（基础数学专业论文）两维lotkavolterra系统的拓扑分类及非自治随机单调系统的全局性态.pdf

摘要 摘要 本文对两维l 0 t k a v 0 l t e 嗽系统的全局相图做了拓扑分类，并且研究了与 强单调系统具有比较关系的几乎周期系统的渐近性态以及单调随机动力系统 的全局吸引性本文的具体安捧如下： 在序言中，我们简要的介绍了l o t k a v o l t e m 系统和单调动力系统的起源 和主要研究内容，重点介绍了几乎周期系统、随机动力系统的研究进展以及 单调动力系统全局性态研究的背景和现状 在第二章中，我们首先研究了两维l o t l ( a v o l t e m 系统 忙裟：荔二裂 有闭轨的充分必要条件，并给出了此系统的各种标准形式然后，基于 p o i n c a r 6 紧致化，我们对系统的无穷远奇点做了分类，并具体给出了各类条件 下系统无穷远奇点的性态紧接着，利用系统有闭轨的充要条件的结果，我们 讨论了系统有限奇点的性质最后，基于对有限奇点、无穷远奇点性质的讨论 以及向量场的分析，我们给出了系统全局相图的1 4 1 种拓扑分类 在第三章中，我们首先证明了在具有格结构的状态空间上，强单调序紧斜 积半流在每一条向前轨道都具有紧闭包和一致稳定性的前提下，底空间的所 有1 覆盖组成的集合限制在任一纤维上要么是一个独点集要么同胚于 0 ，1 】， 【0 ，1 ) ，( 0 ，1 或者r ，并且这个同胚是序保持的然后，在1 覆盖集同胚于r ( 在 任一纤维上) 时，我们研究了与此强单调系统具有比较关系的非单调几乎周期 系统的极小集的性质，得出此极小集也是底空间的1 覆盖 在最后一章，我们研究了单调随机动力系统的全局吸引性首先，我们研 究了拉回轨道的u 极限集的基本性质，比如紧性、全不变性和尸可测性，基 于此，我们证明了如果单调随机系统的每一拉回轨道是预紧的，那么它的唯 一平衡点是全局吸引的然后，我们把结论应用到了一类子线性单调随机动力 系统和f i s h e r 型随机抛物方程，分别得到了它们的平衡点的全局吸引性 a b s t r a c t h l 廿l et h e s i s ，w eg i v em et o p o l o g i c a lc l 船s i 6 c a t i o no nt h eg l o b a lp h 丛e p o 饨r a i t so f t 、o 司i m e n s i o n a ll o 墩a v b l t e r r as y s 钯m ，锄ds 臼j d yt h ea s ) ，m p t o t i cb e h a v i o rf 1 0 ra h n o s t p c r i o d i c 黟s t e m sc o m p a r a b l et 0 蛐r o n g l ym o n o t o n es y s t e m s 锄dt h eg l o b a la t 帆l c t i v i 锣 o fm o n o t o n er 蛐d o md y n 锄i c a ls y s t e m s t h ep a p e ri so 玛肌协d 嬲f o l l o w s ： i n l ei i l 仃o d u c t i o 玛廿l eo r i g i i la n dm a i l ls t u d y i n gc o n t e m so fl o t k a 一、，0 l t e ms y s - t e m 锄dm o n o t o n ed y n 锄i c a ls ) ，s t e m sa r ep r e s e n t e d w em a i l l l yi n 仃i 订u c e l ec l e v e l - 0 p m e n to fn l e 陀s e a r c ho na l m o s tp e r i o d i c 夥蚰e m s ，姗d o ms y s t e m s 觚dm eg l o b a l b e h a v i o ro fm o n o t o n ed y n 锄i c a ls ) ，s t e m s i i lc h a p t e r2 ，w ef l r s tg i v em es 嘶c i e n t 锄d n e c e s s a 巧c o n d i t i o n sf o r 慨d d i m e n s i o n a l l o 妇- v o l t e m 剐s t 锄 ， i 圣= z ( n o + n l z + n 2 y ) i ! ) = y ( 6 0 + 6 1 z + 6 2 秒) t 0h a v ec l o s e do r b i t s ，锄dd i s c u s sm en o 册a lf 0 册sf o rl o t k a - v o l t e 仃as ) ，s t e m n 眠 u s i n gp o i i l c a r 6c o m p a c t i f i c a t i o l l ，w es t u d yn l ep r o p e r t i e so fi 血n i t ec r i t i c a lp o i n t s 锄d g i v eac l 嬲s i f i c a t i o no n 廿l e m i nt h ef o l l a w i n g ，b 豁e do nt h er e s u l t so f 也es u 伍c i e n t 锄dn e c e s s a 巧c o n d i t i o n sf o rl o 墩a v 0 l t e 胍s y s t e mw i mc l o s c d0 r b i t s ，m ep r o p e r t i e s o f f i m t ec r i t i c a lp o i 吣a r ed i s c 璐s e d a l lg l o b a lp h a s ep o r t r a i t sa r ef i m l l yc l 砧s i f i e db y c o m b i i l i i l ga l ll o c a li r 曲肌a t i o n i i ic h a p t e r 3 ，f i r s t l y ，w ep r 0 v em a to nt 1 1 es t a 钯s p a c ep o s s e s s i l l gl a n i c es 钿l c t u r e ， i f 纠e 巧f o r w a r do r b i to f t l l es 臼- 0 n g l ym o n o t o n eo r d e r c o m p a c ts k e w - p r o d u c t m i n o w h 私c o m p a c tc l o s u 他锄di s 啪i f o n i l l ys t 乏出l e ，t h e n0 na n y 舶e rt h es e to fa l ll _ c o v e 体 o f t h eb 雒es p a c ei se i m e ras i n g l e t o no rh o m e o m o 巾h i ct 0 o ，1 】， o ，1 ) ，( o ，l 】0 rr 觚d 曲eh o m e o m o 印h i s mi so r d e 卜p r e s e n ，i n g f u 劬e 咖。佗，i fo ne a c hf i b e rm es e to fa l l l c 0 v e 心i sh o m e o m o 叩h i ct 0 n l e nw eg e tt i l a t 锄ym 如i m a ls e to ft l l ec o m p 砸b l e s k e w - p r o d u c t m 讯o wi sa l s 0al c 0 v e ro fn l eb a s es p a c e i l ic h a p t e r4 ，w es t u d ym eg l o b a l 砷c m c t 如姆o fm o n o t o n er 粕d o md y r 姗i c a l a b s t r a c t $ s t e m s f 戤l y w e 咖d yt l l ep r o p e r t i e so f u l i m i ts e to f 廿l ep u l l b a c kn 司e c t o r i e s ，觚d s h o wt l l a ti ti s 觚i n v 撕a i l t 啪d o mc o m p a c ts e tm e a s u r a b l ew i t hr e s p e c tt 0 ，1 b 觞i n g o nt h i s ，w ep r 0 v et h a tt h eu n i q u ee q u i l i b r i 啪o fm es y s t e mi sg l o b a l l ya t n 徼t i v ei f e 、，e 拶p u l lb a c k 仃萄e c t o 巧h a sc o m p a c tc l o s u 佗f i n a l l y ，m e 佗s u l ti su s e dt 0s t u d ya c l a s so fs u b l i n e a rm o n o t o n er d sa n dr 锄d o mp 施b o l i ce q u a t i o n so ff i s h e r 够p e m 中国科学技术大学学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作 所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任 何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究 所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学 校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名： 节年月日 第l 章引言 第1 章引言 从2 0 世纪初起，在化学和生物领域的研究当中，人们建立了大量的数学 模型，特别是微分方程模型和传统的来自于力学和物理领域的模型不同，守 恒律、对称性分析和变分原理在研究这些模型时一般不再适用但是，因为在 化学和生物领域的研究中，我们通常处理种群密度、化学物质浓度等物理量， 这些物理量当然都具有正值，所以方程的解都保持正性另一方面，这些模型 还保持附加的单调性或保序性 l 0 伙划r o l t e m 微分方程系统就是一个非常著名而且应用广泛的模型上 一世纪2 0 年代意大利数学家vv o l t e m 【1 2 2 】引入了如下系统 鲁嘶t + 骞酬一孔囊，n m ， 来研究生物种群问的相互演化关系，而后a l 0 妇【删也独立地引出了系统 ( 1 1 ) 来研究化学反应和生物现象因此，后人称( 1 1 ) 为l o t k a 二v o i t e r m 系统 随着科学的不断发展，l o 缸v o l t e m 系统在自然科学和社会科学的很多学科 中的重要作用越来越突出，并频繁出现于各类重要问题的研究中在物理学 中，利用l o t k a v 0 l t e 髓系统研究激光物理【7 3 1 和等离子物理【7 4 】等的耦合波；在 流体力学中，利用l o 出a v o l t e 聃系统证明通向湍流新途径的存在【1 5 - 1 3 】和气体 的浑沌川；l 0 t l 沮v o l t e m 系统在中性网络中的应用见【9 3 1 ；在经济学和对策论 中，l 甜沮- v o l t e m 系统具有广泛的应用【5 4 5 5 9 5 ，1 0 9 ，1 3 3 】，它与1 9 9 4 年诺贝尔经济 奖得主j c h a r s 锄几j f n a s h 和& s e l t e n 的非合作对策理论有密切关系嗍； 同时，l o 墩a v o l t e r r a 系统是著名的k d v 方程的离散化【l o 川，并且物理、生物、 生态、化学、经济等学科中大量的o d e 系统都可以变换成l o t k a - v 0 k r r a 系 统【1 3 5 4 1 k s i g m u n d 的研究小组对这方面的研究工作尤为突出，他在1 9 9 8 年 的柏林国际数学家大会的一小时报告中围绕这一主题作了综述【1 0 9 】 更一般的，人们希望研究下面微分方程系统的动力学性质： 潆一舶渤，而) ， ( 1 2 ) i 如o ，i = l ，2 ，n 第l 章引言 实际上，( 1 2 ) 是系统( 1 1 ) 的推广为纪念k 0 h i l o g o r o v 【6 8 】对这些系统的研 究，( 1 2 ) 被称为k o i m o g o r o v 系统 针对不同的生物模型，选取适当的，= ( ， ) ，系统( 1 2 ) 可以更精 确地描述多个生物种群或生命物质之间的相互作用和其数量随时问的演化规 律这时， 可以被看作第i 个物种的增长率；而a 五a 可以被看作第歹个物 种对第i 个物种的作用：强如， o 表明第歹个物种的增加会促进第i 个物种 的增加，而a 五a 巧 o 表明第歹个物种的增加会制约第i 个物种的增加这 样，如果对任意1 i ，歹几且l 歹都有a 五a o ，则所有的物种之间是 相互合作的关系，我们把这种系统称为合作的；而如果对任意1 i ，歹n 且 i 歹都有a 五a 巧o ，则所有的物种之间是相互制约的关系，我们把这种系 统称为竞争的对一般的微分方程系统 0 巾 景= f ( z ) ，z xc 舻， ( 1 3 ) u l 如果 匀p 誊so ( t j ) ， ( 1 4 ) u 互j 对任意z x 成立，则系统也被称为竞争系统，而如果反向的不等式成立，则 称为合作系统 著名数学家m w h i r s c h 在他的系列文章州 5 2 】对合作和竞争的微分方 程系统的动力学性态进行了系统的研究正是在这一研究过程中，他建立了单 调动力系统的基本理论 空间xc 酞n 上的流 仇) 称为( 强) 单调的，如果对任意z ，可x ， z y = 争妒t ( z ) o ， ( 1 5 ) 这里zsy ( z y ) 表示矾犰( 眈 矾) ，i = 1 ，而z 0 ( 见( 1 1 ) ) 成立时在负载单形上存在中心的充要条件如果这个条件不成立，第 二个问题仍然没有解决在【1 3 5 】中，z e e m 锄指出三维竞争l o t l ( a - v 0 l t c m 系统 包含二维二次l o 墩a v o l t e 玎a 系统的每一种行为因此，给出二维l o 婚v 0 l t e 眦 系统的全局相图分类将有助于我们解决上面提到的第二个闯题以及一些全局 性态我们首先研究了二维l o t k a v o l t e r r a 系统有闭轨的充分必要条件，并给出 了此系统的各种标准形式，基于对无穷远奇点和有限奇点性质的讨论，我们 给出了系统全局相图的1 4 1 种拓扑分类 单调动力系统理论不但在常微分方程系统的研究中有着非常成功的 应用，而且在处理偏微分方程时也得到很多漂亮的结果无限维动力系统 学家h m a t 锄。舭，8 5 】在研究抛物型偏微分方程生成半流的长期性态的过程 中，与h i r s c h 的研究最终走到了一条线路上需要声明的一点是，h h c h 采 用“单调( m 0 n o t o n e ) 一一词，而m a t a i l o 采用的是。序保持( o r d e r - p r e s e r v i n g ) 芹 一词因此，h 躯c h 和m a 仞m o 独立地创造了单调动力系统这一分支( 现在 m a m r 以在常微分方程、偏微分方程和非线性泛函分析都列出了单调系 统的分类号) 在h i r s c h 和m a 乜m o 的开创性工作之后，p o i 醛i k 【9 8 】、s m i m 和 t h i e m e 【1 1 3 1 1 4 】、j i a n g 【5 8 】以及j i a n g 和w 抽g 【“】等进一步改进了他俩的奠基性工 作同时，s m i t h 和t l l i e m e 【1 1 5 1 、w n 【1 2 7 ，l 冽以及m a r t i n 和s m i t h 【8 2 8 3 】把这一思想 引入研究泛函微分方程和带时滞的反应扩散方程s m i t h 的专著【1 1 2 】对单调流 的研究工作做了系统的介绍 以上的工作都集中于自治系统和半流但众所周知，相互联系的事物通常 都处在波动的环境中例如，连最简单的物理环境条件诸如温度、湿度、食物、 水及其他资源通常都会随时间或季节变化因此，更加实际的模型应该是非自 治的特别地，若模型中的参数都是周期的且它们是可公度的，这就产生了周 4 第1 章引言 期系统；若这些周期函数拥有不可公度的最小周期，则产生了几乎周期系统 设( x ，d ) 是一个度量空间，函数，c ( r ，x ) 称为几乎周期的( a l m o s t p e f i o d i c ) ，如果对于任意e o ，存在f = 2 ( e ) 0 满足r 的每一个长度为f 的 区间至少包含集合丁( e ) ：= 【r r ：d ( ，( t + 7 ) ，( t ) ) o 匕k 紧极小流盯：r q q 称为几乎周期的，如果它有一条几乎周期的轨道并且 此轨道在q 中稠密 设( vr ) 是一个紧流，点耖y 称为几乎自守点，如果r 中的任意网 具有一个子网口= t n 满足瓦，卫a 死y 存在并且卫口乃y = ! ，其中 一a = 一“ 流( r ) 称为几乎自守的( a h n o s ta u t o m o r p h i c ) ，如果存在一个具 有稠密轨道的几乎自守点珈y ( 更详细的介绍请参看s h e n 和【1 0 3 1 ) 几乎周期理论，自从二十世纪二十年代建立起来以后，就强烈地推动 着群上谐波分析以及拓扑、光滑动力系统的发展过去的大约六十年里，在 f a v 裥【3 3 矧的先驱工作的引导下，人们对几乎周期微分方程做了大量的研究 ( 见【3 5 6 7 ，7 7 ，9 7 1 3 2 1 ) 近期，在应用的驱动下，对几乎周期偏微分方程的学习也有了 重要的延伸( 见【4 7 7 ，9 7 】和那里的参考文献) s h e n 和的系列著作( 【l 睢l o 刀) 对 一维空间里的几乎周期标量抛物方程做了系统的研究，结果表明，相关斜积 ( s k 删- p r o d u c t ) 半流里的所有极小集都是几乎自守的几乎自守的概念在这些 工作中被证明是至关重要的首先，当从系数空间到解空间的搿l i r i i l g 一性质被 考虑时，动力学性态一般来说在几乎周期的范畴下不封闭，但是在几乎自守 的范畴下封闭；其次，几乎自守动力学的出现预示着周期系统和几乎周期系 统的主要不同比如，在单调动力系统中，从周期系数而来的。l i r 访g 一性质肯 定不会是几乎自守的在有界解的长期性态方面，u 极限集的几乎自守性经常 反映着一种。不统一一的渐近现象随后，他们【1 0 3 】又把工作扩展到了膏高维挣， 研究了高维几乎周期抛物方程以及几乎周期合作常微分和时滞微分方程 5 第l 章 引言 上面提到的斜积半流是这样定义的：设( q ，如) ，( x ，d ) 是度量空间，( q ，酞) 是紧流( 称为底流) 半流：0 q x _ q x 称为斜积半流，如果它具有 如下形式： n ( ，甜，z ) = ( “舌，钍( 亡，。，z ) ) ， 其中u t = 仃( t ，u ) ，r + = t r ：t o ) 斜积半流的轨道 ( 厶u ，z ) ：t o 称为一致稳定的( u n i f o n n l ys t a b l e ) ，如果对任意的e 0 ，存在6 = 6 ( e ) 0 满 足：只要7 - o ，x 和d ( 乱( 7 ，u ，y ) ，u ( 7 ，u ，z ) ) 6 成立，便有 d ( 钍 + - 。，y ) ，“0 + r ，u ，z ) ) e ，o 斜积半流可由几乎周期常微分方程、偏微分方程和时滞方程生成对斜积 半流的研究始于离散动力系统的遍历理论( 见f 5 3 刁) 自从连续斜积半流理论被 应用到m i l l e r 【蚓和s e l l 【1 0 l ，1 0 2 】的工作中以后，它便提供了一种拓扑方法去研究 非自治动力学，尤其是几乎周期常微分方程 对于强有序的b a n a c h 空间上的离散强单调动力系统，1 酞配【1 1 8 ，1 1 9 】p 0 1 硒i k 和t e r e 吾芒酞陋，1 吲，h e s s 和p o l 矗芒i k 【4 2 】及t e r e 6 酞【1 2 l 】的结果表明：系统的绝大多 数紧轨道将渐近于周期轨此后，s h e n 和【1 0 3 1 进一步发展了这些理论到强单 调斜积半流上他们研究了具有几乎周期极小底流的斜积半流的l i r i n g 动力 学，证明了在纤维上具有强单调性的斜积半流的线性稳定极小集一定是几乎 自守的，并且对连续和离散强单调动力系统成立的一般性收敛性质在几乎周 期系统中即使在几乎自守的范畴下都不再成立 在过去的大约3 0 年里，动力系统领域里很多的研究者都试着加入某些附 加条件以保证所有轨道具有简单的长期性态，尤其是使得每一条轨道收敛于 平衡点或不动点( 周期解) 或几乎周期解总的来说，存在四种这样的条件 第一种条件称为轨道稳定( o r b i t a l 鼬i l i 够) ，这一概念是由a l i k a k o s 以及他 的合作者【1 - 3 1 在研究周期抛物方程的稳定性和收敛性时提出的他们证明了被 研究的系统的每一个解渐近于周期解，等价地说，即由p o i n c a r 6 映射生成的强 序保持离散动力系统的每一条轨道收敛于不动点而后，在每一个不动点都是 稳定的的假设下，融醛3 】以及d 粕c e r 和h e s s 【2 9 】进一步证明了强单调映射 的所有紧轨道收敛到不动点，并且所有不动点组成的集合是一个全序曲线 第二种条件是子齐次( 也称为子线性) ，这个术语是从l o 是一个常数，f ，g 在r 上连续，f 是严格增的此微分方程与下面 的方程具有比较关系： z 7 ( t ) = 一f ( z ( t ) ) + f ( z ( t 一，) ) ( 1 7 ) 也就是说，或者g ( z ) 2f ( o ) ，比r 或者g ( z ) f ( z ) ，比r 易知( 1 7 ) 生 成的系统是最终强单调的并且其拥有一个首次积分他们都证明了( 1 6 ) 的有 界解是收敛的基于此，对于两个自治或周期系统，如果一个系统是强单调的 并且其平衡点( 或不动点) 集是一个全序曲线，另外一个系统与第一个系统具 有比较关系，那么第二个系统的渐近性态是什么? j i 锄g 【6 3 】对这一问题做出了 回答，他证明了第二个系统所有的预紧轨道都是收敛的正是因为只要强单调 系统具有某种性质，比如轨道稳定或者不动点稳定性或者具有一个首次积分 或者有极小平衡点，便能得到它的平衡点( 或者不动点) 集是一个全序曲线， 因此这个结果有广泛的应用 但是这个结果在几乎周期系统中是否成立呢? 上面已经提到，j i 觚g 嘲建 立了一定条件下单调和一致稳定斜积半流的任一u 极限集的1 覆盖性基于 8 第l 章引言 此，他提出了一个公开问题，即如果几乎周期单调系统的的每一条轨道是一 致稳定的，那么与它具有比较关系的非单调几乎周期系统的预紧解是否都渐 近于一个几乎周期解? 我们的工作对这个问题做出了回答 假设( vu ) 是一个序b 觚a c h 空间并且i n t ( 耳) 仍令x = 口，6 】y ，口6 ( 0 ，6 y ) 或者x = 耳，或者更进一步，x 是y 的一个序凸子集考虑连续斜 积半流( 亡，u ，z ) = 亡，u ( ，u ，z ) ) ，v ( 厶u ，z ) r + q x ，其中( x ，d ) 是一个 度量空间，流( q ，r ) 是极小的记所有q 的1 覆盖组成的集合为c ( ) ，用加( ) 代表c ( n ) 中的元素 ( u ，叫) ) ：u q ) ，定义a ) ：= 叫) ：t ，( ) c ( ) ) 首先我们给出定理成立的条件： ( a 1 ) x 的每一个紧子集有上确界和下确界； ( a 2 ) 对每一个( u ，z ) q x ，存在幻= ( u ，z ) 使得( n ( ，u ，z ) ：t t o ) 是预紧的； ( a 3 ) 斜积半流。：q x q x 是强单调的，并且n 。的每一条轨道都 是一致稳定的 对序紧斜积半流t ，在( a 1 ) ( a 3 ) 成立的前提下，我们首先证明了q 的1 覆盖集c ( n ) 限制在任一纤维上或者是一个独点集或者是一个道路连通的全 序集 定理1 1 假设阳矽口夥成立并且斜积半流t 是序紧的，那么对任意u q ，a ) 或者是一个独点集或者与一条严格序保持连续轨道兀：屯一x 的 像一致，其中屯= 【0 ，1 】，( o ，1 ) ，【o ，1 ) 或者( o ，1 】 这个定理为我们研究与强单调几乎周期系统具有比较关系的系统的渐近 性态提供了基础下面我们先给出与单调半流n 具有比较关系的半流的定义 斜积半流r ( t ，u ，z ) = t ， ( ，u ，z ) ) ，v ( t ，u ，z ) r + q x 称为与具 有比较关系的，如果满足： ( a 4 ) 当( u ，z ) ，( u ，箩) q x 并且( u ，z ) ( u ，y ) 时，r t ( u ，z ) t ( u ，暑，) 成立；或者当( u ，z ) ，0 ，) q x 并且( ，z ) ，y ) 时，r ( u ，z ) t ，y ) 成立 最后，基于定理1 1 的结果，我们得到了斜积半流f 的极小集的1 覆盖 性 9 第l 章引言 定理1 2 假设似- 阳砂成立并且斜积半流t 是序紧的，那么对任意u q ， 有：或者a ) 是一个独点集，或者存在一个序保持的同胚l ：屯一a ( u ) ， 其中屯= 【o ，1 】，【o ，1 ) ，( o ，1 】或者璁进一步，如果对所有的u q ，a ( u ) 都是 一条全序曲线r 曲线指它同胚于埘，那么斜积半流r 的任一极小集kcq x 都是q 的r 相对于r 呦j 覆盖 我们知道，许多物理、化学和生物系统的状态可以被描述为一个依赖于时 间的变量z ( t ) ，它满足常微分方程 圣( t ) = ，( a ，z ( t ) ) ， 这个方程依赖于参数a = ( a 1 ，k ) ，这些参数刻画着环境的特性，常被称为 外部参数如果此系统被一个波动的环境影响，那么外部参数可以成为随机变 量在很多情况下，这些变量可以呈现为稳定的随机过程对动力系统中这种 随机性的来源和种类更细致的讨论参看h o r s t h e m k e 和l e 矗w e r 【5 6 1 因此，如果 把环境的这种随机影响考虑进来，由上面的系统可以得到方程 圣0 ) = ，( 入o + ( t ，u ) ，z ( ) ) ， 其中入。对应环境状态的平均值，在某个概率空间( q ，厂，p ) 上的具有零期望的 稳定过程( t ，u ) 描述环境在平均值状态附近的变动 粗略地说，随机动力系统是由一个遍历理论意义下的保测动力系统 ( ( q ，厂，p ， 巩，t t ) ) ，t = r 或者z ) 和一个光滑( 或拓扑) 动力系统( 比如由微 分方程宕= ，( z ) 或差分方程z n + 。= 妒( z n ) 生成) 的结合，进而得到一个随机微 分方程( 比如r a n d o m 微分方程圣= ，( 口u ，z ) 或者差分方程z n + l = 妒( 以u ，z n ) ) 精确地说，随机动力系统由下面几个要素给出： ( i ) 时间t ，t = r 或者z ；概率空间( q ，p ) 连同其上的可测动力系统 巩：q q ，- 满足：对所有的t 有p 在以下是不变的； ( i i ) 可测映射妒：t + q x _ x 满足zh 妒( t ，u ) z = 妒( ，u ，z ) 对所有的 ( 厶u ) - r + q 连续以及具有共环( c o c y c l e ) 性质：对所有的t ，s t + ，u q 有妒( o ，u ) = i d ，妒( t + s ，u ) = p ( t ，以u ) o 妒( s ，u ) 成立，这里t + = r + 或者z + ，x 是一个p o i i s h 空间，其上装备了b o r e l 小代数 1 0 第l 章 引言 从动力系统的角度看，这种系统即把一个保测动力系统作为一个影响因 子，因为在此因子上有不变测度，从而遍历理论经常被运用进来；从概率的角 度看，即微分方程被实噪声或者白噪声所驱动在过去三四十年里，一个被称 为随机分析的体系快速崛起，其部分理论即是研究被半鞅过程驱动的微分方 程一定意义下，随机分析为我们提供了一种研究啪d o m 和s t o c h a s t i c 微分方 程的统一理论近些年随机动力系统理论发展的非常迅速，得到了很多有趣的 和意义深刻的结果a m o l d 的专著【8 1 在随机动力系统现代理论方面做了奠定 性的工作，这些理论涵盖了最重要的一族带有随机性( 随机性可描述环境的或 参数的扰动，内部的波动以及测量误差) 的动力系统，包含啪d o m 和s t o c h a s t i c 常微分、偏微分方程以及姗d o m 差分方程，为随机微分方程的定性理论的研 究提供了坚实的基础 随着研究的深入，在生态学、流行病学、经济学和生物化学领域，出现了 很多合作的啪d o m 和咖c h a s t i c 微分方程，由此生成所谓的单调随机动力系 统( 见a m o l d 【8 】和c h u e s h o v 嘲) 随机动力系统( 口，妒) 称为单调的，如果对任意 z ，x ， z 弓兮妒 ，u ) zs 妒( t ，u ) y ，v o ，u q 如前面所述，确定的合作微分方程已经被很多学者研究过了，在那里单调方 法和比较原理起了至关重要的作用但是，我们有理由相信单调动力系统可以 呈现确定性系统所没有的长期性态，比如，c h u e s h o v 【2 5 】给出了例子说明单调 随机动力系统的u 极限集可以包含一个非平凡的序子集，这一现象在确定系 统中是不会发生的这也正是阻扰确定单调系统的结果往随机系统直接扩展 的障碍之一基于已有的随机动力系统理论( 见a m o l d 【8 】) ，c h u e s h o v 【2 5 】建立了 单调随机动力系统的框架，他给出了单调随机动力系统理论的基本思想和方 法，并重点研究了随机平衡点和吸引子以及系统的渐近性态 前面已经提到，j i 锄g 【5 9 】研究了确定的合作系统的全局稳定性，并且一般 性的证明了在具有格结构的序b 觚a c h 空间上，单调系统( 不具有强单调性) 的 唯一的平衡点或者不动点是全局吸引的当且仅当每条轨道是预紧的我们基 于单调随机动力系统的理论，把这种全局稳定性推广到了随机系统中具体地 说，我们证明了如果单调随机动力系统的每一拉回轨道是预紧的，那么它的 唯一的平衡点便是全局吸引的由于我们的结果不需要强单调性，所以可以广 泛的应用于很多实际问题下面我们具体地给出我们的论述 1 1 第l 章引言 首先，我们研究了拉回轨道的沙极限集的基本性质，比如紧性、全不变 性和可测性，然后给出了唯一平衡点的全局吸引性 定理1 3 令y 是一个可分的砌口c 厅空同，并且具有正规的实心的极小 细加历p 讹砂正锥耳假设( p ，妒) 是一个状态空闯为1 厂的单调随机动力系统如 果下面两个条件成立： 俐对所有的声可测变量z ( u ) ，轨道礤丽= 可再孑= 习虱芘习对所有 r 2 0 的u q 来说都是y 中的紧集； 例任何两个尸可测的和有序关系的平衡点几乎必然相等 那么( 口，妒) 有一个p 可测的平衡点埘) ，并且这个平衡点几乎必然全局吸 引，更精确地说，对任意随机变量z ( u ) ， 对几乎所有u q 成立 1 i 璎妒( ，p t u ) z ( 口一t u ) = t 上，( u ) l - + 我们的结果可应用于一类子线性单调随机动力系统，用来研究其平衡点 的全局吸引性具体的，见注解4 2 4 h e t z e r ，s h e n 和z h u 【4 3 】研究了f i s h e r 型r a j l d o m 抛物方程： ：2 。u + m ( 巩为似1 一，z d ( 1 8 ) i i 赛= o ，z a d ， 其中dcr 是一个具有光滑边界的开的有界连通域，m ( 。，z ，乱) u ( 1 一“) 是 f i s h e r 型的，m ( u ，z ，牡) 可测如果进一步假设m ：( ，z ，u ) 0 ，乱 o ，l 】我们 便可应用定理1 3 得到方程( 1 8 ) 的平衡点l 在i n t h 中是几乎必然全局吸引 的具体可见注解4 2 5 1 2 第2 章两维i 册 严 0 ( 焦点是稳定的，如果r o ) ；称为中心，如果存在g 的一个邻域使得它的内 部充满闭轨( 更详细的介绍请参看【1 3 7 1 ) 此节的目的是给出系统( 2 1 ) 有闭轨的充分必要条件因为z 轴和y 轴是 系统的两条不变直线，因此任何非平凡的闭轨必须位于某个象限的内部如 果系统( 2 1 ) 在第二象限、第三象限或者第四象限内有闭轨，那么通过变换一 z 1 = ( 一1 ) 七z ，y 1 = ( 一1 ) 。y ，此系统便被转换为一个在第一象限内有闭轨的新 l 0 t k a v o l t e 吼系统因此，我们只需讨论系统( 2 1 ) 在第一象限有闭轨的充分 必要条件 由于 a p 8 q1 瓦2 口2 z ，瓦2 d 1 y ， d z 。 按照h i r s c h 【4 5 1 ，如果眈0 ，6 l o ( 眈0 ，6 1 0 ) ，则系统( 2 1 ) 在第一象限是 合作的( 竞争的) 因此，从【4 5 】可知： 命题2 1 如果n 2 6 1 0 ，那么系统仁矽在第一象限是合作的或者竞争的，因此 第一象限内的有界孰道将收敛于奇点 命题2 2 如果口1 6 2 o 并且口2 + 缱0 ，那么系统偿矽在第一象限没有非平凡 的闭轨 1 3 第2 章两维i 鲫 o ，秒 o ) ，u = l n z ( z o ) ，秒= l n 可( 剪 o ) 那么 ( 2 1 ) 等价于 客= 咖+ 口1 “a ：n = 脚，象= 6 0 + 6 1 e u + w ：= q l ( 让，吐 而且，对任意( 仳，u ) r 2 ，鲁+ 鲁= n l e + 6 2 e m o 因此由b e n d i x s o n 准则， 此系统在第一象限没有非平凡闭轨 口 因此，系统( 2 1 ) 在第一象限有非平凡闭轨的必要条件是口2 6 1 0 ，口1 6 2 o ) ， ( 2 2 ) i i1 72 可( + 凹+ y ) 宕= z ( 入一写+ 6 可) ( 6 o