（应用数学专业论文）广义系统与滤波算法的理论和应用研究.pdf

摘要 目前关于广义系统的研究，几乎都集中在系统是线性的，奇异矩阵是方阵 且分解式是标准分解的情形，本文首次提出了带状广义系统和广义微分对策的 概念，利用矩阵的奇异值分解理论，讨论了线性、非线性广义系统，利用广义 系统的奇异值标准形式，研究了 广义系统的状态反馈和极点配置问 题、随机非 线性系统和广义随机非线性系统的最优递推问题、 广义随机系统的状态估计问 题、多人随机微分对策问 题、广义微分对策问 题等。 基于两指标教理论，定义 了两指标鞍意义下的两指标滤波， 研究了两指标滤波及其近似问题。主要结果 如下: 1 .由于研究广义系统的主要基础是矩阵的广义逆， 研究两指标滤波的重要工具 之一是两指标轶， 为此， 本文首先讨论了 矩阵广义逆和两指标教论的基本概 念和基本性质，得到了一些基本结果。 2 .分别就奇异矩阵是方形和带形两种情况， 利用矩阵的奇异值分解理论， 讨论 了广义系统的状态反馈和极点配置问题， 得到了广义系统极点配置的一种简 便易行的方法。 3 .提出了 一种广义随机非线性系统的最优滤波方程问 题， 得到了相关噪声下随 机非线性系统的k a l m a n 滤波器的一般递推关系式和相关噪声下广义随机非 线性系统的k a l m a n 滤波器的一般递推关系式。 4 .就奇异矩阵是方形还是带形、 系统是线性还是非线性、 系统是离散还是连续 的各种组合， 讨论了广义随机系统的状态估计问题， 得到了广义随机系统特 别是带状广义随机系统的最优一步预测方程和最优一步滤波递推方程。 5 .研究了多人随机微分对策问题， 提出了广义微分对策的概念， 得到了多人随 机微分对策的最优性条件和n a s h 平衡解， 得到了带状广义微分对策的n a s h 平衡解。 6 讨论了两指标滤波及其相关问 题， 提出了 两指标较下两指标滤波的概念， 得 到了 两指标滤波近似的几个结果， 为进一步研究两指标滤波， 还讨论了两指 标鞍理论，得到了两指标域流和两指标教的几个重要结果。 关键词:广义系统随机系统 奇异值分解微分对策 状态估计广义逆矩阵状态反馈极点配置 两指标滤波两指标教论 abs tract i n v i e w o f t h e p r e s e n t s it u a t i o n o f s t u d y o n t h e s i n g u l a r s y s t e m t h a t a l m o s t a l l d i s c u s s i o n s a r e c o n c e n t r a t e d o n t h e c as e s o f l i n e a r s i n g u l a r s y s t e m , s q u a r e s i n g u l a r m a t r i x a n d n o r m a l d e c o m p o s it i o n . t h e c o n c e p t s o f b a n d s i n g u l a r s y s t e m s a n d s i n g u l a r d i ff e r e n t i a l g a m e a r e f i r s t l y p r o p o s e d . t h e s i n g u l a r l in e a r s y s t e m s a n d t h e s i n g u l a r n o n l i n e a r s y s t e m s a r e d i s c u s s e d b y u s i n g t h e o r y o f s in g u l a r v a l u e d e c o m p o s i t i o n o f m a t r i x . u s i n g s in g u l a r v a l u e s t a n d a r d f o r m s o f s i n g u l a r s y s t e m s , t h e p r o b l e m o f t h e s t a t e f e e d b a c k a n d p o l e a s s i g n m e n t , t h e p r o b l e m s o f o p t i m a l r e c u r s i v e f o r s t o c h a s t i c n o n l i n e a r s y s t e m s a n d s in g u l a r s t o c h a s t i c n o n l in e a r s y s t e m s , t h e p r o b l e m o f t h e s t a t e e s t i m a t i o n f o r s i n g u l a r s t o c h a s t i c s y s t e m s , t h e p r o b l e m o f m a n y - p l a y e r s t o c h a s t i c d i ff e r e n t i a l g a m e a n d t h e p r o b l e m o f s i n g u l a r d i ff e r e n t i a l g a m e a r e s t u d i e d . b a s e o n t h e t w o - p a r a m e t e r m a r t i n g a l e t h e o r y , t h e d e f i n i t io n o f t w o - p a r a m e t e r f i lt e r i n g i s g i v e n a n d t w o - p a r a m e t e r f i l t e r i n g a n d i t s a p p r o x i m a t e c o m p e t i t i o n f o r m u l a a r e s t u d i e d . t h e m a i n r e s e a r c h w o r k a n d r e s u lt s a r e o b t a in e d a s f o l l o w s 1 . t h e b a s i c c o n c e p t s a n d p r o p e rt i e s o f g e n e r a l i z e d i n v e r s e m a t r i x a n d t w o - p a r a m e t e r m a r t i n g a l e s a r e d i s c u s s e d f i r s t l y a n d s o m e i m p o rt a n t r e s u l t s a r e o b t a i n e d b e c a u s e t h e g e n e r a l i z e d i n v e r s e m a t r i x i s a n i m p o rt a n t t o o l t o s t u d y s i n g u l a r s y s t e m s a n d t h e t w o - p a r a m e t e r m a rt in g a l e s a r e im p o rt a n t t o o l s t o s t u d y t h e t w o - p a r a m e t e r f i l t e r i n g . 2 . u s i n g t h e t h e o r y o f s i n g u l a r v a l u e d e c o m p o s i t i o n o f m a t r i x , t h e s t a t e f e e d b a c k a n d p o l e a s s i g n m e n t a r e d i s c u s s e d i n t h e t w o c a s e s o f s i n g u l a r m a t r i x i s s q u a r e a n d b a n d , r e s p e c t i v e l y . a s i m p le a n d e a s y m e t h o d a n d s t e p o f p o l e a s s i g n m e n t o f s i n g u l a r s y s t e m a r e o b t a i n e d . 3 . a n o p t i m a l r e c u r s i v e f i l t e r in g f o r s i n g u l a r s t o c h a s t i c n o n l i n e a r s y s t e m s i s p r o p o s e d . t h e g e n e r a l r e c u r s i v e e x p r e s s i o n s o f k a l m a n f i l t e r f o r s t o c h a s t i c n o n l i n e a r s y s t e m s w i t h n o n z e r o m e a n a n d c o r r e l a t e d w h i t e n o i s e a n d t h e g e n e r a l r e c u r s iv e e x p r e s s i o n s o f k a l m a n f i l t e r f o r s i n g u l a r s t o c h as t i c n o n l i n e a r s y s t e m s wi t h n o n z e r o me a n a n d c o r r e l a t e d w h i t e n o i s e a r e o b t a i n e d 4 . t h e s t a t e e s t i m a t i o n f o r s i n g u l a r s t o c h as t i c s y s t e m s i s d i s c u s s e d c o r r e s p o n d i n g s in g u l a r m a t r i x i s s q u a r e o r b a n d , t h e s y s t e m i s l i n e a r o r n o n l i n e a r a n d t h e s y s t e m i s d i s c r e t e o r c o n t i n u o u s . t h e o p t i m a l r e c u r s i v e e s t i m a t i o n f o r p r e d i c t i n g a n d f i l t e r i n g o f t h e s t a t e f o r s i n g u l a r s t o c h a s t ic s y s t e m i s o b t a in e d . 5 . a k i n d o f m a n y - p l a y e r s t o c h a s t i c d i ff e r e n t i a l g a m e p r o b l e m i s d i s c u s s e d . a c o n c e p t o f g e n e r a l i z e d d i ff e r e n t i a l g a m e i s p r o p o s e d . t h e o p t i m a l i t y c o n d i t i o n s a n d n a s h e q u i l i b r i u m s o l u t i o n o f m a n y - p l a y e r s t o c h a s t i c d i ff e r e n t i a l g a m e a n d n a s h e q u i l i b r i u m s o l u t i o n f o r s i n g u l a r d i ff e r e n t i a l g a m e a r e o b t a i n e d . 6 . t w o - p a r a m e t e r f i l t e r i n g a n d i t s r e l a t e d p r o b l e m s a r e d i s c u s s e d . t h e c o n c e p t o f t w o - p a r a m e t e r f i l t e r i n g b y t w o - p a r a m e t e r m a rt i n g a l e s i s p r o p o s e d . s o m e r e s u l t s f o r t w o - p a r a m e t e r f i l t e r i n g a p p r o x i m a t e p r o b l e m a n d f o r t w o - p a r a m e t e r f i e l d a n d f o r t w o - p a r a m e t e r m a rt i n g a l e s a r e o b t a i n e d . k e y w o r d s : s i n g u l a r s y s t e m s t a t e es t i ma t i o n s t a t e f e e d b a c k s i n g u l a r v a l u e d e c o m p o s i t i o n t w o - p a r a me t e r f i l t e r i n g s t o c h a s t i c s y s t e m ge n e r a l i z e d i n v e r s e ma t r i x p o l e a s s i g n m e n t di f f e r e n t i a l ga me t w o - p a r a m e t e r ma r t i n g a l e 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人己经发表或撰写过的研究成果;也不包含为获得西安电子科技大学或 其他教育机构的学位证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 本人签名:日期: 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定， 即: 学校有 权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文:学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以 允许采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密 后遵守此规定) 本人签名a毒 it日期: 导师签名 日 期 : 加， 碑 了 第一章绪论 第一章绪论 本章主要介绍广义系 统和微分对策的研究现状，两指标滤波的相关问 题即 两指标鞍的研究现状以及本文的结构安排. 1 . 1 广义系统的研究现状 广义系统的 研究， 始于h .h .r o s e n b r o c k l 1 ， 他是 在 讨论复杂电网 系 统时 提出 该问 题的 。 后 来 ， d .g l u e n b e r g e r z 1发 现 经 济 中 有 些问 题 属 于 此 范 畴， 他 称为 描 述变量系统。由于它不同于正常系统，虽然没有因果性，却由于其重要的实际 应用价值，引起了国内外许多学者的关注。1 9 7 8 年后，研究不断深入，表现为 有意义的工作大量涌现。本节主要介绍广义系统的实际背景和一些主要研究成 果。 1 . 1 . 1 广义系统的实际背景 下面以 几个例子3 1 来说明 广义系统的实际背景: 例 1 . 1 . 1 . 1 根据经济的需求平衡原理， 己知多部门的一步延滞的里昂捷夫 动态投入产出模型为 x ( k ) = a x ( k ) + b ( x ( k + 1 ) 一 x ( k ) ) + d ( k ) ( 1 . 1 . 1 . 1 ) 其 中a 一 a y 为 投 入 产出 矩阵 ， b 二 ( b , 为 投 入 系 数 矩 阵 ， x ( k ) e r 是k 时 的 产 量， d ( k ) 是 ( 不 包 含 积累 ) k 时 刻 的 最 终 产 品 量， 气 表 示 第1 部门 每 增 加 单 位产 量 第i 个部门的投资。 由 于在多部门的 经济系统中， 某一部门的增产并不需其它所 有部门的投资。另外从实际经济系统出 发，能 够给其它部门 提供投资的 部门 也 是少数， 因此在b中除少数行具有非负元外， 其它为零， 从而知b是降秩矩阵。 系统 ( 1 . 1 . 1 . 1 ) 是典型的广义离散系 统。 例 1 . 1 . 1 . 2 含管理在内的石油催化、裂化过程是非常复杂的。据美国 p r o f im a t c s 公司 称， 它已 实 现了 这一过 程的 建 模和 控 制， 且 成为p r o f i m a t i c s 公司 的专利，被世界上不少有关公司采用。其简化模型为 分 、 = a l l x l + a 12 x 2 + b , u + f i f ( 1 . 1 . 1 .2 ) 0 = a 2 , x , + a 2 2 x 2 + b 2 u + f 2 f ( 1 . 1 . 1 . 3 ) 2西安电子科技大学博士学位论文:广义系统与滤波算法的理论和应用研究 其中x , e r ， 为 被调 节量， 如再生 温度、 滑阀 位 置、 鼓风机能力 等:x , e r , 是 有影响过程、企业效益和反映企业管理政策中的一些量组成的n ， 维向量，如压 力、油浆回收率、重油回收率等:u e r 是调节量;f 是外干扰。 系统( 1 . 1 . 1 .2 ) 和 ( 1 . 1 . 1 .3 ) 是典型的 广义 连续系 统。 上述两个例子说明， 尽管描述的现象不同，即所描绘的实际背景不同，但 其共同特点是不属于正常系统，而是广义系统。 1 . 1 . 2 广义系统的 研究进展 1 . 1 . 2 . 1 广义系统的一般解问题 考虑广义系统 皿 二a x + b u y=c x ( 1 . 1 . 2 . 1 ) ( 1 . 1 . 2 . 2 ) 当r a n k e = 。 时， ( 1 . 1 .2 . 1 ) 和( 1 . 1 .2 .2 ) 是正常线性系统，当r a n k e = x , + b 2 , u( 1 . 1 . 2 . 1 0 ) n 2 2 x 2 2 = x 2 2 ( 1 . 1 . 2 . 1 1 ) y = c n x + c ,2 x , 2 + ci x 2 , + c 2 2 x 2 2 ( 1 . 1 .2 . 1 2 ) 其中( a , , b , ) , ( n u , b 2 , ) 为能 控对，n , n 2 2 是 幂零矩阵。 式 ( 1 . 1 .2 .8 卜 ( 1 . 1 .2 . 1 2 ) 称为广义系统( 1 . 1 . 2 . 1 ) 和( 1 . 1 .2 .2 ) 的 标准能 控分解。 则 ( i ) 对于任意形如( 1 . 1 .2 .7 ) 的状态反馈，闭环系统至少有。 一 r a n k e 个无穷极 占 . ( i i ) 存在ke r “ 使闭 环系统只 有。 一 r a n k e 个 无穷极点的 充要条件是广 义系 统( 1 . 1 .2 . 1 ) 和( 1 . 1 ,2 .2 ) 能控分解式中 n 2 2 = 0 , r a n k 卜 n从 2 卜r a n k n ,， 或n , 不 存 在 ; ( i i i ) 存在ke r 使闭 环系统的r a n k e 个有限 极点可任意配置的充要条件是 广义系 统 ( 1 . 1 .2 . 1 ) 和( 1 . 1 .2 .2 ) 为r 一 能 控且 标 准分 解式中 r a n k n n 12 1 = ra n k n ， n z z = 0 ， 或 n zz 不 存 在 。 1 . 1 . 2 . 4 广义系统的 最优控制问 题 定 理1 . 1 . 2 . 5 i2 设 广 义 系 统 ( 1 . 1 .2 .1 ) 和 ( 1 . 1 .2 .2 ) 是能 稳 并 且 是 脉 冲能 控的， 记o = c c ， 如果( e , a , c ) 是能 检 测的， 则最优调节 有唯 一 解， 且是状态反 馈 形式，最优闭环系统是渐进稳定的。 关于广义系统的其它方面，特别是广义随机系统的研究和结果，可参见有 关文献，如文献【 1 3 - 4 2 ) 0 1 .2微分 对策的 研究 现状 自 从1 9 5 6 年， i s a a c s 首先提出了 二人零和微分对策4 3 - 4 6 1 后， 该理论己 成功 的 应用到 控制领域中， 随 着研究的 不断深入， s t a n . h o , f l e m i n g , b a r a s m , 第一章绪论 wh i tt l e , p a n 等人的研究成果的出 现，目 前该理论已 广泛地应用于经济、 工程、 生物等领域，而且这种应用还在不断向其它领域渗透。本节主要介绍微分对策 的研究进展和一些主要的研究结果。 1 .2 . 1微 分 对策 研 究 状况 1 9 2 8年由于受到 “ 齐王赛马” 、 w y th o f f 博弈等典型例证的启迪， v o n n e u m a n n 等学者开始了对策论的研究。 直到1 9 5 6 年， i s a a c s 首先提出了二人零 和对 策问 题4 3 4 6 后， 才开 始了 微分 对策的 研究 领 域， 1 9 6 9 年， s t a r r 和h 。 研究 了 非零和 微分 对策1.7 题4 7 4 9 1 。 在 这方面， f r i e d m a n , l e i t m a n n 和m e l h m a r m等人 作了 大量的 工作 5 0 -5 2 1 。 另 外 在此期间 和此以 后， l u k e s 讨论了 在具 有二次型 价值 函 数的 线 性微 分 对策中 的 平 衡 反 馈 控 制问 题 3 1 , c r u z 讨 论了 二 人非 零 和二 次 型 闭 环 无 记 忆n a s h 对 策 的 级 数 解 5 4 1 ， 还 有p a p a v i s s ilo p o u lo s 等 人 的 工 作 5 5 -6 0 1 。 关 于随机微分对策的研究首先是由j a c o b o s o n , w h it t l e , k u h n 在研究随机控制时 提出 来的 6 0 -6 3 1 ， 在当时他们主要处理的 是线性二次型模型， 在2 0 世纪的后十年， 在 随机系统方面，由于感兴趣的问 题是具有风险参数的控制问题，迫切需要建立 真 有 风 险 的 随 机 控 制 和 h 。 控 制 之 间 的 关 系 ， 致 使 随 机 微 分 对 策 的 研 究 又 向 前 迈 进了 一步， 在这方面f l e m i n g . w h i tt l e , r u n o l f s s o n 等 人作了 重要的 工作【6 4 4 1 1 ， 特 别 是r u n o l f s s o n 在文 献1 7 0 中 给出 了 随 机最 优 控制和随 机微分 对策的 等价条 件。 近几年来， 无论是微分对策还是随机微分对策的 新结果不断出 现， z a p a t e r o 等研究了 微分 对策中 的 特征 子对策 最佳n a s h 平衡 2 1 , w e e r e n 等研究了 非 零和 和二次 型微分 对策中 的 线性反 馈n a s h 平衡的 渐 进分 析 3 1 , b a s a r 则 研究了 具 有 风险指标的非线性随机微分 对策的n a s h 平衡7 4 1 关于微分对策和随机微分对策， 在国内的 研究比 较少也不够深入。 在这方 面的优势主要集中在国外， 许多学者来自 于美国、法国、德国、俄国等国家。 f l e m in g , b a r a s , w h it t le p a n 等 人 是比 较 活 跃的 作 者 。 有 关 这方 面 研究的 论 文 大 都 出 现在i e e e 、 优化理论和应用、 控制与优化和运筹学等刊物上。目 前的 研究兴 趣主要集中在反馈n a s h 平衡，因为这种情形要比开环n a s h 平衡的情况复杂的 多 ， 同 时n a s h 的 唯 一 性 和 时 间 参 数 份- 0 0 的 情 形 也 是 重 要 的 研 究 方向 ， w e e r e n , s c h u m a c h e : 和e n g w e r d a 在这方面作了 许多工作， 在随 机微分对策方面， 热点之 一就是讨论含有参数( 主要是风险 指标) 的动态随机系统和具有参数的价值函数 的微分对策，b a s a r 在这方面作了很多工作。 虽然1 9 7 4 年， l e i t m a n n 写了 一本专著论述合作和非合作多人微分对策5 1 1 但是到目 前为止这方面的研究仍然进展不大， 特别是多人合作微分对策的发展 西安电子科技大学博士学位论文:广义系统与滤波算法的理论和应用研究 就更缓慢了，多人合作随机微分对策几乎没有多少接触。 1 .2 . 2 微分对策的研究进展 1 . 2 . 2 . 1 二人零和微分对策的几个结果 考虑下列随机动态系统 = f ( t , x , uu 2 ) , t 。 0 , t =x , j (u r,u 2 ) 一 f f 0 (t, x (t),u (t), u 2 (t)d t + h (x (t ) 问 题: 参与者1 希望找到u ， 极小 化j ， 而 参与者2 希望找 到u : 极大 化j o 解决问题的办法通常利用上、下值函数 v 一 ( t , x ) i n f 。 ,。e a , , , t ) s u p j ( t , x , a 1 u 2 ( -) u 2 ( -) ) a = e u i . t ( 下值函数) v ( t , x ) _ 势 砚 ， 1 s u p “ 2 月 ， 1 ， ， ， j a l ui 万 ， 了 j ( t , x , u , ( ) , a 2 u 1 ( .) ) ( 上值函数) 其中a ; 0 , t 为 参 与 者l 的 策 略 集i = 1 ,2 , u , o , t 为 参 与 者i 的 控 制 集i = 1 ,2 . 于是我们容易得到如下定理 定理1 . 2 . 2 . 1 v ( t , x ) 。 0 , t x r , t 。 t , t v ( t , x ) = i n f 几 s u p. ,. a , 1,t ,u 1: i 1f 0(一 ()，一 ()，一 (一 (s)ds + v (r, x (i)小 定理1 . 2 . 2 . 2 如果v ( t , x ) e c , ， 那么有上i s a a c s 方程 其中h ( t , x , p ) = h一 ( t , x , p ) = k + + h ( t , x , 叮) ， 0 , v ( t , x ) = h ( x ) ， inf 溉 p ,f (t，一 ) + f (t，一 ) ， su p in f p , f (tu,.u= ,.u, ，一 ) + f (t，一 )。 1 . 2 . 2 . 2 多人微分对策的几个结果 考虑如下问题 m a x (to, x 0 ，一 ，一 ，二 卜 j; l (;， ，一 ，一)* + s (t , x (tr ), s .t . x = f ( t , x , u ， 二 ， u n ) x ( t o ) = x 0 ， 第一章绪论 其中。 ( t ) e u , h t e t o , t f i , u 是r ” 中 的 开 子 集。 令u ( t ) = p ( t, x ( o ) ， 则 上 述系统成为 x = f ( t , x , 9 ( t , x ) ， 一 ， gyp ( t , x ) ) ， x ( t a ) = x 0 。 定 理 1 . 2 . 2 . 3 2 1设0 是 a 或+ b 丸= c , x , o ) + 万( t f , x , w ) s s ( t f , x ) = _ 的整体c u 共 产!、 解，且 f( ， ， * 0 ) 0 和 h (1, x , ( ; ; ) , t ( t x ) ) h (t , x , t00 , t ( t , x ) , b t “ 。 ， ， ， x e r , 7 = 1 ,2 ， 一 ， n 其 中 t ( t , x ) = 一 兀 ( t , x 冲 ) 几( t , x 冲 ) ， 则 t ( t , x ) = 刁( t , x ) 是毋 的 最佳n a s h 平衡。 定 理1 . 2 . 2 . 4 n 定 理4 .1 .3 中 只(t f , x , 甸 十 万( tf ,x , o ) s ; ( t f , x ) 一 0 是 0 最 佳性的必要条件。 关于微分对策较新的 研究 和其它结果可参见相关文献， 如文献【 7 3 - 8 0 . 夸 1 .3两指标教的 研究现状 两指标轶是研究两指标滤波的重要工具之一， 2 0 世纪7 0 年代提出后， 现己 广泛地应用到金融、滤波、控制等许多领域，3 0 年来，随着研究的不断深入， 许多有意义的成果不断出现。本节主要介绍两指标鞍产生的实际背景和研究进 展。 1 .3 . 1 两指标教的实际背景 在许多领域我们都会遇到两指标 ( 或多指标) 过程。 例如记录固定时刻一个 磁化物体的自 旋位置，就会把适当的 状态空间同 三维格的 每个点联系起来，在 数学上这就是指标在r 3 的子集上的随机变量族，即所谓的随机场的特殊情形。 相应的形式化了的 “ 多元观察” 可以导致指标集按其顺序性质可以解释成多重 的随机过程。出 现在各种m a l l i a v i n 变量分析中的无穷维o m s t e in - u h l e n b e c k 过 程可以 看作多重时间 集或时空混合类参数集上的随机过程8 1 。另一方面，同它 紧密 联系的 是w i e n e ; 单 8 2 1 ， 在所有 连续 参数 集 上的 参 数过 程中， 它是最常见的 8西安电子科技大学博士学位论文:广义系统与滤波算法的理论和应用研究 一种，是w a l s h 8 3 在研究生理学的数学模型中 发现了的。 后来， p o i s s o n 混杂的 出现便产生了新的一类无穷维o m s t e in - u h l e n b e c k 过程， 它被看作指标为二维的 连续变量的随机过程， 在一个方向上象p o i s s s o n 过程， 而在另一方向上象b r o w n 运 动 或 更一 般的g a u s s 过 程 8 4 -8 6 1 。 在 这些 实际 问 题 研究的 基础 上， 1 9 7 5 年， r .c a r o l i 和j .b . w a l s h 8 首先提出 并系统地介绍了 两指标轶的理论， 之后， 便引 起了许多学者的广泛关注，从而使得两指标教的研究得到了迅速的发展。 1 .3 . 2 两指标鞍的研究进展 自 从r .c a r o l i 和j .b . w a l s h 首先提出并系统的介绍了 两指标较理论后， 两指 标较的 研究成果不断涌现， 其标志性的 研究成果主要表现在:1 9 7 4 年， e . w o n g 和m .z a k a i 在文 献【 8 8 中 系 统 地 讨 论了 两 指 标 鞍 论， 提出 了 增 轨 道 上的 两 指 标 鞍; 维纳积分和埃尔米特泛函: 两指标鞍的随 机积分;二指标维纳泛函的 表示 等问 题。 1 9 8 0 年， e .m e r z b a c h 在文 献【 8 9 中， 提出了 关于 两 指标较 停 线的 概 念， 给出了可料族和截口定理;测度和两指标轶、拟轶、局部鞍、停止定理、可料 投影 和d o o b - m e y e r 分解以 及各 种随 机积分的 存在性等。 1 9 8 2 年， i .i .g i h m a n 在 文献 9 0 中， 提出了 连续参数鞍， 轶的特征以 及双较的随机积分。同 年， l .c h e v a l i e r 在文献 9 1 中， 提出了 两指标连续鞍的1 6公 式; 局部鞍的 随 机积 分; 局部靴的平方变差等问 题。1 9 8 8 年， p . i m k e l l e r 在文献 9 2 中， 研究了两指标鞍 的跳及其补偿;平方变差和鞍的结构等。 关于两指标鞍其它方面的 研究和结果， 可参见有关文献，如文献 9 3 - 1 0 2 . 夸 1 .4本文研究的主要内容 本文首先针对目前关于广义系统的研究现状， 首次提出了带状广义系统的概 念。 其次，分别就奇异矩阵是方形和带形两种情况， 利用矩阵的奇异值分解理 论，讨论了广义系统的状态反馈和极点配置问 题; 讨论了 相关噪声下随机非线 性系统的最优递推方法; 提出了 一种广义随机非线性系统的最优滤波器问 题， 得到了相关噪声下随机非线性系统的k a l m a n 滤波器的一般递推表达式和相关 噪声下广义随机非线性系统的k a lm a n 滤波器的一般递推表达式;在八种情形 下，研究了广义随机系统的状态估计问题，得到了广义随机系统，特别是带状 广义随机系统的最优一步预测方程和最优一步滤波递推方程。再次，研究了多 人随机微分对策的最优条件和n a s h 平衡解;首次提出了广义微分对策的概念， 讨论了 带状广义微分对策问 题， 得到了 带状广义微分 对策的n a s h 平衡解。 最后， 讨论了 两指标滤波及其相关问 题， 给出 两 指标 滤波在两 指 标鞍下的 定 义， 得到 第一章绪论 了两指标滤波近似问 题的几个结果;讨论了作为研究两指标滤波的重要工具两 指标教，给出了两指标域流的条件及主要关系、重要条件的等价条件以及两指 标教的等价条件等结果。 本文共分六章:第一章是绪论: 第二章主要介绍本文研究所需要的基础知 识和基本理论;第三章就奇异矩阵是方形和带形两种情况，利用矩阵的奇异值 分解理论，讨论了广义系统的状态反馈和极点配置问题;第四章就奇异矩阵是 方形还是带形，系统是离散还是连续， 系统是线性还是非线性的各种组合，讨 论了广义随机系统的状态估计问 题;第五章研究了多人随机微分对策问题和带 状广义微分对策问题;第六章讨论了 两指标滤波及相关问题。 1 o西安电子科技大学博士学位论文:广义系统与滤波算法的理论和应用研究 第二章基本理论 本章主要介绍研究广义系 统理论和两 指标滤波理论及其应用所需要的矩 阵的奇异值分解理论、广义逆矩阵的 基本概念及其基本性质、系 统的可控性和 可测性的概念和条件、 k a l m a n 滤波理论、 微分对策的基本概念和与 研究两指标 滤波相关的两指标。一 域流的条件及两指标软的基本理论. 2 . 1 矩阵的奇异分解的概念及求法 矩阵的奇异值分解是讨论广义逆矩阵的重要工具， 为以 后讨论方便起见， 本 节主要讨论矩阵的奇异值分解的定义、有关的基本结论和矩阵的奇异分解的求 法和步骤。 2 . 1 . 1 矩阵的奇异值分解定义 定义2 . 1 . 1 . 1 1 i o s l设a e r , r a n k a = : ，a a 的 特征值为 入之 凡冬 之 凡 凡 + ; = .= 2k= 。 ， 则 称 。= 汉, ( i = 1 2 ， . . ., k ) 为 矩 阵 a 的 奇 异 值 。 设 艺= d ia g ( qv z , . . . . 6 ， ) ， 如 果 正 交 矩 阵 u e r - 和 v e r , 满 足 f y o f u a厂= l o 0 1 称之为a的奇异值分解。 定 理2 . 1 . 1 . 1 1 o 3 设a e r “ 二 ， 则 存 在m 阶 正 交 矩 阵u 和n 阶 正 交 矩阵 v ， 使得 f d o f u a v 一 1 0 o f 其中是r 定理 2 . 阶非奇异下三角阵。 1 . 1 . 2 11 0 3 设a 。 r m ， 则 存 在m 阶正 交 矩 阵u 和。 阶 正 交 矩阵v ， 使得 第二章基本理论 一!.!|lesesesesesj 尸 b b - 艺 艺0 r.胜.l 一一 d a=u dv r 其 中 。 ， = 杯， i = 1 ,2 , . . ., r , a , a 2 _ . . . ,1 , 。 是 a a 的 非 零 特 征 值 的 全 体 。 2 . 1 .2 矩阵的 奇异值分解的 求法 设矩阵a的秩为r ，则矩阵a的奇异值分解可按下面方法求得: ( i ) 求出a t a 的k 个特征值r 1 i a i . . . a ， 且 _ 4 , _ . . . , , , 爪， = 一 凡 = 0 , 及 相应的 标准正 交特征向 量a ， 1 6 z , . . . , a k ， 则 v二 ( a , , a , ， 二 ， c c .- a! ， 二 ， a k ) = ( v i , v 2 ) 为k 阶正 交 矩阵， 其中私二 ( a 1 , a 2 , . . . , a ， ) , 砚= ( 氏 十 ， ， 氏 i 2 , . . i d ) ， 直 接 验 证 可 得 叮 a a v , 二 艺2 ， 其 中 艺 = d ia g ( v , ,v 2 , . . .一 杯, i = 1 ,2 , . , r . ( 2 ) 取u 二 a v , 艺一 ， ， 把 u 、 的 ; 个 列 向 量 a , a l. , 及 扩 充 为 r 的 一 组 标 准 正交基，仍记为 刀 1 ， 刀 2 ， ， 刀 ， ， 刀 ， + ， ， 风 令u l = ( a 1 al . . . a) , u 2 = ( 及 a 1 1 及 . 2 凡) ， 则 u = ( u , , u 2 ) 是 ， 阶 正 交 矩阵。 ( 3 ) 直接验证可得矩阵a 的奇异值分解为 、 = u y , o v , l 0 u j 2 .2 矩阵的广义逆 矩阵逆的概念原来是对满秩方阵才有意义，逆矩阵的存在，使得矩阵方程 中可以使用消去律，但是在实际问题中，所遇到的矩阵不一定是方阵，即使是 方阵也不一定满秩，这便产生了广义逆矩阵的概念，广义逆矩阵具有逆矩阵的 1 2西安电子科技大学博士学位论文:广义系统与滤波算法的理论和应用研究 类似的性质，使得消去律在一定的条件可以 使用，近几年来，人们在这方面作 了不少工作，并且在解决一些数学问题及应用问题方面起了重要的作用。本节 主要讨论广义逆矩阵的基本概念和在研究广义系统时主要用到的矩阵的广义加 号逆矩阵( a 十 ) 的若干结果。 2 . 2 . 1 定义 基本概念 2 . 2 . 1 . 1 1 1 0 3 设a e r -， 若g。 r -满足方程 ( 1 ) a g a=a; ( 2 ) g 4 g= g; ( 3 ) ( g a ) = g a : ( 4 ) ( a g ) = a g。 的全部或一部分， 由该定义知 定义2 . 2 . 1 . 则称g为a的广义逆矩阵。 ，广义逆矩阵共有十五类。 2 11 0 3 1称满足定义2 .2 . 1 . 1 中的全部四个方程的广义逆矩阵g为 矩阵a的广义加号逆矩阵，记为a ，即a 十 = g。 2 .2 .2 广义逆矩阵a + 2 . 2 . 2 . 1 a 十 的存在唯一性 定 理2 . 2 . 2 . 1 10 3 】设a e r ， 则a 存 在 唯 一 2 . 2 . 2 . 2 a 十 的性质 定 理2 . 2 . 2 .