（基础数学专业论文）关于几类特殊群的整群环的增量理想之幂及其商群.pdf

关于几类特殊群的整群环的增量理想之幂 及其商群 摘要 整群环是一类非常重要的环，人们对它的任意次增量理想及其商群的研究结 果，在本文的第一章中给出了简略的叙述，然而这些结果中的绝大多数是针对 交换群所做出的。在第二章中，本文着重研究了一类非交换群一二面体群d + 的 整群环的增量理想的任意次( 。) 及其连续商群q ( b ) = d 三毖+ ，( 。) 的结 构。找到了( d 。) 和( d ：。) ( 牖) 的一组基底，并且还找到了( d 。) 与 “( d 。) ) 之间的一个递推关系。在第三章中，我们将p a r m e n t e r 在文章a b a s i s f o r p o w e r so f t h e a u g m e n t i o n i d e a l s 中得到的当g 是基本p 一群( p 素) 这一 情形时的结果推广到了g 是基本p 一群0 素) 的直和肘的结果，得到了此时( g ) 的一组基底。另外还得到了当g 是非交换群且阶为p qd ，g 素) 时岔( g ) 的一组基 底。 关键词：整群环、二面体群、增量理想、基底。 a b s t r a c t i n t e g r a lg r o u pr i n g i so n ek i n do ft h em o s ti m p o r t a n t r i n g s p e o p l e h a v ed o n ea g r e a t d e a lo fw o r k so ht h e p o w e r s o fi t s a u g m e n t a t i o ni d e a l sa n di t sc o n s e c u t i v eq u o t i e n tg r o u p s i nc h a p t e r i ，s o m eo ft h ek n o w i n gr e s u l t sh a v eb e e nm e n t i o n e d ，h o w e v e rm o s t o ft h e s er e s u l t sa r eb a s e do na b e l i a ng r o u p s i nc h a p t e r i i ，f o ro n e k i n do fn o n a b e l i a ng r o u p s d i h e d r a lg r o u p s d ，w eh a v ed i s c u s s e d t h en t hp o w e r ”( d ) o ft h e a u g m e n t a t i o ni d e a la ( d 女) o fi t si n t e g r a l g r o u pr i n g a n dt h es t r u c t u r eo fi t sc o n s e c u t i v e q u o t i e n tg r o u p s q = 吆+ ( b ) w e h a v ef o u n daz - b a s i s o f ( d 。) a n d d 7 ( d 2 女) ，o d d ，r e s p e c t i v e l y ，a sw e l l a sar e l a t i o n b e t w e e n “( d ) a n d ”“( d t ) ，女e v e n i nc h a p t e ri l i ，b a s e do ns o m eo fr e s u l t so f p a r m e n t e ri nh i sp a p e ra b a s i s f o _ r p o w e r s o f t h ea u g m e n t a t i o ni d e a 肛， w eh a v e g e n e r a l i z e d h i sr e s u l t sf o ra n e l e m e n t a r yp g r o u p ，p p r i m e ，t oaf i n i t ed i r e c ts a mo fe l e m e n t a r y p g r o u p ，pp r i m e w e h a v ea l s of o u n daz b a s i so f ( g ) w h e ng i san o n a b e l i a ng r o u p w i t ho r d e r p q ，p ，qp r i m e k e y w o r d s ：i n t e g r a lg r o u pr i n g ，d i h e d r a lg r o u p ，a u g m e n t a t i o ni d e a l ， b a s i s 西i t i 业大学硕士学位论文 第一章引言 令z 是整数环，g 是一个有限群，则g 关于z 的整群环z g 作为z 一模是一 个自由z 一模。它是以g 中元素为基底，z g 中的乘法运算由g 中的乘法运算诱 导而来的。z g 中的元素可以唯一地写戍如下形式，a 。g ，g g ，d 。z ， 这里只有有限个d g 不为零，即 r、 z g = a g g i ge g ，z 。 l 伺限干uj 整群环z g 具有如下基本性质： ( 1 ) g = 6 。g 当且仅当对任意g g ，有= b g ； ( 2 ) g + 6 。g = 【+ 6 。) g ： ( 3 ) ( a s g ) 眨6 。g ) = c g g ，其中c 。= 。吼b ，； ( 4 ) r ( a g g ) = ( ，a g k ， 对任意，z 。 从整群环z g 到整数环z 有一个典范的环同态 r l ：z g 斗z ， g h 。 z t og e u 这是一个非常自然且非常重要的同态，叫增量同态( a u g m e n t a t i o nm a p ) ，其同态核 叫做z g 的增量理想，记为( g ) 。通常我们把g 中的单位元与z g 中的单位元均 记为1 。设a g g z x ( g ) ，由定义可知叩( 口g g ) = = o ，则有 e o 。g = 咚g - e 咚1 = 咚( g 1 ) ， 于是作为交换群有 ( g ) = k e r r ( - - ( g - 1 lg e g 1 ) ) ， 这里( g 一1 1 9e g 1 ) ) 表示由元素g 一1 ( g g 1 ) ) 在z 疗中生成的子群，反包含 关系明显成立。于是作为交换群( g ) 是由g 一1 ( g g 1 ) ) 生成的秩为l g _ 1 的 自由交换群。我们可以归纳地定义( g ) 的盯( n i ) 次幂( g ) 为 堡! ! 三些查兰堡! ：堂壁堡兰 ，7 ( g ) = “。( g ) a ( g ) ， 它们均为整群环z g 的理想，称作，z 次增量理想，所以显然有下面的降链包含关 系： z ( g ) 2 ( g ) 2 ( g ) ”( g ) a ”“( g ) 我们不难由a ”( g ) 的定义看出，作为交换群它可由乘积元 ( 昌一1 ) q ：一d ( 邑一1 ) ，g l9 2 ，岛g 1 ) 生成，并且我们把连续商群岔t 鬈+ 一( g ) 记做绒( g ) 。如果g 是阶为r 的有限 群，则对任意的g g 、 1 ) ，我们有 ，b 一1 ) = 一c ；o 一1 y 小( g ) ， 于是可以得到幺( g ) 是r 一挠群，即对于瓯( g ) 中任意元x ，我们有麒= 0 。由 于( g ) 是有限生成交换群，且( g ) 是秩为r 一1 的自由群，于是( g ) ，( n - - 0 ， 也是秩为，一i 的自由交换群。在有限群的群环理论的研究中人们最感兴趣的其 中三个问题是： ( 1 ) 找出硝( g ) 作为自由交换群的基底； ( 2 ) 找出( g ) 的生成元q 。一1 x g ：一1 ) q 。一1 x 晶g 1 ) ，所满足的所有关系； 从而( g ) 可以通过其生成元g ，一1 x g ：一1 ) g 。一1 ) 舅g 1 ) ，以及这些关系 重新构造出来，此即”( g ) 通过其生成元及关系的表示问题； ( 3 ) 确定商群q 。( g ) 的结构。 然而即使对于g 是有限交换群这一情形，我们已经知道”( g ) 是秩为1 g 卜1 的自由交换群，并且还知道它有一组形如q 。一1 ) ( g ：一1 ) ( g 。一1 ) g ，g 0 ， 这样的生成元，但是寻找它的基底依然是十分困难的事情。这是因为在有限秩自 由交换群的生成元集中并不一定包含基底，同时一组无关元也未必能够扩充成为 基底( 这与域匕的向量空间有着本质的区别) 。例如，整数环z 对于普通加法作 西北工业火学硕j 一学位论文 成一个秩为1 的自由交换群， 2 ，3 是它的一组生成元，但是元素2 及元素3 单独 均不构成z 的基：同时 2 ) 与 3 均是z 的无关元集，但他们都不能扩充成为z 的 基。另外( g 一1 x g ：一1 ) b 。一1 ) ，g ，g 1 ) ，这些生成元所满足的“关系” 通常也很难被完全找到。 最近几年以来，国内外的许多专家在对整群环理论，特别是对问题( 1 ) 与( 2 ) 的研究取得了丰硕的成果。b a k 和v a v i l o v 在文献【1 】中对g 是基本2 群的情形 进行了讨论，找到了此时a ”( g ) 的生成元g 1 x g ：一1 ) 。一1 ) ，g ，g l ， 所满足的全部关系，从而解决了当g 是基本2 一群时”( g ) 的表示问题。 p a r m e n t e r 在文献【2 】中找到了g 是基本p 一群时0 为任意素数) ”( g ) 的一组基， 并且解决了当g 是基本3 一群时a ”( g ) 的表示问题。唐国平在 3 】中找到了当g 是基本p 一群0 为任意素数) 时a ”( g ) 的生成元所满足的所有关系，从而完全解 决了当g 是这种特殊群时a “( g ) 的表示问题。b a k 与唐国平合作在待发表的文 献【4 】中解决了当g 是有限秩的自由交换群或交换挠群时”( g ) 的表示问题。以 上结论都是针对g 是某些特殊的有限交换群所做出的。 确定商群q ( g ) 的结构问题是一个老问题。f b a c h m a n n 和l g r u n e n f e w e r 在【5 】中已经证明了对于有限交换群g ，存在自然数n 使得当胛 n 时有 q ( g ) 兰q + ( g ) ， 即q ( g ) 的结构是稳定的。并且另外一个简单而好用的结果是当群g 与群的 阶互素时q ( g 日) = 幺( g ) 幺) 。于是对于有限交换群，根据西洛定理我们 可以将上述问题归结为群g 是有限交换p 一群素) 的情形。h a l e s 和p a s s i 在文 献【6 中证明了当g 是秩为k 的基本p 一群，即k 个z 。的直积，且当 h o 一1 炽一1 ) 时，q ( g ) 是秩为冬寻的基本p 一群。鉴于上述结果k a r p i l o v s k y 口一l 西北工业大学硕士学位论文 在专著 7 】中提出了有名的对于有限交换群g ，确定商群q ( g ) 的同构等价类这 一公丌问题。最近唐国平在【8 】中完全确定了g 是有限基本p 一群以及对于任意 自然数”，q ，( g ) 的结构，即对于这类群的k a r p i l o v s k y 问题。并且唐固平在【9 】 ( 待发表) 中，确定了当g 是同一个循环p 一群的直积时q ( g 如任意) 的结构。 以上结果的绝大多数也是针对g 是有限交换群而得到的。 在本文中，主要以两类非交换群为研究对象讨论了以上问题。首先研究了一 类非交换群一二面体群b 的整群环的增量理想的任意次幂( 仇) 及其连续商群 q ( d 。) = ? 毖+ ( d 。) 的结构。分别找到了岔( b ) 和( d ：。) ( 牖) 的组基 底，并且还得到了( 仇) 与“( d 。) ) 之间的一个递推关系。接着我们将 p a r m e n t e r 在 2 】中得到的当g 是基本p 一群( p 素) 的结果推广到了g 是若干个基 本p 一群0 素) 的直和的情形，并得到了此时( g ) 的一组基底。另外还得到了当 g 是非交换群且阶数为p q0 ，g 素) 时( g ) 的一组基底。 西北 二业大学礤士学位论文 第二章二面体群的摧群环的任意次增量理想及其商群 ：二面体群d 。是一类比较简单的非交换群，它是由两个元素，s 所生成的阶为 2 女的非交换群，其中，的阶为k ，s 的阶为2 ，并且满足j r = f k - i s ，所以我们可 以将q 表不为 d 。= i r ，s p = r k - t s , s 2 = ，。= 1 ) 。 在这一章里我们将着重研究这一类群的整群环的增量理想的任意次幂的性质 及其商群的结构。 第一节二面体群d 。，k 奇，的整群环的增量理想之幂的基底 虽然二面体群d 。是一类比较简单的非交换群，但是对于一般的二面体群来说 寻找( d 。) 的基底仍然是一件十分困难的事情。但是我们发现当_ j 为奇数时，可 以找到( b ) 的一组基底，当然也就很容易解决商群的结构问题。 注：在本节中我们总是假设k 为一个奇数。 定理2 1 1 对于二面体群d k ，其整群环z 轨的增量理想( d ) 的n 次幂 ( d 。) 有一组基底 b ”( b ) = 缸一1 ) ”，一1 ，( ，一l b 1 ) | l i k 一1 ， 同时拈一1 r ，p 1 ) 。，( ，一1 ) g l 】l f 一1 也是慨) 的一组基底。 从而其商群q ( 。) = ? 毖+ ，( 。) 是域f 2 上的由单个元素 0 1 ) ”+ 岔“( b ) 所生成的向量空间，即 g 慨) 兰z ：。 证明： ( 1 ) 我们首先来证明 b ”( q ) ( d 。) 。 两北丁业人学帧i j 学位论义 当胛= 1 时，上述包含关系显然是成立的。 对于任意的自然数”，显然有o 一1 ys a ( d k ) 。 如果对于任意的自然数i 与”总有 r 。一1 ( d i ) 则当然有 所以 下面我们就来证明 p 一l b 一1 ) e ( 巩) b ”( b ) a ( d k ) 。 r 一1e ( d 。) i ， 是任意的自然数。 因为 t , k - 2 1 1 = o l 虹一1 ) - ( r “，一1 k 一1 ) 一p 。一l h “，一1 ) e 2 ( d 。) ，( 2 1 1 ) 所以我们还有 r 2 1 1 = p “，一1 ) 一p “一* “f 1 ) 一“一1 ) e 2 ( d 。) 。( 2 12 ) 由于此时后为奇数，所以由( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 不难看出对于任意的i ，我们都有 ，一1 a 2 ( d k l 。 循环使用( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) 可知对于任意的f ，n ，我们都有 r 。一1 ( d 。) ， 所以 ( 2 1 3 ) 占“( d k ) ( 巩) 。 ( 2 ) 现在我们来证明( d 。) 中的任意一个元素可由b ”( b ) 中的元素线性表示。 当”= 1 时，由于增量同态 砚斗z ，a g g h 咚 西北t 业大学倾t 学位论文 的核( d 。) 是由所有形如g 一1 ，g d 。 1 这样的元素所g i 成的自由交换群。而任 取g d 1 ，我们有 g 一1 ：s 一1 ，g 一1 ：r 。一1 ，g 一1 = r j 一1 = o 一1 x s 一1 ) + 0 一1 ) + 0 一1 ) 或者g 一1 = 一1 = r “。s 一1 = p “，一l b 一1 ) + 0 1 ) + p “，一1 ) 即a ( d 。) 中的任一元素可由b 。( d 。) 中的元素线性表示。 假设“”( d k ) 中的所有元素可由b - i ( d 。) 中的元素线性表示。 现在证明岔( d 。) 中的所有元素可由b ”慨) 中的元素线性表示。 由于 ( 么) = ( 巩) ”( d 。) ， 而由上面证明和假设可知( d 。) 及1 ( b ) 中的所有元素可分别由b i ( d 。) 和 曰”1 ( 仇) 中的元素线性表示，所以( 仇) 中的所有元素均可由如下形式的元素线 性表示： s - 1 ) ”，0 1 缸一1 l o 一1 如一1 k l l p 一1 x s 一1 ) ”，( ，一1 h ，一1 l p 一l h ，一1 k 一1 ) p 一1 k 一1 ) ”，o 一1 k 一1 ，一1 l ( ，一1 x 一1 玲，一i x 一1 ) 。 不难验证上述元素均可由丑”( d 。) 中的元素线性表示，即对于任意的自然数n ( d 。) 中的任一元素可由b ”( d 。) 中的元素线性表示。 ( 3 ) 最后我们来证明b ”( 以) 中的元素是线性无关的。 假设存在一个等于零的b ”( b ) 中所有元素的线性组合，记为 ( s - 1 ) ”+ k - 1 6 。( ，一1 ) + 芝q p ，一1 b 一1 ) ：o ， 我们可以将其改写为 f _ 2 ) n - i a n - 篁。，l ( s - 1 ) + k - i 一c f 玲，一1 ) + 篁。 。一，) ：o ，( z 。) l i = l j j - j ，- i 这是因为 两北丁业夫学硕1 学位论文 g 1 ) ”= ( - 2 ) ”。0 1 ) 。 所以由( 2 14 ) 式我们不难看出所有的c ，都必须为0 ，因为左边只有r s 一1 的系数 为c ，同理所有的b ，和a 。也必须为0 。因此b ”( d k ) 中的元素是线性无关的。 由( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 ) 可知b ”( 以) 是池) 的一组基底。 由于 ，一1 ：窆c 沁一1 ) ，( ，一1 ) ：i - ic ，( _ 1 ) ， ，1 ) 所以集合b ”( 见) 中的元素与集合 如一1 ) ”，r 一1 ) ，g 一1 一1 ) i i - i 一1 ( 2 1 5 ) 中的元素可以相互线性表示。 于是集合( 2 1 5 ) 也是( 仇) 的一组基底，由此基底我们不难看出商群 绒( 巩) = 岔( 。+ 。慨) 是二元域e 上的由一个元素 0 + 1 y + “( q ) 生成的向量空间，当然是循环群。这与f r a n zb a c h m a n n 在【5 】中所得出商群 q ( d 。) ，k 奇，是一个循环群的结论是一致的。 # 第二节二面体群d 。，k 偶，的整群环的 次增量理想硝( 仇) 与n + 1 次增量理想“( 仇) 之间的递推关系 本节我们假定k 为偶数。对于k 为偶数这一情形，我们发现( b ) 的基底 比较复杂。但是通过对n ，k 的归纳，我们得到了岔( d 。) 与硝“( d 。) 之间的一个 递推关系。这一递推关系对于后面我们研究商群q ( n ) 的结构是非常有用的。 在给出这个递推关系之前，我们首先回忆p a r m e n t e r 的一个关于循环群的增量 理想的结论。 西北t 业入学碳l 学位论文 第三章关于基本p 一群的一个结论的推广 p a r m e n t e r 在文章a b a s i s f o r p o w e r so f t h e a u g m e n t a t i o n i d e a l s 中用归纳定义 的方法给出了基本p 一群的整群环的任意次增量理想的基底，在本章中我们主要 是基于这一结论对它进行了一定的推广。 第一节对于阶为p q ，p ，q 素，这类有限群的整群环的 增量理想之幂及其商群 对于满足条件蚓= p q ( p ，q 素) ，不妨假设p q ，的一类群g ，我们可以将 其表示为有限生成群( g ，b i g ”= h ”= 1 ) 的一个商群。在本节中我们将g 分为交换 群和非交换群这两种情形来进行讨论。 定理3 1 1 如果群g 满足i g | _ p q ，p ，g 素，且p q ，则我们有如下结论 ( 1 ) 若g 为交换群，月j j a ( g ) 是由下列基底生成的自由交换群 妇一l y “，o 一1 y ”，0 1 y o l y l l f p 一1 ，1 _ ，q 一1 ， 其商群 g ( g ) 兰z ，o z 。 ( 2 ) 若g 为非交换群，则( g ) 是由下列基底生成的自由交换群 妇一1 ) ，o 1 ) ， 一1 ) 0 1 y 1 1 - i - p 一1 ，1 ，g l ， 其商群 q ( g ) 兰z 。 证明：( 1 ) 对于g 为交换群这一情形，只需证明对于任意的n 及i i p 一1 和 1 j g 一1 者b 有 一1 ) 亿一1 ) 7 ( g ) 即可，亦即 ( g 一1 x h 1 ) ”( g ) 。 n 两北t 业大学坝l 学位论史 显然当”= 1 , 2 时结论成立。 假设 而 所以 b 一1 x 力一1 ) e 剧”1 ( g ) ( g 一1 ) ”积一1 ) p ( g 1 - 1 ) 一c ：b 一1 ) 2 0 - 1 ) - 一c 。k 一1 ) ”1 一1 ) 同理由 可得 p ( g 一1 x h 一1 ) 筮( g ) 。 0 一d h 一1 户e 世( g ) q ( g o ( h 1 ) e 硝( g ) ， 又因为( p ，q ) = 1 ，所以存在a , be 使得印+ b q = 1 。因此 0 1 x 一1 ) = 印g 一1 x h 一1 ) + b q ( g 一1 x h 一1 ) 岔( g ) 所以对于任意的 n ，都有 当然有 g 一1 勋一1 ) e ( g ) q 一1 ) ( 矗一1 ) ( g ) 所以( g ) 的基底为 k 一1 r 1 ，o 一1 ) ”川，q 1 ) ( 一1 帅f p 一1 ，1 sg l 不难看出其商群 q ( g ) 兰z ，o z 。 ( 2 ) 对于g 为非交换群这一情形，只需证明对于任意的h 及1 ，g 一1 都有 即可，亦即 0 1 ) 7 ( g ) 3 两北t 业人学坝l + 学位论史 当- = 1 时结论显然成立。 假设 当然有 因此 ( h 一1 ) e ( g ) 0 一1 ) 筮。( g ) o 一1 户= - q ( h - 1 ) - q o 1 ) 2 - 一q 。1 0 一1 ) ”e 岔( g ) 9 0 1 ) e 心( g ) 。 又由西洛定理可知日= ( h ) 是g 的正规子群，所以 使得 即 不妨假设七 g ，则 所以 又因为 所以 v g g ，h ( ) ，3 h 。( h ) 7 9 。= g h 7 9 一1 = g 7 h 一l h l 1 = ( g 。一1 勋1 ) - g 一一1 x g 一1 ) - g 一l 勋h 一1 ) h 一1 心( g ) h 。一1 = ( ，一k x h 一1 ) + c 乙q 1 ) 2 + + o 一1 ) ( ，一k x h 一1 ) e 岔( g ) 。 9 0 1 ) 筮( g ) ，并且0 ，j 一) = 1 所以存在口，b n 使得口o 一) + b q = l ， 两北t 业人学硕 。学位论文 凼此 0 1 ) = “( ，一 x 矗一1 ) + b q ( h 一1 ) e “) ， 当然有 o 1 ) 7e 岔( g ) 。 即对于任意的”n ，我们都有 o 1 ) 7 岔( g ) 。 所以硝( g ) 的基底为 k 一1 ) ，0 一1 ) ，q 一1 ) o 一1 ) 印f p - 1 ，1 - 1 。令e 为 f l ，1 的一组基底。记( g ) 的基底为b ，则 ( 1 ) 当”= 1 时，b = 扛一l x g ，x l ， ( 2 ) 当”p 时，b = b n u $ ( g l i be b 。 u # ( g 一1 ) 2 p b ，： u u b ( g 一1 y i b b 。一，+ ) u 妇一1 ) ”，( g 一1 ) n + l ，( g 一1 ) ”+ 一2 ， 0 ) 当”= 2 时，占= b 2u 6 q i 淞e 且 u 岛g 一1 ) 2 f 6e 曰 u u 岛b 一1 ) 川i b b ，j u 妇一1 ) 2 ，q 一1 ) 3 ，g 一1 ) 唧一2 ， 塑墼塑燮 ( 4 ) 当2 疗 p 时，口= e ，u 6 g 一1 淞e 以一， u 每幢一1 ) ! j 6 。e 。 u u 1 ) ”2 卧曰： u $ g i ) ”一吣b ， u 1 ) ”吣b ，j u u p 窖一1 ) r 睢蜀 u k 1 ) ”，q 1 卜，q 一1 ) 一r ： 。 定理3 2 2 设群g 2 粤g ，g i 为基本p ，一群，其中只为互不相等的素数。 记( g ) 为( g ，) 的一组基，则( g ) 有如下的一组基 b ”( g ) = ( g b ”( g ，) u 戤，一，h ，) g 。一z 】z 。g 。，。s ，：。 。，：。， 证明：当 = 1 时，结论显然是对的。 对于 2 的情形先来证明 显然 下面只需要证明 b ”( g ) ( g ) 。 u 台”( g 。) 岔( g ) 口”( g ) u b ”( g f ) ( g ) 。 j l 当，? ；2 时上述包含关系是成立的。 假设 则 g r l 烛。一1 ) g 。一1 ) 一，( g ) ， g r ，弘k ：一，) g r ，) = 一【p 所以 0 r i ) + c 乏g r ，) 2 + - + c ：，一1 g r ，p 一，k ：一，) k 1 ) 。( g ) 。 只k 一1 妊r i ) g 。一1 ) ( g ) 。 两北1 j 业人学坝1 j 学位论史 同样我们也可以得到 p 。g ：一1 k ，：一1 ) g 。一1 ) “( g ) 。 由于，p p 。均为素数，所以存在d ，b v 使得印，+ 印。= 】，因此 g ，一，b ，一1 ) g ，。一1 ) = ，+ 印，。i x 。一) ( x ：一1 ) x 。一1 ) 硝( g ) 。 这意味着 b ”( g ) ( g ) 。 现在我们来证明岔( g ) 中的所有元素可由b ”( g ) 中的元素线性表示。 由岔( g ) 的定义，它有生成元集 妇一1 ：一1 ) q 。一1 概eg 1 ) ) 。( 3 2 1 ) 由关系式 x y - 1 = ( x 一1 x y 1 ) + ( x 一1 ) + f y 一1 ) 我们可以将( g ) 的生成元集( 3 2 1 ) 中元素表示为如下形式元素的集合 ( g 广胁玲，枉姆 o ， 对于集合( 3 2 2 ) 中的元素( g 一l x g ：一1 ) q 。一1 ) ，我们可以将其分为三种情况 进行讨论： i ) 如果g t ，g ：，g 。，均在同一个g ，中，那么它可以由b ”( g ，) 中的元素线性表示， 这是因为 b 。- 1 x g ：一1 ) 0 。一1 ) ( g ) 至“( g ) 。 i i ) 如果g ，g ：，g 。均在互不相同的g j 中，则当然有 ( g l 一1 x g ：一1 ) q 。一1 ) 占”( g ) u b ”( g ，) k 1 i i i ) 如果g ，g ：，g 。，中至少有两个元在同一个g ，中，并且还存在另外一个元不 在g ，中，不妨设9 1 ，g2 g 。，9 3g g ，这时由于 两北t 业人学倾卜学位论义 ( g 一o f g ! 一1 x g ，一1 ) - ( g 。，一1 ) = q l g ：一i x g ，一1 ) - - ( g 。，一1 ) 一( g 。一l x g ，一1 ) ( g 。一1 ) 一( g 。一1 x g ，一1 ) k 。一1 ) 依次类推可将 0 一i x g ：一1 x g ，一1 ) ( g 。一1 ) 表示为集合 融一1 k ，：一1 ) g 。一1 1 气e q 。，l f 1 f ： - - s , 2 七s 中元素的线性组合。 又由于( g ) 是秩为l g i i 的自由交换群，并且不难验证生成元集b ( g ) 中元素的 个数恰为1 g 1 - i ，于是由自由交换群的基本定理知道( g ) 是( g ) 的基底。 # 西北丁业人学坝1 学位论文 结束语 我们虽然在第二章中对所有的二面体群进行了适当的分类之后，得出了关 于d 。及d ：。( 琦) 的一些比较完整的结果，但是对于一般的二面体群 d ：，。o 2 ，琦) ，寻找其整群环的任意次增量理想“7 ( d ：，。) 的基底这一工作仍然 是十分困难的。至少如果继续使用本文所提供的方法是十分困难的，我们猜想也 许存在另外一种新的方法可以被用来解决这一问题。 对于本文的第三章，我们所做的主要工作是将p a r m e n t e r 在【2 】中对于g 是 基本p 一群的一些结果推广到了g 是若干个基本p 一群的的直积的情形。 我将会在自己未来的学习和工作中，继续对本文的这些遗留问题做进一步 的研究，争取早日给出比较令人满意的结果。更希望能够看到其他师长和同学关 于这一方面的更好的结果! 西北下业人学坝_ 1 ：学位论史 参考文献； 【1 1 b a k ，a a n dv a v i l o v ，n ：p r e s e n t i n gp o w e r so f a u g m e n t a t i o ni d e a & a n d 肋 t e r 加p r o s ，k t h e o r y ，2 0 ( 2 0 0 0 ) ，2 9 9 3 0 9 【2 1 p a r m e n t e r ，m m ：a b a s i sf o ，p o w e r so ft h ea u g m e n t a t i o n i d e a l s , a l g e b r a c o l l o q u i u m v 0 1 8 ，n o 2 ( 2 0 0 1 ) ，1 2 l - 1 2 8 1 3 j t a n g ，g u o p i n g ：p r e s e n t i n gp o w e r so fa u g m e n t a t i o ni d e a l so fe l e m e n t a r y p g r o u p k - t h e o r y 2 3 ( 2 0 0 1 ) ，3 l 一3 9 1 4 1 b a k ，a a n dt a n g ，g u o p i n g ：s o l u t i o nt ot h ep r e s e n t a t i o np r o b l e mf o rp o w e r s o f t h ea u g m e n t a t i o ni d e a lo f t o r s i o na b e l i a n g r o u p s t oa p p e a r 【5 】f b a c h m a n n ，a n d l g r u n e n f e l d e r ，：t h ep e r i o d i c i t y i nt h eg r a d e dr i n g a s s o c i a t e dw i t ha ni n t e g r a l g r o u pr i n g , j o u r n a l o fp u r ea n d a p p l i e da l g e b r a ( 19 7 4 ) ，2 5 3 2 6 4 【6 1 h a l e s ，a wa n dp a s s i ，i b s ：t h ea u g m e n t a t i o nq u o t i e n t so ff i n i t ea b e l i a n p g r o u p s ，c o n t e m p o r a r y m a t h e m a t i c s ，v 0 1 9 3 ，1 9 8 9 ，1 6 7 - 1 7 1 【7 1 k a r p i l o v s k y , g ：c o m m u t a t i v eg r o u p 彳咖b r a m o n o g r a p h sa n dt e x t b o o k si n p u r ea n d a p p l i e dm a t h e m a t i c s ，v 0 1 7 8 ，m a r c e ld e k k e r ，1 1 1 c n e wy o r k ，19 8 3 1 8 1 t a n g ，g u o p i n g ：o n a q u e s t i o no fk a r p i l o v s k y a l g e b r ac o l l o q u i u m ， v 0 1 1 0 ，n o 1 ，2 0 0 3 ，1 1 1 6 1 9 1 t a n g ，g u o p i n g ：o naq u e s t i o no f k a r p i l o v s k y 1 i t o a p p e a r 【1 0 1 p a s s i ，i b s ：g r o u pr i n g s a n dt h e i ra u g m e n t a t i o ni d e a l s , l e c t u r en