（工程力学专业论文）多体系统中考虑摩擦的数值分析.pdf

大连理r 大学硕十学位论文 摘要 摩擦是一种常见的具有非线性特性的物理现象，几乎存在于所有的机械系统中，而 且摩擦对系统的影响是不可忽视的。摩擦在摩擦学中的研究已经很细致了，但是在机械 系统中的研究还存在一些问题没有解决。 经过几百年的研究，已经发现和提出了很多种摩擦现象和模型。尽管在摩擦学中已 经提出了很多种宏观模型，但是在多数的机械系统中，仍以传统的库仑模型为主，但是 现在已经证明应用库仑模型时，在数值研究中还存在一些困难没有解决。因此，本文主 要探讨能否用另外一种模型来取代库仑模型。本文介绍了几种常见的摩擦现象和模型， 分析了他们各自的特点。最后发现，d a h l 模型是最有可能取代库仑模型的。 本文将库仑模型和d a h l 模型简化到几个不同的机械系统的模型中。以下是本文的 主要工作： 1 ) 、当系统中的物体在运动过程中没有静摩擦时，采用库仑模型比才用d a h l 模型 的计算效率高。 2 ) 、当系统中有多个物体，并且物体间的运动是相互影响和制约的，采用d a h l 模型比采用库仑模型时的计算效率高。 3 ) 、d a h l 模型虽然克服了库仑模型的一些缺点，但是本身也存在一定的缺陷，因 此还需要进行进一步研究。 关键词：摩擦；非线性；库仑；d a h l ；模型 多体系统中考虑摩擦的数值分析 t h en u m e r i c a la n a l y s i so fm u l t i - b o d ys y s t e m sc o n s i d e r i n gf r i c t i o n a b s t r a c t f r i c t i o ni saf a m i l i a rp h y s i c a lp h e n o m e n o nw h i c hh a san o n l i n e a rc h a r a c t e r i s t i ca n dc a n n o tb en e g l e c t e d a n de x i s t sa l m o s tm e c h a n i c a ls y s t e m s f r i c t i o nh a sb e e ns t u d i e dd e t a i l e d l y i nt r i b o l o g y b u ts t i l lh a ss o m ep r o b l e m sw h i c ha r en o ts o l v e di nm e c h a n i c a ls y s t e m s m a n yf r i c t i o np h e n o m e n aa n dm o d e l sh a v eb e e nf o u n dw i t hs e v e r a lh u n d r e df r i c t i o n r e s e a r c h t h o u g ht h e r ea r em a n ym a c r o s c o p i c a lm o d e l si nt r i b o l o g y ，i nm o s tm e c h a n i c a l s y s t e m sp e o p l es t i l lu s et r a d i t i o n a lc o u l o m bm o d e l b u tp e o p l eh a df o u n dt h e r ew e r es o m e p r o b l e m si nn u m e r i c a lr e s e a r c h e sw h e nc o u l o m bm o d e lw a su s e d s ot h i sa r t i c l ea l m o s t d i s c u s st h a ti fw ec a nf i n da n o t h e rf r i c t i o nm o d e lw h i c hc a nr e p l a c et h ec o u l o m bm o d e l a n d i n t r o d u c e ss e v e r a lf a m i l i a rf r i c t i o np h e n o m e n aa n dm o d e l s a n da n a l y s e st h e i rc h a r a c t e r i s t i e s f i n dt h a tt h ed a h lm o d e lc o u l dr e p l a c et h ec o u l o m bm o d e lm o s tp r o b a b l y t h i sa r t i c l ep r e d i g e s t ss o m ed i f f e r e n tm e c h a n i c a ls y s t e mm o d e l su s i n gc o u l o m bm o d e l a n dd a h lm o d e l t h em a i nr e s e a r c hw o r kc o v e r st h ef o l l o w i n ga s p e c t s ： 1 ) m e nt h e r ei sn o tas t a t i ef r i c t i o ni nt h ew h o l em o v i n gc o u r s eo ft h eb o d y ，t h e e 街c i e n c yi sh i g h e ru s i n gc o u l o m bm o d e lt h a nd a h lm o d e l 2 )w h e nt h e r ea r es e v e r a lb o d i e sw h i c hi n f l u e n c ea n dr e s t r i c te a c ho t h e r ，t h ee f f i c i e n c y o fd a h im o d e li sh i g h e rt h a nt h a to fc o u l o m bm o d e l 3 ) t h o u g hd a h lm o d e lc o n q u e r ss o m ed i s a d v a n t a g e so fc o u l o m bm o d e l ，i ta l s oe x i s t s s o m ef l a w s s oi tn e e dt ob es t u d i e df u r t h e r k e yw o r d s ：f r i c t i o n ；n o n l i n e a r ；c o u l o m b ；d a h l ；m o d e l i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：j 一堡盘组一罕秀虐孽碡函盘一殖壁数一 作者签名：斗名魄早年五月盘日 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目： 作者签名： 导师签名： 大连理工大学硕士学位论文 1绪论 1 1本课题的工程背景 多体系统中考虑摩擦的数值分析属于多体系统动力学的研究范畴。一提到摩擦这个 名词，想必大家都不会陌生。在小学的自然课里我们就知道了这个名词，“摩擦生电 ， 但是这里并不是研究“生电 问题。但是摩擦也不是我们想象的那么简单，这里我们是 要研究它在力学当中的应用。从力学角度来讲，摩擦是一种很复杂的非线性物理现象， 它产生于具有相对运动的两个接触界面之间。几百年以来，摩擦现象吸引了大量的学者 对其进行深入系统的研究【l 】。在很多实际工程中人们利用摩擦来工作，想方设法的增大 它，比如汽车轮胎、传动系统的离合器、汽车的刹车片等，这些系统的效能、生产率、 可靠性和安全性的提高都取决于摩擦力的增大。然而对于很多种机械系统而言，比如航 天器、机器人、数控机床等一些精密机械系统，由于摩擦的存在而引起了黏滑运动、极 限环振荡以及跟踪误差等不利的影响，所以我们应该尽可能的减少它。据统计，世界上 的能源有1 3 1 2 以各种形式消耗于摩擦。随着对机械系统的定位精度要求不断提高， 如何在最大限度上消除摩擦的影响成为了一项挑战性的工作。由于摩擦的无处不在和它 的两面性有利有弊，我们就应该扬长避短，因此从节约能源、材料及人类的资源的 角度来看，研究摩擦力对我们具有十分重要的现实意义。很多学者以及技术人员采用了 很多种方法，如改善接触面的表面状况、提高接触面之间的润滑程度以及采用各种摩擦 补偿技术等等。其中采用基于摩擦模型的补偿技术是目前机械控制领域常用的一种比较 有效的方法，但是前提是对机械系统中存在的摩擦现象建立合理的、简单有效的摩擦模 型，目前已经建立的摩擦模型多达几十种，各有利弊，充分了解和分析这些模型的构成 机理、特点及适用范围等对解决机械系统中与摩擦相关的力学问题和控制补偿问题都具 有重要意义。 本课题的摩擦力并不是单纯的研究摩擦“力，而是要将其放在一定环境中去研究， 这里的环境是指多体系统，即要将摩擦力放到多体系统中研究。所谓多体系统，顾名思 义，就是力学模型为多个物体( 刚体或者柔体) 通过运动副连接而成的系统。工程机械、 机器人、车辆工程、航天器等众多复杂的机械系统都可以看作多体系统。将实际系统抽 象成多刚体、多柔体或刚一柔混合的多体系统，对系统中有关的物理量进行分析描述， 然后利用相关的数学理论和方法推导出多体系统动力学方程。多体系统动力学方程多数 情况下是非线性的微分方程组或微分一代数方程组，然后通过计算机得到数值解，最后 根据数值解了解多体系统的动力学特性。多体系统动力学主要研究系统总物体的运动规 多体系统中考虑摩擦的数值分析 律及其受力环境，具有十分广泛的应用领域。例如，机器人的轨迹控制需要很高的精度 控制，研究其控制就需要对其存在的摩擦力进行控制研究，而它又是处在多体系统下， 由于多体系统动力学为系统提供状态演化规律，因此复杂机械系统中构件的强度、疲劳、 可靠性设计和精确性控制等都需要多体系统动力学提供可靠的受力特性预测。多体系统 动力学是研究复杂机械系统运动规律和部件的受力环境的理论基础，是现代涉及理论中 的虚拟样机的核心技术之一。因此多体系统的理论和应用研究对提高设计水准、缩短设 计周期都具有重要的指导意义。该目标可以作为更高一级的研究生课题来研究。 1 2 国内外研究概况及发展趋势 在界面作用过程中，将产生力的传递和机械能的转换，材料的物理化学性质和表面 形貌也发生变化，揭示相互作用界面之间的现象及其性质、解决相关技术问题是研究摩 擦力的一个主题。 对于摩擦力的研究国内外已经有很长的时间了，而对有摩擦效应的多体系统的数值 分析的研究在国内外还是一个比较新的研究领域，国外研究的能更早一些。 在1 6 世纪早期，l e o n a r d od av i n c i 在对矩形物块在平面上的滑动规律的研究，第 一次提出了摩擦因数的概念，认为摩擦因数是摩擦力与正压力之比的结论。至1 j 1 6 9 9 年， 法国物理学家阿芒顿( a m o n t o n s ) 研究了两个平面之间干摩擦之后，再次发现这个规律。 第一，阻止界面滑动的摩擦力与正压力成正比；第二，摩擦力的大小与接触面的面积无 关。后来这些发现被法国物理学家库仑( c a c o u l o m b ) 修正，他补充了第三条摩擦定 律，即滑动摩擦与速度无关，并且对静摩擦与动摩擦做了清晰的区别。这就是我们现在 所熟知的库仑摩擦理论。他指出摩擦力只是速度方向的函数，c o u l o m b 摩擦模型是局限 于非零速度下的摩擦，而对于零速度下，摩擦力可以为0 或者介于某两个值之间( 与 疋) 的任何值，这就需要我们列系统的平衡方程来求解，显然会使其更繁琐。后来人 们发现，接触面之间存在像液体之间的那种黏性行为，从而出现了黏性摩擦。经过几百 年的发展，学者提出了c o u l o m b + v i s c o u s 摩擦模型，这个模型是在流体力学发展的基 础上提出来的。后来静摩擦的提出，加上之前的摩擦的理论，m o r i n r j i 入了静止时静摩 擦力与外力相互作用的思想，提出了一种新模型- - s t i c t i o n + c o u l o m b + v i s c o u s 摩擦模 型。上述这几种摩擦模型都可以称为经典摩擦模型，模型中滑动摩擦力都是速度的线性 函数，并且静摩擦与动摩擦之间的转换是离散的。1 9 0 2 年，s t r i b e c k 观察到当克服静摩 擦力后，在低速下随着速度的增加而减小，摩擦力呈现为速度的连续函数，这称为 大连理工大学硕士学位论文 s m b e c k 现象，或s t r i b e c k 效应。1 9 8 2 年，b o 和p a v e l e s c u 提出了一个指数模型来描述 s t r i b e c k 现象。后来该模型经过a r m s t r o n g , , , 力【l 了黏性摩擦项，从而使其更完善，就可 以形成一种比经典摩擦模型更为一般的摩擦模型。后来k a r n o p p 在文献中提出了k a r n o p p 模型，该模型避免了零速度的检测问题以及黏滞和滑动摩擦状态方程问的切换问题，但是 由于其局限性，该模型一般只用于稳态速度下摩擦力的描述。p r d a h l 2 】通过多次对含 有滚动轴承的伺服系统进行摩擦试验，提出了著名的d a h l 摩擦模型。该模型是连续模型， 利用切向柔顺性概念将预滑动位移引入到摩擦模型中，避免了静态模型中状态切换的不 连续问题。该模型不用判断零点，直接通过一个微分方程来求解摩擦力。b 1 i m a n 和s o r i n e 受d a h l 模型的启发试图s t r i b e c k 摩擦加入到该模型中，在r a b i n o w i c z 试验【3 】的基础上提 出了b 1 i m a n s o r i n e 模型4 5 】。h a e s s i g 和f r i e d l a n d 提出了鬃毛模型【6 】，该模型认为接触 面之间的摩擦就像是上下鬃毛之间的接触运动，很好的解释了预滑动摩擦位移的思想。 法国学者c a n u d a sd ew i t 又在d a h l 模型的基础上提出了l u g r e 模型【7 】，l u g r e 模型因其良 好的描述摩擦特性的能力，已被应用在高精度机械系统的控制当中。该模型是在吸纳了 鬃毛模型思想的基础上形成的，该模型基于鬃毛的平均变形得原理来建模，认为摩擦力 由鬃毛的挠曲而产生。当然这其中还有一些其它的模型的提出，比如弹塑性摩擦模型【1 7 】、 单状态弹塑性摩擦模型【1 8 】、v a l a n i s 模型【1 9 ，2 0 】等等。 不管上述哪种模型，都存在一定的应用局限性和其简化的不合理性。虽然都有瑕疵， 但是毕竟有些是较合理的，因此对这些合理的简化模型进行经研究就有很重要的意义。 因此对于何种模型的使用简化就要求我们给出合理的理论依据。 1 3 本课题的研究内容 在目前的机械系统中的摩擦主要都是以库仑模型为主进行研究的，但是实际已经证 明，库仑模型在数值分析上存在一定的困难，需要改进。因此本文主要通过研究一些常 见的摩擦现象和模型，想从中找出一种模型或者几种模型，探讨是否可以取代研究了几 百年的库仑模型，克服它的缺点。本文主要通过库仑模型和d a h l 模型的研究对比，分 析各自的优缺点，讨论其适应情况，从而为以后的摩擦研究提供一些参考。 多体系统中考虑摩擦的数值分析 2 摩擦力模型的基本理论 摩擦力是产生在两个接触表面间的切向作用力。试验已表明摩擦与许多因素有关， 比如相对滑动速度、加速度、位移、润滑情况以及接触表面的状况等。摩擦的特性从 l e o n a r d o ( 1 5 1 9 年) 的研究开始至今已被很多的学者研究了近5 0 0 年。无数的试验研究 已经逐渐揭示了摩擦得丰富行为特性，对含有摩擦的系统的合理精确的建模取决于对摩 擦行为的充分了解。下面先介绍几种主要的摩擦现象。 2 1 库仑摩擦( c o u l o m bf r i c t i o n ) 库仑摩擦是我们在中学时就知道的一种摩擦，它是非零速下的摩擦，也称为运动摩 擦，是最早被发现的摩擦现象之一，库仑摩擦力独立于接触面积，与法向载荷成正比， 与运动方向相反，但与速度的幅值无关。 2 2 黏性摩擦( v i s c o u sf r i c t i o n ) 黏性摩擦来源于接触表面间流体润滑层的黏性行为，该力与速度成比例关系，并且 当速度为零时其值也为零。 2 3 静摩擦力( s t a t i cf r i c t i o n ，s t i c t i o n ) 静摩擦力是指使物体从静止开始到产生相对运动所需的力【3 7 1 。静摩擦力不依赖于 相对速度而存在，是与外力大小有关的。但是最大静摩擦力是大于库仑摩擦力的。 摩擦力一。 l 速 图2 1 静摩擦力 f i g 2 1s t i c t i o n 大连理工大学硕士学位论文 2 4s i rib e c k 摩擦( s t r i b e c kf r i c t i o n ) s t r i b e c k 摩擦也称为s t r i b e c k 效应，是用来描述低速区的摩擦力行为的。s t r i b e c k 摩擦力是稳态速度的函数，在相对滑动速度较低的范围内，随着相对速度的增j h , 摩擦 力反而在下降，如下图曲线的斜线部分。 h 农 戆 髓 速廑秒 图2 2s t r i b e c k 摩擦 f i g 2 2s t r i b e c kf r i c t i o n 2 5 预滑动位移( p r e s l i d i n gd i s p l a c e m e n t ) 两个相互接触的物体，当施加的外力小于最大静摩擦力的时候，宏观上物体时静 止的，但是实际接触表面上的粗糙峰会产生一个微小的位移，称其为预滑动位移，也 称为d a h l 效应。在物体的预滑动阶段，粗糙峰的变形行为类似于弹簧行为，此时摩擦 力是位移的函数而不是速度的函数，如图2 3 所示。 、 农 酶 鹰 0 靛穆 图2 3 预滑动摩擦 f i g 2 3p r e s l i d i n gf r i c t i o n 多体系统中考虑摩擦的数值分析 2 6 可变的静摩擦力( v a r y i n g s t a t i cf o r c e ) 可变的静摩擦力是指在静摩擦阶段，静摩擦力的大小随着所施加的外力的增长速 率的变化而改变，如图2 4 所示。 妖 锻 畿 嚣 图2 4 可变的静摩擦力 f i g 2 4v a r y i n gs t a t i cf r i c t i o n 2 7 摩擦滞后( f r i c t i o nl a g ) 摩擦滞后是摩擦力的改变滞后于相对滑动速度的变化的现象，又称为摩擦记忆。 摩擦力和速度会形成一个迟滞环，减速时的摩擦力的幅值低于增速时的摩擦力的幅 值，简单表示如图。迟滞环的宽度也会随着速度变化率的增加而增加。 、 农 楚 艇 图2 5 摩擦滞后 f i g 2 5f r i c t i o nl a g 大连理工大学硕士学位论文 上述几种重要的摩擦现象可分为静态摩擦特性和动态摩擦特性。静态摩擦特性包 括：库仑摩擦、静摩擦、黏性摩擦和s t r i b e c k 效应。动态摩擦特性包括：预滑动摩擦、 可变的静摩擦力和摩擦记忆效应。随着对摩擦力的深入研究，人们发现一些基本理论和 实际情况不相符，在使用时存在一定的局限性。比如，对一些弹性材料或粘弹性材料， 摩擦力与名义接触面积的大小存在某种关系；对于有些材料，速度与摩擦系数的大小有 关。因此古典的摩擦定理存在一定的局限性，只能近似的用于工程计算中。 多体系统中考虑摩擦的数值分析 3 摩擦模型 对重要的摩擦现象进行准确的数学建模，长久以来一直是摩擦学、机械工程和控制 等领域研究的一项重要课题。一个合适的摩擦模型不仅有助于正确理解摩擦产生的机理 和有效的预测摩擦行为，而且对含有摩擦的多体系统的设计、分析、控制等都起到了至 关重要的作用。 根据摩擦现象是否由微分方程来描述，大体上可以将摩擦模型分为两类：静态摩擦 模型和动态摩擦模型。静态摩擦模型是将摩擦力描述为相对速度的函数，动态摩擦模型 是将摩擦力描述为相对速度和位移的函数，它既可以描述摩擦的静态特性，又可以描述 其动态特性，因而动态摩擦模型更能够较为真实合理的描述界面的摩擦状态。 3 1 静态摩擦模型 3 1 1 库仑模型( c o u l o m bm o d e l ) 1 6 世纪早期，l e o n a r d od av i n c i 在试验观察的基础上，得出了“摩擦力正比于法 向载荷，与运动方向相反且不依赖于面积 的结论，后来c o u l o m b 在l e o n a r d od av i n c i 研究的基础上，将其发展为c o u l o m b 模型( 如图3 1 示) 。 犀摄力，i 每| 芒 8 ：遵度移 一是 图3 1 库仑摩擦 f i g 3 1c o u l o m bf r i c t i o n 大连理工大学硕士学位论文 f ( v ) = 一zs g n ( v ) ( 3 1 ) 其中，f 是摩擦力，v 是相对滑动速度，z 是库仑摩擦力，z = i 正i ，是摩擦系 数，z 是法向力，s g n ( v ) 是符号函数。 这是最早的关于摩擦的定义和模型，摩擦力只是速度方向的函数，c o u l o m b 摩擦 模型是局限于非零速度下的摩擦，不能够描述速度为零时的摩擦力的情况。在速度为 。零时，摩擦力可以为0 或者介于z 与z 之间的任何值。而且该模型中涉及到了符号函 数，使得系统的动力学方程变为分段函数，从而引入了非线性使求解变得复杂。 3 1 2 库仑+ 黏性模型( c o u l o m b + v i s c o u s ) 1 9 世纪，随着流体力学的发展，人们发现液体存在着黏性，从而导致了线形黏 性摩擦模型的出现，描述为 厂( 1 ，) = 工1 ， ( 3 2 ) 其中，疋为黏性摩擦系数，某些情况下，为了更好的与试验数据相拟合，也可以 建立一种与相对滑动速度成非线性关系的黏性摩擦模型 ( v ) = z1 1 ，rs g n ( v ) ( 3 3 ) 其中点，的取值依赖于应用表面的几何形状。 线性黏性摩擦模型通常与库仑摩擦模型组合使用，进而发展为另一种简单的模 型：库仑+ 黏性摩擦模型( 如图3 2 示) 晕 攀刃， ，t - - - ：7 每k 。 o 速度t | 一蠡 图3 2 库仑+ 黏性 f i g 3 2c o u l o m b + v i s c o u s 多体系统中考虑摩擦的数值分析 f ( v ) = 工1 ，+ zs g n ( v ) ( 3 4 ) 3 1 3 静摩擦+ 库仑+ 黏性摩擦模型( s t i c t i o n + c o u l o m b + v i s c o u s ) m o r i n 引入了静止时静摩擦力与外力相互作用的思想，实验发现使系统从零速到达一 个稳态速度的力要比保持这个稳态速度所需的力大，即最大静摩擦力的大小要大于库 仑摩擦力的大小。所以，静态摩擦力f 与外力z 有关，且有如下的函数关系 = zs 三。正，：三三：曩l 至至 ( 3 5 ) 式中z 为最大静摩擦力，当v = 0 时，摩擦力是外力的函数而不是速度的函数，所 以采用传统方式以速度为输入、力为输出来描述摩擦并不是完全正确的。 七| ， t 么t ； 七 r o逮瀣掣 一| 毫 一l t 图3 3 静摩擦+ 库仑+ 黏性 f i g 3 3s t a t i c + c o u l o m b + v i s c o u s 3 1 4 s t r i b e c k 摩擦模型 上述几种摩擦模型都可以称为经典摩擦模型，模型中滑动摩擦力都是速度的线性函 数，并且静摩擦与动摩擦之间的转换是离散的。但是，1 9 0 2 年s t r i b e c k 观察到摩擦力并 不像图描述的那样，当克服静摩擦力后不连续的下降，而是在低速下随着速度的增加而 大连理工大学硕士学位论文 减小，呈现为速度的连续函数。这一现象也称为负斜率摩擦现象。b o 和p a v e l e s c u 在 19 8 2 年提出了一个指数模型来描述s t r i b e c k 现象。 厂( v ) ：z + ( 五一z ) 口卜( 广i ( 3 6 ) 其中屹是s t r i b e c k 速度，屹和8 都是经验常数。该模型后来经过a r m s t r o n g 完善， 添加了黏性摩擦项得到 厂( v ) ：z + ( z z ) p - ( 广 + z v ( 3 7 ) 不同的学者对于万的取值有不同的看法，b o 和p a v e l e s c u 将万取值范围定为0 5 1 之间，而其他的学者常取6 = 1 或者6 = 2 ，当艿= 1 时就得到t u s t i n 模型，当6 = 2 时就得 到g a u s s 指数模型。g a u s s 指数模型与l o r e n t z i a n 模型近似等效，l o r e n t z i a n 模型的形式 如下 ( v ) = 删v ，+ e z 一丘，而1 + 工v c 3 8 ) 将式( 3 5 ) 和式( 3 7 ) 综合起来，就可以形成一种比经典摩擦模型更为一般的摩 擦模型，如图所示 1 ”j a 纠如 毒露 ， 0 逮鹰彰 一 弋 一， f 厂( 1 ，) v o 厂= 兀v = o 且川 a v 嚣 摩擦力弦 l ，。，。 ，f ，。 f 。， 7， ，o ，。f + v + l速度 ，。 _上 图3 5k a r n o p p 模型 f i g 3 5k a r n o p pm o d e l ( 3 1 2 ) 该模型的优点是避免了零速度的检测问题以及黏滞和滑动摩擦状态方程问的切换 问题，但是，的确定还没有明确的方法，虽然文献【9 】在k a r n o p p 模型参数辨识中，通过 图解法估计了v 值，但该法受噪声的影响较大，难以实现。该模型的另一个局限性是 零速区间的概念与真实摩擦并不相符。因此该模型目前一般只用于稳态速度下摩擦力的 描述，不考虑速度变化的情况。 3 2 动态摩擦模型 3 2 1d a m 模型 静态摩擦模型的建模通常假设在静摩擦阶段接触界面间没有相对运动，但是从力学 角度，在外力作用下，不论在法向还是切向上接触都是柔性的。d a h l u 孔1 4 1 通过多次对 含有滚动轴承的伺服系统进行摩擦试验，发现在一定的范围内，输入力通过弹性恢复力 表现，这是由于接触表面之间的量子力学的粘性的存在。一旦输入力超出这一给定的范 围，这种粘性就被破坏。这一现象有点像材料变形试验的情况。d a h l 正是基于这种“应 力一应变”现象的分析而形成了他的连续的摩擦力理论“力一位移”关系理论。通 过对弹性变形到塑性变形的过程，从静态到动态的摩擦力响应的进一步研究发现，在低 多体系统中考虑摩擦的数值分析 拉力载荷下，接触面之间的接触峰会产生类似于弹簧行为的变形，产生一个微小的位移 ( 预滑动位移) ，当这个载荷去掉的时候，系统恢复到原始的没有应变的状态。当载荷达 到超出期限定值时，系统不能恢复到原来的状态。d a h l 用一个微分方程来描绘这种行为， 出发点是描绘代表摩擦力和位移关系的曲线，如图3 6 所示。 电l 口 一 、 最 麓 瑟 l 鼢霉一 一尺 图3 6 摩擦力与位移的关系 f i g 3 6r e l a t i o no f f r i c t i o na n dd i s p l a c e m e n t d a h l 模型的微分方程形式为 了d f = ( 1 一毒s g n ( 咋) ) 8 ( 3 1 3 ) 姒 j c 其中，x 为接触面的相对切向位移，u 为相对速度，c r o 为接触刚度系数，为实 际的d a h l 摩擦力，疋为库仑摩擦力，参数口是拟合图中曲线形状的参数，不同的口值 对曲线的形状的影响如下图，通常情况下取为l 。 大连理工大学硕士学位论文 x 图3 7d a h l 模型中不同的口对力一位移曲线的影响 f i g 3 7d a h lm o d e l ：i n f l u e n c eo f 口o n t h ef o r c e d i s p l a c e m e n tc u r v e 由于d x = v，因此 模型也可以从时域的角度来描述如下r d t d a h l 警= 瓦d f 瓦d x = d f v , = t r o y rl t 一丢s g n c 一) i s g n ( 1 - 丢s g n c _ ， c 3 1 4 ， 当口= 1 时，d a h l 模型成为 鲁= c r o 咋一纠 饵埘 若令 f = t r o z ( 3 1 6 ) 则上式变为 妄一钞h ( 3 1 7 ) 当时间t 趋于时，由式( 3 1 6 ) 和式( 3 1 7 ) 给出的稳态摩擦力为 f = 吼z = 以s g n ( v ，) ( 3 1 8 ) 此时，d a h l 摩擦模型退化为库仑摩擦模型。d a h l 模型是最简单的动态摩擦模型，理 论上容易理解，是建立其它动态模型的重要基础。该模型是连续模型，利用切向柔顺性 概念将预滑动位移引入到摩擦模型中，避免了静态模型中状态切换的不连续问题。d a h l 多体系统中考虑摩擦的数值分析 模型描述了静摩擦下接触峰的弹簧行为，并且开创性地引入了平均变形的概念，即采用 状态变量z 来描述无数个接触峰的平均变形。该模型的数学特性在文献【1 5 】中已被研究， 包括解的存在性和唯二性以及迟滞作用等。虽然d a h l 模型描述了预滑动位稳，可以预测 摩擦滞后，但是它既没有描述静摩擦力，也没有捕捉到s t r i b e c k 效应。 3 2 2b l i m a n s o r i n e 模型 b l i m a n 和s o r i n e 受d a h l 模型的启发，试图将s t r i b e c k 摩擦加入到他们的模型中， 在r a b i n o w i c z 试验【1 6 1 的基础上提出t b l i m a n s o r i n e 模型m1 0 l 。 该模型是一个二阶的d a h l 模型，可以看成是由两个一阶的d a h l 模型并联。假设摩擦 力依赖于速度符号s g n ( v ) 和空间变量s s = j 1 v ( - ) p f o b li m a n s o r i n e 模型可以通过微分方程来表示 拿= 以+ 以 ( 3 1 9 ) f = 瓯 ( 3 2 0 ) 其中，k = s g n ( v ) 。一阶摩擦模型为 彳：一上曰：五c ：1( 3 2 1 ) 8 f 可以将( 式3 1 9 和式3 2 0 ) 写为 望=一dfdsdt d sd t = i v l 堑d s = 吾( v l v 唔) 川 s ，、。| f 7 当彳= z ，乡乏= c r o ，口= 1 时，该模型转化为。a h l 模型。 一阶模型式( 3 1 9 ，3 2 0 ) 未能描述静摩擦，因此需引入- - g t 模型 彳：f 托 l o 0 ) i ，i ，b = 一1 i ? f1 文 f ( 刁0 ) j ： 7 f ( 3 2 2 ) ，c = ( 1 ) 。其中刁，。，z ，五均为模型相关参数。 大连理工大学硕士学位论文 b l i m a n s o r i n e 证明了一阶和二阶模型都是耗散系鲥1 0 l ，当s ，趋向于零时，一阶模 型近似于经典的库仑摩擦模型，而二阶模型则近似于静摩擦+ 库仑模型。b i l i m a n s o r i n e 模型只能给出运动换向时瞬时过渡的s t r i b e c k 效应，但是当速度和摩擦力处于稳态关系 时，却无法描述s t r i b e c k 效应，而且该模型也不能描述摩擦记忆和可变静摩擦力等现象， 因此它的使用受到了很大的限制。 3 2 3 鬃毛模型( b r i s t l em o d e l ) 从宏观的角度来看，接触面之间都是光滑平整的，但是如果从微观角度来看两个接 触表面间可以看作峰与谷的接触，基于这种思想h a e s s i g 和f r i e d l a n d 提出了鬃毛模型6 1 ， 他们将接触表面看作是大量的弹性鬃毛的接触。 鬃毛模型的简化原理如图所示： 爨动体攥动悻 翳寝律 n 十鑫自努带鲍蘩苞 图3 8 鬃毛模型 f i g 3 8b r i s t l em o d e l 茹i 一 霞定律 b 擎十鬃毫 当接触面之间产生相对运动时，上面滑动体上的易弯鬃毛相对于下面固定体上的刚 性鬃毛之间将像弹簧一样相互作用从而产生摩擦力，该摩擦力定义为 厂= a o ( x , 一6 f ) ( 3 2 3 ) i = l 其中，是鬃毛的总数，为易弯鬃毛的刚度，薯为易弯鬃毛的相对位置，岛为 刚性鬃毛位置。接触面之间的摩擦力就等于每一对结合的鬃毛间产生的力的总和。当易 弯鬃毛的挠曲超过时，结合点就会断开，而在瞬间新的结合点的随机位置又会形成， 这个位置定义为 岛+ 1 = 魏+ u n i f o r m ( a ) s g n ( 薯一包) ( 3 2 4 ) 函数u n i f o r m 是随机分布的鬃毛的位置，分布距离范围为卜。 多体系统中考虑摩擦的数值分析 随着鬃毛数量的增加，模型的复杂性将增加，当采用2 卜2 5 根鬃毛时，得到的效 果较好( 2 0 1 。鬃毛模型的优点是较为准确地捕捉了微观摩擦的随机特性，但是它没有考虑 到计算耗时的问题。由于鬃毛间的空间非常细小以及鬃毛突然断开的不连续性，使得该 模型在仿真中的积分算法需要极短的时间步长，计算耗时量非常大，因而在数值计算上 该模型的效果不是很好，一般不用于仿真。 3 2 4l u g r e 摩擦模型 在瑞典兰德工程技术学院和法国格勒诺布尔实验室的共同努力下，法国学者 c a n u d a sd ew i t 在d a m 模型的基础上提出了l u g r e 模型【7 1 。该模型是d a m 模型的扩展， 同时采纳了鬃毛模型的思想，即在微观下接触表面可以看成是大量的具有随机行为的弹 性鬃毛。不同的是，鬃毛模型描述的是摩擦的随机行为，而l u g r e 模型是基于鬃毛的平 均变形来建模。鬃毛的平均变形用状态变量z 表示，建模为 ，l - 一 竺= v 一旦z l v l( 3 2 5 ) d t ，。( v ) 摩擦力由鬃毛的挠曲产生，可以描述为 f 弧z u + 。 ( 3 2 6 ) 其中，是鬃毛的刚度，q 是微观阻尼系数，吒是黏性摩擦系数，函数厂( v ) 描述 了s t r i b e c k 效应 厂( v ) ：疋+ ( 疋一疋) p 一2 ( 3 2 7 ) ( v ) = z + ( z z 弦y ( ) 式( 3 1 ) 中阻尼系数q 一般为常数，称为l u g r e 模型的标准参数化形式【1 3 1 。 当f ( v ) = 工，q = c x 2 = 0 时，l u g r e 模型就简化成 d a m 模型。 若假设鬃毛的平均变形处于稳态运动，即三= 0 ，并且忽略黏性摩擦项o - 2 v ，则稳态 情况下的摩擦力就成为s t r i b e c k 摩擦 大连理工大学硕士学位论文 l = a o z = f ( v ) s g n ( v ) ( 3 2 8 ) l u g r e 模型的6 个参数中和q 是动态参数，、z 、匕和吒是静态参数。静态 参数的辨识相对比较简单，而动态参数的辨识由于引入了不可测量的状态变量z ，所以 比较复杂1 2 1 。该模型用一个l 阶微分方程描述了诸多摩擦现象，包括库仑摩擦、黏性 摩擦、预滑动、可变静摩擦力、s t r i b e c k 摩擦和摩擦滞后等，较其它模型更能体现真实 摩擦现象，文献【1 6 】从数学角度讨论t l u g r e 模型具有耗散性的充分和必要条件。 尽管l u g r e 模型是个比较完善且容易实施的摩擦模型，但仍有学者指出了其不足之 处：没有解释试验中观测到的非局部记忆效应；不能调整任意的“位移一力”过渡曲线； 而且，在预滑动阶段过于耗散。 上述介绍了几种较为重要的动态摩擦模型，还有许多其他模型，如弹塑性摩擦模型 【17 1 、单状态弹塑性摩擦模型【1 8 】、v a l a n i s 模型1 9 2 0 1 、通用摩擦模型 2 1 2 2 1 、时间滞后模型 8 2 3 】以及单状态和多状态积分摩擦模型【2 4 1 等，关于这些模型的详细信息请读者查阅有关 文献。 总的来看，动态摩擦模型比静态摩擦模型具有更好的连续特性，能更好的描述摩擦 的非线性行为。但是，对摩擦行为描述的越全面其参数辨识难度越大。d a m 模型由于其 结构的简单性，已经被用于自适应摩擦补偿研爿2 h 7 1 。l u g r e 模型是一个比较完善的摩 擦模型，能够准确的预测摩擦的各种重要特性，由于其对摩擦环节的动态补偿效果较好， 因此，该模型己成为目前工程应用和控制领域研究的一个热点【2 0 1 。其他动态摩擦模 型由于其自身参数辨识以及计算耗时等方面的局限性，致使它们在实际工程中的应用相 对较少。 对摩擦现象进行建模的目的是将摩擦模型应用到多体系统中，最大程度地消除摩擦 引起的不利因素，从而提高多体系统的动力学性能。摩擦模型与多体系统动力学方程相 结合的一个应用是分析和预测摩擦对系统动力学行为的影响，如幅值特性、黏滑运动、 自激振荡、极限环等。由于计入摩擦模型引起的强非线性，导致对该类方程的理论求解 十分复杂，因此通常考虑静态摩擦模型，女d c o u l o m b 摩擦模型【3 1 1 ，黏性摩擦模型【3 2 】和库 仑+ 黏性摩擦模型【3 3 3 4 】等。 摩擦模型与机械系统动力学方程相结合的另一个重要应用主要体现在对高精度定 位系统的控制中，尤其在直流电机【3 卜4 0 】、数控机床【4 1 1 和机器人系统【4 2 】中最为广泛。机 器人系统由于其动力学行为的非线性和多变性，不论在理论研究还是实际应用方面都有 很强的挑战性。 多体系统中考虑摩擦的数值分析 迄今为止，已有大量的关于基于摩擦模型的多体系统动力学控制方面的研究工作， 解决方案众多。针对不同的多体系统，采用不同的摩擦模型，不同的控制方案，结果也 不尽相同。在选择实际解决方案时应结合摩擦模型难易程度、驱动器形式，传感器精度 以及软硬件控制设施等综合考虑。 大连理工大学硕士学位论文 4 库仑模型$ 1 d a hi 模型 考虑平稳摩擦效应的多刚体数值分析，主要是通过含有摩擦的简单模型的数值仿真 的分析，讨论摩擦力对多体系统的影响。本文所研究的平稳摩擦是指不含有间隙和碰撞 的简单摩擦，而对于含有间隙和碰撞的复杂的模型可作为更高一级的研究课题。而且本 所研究的物体指的是刚体。对于柔体，由于它的复杂性，本文不做研究。对于柔体的数 值分析可以在研究刚体的基础上进行深入探索。 现在大多数机械系统中的摩擦力的简化都是应用的库仑模型，但是应用此模型存在 很大的弊端。主要体现在物体处于零速度区间时，物体所受的摩擦力的数值不确定，处 在正之间的某一值，因此对系统的影响很大。当然还有很多其他的模型，但是这些模 型很难应用到机械系统中，只是作为一种科学研究的模型而已。基于这样的问题，有些 学者提出一种用一条斜线拟合库仑摩擦中零速度时直线的模型，但是该曲线的斜率多 大，怎么取值，都存在很大的人为性。但是科学家d a m 通过很多的试验数据结论，得出 了一种能较好的解决库仑模型的缺点的模型d a h l 模型。但是该模型也存在一定的缺 陷，就是当系统中某个物体处在锁死状态下，其计算速度很慢，而利用库仑模型时，这 一情况就很容易通过。 本课题主要是通过对库仑摩擦力模型和d a m 摩擦力模型的研究，从数值分析的角度 来讨论这两种模型对系统的影响。 4 1 库仑模型 我们知道库仑摩擦是一种形似简单，但实际复杂的模型。说到简单，是因为它的形 状很简单，如图4 1 所示 摩擦力伽 + 厶p 速度v 一 一z + 图4 1 库仑摩擦 f i g 4 1c o u l o m bf r i c t i o n 多体系统中考虑摩擦的数值分析 说到复杂主要是指在零速位置上，摩擦力的大小是一个不确定的数值。我们在进行 数值模拟的时候，这就影响到我们对摩擦力真实值大小的判断，对分析物体的影响较大， 这是我们单说到一个物体，我们知道一个系统有很多物体组成，即一个多体系统，这样 的数值误差就会对整个系统影响很大。造成这样结果的主要原因就是库仑摩擦的不连续 性。 4 2d