（基础数学专业论文）具有正ricci曲率黎曼流形的球面定理.pdf

s p h e r et h e o r e m f o rr i e m a n nm a n i f o l d sw h i c hh a v e p o s i t i v er i c c ic u r v a t u r e at h e s i ss u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ： q i ns h a o d o n g s u p e r v i s o r ：p r o f w uc h u a n x i h u b e i u n i v e r s i t y w u h a n ，c h i n a 0舢2洲9咖63 7ii1洲y 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，i l p ： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务：学校可 以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文：在不以赢利为目 的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容( 保密论文在解密后遵守 此规定) 作者签名： 暮多右、 指导教师签名瓤 日期：劲降 日期：细p 年 月乃e l s 只lb ， 中文摘要 摘要 球面定理是微分几何与几何分析研究领域的一个重要研究课题，也是一个热 点问题，其研究受到国内外数学家的广泛关注本文就具有正r i c c i 曲率流形的球 面定理进行了探讨 第一部分简要介绍球面定理的研究背景以及本文的研究内容 第二部分回顾了整体微分几何的基础知识，包括黎曼曲率的基础知识和体积 比较定理，以及郑绍远最大直径定理 第三部分是本文的主要内容，讨论了具有正r i c c i 曲率流形的球面定理证明 了对于直径为任何正数，单射半径有任意正下界的黎曼流形，当其r i c c il t 丑率有适当 下界时，其同胚于球面 关键词：r i c c i 曲率，单射半径，体积比较，球面定理 湖北大学硕士学位论文 a bs t r a c t s p h e r et h e o r e mi sa ni m p o r t a n ts u b j e c to nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r ya n dg e o m e t r i c a n a l y s i s i ti sa l s oah o ti s s u ea n di th a sb e e ns t u d i e de x t e n s i v e l yb ym a t h e m a t i c i a n s a t d o m e s t i ca n da b r o a d t h et h e s i si sm a i n l yt os t u d yt h es p h e r et h e o r e mf o rm a n i f o l d so f p o s i t i v er i c c ic u r v a t u r e i nt h ef i r s tp a r t ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do fs p h e r et h e o r e ma n dt h e c o n t e n t so ft h i st h e s i s i nt h es e c o n dp a r t ，w er e c a l lt h eb a s i ck n o w l e d g eo fg l o b a ld i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , w h i c hi n c l u d e st h eb a s i ck n o w l e d g eo fr i e m a n n i a nc u r v a t u r e ，v o l u m ec o m p a r i s o n t h e o r e m , a n ds y c h e n g sm a x i m a ld i a m e t e rt h e o r e m t h et h i r dp a r ti st h em a i nc o n t e n to ft h i st h e s i s ，i ts t u d yt h es p h e r et h e o r e mf o r m a n i f o l d so fp o s i t i v er i c c ic u r v a t u r e i ti ss h o w nt h a tf o rar i e m a n n i a nm a n i f o l dw i m i n j e c t i v i t yr a d i u sb o u n d e db e l o wb ya n yp o s i t i v ec o n s t a n t , d i a m e t e ri sa n yp o s i t i v e c o n s t a n ti sh o m e m o r p h i ct oas p h e r ew h e ni t sr i c c ic u r v a t u r ei sb o u n d e db e l o wb y k e y w o r d s ：r i c c ic u r v a t u r e ，i n j e c t i v i t yr a d i u s ，v o l u m ec o m p a r i s o n ，s p h e r et h e o r e m 目录 目录 摘要i a b s t r a c t ( 英文摘要) 1 引言1 1 1 球面定理的研究背景1 1 2 本文的研究内容和组织结构2 2 预备知识3 2 1 黎曼流形的基础知识3 2 2 单一半径7 2 3 郑绍远最大直径定理1 0 3 球面定理1 4 3 1 基本知识1 4 3 2 主要结论及证明1 4 4 结果及展望1 6 4 1 结果与展望1 6 参考文献1 7 致谢2 0 1 引言 1 1 球面定理的研究背景 1 引言 曲率与拓扑的关系是微分几何研究领域中的一个重要研究课题，也是一个热 点问题，其研究受到国内外数学家的广泛关注整体微分几何中最主要的问题是 曲率如何影响流形的拓扑性质，即如何由局部的曲率决定整体的拓扑，这里所说 的曲率可以是任何一种曲率，例如截面曲率，r i c c i 曲率，数量曲率，本文主要是讨 论r i c c i 曲率如何影响拓扑 关于正r i c c i 曲率的一个经典定理就是b o n n e t m y e r s 定理：设( m ，g ) 是完 备n 维黎曼流形，r i c c i 曲率满足r i c m ( n 一1 ) a ，a o 为常数，则( m ，夕) 是直 径不超过去的紧致黎曼流形1 9 7 5 年，c h e n gs y 【1 】研究了当直径取最大值时 流形的性质，证明了此时流形等距于球面众所周知，等距是微分几何中最强 的性质，然后性质依次递减的是微分同胚，同胚，同伦等等因此，人们就很自 然地提出一个问题：当直径与所能取的最大值充分接近时，能否得到比等距稍 弱的性质，例如微分同胚或同胚于球面? 需要指出这个猜测对于截面曲率是 对的，1 9 7 7 年，k g r o v e 和k s h i o h a m a t 2 】证明了当流形m 的截面曲率k m 1 且 直径d i a m m 吾时，则m 同胚于球面，但这个猜测对于r i c c i 曲率不成立，m t a n d e r s o n l 3 和yo t s u 【4 】分别给出了反例，因此要使流形同胚于球面，需要再 加某些条件e s c h e n b u r 9 1 5 1 和n a k a m u r d 6 1 分别独立证明了对于给定的n 2 ， p o 0 ，k 0 ，存在e = ( n ，k ，p o ) 0 ，使得当m 上的度量满足k m 一k 2 ， r i c m ( n 一1 ) ，i n j m p o ，d i a t o m ( 7 r e ) 时，m 同胚于伊1 9 9 1 年，p p e t e r s e n 7 】将【5 】【6 】论文中的条件k m 一k 2 去掉，得到相同的结论，1 9 9 5 年，g p e r e l m a n s l 将【5 】【6 】论文中的条件i n j m p o 去掉，也得到了相同的结论2 0 0 1 年， w t u s c h m a r m 9 】将 5 】 6 】论文中的条件i n j m p o 去掉，将k m 一k 2 改为k m 有 上界，其余不变，得到m 微分同胚于球面 把猜测中的直径接近最大值改为体积接近最大值的问题，也有人做 过研究，1 9 9 4 年，g p e r e l m a n 【l o 】证明了当r i c m ( n 一1 ) 且m 的体积充分接 近球面扩的体积时，m 同胚于球面1 9 9 7 年，t c o l d i n g 和j c h e e g e r 【1 1 1 在g p e r e l m a n 0 0 相同的条件下，证明m 微分同胚于球面还有其他一些几何学家 将关于直径和体积的条件换为其它条件，也得到了球面定理总之对正r i c c i 曲 率的流形的拓扑做过研究的人还有a n d e r s o n 0 2 ，b e s s a i l 3 1 ，c a i 【1 4 1 ，c o l d i n g 1 5 1 ， 湖北大学硕士学位论文 g r o v e p e t e r s e n 1 6 1 ，i t o k a w a 1 7 1 ，k a t s u d a1 1 钔，o t s u 1 9 1 ，p a e n g 2 0 1 ，1 2 1 1 ，p e t e r s e n - z h u 2 2 1 ， s h i o h a m af 2 3 1 ，w i l h e l m 2 4 1 ，w u z 5 1 ，x i a 2 6 1 ，a n dy a m a g u c h i 阳 本文重点研究了pp e t e r s e n 7 】的论文，并借助它的方法证明了一个与其相似的 球面定理 1 2 本文的研究内容和组织结构 设( m ，9 ) 是完备佗维黎曼流形，在文献【7 】中，当超出量为o 时，流形为球面，因 此在一般情况下，我们期望当超出量充分小时，流形应该拓扑等价于球面，于是得 到了下面的定理 定理a 吲给定一个整数r t 2 和i o ，七，v 0 ，存在= e ( 仃，t o ，k ，v ) 0 ，使得 任何满足r i c c i 曲率r i c m 一k 2 ( n 一1 ) ，单射半径 叨m i o ，体积v o i ( m ) v ，且 超出量e x c ( m ) g 的闭连通礼维黎曼流形m 同胚于球面伊 当r i c c i l 拄t 率r i c m ( 佗一1 ) 时，i 主i b o n n e t m y e r s 定理得直径d i a m m 7 r ，由于 当r i c c i 曲率有下界时。由体积比较定理得，直径有上界等价于体积有上界，因 此m 的体积有上界又因r i c m ( n 一1 ) 且d i a m m ( 7 r g ) 时，可得一个重要结 论，o p e x c ( m ) 妒( 佗，e ) ，其中e _ o 时妒( n ，) _ o ，因此可得下面的结论 推论b m 给定一个整数几2 和i o 0 ，存在e = 6 ( n ，i o ) 0 ，使得任何满 足r i c c i 曲率r i c m ( n 一1 ) ，单射半径i n j m i o ，且直径d i a m m ( 7 r s ) 的n 维 黎曼流形m 同胚于球面驴 本文在此推论基础上，让r i c c i l t 自率的下界变化，直径固定为任意一个常数，在 单射半径有下界的情形下，得到了相同的结论 引理c 给定一个整数n 2 和t o 0 ，g ( n ，i o ) 关t r i o 递增 定理d 给定一个整数扎2 和常数i o 0 ，d 0 ，则存在6 = 6 ( 死，i o ，d ) ， 且0 6 ( 秀) 2 ，使得任何满足耻c c i 曲率威c m m 一1 ) j ，单射半径 力m i o ，直 径d i a m m = d 的n 维黎曼流形m 同胚于球面铲 下面是本文的组织结构 第一部分介绍了整体微分几何的基础知识 第二部分回顾了体积比较定理和郑绍远最大直径定理 第三部分分析了pp e t e r s e n 7 1 的论文，并借助它证明了一个与其相似的球面定 理 2 2 预备知识 2 预备知识 2 1 黎曼流形的基础知识 定义2 1 1 2 8 1 设m 是一个黎曼流形，夕是m 上的一个光滑的二阶协变张量 场，如果9 是对称正定的，即对每一点p m ，9 ( p ) 是切空间乙m 上一个对称正 定的二阶协变张量，则称9 是m 上的一个黎曼度量指定了一个黎曼度量g 的 光滑流形m 称为黎曼流形，记为( m ，9 ) ，简记为m 假定m 是一个m 维的有向 黎曼流形， ( 玩，z a i ) ：o l ，) 是m 的一个与其定向相符的坐标覆盖，设g i = 鳐如客螅是( m ，9 ) 上黎曼度量，定义体积元素d v mi u s = 碾出三如乏d z y 定义2 1 2 2 8 1 设m 是m 维光滑流形，所谓m 上的一个联络d 是指满足下列条 件的映射d ：彤( m ) 彤( m ) 一影( m ) ： ( 1 ) d y + i z x = d y x + f d z x ； ( 2 ) d y ( x + a z ) = d y x + a d y z ； ( 3 ) d y ( f x ) = y ( s ) x + f d y x 其中巩x = d ( x ，y ) x ，z f i r ( m ) ，入r ，f c ( m ) 指定了一个联络d 的光滑流形( 旭d ) 称为一个仿射联络空间 定义2 1 3 2 8 1 设( m ，夕) 是m 维黎曼流形，d 是m 上的一个联络如果d g 三0 ， 即对于任意的z 影( m ) ，都有d z g = 0 ，则称联络d 与黎曼度量夕是相容的 定理2 1 4 【2 8 1 ( 黎曼几何的基本定理) 设( m ，夕) 是m 维黎曼流形，则在m 上存 在唯一的一个与度量夕相容的无挠联络d ，称为( m ，9 ) 的黎曼联络或l e v i - c i v i t a 联 络 定义2 1 5 【冽设( 尬d ) 是一个m 维仿射联络空间，y ：【a ，6 】一m 是m 中的一 条光滑曲线，x 彤( m ) 如果沿曲线，y ，对任意t 【口，6 】，有 d r ，x = 0 ， 则称切向场x 沿曲线，y 是平行的，或称x 是沿曲线7 的平行向量在黎曼流形上可 以定义曲率算子，曲率张量，黎曼曲率张量 定义2 1 6 【冽设( m ，d ) 是m 维仿射联络空间对于任意的x ，y 影( m ) ，定 3 湖北大学硕士学位论文 义映射冗( x ，y ) ：彩( m ) _ 形( m ) 如下：任意z 形( m ) ， n ( x ，v ) z = d x d y z d y d x z d x ，v i z ， 并称n ( x ，y ) 为仿射联络空l n - ( m ，d ) 关于光滑向量场x ，y 的曲率算子 定理2 1 7 【2 8 】假设( m ，d ) 是仿射联络空间，则对任意的x ，y 形( m ) 曲率 算子n ( x ，y ) 具有如下的性质：v f c ( m ) ， ( 1 ) r e ( x ，y ) = 一冗( ex ) ； ( 2 ) z e ( s x ，y ) = 冗( x ，f y ) = f z z ( x ，y ) ； ( 3 ) n ( x ，y ) ( f z ) = s n ( x ，y ) z 由曲率算子定义下面的三重线性映射 定义2 1 8 【2 8 】假设( m ，d ) 是仿射联络空间，则对任意的x ，kz 影( m ) 冗：影( m ) 彤( m ) 彤( m ) _ 彤( m ) ， ( z ，x ，y ) hz e ( x ，v ) z 由定理2 1 4 知7 已对于每一个自变量都是c 一线性的，故冗是m 上的( 1 ，3 ) 型光滑张 量场，此时冗称为仿射联络空间( m ，d ) 的曲率张量( 场) 作为张量场，7 已在每一点p m 给出了一个( 1 ，3 ) 型的张量，对任意的u ，移，w 耳( m ) ， ：耳( m ) x 耳( m ) 耳( m ) 一耳( m ) ， ( t o ，u ，移) h7 ( 仳，移) 伽 设( u ；) 是m 的一个局部坐标系，则7 已在局部上可以表示为 冗= 硝d x 忌。丽0 p 础圆d x j 定义2 1 9 嗍( m ，夕) 是黎曼流形，定义四阶协变张量场，对任意x ，z ，w 影( m ) ，有 r ：x ( m ) x ( m ) x ( m ) x 彤( m ) 一c ( m ) ， r ( x ，z ，w ) = g ( n ( z ，w ) x ，y ) ， 4 2 预备知识 r 称为黎曼流形( m ，夕) 的黎曼曲率张量 对黎曼流形( m ，夕) 的黎曼曲率张量有t y u 性质： 定理2 1 1 0 2 引( m ，9 ) 的黎曼曲率张量 r ：影( m ) z 彤( m ) 彤( m ) x 形( m ) _ c 0 。( m ) ， 具有下列性质：对任意x ，y ；z ，w 形( m ) ， ( 1 ) 反对称性： n ( x ，vz ，w ) = - n ( r , x ，z ，) ； n ( x ，z ，w ) = 一兄( x ，r 彬z ) ； ( 2 ) 第- - b i a n c h i 恒等式： r ( x ，vz ，w ) + r ( z ，彬x ) + r ( 彬y , x ，z ) = 0 ； ( 3 ) 对称性： r ( x ，互w ) = r ( z ，彬x ，y ) 定义2 1 1 1 汹1 2 次外微分式= 删一钟八以称为仿射联络空间( md ) 在 局部切标架场 m i n 、j i 雨r ，互1 z ( 胗，9 ) ) 8 2 预备知识 证明因为m n 紧，可选取伽m 他使得 这里我们用了下列事实： ，( m n ) = i n j ( m n ) c ：s m n r u + ) ， ，v ) _ 勺，口 是e _ s m n 上的连续函数，j 区_ f f l s m n = ，v ) l p m n ，t j t v m n ，0 = 1 ， c v ，口= s u p t l d ( p ，e x p p ( t v ) ) = 亡) 由勺， 的连续性，我们可选取g o c ( p o ) 使得 d ( p o ，q o ) = ，( m n ) 应用引理2 2 4 于 伽，q o 得出 ( i ) 或者伽和口。沿某条最短测地线共轭 ( i i ) 或者存在经过加和口0 的一条光滑闭测地线 砂：s 1 一m n ， 使得 言l ( 妒) = d ( p o ，q o ) 当情况( i ) 出现时，n h r a u c h t 七较定理( 因为k m 。凰) 共轭点不会在0 t 了高时出现，从而 啦南 总之，我们有 证毕 ，n j ( m n ) d ，9 0 ) 仇州而7 1 ，互1 缈，朴 9 湖北大学硕士学位论文 2 3 郑绍远最大直径定理 在证明郑绍远最大直径定理之前，我们来介绍- - - f g r o m o v b i s h o p 比较定理 为了叙j 苤_ g r o m o v b i s h o p 比较定理，我们需要引进一些必要的符号 设 ( r ，e ) ) ，o 。伊一t ( 1 ) 是n 维欧氏空间r 竹中的极坐标， e x p p ：r n m 竹 ( r ，e ) _ e x p p ( r o ) 为了计算( m n ，9 ) 在e 嘞( r e ) 处的体积元素和a b r ) 的面积元素，我们 取【e 1 ，e ”1 ct e ( s n - 1 ( 1 ) ) 为一组正交基，这里e s n 一1 ( 1 ) 令( 亡) = e x p p ( t o ) 在眄上考虑- - 坌 j a c o b i 场 正( 亡，0 ) = ( e x p p ) 。i t o ( t e i ) 定义 ( 芒，0 ) = ( 五( 亡，e ) ，易( 亡，e ) ) ， 比e ) = v d e t ( g u ( t , o ) ) ， 则 d a o b ，0 9 = 妒( r ，o ) d o ， d v o l u , , ，g = 妒( r ，o ) d r d o ， 这里d e 是单位球面s n - 1 ( 1 ) 的单位面积元 显然 a r e a ( o b r ) ) = 妒( r ，o ) d o ， ，e s 住一1 ( 1 ) 口。k ( 耳仞) ) = o rl e s - t ( 1 ) q o ( z ，e ) d o d t 因此，对体积元的系数妒( t ，e ) 的估计至关重要 定理2 3 1 ( g r o m o v b i s h o p ，系数比较) 2 9 1 设( m n ，9 ) 是完备的融e m 锄流形， 2 预备知识 p m n ， ( r ，e ) ) 为m n 在p 处的测地极坐标，d v o l m n ，9 = 妒( r ，o ) d r d o 矛l d a o 研( p ) = 妒( 7 ，o ) d o 如上，这里d o 是伊- 1 ( 1 ) 的标准体积元素，则下列结论成立： ( i ) 如r i c m 0 ，则锗掣是递减函数，等式妒( 亡，0 ) 三t n - 1 对所有0 s n 一1 ( 1 ) ， t 0 ，亡o 】当且仅当b 。仞) 等距于b , o o ( d ) ； ( i i ) 女h r i c m 佗一1 ，t ( 0 ，7 r 】，则筹等是递减函数，等式妒( 亡，0 ) 三 s i n t 铲1 对v o s - 1 ( 1 ) 和t 0 ，丌 成立当且仅当( m n ，9 ) 等距于伊( 1 ) ； ( i i i ) 如r i c m 一( 礼一1 ) ，则器是个递减函数 命题2 3 2 【2 9 】 设q = e x p p v ，o ( t ) = e x p p ( t v ) 则p 和口沿盯共轭当且仅 当( e x p p ) 。1 秒不满秩 推论2 3 3 2 9 1 设( m n ，9 ) 是完备的r i e m a n n 流形，p m n 如果存在t o 0 使 得对所有v m nc2 k m n ，( e x p p o ) 。k 不满秩对某个0 7 r 证明 由推论2 3 3 ，我们只需证明：对任意v 易m n ，l i v l l = 1 ，令盯( 亡) = e x p p ( t v ) ，贝l l a l t o , 丌1 至少有一个p 的共轭点 为了验证这一点，我们考虑在p 处的测地极坐标_ 【( r ，e ) ： e x p v ：p _ m n ( r ，0 ) _ e x p p ( r o ) ， 这里e 酽一1 ( 1 ) 令 e 1 ，一1 ) 为码( 扩一1 ( 1 ) ) 的一个正交基 则 g , j ( t ) = g o ( t ，口) = ( ( e x p p ) 。i 细( t e i ) ，( e z p p ) 。k ( 吻) ，) = 比口) = 、d e t ( g o ( t , v ) ) 湖北大学硕士学位论文 d v o l m n ，9 = 妒( 亡，o ) d o d t 因为r i c ( m n ，g ) 一1 ) ，i 扫g r o m o v - b i s h o p 比较定理2 3 1 得到 妒( t ，e ) s i nt n - 1 是个递减函数由于s i n z - = 0 ，我们可推出存在t u 0 ，7 r 】使得妒( 气，口) = 0 ，从 而由命题2 3 2 和推论2 3 3 导$ ( e x v p ) 。i t v v 非满秩如果d ，q ) = f ，则 d ( p ，q ) = f t 7 r 证毕 定理2 3 5 ( 郑绍远最大直径定理) 【2 9 】设( m n ，9 ) 为一个紧黎曼流形，满 足m c c i 曲率r i c m 。，9 m 一1 ) ，直径d i n m ( m n ，g ) = 7 r ，则( m n ，夕) 必等距于单 位球面铲( 1 ) 证明取m n 中的两点伽，口0 使得 d ( p o ，q o ) = d i a m ( m n ，g ) = 7 r 令 b r ( p ) = q m l d ( p ，q ) o 卜 因为r i c m 一1 ) ，i 由m y e r s 定理得 因此 d i a m ( m n ，g ) 7 r 日) = 毋( 9 0 ) = m n ， v o l ( m ，g ) = v o l b , ，( q o ) 】_ 移d 研) 】 1 2 2预备知识 所以 又因r i c m ( 凡一1 ) 和g r o m o v b i s h o p 比较定理，我们有 v o l ( b 三( p o ) ) v o z ( b 丌( p o ) ) 口o f ( 雪吾( o ) ) 二v o l ( s n ( 1 ) ) 即 v o l ( b 三( p o ) ) 、v o l ( b 三( o ) ) 1 v o l ( m n )一v o t ( s n ( 1 ) ) 2 一一= 一 等式成立当且仅当碉等距于伊( 1 ) i i p ( m n , 9 ) 等距于伊( 1 ) 用同样理由，我们也可以得出 v o l ( b 吾( q o ) ) 1 1 丽万互。 注意 d ( p o ，q o ) = 7 r ， b 吾) nb 三( q o ) = d 因此， v o l ( m , g ) v o l ( b 吾) ) + v o l ( b 吾( q o ) ) 吉口d f ( m n ) + 专u o z ( m n ) = v o l ( m , 9 ) 11 此时显然有 v o l ( b 暑) )v o t ( b 暑( o ) ) 1 一：= ：= 一 v o l ( m n )v o l ( s n ( 1 ) ) 2 再次应用m o v b i s h o p 定理，可推出m n = 丽等距于伊( 1 ) 证毕 1 3 湖北大学硕士学位论文 3 1 基本知识 3球面定理 定义3 1 1 【2 8 1 黎曼流形( m ，夕) 的直径d ( m ) = m a x d ( p ，q ) lp ，q m ) 定理3 1 2 ( b o n n e t - m y e r s ) 2 8 】设( m ，9 ) 是完备的佗维黎曼流形，若有正数a 0 ， 使得( m ，9 ) 的硒c c i 曲率以a 为下界，即对于每一点p m 以及任意的切向量v 弓m 有r i c ( v ) 口，贝j j ( m ，9 ) 是直径不超过茅的紧致黎曼流形 定义3 1 3 【2 8 】设f ：( m ，g ) _ ( n ， ) 是黎曼流形之间的光滑映射，如果g = 广h ，即对于任意的z m ，以及u ，伽疋m ，有 ( ) ， ( 伽) ) = g ( v ，伽) ， 则称，是从黎曼流形( m ，9 ) 到( ， ) 内的一个等距映射 如果，：( m ，g ) 一( ， ) 是从光滑流形m 到的光滑同胚，且g = 广h ，则 称，是等距 定义3 1 41 3 0 1 如果，：x y 是一一对应，并且，及其逆厂。：y _ x 都是连 续的，则称厂是一个同胚映射，简称为同胚 定义3 1 5 【3 0 】拓扑空间称为紧致的，如果它的每个开覆盖有有限的子覆盖 定义3 1 6 3 0 1 设，夕c ( x ，y ) ，如果有连续映射h ：x i _ y ，使得任 意z x ，h ( x ，0 ) = ， ) ，h ( x ，1 ) = 夕 ) ，则称，与夕同伦，记作f 竺q 3 2 主要结论及证明 定义3 2 1 【7 】度量空f - - m 的e x c e s s 超出量e x c ( m ) 为 e z c ( m ) = p 口i n f m 删s u p ( d 0 ，z ) + 讹g ) 一d p ，g ) ) 在证明主要结果前，我们先证推论中的一个关于g ( n ，i o ) 的性质，此性质将在 定理d 的证明中用到 引理c 在7 2 维黎曼流形m 中，给定一个整数n 2 和i o 0 ，s ( n ，i o ) 关于i o 递 增 1 4 3 球面定理 证明 记满足r i c c i 曲率r i c m ( 礼一1 ) ，单射半径i n j m i o 的n 维黎曼流 形为m ( n ，i ) = 尬l i n j 讲则当i l i 2 时，m ( n ，i l ) = 舰。i i n j m i 1 ) ， 而i n j m i 1 i 2 ，即舰，m ( n ，t 2 ) ，满足m ( n ，i 1 ) 的流形也满足m ( n ，i 2 ) ， 且p m ( n ，i 1 ) cm ( n ，i 2 ) ，而由推论b 矢, w d i a m m 7 r 一( n ， ) 是使m ( n ，i ) 同胚 于酽所需条件，而结论越强，所需条件越强，由于m ( n ，i 2 ) 是比m ( n ，i l ) 更广的集 合，使m ( 几，i 2 ) 同胚于球面是比使m ( n ，i i ) 同胚于球面更强的结论，因此需要更强 的条件，即7 r e ( 亿，i l ) 7 r e ( n ，t 2 ) ，故有( 佗，i x ) s ( 死，i 2 ) ，即证g ( 佗，i o ) 关于i o 递 增 定理d 给定一个整数礼2 和常数i o 0 ，d 0 ，则存在j = 6 ( n ，i o ，d ) 0 ， 且0 6 ( 西，2 ，使得任何满足融c c i 曲率威c m ( n 一1 ) 6 ，单射半径i n j m i o , 直 径d i a t o m = d 的几维黎曼流形m 同胚于球面伊 证明设礼维黎曼流形m 上对应r i c c i 曲率r i c m 的度量为g ，由于m 上的度量 不改变m 的拓扑性质，则对于任意常数，9 仍可作为m 的度量此时甄g = ( v f 而o d s ) 2 ，截面曲率k ( 位，秒) = 1 - i 狮r ( 莉u , v , u 训, v 虿) ，因此融c c i 曲率变为訾，直径出o m m = 面d ，单射半径变为v 而o i n j m 此时记这样的几维黎曼流形为 则对于r i c m ( 礼一1 ) 5 ，单射半径i n j m i o ，直径d i a m m = d 的扎维黎 曼流形，可将其度量乘以6 ，则流形的r i c c i 曲率变为r i c i v ( 佗一1 ) ，单射 半径i n j 觇o ，直径d i a m = 6 d ，取0 a 7 r ，则当a 、6 d 7 r 即茜s 、6 秀时，单射半径i 叨万-由引理c 知，s ( n ，v 否i 0 ) ( n ，芳钿) ，那么 丌一( n ，倔。) 丌一e ( 礼，争) ， 当怕d 7 r e ( n ，芳i 。) 即怕三尘d 立塑时，取锈= m a x 芳，竺掣) ， f f d i a m n = 怕d 7 r e ( n ，f i i o ) 7 r e ( 礼，v 信i o ) ，故由推论b 知流形同胚 于球面伊 1 5 湖北大学硕士学位论文 4 1 结果与展望 4 结果及展望 本文研究直径为任何正数，单射半径有任意正下界的流形，证明了当其r i c c i 曲率有适当下界时，其同胚于球面本文借助pp e t e r s e n t 7 l 的论文，将流形的曲率 和直径进行相应的比例变形，而不改变流形的拓扑，从而得到新的球面定理 更一般的结果，单射半径有下界是比共轭半径有下界更强的条件，我们猜想 当本文定理d 中的条件，单射半径有下界减弱为共轭半径有下界后，定理d 可能仍 成立。这有待于进一步的研究 我们坚信，在对这些问题进行研究的过程中，我们能够更加了解数学的博大 精深，也相信通过我们的努力，一定能在不久的将来，使这些问题得到解决 1 6 参考文献 参考文献 【1 】c h e n gs y ，e i g e n v a l u ec o m p a r i s o nt h e o r e m sa n d t h e i rg e o m e t r i ca p p l i c a t i o n s j m a t h z e i t s c h r i f t1 4 3 ，2 8 9 2 9 7 ( 1 9 7 5 ) 【2 】g r o v ek a n ds h i o h a m ak ，ag e n e r a l i z e ds p h e r et h e o r e m j a n n m a t h 10 6 2 0 1 2 11 ( 1 9 7 7 ) 【3 】a n d e r s o nm t ，m e t r i c so fp o s i t i v er i c c ic u r v a t u r ew i t hl a r g ed i a m e t e r j m a n u s c r m a t h 6 8 ，4 0 5 - 4 1 5 ( 1 9 9 0 ) 【4 】o t s uy ，o nm a n i f o l d so fp o s i t i v er i c c ic u r v a t u r ew i t hl a r g ed i a m e t e r j m a t h z e i t s c h r i f t2 0 6 ，2 5 5 2 6 4 ( 19 91 ) 5 e s c h e n b u r gj ，d i a m e t e r , v o l u m ea n dt o p o l o g yf o rp o s i t i v er i c c ic u r v a t u r e j j d i f f e r e n t i a lg e o m ，3 3 ，7 4 3 7 4 7 ( 1 9 9 1 ) 【6 】n a k a m u r ag ，d i a m e t e rs p h e r et h e o r e m sf o rm a n i f o l d so fp o s i t i v ec u r v a t u r e j m a s t e rt h e s i s n a g o y au n i v e r s i t y ( 1 9 8 9 ) 7 】p e t e r s e np ，s m a l le x c e s sa n dr i