t l ys t r o n g l y c o n v e xp r o p e r t ya n dw e a k l yc o m p a c t l ys t r o n g l yc o n v e xp r o p e r t y i nc h a p t e rf o u rw ed i s c u s st h ep r o p e r t i e so fh la n d h gi no r l i c zs p a c e se q u i p p e d w i t ht h ep a m e m i y an o r m w ep r o v et h a ti nt h ec a s eo fan o n a t o m i ci n f i n i t em e a s u r e s p a c e ，p r o p e r t i e sh a n d f o r ( 如，l 肘，p ) d on o tc o i n c i d e m o r es p e c i f i c a l l y , w e p r o v et h a ti ft h eg e n e r a t i n gf u n c t i o nm v a n i s h e so n l ya tz e r o ，t h e np r o p e r t i e s - ia n d 日gc o i n c i d ea n dt h e ya l ee q u i v a l e n tt om a 2a n dm i sf i n i t e l yv a l u e d ；i fmv a n i s h e s i i i ，o， o u t s i d ez e r o ，t h e np r o p e r t i e sh la n dh gd i f f e r a n a l o g o u sr e s u l t sa l ea l s oj p r o v e df o r t h es u b s p a c ee mo fo r d e rc o n t i n u o u se l e m e n t so ft h es p a c el m i nc h a p t e rf i v ew e i n v e s t i g a t et h esp r o p e r t yo fm u s i e l a k o r l i c zs e q u e n c es p a c e s i nt h i sc h a p t e r , w eg i v et h ec r i t e r i af o rsp o i n t si nm u s i e l a k - o r l i c zs e q u e n c es p a c e s a n db a s i n go nt h o s ec r i t e r i a ，w ep r o v i d et h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rs p r o p e r t yf o rt h o s es p a c e s ，i m p r o v i n ga n de x t e n d i n gt h ed i s c u s s i o na b o u tsp r o p e r t y i nc h a p t e rs i xw ea r ec o n c e r n e dw i t hs e v e r a lk i n d so fp o i n t w i s ep r o p e r t i e si n m u s i e l a k o r l i c zs e q u e n c es p a c e se q u i p p e dw i t ht h eo r l i c zn o r m e x t r e m ep o i n t s 、s t r - o n gup o i n t s 、l o c a l l yu n i f o r m l yr o t u n dp o i n t sa n dw e a k l yl o c a l l yu n i f o r m l yr o t u n d p o i n t sa l eb a s i 6f i o t i o n si nt h eg e o m e t r yo fb a n a c hs p a c e sa n dt h e yh a v ee x t e n s i v e a p p l i c a t i o n i nc l a s s i c a lo r l i c zs p a c e s ，t h ec r i t e r i af o rt h e s ep o i n t w i s ep r o p e r t i e sh a v e b e e no b t a i n e d h o w e v e lb e c a u s eo ft h ec o m p l i c a t e ds t r u c t u r eo ft h em u s i e l a k - o r l i c z s e q u e n c es p a c e s ，c r i t e r i af o rt h o s ep o i n t w i s ep r o p e r t i e sm e n t i o n e d a b o v eh a v en o tb e e n f o u n di nt h i sc l a s so fs p a c e s i nt h ef i r s ts e c t i o no ft h i sc h a p t e r , w ep r e s e n tt h ec r i t e r i a f o re x t r e m ep o i n t sa n d s t r o n gup o i n t si nm u s i e l a k - o r l i c zs e q u e n c es p a c e se q u i p p e d w i t ht h eo r l i c zn o r m m e a n w h i l ew eg e tt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h a t t h e s es p a c e sm e n t i o n e da b o v ea l er o t u n da sc o r o l l a r i e s ，a n dw ea l s og i v eae x a m p l e t oi l l u s t r a t et h a ts t r o n gu p o i n t sa l ee s s e n t i a l l ys t r o n g e rt h a ne x t r e m ep o i n t si nt h e s e s p a c e s i nt h es e c o n ds e c t i o n ，w eg i v ea c r i t e r i o nf o rl o c a l l yu n i f o r m l yr o t u n dp o i n t s a n d w e a k l yl o c a l l yu n i f o r m l yr o t u n dp o i n t s ，i nc o n s e q u e n c e t og e tt h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o nt h a tt h o s es p a c e sa l el o c a l l yu n i f o r m l yr o t u n da n dw e a k l yl o c a l l yu n i f o r m l y r o t u n d ，t h e r e b yw es o l v et h ep r o b l e mw h i c h h a sn o tb e e ns o l v e db e f o r e k e yw o r d s ：b a n a c hs p a c e ；o r l i c zs p a c e ；k - d e n t a b i l i t y ；( w e a k l y ) c o m p a c t l ys t r o n g c o n v e x i t y ；e x t r e m ep o i n t ；s t r o n gup o i n t s ；sp r o p e r t y ；( w e a k l y ) l o c a l l yu n i f o r m l yr o - t u n dp o i n t s ；h p r o p e r t y ；h gp r o p e r t y i v - f u i 目录 中文摘要i 英文摘要1 第一章绪论 1 1 1b a n a c h 空间理论的发展概况 1 1 2o r l i c z 空间理论的发展概况4 1 3 本文的研究内容与结构 7 第二章b a n a c h 空间的k 可凹性1 1 2 1 预备知识1 1 2 2 主要结果：1 3 第三章b a n a c h 空间的( 弱) 紧强凸性及其在o r l i c z 空间中的刻画2 4 3 1 预备知识。2 4 3 2 关于b a n a c h 空间的( 弱) 紧强凸性的一些结果2 6 3 。3o r l i c z 空间t o 中的( 弱) 紧强凸性3 0 第四章赋p - a m e m i y a 范数的o r l i c z 空间的h i 性质和喽性质3 6 4 1 预备知识3 6 4 2 主要结果3 9 第五章m u s i e l a k o r l i c z 序列空间的s 性质4 7 5 1 预备知识4 7 5 2 赋l u x e m b u r g 范数的m u s i e l a k o r l i c z 序列空间的s 性质5 0 5 3 赋o r l i c z 范数的m u s i e l a k o d i c z 序列空间的s 性质6 0 第六章m u s i e l a k o r l i c z 序列空间的几类点态几何性质6 5 6 1 赋o d i c z 范数m u s i e l a k o r l i c z 序列空间的端点和强u 点6 5 6 2 赋o r l i c z 范数m u s i e l a k o r l i c z 序列空间的局部一致凸点和弱 局部一致凸点_ 7 9 结论9 1 参考文献9 3 在学期间公开发表( 投稿) 论文情况1 0 1 致谢1 0 2 -_l_lo_-_-_-_-_-_-_-。一一一 l-一。 东北师范大学博士学位论文 第一章绪论 b a n a c h 空间理论是泛函分析的基础，是数学研究中的主攻方向之一，它己被 成功地应用到了方程、控制论、逼近论、调和分析、鞅理论、预报算子等诸领域因 此，这一学科有着众多的研究领域及广泛的应用价值b a n a c h 空间理论的研究方 向主要有：b a n a c h 空间中的几何理论、结构理论、算子理论及一些特殊的b a n a c h 空间理论，如o r l i c z 空间、a s p l u n d 空间、g o w e r s m a u r e y 空间等，以及b a n a c h 空 间在逼近论、方程、不动点理论和变分问题等方面的应用本文主要关注b a n a c h 空间的几何理论和一个特殊的b a n a c h 空间o r l i c z 空间的几何性质因此，下 面对b a n a c h 空间和o d i c z 空间理论以及有关方面的发展概况，作一简要的回顾 1 1b a n a c h 空间理论的发展概况 自从1 9 3 2 年波兰著名数学家s b a n a c h 的著作 t h e o r i ed e so p e r a t i o n sl i n e a i r e s ) ) 出版以来，b a n a c h 空间即受到广泛的重现与研究，人们开始了对b a n a c h 空间理论的系统研究在随后的岁月里，b a n a c h 空间理论( 包括几何理论) 除了 个别突破之外进展是相当缓慢的以致长期以来，人们只知道有h i l b e r t 空间的几 何学而不知道有b a n a c h 空间的几何学这种情况直到上世纪六十年代，才开始有 了显著的改变六十年代以后，b a n a c h 空间理论及其应用发展迅速，成为数学研 究的一个热门问题，在国内外出现了一些令人瞩目的成就例如，ee n f l o 在1 9 7 3 年证明了存在可分的b a n a c h 空间但不具有s c h a u d e r 基，从而对b a n a c h 的古典 问题予以否定的回答有刻域自反b a n a c h 空间特征的j a m e s 定理，有描述线性 泛函状态的b i s h o p p h e l p s 定理，有用端点来表示紧凸集的k r e i n m i l m a n 定理等 等此外，人们根据其他数学学科的需要，从各个不同角度出发对b a n a c h 空间进 行了深入的研究，促使b a n a c h 空间理论( 包括它的几何理论) 的面貌日新月异地 变化 b a n a c h 空间的凸性与光滑性的研究是b a n a c h 空间几何理论中的重要研究 内容，它们在最佳逼近、不动点理论、非线性分析中都有重要的应用在b a n a c h 东北师范大学博士学位论文 空间中，凸性具有非常鲜明的直观意义，所以凸性的研究吸引了众多数学工作者 的兴趣b a n a c h 空间的凸性研究，最早是由j a c l a r k s o n 1 】在1 9 3 6 年讨论向量 测度的r a d o n n i k o d y m 定理开始的，他首先引入了一致凸b a n a c h 空间的概念， 并证明了如h i l b e r t 空间一样，取值于一致凸b a n a c h 空间的向量测度的r a d o n n i k o d y m 定理同样成立，这一新空间的引入以及对它的研究开创了b a n a c h 空间 几何理论研究的先河一致凸空间是目前知道的“最强凸性”的b , a n a c h 空间，并 且是目前知道的在几何性质方面“弱”于h i l b e r t 空间的“最强”空间然而，我 们应该看到在许多情况下一致凸的假设是不自然的，因为有时我们仅仅需要更 弱的凸性就可以了，于是人们对一致凸空间进行了推广，七一致凸空间就是其中 的一种1 9 7 9 年，es u l l i v a n 2 1 引入了七一致凸空间( k = 1 时为一致凸空间) 的 概念，由此得到了一大类非一致凸但是超自反的b a n a c h 空间随后俞鑫泰等对 这类空间进行了研究，并得到了一些重要的结果1 3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 91 0 1 尔后，人们根据 各种不同的需要又引入并讨论了其它各种凸性，弱一致凸，局部一致凸，局部七一 致凸，弱局部一致凸，中点局部一致凸，各向局部一致凸，严格凸，近严格凸，七一严 格凸，完全七凸，强凸，七强凸，p 凸，b 凸等等就是其中的一些，它们在最佳逼 近及不动点理论中有着重要的应用更多的关于b a n a c h 空间凸性的研究可以参 考【l l ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 0 1 在b a n a c h 空间几何研究( 特别是凸性与光滑性的研究) 中，相互共轭关系的 研究占据着重要地位因此，一旦给定某种凸性c ( 或光滑性s ) ，并且凸性c ( 或光 滑性s ) 被广泛研究时，合理引进并研究凸性c ( 或光滑性s ) 的对偶概念某种 光滑性( 或凸性) 显得尤为重要光滑性，一方面作为凸性的对偶性质而提出；另 一方面，它与范数作为一种特殊的凸函数的各种可微性有密切联系，因此也 得到了深入的研究从光滑性而言，强光滑空间是目前所知道的仅次于一致光滑 空间的具有良好性质的b a n a c h 空间1 9 8 7 年南朝勋和王建华【2 1 】对强光滑空间进 行了推广，引入了七强光滑空间( k = 1 时为强光滑空间) 的定义，并且讨论了这类 空间的一些性质苏雅拉图和吴从忻于1 9 9 8 年给出了七强光滑空间的对偶概 念一强凸空间1 9 7 5 年b b p a n d a 和o p k a p p o r 2 3 】引入了s 性质的定义， s 性质是强光滑概念的推广自s 性质被提出以来，许多数学工作者对具有s 性 2 一t、 j 东北师范大学博士学位论文 质的空间进行了大量的研究，得到了很多令人鼓舞的结果但是s 性质的对偶概 念某种凸性概念没能及时地给出后来，王建华和南朝勋【2 4 】又对s 性质进行 了推广，引入了w s 性质的定义，并且得到了一些重要的结果，然而对它的对偶概 念也没有讨论作为一种光滑性，研究s 性质( w s 性质) 在b a n a c h 空间中的具体 刻画，而且合理引进并研究它的对偶概念某种凸性是很有意义的一项工作 1 9 6 6 年，m a r i e f f e l 2 5 】引入了可凹集概念，他证明了b a n a c h 空间x 具有 r a d o n n i k o d y m 性质的充分必要条件是x 中的每一个有界集均是可凹集，从而将 b a n a c h 空间的几何性质和r a d o n n i k o d y m 性质紧密联系在一起m a r i e f f e l 的 这项开创性的工作使b a n a c h 空间几何理论研究呈现出一派生机勃勃的景象，产 生了一系列有深刻理论价值的成果，也使人们对b a n a c h 空间的几何结构有了更 深层的理解另外，在b a n a c h 空间中可凹性与凸性是密切相关的例如，若肜是 b a n a c h 空间x 中的一个紧凸集，则一个点j k 是足的一个端点的充分必要条 件是x 是k 的一个可凹点1 9 9 3 年，吴从忻和黎永锦【2 6 】引入了强凸的b a n a c h 空 间并且证明了若x 是自反的b a n a c h 空间，则x 是强凸的充分必要条件是单位球 面s ( x ) 上的每一点均是闭单位球u ( x ) 的可凹点，这个定理是揭示凸性和可凹 性之间联系的一个重要的结果后来，作为强凸概念的推广，七强凸的b a n a c h 空 间( k = l 时为强凸的b a n a c h 空间) 被苏雅拉图和吴从戈斤【2 2 在1 9 9 8 年定义了他 们对这类空间进行了详细的讨论，得到了这类空间的很多重要性质，但未能给出 像【2 6 】中那样的揭示凸性和可凹性之间联系的结果1 9 6 0 年，i s i n g e r 2 7 】为了研 究最佳逼近问题，把b a n a c h 空间的严格凸性推广为七严格凸性( k = l 时为严格 凸性) ，得到了这类空间的很多好的性质，但他也不知道七严格凸与可凹性之间 有什么样的联系为了弥补可凹性研究中的上述不足，我们围绕上面的问题展开 研究首先引入一些足可凹性的概念，详细地讨论这些七可凹性的一些性质，给 出了揭示凸性和可凹性之间联系的一些结论，从而对上面提出的问题给出了较为 满意的解决 在研究抽象b a n a c h 空间理论的同时，人们对各种具体的b a n a c h 空间产生了 浓厚的兴趣例如，j l i n d e n s t r a u s s 和l t z a f r i r i 2 8 ，2 9 】就对各种经典b a n a c h 空间 ( 例如，c o ，p ( 1 p ) ，c o ，l 】，l p ( 1 p ) ) 的理论进行了深入的探讨，取 3 ， 东北师范大学博士学位论文 得了丰硕的成果由于经典b a n a c h 空间0 ，知( 1 p ) 在其它学科中的广泛 应用，因此对岛，p ( 1 p ) 空间的推广o d i c z 空间的研究得到了许多数 学工作者的关注下面就o r l i c z 空间理论的发展状况作一简要概述 51 2o r l i c z 空间理论的发展概况 o f l i c z 空间理论是b a n a c h 空间理论的一个重要分支它深入、细致地研究了 一类比熟知的l p ( 或z p ) 空间更为广泛的函数空间( 或序列空间) 这一分支学科 既为一般的b a n a c h 空间提供了直观的背景材料，又在许多领域中得到直接应用 对o r l i c z 空间的研究可以追溯到上个世纪三十年代1 9 3 2 年波兰著名数学 大师w ：o r l i c z 3 0 利用n 函数引进了以他的名字命名的o r l i c z 空间，对假设生成 函数m a 2 的o r l i c z 空间妇进行了讨论1 9 3 6 年，在没有m a 2 这一假设 条件的限制下，w o r l i c z 3 1 】进一步研究了o r l i c z 空间，给出了该空间中o r l i c z 范 数的定义后来，h n a k a n o z a i 3 2 在1 9 5 0 年和w a l u x e m b u r g 3 3 在1 9 5 5 年为 o r l i c z 空间引入与o r l i c z 范数等价的l u x e m b u r g 范数，并对o r l i c z 空间的性质 进行了深入的讨论，这对o r l i c z 空间理论的研究起到了极大的推动作用五十年 代末，j g r i b a n o v 等人开始考虑o r l i c z 序列空间k ，讨论了该类空间的一些基本 性质，从此形成了o r l i c z 函数空间与序列空间研究齐行并进的局面1 9 5 8 年，m a k r a s n o s e l s k i i 和y a b r u t i c k i i 总结了先前的，特别是他们本人的工作出版了 关于o r l i c z 空间理论的第一本专著凸函数与o r l i c z 空间酬，这一专著的问世 标志着o r l i c z 空间理论已基本形成在那以后的二十多年里，o r l i c z 空间理论继 续得到发展，国内外数学工作者对o r l i c z 空间的研究做了大量的工作，取得了许 多出色的成果例如，以w o r l i c z 本人和j m u s i e l a k 为代表的波兰数学工作者进 一步研究了模空间的一般理论以及o r l i c z 空间的几何结构；t a n d o 【3 5 l 和m m r a o 3 7 j 分别对o r l i c z 空间上的有界线性泛函进行了讨论；v f g a p o s k i n 3 8 ，3 引， j l i n d e n s t r a u s s 和l t z a f r i r i 4 0 ，4 1 ，4 2 对o r l i c z 空间的基和同构问题进行了深入的 研究；丁夏畦【4 3 】和n s t r u d i n g e r 4 4 则从不同角度推广了s o b o l e v 嵌入定理，将 o r l i c z 空间理论应用于偏微分方程：以吴从戈斤，王廷辅等为代表的中国数学工作者 也对o r l i c z 空间的各种拓扑和几何结构进行了系统的研究【4 5 ，删此外，瑞典的l 4 c 、 东北师范大学博士学位论文 m a l i g r a n d a 还讨论了o r l i c z 空间上的差值理论八十年代中期以后，中国的哈尔 滨成为o r l i c z 空间理论的研究中心之一特别是吴从j 圻，王廷辅的( ( o f l i c z 空间及 应用 4 7 】，吴从圻，王廷辅，陈述涛和王玉文的( ( o r l i c z 空间几何理论【4 8 】，以及陈 述涛的( ( g e o m e t r yo f o r l i c zs p a c e s ) ) 这三部专著的出版，极大地丰富了o r l i c z 空间理论特别是o r l i c z 空间的几何理论，使o r l i c z 空间理论展示出其独特的风 彩，使之更加完善，更加系统化，并且更加明确的显示了o r l i c z 空间在其它领域中 的实用性，从而把o r l i c z 空间理论的研究推向一个崭新的阶段 点态几何性质是对整个空间几何性质的细化定性地刻画b a n a c h 空间单位 球面的点态几何性质除使我们从微观上更细致，更深入的认识b a n a c h 空间的一 些几何性质外，还能使我们更全面，更确切地比较b a n a c h 空间几何宏观与微观 的内在联系和区别将b a n a c h 空间几何性质点态化是o r l i c z 空间几何理论研究 中具有开拓意义的一项工作有关点态性质的研究，至今已有大批出色的成果 o r l i c z 空间端点判据己由f 4 9 1 给出王廷辅，郝翠霞，李民丽【5 0 】讨论了o r l i c z 空 间的w m 点陈述涛 5 1 】，王保祥和张云峰【5 2 】把光滑点的特征刻划的淋漓尽致：强 u 点和紧局部一致凸点的判别条件已由崔云安，孟晨晖等【5 3 ，驯找到暴露点和强 暴露点的判据已由f 5 5 和 5 6 】给出一致凸点，弱4 一致凸点的结果为王廷辅，王 全迪【5 7 ，5 8 】获得困扰人们多年的稳定点已由孙慧颖和陈述涛【5 9 找到其判别准则 日点在文献【6 0 ，6 l ，6 2 】中有所讨论另外，关于强端点、s 点、非方点、u 点、b 点及单调点等这些点态性质也有大量成果 自从o r l i c z 空间引进以来，在几代数学工作者的不懈努力下，o r l i c z 空间理 论取得了长足的发展，其内容日益完善，同时得到不断推广和深化，导致各种广义 o r l i c z 空间相继出现同时，它与积分方程相联系，并成功地应用于实函数论、偏 微分方程、概率论、复变函数、函数逼近论和控制论等众多学科【6 3 ，6 4 ，6 5 根据各种不同理论和应用的需要，人们对o r l i c z 空间进行了推广，引入了各 种不同形式的广义o d i c z 空间m u s i e l a k o r l i c z 空间就是经典o r l i c z 空间的推 广，在经典的b a n a c h 空间理论及应用的研究中起着重要的作用由于m u s i e l a k o r l i c z 空间生成函数变化多端，所以空间的性质也就千姿百态，性格迥异通过 m u s i e l a k o d i c z 生成函数的变化，它几乎涵盖了所有的经典b a n a c h 空间( 如如， 5 东北师范大学博士学位论文 知( 1 p ) 及c o 等) 因此，对这类空间进行研究，将为邵，易( 1 p ) 及c o 等经典空间作为整体加以讨论提供了统一的方法和技巧另外，m u s i e l a k - o r l i c z 空间作为一类具体的b a n a c h 空间，它的各种性质及其判据都是一般b a n a c h 空间 的直观材料，为b a n a c h 空间理论的应用准备了巨大丰富的模型库，而且也为一般 b a n a c h 空间理论的研究提供了思路和反例因此，对m u s i e l a k - o r l i c z 空间的几何 性质作更深入、更精细的了解，寻找各种几何性质的简明判据及其间的内在联系 就成为o r l i c z 空间几何理论发展过程中的又一个新的研究课题 随着经典o r l i c z 空间理论研究的日益完善，推广的m u s i e l a k o r l i c z 空间的 研究也渐趋成熟自上世纪八十年代起，关于m u s i e l a k o r l i c z 空间的研究一直持 续至今，在国外对它的研究已有不少例如，a k a m i f i s k a 于8 0 年代就完成了关 于m u s i e l a k o r l i c z 空间的三篇长文6 7 ，6 引，讨论了该空间的严格凸和一致凸；波 兰的数学家h h u d z i k 也对这类空间进行了讨论，取得了一些结果 6 9 ，7 0 ，7 1 | 同时， 我国泛函工作者对m u s i e l a k o r l i c z 空间的研究也取得了许多成绩1 9 9 1 年，吴丛 折和孙慧颖【7 2 】获得m u s i e l a k o r l i c z 序列空间中o r l i c z 范数的计算公式叶以宁 等 7 3 7 卅讨论了赋l u x e m b u r g 范数的m u s i e l a k o d i c z 序列空间的支撑泛函、光滑 性和p 凸性曹连英和王廷辅【7 5 】于2 0 0 0 年讨论了m u s i e l a k o r l i c z 空间足( z ) o 的问题在此基础上，王廷辅等在文献【7 6 】和【7 7 】中给出了m u s i e l a k o r l i c z 序列 空间中光滑点和强光滑点的判别准则崔云安在 7 8 】中给出了赋o d i c z 范数的 m u s i e l a k o r l i c z 序列空间是中点局部一致凸的充分必要条件另外文献f 7 9 ，8 0 1 对m u s i e l