（基础数学专业论文）完备格上的s拓扑.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他入或其它机构已 经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示 了谢意。 作者签名：塑复 日 期：垒鉴 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进人学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编人有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在 解密后适用本规定。 作者签名 日期 塑复 啦芯 摘要 在完备格上的拓扑结构中，s c o t t 拓扑和l a w s o n 拓扑是两类重要的并且被广泛研 究的拓扑s c o t t 拓扑和l a w s o n 拓扑的开集都满足个共同的性质( s ) t 若u 是开集，对于完备格l 中的任意一个定向集d ，如果s u p d u ，则存在 y d ，使得 z dly z ) 矿 本文利用性质( s ) ，在完备格上引入个新的拓扑s 一拓扑进一步讨论了s 一拓扑 的一些性质以及s 一拓扑与s c o t t 拓扑和l a w s o n 拓扑之闫的联系和区别，在此基础上证 明连续格l 上的s 一拓扑是个单调的h a u s d o r f f 零维正规空间，它是局部紧的s o b e r 空 间但不是紧空间由于s 一拓扑与s c o o t 拓扑和l a w s o n 拓扑一样，也不具有对称性，那 么自然地同时满足性质( s ) 和它的对偶性质( s ”) 的所有子集族被定义为交s 一拓扑接 着本文研究了s 一连续函数和交s 一连续函数的特征，同时利用s 一拓扑和交s 一拓扑给 出了连续格的一些等价刻画在本文的最后介绍了有关s 一拓扑，s c o t t 拓扑和l a w s o n 拓扑的一些范畴性质 关键词：s 一拓扑，交s 一拓扑，s 一连续，零维空间，c a r e s t i a n 闭 a b s t r a c t d u r i n gv a r i o u ss o r t so ft o p o l o g i e s0 nc o m p l e t el a t t i c e s ，s c o t tt o p o l o g ya n dl a w s o n t o p o l o g ya l ec 0v e r yi n t e r e s t i n gt o p o l o g i e s a n dh a v eb e e ns t u d i e de x t e n s i v e l y o p e n s e t so fs c o t tt o p o l o g ya n dl a w s o nt o p o l o g yh a v eac o m m o np r o p e r t y ( s ) ： i fui s o p e na n dd i sad i r e c t e d ，t h e ns u p d u = 3 y d ， z d lz y ) u i nt h i sp a p e r ，w ew i l li n t r o d u c ean e w t y p eo ft o p o l o g yw h i c hw ec a l li ts t o p o l o g y b a s e do nt h ep r o p e r t y ( s ) w ew i l ls t u d ys o m eb a s i cp r o p e r t i e so fs t o p o l o g ya n dd i s c u s s t h er e l a t i o nb e t w e e ns t o p o l o g ya n ds c o t tt o p o l o g ya n dl a w s o nt o p o l o g y ，w ep r o v e d t h a ts t o p o l o g y0 nac o n t i n u o u sl a t t i c eli sm o n o t o nh a u s d o r f fa n dz e r od i m e n s i o n a l n o r m a l ，a l s oi t i sl o c a l l yc o m p a c tb u tn o tc o m p a c ti ng e n e r a l w ea l s os t u d i e dt h e p r o p e r t i e so fs c o n t i n u o u sm a p s ，s o m ec h a r a c t e r i z t i o n so ft h ec o n t i n u i t yo fl a t t i c e sw e r e o b t a i n e db ym e a n so fs t o p o l o g y i nt h ef i n a l ，w es t u d i e ds o m ec a t e g o r i c a lp r o p e r t i e s o fs t o p o l o g ya n dl a w s o nt o p o l o g y k e yw o r d s ：s t o p o l o g y ；m e e t s t o p o l o g y ，s c o n t i n u o u s ：z e r od i m e n s i o n a l s p a c e ；c a r t e s i a nc l o s e dc a t e g o r y 3 绪论 自从f h a u s d o r f f 在1 9 1 4 年引进开集( 或邻集) 作为研究抽象空间中连续性的基 本概念之后。虽然拓扑空间可视为一种具有某些开集构成的格结构的对象，但是拓扑与 格论之间的关系引起了人们的重视却是在3 0 年代末期m ，h s t o n e 关于b o o i e 代数与 分配格的拓扑表示定理之后s t o n e 表示定理表明可以纯代数的结构出发得到拓扑学中 的若干有趣的空间。并且运用格论的方法和技巧对这些空间的特性进行研究，从而得出 关于拓扑学中带有普遍意义的结论这种借助子代数学求得拓扑学寄身发展的方法，常 常是很有成效的到了5 0 年代，这领域的研究成果已相当丰富，然而这时格论仍是作 为一种工具出现的，它的最终目的还在于研究拓扑空间本身 1 9 5 7 年。c e h r e s m j m a 提出了一种新的观点，他认为具有某种分配性的格( 如完 备h e y t i n g 代数) 本身就有作为一种广义拓扑空间的研究价值，而不论它是否表示为某一 拓扑空间的开集格在这种新的观点的影响下使研究工作发生了根本变化，后来的研究 工作表明这种融拓扑结梅和序结构于一体的探 寸是有其特色的1 9 8 2 年出版的p t ， j o h n s t o n e 的著作s t o n es p a c e 是对这一领域的研究工作系统而科学的总结这样， 经c e h r e s m a n a 的提倡而发展起来的研究工作，称之为f r a m e 理论，或l o c a l e 理论 它集_ 般拓扑学、连续格理论和范畴学于一体，成为通常称为格上拓扑学的一个重要分 支，又因为其研究方法一般不涉及点的概念，也称为无点式拓扑学 连续格理论也是对某类格的研究产生于6 0 年代的d o m a i n 理论，是理论计算机科 学的一个重要领域，旨在为计算机函数式语言研究奠定数学基础序和拓扑的相互结合 相互作用是这一理论的基本持征连续格概念是d s c o t t 于1 9 7 1 年因理论计算机问题 的需要而提出来的在连续格文献中，这个提法是在ds c o t t 的一篇题为c o r l ：t i n u o u s l a t t i c e s 的论文中第一次出现的，这篇论文的发表极大的推进了连续格理论的研究 大约在同一时期，k h h o f m a n n 和j ，d l a w s o n 等在紧拓扑半格，格与格序代数 的谱理论等方面的深入工作，从不同的途径发展了连续格理论，建立了它与数学的其他 4 分支，尤其是与f r a m e 理论的联系鉴于连续格理论与计算机科学，代数学，分析学和 拓扑学等学科的密切联系，因此引起了广泛的注意近3 0 多年来取得的一系列的重要成 就目前。连续格理论的研究正处于活跃时期，有大量的相关问题等待解决 连续格理论是在年代初期由k a r i ，h o f r a a m ，j i m m i e l a w s o n ，m i k e m i s l o v e 和a 1s t r a l k a 等几位在不同领域中工作的数学家几乎同时建立与发展的，其中d s s c o t t 的一系列基本文献发表后，对这一理论的发展起了极大的推动作用，目前，连续格 理论( 以及一般的连续偏序集理论) 与理论计算机科学的关系极为密切，并且有许多的新 的理论与实际问题有待解决从数学的角度看，连续格可以成为多个学科的研究对象 例如，从格论的观点来看，它是满足一种特定的分配律的完备格，是完全分配完备格的 自然推广；从拓扑观点看，它是死一空闯范踌中的入射对象；从拓扑代数观点看，它是 紧l a w s o n 交半格；从范畴观点看，连续格范畴与t o p o s 理论，特别是l o c a l e 理论有着 紧密的联系正因为它被各个学科广泛的研究这一特点，所以从7 0 年代末期到8 0 年代 初期连续格理论的发展十分迅速，取得了一系列深刻的结果 本文在对s c o t t 拓扑和l a w s o n 拓扑已经充分研究的基础之上，引进了s 一拓扑和 交s 拓扑这两个概念，证明了它们的一些主要性质和等价条件，讨论了他们之间的关 系，研究了它们的连续函数的特征和一些范畴性质。 第一章预备知识 在引进s 一拓扑的定义之前，我们先简要介绍一些相关的基本知识首先假设定向 集，双小于关系( ) ，格，完备格，交连续格，连续格，双连续格以及上、下极限这些 概念已知未定义的符号和术语除待别说明外，均出自( z - 4 i 51 1引言 在拓扑空间中引入偏序关系，运用格论的方法与技巧加以研究。得到了一些有趣的 空间，比如s c o t t 拓扑空间( l ，c r ( l ) ) ，l a w s o n 拓扑空间( l ，a ( 上) ) 下极限拓扑空间 ( l ， ( l ) ) 等在k 连续格概论以及一些相关文献中，已经先后做出了非常精彩的讨论 4 - s , t o ，得出了十分丰富的结果在这些结果的基础上，本文引进了两个新的但与它们紧 密相连的拓扑一s 一拓扑和交s 一拓扑，全面的考察了在s 一拓扑和交s 一拓扑意义 下的开集，闭集，极限，连续函数，分离性以及它是如何刻画连续格和完全分配格的，它 具有哪些范畴眭质等问题下面简要介绍一下主要内容 第一章我们主要介绍了一些基本概念和后面的研究所必需的一些命题和结论其中 命题1 2 7 ，命题1 2 8 ，命题1 2 ，9 ，命题1 2l l 在文献f f 中，命题1 2 ，1 0 在文献( 4 j 中已 经分别被证明 在第二章。我们定义了s 一拓扑，并将它的应用主要面向连续格，在第一节中，命 题2 1 5 与2 16 刻画了在交连续格意义下，s 一拓扑的简要性质以及与s c o t t 拓扑， l a w s o n 拓扑之间的联系；第二节我们给出了连续格上的s 一拓扑的紧性和分离性刻画， 定理22 1 着重论证了与s c o t t 拓扑，l a w s o n 拓扑的区别，例2 2 2 说明了即使在连续 格意义下s 一拓扑亦非紧；第三节我们主要证明了在s 一拓扑意义下连续格的一系列等 价条件 6 在第三章中，我7 f 重点讨沦了连续函数及其性质，第一节主要介绍了s 一连续函数 的等价性质，它是保定向上确界和任意下确界第二节我们首先将s 一拓扑改进为具有 对称性的交s 一拓扑，进一步得出对于交s 一连续函数保任意上确界、任意下确界和上、 下极限的结论命题32 5 就是描绘了完备分配格的等价性质，为研究范畴性质作下了一 个铺垫 第四章我们在回顾了c a r t e s t i a n 闭等范畴论方面的概念和结论之后，简单介绍了一 些与上述三种拓扑相关的范畴性质以及一些c a r t e s t i a n 闭范畴，并指出范畴m s c 不是 c a r t e s t i a n 闭这一结果 1 2预备知识 定义i2 i ：完备格上的一个子集u 称为s c o o t 开当且仅当它潢足下列两个条件； ( 1 ) u 是上集( u = t u ) ； ( 2 ) 对于的任意定向子集矿，如果s u p d u ，那么d nu 宙 所有s c o t t 开子集的族叫做s c o t t 拓扑，并记为a ( l ) 空间( l ，口( 工) ) 写着( 工) 定义1 2 2 ：设l 是一个格，我们把由主理想的余集趴tz 作为子基生成的拓扑称 为下拓扑并记为u ( l ) 那么s c q 执拓扑o - ( l ) 和下钜扑w ( l ) 的一个加细口( ) vu ( l ) 叫做l a w s o n 拓扑， 记作a ( l ) 空间( l ，a ( 三) ) 写作a ( l ) 形如u tf 的集合构成了l a w s o n 拓扑a ( 三) 的一个基，这里u a ( l ) ，而f 是 l 的有限子集 定义1 2 3l 的子集4 是一个凸集当且仅当对于任意的a ，c a ，如果a b c ， 那么b a 定义i 2 。4 ：一个被赋予了拓扑酌偏序集( l ，议己) ) 放萄i 为单调h a u s d o r f f 的当且仅 当给定两个不同的点z ，y ：七y ，那么必然存在两个开集u = tu ，矿= iy 使得 。u ，y v 并且有unv 彩。类似的，将两个不同的点替换成两个不相交的闭 集，则( l ，秽( l ) ) 叫做单调正规的 定义1 2 5 ：格l 被称为完备分配的当且仅当对于l 的任意集族( 奶，k ：j z k 巧( ，) ，下面的这个等式成立； ( c d ) ：八jv 女u ) q ，k = v i m 八，j 巧，o ) 其中，m 是定义于j 的其函数值f ( j ) k ( j ) 的函数的集合 定义1 2 6 ：集族a 是有限特征的当且仅当4 中元素a 的每个有限子集必为的 元素，并且对于每个集合a ，如果它的每个有限子集都属于a 的话，则a 本身也属于 集族4 命题1 , 2 7 设x ，y 为连续格l 上的两点，且z y ，那么存在个开滤子c ，使 得y u 下ro 命题1 2 8 设8 是构成拓扑空间( x ，咿( x ) ) 的子基的开集族， 厂，y 是x 的开子 集，并且有u v ，那么u v 的一个充分必要条件是y 的每个由且中元索组成的 开覆盖，具有u 的有限子覆盖 命题1 , 2 9 ：设l 是一个完备格，那么它是个完备分配格的充分必要条件是l 分配 的，且l ，工户都是连续格 命题1 2 1 0 ：拓扑空间l 是正规的当且仅当任意子集a l 的闭邻域族就是的邻 域系的基这个命题有一个等价的表述为拓扑空间是正规的当且仅当对于任意子集 x 至上和一个开集矿使得u 冬x l ，必然存在一个开集y 使得厂sy x 命题12 1 1 ：设厶是一个完备格，那么下列条件等价； ( 1 ) 口( ) 是连续格； ( 2 ) 对每个完备格s ，有盯( s l ) = 胡( e s e l ) ； ( 3 ) 对每个完备格s ，有z ( s l ) = e sxe l 8 第二章完备格上的s 一拓扑 完备格上的s 一拓扑这个定义的引入是从性质( s ) 开始的我们称完备格的一个 子集具有性质( s ) 当且仅当它满足了下列条件； ( s ) ：对于l 中的定向集d ，如果s u p deu 那么存在y d ，使得任 意的z ：。y 同时。d ，都在u 中，即。u 满足条件( s ) 的两个集合的交仍然满足条件( s ) ，满足条件( s ) 的任意多个集合的 并仍然满足条件( s ) 由于空集g 和l 显然满足条件( s ) ，因此，所有满足条件( s ) 的子 集族是一个拓扑 2 1s 一拓扑的基本性质 定义2 1 1 ：设l 是一个完备格，则它的子集u 被称为s 一开集当且仅当矿满足上 述性质( s ) s 一开集的余集l u 口q 做s 一闭集所有s 一开集的族叫做完备格l 的 s 一拓扑，并记作4 5 ) 注2 1 2 ：在完备格上中，我们可以得出如下结论- ( 1 ) 集合a 是s 一闭的当且仅当它关于定向上确界封闭； f 2 ) 上集扩是s 一开的当且仅当它是s c o t t 开或者l a w s o n 开的； ( 3 ) 每一个下集都是s 开集； ( 4 1 所有下集构成的集族是一个拓扑，我们称之为下集拓扑，记做p ( l ) ； ( 5 ) s 一拓扑是正一拓扑，并且任意一点z l ，都是它的s 一开邻域的交集； f 6 ) 任意点z l 都有一个下集开邻域基，它是由集合i 组成，其中。sv ； 当l 是连续格时，我们进一步还有： ( 7 ) 任意点2 l 都有一个s c o t t 开邻域基，它是由集合价仙组成，其中札z 9 ( 8 ) 由s c o t t 开集u 口( 劭和下集v p ( 上) 组成的集族构成了s 一拓扑空闽 ( l ，5 ( l ) ) 的一个子基，即( 己) = 矿( l ) v p ( l ) 证明：( 1 ) 假设a 是个s 一闭集并且关于定向上确界不封闭，那么存在一个定向 集口sa ，使得s u p d l a 由s 一开集的定义可知，存在一个y d 使得对任 意z2y ，z d 都有z l a ，这与d a 矛盾反之，如果a 是关于定向上确 界封闭的，对任意定向集d 且s u pd e a ，假设( 三a ) nd = o ，这就是说 d a ，所以s u p d a ，与上述条件矛盾 ( 2 ) ：根据s c o t t 开集和l a w s o n 开集的定义以及与性质( s ) 的关系直接可得 ( 3 ) ：显然 ( 4 ) ：下集的任意交和并仍然是下集，再加上g ，l 构成个拓扑 【5 ) ：对于任意两个不同的点x ，y l ，不妨假设王甚y 则0z 和lg 分别是它们 的s 一开邻域，所以s 一拓扑s ( l ) 是正一拓扑，且有 z 一= 。) = n u l ：z u g ( l ) ) ( 6 ) ：显然 ( 7 ) ：见参考文献【4 j ( 8 ) ：设矿是l 的一个s 一开子集。对于任意定向集d ，如果s u p d u ，那么存 在一个d nu ，令w = ed nu ：“w s u pd ，显然是个凸s 一开子 集对于任意z u ，则存在一个凸s 一开子集u 使得z w niz w u ， 因此由w nlz 组成的集族是s 一拓扑空间的一个基，并且有e ( l ) = 叮( l ) vp ( l ) 例2 1 3 ：设l 是一个完备格， ( 1 ) 如果l 是有限的，那么s 一拓扑与l a w s o n 拓扑和序拓扑是一致的，即都是由所 有的上集和下集生成在= ( 1 1 n ：n = l ，2 ，3 ) ( o ) o ( ( o ，1 ) ，( 1 ，1 ) ) 这种情况 下，我们也有( l ) = a ( l ) ( 2 ) 如果上是一条链，那么形如( a ，b ) ，( a ，b 】的集合是s 一开集，其中。，be l 满足0sn 1 l 。它不包含序列中的每 一个点，因此( 1 ，1 ) 不是这个序列的聚点，该序列没有聚点 一个拓扑空间是李紧的当且仅当对于其中的每个网都有一个聚点( 参见文献因 此( l ，e ( 三) ) 不是李紧的 对于l 的两个开覆盖“l 和阮定义如下： “l 由开子集 扒i ( x ，。) ：0sxs 1 ) u ( ( o ，o ) ) 组成，由开子集“。，y ) ：y 且。 y ，r 1 ) u ( z ，y ) ：z + y l 组成，它们都没有有限的子覆盖 ( 2 ) 对于l = 0 ，1 j 2 ，定义它的开覆盖“由s 一开子集 【o ，1 ) 2u ( z ，1 ) u ( 1 ，。) ) 组 成，这里0 。si 这些集合既不是s c o t t 开的，也不是l a w s o n 开的这个开覆袭也没 有有限子覆盖 ( 3 ) 如果三是代数格，那么s 一拓扑有一个由子集f 扪y 组成的基，这里 k 矗( 日。而且对于每个k k ( l ) ，我f j 有f 七) = 7 扪ik ，故雨 目关于( 三) 既是 开集又闭集 52 3s 一拓扑意义下格的连续性 定义2 3 1 ；我们称一个赋有拓扑的半格l 具有小( 开，闭) 半格当且仅当每个点有 一卜由( 开，闭) 半格所构成的邻域基 命蘑2 3 2 ：设二是一个交连续格，那么下列条件是等价的t ( 1 ) 每个点z l 具有个s c o t t 开滤子邻域基； ( 2 ) ( l ，e ( c ) ) 具有小开子格 证明； ( 1 ) 寺( 2 ) ：设z w ( 工) ，那么存在个v j ( ) 且存在y l 使 z 墨y ，茁v nly 互w 由( 1 ) 可知存在一个开滤子u a ( l ) 使得z u v 那 么z u niy e ( l ) ，且u nty w ，因为对于任意d ，b u njy ，a ab 和a ，b 都 包含于u nty 中，易知u niy 是一个硌 ( 2 ) 寺( 1 ) ：设。w 口( l ) ，那么存在一个子半格v ( l ) ，使z v w 那么茁e tv ，而ty 是一个滤子，并且tv 叮( l ) 通过对s 一拓扑的研究，我们对它已经有了一定的了解下面这个定理我们在s 一 拓扑意义下给出连续格的另外一些性质特征和等价条件 定理2 3 3 ：对于任意的完备格l 。下列条件是等价的 ( 1 ) l 是连续格； ( 2 ) 如果驴是一个s 一开子集，那么u = 介扪iy ：z ，ws 研，其中彤是 u 中的一个凸子集； ( 3 ) 每个点都有一个s 一开邻域基，其中邻域基的每个元素可以表示成包含这个点的 s c o t t 开滤子和一仑下集的交集鲍形式；同时e ( l ) 是个连续格 ( 4 ) 对于每个点3 7 l 我们可以得到。= s u p i n f u ：z u ( 上) ) = l i f t s u p u ： o u e i l ) ； ( 5 ) 对于每个点。l ，我们可以得到z = n i n t 阢s u p 明：zeu ( 上) ，其中 1 n f u ，s u p uj 是分别以i n f u ，s u p u 为端点的闭区间； ( 6 ) 如果是交连续格，那么( l ，e ( 上) ) 有小开子半格，且( l ) 是一个连续格； 证明t( 1 ) 辛( 2 ) 由命题2 1 4 可知t u = u = uu n u n l ”：u ，” ，jj j = u 1 u nl ： ， 其中n 是的u 凸子开集 ( 2 ) 辛( 1 ) ；设z l ，假定y = s u p 姐z j 孔u 我们令d = i n f j ：j 以得到一个定向集，存在j j ，使得 i n f _ j z ；u ，且对i j 有ti n f | i k j 。门i 茁u 同理可证甄tx nis u p 甄 u 所以网 ) j 最终属于矿 第四章s 一拓扑的一些范畴性质 我们先介绍一些范畴论的基础知识，具体内容可参见文献 3 , 1 2 , i 3 】等 定义4 1 ：我们记以完备格为对象，以s c o t t 一连续函数为态射的范畴为u p s 它的 连续格的满子范畴记作c o n t 它的代数格的满子范畴记作a l c 以完备格为对象， 以u 一连续函数为态射的范畴为d o w n s ；以s 一连续函数为态射的范畴为m s c 定义4 2 ：设g 是一从a 到b 函子，b 为b 对象，则b 上一个g 一万有映射是 一个b 态射“：b g ( a ) ，使对任意a 对象a 7 和任意b 态射，：b g ( ) ，存在 唯一的a 态射7 ：a 一川，使得，= c ( 7 ) o u 对偶的，以b 为值域的一个g 一余万有映射是一个b 态射 ：c ( a ) 一日，使对 任意a 对象和任意b 态射9 ：c ( a 7 ) 一日，存在唯一的a 态射虿：爿一a ，使得 9=uo g ( 功 函子g ：a b 称为是伴随的，当且仅当对于任意b 对象b ，存在一个日上的万 有映射 对偶的，函子g ：a b 称为是余伴随的，当且仅当对于任意b 对象b ，存在一 个以b 为值域的余万有映射 定义43 ：一个范畴a 被称为c a r t e s i a n 闭的当且仅当a 具有有限乘积，且对任意 a 对象a ，函子( a 一) ：a a 是余伴随的，其中函子( ax 一) 定义如下； ( a 一) ( 歹：b c ) = ( i d a ，：a b a g ) 命题4 4 ：设s 和t 是完备格， ( 1 ) 如果l 是从s 到t 的s c o t t 一连续函数按逐点序构成的偏序集u p s ( s ，t ) 那么l 在t 3 中关于任意上确界封闭，l 即是完备格 ( 2 ) 如果m 是从s 到t 的u 一连续函数按逐点序构成的偏序集d o w n s ( s ，t ) 那么m 在? 8 中关于任意下确界封闭，掰即是完备格， 证明；( 1 ) ：设fsl 且令，= s u p f ，g r i t 取任意定向集d s ，那么 s u p f ( d ) = s u ps u p g ( d ) = s u ps u p 9 ( d ) = s u p g ( s u p d ) = f ( s u p d ) d e d g e f9 e f 口p ( 2 ) ：与( 1 ) 类似，只要将上确界替换为下确界即可 命题4 。5 ：设冗，s ，t 都是完备格，f ：r s t 是个半格态射，那么下列 条件是等价的t ( 1 ) f ：