（基础数学专业论文）广义bbmburgers方程解的长时间渐近性估计.pdf

摘要 本文讨论- 了b e n j a m i n - b o n a m a h o n y b u r g e r s 方程( 简称为b b m b u 唱e r s 方程) 的初值 问题： f 饥一耐一u $ z + ( 1 u l a u ) z ：0 z r ，亡 0 l 乱( z ，o ) = u o ( x ) z r 解的局部存在性，整体存在性以及解的长时间渐近性表示利用s o b o l e v 空间理论和压 缩映射原理，我们证明了：当初值咖z p ( r ) nl 1 。0 ( r ) ( 其中盯 1 , a ( 0 ，1 】，p 盯) 且范 数i i 札o l l l , 。+ l l u o l l l , 足够小时，b b m - b u r g e r s 方程初值问题存在唯一整体解 u c ( o ，) ；汐( 酞) nl l 。( r ) ) nc ( ( o ，。o ) ；w 已( r ) ) 当t _ 0 0 时u ( x ，亡) 有一致长时间渐近表示： u ( x ，亡) = a t i 1e 一酉x 2 + o ( t 一一7 ) 其中o 1 , a ( 0 ，1 】，p 盯) a n dt h en o r mi l u o l l l - 。+ i i 铷| l ps m a l l e n o u g h m o r e o v e rt h e s o l u t i o nu ( x ，t ) h a st h ef o l l o w i n gl a r g et i m ea s y m p t o t i c s u ( z ，亡) ：a 亡一j 1e 一譬+ o ( t 一 一1 ) w h e n t _ 。a n d i n w h i c h 0 。 5 ， 的光滑解的整体存在性和收敛性，其中q 0 ，p 0 ，7 0 ，均为常数，乱( z ，t ) = ( 让( z ，f ) ，u n ( z ，孟) ) t ，- 厂( 乱) = ( ) ，厶( 饥) ) r 为向量函数该文得到了如下的结果： 定理1 3 假设u o 日1 ( r ，融) ，f ( u ) c 2 ( 黔，黔) ，且厂( u ) = ( ( 钆) ，厶( u ) ) t 满足 o a o u j = o f j o u t ，i ，j = 1 ，2 ，n ，则初值问题( 1 5 ) 对任意的a ，p ，7 存在唯一整体光滑 解： u q ，p ，y ( 亡，z ) c ( o ，) ，h 1 ( r ，r n ) ) nc 1 ( ( o ，o o ) ，l 2 ( 豫，r n ) ) 第1 章引言 且对任意的k z ， 札口，p ，7 ( 亡，x ) c ( o ，o o ) ，h 惫( r ，r n ) ) nc 1 ( 【o ，。o ) ，h 知一1 ( 酞，酞竹) ) 此外，u 口，p ，1 ( 亡，z ) 收敛到u ( x ，亡) ，且u ( x ，t ) 是+ ，( 钍) z = 0 的一个弱解 本论文中我们重点讨论初值u 0 汐假) nl 1 。n ( r ) 时b b m b u r g e r s 方程初值问题： 毗一u z z t 一仳霉z 三二! ：了兰2 i 三x z e i r r , 亡 。 c 1 6 ， 解的局部存在性，整体存在性以及解的长时间渐近性表示利用s o b o l e v 空间理论和压缩映 射原理，结合y o u n g 不等式- 与f o u r i e r 变换性质我们取得了初值问题( 1 6 ) 的整体存在性以及 解的长时间渐近性表示结果： 定理1 4 ( 1 ) 令盯 o ，假设初值u o 2 ( r ) n l l n ( r ) ，其中o o ，p m a x ( 1 ，) ，贝, 13 t o ，初值问题( 1 6 ) 存在唯一解 u c ( 【o ，明；护( r ) nl 1 口( r ) ) nc ( ( o ，邪；w 三( r ) ) ( 2 ) 令仃 1 , a ( 0 ，1 】，p 仃，假设初值咖2 ( r ) n l l m ) 且范数l i u o 怯。+ i i 咖i i l p 足 够小，则初值问题( 1 6 ) 存在唯一整体解u c ( o ，) ；妒( r ) nl 1 口( r ) ) i - 1c ( ( o ，) ；瞻( r ) ) 进一步，v 亡1 ，u ( x ，亡) 有关于时间的最优衰退估计： 亡il l u ( t ) l l l 。+ 亡( 卜；) i i , 4 t ) l l l ，+ 亡1i i u ( 圳l 。 c l l u o l l l p + c l l u o l l l l 。 ( 3 ) 令o r 1 ，a ( 0 ，1 】，p o r ，假设对于初值饥o p ( r ) nl 1 a ( r ) 初值问题( 1 6 ) 存在 唯一解 u c ( o ，) ；舻( 瓞) nl 1 m ( 酞) ) nc ( ( o ，) ；w 三( r ) ) 则当亡_ o o * t u ( x ，t ) 有一致渐近估计 u ，亡) = a 亡一；e 一装+ o ( t 一一7 ) 其中o 7 o 下面的估 计成立： | 1 9 ( 亡) 多i i l ，c i i 砂i i p i i g ( t ) 西l l 砂。c ( 亡) 钏圳弘。 1 1 9 ( t ) i i l m c t 一右i i i l l ， jvo ( t ) i 三。c t 一巧1 一钏圳己p 夕( 亡) = 厂一1 e 一奄参( f ) = 一e 叫2 讯) _ 乒 - l c - t 壹笔( 1 拶广讯) + 一( e - 咯2 _ e - t ( 2 _ j r e - t 壶蔷( 1 榉广) 讯) 1 - k = 鲕( t ) e - t 磊召七+ 冗( 亡) 咖 ( 2 3 ) 5 浙江大学硕士学位论文 第2 章初值问题解的局部存在性 兵甲 ( 亡) 矽= g o ( t ，z 一可) ( 可) 妇 ，r g o ( z ，亡) = ( 4 7 r t ) 一i 1e 一番 召：，一1 ( 1 + 毒2 ) 一1 $ ( 专) = 去e 七一掣i ( y ) d y 厶j r 冗( 亡) = r ( 亡，z 一) ( 可) d y ，r a ( t ，z ) 2 而1 歹一1 觚) 翩玎。妥_ e - t e 2 + e - t 壹笔( 1 榉广 首先对吼( 亡) 做一些估计由直接计算可得：v t 0 ，1 qs o 。 i | g 。( t ) l l 工。：( 4 丌亡) 一 ( - 孚a 出) ： = ( 锄亡) 一 百4 t ) 瓦( 上e 叫2 句) i 1 c t - o - ；) 怖( t ) 恤。：( 4 丌) 一厂( z ) 口e 一番如 ，r ( 4 7 r t ) 一 缅( 4 t ) 墨( 可) 口e 一掣2 d ysc ( 亡) 耋 - ，r 由y o u n g 不等式可知： v t 【0 ，1 l l 鲕( t ) 4 q l l p = 上g 。( t , z - - y ) 6 ( 洲舳 圳l ，i i g o ( t ) i i l - c l i l p v t ll i 吼( t ) 砂l l l ，l b i l a o ( t ) l l l a c t 一 ( 1 一钏圳驴c t 一( ；一；) 1 1 1 1 驴 所p ：z v t 0 有： 鲕( ) 州l ，c i l 1 1 l p + c t 一 ( ；一；) 1 1 矽1 1 驴 ( 2 4 ) g o ( t ) 妒l l l - 。= ii ( z ) g o ( t ，z y ) ( y ) d y li l - ，r i i g o ( 亡) i l l ，i i i i l ，。+ i i g o ( t ) i i l z 。i i l i l v i i i l l 。+ c ( z ) 考l i 咖i i l c ( t ) 钏圳肚。 ( 2 5 ) 6 1 6 0 ( t ) 1 1 l * s i i i i l p i i o 。( t ) l l l 南 c t 一鑫i i 肋 iv g o ( 圳k = ( 4 删气上f 势杀蜊 c t n h ( e _ ，2 呦j 。1 ，r c t 一 ( 1 一；) 一 所以： i iv g o ( t ) l l l 一i i i i l ，i iv g 。( t ) l l l 舟c t 一毒一1 1 1 1 p 又我们易得到： | l e 。砉荔召锄b 眦钏圳pm 一例i p 和 。 磊召惫舢。c t e 1 1 1 1 砂。防泐 下面我们估计余项死( t ) 当l 时，把血( t ，) 表示为： 取瓦9 剐铲。竹1 ( 1 - e 叫4 ( 1 竹1 ) - e _ 。壹筹( 1 榉广 k = o 。 当蚓1 时，把a ( 亡，) 表示为： r ( t ，) = _ e - t 毒2 + e 一。( e 砰1 一两t k ( 1 + 汀七) k - - 0 “ 这样我们很容易得到：对v i r , t o ，k = 0 ，1 ，3 有： j 罐a ( ，) i c ( 芒) 一一 必2 + e e 一t ) 一4 然后利用f o u r i e r 逆峦换 磷踯，圳= j 孺1 上毋弩a 溅i c q ) 一 i i 七e 一 2 1 1 l ，+ c e t i i 专蠡( 1 + 2 ) 一z i i 厶。 c t 一半( 亡) 一+ c e 。 c t 等( 圹 7 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 浙江大学硕士学位论文 第2 章初值问题解的局部存在性 另一方面，对分部积分得到： o ! r ( t ，x ) l = c h 。3 i e 婚a 驴k ( t ，) 蜓i j r c l x l 一3 亡2 ( 亡) 一il l , , 知e 一。2 i i l t + c i z l _ 3 ez 1 。i i f 七( 1 + 2 ) i l l t c i x l 一3 t 1 一( 亡) 一+ c l x l 一3 e 一 c x t 一 ) 一3 t 一字( 亡) 一 + c l x l 一3 e 一 联合上面两式，我们有： i o 堂r ( t ，z ) i c x t 一) 一3 t 一字( 亡) 一+ c i x l 一3 e 一。 ( 2 1 0 ) 根据( 2 1 0 ) 式，再用y o u n g 不等式：其中；= i 1 + ；1 1 ，1 q p 得： a 船( t ) l l l 萨| i 磷r ( t ，z 一可) 匆怯 j r i i o 堂r ( t ) i i l r i i i i l e c t 一半( 亡) 一- ；11 1 1 l 。( x t 一) 曲如) ；+ c e 一 。i i l l l 。i i i x l i l l r c t 一 ( * ) 一( 亡) 一1 1 1 1 + c e 一 。1 1 1 1 l 。 ( 2 1 1 ) t 2 ( t ) 咖l l l 。= | i ( z ) 。r ( 亡，z y ) d y li l t i i i i l , n i l r ( t ) l b + l i 砂l l l , i i r ( t ) i h 。 c i l 矽l l 弘。 x t 一 ) 一3 亡一锄一如+ c l l l l 砂。e 一 i i i x l i i l ，r + c i l 1 1 l 。( z ) 。 x t i 1 ) 一3 亡一 ( 亡) 一d x + c l l l l 川一。i l l x l q 怯。 c ( 亡) 一tl l 砂l l l - 。+ c e j 12 l l 训l l ，d + c ( 亡) ；( 亡) 一1l l l l ，+ c e 一 。i i 咖i i l c t ) 墨l l 咖l l l 。 ( 2 1 2 ) 于是由表i 左k ( 2 3 ) 以及( 2 4 ) 至( 2 1 2 ) 的估计式，我们有： g ( t ) l l l p i l g o ( t ) 矽l l p + l i e - k ! - 忌i l l p + i i n ( t ) l l l p c i l 1 1 l ，+ c t 一；( ；一；l i l l l p + c e 一。1 1 1 1 l p + c t i ( ，i 一；( 亡) 一tl ll l p + c e 一ii 咖ll p 0 ，初值问题( 2 1 ) 存在唯一解 让c ( o ，t 】；酽( r ) nl 1 a ( r ) ) nc ( ( o ，卅；w l ( r ) ) 证明： 取a 0 ，p m a x ( 1 ，盯) ，t 0 待定记 z = 酽( r ) nl l n ( r ) ) 坼= _ c ( o ，t i ；l p ( i r ) f ll 1 a ( r ) ) nc ( ( o ，t 】；w 志( r ) ) ；ii ii 研 。) l i i i x t = s u p ( ( t ) 一羞i i i i l 。+ i i i i l ) + s u p ( 亡南i l i i l 一+ 亡鑫+ i iv 1 1 l 。) t e o ，7 1 t e ( o ，t i 在空间晒中定义范数 1 1 1 1 埽= s u p 亡嚣+ ( ( ) 一号1 1 1 1 三t 。+ 1 1 矽1 1 二，+ 亡去j i i l 工。) t e ( o ，j 由引理2 1 知， i i g ( t ) i i l 一c t 一方m b f a ( t , z - y ) ( 可) d 可l = i g ( t ，) ( z y ) d 可i c 亡一寿1 1 1 1 工， 在上式中取z = 0 ， i ( g ，( 一可) ) l c t 一毒1 1 矽1 1 l p 取：+ ；1 = 1 得： i g 怯c t 刍= c t 一 ( 1 一； ( 2 1 3 ) 9 浙江大学硕士学位论文 第2 章初值问题解的局部存在性 同理由i ivg ( t ) l l l 。c t 一历1 一1 1 矽i l 驴我们能够得到 v c ( ，z 一可) ( 9 ) d l = i v a ( 亡，z 一剪) ( 可) d y i = i v a ( t ) ( z 一可) 移( 秒) d y i = i v a ( 亡) ( ) ( z 一耖) d 可i 取x = 0 ，有： i v a ，妒( 一) ) l c t 一面1 一i 1i i i i l p 所以取：+ ；1 = 1 有： i iva i l l 。c t 一历1 一kc t 一( 1 一：) 一( 2 1 4 ) 由引理2 1 易知： 因为： 所p ：t v 0 7 - t t 有： 以及： g ( t ) 咖i l x t c i l l i z( 2 1 5 ) 叫l 盯w i 可i 仃v l c i w u i ( i 伽i o r + l 口l 口) ( i 叫i 盯硼) z 一( i u i 盯u ) z li l - 。 = c l lv ( 盯w i v i 矿可) 怯。 c 1 1 w u l l l 。( i i 叫i i l 一+ i i 可i i l o o ) 盯一1 ( i iv 叫i i l 一+ i ivu i i 工一) + c i lv ( w 一可) i i l 。( 1 1 叫1 1 l 。+ i l 训i l m ) 矿一1 ( ij 叫i i l - n + i l u i i l ，。) c r 一易一；( 丁) 量i i 伽一v i i x t ( i l 叫i l x t + l i v l i x t ) 盯 ( i 叫i 盯叫) 霉一( i 秽i 旷可) 。l i l ， c i l 叫一u i i l ，( i i 叫i l l 。+ i i v i i 工一) 盯一1 ( | | vw i l l 一+ | iv 口i i l 一) + c i iv ( w v ) l i l 。( i i 硼i i l * + l i v l l l 一) 盯一1 ( 1 1 w l l l p + i i 口i l p ) c t 一品一 i l 一u i i 浙( i i 叫i i 斯+ i l v l x t ) 盯 ( i 叫i 盯叫) 正一( 1 秽i 仃勘) z ii l 一 c l l 叫一u l i l 一( i i 叫i i l 。+ i i v l l l 一) 口一1 ( i iv 训i i l o o + | ivu l i l o 。) + c i iv ( w 一) i l 工一( 1 i 叫l i l 一+ i i v i l p ) 盯 1 0 浙江大学硕士学位论文 所以有： 因为： 所以： v te 【0 ，明 c t 一学一+ l l w 一 l i 蜥( i i 叫i i 渐+ i l 钞i i 蜥) 口 ( i 叫i 盯叫) z 一( i l 口口) z i i 埽c l l w v l i x t ( 1 1 w l i x t - t - l i u i l 洳) 盯( 2 1 6 ) 鳓= 郇肛e 一戮i t k b k d ，圳啪 g ( t ) 咖ll 弘。il g o ( t ) ll 弘。+ il e - 。磊召七砂11 肚。+ ii n ( t ) ll 弘。 k = o g o ( 亡一7 - ) ( 7 - ) 打怯n j o ，c， i i g o ( t 一下) l i l l i 咖l l z 。d t - t - i i g o ( t 一丁) i i l 。i i l l z 。d t j 0- ，0 c i | i i y t t 丁一毒一 d t - kc 1 1 11 y tf o p r ) 考丁一昂一；打 其中肛= j 一丢e ( o ，1 ) o te - ( t - r ) 1 丁( t - - t ) k 脚d | b n c t 1 1 1 1 l t 。 c i l 矽1 1 砖厂。( 亡一丁) 考7 - 一毒一互1 d 7 - c t i i i i 埽 n ( t 一7 - ) ( 7 - ) d 丁怯。 f tf t i i r ( t 一丁) i i l i i 多l l z - 。打+ l i 冗( t 一7 - ) i i l ，。i i i i l t n d r j 00 c i l 1 1 埒厂。( t - - 7 ) 一17 寺d 7 _ + c i l 西1 1 埽( 亡一7 ) 考( 一7 - ) 一7 - 一嚣一d t c p i i 埽 1 1 浙江大学硕士学位论文 第2 章初值r s ；题解的局部存在性 釜耋! ! 竺! ! ! 苎! 苎! ! ! ! ! ! ! 舞! ! ! ! 苎! 曼! ! 苎! ! ! ! ! ! ! ! ! 曼! ! ! ! ! ! ! 竺! ，苎，竺苎，苎咛! 苎蔓! 鼍，曼_ ! ! ! 苎! 曼! ! ，。2 1 于是v t 【0 ，卅 i i 9 ( 亡一丁) ( 丁) d r l i l 。c t i i i i r t 其中p = j 一嚣( 0 ，1 ) i i z 。9 ( 亡一丁) ( 丁) d , l l l p z 。i i g ( t 一丁) 1 1 l 1 1 1 1 p d 丁 c 1 1 咖1 1 玢厂。7 一历a 一互1 d 7 c t p l l 1 1 埽 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 9 ( 亡一r ) 0 - ) a t i i l * ，0 z 5 愀叫忆刨圳p 打+ n g ( t 叫眺砌 g 俐埽( z 05 ( h r 寺+ r 等嘞下) jl ，告 0 3 l 分小，初值问题( 2 1 ) 存在唯一解 u c ( o ，t 】；l p ( i i 跫) nl 1 a ( r ) ) nc ( ( o ，列；w 三( r ) ) 1 3 第3 章初值问题整体解的存在性 在本章中我们主要讨i , 仑b b m b u r g e r s ：h - 秘) - j 值问题 卜飞篙了端x e r , 川 1 ， 在小初值假设条件下解的整体存在性以及解关于时间的最优衰减估计问题 定理3 1 令盯 1 , a ( 0 ，1 】，p o r ，假设初值口假) nl i - ( r ) 且范数i i u o 怯。+ u o i i l p z - 够小，则初值问题( 3 1 ) 存在唯一解 u c ( o ，o o ) ；口( 瓞) nl l n ( r ) ) nc ( ( o ，。) ；w l ( r ) ) 进一步, v t 1 ，u ( x ，亡) 有关于时间的最优衰退估计： t 一钏u ( 圳弘。+ t ( 1 - ； ) l l u ( t ) l l 驴+ t i l ( 驯k 。 c l l u o l l l p + c l l u o i i l l 。 证明： g z = 西( 酞) nl 1 m ( r ) ) ， a ( 0 ，1 ，p 吼定义 x = c ( o ，。) ；z ) nc ( ( o ，) ；w l ( 瓜) ) ；i i 咖ll x 一钏圳弘。+ ( t ) ( 1 一钏川l p ) c 2 u + s u p ( t 毒( t ) j i l 西i i l 。+ _ 毒+ i ( t ) l lv 咖1 1 l 。) 1 1 1 1 y = s u p t 易+ ( 亡) 字( ( 亡) 一毒1 1 矽1 1 弘。 c ) u + ( ) ( 1 一；) i i 咖i i l ，+ 亡 毒q ) l i i i l 。) ( i ) ii g ( t ) ll x c | i 咖ll z 由第二章的引理我们可得： 9 ( t ) i l l ，i i 咖i i l ，i i g ( t ) l l z ，c i i i i l ，v t 0 ，1 6 ( t ) l l l p 1 1 1 1 l ，i i c ( t ) l l l ，c t 一。1 - ( 1 一t ) l l l l l - ，v t 1 9 ( 亡) i | l 一1 1 矽1 1 pi i c ( t ) l l l 南c t 一毒i i i i l p ，v 亡( o ，1 】 1 4 浙江大学硕士学位论文 l i g ( t ) i i l 一i i i i l li i c ( t ) l l l o 。sc t 一考l i i i l l ，v t 1 i i c 3 ( t ) l l l t 。( 亡) 钏圳肚n ，v t 0 i ivg ( t ) l l l 一i i i i l p | ivg ( t ) l i ，6 c t 一毒一言i i l i p ，v t ( 0 ，1 】 1 iv6 ( t ) l l l o o i i i i l l i lva ( t ) l l l o o c t 一1 i i i i l l ，v t 1 所以联合上面各式，可得 i | 9 ( 亡) ll x c i | i i z ( 3 2 ) ( i i ) i i i ( 1 w l 仃叫) z 一“训仃u ) z i i y c l l w v l l x ( 1 1 w l l x + i i v l l x ) 盯 我们有 以及 ( i 叫i 仃叫) z 一“秒i o r ) $ il l - 。= c l lv ( 1 w l 仃叫一l v l 盯v ) l l l l 。 c l l w v l l l l o ( 1 1 w l l l 。+ i i v l l l 。) 矿一1 ( i ivw i l l 一+ vr i l l 一) + c l iv ( 叫一v ) l l l 。( 1 1 w l l l 一+ l i v l t l * ) 口一1 ( 1 1 w l l l ，。+ l i v l l l - n ) c 丁) 一毒一( 丁) 詈一字i i 叫一v l l x ( 1 1 w l l x + l l v l l x ) 盯 ( i 叫i 盯叫) z 一( 1 u l 盯可) 。ii l p c l l w v l l l ，( 1 1 w l l l 。o + i i v l l l 。) 口_ 1 ( | | vw l l l 一+ l | vv l l l 一) + c l iv ( 叫一v ) l l l 。( 1 1 w l l l 一+ i i v l l l * ) 盯一1 ( 1 1 w l l l ，+ i i v l l l p ) c 丁) 一磊一 ( 丁) 南一字i i 叫一v l l x ( 1 1 w l l x + l l v l l x ) 盯 i l ( 1 w l 盯叫) z 一( 盯 ) z i k 一 c l l w v l l l 一( 1 1 w l l l 一+ i i v l l l 一) 盯一1 ( i | vw l l l 一+ i ivv l l l 一) + c l iv ( 叫一u ) i i l o 。( i l 训l l l 一+ i i v l l l * ) 盯 c 丁) 一管一j 1 ( 丁) 一吐2 l l w v l l x ( 1 1 w l l x + l l v l l x ) 矿 所以有 i l ( 1 w l 盯训) z 一( i i 仃u ) z l l y c l l w v l l x ( 1 1 w l l x + i i v l l x ) 盯( 3 3 ) 又由忖l i l t i ii i a 圳l 1 - 。p 1 1 2 p 可知： 1 1 , 1 1 l ，c 丁 一易一 ( 丁) 一字y 1 5 浙江大学硕士学位论文 于是由y o u n g 不等式及上式可得： 9 ( 亡一t ) ( t ) d t i i l p 廓g ( h ) 圳b n g ( h ) l i 川川b 打 c i l 1 1 y ( 2 ( 亡一r ) 一渺* ) 一品一籼一学打 + ： 丁) 一嚣一去一字打) ， c ( 亡) 一( 1 一钏圳y ( 3 4 ) i l z 。9 ( 亡一丁) 咖( 丁) d 丁忆t 。z 。怕( 亡一丁) ( 丁) 1 1 弘n 打 c ( t 一丁) 钏( r ) 恤。打 c i l i l y 厂2 ( 亡一r ) 考( 丁) 号 丁) 一毒一( 丁) 一吐2 1 d 7 - c t ) 引f e l l y ( 3 5 ) 一 ， v t ( 0 ，1 】时： v t 1 时： 9 ( 亡一t ) ( t ) d t ii l 一 0 j o “i i g ( t - 丁) l l l 南1 1 1 1 l p d t - i - l l c ( t - ，- ) l l l i i 咖i i 刎丁 l 六 弘p 打 刚| y ( ：5 ( h ) 南寺+ p 券嘞丁) 0 j， 熹 c t 一南i i ， 9 ( 亡一t ) ( t ) d t ii l 一 ，0 2 iig(t-丁)lll*11矽11ld丁+iig(tr)11l-11矽11jlmd丁0 要 c i l 1 1 埽( 广( t - 7 - ) 一和专一字打+ 胁) 一一2a 丁) j oj 笺 。 c 4 其中c 是线性拟微分算子： c = 厂一1 l ( ) ( ) ( 札) 为某些依赖于未知函数u ( 亡，z ) 的非线性函数 根据d u h a m e l 原则，我们改写初值问题( 4 2 ) 为如下的积分形式： u ( z ，t ) = 乡( ) 乱。一乡( 亡一v ) a f ( u ) ( r ) d t = f r og ( t ，x - - y ) u 。( 可) 曲一o 。上。g ( t - - t , x - - y ) ( 乱) ( 丁，秒) 匆打 ( 4 3 ) 其中相应的线性方程的格林算子9 ( 亡) f 扫f o u r i e r 逆变换定义如下： 乡( 亡) = 厂一1 e 一。l ( f ) $ ( ) = c ( t ，z 一可) ( y ) 匆 其中l ( ) 为方程( 4 2 ) 中算子c 的象征 我们固定一个定义在p 上的函数度量空间z 和一个定义在 o ，) xr “上的完备度量空 间x 定义4 1 函数g o x ，若对v z ，存在连续线t t k ：, 4 函f ：z rs t 有下式成立： i i ( t ) 7 ( 9 ( 亡) 一g o ( t ) f ( o ) ) l l x c l l l l z ( 4 4 ) 其中7 0 ，则称函数g o x ) 0 6 在x ，z 中的渐近核 定义4 2 若e - v u x ，积分方程伊f ( n ( 乱( 丁) ) ) d 7 一致收敛，则我们称( 4 3 ) 式中的非线 性算q - ，v ( u ) 在x 中是渐近弱的 1 9 第4 章初值问题解的长时间渐近估计 引理4 3 令初值u o z ，假设格林算子9 在叉，z 中存在渐近核g o 令方程( 4 2 ) 中的 非线性算子( u ) 在空r t x 中是渐近弱的假设初值问题( 4 2 ) 4 荨- 在唯一的解u x ，且 对v u x 有下面两个估计式成立： i i ( t ) 一r 2i c 。( 亡一丁) 一g o ) i ，( ( 让( 丁) ) ) 打| | x j 0 ， - - e l l ( t ) 7 g o ( t ) 厂( ( 钆( 7 - ) ) ) 训i x c l l u l l ；： ( 4 5 ) ，姜 和 i i ( t ) 7 2 ( 9 ( 亡一丁) ( 乱( 丁) ) 一g o 一丁) ，( ( “( 丁) ) ) ( 丁) ) d 丁i i x d 0 啪) 7 。卯叫( 时) ) 训i x 0 ，7 0 则这个解有下面渐近性质： ( t ) 7 ( 札( ) 一a a o ( t ) ) l l x c i l 2 , o l l z4 - c l l u l l 曼 其中盯 0 ，7 0 为( 4 5 ) 中的参数，常量a 为： a = f ( u o ) 一z 。删灯) ) ) 杌 下面我们给出b b m b u r g e r s y y 程初值问题解的长时间渐近性估计 定理4 1 令盯 1 , a ( 0 ，1 】，p o r ，假设对于初值u o p ( 酞) n l l _ 。( 酞) 初值问题( 4 1 ) 存 在唯一解 u c ( o ，o o ) ；l e ( r ) r ll 1 n ( r ) ) nc ( ( o ，o o ) ；w 三( r ) ) 则当亡_ c c 时：u ( z ，亡) 有一致渐近估计 u ( z ，亡) ：a 亡一i 1e 一害+ o ( t 一一7 ) 其中o ，y m 几( ；，字) ，a = 矗u o ( x ) d x 证明： i s z = z e ( r 廷) i 1l l 。( r ) ) a ( 0 ，1 】，p 盯 x = c ( o ，o o ) ；znc ( ( o ，) ；