（基础数学专业论文）曲率有下界的黎曼流形.pdf

摘要 h a u s d o r f f 逼近是研究整体黎曼几何，特别是研究曲率有下界的黎曼流形时 的一项重要工具在g r o m o v 的 2 8 之后，许多数学家致力于h a u s d o r f f 收敛的 研究并取得了许多优秀的成果 本文主要研究的便是曲率有下界的黎曼流形 在第二章中我们利用调和1 一形式研究了第一贝蒂数等于佗且p d c c i 曲率几 乎非负的n 维黎曼流形和佗维平坦环面之间的关系令妒是从m n 到礼维平坦 环面p 的a l b a n e s e 映射( 见定义2 1 1 ) ，则我们可获得如下结果 定理a 对于任给的佗3 ，v 0 0 以及充分小的g 0 ，若m 是一个m 维 闭流形，且满足d i a m ( m ) = 1 ，r i c ( m ) 一，b l ( m ) = 佗及v o l ( m ) v 0 ，则 妒：m p 是一个妒( h ) 一h a u s d o r f f 逼近 在第三章中我们把贝蒂数等于他的情况推广到基本群的幂零指标( 见定义 3 1 1 ) 等于佗的情况利用分裂定理和h a u s d o r f f 收敛，我们可以得到下面的结 果。 定理b m n 是一个n 维黎曼流形， 吼) 罂1 是m 上的一族黎曼度量，并满 足d i a m ( 尬吼) 1 且r i c ( mg i ) 一矗( 既_ 0 ) 令必为m 的万有覆盖且赋予 其g i 的提升度量假设m 的基本群丌1 ( m ) 有一个有限指标的幂零子群，且其幂 零指标为佗则在点则h a u s d o r f f 收敛的意义下，我们有 l i r a ( 必，氟) = ( r n ，o ) ， z 呻( x j 其中氟是必中的任意固定点 在第四章和第五章中我们重点考虑正截面曲率的球面。令b ：= 妇m ljq m ，d ( q ，p ) 吾) ，我们可以得到如下定理。 定理c m 是一个完备的连通n 维黎曼流形，且满足s e c ( m ) 1 ，d i a m ( m ) 吾假设是其连通的k 维全测地闭子流形，且nb d 则对于任给的 z nnb ，我们有r a d n ( z ) r a d m ( x ) 进一步，同胚于k 维欧氏球面铲 这个定理部分地解决了夏在 4 9 中提出的问题，并推广了他在同一篇文章中 的一个定理同时王在【4 3 】中得到的一个定理亦可看作是定理c 的一个直接的 推论 此外，我们还对王在该篇文章中提出的如下问题给出了一个反例。 i i 问题d m 是一个完备的连通n 维黎曼流形，且满足s e c ( m ) 21 ，r a d ( m ) 吾。则m 上的对径映射限制在其全测地子流形上是否就是m 上的对径映射本身? 最后，我们研究了正截面曲率黎曼流形上梯度推的性质，并证明了如下结论 定理e m 是一个连通的佗维紧致黎曼流形，且满足s e c ( m ) 21 ，r a d ( m ) 詈。若p 是m 上的一个点，且f ( y ) = 互1d 2 ( p ，可) 则由，以及任意起始点z ( p ) 决定的梯度曲线都将终止于或是趋向于p 的对径点a ( p ) 关键词：h a u s d o r f f 收敛，几乎非负r i c c i 曲率，贝蒂数，调和1 一形式，幂零 指标，分裂定理，正截面曲率，梯度曲线。 a b s t r a c t i i i h a u s d o r i fc o n v e r g e n c ei sa ni m p o r t a n tt o o li ng l o b a lr i e m a n n i a ng e o m e t r y , e s p e c i a l l yf o rt h er i e m a n n i a nm a n i f o l d sw i t hc u r v a t u r e sb o u n d e db e l o w a f t e r 【2 8 o fg r o m o v ，m a n ym a t h e m a t i c i a n sh a v ep u r s u e dt h e s t u d i e so fh a u s d o r f fc o n - v e r g e n c ea n dh a v ea p p f i e di tt oo b t a i nl o t so fg o o dr e s u l t s t h i st h e s i sm a i n l yf o c u s e so nt h er i e m a n n i a nm a n i f o l d sw i t hc u r v a t u r e s b o u n d e db e l o w i nc h a p t e r2w eu s eh a r m o n i c1 - f o r m sa n dd i s c u s st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e na n a l m o s tn o n n e g a t i v e l yr i c c ic u r v e dn - m a n i f o l dw i t ht h ef i r s tb e t t in u m b e re q u a l t o 佗a n daf l a tn - t o r u s s e t t i n gt ot ob et h ea l b a n e s em a p ( r e f e r r e dt od e f i n i t i o n 2 1 1 ) f r o mm nt oa f l a tn - t o r u sp ，w eo b t a i nt h ef o l l o w i n gr e s u l t t h e o r e ma f o ra n y 佗3 ，v 0 0a n de0s m a l le n o u g h ，i fm i sa c l o s e dn - d i m e n s i o n a lr i e m a n n i a nm a n i f o l dw i t hd i a m ( m ) = 1 ，m c ( m ) - - e ， b l ( m ) = 佗a n dv o l ( m ) v 0 ，t h e nt h em a p 妒：m _ p i sa 矽( g i 佗，v 0 ) 一h a u s d o r f f a p p r o x i m a t i o n i nc h a p t e r3w eg e n e r a t et h ec a s eo ft h ef i r s tb e t t in u m b e re q u a lt ot h e d i m e n s i o nnt ot h eo n eo ft h en i l p o t e n c y ( r e f e r r e dt od e f i n i t i o n3 1 1 ) o ft h ef u n - d a m e n t a lg r o u pe q u a lt on a p p l y i n gs p l i t t i n gt h e o r e ma n dh a u s d o r f fc o n v e r g e n c e w eo b t a i n e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t t h e o r e mb l e tm nb eac l o s e dn - d i m e n s i o n a lr i e m a n n i a nm a n i f o l da n d 吼) 罂1b eas e q u e n c eo fr i e m a n n i a nm e t r i c so nm s u c ht h a td i a m ( m ，仇) 1a n d r i c ( m ，g i ) 一邑( 邑_ o ) l e t 必b et h eu n i v e r s a lc o v e r i n go fm w i t ht h el i f t m e t r i co fg i s u p p o s et h a tt h ef u n d a m e n t a lg r o u po fm ，丌1 ( m ) ，h a sa nn i l p o t e n t s u b g r o u pt h en i l p o t e n c yo fw h i c hi se q u a lt o 佗t h e nw eh a v e l i m ( 尬，氟) = 0 o 。 ( r n ，0 ) i nt h es e n s eo fp o i n t e dh a u s d o r f fd i s t a n c e ，w h e r e 磊c a nb ec h o s e nt ob ea n yp o i n t i n 磁 i nc h a p t e r4a n dc h a p t e r5w ef o c u so ns p h e r e sw i t hp o s i t i v es e c t i o n a lc u r - v a t u r e s f i r s t l y ，s e t t i n gb ：= p m i | q m ，d ( q ，p ) 专) ，w eo b t a i nt h e f o l l o w i n gr e s u l t t h e o r e mc - l e tmb ea nn - d i m e n s i o n a lc o m p l e t ec o n n e c t e dr i e m a n n i a n m a n i f o l dw i t hs e c ( m ) 1a n dd i a m ( m ) 吾s u p p o s et h a tni sak - d i m e n s i o n a l c l o s e dc o n n e c t e dt o t a l l yg e o d e s i cs u b m a n i f o l da n dnnb d t h e n ，f o ra n y z nnb ，r a d g ( x ) r a d m ( x ) f u r t h e r m o r e ，ni sh o m e o m o r p h i ct oak - d i m e n s i o n a le u c l i d e a ns p h e r es 血 t h i st h e o r e mp a r t i a l l ya n s w e r sx i a sq u e s t i o ni n 4 9 a n dg e n e r a l i z e sh i s t h e o r e mi nt h es a m ep a p e r a n dat h e o r e mo b t a i n e db yw a n g i n 4 3 c a r lb es e e n a sad i r e c tc o n s e q u e n c eo ft h e o r e mc w ea l s og i v eac o u n t e r e x a m p l et ot h ef o l l o w i n gp r o b l e mw h i c hw a sa s k e db y w a n gi n 4 3 p r o b l e md l e tmb ea nn - d i m e n s i o n a lc o m p l e t ec o n n e c t e dr i e m a n n i a n m a n i f o l dw i t hs e c ( m ) 1a n dr a d ( m ) 三d o e st h e “a n t i p o d a l ”m a pao fm r e s t r i c t e dt oac o m p l e t et o t a l l yg e o d e s i cs u b m a n i f o l da g r e ew i t ht h a to fm f ! f i n a l l yw es t u d yt h eg r a d i e n tp u s ho nt h er i e m a n n i a nm a n i f o l d sw i t hp o s i t i v e s e c t i o n a lc u r v a t u r e sa n do b t a i nt h ef o l l o w i n gr e s u l t t h e o r e me l e tmb ea nn - d i m e n s i o n a lc o n n e c t e dc o m p a c tr i e m a n n i a n m a n i f o l dw i t hs e c ( m ) 1a n d r a d ( m ) 三，pap o i n ti nm a n df ( y ) = 互1d 2 ，) t h e nt h eg r a d i e n tc u r v e sd e t e r m i n e db y ，a n da na r b i t r a r ys t a r t i n gp o i n tz ( p ) w i l la p p r o a c ht oo re n da tt h ep o i n ta ) w h i c hi st h ea n t i p o d a lp o i n to fp k e y w o r d s ：h a u s d o r f fc o n v e r g e n c e ，a l m o s tn o n n e g a t i v er i c c ic u r v a t u r e ， b e t t in u m b e r ，h a r m o n i c1 - f o r m ，n i l p o t e n c y , s p l i t t i n gt h e o r e m ，p o s i t i v es e c t i o n a l c u r v a t u r e ，g r a d i e n tc u r v e 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位语文作者签名：匆0 经 叼年r 月，弓日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年 月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：武礁 矿7 年r 月3 e l c h a p t e r1 h a u s d o r f fc o n v e r g e n c e 1 1i n t r o d u c t i o n h a u s d o r f fc o n v e r g e n c ei sa ni m p o r t a n tt o o li ng l o b a lr i e m a n n i a ng e o m e t r y a f t e r 2 s ，m a n ym a t h e m a t i c i a n s h a v ep u r s u e dt h es t u d i e so fh a n s d o r f fc o n v e r g e n c ea n d h a v ea p p l i e di tt oo b t a i nl o t so fg o o dr e s u l t sw h i c hp r e s e n t e di n 【1 2 ， 2 1 ， 2 8 】 3 4 ，e t c t h ec l a s s i c a lh a u s d o r f fc o n v e r g e n c ec a l lb e u s e df o ra s e q u e n c eo fp d e m a n n i a n m a n i f o l d sw h i c hh a v ed i a m e t e r su n i f o r m l yb o u n d e d f o rt h ec a s eo fo p e nm a n i f o l d s ( m a n i f o l d so nw h i c hg r o u p sa c t ) ，h a n s d o r f fc o n v e r g e n c ei sg e n e r a l i z e dt o p o i n t e dh a u s d r f fc o n v e r g e n c e ( e q u i v a r i a n th a u s d o r f fc o n v e r g e n c e ) h a u d o r f fc o n v e r g e n c ea n di t sg e n e r a l i z a t i o n sa r ev e r yu s e f u lt h r o u g ht h ew h o l e t h e s i s s ow ew i l li n t r o d u c es o m ed e f i n i t i o n sa n dp r o p e r t i e sa tt h eb e g i n n i n g ，a n d o m i tt h ep r o o fo ft h et h e o r e m s ( t h ed e t a i l sc a nb er e f e r r e dt o 【1 9 ，【2 0 ，【2 3 ，【2 s ， 2 5 】， 3 3 】， 3 9 ，【4 0 】) i ns e c t i o n1 2 ，w ei n t r o d u c et h ec l a s s i c a lh a u s d o r f fc o n v e r g e n c ef o rc o m p a c t m a n i f 0 1 d s i ns e c t i o n1 3 ，1 4a n d1 5 ，w ed i s c u s st h r e eg e n e r a l i z a t i o n so fh a u s - d o r f fc o n v e r g e n c e ，n a m e dp o i n t e dh a n s d o r f fc o n v e r g e n c e ，e q u i v a r i a n th a u s d o r f f c o n v e r g e n c ea n de q u i v a r i a n tp o i n t e dh a u s d o r f fc o n v e r g e n c e ，r e s p e c t i v e l y t h e m a i nc o n t e n to fs e c t i o n1 2 ，1 3a n d1 4c a nb er e f e r r e dt ot h ec h a p t e r1i n 1 9 】， a n ds e c t i o n1 5c a nb er e f e r r e dt o 2 3 、 2 1 2h a u s d o r f fc o n v e r g e n c e c h a p t e r1 h au s d o r f f c o n v e r g e n c e i nt h i st h e s i sw e m a i n l yf o c u so nr i e m a n n i a nm a n i f o l d s b u t8 0 m e t i m e s h a u s d o r f f c o n v e r g e n c ei su s e f u lt ow o r ki nw i d e rc l a s s e so fs p a c e s h e n c ew ed e f t n ei to nt h e c l a s so fa l lc o m p a c tm e t r i cs p a c e s d e f i n i t i o n1 2 1 l e tm e t d e n o t et h es e to fa l li s o m e t r yc l a s 8 e so fc o m p a c t m e t r i cs p a c e s l e txa n dyb et w oe l e m e n t so f m s t am a p 西：x _ y 【n o tn e c e s 8 a r yt ob ec o n t i n u o u s ) i ss a i dt ob ea ng - h a u s d o r f f a p p r 0 x i m a t i o ni ft h e f o l l o w i n gt w oc o n d i t i o n sa r es a t i s f i e d ： ( i ) t h e 一n e i g h b o r h o o do ft h ei m a g e 矽( x ) i nyi s e q u a lt oy ，i e ，f o ra n y y y ，t h e r ee x i s t sap o i n tz ys 1 1 c 山t b a 土 d ( ( z ) ，y ) ， ( i i ) f o ra n yz ，z 7 x ，w eh a v e d ( z ，z 7 ) 一d ( ( z ) ，( z 7 ) ) i 一(一)j w h e r ed i m ( m ) d e n o t et h ed i m e n s i o no fm ，d i a m ( m ) t h ed i a m e t e r ，a n dr i c ( m ) t h er i c c ic u r v a t u r e t h e nw eh a v et h ef a m o u sp r e c o m p a c t n e s st h e o r e m t h e o r e m1 2 7 t h es e ts ( n ，d ) i sp r e c o m p a c ti nm e tw i t hr e s p e c tt ot h e h a u s d o r f fd i s t a n c e f o rt h ec a s eo fb o u n d e ds e c t i o n a lc u r v a t u r e ，w ea l s oh a v et h ef a m o u sr i g i d i t y t h e o r e m 4 c h a p t e r1 h a u s d o r f fc o n v e r g e n c e d e f i n i t i o n1 2 8 w ed e f i n et h es y m b o lm ( n ，d ，v ) b y 朋c 咖川= m mi sac o m p a c tr i e m a n n i a nm a n i f o l d ，1 d i m ( m ) = n ，d i a m ( m ) d ， ， s e c ( m ) i 1 ，v o l ( m ) vj w h e r es e c ( m ) d e n o t et h es e c t i o n a lc u r v a t u r eo fm m ( n ，d ，0 ) i sm s od e n o t e db y m ( n ，d ) t h e o r e m1 2 9 i f 舰，n m ( n ，d ，v ) a n d j i md h ( m i ，n ) = 0 ， 0 o 。 t h e nm ta n dna r ed i f f e o m o r p h i c o i rs u f f i c i e n t l yl a r g ei i f i nt h ea b o v et h e o r e mi sn o ts u p p o s e dt ob ear i e m a n n i a nm a n i f o l d w eh a v et h ef o l l o w i n gt h e o r e mw h i c hs h o w sp r o p e r t i e so ft h ec l o s u r eo ft h es e t m ( n ，d ，v ) i na s t t h e o r e m1 2 1 0 l e t 必m ( n ，( 2 0 ，u ) ，( x ，d ) m t a s s u m e t h e n l i md h ( m i ，x ) = 0 0 ( i ) xi sac 一m a n i f o l & 以砂t h e r ee x i s t sam e t r i ct e n s o rg xo fc 1 , a _ c l a s ss u c ht h a t ( x ，d ) i si s o m e t r i c 亡o ( x ，耿) i ( i i i ) xa n dm 。a r ed i f f e o m o r p h i c o 甲l a r g ei 1 3p o i n t e dh a u s d o r f fc o n v e r g e n c e i nt h i ss e c t i o nw ec o n s i d e rag e n e r a l i z a t i o no fh a u s d o r f fc o n v e r g e n c ef o rt h ec a s e o fo p e nm a n i f o l d s i m i l a r l ya u ss e c t i o n1 2 w ed e f i n ei to nt h ec l a s so fp o i n t e d m e t r i cs p a c e s d e f i n i t i o n1 3 1 t h es y m b o lm 五i sd e n o t e db yt h es e to fa l li s o m e t r yc l a s s e s o fp o i n t e dm e t r i cs p a c e s ( x ，p ) s u c ht h a tt h em e t r i cb a l lb r ，x ) i sc o m p a c tf o r e v e r yr 0 1 3 p o i n t e dh a u s d o r f fc o n v e r g e n c e5 d e f i n i t i o n1 3 2 l e t ( x ，p ) ，( q ) 4 磊a n d ：x yb eap o i n t e d m a p w es a yt h a t 咖i sa ne - p o i n t e dh a u s d o r f fa p p r o x i m a t i o ni f ( b 1 ( p ，x ) ) c b 1 ( 口，y ) a n d i b ，。( p ，x ) ：b 1 ，x ) _ b 1 ( g ，y ) i sa ne - h a u s d o r f fa p p r o x i m a t i o n t h ep o i n t e dh a n d o r f fd i s t a n c e ，如日( ( x ，p ) ，( y ；口) ) ，s t a n d sf o rt h ei n f i m u mo f t h en u m b e r s s u c ht h a tt h e r ee x i s te - h a u s d o r f fa p p r o x i m a t i o n sf r o mxt oya n d f r o myt 0x r e m a r k1 3 3 f r o mt h ed e f i n i t i o na b o v e ，w ec a ns e et h a tf o ra n y ( x ，p ) ，( q ) m e ：r 0a n d 0 ，t op r o v e 如日( ( x ，p ) ，( 口) ) f o l 比 w h e r ei n j ( m ) d e n o t et h ei n j e c t i v er a d i u so fm r e m a r k1 3 8 f r o mr e s t r i c t i o nt ot h ei n j e c t i v er a d i u si nt h e d e f i n i t i o na b o v e ， w ec a ng e tt h a tt h ev o l u m e s 。ft h e m e t r i cb a l l sw i t hr a d i u sr ( ) c a nb eb 。u n d e d b e l o wu n i f o r m l y w h i c hc o r r e s p o n d s t ot h er e s t r i c t i o nt ot h ev o l u m ei nd e f i n i t i o n 1 2 8 t h e o r e m1 3 9 l e t ( 尬，a ) m o ( n ，) a n d ( x ，p ) m 而a s s u m e 1 i m 如日( ( 舰，鼽) ，( x ，p ) ) = 0 t o o t h e 礼xi sos m d d t hr i e m a n n i a nm a n i f o l dw i t hc 1 a m e t m ct e n s o r r e m a r k1 3 1 0 t h ep o i n t e dh a u s d o r f fv e r s i o n o ft h e o r e m1 2 9d o e sn o th o l d w ec a ng i v ea ne a s yc o u n t e r e x a m p l e l e t ( 只g ) b et h es t a n d a r dn s p h e r ea n dp ap o i n to ns n t h e nw ec a ns e ec l e a r l yt h a t 蜘( ( ，r g ) ，p ) = ( 职，o ) 儿一+ b u t ( s n r g ) c a nn o tb ed i f f e o m o r p h i ct o 础 1 4e q u i v a r i a n th a u s d o r f fc o n v e r g e n c e i nt h i ss e c t i o nw ed i s c u 8 sa n o t h e rg e n e r a l i z a t i o nt o h a u s d o r f fc o n v e r g e n c ef o rt h e c a s e 。fc o m p a c tm a n i f o l d so nw h i c hg r o u p sa c t s i m i l a r l ya ss e c t i o n1 2 ，w ed e 丘n e i tt h ec l a s so fc o m p a c tm e t r i cs p a c e s d e f i n i t i o n1 4 1 l e tgb eag r o u pa n dm 丁( g ) b et h es e to fa l li s o m e t r y c l a l s s e so fc o m p a c ts p a c e se q u i p p e dw i t h a ni s o m e t r i cg a c t i o n f o rx ，y 1 4 e q u i v a r i a n th a u s d o r f fc o n v e r g e n c e 7 m e t ( a ) ，am a p ：x y i ss a i dt ob ea n 一g h a u s d o r f fa p p r o x i m a t i o n i f 西i sa n - h a u s d o r f fa p p r o x i m a t i o na n d d ( 夕( z ) ，咖( 夕( z ) ) ) 0 ，t h e r ee x i s t san u m b e re = ( 礼，d ，v ) s u c ht h a tt h ef o l l o w i n gh o l d ：l e tgb eac o m p a c tg r o u p ，m ，nb en d i m e n s i o n a l c o m p a c tr i e m a n n i a ng m a n i f o l d s ，w h e r eg m a n i f o l dm e a n t h em a n i f o l dw i t hi s o - m e t r i cg a c t i o no ni t s u p p o s et h