（基础数学专业论文）黎曼流形中具有平行平均曲率向量的闭子流形.pdf

摘要 本文在第二节中研究了完备p i n c h e d 黎曼流形n ”9 中的具有平行平均 曲率向量的闭子流形，获得这类子流形的一般堡坌丕笠嚣以及这类子流形满 足“( 扎，p ) ( 1 一c ) s 盯sh + g ( n ，h ，& + 1 ) ( 1 一 s 9 扎( p 一2 ) ) 一p ( n ，p ) ( 1 一c ) 的 条件下的子流形分布定理，从而把h o n g w e ix u 在 1 4 】中关于极小子流形的 研究，推广到具有平行平均曲率向量的闭子流形的研究。第三节中研究了欧氏 球面中具有常平均曲率向量子流依得两个结果，其中一个结果推广了h a l e n c a r 和m d oc a r m o 在【1 】中的结集，另一个结果是关于r i c c i 曲率满足 处处大于或等于n 一2 + 一2 ) h 2 + - 7 2 号k 日l 、& + 1 的条件下子流形的分 布定理1 矿一， a b s t r a c td e n o t e b yst h es q u a r en o r m o ft h es e c o n df u n d a m e n t a lf o r m i nt h es e c o n ds e c t i o n ，w ef i s t p r o v eag e n e r a l i z e ds i m o n si n t e g r a li n e q u a l i t y s e c o n d ，w ep r o v eap i n c h i n gt h e o r e mo ns t h er e s u l t sg e n e r a l i z et h er e s u l t s o b t a i n e db yh o n gw e ix u i nt h et h i r ds e c o n d ，w es t u d yac l o s e do r i e n t e d s u b m a n i f o l dw i t hp a r a l l e lm e a nc u r v a t u r ev e c t o rf i e l di nas p h e r e l e ts = s 一仡日2 w ef i s to b t a i nap i n c h i n gt h e o r e mo ns w h i c hg e n e r a l i z e st h e r e s u l t so b t a i n e db yh a l e n c a ra n dm d oc a r m o s e c o n d w ep r o v eap i n c h i n g t h e o r e mo nt h er i c c ic u r v a t u r eo ft h es u b m a n i f o l d 黎曼流形中具有平行平均曲率向量的闭子流形 - o 。_ - o 一_ _ _ - _ 。o _ _ _ _ o 。一 摘要 本文在第二节中研究了完备p i n c h e d 黎曼流形n ”p 中的具有平行平均 曲率向量的闭子流形，获得这类子流形的一般堡坌丕簦塞以及这类子流形满 足q ( 礼，p ) ( 1 一c ) s 口s 【礼+ g ( n ，日，s n + 1 ) ( 1 一 s 9 n ( p 一2 ) ) 一p ( n ，p ) ( 1 一c ) 的 条件下的子流形分布定理，从而把h o n g - w e ix u 在 1 4 】中关于极小子流形的 研究，推广到具有平行平均曲率向量的闭子流形的研究。第三节中研究了欧氏 球面中具有常平均曲率向量子流琵么取得两个结果，其中一个结果推广了 l a l e n c a r 和m d oc a r m o 在【1 】中的结果，另一个结果是关于r i c c i 曲率满足 处处大于或等于n 一2 + ( 扎一2 ) h 2 + - 7 兰k 1 日j 、品+ 1 的条件下子流形的分 v “_ 1 j 布定理、一一， a b s t r a c td e n o t eb yst h es q u a r en o r mo ft h es e c o n df u n d a m e n t a lf o r m i nt h es e c o n ds e c t i o n ，w ef i s t p r o v eag e n e r a l i z e ds i m o n si n t e g r a li n e q u a l i t y s e c o n d w ep r o v eap i n c h i n gt h e o r e mo ns t h er e s u l t sg e n e r a l i z et h er e s u l t s o b t a i n e db yh o n gw e ix u i nt h et h i r ds e c o n d ，w es t u d yac l o s e do r i e n t e d s u b m a n i f o i dw i t hp a r a l l e lm e a nc u r v a t u r ev e c t o rf i e l di nas p h e r e l e ts = s 一佗日2 w ef i s to b t a i nap i n c h i n gt h e o r e mo ns w h i c hg e n e r a l i z e st h e r e s u l t so b t a i n e db yh a l e n c a ra n dm d oc a r m o s e c o n d ，w ep r o v eap i n c h i n g t h e o r e mo nt h er i c c ic u r v a t u r eo ft h es u b m a n i f o l d 序言 对于黎曼流形的子流形的p i n c h i n g 问题最早是在1 2 1 中提出关于第二基 本形式模长平方s 的p i n c h i n g 问题众所周知3 1 ，当m “是浸入到n4 - p 维 单位球s 时一( 1 ) 的n 维极小子流形时，若m “的第二基本形式的模长平方s 满足s 茎n ( 2 一= 1 ) ，则要么m “是单位球s “( 1 ) ，要么l ，“是s ”1 ( 1 ) 中的 c l i f f o r d 极小超曲面，要么m “是s 4 ( 1 ) 中的v e r o n e s e 平面。三十多年来，作 为这个定理的延伸的结果枚不胜举，其中一条思路就是在黎曼流形的子流形 的第二基本形式的模长平方s 满中某个p i n c h i n g 不等式时，给出它的一些整 体性质对于它的研究大致可以从以下几个方面入手：1 对其中的p i n c h i n g 常数n ( 2 一；) 进行改进；2 将子流形的类型拓宽；3 外围空间除了可以是 超球外，还可以是复射影空间，局部对称空间i 一般p i n c h e d 黎曼流形等；4 还可以研究有关子流形的r i c c i 曲率，截面曲率的p i n c h i n g 常数 从这些年的研究结果我们可以看到，对这方面的研究大多数致力于研究 外围空间是局部对称空间，而对于外围空间是一般p i n c h e d 黎曼流形研究并 不多本文主要研究了黎曼流形n n + 9 中的具有平行平均曲率向量的闭子流 形，得到完备p i n c h e d 黎曼流形n p 的具有平行平均曲率向量的闭子流形的 一个p i n c h i n g 分类定理及单位球s 卅9 ( 1 ) 中具有平行平均曲率向量的闭子流 形的一个关于第二基本形式的模长平方s 的p i n c h i n g 分类定理与关于r i c c i 瞌率的p i n c h i n g 分类定理全文分为三节，在第一节中我们给出了有关公式 及引理；在第二节中我们讨论了完备p i n c h e d 黎曼流形”却的具有平行平 均曲率向量的闭子流形，给出了有关分类定理及证明；在第三节中我们讨论了 单位球s 9 ( 1 ) 中具有平行平均曲率向量的闭子流形，给出了有关分类定理 及证明 第一节有关公式及引理 1 1 基本公式 设m ”是一个n 维黎曼流形，等距浸入在黎曼流形”中选取一 中局部标准正交标架场e l ，e 。+ ，使得限制在m “上e 1 ，e ，；与m “相 切，e n + 一，e 。+ 。与m ”正交，约定各指标的变化范围为 1s a ，b ，c ，- n + p ；1 i ，j ，k ，墨n ； 礼+ l a ，卢，y ，n - 4 - p ， 且约定单项表达式中重复出现上、下指标，表示该式关于这个指标在其取值 范围内求和关于v ，中标准正交标架场 e a ) 选取对偶标架场如4 ，则 n 卅，的结构方程为： 【3 】 d w a = 一u 鲁a c o b 7 叫署+ u 鲁= 0 ，( 1 1 ) d u 鲁= 一e u c a ，、w 茸c 十t b a ，西鲁= k a c d u g u d ，k 刍d + 础d g = 0 ( 1 2 ) 限制在m “上有， d w 。= o ，叫? = ， 嚣= 啄， ( 1 3 ) h = e o o e 。，( 1 4 ) d w = 一嵋 ，u + 妨= 0 ， ( 1 5 ) 叫= 一峨 妨 4 - 嘭，谚= ；骘削u 、， ( 】6 ) 碍鲥= 叼麒+ e ( 坛啄一硝啄) ， ( 1 7 ) d c 嵋= 一u ； 嵋+ q ；，q ；= ；e r 菇f u a u ， ( 1 8 ) 哪捌= 礁l + ( 椎 2 一鳎 & ) ， ( 1 9 ) i 其中h = e h i 嚣w o o 称为m “的第二基本形式，其长度平方记为 s = 1 2 2 丢& ，乳2 吾( 吩) 2 ，= j 嚣螺e a 称为平均曲率向量场，i h i 表 示平均曲率，a 。= a 。= ( ) 。如果a = p i ，( ，表示单位矩阵) ，则称m 是伪脐的： 用及 嚣m 分别表示蝇的一阶和二阶共变导数，则 t 一 勃= 礁j = 一嘲， 嗨；一嗨。= ( 吩t + 麟z ) 一e 0 睇纠 1 ( 1 1 0 ) ( 1 1 1 ) 1 2 若干引理 对一个矩阵a = ( a o ) 。，用n ( a ) 表示a 的范数平方，即| v ( ) = a i j a j 那么n ( t a t ) = ( 一4 ) ，t = ( 码) 是n n 正交矩阵 引理1 1 f 9 ，1 5 设a 。+ l ，a 抖2 ，如却是n n 对称矩阵，s 如= i ja 0 “a i “j ，& = n ( a 。) ，s = 。& 那么， 1 2 n ( a 。a b 一山如) + 受s 1 + s f n 如一1 ) 铲 等号成立当且仅当至多有两个矩阵如和山是非零矩阵，并且这两个矩阵分 别能同时被同一个正交矩阵变换为五与五的倍数，其中s g ，t ( ) 是符号函 数，a 。与五分别为， a a =a d = 引理1 2 1 1 】设实数列 ) 饕1 ， 玑) 鍪1 满足饕1 x i = 0 ，是ly i = 0 ，则 一赫( 薹霹) ( 驯胆5 驴ns 赫( 荆( 耋谚) v 2 若单侧等号成立，甄，鼽至少有n 一1 个相等 引理1 3 1 1 0 】设 啦翟1 是使得e a i = 0 ，写n ；= t 2 的n 个实数( t o ) ， 那么 一赫垆s 掣赫矿 引理1 4 【6 设n + p 是n + p 维黎曼流形，若其截面曲率k n 在z 点满 足a ( x ) j 如6 ( o ) ，则 ( 1 ) | k 尝日c l ( 6 一n ) ，a ，b 互不相同， ( 2 ) i k 鲁c d l i ( 6 一) ，a ，b ，c ，d 互不相同 引理1 5 f 7 】设m ”是单位球伊却( 1 ) 的一个扎维紧致伪脐子流形( p2 2 ) ，且具有非零平行平均曲率向量，如果盯sn ( 1 + h 2 ) 【1 - t - ( 1 2 ) s g n 一2 ) 那么我们有 ( a ) 盯= 0 ，m “是s 9 ( 1 ) 中的小球铲( 1 l + h 2 ) ； ( 6 ) 盯= n ( 1 + 日2 ) ，m n 是c l i f f o r d 环驴( r ) s - - ( r 1 ) cs “+ 1 ( 1 们丽) l s n + 2 ( 1 ) ； ( c ) 盯= ；( 1 + 日2 ) ，m 2 是s 5 的超球s 4 ( 1 再珂2 ) 的v e r o n e s e 平面 2 第二节p i n c h e d 黎曼流形的闭子流形 2 1 主要结果 设m “是黎曼流形n 时p 的一个n 维可定向的闭子流形，用s 表示a p 的第二基本形式模长的平方，l h i 表示m ”的平均曲率当外围空间卅一 是截面曲率鼢满足a ( x ) k s6 ( z ) 的p i n c h e d 黎曼流形时，h o n gw e i x u 在文【1 4 】中研究了p i n c h e d 黎曼流形的极小子流形，并得到下面s i m o n s 积分不等式的一般结果及这类子流形的分类定理： 定理a 【1 4 设m n 是完备单连通黎曼流形叶p 的一个n 维可定向的闭 极小予流形，用口( 茹) 和b ( x ) 分别表示黎曼流形n 叶，的截面曲率的上下确 界，那么 ，1 ， r i b 3 一【1 + ；即疗( p 一1 ) 】s 2 一d ( n ，p ) p o ) s e ( 凡，p ) ( 6 一口) 2 ) 冬0 其中s g n ( ) 表示符号函数，d ( n ，p ) = n + ；一1 ) ( 礼一i ) i ，e ( n ，p ) = 丧p n ( 礼一1 ) ( 2 6 n 一2 5 ) 定理b 1 4 】设m n 是完备单连通黎曼流形“+ 一的一个n 维可定向的 闭极小子流形，则存在一个正数6 ( n ，p ) 使得当n 叶9 的截面曲率满足0s 6 ( 礼，p ) 兰k n 1 与 口( n ，p ) ( 1 一c ) ss n 一- s g n ( p 一1 ) ) 一卢( n ，p ) ( 1 一c ) 时，m “或者是单位球s “( 1 ) ，或者是在s n “( 1 ) 中的极小c l i f f o r d 超曲面 s k ( k n x s , 1 - k ( 一屉) n ) ( = 1 ，2 ，礼一1 ) ，或者是s 4 ( 1 ) 中的v e r o n e s e 平面，其中o ( n ，p ) = e ( n ，p ) 1 2 ，卢( n ，p ) = d ( n ，p ) + e ( n ，p ) 1 2 ，c 是n 卅p 的 截面曲率的下确界 对于极小子流形个自然推广就是具有平行平均曲率向量的子流形，ff o n t e n e l e 在 5 】中对具有平行平均曲率向量的子流形进行研究，得到下面的几个主要结 果： 定理c 设m “是完备单连通黎曼流形p 的一个n 维可定向的闭子 流形，且具有平行平均曲率向量，用a ( x ) 和b ( x ) 分别表示黎曼流形”一的 截面曲率的上下确界，那么 o 厶( 一e ( ”) ( 6 一n ) 2 + 【n 。+ 礼日2 一；( 礼一1 ) ( j ，_ 1 ) ( 6 一。) m 一；n ( n 一1 ) ( p 一1 ) ( 6 一口) 日2 一黼l 曲 i i 西1 2 一一1 4 ) 3 其中s g r l ( ) 表示符号函数，2 = s n h 2 ，r e f l 2 = h 2 打a ：+ 。， = 篙糍；兹p - 域卜n 定理d 5 1 设吖n 是完备单连通黎曼流形“+ p 的一个n 维可定向的闭子 流形，且具有平行平均曲率向量，假设g ( n ，p ，h ，) 0 ，如果”，的截面曲 率1 一a 2 ( n ，p ，h ) k n 1 且 x l ( c ) sj 西l 卫2 ( c ) ， 那么“+ p = s “+ 9 ( 1 ) ，m “或者是s n “( 1 ) 的全脐子流形，或者 ( n ) p = 1 ，h = o ，胪是c l i f f o r d 环s k ( v 佤n s , 1 - k ( 、一k ) n ) cs n + 1 ( 1 ) ； ( 6 ) p = l ，h o ，日( r ) - 环铲- 1 ( r ) s 1 ( r 1 ) cs n + l ( 1 ) ； ( c ) p = 2 ，n = 2 ，m “是c l i f f o r d 环s 1 ( 、1 2 ( 1 + h 2 ) s 1 ( i 2 ( i + h 2 ) ) c s 3 ( 1 + h 2 ) qs 4 ( 1 ) ； ( d ) p = 2 ，礼= 2 ，日 0 ，m “是日( r ) 一环驴_ 1 ( r ) s 1 ( r 1 ) cs 3 ( 1 ) qs 4 ( 1 ) ； ( e ) p = 3 ，礼= 2 ，m “是v e r o n e s e 平面 其中x l ( c ) 口2 ( c ) 是方程 o = 一e ( n ，p ) ( 6 一n ) 2 + h + 竹日2 一言( 礼一1 ) ( ：p 一1 ) ( 6 一n ) j 。2 一百2 n 一1 ) b 一1 ) ( b a ) 日2 一芒日2 一郇，z 4 ” v n l n 一1 的两个正根，c ( n ，p ，h ，) = n ( 1 + 日2 ) e 一；n ( n 1 ) 一i ) h 2 可能是由于【5 】中作者的疏忽，在定理证明的几个关键的地方应用了 a 。+ l ，a 。 = 0 ，而根据已知条件并不一定能得到这一条件，因为由r i c c i 方程r 跣= 张f + ( 椎 g 一 嚣 & ) 知，当e 。+ 1 平行时，嘲1 一o ；从而嘲1 = a n + 1 咖】_ 当”+ ”是常曲率空间时，我们有【a l ，a 。】= 0 ，而对于n 叶9 是一般的 p i n c h e d 黎曼流形就不一定有f a 。+ 1 a 。】= 0 ，对此本文从另一个角度研究这 类子流形的p i n c h i n g 问题，得到下面的两个主要结果： 定理2 1 设m “是完备单连通黎曼流形“却的一个他维可定向的闭 子流形( p 2 ) ，且具有非零平行平均曲率向量，用a ( x ) 和b ( 。) 分别表示黎 曼流形p 的截面曲率的上下确界，那么 1 0 ， n b a 一【1 + ；s 9 n ( p 一2 ) 】仃2 一d ( 礼，p ) ( b o ) 盯 + g ( n ，日，s 。+ 1 ) 盯一e ( n ，p ) ( 6 一) 2 4 其中s 口竹( ) 表示符号函数，d ( n ，p ) = n + ；2 ) ( n 一1 ) ，e ( n ，p ) = 击一 1 ) ，z ( n 一1 ) ( 2 6 ”一2 5 ) ，g ( n ，h ，) = n 日2 一舞恐矧、豆州一3 磊 定理2 2 设m “是完备单连通黎曼流形n “+ p 的一个n 维可定向的闭 子流形( p 2 ) ，且具有非零平行平均曲率向量，则存在一个正数d ( n p ，g ) ， 如果“+ 9 的截面曲率满足0 d ( n ，p ，g ) k n 1 ，且 1 o ( 凡，p ) ( 1 一c ) 盯s n + c ( n ，h ，叉+ 1 ) ( 1 一言s 口n ( p 一2 ) ) 一卢( n ，p ) ( 1 一c ) ， 那么n “+ p = s 9 ( 1 ) ，且或者 ( a ) o = 0 ，m “是扩+ ( 1 ) 中的小球s “( 1 、l + h 2 ) j ( b ) 仃= n ( 1 + h 2 ) ，m “是c l i f f o r d 环s ( r ) 铲“( r 1 ) cs 计1 ( 1 、1 + 日2 ) q 伊+ 2 ( 1 ) i一 ( c ) 盯= ；( 1 + h 2 ) ，m 2 是s 5 的超球s 4 ( 1 f 雨7 ) 的v e r o n e s e 平面 其中有关符号同定理1 1 2 2 定理证明 若l h i 0 ，不失一般性，可设e 。+ l 与平行仿【3 】中的计算，由( 1 7 ) ( 1 9 ) ，( 1 1 0 ) ，( 1 1 1 ) 式有 嚣= e h , i t = ( 毳批一k 嚣k t ) = ( 岛k k 嚣批) = e ( ，l 磊幻一k 嚣k ) + e ( 备。磁孙+ r 嚣k ) 一危曩r 蔚k 奄知m ，卢 = ( 赫一k k i k j 一翰k ) + ( + h ”a r 。m ) 一e 缘 ( 2 1 ) 若m ”是时9 中具有平行平均曲率向量的子流形，则h k j = 0 ，矗鼻1 业2 0 ，令仃= 。+ lh , l h , i ，应用( 2 1 ) 式我们有 ；a 盯=( ) 2 + a 嚣 。 o t # n + la # n + l = ( ) 2 一蝇( 张钉+ 硝址) + e 嚣( 景j 镰+ 硝) + h 嚣h 磊k 舢o t t + ( t r a 。+ 1 ) t r ( a ：a 。+ 1 ) + t r ( a 。a 。+ 1 ) 2 一打( a 。2 n 。2 + l ) 一 t r ( a 。+ 1 a 。) 2 一n ( a 。郫一a z a n ) 一畿 ( 2 2 ) 5 设 a 2 一 n ( a n a j a p a 。) 一醴， b= 帽( 氛 强+ 品耳嚣k ) + j 吼， 0 磊 c= ( 打a n + - ) 打( - ：a 。+ 1 ) + t r ( a 。a 。+ 1 ) 2 一芒r ( - ：a ：+ 。) 一 t r ( a 。十1 a 。) 】2 ， d = ( j l 嚼女) 2 一锈( 雠幻+ 霸k ) i 那么 ；盯= a + b + e + d ( 2 3 ) 命题2 3 设b 1 ，b 2 是m n ) 对称矩阵，且满足t r b l = t r b 2 = 0 那么 一赫瑚俩9 鹏赫( 删) 俪 若单侧等号成立，则f b l ，岛】= 0 ，且b l ，岛至少有n 一1 个特征值相等 证明：不失一般性，可以假设鼠是对角化的，且对角线上元素为鼢，b 2 ： ( b l y ) 。，贝t r b 玩= 萎z ；瓯i ，由弓f 理1 2 得 一赫( 荆( 剽v 2 s i赫=lt 赫( 荆( 砉皖) v 2 易知三坛皖，所以 一赫( 纠溪吗) v 2s 鼢d 赫( 耋考) ( 砉晴) v 2 层仃 一楠协鳓俪9 鹏赫( f r b 2 ) 俪 如果单侧等号成立，由引理1 2 知b l ，b 2 至少有礼一1 个特征值相等，且另一 方面有莩6 ：= 三吃，这时b i ，b 2 可同时对角化，即【b l ，b 2 】_ 0 所以单侧等 号成立，则【b 1 ，b 2 】= 0 ，且b l ，b 2 至少有n 一1 个特征值相等命题得证 设是一个n + p 维单连通完备黎曼流形，且在一点。满足o ( z ) k ns b ( x ) 现在我们对b ，c 的上下确界与d 的在m n 上的积分给出下面 的信算 6 命题2 4 o 一；( 6 一。) ( p 一2 ) ( 几一1 ) 1 7 2 盯+ n n 口b 证明：对于固定的a n + 1 ，令螺= 碍如，若p 2 由引理1 4 有 姊“啄 囊=唧9 1 3 a 、a t f l 口n + 1 ，卢n + l n 一e 言( 6 一a ) l a 2 l i 磊1 k ，卢n + l ( 口) 。 一e ( 6 一o ) ( 仃一1 ) - 1 2 ( a 2 ) 2 + ( n 一1 ) 1 7 2 ( ，最) 2 i ，卢n + 1 ( a ) ” 一；( 6 一o ) ( n 一1 ) 1 2 ( p 一2 ) t r a ：+ ( n 一1 ) 1 2 一( 应) 2 若p = 2 ，则口量。翰咏 磊= o 从而当p 2 时有 爿勘椎 & 一；( 6 一口) ( p 一2 ) ( 礼一1 ) 1 7 2 盯； ( 2 4 ) n ，卢n + 1 。 又当n n + 1 时有 e ( 嘲k + 嘲* ) i , j ，m ， = 一碍堞蜒强+ ( 碍) 2 磁让 i , ki , k = ；( 碍一a 口) 2 醚诸 。i , k o ( 碍一堞) 2 = ；a 【( 鸳) 2 + ( 堞) 2 2 ”吲 。 七 = n a e ( 碹) 2 = n a t r ( a ：) ， ( 2 5 ) 上面第四个等号是因为2 碍搬= 2 e 婶雄= 0 i 库 k 因此 峭( 螺k 磉+ 嗡嘲) r t a o ( 2 6 ) n n + 1 故 一；( 6 一a ) ( p 一2 ) ( n 一1 ) 1 2 a + n a a s b 7 命题2 5 一黼矧口瓜2 一删 其中文+ l = s n + l n h 2 ，且命题中等号成立时，m n 为伪脐的 证明：令五+ 1 = a 。+ 1 一h i ，则t r 2 n + 1 = 0 ，t r a n = o ( o 扎+ 1 ) 晶+ l = 打a h l 在命题2 3 中设b 1 = a 。，b 2 = a 。+ l 有 赢南矧2 v 厩- 2 ：枷打镌 2 赫矧2 v 瓦+ h t r a ：一) 一赫( t r 鲴2 v 瓦- 2 h 似： 一稿幻瓜+ h t r a ：，( 2 8 ) 所以 嘶+ , 。t r a n + l t r a - 一淼n t n 苦矧盯瓜瑚( 2 9 ) a n + 1 、，一i j 设a l ，a 。是a 。+ 1 的特征值，则 打( a 。2 。2 + 1 ) 一t r ( a 。a 。+ 1 ) 2 = 打( a 。2n - 。2 + 1 ) 一t r ( a 。五+ 1 ) 2 = ( ) 2 ( x 一砖) 2 2 ( 嚣) 2 ( j i ；+ 碍) s 2 ( e ( ) 2 ) ( 鬻) = 2 磊+ 盯 ( 2 i o ) 由t r a 。= 0 ( d n + 1 ) 可得 ( 2 1 1 ) 文 日 ”、” 圣| ：1 吩 幻 啪 娲 蚴 一 一 一” 件j 嚼 嗲 巧玎 ，f1、，1l卅卅 口 o i i = 口 a + n a打 j l 对上式右边使用c a u c h y 不等式有 t r ( a 叶i a 。) 2 文+ 1 0 ( 2 1 2 ) 口n + 1 综合( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) ( 2 1 2 ) 式有 一耥例a 瓜+ n h 2 a - 3 瓢疋。 如果等号成立，则由( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) ，( 2 1 2 ) 式中等号成立有扎= 0 ，即m ”为伪 脐的命题得证 命题2 6 f m d 一去即( n 一1 1 ( 2 6 n 一2 5 ) 厶( 6 一。) 2 证明：因为m 具有平行平均曲率向量，所以v k e 。+ 1 = 0 ，因此有 一，嚼( k 嚣幻+ k 苗舶) a # n + 1 = 一v ( h 。a 。k ，a 玎+ 嚣k 嚣) + ( 曩 k 勤+ k k 嚣) a # n + l a n + l 我们定义一个1 次微分形式为 那么 因此 u = ( 象k 扬+ 嚣k 嚣k ) 叫女 a c ：n + 1 d i vu = w , h 。k ，s 玎+ 嚣k 嚣k ) a # n + 1 d = ( ) 2 + ( 毳k 南+ 嚣k 昌) 一d u a n + l 口士n + 1 因为m 具有平行平均曲翠向量，所以 2 o ，v j ，n ( 2 1 3 ) 由( 1 1 0 ) ，( 2 1 3 ) 式及引理1 4 有 嗡= ( 一聪* ) g ，c * 玎= 一( 嗡) 2 a # n + l a n + 1d n + 1 ， 一；( p 一1 ) 礼( n 一1 ) 2 ( b 一。) 2 ( 2 1 4 ) 9 再运用引理l4 有 ( 瓠) 2 + 赫叼。 o n + ld n + l 一i 1e ( k z t ) z a # n + l 一；( 蛸一) 2 一；( 蠕。) 2 a n + li , j t kd l s t i n c t 。o c n + l j 一；佃- 1 ) 嘶- 1 ) ( n _ 2 ) ( 6 一。) 2 一i ( p _ 1 ) 吣_ 1 ) ( 6 _ 0 ) z 因此 d 一去( p 一1 ) n m 一1 ) ( 2 6 几一2 5 ) ( b 一。) 2 一出口u ( 2 1 5 ) 再应用g r e e n 公式的散度定理，我们有， f m d 一去( p - - t ) n ( n 一1 ) ( 2 6 n - 2 5 ) 厶( 6 一。) 2 ( 2 1 6 ) 现在定义 d ( n ，p ) = n + j 2 ( p 一2 ) ( 礼一1 ) e ( 唧) = 去( p 1 ) n ( n - 1 ) ( 2 6 n 一2 5 ) ) = n h 2 _ 焘苦1 删瓜嘲、n ( n 一) 证明定理2 1 ：由引理1 1 ，有a - 1 + 蹭以p 一2 ) 】仃2 ，再由命题2 4 ，2 5 及( 2 1 5 ) 得 盯n b a 一【1 + s g n ( p 一2 ) 】盯2 一d ( n ，p ) ( 6 一口) 仃 + g ( n ，h ，k + 1 ) 盯一e ( n ，p ) ( 6 一n ) 2 一d i v u 上式两边积分得 ：f 扎塘一f 1 + 互1 卵疗一2 ) 】盯2 一d ( 扎，p ) ( 6 一a ) 盯 + g ( n ，h ，s ：+ 1 ) 盯一e ( n ，p ) ( 6 一o ) 2 ) s0 ( 2 1 7 ) 定理2 1 证毕 设 口( 挖，p ) = e ( n ，p ) ， 卢( n ，p ) = d ( n ，p ) + 目( n ，p ) 1 2 证明定理2 2 ：取c 为n 时p 的截面曲率的下确界，则由( 2 1 7 ) 式得出， 厶如一 1 + i 8 9 n ( p 一2 ) 口2 一d ( 哪) ( 1 一c ) 口 + g ( 扎，h ，& + 1 ) 盯一e ( n ，p ) ( 1 一c ) 2 ) 0 ( 2 1 8 ) 取 6 ( n ，p ) = 1 一脚+ g ( n ，且文+ 1 ) j ( 3 一s g n ( p 一2 ) ) 3 d ( n ，p ) + 6 e ( n ，p ) 1 2 】_ 1 则关于盯的二次方程 n 叮一 1 + 8 9 n ( p 一2 ) 】盯2 一d ( n ，p ) ( 1 一c ) 盯+ g ( n ，h ，晶+ 1 ) 盯一e ( n ，_ ：p ) ( 1 一c ) 2 有两个实根口1s0 2 满足一 0 1so ( n ，p ) ( 1 - c ) 【n + g ( n ，风晶+ 1 ) 】【l 一s 9 n ( p 一2 ) 】一卢( n ，p ) ( 1 一c ) s 盯：， 如果 a ( n ，p ) ( 1 一c ) s 盯h + g ( m h ，叉+ 1 ) 】 1 一言s g n ( p 一2 ) 一卢( n ，p ) ( 1 一c ) ： 那么 n 盯一i 1 + ；s g n ( p 一2 ) 】口2 一d ( m p ) ( 1 一c ) 口+ g ( n ，圮良+ 1 ) 盯一e ( n ，p ) ( 1 一c ) 2 0 由h o p f 引瑗知( 2 1 8 ) 式两边取等号，因此在( 2 4 ) ，( 2 6 ) 式及命题2 5 中的 不等式都必须取等号要( 2 6 ) 式取等号，则暗示时p 是一个常曲率空间， 即”押= s “押( i ) 由命题2 5 中取等号得材”是伪脐的并且或者盯= 0 ， 或者口= n ( 1 + h 2 ) 【1 一 s 口n ( p 一2 ) 】，再由引理1 5 我们有 ( a ) 盯= 0 ，m 8 是s n + 9 ( 1 ) 中的小球s ( i r f 育5 ) ； ( b ) 仃= n ( 1 + h 2 ) ，m “是c l i f f o r d 环 s 。r ) x s ”一( r 1 ) cs “+ 1 ( ：v f f + m ) t s “+ 2 ( 1 ) ； ( c ) 盯= ( 1 + h 2 ) ，m 2 是s 5 的超球s 4 ( 1 r = 雨5 ) 的v e r o n e s e 平面 定理证毕 推论2 1 设m ”是完备单连通黎曼流形n “+ p 的一个礼维可定向的闭 伪脐子流形2 ) ，且具有非零平行平均曲率向量，用a ( x ) 和b ( x ) 分别表 示黎曼流形”切的截面曲率的上下确界，那么 o 厶 n b ( 7 _ 【1 + 尹1 n 一2 ) 】仃2 一d ( 哪) ( 6 一口) 盯 + n i l 2 盯一e ( n ，p ) ( 6 一口) 2 ) 证明：因为m 是伪脐子流形，所以叉+ 。= 0 由定理2 1 可知结论成 立 从定理2 2 ，我们可以得到下面的推论2 2 推论2 2 设m “是完备单连通黎曼流形n “+ p 的一个n 维可定向的闭伪 脐子流形( p 2 ) ，且具有非零平行平均曲率向量，则存在一个正数6 ( n ，p 日) ， 如果p 的截面曲率满足0 6 ( n ，p ，h ) k ；v 1 ，且 1 a ( n ，p ) ( 1 一c ) s 盯s ( n + n h 2 ) ( 1 一；s g n ( p 一2 ) ) 一声( n ，p ) ( 1 一c ) ， v 那么n “+ p = s “+ 9 ( 1 ) ，且或者 ( a ) 口= 0 ，m 8 是s “+ p ( 1 ) 中的小球铲( 1 、1 + h 2 ) i ( b ) 仃= n ( 1 + 日2 ) ，m n 是c l i f f o r d 环s kr ) x s n - k ( r 1 ) cs 时1 ( 1 f 可暑) q s n + 2 ( 1 ) ；一一 ( c ) 仃= ；( 1 + 日2 ) ，m 2 是s 5 的超球s 4 ( 1 r 丽) 的v e r o n e s e 平面 3 1 主要结果 第三节单位球中的闭子流形 设m n 是n + p 维单位球面驴+ p 的一个n 维可定向闭子流形，当m 是 极小子流形时，j s i m o n s 在【1 2 】中获得第二基本形式模长平方s 的一个 p i n c h i n g 常数，其后s s c h e m ，m d oc a r m o 和s k o b a y a s h i 在【3 】对此类 极小子流形进行分类，s t y a u 在【1 5 】中关于截面曲率及n e j i r i 在【4 】中 关于r i c c i 曲率也都有过类似的研究然而对于极小子流形的一个自然推广就 是具有平行平均曲率向量子流形或常平均曲率向量子流形s a n t o s 1 1 与n n j i r i 4 给出了下述结果： 定理e 1 1 】设m “是浸入驴+ 1 的一个具有常平均曲率的n 维紧致定向闭子流 形如果s b h ，那么： ( 1 ) s = 0 ，m “是全脐子流形 ( 2 ) s = b h ，当且仅当 ( a ) h = 0 ，m “是c l i f f o r d 环； ( b ) h o ，竹3 ，m “是h ( r ) 环( r 2 譬) ； ( c ) h 0 ，n = 2 ，m “是h ( r ) 环( r 2 哮) 定理f 4 1 设m n 是浸入+ p 的一个凡维紧致定向极小子流形，且这个浸 入是满的，如果n 4 ，r i c ( z ) n 一2 ，那么m 或者是全测地的，或者是 ，。cs 叶1 或者是昂3c s 7 本文在考虑伊+ p 中具有非零平行平均曲率子流形时获得下面的主要结 果： 1 2 证明：因为m 是伪脐子流形，所以& + 。= 0 由定理2 1 可知结论成 立 从定理2 2 ，我们可以得到下面的推论2 2 推论2 2 设m “是完备单连通黎曼流形“+ 9 的一个n 维可定向的闭伪 脐子流形( p 2 ) ，且具有非零平行平均曲率向量，则存在一个正数6 ( n ，p 日) ， 如果p 的截面曲率满足0 j ( 疗，p ，h ) k s 1 ，且 1 a ( n ，p ) ( 1 一c ) s 口s ( n + n h 2 ) ( 1 一妄s g n ( p 一2 ) ) 一声( n ，p ) ( 1 一c ) ， u 那么n “+ p = s “+ p ( 1 ) ，且或者 ( a ) 口= 0 ，m n 是s “押( 1 ) 中的小球铲( 1 r 订乒) i ( b ) 仃= n ( 1 + 日2 ) ，m ”是c l i f f o r d 环s kr ) x s n - k ( r 1 ) cs 时1 ( 1 f 可2 ) q + 2 ( 1 ) ；一 ( c ) 仃= ；( 1 + 日2 ) ，m 2 是s 5 的超球s 4 ( 1 r f 萨) 的v e r o n e s e 平面 第三节单位球中的闭子流形 3 1 主要结果 设m n 是n + p 维单位球面驴+ 9 的一个n 维可定向闭子流形，当m 是 极小子流形时，j s i m o n s 在【1 2 1 中获得第二基本形式模长平方s 的一个 p i n c h i n g 常数，其后s s c h e m ，m d oc a r m o 和s k o b a y a s h i 在 3 j 对此类 极小子流形进行分类，s t y a u 在【1 5 】中关于截面曲率及n e j i r i 在【4 】中 关于r i c c i 曲率也都有过类似的研究然而对于极小子流形的一个自然推广就 是具有平行平均曲率向量子流形或常平均曲率向量子流形s a n t o s 1 1 与n n