（基础数学专业论文）两类lienard系统的hopf分支和一类近hamilton系统尖点环的扰动分支.pdf

论文题目：两类l i 6 n a r d 系统的h o p f 分支和一类近h a m i l t o n 系统尖点环的扰动 分支 学科专业：基础数学 学位申请人：田云 指导老师：韩茂安教授 摘要 h i l b e r t 第1 6 个问题的第二部分是找出任一n 阶多项式系统中极限环的最大 个数及其分布很多年来，对这个问题的研究已经取得了很多的成果，特别是对二次 和三次多项式系统但是，直到现在这个问题还没有完全的解决，即使是对于n = 2 的情况也没有极限环是由分支产生，这些分支包括h o p f 分支、同宿分支、异宿分 支、p o i n c a r 6 分支等近些年来，非光滑动力系统极限环的研究也有了长足的发展， 也取得了一些基础性的成果 本论文共分五章，各章内容简介如下： 第一章为引言，主要介绍了所研究课题的来源与现状，以及本论文中所使用的 研究方法和得到的主要结论 第二章为基本引理，主要是为本论文中的几个基本引理给出了详细证明，这些 引理在主要结论的证明当中起着重要作用 第三章为光滑l i 6 n a r d 多项式系统的h o p f 分支首先用新的方法重新证明了 l i 6 n a r d 多项式方程 = y 一( z ) ，痧= - x ( x + 1 ) ，( 1 ) 在中心点的h o p f 环性数是【2 n 3 - 1 ， ，这里口n ( z ) 是几次多项式且( o ) = o ；然后将新 方法应用于更一般的l i 6 n a r d 多项式系统 圣= 3 f z ) m ( z ) 一口h ( z ) ，雪= - x ( x + 1 ) p m ( z ) ， ( 2 ) 这里( z ) 为m 次多项式且p m ( o ) 0 ，得到其在中心附近的局部极限环最大个数 的上界为【4 n + r 2 m - 4 】一【警】，特别，当m = 佗= 1 、2 、3 、4 时，我们得到系统( 2 ) 在中 心点的h o p f 环性数是2 n 一2 第四章为非光滑l i 6 n a r d 系统的h o p f 分支这里我们结合使用了第二、三章 中的证明方法，主要研究了非光滑多项式系统 圣；y f ( z ) ，雪= - x ( x + 1 ) ， ( 3 ) 其中 i a + x i ，z 0 ， f ( z ) = ： i 町3 ：i ，z 0 ， 、i - - - - 1 得出系统( 3 ) 在原点的h o p f 环性数是【3 m r + 2 n - 1 】若m n ，或者【3 n + r 2 m - 1 】若礼 m 第五章为一类近h a m i l t o n 系统尖点环的扰动分支。我们主要研究近h a m i l t o n 系统 圣= y + e p 3 ( x ，y ) ，雪= 3 ：2 ( 1 一z ) + q 3 ( z ，y ) ， 这里b ( z ，y ) 和q 3 ( x ，y ) 是三次多项式，通过已知定理计算一阶m e l n i k o v 函数，从 而得到该系统在尖点环附近能产生5 个极限环 本论文的主要创新在于，在系统( 1 ) 的研究中，通过变量变换证明函数的线性 无关性，从而得到证明了结论所需要的条件，这与文献p e t r o v 【1 1 】中所用的复分析 的方法有很大的不同并且，我还将这方法成功地应用到多项式系统( 2 ) 和非光滑 l i 6 n a r d 系统( 3 ) 关键词：l i 6 n a r d 方程；极限环；h o p f 分支；尖点环 t h e s i st o p i c ：h o p fb i f u r c a t i o nf o rt w ot y p e so fl i d n a r ds y s t e m sa n db i f u r c a t i o nn e a r ac u s p i d a ll o o pi nan e a r h a m i l t o n i a ns y s t e m s u b j e c t ：b a s i cm a t h e m a t i c s d e g r e ea p p l i c a n t ：t i a ny u n i n s t r u c t o r ：p r o f e s s o rh a l lm a o a n a b s t r a c t t h es e c o n dp a r to fh i l b e r t s1 6 t hp r o b l e mi sr e l a t e dw i t ht h em a x i m a ln u m b e r a n dr e l a t i v ep o s i t i o n so fl i m i tc y c l e so fp o l y n o m i a ls y s t e m so fd e g r e e 铭m a n ym a n y w o r k sh a v eb e e nd o n eo nt h es t u d yo ft h ea b o v ep r o b l e mf o rm a n yy e a r s ，e s p e c i a l l yf o r q u a d r a t i ca n d c u b i cs y s t e m s h o w e v e r ，u pt on o wt h ep r o b l e mh a sb e e nn o ts o l v e dc o i n - p l e t e l yy e te v e nf o rt h ec a s eo fn = 2 l i m i tc y c l e sa r eg e n e r a t e dt h r o u g hb i f u r c a t i o n s u c ha sh o p fb i f u r c a t i o n ，h o m o c l i n i cb i f u r c a t i o n ，h e t e r o c l i n i cb i f u r c a t i o n ，p o i n c a r db i - f u r c a t i o na n ds oo n i nr e c e n ty e a r s ，t h es t u d yo fl i m i tc y c l e so fn o n s m o o t hd y n a m i c a l s y s t e m sh a sa l s ob e i n gd e v e l o p e d s o m eg e n e r a lf u n d a m e n t a lr e s u l t so fb i f u r c a t i o nf o r n o n s m o o t hs y s t e mw e r eg o t t h i sp a p e rc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s t h ep a r t i c u l a rc o n t e n t so fe a c hc h a p t e ra r e a sf o l l o w s a sa l li n t r o d u c t i o n ，i nt h ef i r s tc h a p t e rt h eb a c k g r o u n do fo u rr e s e a r c ha n dm a i n t o p i c s ，w h i c hw ew i l ls t u d yi nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r s ，a r ei n t r o d u c e d 。ad e s c r i p t i o no f o u rm e t h o d sa n dr e s u l t sd e r i v e di nt h i st h e s i sc a nb ef o u n di nt h i sc h a p t e r c h a p t e r2i sr e l a t e dw i t hp r e l i m i n a r yl e m m a s o u rm a i np u r p o s ei st op r o v i d ea d e t a i l e dp r o o fo fs e v e r a lm a i nl e m m a sw h i c hp l a ya l li m p o r t a n tr o l ei np r o v i n gm a i n r e s u l t s i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h eh o p fb i f u r c a t i o no ft w ot y p e so fs m o o t hl i d n a r dp 0 1 y - n o m i a ls y s t e m s f i r s t ，w eu s ean e wm e t h o dt op r o v et h a tf o rt h el i 6 n a r dp o l y n o m i a l s y s t e m 圣= y g n ( z ) ，雪= - x ( x + 1 ) ，( 1 ) w h e r eq h ( z ) i sap o l y n o m i a li nt h ev a r i a b l ezo fd e g r e ena n d ( 0 ) = 0 ，t h eh o p f c y c l i c i t yn e a rac e n t e ri s 【2 n 3 - 1j s e c o n d ，b ya p p l y i n gt h en e wm e t h o dt oa n o t h e r l i d n a r dp o l y n o m i a ls y s t e m 圣= y p m ( x ) 一( z ) ，痧= - x ( x + 1 ) p m ( z ) ，( 2 ) w h e r e ( z ) i sap o l y n o m i a li nt h ev a r i a b l ez o fd e g r e ema n dp 仇( o ) 0 ，w ep r o v et h a t f o re q ( 2 ) t h eu p p e rb o u n do ft h em a x i m a ln u m b e ro fl o c a ll i m i tc y c l e si s 【下4 n + 2 m - 4 卜 f u r t h e r ，w eo b t a i nt h a tt h eh o p fc y c l i c i t yo fe q ( 2 ) n e a rt h ec e n t e ri s2 n 一2f o r m = 礼= 1 ，2 ，3 ，4 i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h eh o p fc y c l i c i t yo fn o n s m o o t hp o l y n o m i a ls y s t e m b y a p p l y i n gt h em e t h o d si nt h es e c o n da n dt h i r dc h a p t e r ，w ec o n s i d e rt h en o n s m o o t h p o l y n o m i a ls y s t e m w h e r e 圣= y f ( z ) ，雪= - x ( x + 1 ) ， f ( x 1 = n i = 1 m i = 1 对，z 0 ， 町矿，z 0 ， ( 3 ) a n dp r o v et h a tt h eh o p fc y c l i c i t ya tt h eo n g i ni s 【学】f o rm no r 3 n + 2 一r n - - 11 f o r 礼 m i nt h el a s tc h a p t e r ，w ei n v e s t i g a t eo n ek i n do fn e a r - h a m i l t o n i a ns y s t e m 童= y + e p 3 ( z ，y ) ， 雪= x 2 ( 1 一x ) + s q 3 ( z ，y ) ， w h i c hh a sac u s p i d a l l o o pa n dw h e r ep 3 ( z ，y ) a n dq 3 ( x ，y ) a r ep o l y n o m i a l si nt h e v a r i a b l eza n dyo fd e g r e e3 a n dw ep r o v et h a tt h en u m b e ro fl i m i tc y c l e sa p p e a r i n g i nan e i g h b o r h o o do ft h ec u s p i d a ll o o pi s5 ，b yu s i n gs o m ek n o w nb i f u r c a t i o nt h e o r e m s t os t u d yt h ef i r s tm e l n i k o vf u n c t i o n t h em a i nm e t h o dw eu s ei nt h i sp a p e ri st h a t ，d u r i n gt h es t u d yo fe q ( 1 ) ，b ym a l e - i n gv a r i a b l et r a n s f o r m a t i o nw ep r o v et h el i n e a ri n d e p e n d e n c et og e tt h ec o n d i t i o nw h i c h i sn e c e s s a r yt oc o m p l e t et h ep r o o fo fm a i nr e s u l t s i ti sd i f f e r e n tf r o mt h em e t h o do f c o m p l e xa n a l y s i su s e di np e t r o v 【11 a n dt h em e t h o da l s oc a nb ei m p l i e dt op o l y n o m i a l s y s t e m ( 2 ) a n dn o n s m o o t hl i d n a r ds y s t e m ( 3 ) k e yw o r d s ：l i d n a r de q u a t i o n ；l i m i tc y c l e ；h o p fb i f u r c a t i o n ；c u s p i d a ll o o p 上海师范大学硕士学位论文学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了 特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成 果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示 了谢意。 论文作者签名：、刁五 日期：年月日 论文使用授权声明上海师范大学硕士学位论文 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保 留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其它手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此规定。 论文作者签名：司三 日期：年月e l 导师签名：日期：年月日 上海师范大学硕士学位论文第一章引言 第一章引言帚一早亏l 吾 在动力系统和微分方程的研究中，l i 6 n a x d 方程的极限环分支问题一直吸引着 广泛的关注，例如【l 卜 1 4 1 一般情况下，l i 6 n a r d 方程的形式为 蕾+ ，( z ) 圣+ 夕( z ) = 0 ， 其等价形式为 圣= y f ( z ) ，痧= - g ( z ) ， 其中f ( z ) = 后f ( x ) d x 这里我们先考虑l i 6 n a r d 方程的更一般形式 童= p ( v ) 一f ( z ，o ) ，雪= 一9 ( z ) ，( 1 1 ) 其中f ，9 和p 在原点附近是c 函数，并且满足 g ( o ) = 0 ，9 ，( o ) 0 ，p ( 0 ) = 0 ，f ( 0 ) 0 ，f ( 0 ，a ) = 0 ，a 职( 1 2 ) 假设 g ( z ) = g ( x ) d x ， f ( a ( z ) ，口) 一f ( z ，n ) = 鼠( 口) ，n = ( 口- ，) jo i。1。 其中q ( z ) = 一z + d ( 严) 满足：g ( q ( 。) ) 兰g ( z ) ，当1 时 在文献【5 】中有下面的结果 定理1 1 假设( 1 2 ) 成立如果存在正整数k l ，对所有a 黔满足 f ( q ( z ) ，a ) 兰f ( z ，口) ，当+ l = 0 ， 歹= 0 ，k 时， ( 1 3 ) 刃5 么 ( 1 ) 如果原点不是方程( 1 1 ) 的中心，那么它必是焦点，且其阶数最高为k ( 2 ) 如果所有如+ l ，j 七+ 1 都满足+ 1 = d ( i 易，玩，玩+ 1 1 ) ，那么对 任一正数，都存在原点的一个领域u n ，使得对所有的i b , i + i 玩i + + i b 2 七+ 1 i n 方程( 1 1 ) 在领域v n 内最多有k 个极限环 ( 3 ) 假设存在某个k 使得1 k n 一1 时( 1 3 ) 成立如果又有 哳( 小= 0 础黼l 斟1 ， 1 第一章引言 上海师范大学硕士学位论文 那么对n o 附近所有的口方程( 1 1 ) 在原点的某个领域内最多有k 个极限环，并且 存在这样的a 使七个极限环可以出现，也就是说，方程( 1 1 ) 在原点的环性数是k 我们可以将定理1 1 应用到多种l i d n a r d 系统和某些生物数学的模型当中，例 如文献 5 1 ，【6 】，【7 】，【1 2 】和【1 3 j 文献【7 】考虑系统 圣= 耖一a i x 褂1 ， 雪= - x ( x 2 一1 ) ， i = o 并且证明了其在点a ( 1 ，y 0 ) 和b ( - 1 ，一珈) 的h o p f 环性数都是礼，其中y o = 啦 所以这个系统的小振幅极限环的最大个数是2 n 文献 6 】中考虑的是多项式系统 其中 圣= 一一( z ) ， = 一一，(14ypm(x)qny - g ( x ) i x ) z2 一【z j ， = ，【) ( 1 5 ) 这里啦和6 t 都是参数显然在区域p m ( z ) 0 内系统( 1 4 ) 等价于l i d n a r d 系统 圣= y 一黑，y 。：一夕( z ) ( 1 6 ) 舻一蕊2 一夕 【1 t ；) 当g ( o ) = 0 时，易知点( 0 ，0 0 ) 是系统( 1 4 ) 的一个奇点文献【6 】应用定理1 1 得到 结论：假设( 1 5 ) 成立，如果g ( o ) = 0 ，d ( o ) 0 ，并且，当吲很小时有g ( - x ) = 一夕( z ) ， 那么系统( 1 4 ) 或者( 1 6 ) 在点( o ，a o ) 的h o p f 环性数是 m + 2 n - 1 j 在文献p e t r o v 【1 1 】中结果的基础上， 5 】和【3 】分别证明了l i d n a r d 系统 圣= y 一( z ) ，痧= - x ( z + 1 )( 1 7 ) 在原点的h o p f 环性数是f 2 n 3 - 1 | 本论文中，在不应用p e t r o v 【1 1 】中结论的前提下，结合定理1 1 我们用新方法 给出上面这一结果的一个新证明本论文中我们还将这个新方法应用到其他的多 项式系统中，这里包括非光滑的多项式系统，并且得出了一些新的结果，详见第三章 和第四章 在第二章中，我们主要是详细证明了几个引理，这些引理在主要结果的证明当 中起着重要作用 我们考虑方程( 1 1 ) 中取g ( x ) = x ( x + 1 ) 的情况假设a ( x ) = f g ( x ) d x ， 且q ( z ) = - - x + o ( x 2 ) 满足g ( q ( z ) ) 兰g ( z ) ，1 从定理1 1 中可以看出， 2 矿 啦 。铷 = z 矿 玩 m 筒 + 1 l i z 上海师范大学硕士学位论文 第一章引言 函数f ( a ( z ) ，a ) 一f ( x ，o ) 在极限环个数的证明中起着关键作用在第二章中，其 实是先对f ( x ) 取为幂函数，并做了基本研究，这样f ( q ( z ) ，a ) 一f ( x ，a ) 就变为 五 ) = ( z ) 一，这里i 是正整数我们证明了 k ( z ) = 一善1 1 碟( 争一矾 n 是正整数， 也就是说，厶( z ) 2 _ n 存在线性相关性然后我们做变量变换 z = ( 一1 一锈s i n8 + c o so ) 2 兰( 口) ，这里l o l 1 设厶( z ) = i d a ( e ) ) 三厶( p ) ，我们得到厶( p ) = k ， s i n ( i p ) ，其中s ( n ) = 七l 七 o ( m o d3 ) ，1 k 几) ，特别，k ，n = 2 咄+ 2s i n 等由这个结果我们可以知道由任意有 限个厶( z ) 组成的向量组的最大线性无关组 第二章中我们还研究函数厶，m ( z ) = 扩( z ) z m 一扩0 ) 扩，这里礼和m 都是正整 数，且n m 同样，进行上面的变量变换后，设厶，m ( z ) = 厶，m ( ( p ) ) 三厶，m ( p ) ，我们 得到厶，m ( 口) = k ，州s i n ( i e ) ，其中k ，m ，n + m = 2 哪一m + 2s i n ( 苎产7 r ) 第三章中，我们首先用新的方法证明了方程( 1 7 ) 在原点的h o p f 环性数是 2 n 3 - 1 1 在证明过程中，引入z = ( p ) 得到 咖( 训刊加，三，删咄) = 龋0 2 i + 1 0 2 i + 1 i o萎耐， j s ( n ) 、7 1 2 l 通过三角函数的幂函数展开式得到 锄+ l = o ( i 葫，西，而+ - i ) ， 这里2 = f 2 n 3 - 1 1 注意到0 = 一学z + o ( x 2 ) ，对比系数得 勘+ 1 ：1 ( 2 v 雨f 3 ) 而2 3 + 石i ( - - 可i ) 广+ i _ + l + o ( - u ( c l , c 3 , ，砀一1 ) ， 白巧+ 1 = j 万石可荔1 可+ l 十 一1 j 从而获得应用定理1 1 证明结论所需的条件 然后我们应用上面证明中的方法考虑方程( 1 4 ) 或者( 1 6 ) 在点c ( o ，a o ) 的极 限环分支问题，得出结论：假设( 1 5 ) 成立，如果取a ( z ) = x ( z + 1 ) ，则在点c ( o ，a o ) 附近极限环最大个数的上界是【4 n + r 2 m - - 4 】一【- - - 1 如同上面，我们也是先引入变换， 得到 q h ( q ( z ) ) g n ( z ) q h ( q ( z ) ) p m ( z ) 一g n ( z ) p 。( 口( z ) ) 一 q 。竹。( 口) =。_-_-_。一=一 ( q ( z ) )舫( z )( q ( z ) ) ( z ) p m ( q ( z ) ) ( z ) 3 第一章引言 上海师范大学硕士学位论文 其中， 赫( 驴善驯i n ( 枷) 2 端确俨件1 ， 这里，h 是关于m 和n 的正整数同上，对比系数后得到我们证明结论所需的条件 最后，我们对方程( 1 4 ) 或者( 1 6 ) 取m = 礼= 1 ，2 ，3 ，4 在这种情况下，证明了 其在点c ( o ，0 0 ) 的h o p f 环性数是2 n 一2 注意到2 n 一2 = 【丁6 - 4 】，所以上一结论中 极限环最大个数的上界是有可能达到的 在第四章中，我们讨论的是非光滑多项式系统的h o p f 分支问题这方面的基础 理论已有一些的成果，详细可参见c o l le ta 1 【1 6 ，f i l l i p p o v 2 0 ，l e i n ee ta 1 2 5 ，z o u e ta 1 【2 s 文献【1 5 】研究了平面上具有一般形式的非光滑l i 4 n a r d 系统的h o p f 环性数问 题。并给出了确定环性数大小的方法 1 1 5 1 考虑非光滑系统 圣= p ( v ) 一f ( x ，n ) ，多= 一夕( z ) ，( 1 8 ) 其中a 形， f 。，n ，= 0 ， ( 1 9 ) ( o ) = p o 0 ，( 砖( o ，n o ) ) 2 4 p o g 手 0 ， f ( 。) = ： 夕( z ) = z p + 1 ) ( 1 1 2 ) l n f ，z 0 ， 这里n 和口f 都认为是参数 我们证明了方程( 1 1 1 ) 在原点的h o p f 环性数是【3 m + 3 2 n - 1 】若m n 或者 【3 n + r 2 m - - 1 】若几 m 在证明过程中，设五( z ) = a i ( x ) + x i ，这里i 是正整数与 前面一样，我们也引入变量变换z = f ( p ) ，得到五( z ) = 五( f ( p ) ) 兰z ( p ) ，其表达式为 厶( 口) = c ，l ，c o s i 0 ，其中c n 一= 2 叫+ 2 c o s 警由此我们可以知道任意有限个五( z ) 都是线性无关的从而由变量变换得到 f ( q ( 枷一f ( z ) = 喜佩砸) + 瓦z ( 纠= 萎告焉v 2 i + 1 8 2 i + 1 - + - 萎饼饧， 注意到p = 一学z + o ( z 2 ) ，通过对比系数得 鼠= ( - 2 1 v 3 ) r ( - 1 ) 1 1c + o ( i c l ，c 2 , , c i - i i ) ，i 1 利用三组系数q ，鼠和也之间的关系我们得到上面所述的结论 在第五章中，我们讨论的是具有尖点环的h a m i l t o n 系统我们考虑这样的系统 圣= 吼+ e 盹6 ) ， ( 1 1 3 ) 雪= 一也+ q ( z ，y ，6 ) ， 这里p ( x ，y ，6 ) ，q ( x ，y ，j ) 和h ( x ，y ) 都是伊函数，是小参变量，并且6 dc r m ，d 为紧集如果= 0 ，方程( 1 1 3 ) 变为 圣= 巩， 雷= 一也 ( 1 1 4 ) 5 第一章引言上海师范大学硕士学位论文 我们假设方程( 1 1 4 ) 有一族周期轨如，这里l h ( z ，可) 1 日( z ，y ) = 危) ；并且还假设 这族周期轨的边界是中心或者同宿环或者异宿环 近些年来，对确定中心或者同宿环或者异宿环附近极限环个数的研究一直是一 个热门学术话题比如，文献【3 l 】，【3 3 ，【3 5 】和【3 2 】研究了异宿环或者同宿环上奇点 都是双曲鞍点的情况，而文献f 3 4 】研究的则是同宿环上奇点是非双曲的情况本论 文中，我们借用了f 3 4 1 中的结果，详见第五章第一节 本论文讨论系统 圣= y + e p 3 ( z ，剪) ，1 7 = x 2 ( 1 一z ) + e q 3 ( = ，秒) ，( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 对于方程( 1 1 5 ) 我们有 日( 删) = 互1 旷一三z 3 + 易得周期轨族 厶) 的边界就是同宿轨l o ( 。，y ) 1 日( z ，y ) = o ，并且l o 过原点， 而原点是尖点 对于方程( 1 1 5 ) ，我们证明了其在附近能产生5 个极限环 6 矿 z = i 3 删 = 鲈 z “q 矿 3 删 = d扛r 里这 上海师范大学硕士学位论文 第二章基本引理 第二章基本引理 帚一早 莶今5l 埋 2 1 引理 设夕( z ) = x ( x + 1 ) ，令 g ( 垆9 ( o xg ( 州z = 虿x 2 + 萼 ( 2 1 1 ) 易得存在q ( z ) 满足：当1 时g ( a ( z ) ) = a ( x ) 成立由( 2 1 1 ) 我们可得 型掣= 壶( 乜刊+ 2 + a x + z 2 ) ， 从而，由g ( a ( 。) ) 一a ( z ) = 0 得 ，、=一-2x-3+v7-12x2-12x+9=一z一善z2一百423一二164atx) - d - 4 x + u 一( 7 x 5 ) ( 2 1 2 ) = 一= 一z i z _ 一石z v 一 十 u ，【z 上z ， 记 五j ( z ) = a 4 ( z ) 一一c e ( x ) x 4 ， 其中五，o ( z ) 可简记为厶( z ) ，也就是说五( z ) = ( z ) 一对于厶( z ) ，i 0 ，我们可得 到下面的引理 引理2 1 对任何正整数n ，k ( z ) 可表示为 k ( z ) = 一碟( 芸) 一；( z ) 证明我们用数学归纳法来证明命题成立 当n = l 时，由于g ( a ) = g ( z ) ，从( 2 1 1 ) 可得 厶( z = a s - - x 3 = 一3 ( 0 r 2 - - x 2 ) = 一3 i z ( z ) 所以，对于扎= 1 ，命题成立 假设当n = k 时命题成立，即 以z ) ：一壹砚( 芸) - ( n i = 1 一 下面证明当n = k + l 时命题也成立 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 7 第二章基本引理 即 由( 2 1 4 ) 等式两边同时乘以+ ，歹= 2 ，3 ，可得 上海师范大学硕士学位论文 j 。七扛) ( + ) ：一k 瓯( 耋) t 如七一；( z ) ( 一+ 夕) ， j ：2 ，3 ， 妣地小) = 一妻唾( 洳以) + 1 3 k - t j - 2 ，3 ( 2 1 5 ) 同样，由( 2 1 3 ) 等式两边同时乘以q m + z m 可得 厶( z ) ( q m + ) = 一兰厶( z ) ( q m + z m ) ， 这里m 是正整数，即 k + 3 ( z ) + 如，m ( z ) = 一3 _ 2i m + 2 ( z ) 一3 2 1 2 ，m ( z ) 注意到厶j ( z ) = 一乃，t ( z ) ，上式整理得 厶+ 3 ( z ) + 互3 k + 2 ( z ) = k ，3 ( z ) + 互3 k ，2 ( z ) ( 2 1 6 ) 由( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 可得 1 3 k + 3 ( z ) + 互31 3 脚( z ) = 去【厶知+ 3 ) + ，3 ( z ) + 互3 ( 厶知+ 2 ) + 厶蛐 ) ) 1 兰( 札啪( z ) + k “瑚】 + ( 如七一，3 ( z ) + 3 2 i 驰一，2 ) ) 1 从而 k 3 ( z ) ：_ ( 1 + 硪) 扣+ 2 ( 圹壹( 审1 + 碳) ( 兰) 挣如) 一( 、2 ，3 、k + i i z 啪( 破。 1=2。 或重写为 8 厶艄( z ) ：一k + l 瓯。( 3 2 ，i i l 3 k + 3 - , ( z ) 厶艄( z ) = 一瓯t ( 9 ， ( z ) + ， 砌 出 删 卅 如 扣 如 卜 钆f k + + 3 2 力 动 + 帖 i 3 互 三 m 厶 厶 卜 讯 他 k 3 2 3 2 y ，l ；一z v v 鸸 七萱汹。d菱!i蒌f汹 一 一 一 上海师范大学硕士学位论文第二章基本引理 所以当他= k + 1 时，命题成立 综上所述，对于任何正整数n ，本命题都成立证毕 下面，引进变量变换 z = ( 一1 一、亏s i n l 9 + c o s 0 ) 2 三( 口) ， 其中例1 因为 一1 2 x 2 1 2 x + 9 = 一3 ( 2 x + 1 ) 2 4 】= 一3 ( 3 s i n 20 + c o s 2 口一2 以s i n 0 c o s0 4 ) = 一3 ( 一s i n 2 口一3 c o s 2 口一2 以s i n 9 c o s0 ) = 3 ( s i n 0 + 锯c o s o ) 2 ， 所以将上式代入到( 2 1 2 ) 得 q ( z ) = ( - 1 + 3 s i n p + c o s o ) 2 = ( 一p ) 设厶( z ) = 厶( ( 秽) ) 兰厶( p ) ，则有厶( p ) = k ( 一口) 】n 一【f ( p ) 卜所以周期函数厶是 关于自变量p 的奇函数并且，对于其傅立叶展开式我们有下面引理 引理2 2 对于任何正整数佗，函数厶( 口) 的傅立叶展开式满足下列形式 五( p ) = b , ts i n ( i o ) ， i e s ( n ) 其中s ( n ) = k l k o ( m o d3 ) ，i k 几 ，而且系数k l 与自变量p 无关，特别， k ，n = 2 呻+ 2 s i n 警， 证明 对任何整数孔1 ，由厶的定义得， i ( 口) = ( - 1 + 怕s i n o + c o s o ) 他2 n 一( 一1 一锈s i n 0 + c o s o ) n 2 n = - n 暖【l 一( 一1 ) 歹】( 以8 i no ) j ( - - 1 + c o so ) 州 = 2 - n + 1 碟( 饲js i n p ( 1 一c 0 8 2 口) 等( 一1 + c o s o ) 一 j = l ，喇 既然歹是奇数，通过( 1 一c o s 2 秽) 孚对c o s 2 口的展开式和( 一1 + c o s o ) n - j 对c o s 的 展开式，我们进一步得到 t ln - - 1 夏( p ) = 2 哪+ 1 暖( 蜩。s i n 0 瓦，t c o s t 0 j = l ，jo d d i - - - - o n - - i，l = 2 + 1 j ，t 嚷( v r 3 ) - ，s i n o c o s p二，_ 一 ” i = 0j = l ，jo d d n - - 1 = 2 “b i s i n o c o s i 0 ， 9 第二章基本引理上海师范大学硕士学位论文 其中 如，= 2 z + k = i 磷一jc 量2 ( - - i ) 十七，玩= 弓乒铝( 以) j ，0 i n 一1 o m ， c o s l 0 2 j i ( 一丢1 ) 州嚷锚 ( 一百) 一嚷锚 j = m a x o ，i - m 五，m ( 口) = ，( 口) 云一m ( p ) ：( c 0 8 2 口一c o f s0 一丢) m b n - m , k s i n 七日 k e s ( n - m ) ( 巯c o 口) ( k 一，s i n k o ) i = 0 k e s ( n m 1 k e s ( n - m ) 2 m k m k ( s t nk o e r n ic o s 。p ) ， 我们反复应用2 s i n m o c o s 0 = s i n ( m + 1 ) 口+ s i n ( m 一1 ) 0 ，可得 特别， 从而 其中 1 2 2 m s i n k o c o s 0 = i = 0 靠，m 。七+ 加= 2 2 仇磊，2 m = 2 2 供 奄+ 2 m k ( p ) = k 仇，七瓦，m , i s i n j o k e s ( n - r a ) f i + m n 一n j = l k m ，七蟊m js i nj o j = lk = m a x 1 ，j 一2 m n + m k ，m js i n j o j = l k ，m j = 6 n m ，七靠，m j ， k = m a x l ，j - 2 m ( 2 1 9 ) ( 2 1 1 0 ) 铷 pne 一州 上海师范大学硕士学位论文 第二章基本引理 特别，由( 2 1 9 ) 和( 2 1 1 0 ) 得 证毕 k ，m ，n + m = 6 n m ，n m 磊一m ，m ，n + m - - 2 - n - m + 2 s i n n - - i w t ) t r 1 3 箜三童当l i 6 n a r d 多项式系统的h o p f 分支上海师范大学硕士学位论文 第三章 光滑l i 6 n a r d