（控制理论与控制工程专业论文）复杂动态网络牵制控制器的设计.pdf

南京邮电大学 硕士学位论文摘要 学科、专业：工学控制理论与控制工程 作 者：2 0 0 7 级研究生蒋风华 f l _ 题目：复杂动态网络牵制控制器的设计 英文题目：p i n n i n gc o n t r o ld e s i g no fc o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k s 主题词：复杂网络拓扑辨识同步牵制控制 k e y w o r d s ： c o m p l e xn e t w o r k s t o p o l o g yi d e n t i f i c a t i o ns y n c h r o n i z a t i o n p m n m g c o n t r o l ， ：掣， j 南京邮电大学硕士研究生论文摘要 摘要 2 0 世纪9 0 年代以来，复杂动态网络理论及其应用，引起了研究的热潮。节点数众多、 连接结构复杂的实际网络，特别是网络结构与网络动力学行为之间的关系受到越来越多 的关注。 复杂动态网络中的同步化现象是自然界常见的现象之一。通过设计有效的控制策略 使网络达到同步，其中牵制控制是一个很有效的方法。牵制控制只需选择部分节点施加 控制就可以使整个网络达到同步。控制节点的选择，必须依靠网络拓扑结构。然而在现 实环境中，拓扑结构常常是未知的。因此，如何辨识网络拓扑，具有相当重要的意义。 现有的拓扑辨识研究文献中，有的假设网络动态性可以用线性随机模型表征，但如果网 络节点模型更加复杂，该方法将无法应用；有的利用每个节点的某一个状态变量进行耦 合，并设计观测器来辨识网络拓扑，但这种方法难以扩展到一般情况；有的利用所有节 点的所有状态变量来设计观测器，但如果一部分状态变量不可测，该方法将无法应用。 本文中，我们利用节点输出变量( 标量) 作为反馈变量来设计观测器，对目标网络 拓扑结构进行辨识，节点的输出变量是状态变量的线性组合。基于l y a p u n o v 稳定性理论， 我们得到设计观测器的条件，并通过仿真，验证方法的效果。在网络拓扑辨识的基础上， 根据网络拓扑选择合适的网络节点施加控制器使整个网络达到同步。现有的复杂网络牵 制控制研究中，控制器的设计需要控制节点所有的状态，而本文提出的控制器只需要节 点的输出变量( 标量) ，大大简化了控制器。通过对两个典型的网络：小世界网络和无 标度网络来设计牵制控制器，使网络达到同步，证明本文方法的可行性。 关键词：复杂网络；同步；输出变量；拓扑辨识；牵制控制 a bs t r a c t s i n c et h e19 9 0 s ，t h et h e o r yo fc o m p l e xn e t w o r k sa n da p p l i c a t i o n sh a sb e c o m eo n eo ft h e h o tr e s e a r c ht o p i c s m a n ys c i e n t i s t sh a v es t a r t e dt oc o n s i d e rt h ep r o p e r t i e so faw i d ev a r i e t yo f l a r g e - s c a l er e a ln e t w o r k sw i t hc o m p l e xs t r u c t u r e s ，w i t h a l l i n c r e a s i n g i n t e r e s to nt h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es t r u c t u r a lp r o p e r t i e so f an e t w o r ka n di t sd y n a m i c a lb e h a v i o r s s y n c h r o n i z a t i o n i n c o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k s c a nw e l le x p l a i nm a n yn a t u r a l p h e n o m e n a c o m p l e xn e t w o r k s b e c o m es y n c h r o n i z a i o nb yd e s i g n i n ge f f i c i e n tc o n t r o l m e c h a n i s m s ，a n dp i n n i n gc o n t r o li sa ne f f i c t i v ec o n t r o ls c h e m e p i n n i n gc o n t r o l i sa n e f f e v t i v em e t h o dh a v i n gas i g n i c a n t l ys m a l l e rn u m b e ro fc o n t r o l l e r s b u tt h ep i n n i n gc o n t r o l s c h e m ei sr e l a t e dt ot h et o p o l o g yo ft h en e t w o r k i nt h er e a lw o r l d ，t h et o p o l o g yo fan e t w o r k i sa l w a y su n c e r t a i n s o ，h o wt oi d e n t i f yt h et o p o l o g yi so fg r e a ti m p o r t a n c e i nt h ee x i s t i n g s t u d i e so ft o p o l o g yi d e n t i f i c a t i o n , s o m er e s e a r c h e r sa s s u m et h a tt h ed y n a m i c so ft h en e t w o r k c a l lb ed e s c r i b e db yal i n e a rs t o c h a s t i cm o d e l ，b u ti ft h em o d e l so fn e t w o r k sn o d e sa r em o r e c o m p l e x ，i tm a yn o tb et r u e s o m er e s e a r c h e r sd e s i g nt h eo b s e r v e rt oi d e n t i f yt h et o p o l o g y u s i n gt h ef i r s ts t a t ev a r i a b l eo fe a c hn o d et oc o u p l e ，i t se f f e c t i v ef o rt h es p e c i a ld y n a m i c so f n o d e ，b u ti ti sd i f f i c u l tt ob ee x t e n d e dt oag e n e r a lc a s e ，w h e r et h en o d ed y n a m i c si sag e n e r a l n o n l i n e a rs y s t e m s o m er e s e a r c h e r sc o n s t r u c tas t a t eo b s e r v e ra n du s ea l lt h es t a t ev a r i a b l e so f a l ln o d e st og e tt h es y n c h r o n i z a t i o n ，b u ti fs o m es t a t ev a r i a b l e sa r en o tm e a s u r e a b l e ，i tm a y n o tb ep r a c t i c a l i nt h i sd i s s e r t a t i o n , w ed e s i g na l lo b s e r v e ru s i n ge a c hn o d e so u t p u tv a r i a b l e ( s c a l a r ) t o i d e n t i f yt h et a r g e tn e t w o r k st o p o l o g y ，l e a d i n gt os i m p l ed e s i g no fo b s e r v e r t h en o d e s o u t p u tv a r i a b l ei st h el i n e a rc o m b i n a t i o no fs t a t ev a r i a b l e s ，w h i c hc a nb em e a s u r e de a s i l yi n r e a le n g i n e e r i n g b a s e do nt h el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r e m ，s o m ec o n d i t i o n sa r ed e r i v e dt o d e s i g nt h eo b s e r v e r b ys i m u l a t i o n su s i n gt h el o r e n zm o d e l ，t h ee f f e c t i v e n e s so f t h ea p p r o a c h i sd e m o n s t r a t e d a c c o r d i n gt ot h en e t w o r k st o p o l o g y ，w ea p p l yl o c a lf e e d b a c kc o n t r o lt oa s m a l lf r a c t i o no fn e t w o r kn o d e s f i n a l l y ，t w ow e l l - k n o w nn e t w o r km o d e l sa r ep r o v i d e da s i l l u s t r a t i v ee x a m p l e st oc o n f i r mt h ee f f e c t i v e n e s so ft h et e c h n i q u e k e y w o r d s ： c o m p l e x n e t w o r k s ； s y n c h r o n i z a t i o n ； o u t p u tv a r i a b l e ；t o p o l o g y i d e n t i f i c a t i o n ；p i n i n gc o n t r o l i i 南京邮电大学硕士研究生论文 目录 目录 摘要一i a b s t r a c t i i 目录i i i 第一章 1 1 1 2 1 3 1 4 绪论1 引言1 本文的研究意义2 复杂网络牵制控制的研究现状2 本文的内容安排5 第二章网络模型7 2 1 引言7 2 2网络节点线性耦合模型7 2 2 1网络节点线性耦合模型7 2 2 2网络节点输出耦合模型。8 2 3 复杂网络模型9 第三章基于观测器的网络拓扑辨识1 5 3 1 引言1 5 3 2基于观测器的复杂网络拓扑辨识1 5 3 2 1网络节点属于相同的动力学方程一1 5 3 2 2网络节点属于不同的动力学方程2 0 第四章复杂网络的牵制控制器设计2 6 4 1 引言一2 6 4 2 复杂动态网络的牵制控制2 7 4 3 复杂动态网络牵制控制器的设计3 2 4 3 1复杂网络节点输出线性耦合模型的牵制控制一3 2 t t t 南京邮电大学硕士研究生论文 目录 4 3 2 复杂网络节点状态线性耦合模型的牵制控制一3 4 第五章总结与展望3 9 5 1 本文工作总结3 9 5 2 展望一4 0 致谢4 1 参考文献一4 2 硕士研究生期间发表的论文4 5 i v 南京邮电大学硕士研究生学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 随着科学的发展，人们发现自己已经置身于网络时代，形形色色的网络在我们身边 无处不在。譬如由人组成的社会网，生活中可以发现的网络：交通网，航空网，通信网， 电网；生活中一些无形的网络，譬如食物链网络，语言词汇网络，蛋白质折叠网络，细 胞内化学物质反应网络等等复杂网络。于此同时，因为复杂网络对人的影响无处不在， 对复杂网络的研究才有其实际意义。网络化的进程，既给人们带来了便利，提高了生产 效率和生活质量，也带来了一定的负面冲击，如病毒的快速传播和大面积停电事故等。 社会的日益网络化，需要人类对复杂网络的行为有更好的认识。 近几年，复杂网络引起了一股研究热潮。从2 0 世纪术开始，复杂网络理论正在渗 透到物理学、数学、生命科学、工程学等多个不同的学科领域【l 】，发展速度非常迅猛。 复杂网络目前已成为- - 1 7 综合自然科学、工程技术与社会科学的交叉学科1 2 】。对复杂网 络的定量与定性特征的科学研究、理解、应用，已成为网络时代科学研究中的重要课题。 复杂网络系统的复杂性不仅包括子系统( 节点) 的复杂性还包括子系统之间连接结构的 复杂性。在网络系统控制的研究中，对于各个子系统( 节点) 的性质和网络结构对整个 系统行为的影响这个问题，却是从上世纪末才开始进行理论上系统性研究的。牵制控制 的基本思想是：通过有选择地对网络中的少部分节点施加控制而使得整个网络具有期望 的行为。牵制控制是复杂网络控制里一个重要的课题。本章简单介绍本文的研究意义， 研究现状以及本文内容的结构等。 本章余下部分的结构安排： 1 2 节：本文的研究意义； 1 3 节：复杂网络牵制控制的研究现状； 1 4 节：本文的内容安排； 论文所有仿真结果均在以下软硬件条件下完成。 软件：m a t l a b 软件7 1 版本； 硬件：c p u ，a m d3 0 0 0 + ； 内存：1 gd d r4 0 0 。 南京邮电大学硕士研究生学位论文第一章绪论 1 2 本文的研究意义 自然界中存在大量的复杂系统都可以通过用形形色色的网络加以描述，一个典型的 网络是由许多节点与连接两个节点的一些边组成，其中节点用来代表真实系统中不同的 个体，而边则用来表示个体间的关系，往往是两个节点之间具有某种特定的关系则连一 条边，反之则不连边，有边相连的两个节点被看作是相邻的。在信息领域，由于大型生 成过程、电力系统和通讯网络等均可采用复杂网络模型来刻画。因此，人们一直在思考 如何结合网络的特性通过控制手段来提高网络的性能。 牵制控制的基本方法是对网络中的部分节点施加控制，来达到有效控制整个网络的 目的。本文的牵制控制研究主要集中在对部分节点施加线性反馈而使整个动态网络稳定 在期望的同步状态；已经设计出的控制器是由节点状态信息构成的，如果节点的部分状 态不可测，那么这种控制器就没法使用。本文提出了一种新型的控制器，完全利用节点 的输出变量( 标量) 构成的控制器，不仅简化了控制器的结构，从原来节点自身 维变 成一维，而且易于工程实现，只要知道节点的输出就可以得到控制器。 1 3 复杂网络牵制控制的研究现状 复杂网络已经成为当今科学界研究的前沿和热点【卜7 】。自1 9 9 8 年以来该领域发表的 研究论文数量以指数形式递增，大量关于复杂网络的文章发表在n a t u r e ，s c i e n c e 等国 际一流的刊物上。复杂网络具有如下几个特征：( 1 ) 网络行为的统计性：网络节点数可以 有成百上千万，从而使得大规模性的网络行为具有统计特性。( 2 ) 结点动力学行为的复 杂性各个结点本身可以是各非线性系统具有混沌等非线性动力学行为。( 3 ) 连接结构的 复杂性：网络连接结构既非完全规则也非完全随机。特别是网络节点之间的不同类型的 同步化运动( 包括出现周期、非周期( 混沌) 反映了实际网络的复杂性特征。 首先是复杂网络牵制控制可行性问题的研究。牵制控制的原始基本思想是希望能够仅对 网络中的一部分节点直接施加常数输入控制而达到有效抑制整个网络的时空混沌行为 的目的。早期的工作由胡岗【8 】等人对由个节点组成的一维离散时间最近邻耦合映像格 子所做的研究，用来控制所牵制节点是反馈控制器。由于最初考虑的是常数输入，所以 这种控制称为牵制控制。后来人们做了推广，输入不再限于常数。只有对足够多的节点 施加控制，才能有效地控制时空混沌。p 2 u r e k h 【9 】等人针对离散时间耦合映像格子运用了 牵制控制，得到：只有对网络中的每个节点都施加牵制控制，才能将耦合映像格子中的 时空混沌稳定到平衡状态。比较施加牵制控制的节点的不同分布，发现可以通过均匀或 2 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第一章绪论 随机分布牵制控制节点来达到全局控制时空混沌的效果。因此，牵制控制的强度和控制 器分布的密度都决定了耦合映像格子中时空混沌控制的有效性。而复杂网络的牵制控制 是汪小帆和陈关荣最初提出的。文献 1 0 】汪小帆和陈关荣先考虑一类连续时间线性耗散 耦合动态网络模型的牵制控制，网络耦合矩阵a = f a i i ) 吼肌定义如下：若节点f 和节 点_ ，o ) 之间有连接，则a i j = a j i = l ：否则a 0 = a j ，= o ( i j ) ，网络是连通的，那么 耦合矩阵彳是一个对称且不可约矩阵，它有一个重数为1 的零特征根，而其余特征根均 为负实数。将动态网络控制到平衡点控制器为u ，= 一c d r ( x , 一i ) ，对网络节点总数的比 例为8 ( 0 万1 1 的部分节点实施牵制控制。这里对被牵制控制的节点所施加的是线性 状态反馈控制，d 0 是反馈增益。基于线性化方法推知，只要耦合强度满足条件： 啪 ，其中丑是矩阵b 的最大特征值。该方法实现牵制控制有四个假设：( 1 ) 节点 内部耦合矩阵为单位阵。( 2 ) 网络节点间的耦合强度是相同的。( 3 ) 网络节点的连接矩阵是 对称的。( 4 ) 对于施加控制的网络节点其所有状态为已知。现实的网络未必能同时满足这 四个假设，文献 1 1 李翔、汪小帆和陈关荣考虑如何减弱假设的条件，只要满足前四个 假设中后两个假设，将牵制控制运用于更一般动态网络模型，其中每个节点的耦合强度 不一定相同；两个相连的节点是通过它们各自的第z 个分量和第，个分量耦合在一起， 不是各节点的只有一个分量耦合在一起。将复杂动态网络控制到平衡点i 的控制器为： “，= 一c f t 噍r ( 气一习这里控制增益噍 0 ， 且各节点问耦合强度满足 气气+ 气q 歹= 0 。网络的平衡点全局渐近稳定的一个充分条件为 u g 叫 口兰南，和网络的平衡点i 局部渐进稳定的条件 。石可面箍厕其中 o 栅立节肭最大l 卿u n o v 指数。该 方法的假设条件：( 1 ) 网络是连通的，网络节点的连接矩阵是对称的。( 2 ) 对于施加牵制控 制的网络节点所有状态为已知。( 3 ) 复杂网络节点的耦合强度必须满足一定的条件。该方 法在满足上面条件后，对网络的部分节点施加控制才能使整个网络达到同步状态。而文 献 1 2 陈天平等人明确指出仅对网络中一个节点施加控制，就可以使网络达到同步状 3 南京邮电大学硕士研究生学位论文第一章绪论 态。对于网络的第一个节点施加的控制器咋( f ) = c ( 玉一s ( f ) ) 其中s ( t ) 为同步状态，提 出了局部稳定性定理，u i ( f ) 应满足条件“( f ) o ，否则勺= 勺= o ，并且c f f = 一c ，表明该网络 j = i ，j 车i 是耗散的。在这种模型中，我们可以看到，第f 个节点的动态性戈，取决于节点本身的 动态方程八毛) ，以及与之相连的所有节点的状态变量对其的影响。图2 1 是模型的图示。 7 第二章网络模型 图2 1 节点状态线性耦合模型 由图2 1 中可见，节点之间通过n 维向量进行耦合的，如果网络的节点个数取1 0 0 0 时， 网络之间的连接将如蜘蛛网似非常复杂。 2 2 2 网络节点输出耦合模型 介绍文献 1 7 】中的复杂网络节点输出模型，此模型是蒋国平老师等在2 0 0 6 年首次提 出，因为复杂网络节点模型，涉及到复杂网络每个节点所有的信息，是一个复杂的矢量， 如何简化模型，提出了复杂网络节点输出模型，下面详细介绍。 考虑一个由个相同节点组成的复杂动态网络，节点之间通过输出变量进行线性 耦合，每一个节点是一个n 维的动态系统。这个复杂动态网络的模型如下： _ 毫= f ( x j ) + c 缈，江1 2 n ( 2 - 2 ) j = l 其中，x t = 五lx i 2 x o ，r 掣是第f 个节点的状态变量，m r 江1 ，2 ，是第f 个 节点的输出变量( 标量) ，l = 1 l1 2 厶 r 是增益向量，c = ( c ，) 。是网络耦合 矩阵，代表网络的拓扑结构和耦合强度。c f ，的定义如下：如果第f 个节点与第个节 点之间有连接弓= 6 o ；否则，勺= 白= 0 ； 散的。 8 耗是络网该明 表 u c 钉 刮 一 = q 巳 并 南京邮电大学 我们可以发现，在这种网络模型中，两个节点之i 司的耦合，只需要通过一个标量来 完成。我们定义，第f 个节点的输出变量如下： y i = h x , ，f = 1 ，2 ，n ( 2 3 ) 其中，h = 无。h ：j j i 。 是节点输出向量。 因此，我们可以看出，第f 个节点的输 出变量y ，是第f 个节点的状态变量的线性组合，在现实工程中是易于测量的。图2 2 是节点输出线性耦合模型的图示。 图2 2 节点输出线性耦合模型 由图2 2 中可见，节点之间通过一维标量进行耦合的，网络的结构就相当简单。 将( 2 3 ) 式代入( 2 2 ) 式，我们可以得到： n 戈f = f ( x ，) + c i j lh x ，i = 1 ，2 一n( 2 - 4 ) j = 1 可以看出，若令r = 饼，则( 2 4 ) 就相当于一般的节点状态线性耦合模型的表达式( 2 1 ) 。 2 3 复杂网络模型 2 3 1 规则网络模型 9 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章网络模型 图2 - 3 最近邻网络图2 - 4 全局耦合网络图2 - 5 星形网络 三种最常被研究的规则网络模型是最近邻网络、全局耦合网络和星形网络 1 最近邻网络 如图2 3 所示的是一个最近邻网络模型，在这种网络中，每个节点和它周围的“邻 居 相连。在研究中比较常见的是具有周期性条件的最近邻耦合网络。易知，当网络的 节点数目很大时，最近邻网络的平均路径也很大。当节点数专时，平均路径也趋 于无穷大。所以最近邻网络不具有小世界效应。 2 全局耦合网络 全局耦合网络模型如图2 4 所示。在该网络中，每个节点都和其它所有节点连接， 网络的聚类系数为1 。它具有最小的平均最短路径和最大的平均集聚系数。在一个具有 个节点的网络中共有( 一1 ) 2 条边。但在实际网络中，边是比较稀疏的，一般网 络具有的边的数目是的量级而不是2 的量级。 3 星形网络 星形网络模型如图2 - 5 所示，它是有一个中心节点，其它的节点都只与中心节点连 接。 2 3 2 随机网络模型 图2 - 6 随机网络的演化过程 l o 域二 毒斗 ， - kl 一 ：； 。 ；，-l 专。一 、 啡 一 ，_| 。 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章网络模型 e r 随机图理论【捌是4 0 多年前由e r d s s 和r e n y i 提出。假设网络有个节点，我们 以概率p 来连接一对随机选定的节点。这样就生成了一个具有个节点和大约 叫( 一1 ) 2 条边的随机图。图2 - 6 示出了随机图网络的演化过程。随机图理论研究的 主要问题是确定随机图产生的某种特定性质的概率值。随机图网络的平均度是 ( 七) = p ( n - 1 ) ，度的分布呈p o i s s o n 分布。平均路径三1 i l ( 后) 较小，具有典型的小 世界特性。但e r 随机图的聚类系数c k 。 2 随机化：以概率p “重新连接 ( r e w i r e ) 每条边，重新连接在这里的意思是把 一条边的一端从一个节点转移到在网络中随机选取的另一个节点上，并保证节点 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章网络模型 没有自连接以及两个节点间没有重复连接。这样网络中就产生了p n k 2 条“长 距离连接 ( 或称“非局部连接”、“捷径”) 。通过变动p ，我们可以产生从 规则网络( p = 0 )到随机网络( p = 1 ) 的转变。 图2 8 w s d 、世界网络中c ( p ) - 与l ( p ) 随p 的变化 我们可以把聚类系数c ( p ) 和平均路长z ( p ) 看成是概率p 的函数。规则的最近邻网 络( p = o ) 是高聚类的，聚类系数c ( o ) 3 4 ，但具有长的平均路径( ( o ) w 2 k 1 ) 研究发现，对于一个较小的概率p ，聚类系数改变很小，而平均路长却减小很快。图 2 8 示出了c ( p ) c ( o ) 和三( p ) 三( o ) 随概率p 的变化曲线。这样通过一个小概率的重新 连接，我们就可以生成一个具有较大聚类系数和很小的平均路长的小世界网络模型。小 世界网络的度分布和e r 随机图一样也是服从p o i s s o n 分布。 注意到在w s 小世界网络模型中，存在通过重新连接而把整个网络断开成不连接的 几部分的可能性。为了克服这个缺点并使研究更为方便，n e w m a n 和w a t t s 2 4 】对这个小世 界网络模型做了一点修改，提出了n w d , 世界网络模型。在这个模型中，不断开原有的 连接，而是以概率p 在随机选定的一对网络节点间增加新的连接。同样，也要保证节点 没有自连接以及两个节点间没有重复连接。当p = 0 时，n w 网络就是原来的规则最近 邻网络；当p = 1 时，网络变成规则的全局耦合网络。研究发现，在p 较小时，n w 模型 具有和w s 模型类似的特性。 1 2 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章网络模型 图2 9 具有四条长距离连接的n w 世界网络模型，其中初始的最近网络中的近邻数目为 ( a ) k = 2 ，( b ) k = 6 t 2 4 】 2 3 4 无标度网络模型 上述网络模型中规则网络的度分布为d e l t a 函数，因为所有的网络节点都有相同的 连接数。e r 随机图网络和小世界网络的度分布都是p o i s s o n 分布。该分布在度的均值处 有一个峰值，在两侧呈指数衰减，因此这样的网络也被叫做指数网络( e x p o n e n t i a l n e t w o r k s ) 。而最近研究发现，实际的很多大规模复杂网络的度分布都服从幂指数分布 ( p o w e r - l a w ) 。在图2 1 0 中我们给出了一个典型的具有幂指数度分布的网络模型。 为了解释这种幂指数分布，在1 9 9 9 年b a r a b a s i 和a l b e r t 提出了无标度网络的生长模型 1 2 5 - 2 6 ( b a 无标度网络模型) 。b a 标度无关网络模型的主要有两个步骤，即网络节点生 长过程和边的优先连接过程【2 6 】。具体可以描述如下： 1 ) 生长过程，以一个点数和边都比较少的随机网络为基础，可以假设随机网络的节点 数为m 。，边数为n 。在之后的每个时间步里，往已有的网络里增加一个新的节点， 1 3 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章网络模型 同时以这个节点为一个端点连出m ( m m o ) 条边，连接出的边的另一端为网络中原 来存在的节点。 2 ) 优先连接，步骤( 1 ) 的生长过程中连接网络中某一个节点的规则是，新j n , , x 的节点和 网络里已有的节点i 的连接概率等于节点f 的度和网络中所有节点度的比值，假设第 价节点此时黻龇n ( 2 轰 这样经过f 步之后，就生成了一个具有n = t + m 。个节点和m t 条边的网络。直观上我们 可以知道，在这样的网络中，有少数节点会有很高的度( 即有很多个节点连接到它上面) ， 而大多数节点的度都比较低，这和实际网络的情况比较类似，比如，在w w w 中象y a h o o 和c n n 这样的网站有很多连接，但大多数网站的连接数都比较少。数值实验和理论推 导都表明，在t 时刻网络中有节点数n = f + 聊。，边数m t 。度分布具有幂律特征 p ( k ) - k 一。从而度的分布呈现了无标度性。回顾网络的生长过程，我们可以认为节点 的生长和边的优先连接这两个因素是造成网络中度分布的无标度性的直接原因。 1 4 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第三章基于观观测器的网络辨识 3 1引言 第三章基于观测器的网络拓扑辨识 在复杂动态网络中，网络拓扑也是很重要的，有时也成为研究的热点。现有的研究 文献中，大多数是基于网络拓扑已知的情况下进行研究的。然而现实中，网络的拓扑结 构经常是未知的，如何辨识网络拓扑，具有相当重要的现实意义。 网络拓扑辨识是基于复杂网络外部同步而进行的研究。网络外部同步，是指两个网 络的对应节点的行为趋于一致，即两个网络对应节点的行为同步，与两个网络本身是否 同步无关。文献【1 8 w a l l a c e k s t a n g 等将控制论中经典的状态观测器的方法引入神经 网络拓扑辨识中，通过李雅普诺夫证明此方法的可行性。但是要满足两个假设，一是网 络所有节点具有相同的动态特性，二假设神经网络节点的第一种状态可测，并且网络节 点之间只通过第一状态进行耦合的。陆君安及其学生对此做了改进将网络辨识的领域从 神经网络扩展到一般的网络，文献【1 9 】对一般的网络拓扑辨识进行了研究，网络节点属 于不同动态方程构造网络状态观测器，也能辨识出院网络的拓扑结构，做了论证；但是 在此文献中假设要求原网络的每个节点的所有状态必须可测。文献【2 0 】就一般网络的拓 扑辨识做了研究，间接使用状态观测器的方法，构造另外一个网络，使此网络的节点与 原网络相应的节点同步从而辨识出原网络的拓扑。改进之处，对于网络节点误差的李雅 普诺夫函数进行了严密的验证。后来武汉大学的吴晓群【2 l j 对于时延网络的拓扑辨识进 行了研究。以上有关复杂网络拓扑辨识的研究都是建立在复杂网络节点状态耦合模型基 础上的。我研究复杂网络拓扑辨识建立在网络节点输出耦合模型的基础上。 3 2基于观测器的复杂网络拓扑辨识 我们也利用设计观测器的方法来进行网络拓扑辨识，拓展到了复杂动态网络的一般 模型中。 3 2 1 网络节点属于相同的动力学方程 将2 2 节中的节点状态线性耦合模型重写，模型中各变量的定义见2 2 节： 1 5 i = 1 ，2 ，n ( 3 1 )珧 一矿 c 一 + 、- 、x - ， = x 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第三章基于观观测器的网络辨识 其中，拓扑矩阵c = ( 气) 。，用来表征网络耦合强度和拓扑结构。 对于网络模型( 3 1 ) ，利用每个节点的输出变量作为反馈变量，我们可以设计如下 观测器： 甜，= 一岛b ( 或一只) 乏i = 一叠谤j i = 1 ，2 ，n ( 3 2 ) 其中，毫= 毫l ，毫2 ，丸】r r 刀表示观测器模型中第f 个节点的状态变量，毛是原 网络( 3 1 ) 中拓扑结构勺的估计值，观测器中第f 个节点的输出变量为夕f = 月冀f 。反 馈增益系数匆，其大小可以由定理t 3 1 求出。 假设3 1 ( a 3 1 ) ： 在复杂动态网络模型( 3 1 ) 中，假设存在一个正数口，使厂满足以下不等式： 厂( y ) 一厂( z ) 忙 l l y - z l l 其中， y ，z 表示任意时变，z 维向量，| | 9 表示范数。 ( 3 3 ) 假设日o ，那么蚓吼中。，设“访是坐产的最j 、特征值。 竿的特征值是互乞 毛，而仑由争c ：f f 代替c 中眠得到。c 是一个无 向耗散网络的拓扑矩阵，那么它只有一个阶数为1 的零特征根，其他均为负根，c 的特 征根为a 乃 ，根据引理3 - 1 ，我们可以得到五五0 。 引理3 1 ( l 3 1 ) ： 假设矩阵m 是一个n n 维的矩阵，并且矩阵m 的元素满足以下两个条件： 脚盯 o ( f ) 聊扩= 0 。假设矩阵m 的特征值为缶乞，如果用而盯代替 矩阵m 中的m 疗，并且历打 m j ，那么得到矩阵露的特征值五磊己就有这种 特点缶 缶( 1 i n ) 。 略 + 嘞勺 爿 + 葺 ， = t 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第三章基于观观测器的网络辨识 用( 3 2 ) 式减去( 3 1 ) 式，我们可以得到如下形式的误差系统： 我们定义节点状态误差为e f = 毫一x f ，节点输出误差为气= 允一只= 如，拓扑误 差为弓= 乞一勺。 足理3 - 1 ( t 3 - 1 ) ： 假设a 3 1 成立，当1 f 我们可以得到0 厂( 毫，t ) - f ( x ，n i l - 口恽i i 如果找到合 适的正数砖和矩阵b 满足以下不等式： 口如一砖九i 。凡+ 厂竿 o ( 3 - 5 ) 其中厶是二个单位阵，厶妯是矩阵旦掣的最小特征值；那么误差( 3 4 ) 会 渐进稳定到零，因此网络( 3 1 ) 与观测器( 3 2 ) 达到同步，( 3 2 ) 中的o = ( 乞) 。与 ( 3 1 ) 的拓扑结构c = ( 勺) 。相等。 证明： 构造如下正定的李雅普诺夫函数： 1 n 1 n n 矿= p p ，+ 5 ； ( 3 6 ) 二f 1 二f = i _ ，= 1 对v 求导，我们得到： 1 7 4 0 、y 一 只 ，_ b t 一戤l _ 勺 一 +胁 lc 一 + 、j ， 一 、- 、 一， i i 1 x i i p ：勺_ 勺 同 阔 + p 衫 阍 = y 砚0 _ 勺 闩 阔 + l 勺 闩 斟 + n 一 ， 一 畸 ，巧 鲥 = ：勺勺 闩 鲥 + 、i ， 一 咒 ，i 口 r f p 目 一 堕室坚皇奎兰堡主婴窒竺堂堡笙奎 蔓三兰薹王翌婴型墨堕堕竺塑望 n nn 口忙：l l l e , i i + e r l h e j i = l i = lj = t ，f + 喜q ，p f 半巳一善t 华巳 口自e+nn勺y蚓li+n,r111e , i i 蚓l 口翻e+ 勺y 蚓| i + 蚓l i = l f = 1j = l ，f i = l = p 7 ( 口，+ y o t 九。凡) e 彰a i n - k i u + y 华卜 仔7 ， 其中，8 = ( 慨1 1 2 ，忙2 0 2 ，l 忙0 2 ) 7 ，旦专竺是对称矩阵，其最大特征值为互。 陋ra i n - k t u 一竽卜 ( 口一尼九i n + 西) p7 2(3-8) 由此可以设计足够大的砖可以满足口一七k 。 o ，那么口一七k + 万 o 。保证当 f 一+ o 。时，7 7 = ( 0 ，哆rr ) 7 专o 。所以，m = q = o ，气= o ，i ，j = l ，2 ，) 是 m 。= 矿= o ) 对于误差系统( 3 4 ) 的不变形式。 根据l a s a l l e 不变集定理【2 7 】，选择任意初始值，轨迹最终渐近收敛为m ；因此，当 l i m e ，= 0f = 1 , 2 ，n 时，l i m b o = 0f ，= l ，2 ，n ，即e 能精确辨识出网络拓扑c 。 数值仿真中，我们按网络模型( 3 1 ) 建立一个4 个节点的有权网络， 每个节点用 戈= 睢蚓l i l , + l0 p 9 ， = b x + w ( x ) 当口：1 0 ，6 = 昙，c = 2 8i t c j ，毛动态特性如图3 1 。 1 8 白 p k砖 鲥 一 q 南京邮电大学硕士研究生学位论文第三章基于观观测器的网络辨识 图3 - 1l o r e n z 系统第一维燹量 l o r e n z 的吸引子都存在在一定的范围内，假设满足l i y p i l ，i l z , l l _ 8 ，1 p 3 那么根据 a 2 1 ，我们得到 1 1 w 一形( z ) 0 ( 一儿( m z 1 ) 一毛( 儿一乞) ) 2 + ( 儿( m z 。) + z l ( 一z 2 ) ) 2 ( 3 - l o ) 2 8 y - z i l 仿真中建立的网络结构如图3 2 所示， 卜删+ 弘锄1 鲻4p f ，一6 42 0 、 。甜 1 9 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第三章基于观观测器的网络辨识 根据观测器( 3 2 ) 设计如下： r 10 一 r i 工 b = 在仿真过程中，各参数设计如下： 4 胞) + 讧乃一危嗽一j l j ) j = l ( 3 q 2 ) 砖= 5 0 ，而( o ) = ( o 2 ，0 ，0 ) 7 ，屯( o ) = ( o 5 ，0 ，o ) 7 恐( o ) = ( o 3 ，0 ，o ) 7 ，_ ( 0 ) = ( o 7 ，0 ，o ) 7 ， 毫( o ) = ( o ，0 ，o ) 7 1 i 4 根据系统进行仿真，结果如下所示： 图3 3 节点i 与节点的连接系数图3 4 节点i i 与节点的连接系数 图3 5 节点i 与节点的连接系数图3 - 6 节点i i 与节点的连接系数 如图所示，m 3 3 、m 3 4 、图3 5 、图3 6 分别显示了0 中四个节点各自的连接辨识值。 可见，所设计的观测器可以完全辨识原网络的拓扑结构。 3 2 2网络节点属于不同的动力学方程 一般的网络模型如下： 2 0 南京邮电大学硕士研究生学位论文第三章基于观观测器的网络辨识 1 i n + + 1 i n ( 3 1 3 ) 其中，拓扑矩阵c = ( 勺) 。，用