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用同阶元个数研究有限群 摘要 摘要 设g 是一个有限群，r e ( a ) 表示群g 的元素阶的集合；m ( a ) 表示群g 的最高阶元的集合；m i ( g ) ：- - - gjo ( g ) = 训表示g 中i 阶元的长度( 个数) ，简记为m i ；n s e ( a ) ：- - - m ii 丌e ( g ) ) 表示 群g 的同阶元素长度的集合 设舰( g ) ：= 夕gi ，= 1 称有限群g 1 ，g 2 是同阶型群当且 仅当i m d ( g 1 ) l = i u d ( a 2 ) l ，d = l ，2 ， 考虑群的数量关系对有限群结构的影响是有限群论中一个重 要的课题许多群论工作者在这方面做了大量工的作如著名的 s y l o w 定理，l a g r a n g e 定理，奇阶群可解定理，b u r n s i d e 定理等 在1 9 8 7 年，施武杰教授提出了单群的纯数量刻画：仅用有限群 元素阶的集合丌e ( g ) 和有限群的阶l g l 来刻画有限单群( 参见 4 1 】， 4 2 1 ， 4 3 1 ， 4 4 1 ， 4 5 1 ， 4 6 1 ， 4 7 1 ， 4 8 1 ， 4 9 1 ， 5 0 1 ， 5 1 1 ， 5 2 1 ， 5 3 1 ， 5 4 1 ， 5 5 1 ， 5 6 1 ) 一些群论工作者用可解子群的阶来刻画单群( 参见 1 1 ， 3 6 1 ， 5 9 】 等) 1 9 8 7 年，j g t h o m p s o n 教授在给施武杰教授的一封信中提出 了下面的一个问题： t h o m p s o n 问题设g l 和g 2 是有限同阶型群若g l 可解， g 2 是否可解? 一些群论工作者从群的最高阶元的个数出发来研究有限群， 侧面对t h o m p s o n 问题进行了研究，得到了一些令人鼓舞的结果 ( 参见【8 1 ， 1 1 】 1 8 】， 2 4 1 ，【2 5 1 ， 2 6 1 ， 2 7 1 ， 2 8 1 ， 3 0 1 ， 37 】， 6 l 】) 但是，该问题 自1 9 9 0 年公开( 参见 4 7 】) 以来，没有人完整地证明该问题，也没 有人给出反例可见t h o m p s o n 问题的解决是有相当困难的 容易看出如果g 1 和g 2 是有限同阶型群，必然有n s e ( a 1 ) = 用同阶元个数研究有限群摘要 礼s e ( g 2 ) ，l m ( a 1 ) i = i m ( g 2 ) l 且i g l l = i g 2 | 目前，我们尚未发现有人用数量集合n s e ( g ) 来刻画有限群g 本文分别利用了有限群g 的同阶元素长度的集合n s e ( g ) 或最高 阶元的个数i m ( g ) i 来刻画有限群，取得了一系列结果本文共分 三章，主要内容如下： 第一章：介绍常用符号和术语 第二章：用n s e ( g ) 来刻画有限单群为叙述方便，分为如下 的三部分 第一部分我们用n s e ( g ) 和i g l 来刻画某些单群，即得到下面 的定理： 设g 是有限群，m 是单群，其中m 单k 3 - 群，单甄群， 散在单群或l 2 ( 口) ，其中q 是素数或q = 2 m 且2 m + 1 或2 m 一1 是素 数，则g 型m 当且仅当n s e ( a ) = n s e ( m ) 且l g i = i m | 第二部分我们讨论了n s e ( g ) 中的元素是连续整数的有限群， 给出了完全分类，即下得到了面的定理： 设g 是有限群，若n s e ( g ) 中的元素是连续整数，即n s e ( g ) = 日岛，p 2 = d 8xqx 岛 2 。如果k = 5 ，则下面结论成立： 2 1 g 垡c 5xc 5 2 2 。g 是一f r o b e n i u s 群，其核为p 5 塑g ，补为日，其中 p 5 = c 5xc 5 ，l h i l 2 4 2 3 g 竺a 5 3 如果k = 6 ，8 ，9 ，1 2 ，1 6 ，1 8 或2 4 ，则l g l1 2 口3 p ，其中a 7 ， p 墨4 4 如果k = 1 0 ，则下面结论成立： 4 1 p 5 = c 5xc 5 塑g ，c c ( p 5 ) = p 5x 伤，i g ( r ) i1 2 2 4 2 a 5xc 2 或s l 2 ( 5 ) 4 3 a 5 q 塑g ，f g f = 2 4 0 4 4 g z ( g ) 型岛，l z ( g ) i = 2 5 如果k = 2 0 ，则a v a ( x ) a ，( z ) = c 5 h ，h 笺q 8 或 & 6 如果k = 2 8 ，则i g ff 2 4 3 7 ，p 7gg ，( p 7 ) = q 8 5 2 7 如果k = 3 0 ，则l g i1 2 4 3 5 ，p 5 塑g 且( r ) = c 3 0 6 2 8 如果k = 3 6 ，则 翼g ，a ( ) a u t ( c 3 6 ) 且 c g ( ) 垡c a 6xc 2 或瓯4 9 如果k 满足妒( 七) = 2 4 ，则c g ( ) = 翼g 且 g ( ) s a u t ( q ) ，其中o ( z ) = k 用同阶元个数研究有限群 摘要 关键词：有限群；有限单群； 个数 同阶元素长度的集合；最高阶元的 作者：邵长国 指导教师：施武杰 i v a b s t r a c t l e tgb eaf i n i t eg r o u pa n d7 r e ( g ) t h es e to fi t se l e m e n to r d e r s d e n o t eb yr l , i ：= g d ( 夕) = 吲t h es i z eo fe l e m e n t so fo r d e rii ng ， a n dn s e ( a ) ：= m i ii 凡( g ) ) t h es e to fs i z e so ft h ee l e m e n t sw i t ht h e s a x l l eo r d e r l e t 舰( g ) ：= 夕gg = 1 ) f i n i t eg r o u p sg 1a n dg 2a x eo ft h e s a 3 t l eo r d e rt y p ei fa n do n l yi fi m d ( a 1 ) i = i m d ( a 2 ) l ，d = 1 ，2 ， i t1 8a ni m p o r t a n ts u b j e c tt os t u d yt h ei n f l u e n c eo nt h es t r u c t u r e o ff i n i t eg r o u p sb yt h e i rq u a n t i t a t i v er e l a t i o n s h i p m a n ys c h o l a r sh a v e o b t a i n e dal o to fi m p o r t a n tr e s u l t s f o re x a m p l e ，t h ef a m o u s s y l o w s t h e o r e m ”，l a g r a n g e st h e o r e m ”， s o l v a b i l i t yo fg r o u p so fo d do r d e r ” b u r n s i d e st h e o r e m e t c i n 1 9 8 7 ，p r o f e s s o rs h ip u tf o r w a r dc h a r a c t e r i z a t i o no ff i n i t es h i l - p l eg r o u p sb yt h e i rq u a n t i t a t i v er e l a t i o n s h i p ：c h a r a c t e r i n gf i n i t es i m p l e g r o u p so n l yu s et h es e to fi t se l e m e n to r d e r sr r e ( g ) a n da n di t so w n o r d e r f a f ( s e e 4 1 ，f 4 2 ， 4 3 】， 4 4 】， 4 5 1 ， 4 6 】， 47 】， a s l ，【4 9 j ， 5 0 】， 5 1 】，( 5 2 】， 5 3 】， 【5 4 ， 5 5 】，【5 6 】) s o m eg r o u pt h e o r i e s t sc h a r a c t e r i z ef i n i t es i m p l e g r o u p sb yt h eo r d e r s o ft h e i rs o l v a b l es u b g r o u p s ( s e e 1 1 ， a 6 1 ，【5 9 ) 。 i n1 9 8 7 ，p r o f e s s o rj g 。t h o m p s o np o s e dt h ef o l l o w i n gp r o b l e mi n h i sl e t t e rt op r o f e s s o rs h i ： t h o m p s o n sp r o b l e ms u p p o s eg r o u p sg 1a n dg 2a x eo ft h e 8 8 2 i l eo r d e rt y p e s u p p o s eg li ss o l v a b l e ，i si tt r u et h a tg 2i sn e c e s s a r i l y s o l v a b l e 7 s o m ea u t h o r sw h ow o r ko i lg r o u pt h e o r e ms t u d yt h et o p i co fi n - f l u e n c eo i lt h en u m b e ro fm a x i m a lo r d e ro naf i n i t e g r o u pt os t u d y t h et h o m p s o n sp r o b l e mn o n d i r e c t l y t h e yo b t a i nal o to fe x c i t i n g r e s u l t s ( s e e 【8 】， 1 l j ， 1 8 】) 2 4 】， 2 5 j ， 2 6 】， 27 】， 2 8 】， 3 0 】， a t ，【6 1 】) t h i sp r o b - l e mw a so p e n e di n1 9 9 0b yp r o f e s s o rw u j i e s h i ( s e e 4 7 】) u n f o r t u n a t e l y , n oo n ec a l ls o l v el tc o m p l e t e l y , e v e ng i v ea c o u n t e r e x a m p l eu pt on o w v w h i c hi m p l i e st h ed i f f i c u l t yo ft h o m p s o n sp r o b l e m 。i ti se a s yt os e e t h a ti fg 】a n dg 2a x eo ft h es a 工l l eo r d e rt y p e ，t h e nn s e ( g 1 ) = n s e ( a 2 ) ， f m ( a 1 ) l = i m ( g 2 ) ia n dl g 2 l = l g 2 1 w eh a v e n tf o u n da n yo n ew h oc h a r a c t e r i z ef i n i t eg r o u pg i nt e r m e s o ft h es e tn s e ( a 1s of a x i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt ow o r ko u tt h e s t r u c t u r eo faf i n i t eg r o u pgb ys e tn s e ( g ) o rlm ( g ) i ，a n dg e ta s e r i e s o fr e s u l t s i tc o n s i s t so ft h et h r e ef o l l o w i n gc h a p t e r s ： i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c es o m es y m b o l sa n db a s i cc o n c e p t st h a t w eu s u a l l yu s ei nt h ep a p e r i nc h a p t e r2 ，w ec h a r a c t e r i z ef i n i t eg r o u p sb yt h es e tn s e ( g ) w e d i v i d et h i sc h a p t e ri n t ot h r e ep a r t s 1 w ec h a l r a c t e r i z es o m ef i n i t es i m p l eg r o u p sb yn s e ( g ) a n dl a l ，a n d g e tt h ef o l l o w i n gt h e o r e m ： l e tgb eaf i n i t eg r o u pa n dm af i n i t es i m p l eg r o u p ，w h e r em i s o n eo ff i n i t es i m p l e 凰一g r o u p s ，o rk 4 一g r o u p s ，s p o r a d i cs i m p l eg r o u p so r l 2 ( g ) ，w h e r eq i sap r i m eo rq = 2 ma n d2 m + 1o r2 仇一1i sap r i m e ， t h e ng 垡mi fa n do n l yi fn s e ( g ) = n s e ( m ) a n di g i = l m l 2 w ec l a s s i f yt h ef i n i t eg r o u pgw i t ht h ep r o p e r t yt h a tt h ee l e m e n t s o fn s e ( a 1a r ec o n s e c u t i v ei n t e g e r s ，a n dg e tt h ef o l l o w i n gt h e o r e m s ： l e tgb eaf i n i t eg r o u p ，i ft h ee l e m e n t so fn s e ( g ) a x ec o n s e c u t i v e i n t e g e r s ，t h a ti s ，n s e ( a ) = 1 ，2 ，一，礼) ，t h e n 佗3a n do n eo ft h e f o l l o w i n gh o l d s ： i i fn = 1 t h e ng q i i i f 他= 2 ，t h e ng 型侥，c 4o r 瓯 i i i i f 几= 3 ，t h e ng 竺岛 3 w es t u d yt h ef i n i t eg r o u pgw i t hn s e ( a ) = 1 ，1 5 ，2 0 ，2 4 1 ，a n d g e tt h ef o l l o w i n gt h e o r e m ： l e tgb eaf i n i t eg r o u p ，t h e ng 掣a 5i fa n do n l yi fn s e ( g ) = 1 ，1 5 ，2 0 ，2 4 1 i nc h a p t e r3 ，w ec l a s s i f yt h ef i n i t eg r o u p sw i t hm ( g ) i = 2 4 ，a n d g e tt h ef o l l o w i n gt h e o r e m ： v i 用同阶元个数研究有限群 a b s t r a c t l e tgb eaf i n i t eg r o u pa n dkt h em a x i a m a le l e m e n to r d e ro fg i f l m ( g ) i = 2 4 ，t h e ng i so n eo ft h ef o l l o w i n gg r o u p s ： 1 i fk = 4 ，t h e nt h ef o l l o w i n gc l a i m e sh o l d ： 1 1 g = n c 3i saf r o b e n i u sg r o u pw i t hk e r n e ln a n dc o m p l e m e n t c 3 ，a n dn 垡g 4 ，g 5o rg 6 1 2 g = 磷岛a n dp 2 = d s 仍岛 2 i fk = 5 ，t h e nt h ef o l l o w i n gc l a i m e sh o l d ： 2 1 g 垡c s c 5 2 2 gi saf r o b e n i u sg r o u pw i t ht h ek e r n e lp 5 塑ga n dc o m p l e m e n t ha n dp 5 = c 5 c 5 ，w h e r e1 日2 4 i 2 3 g 竺a 5 i 3 i fk = 6 ，8 ，9 ，1 2 ，1 6 ，1 8o r2 4 ，t h e ni g i l 2 a 3 p ，w h e r ea 7a n d i p 4 4 i fk = 1 0 ，t h e nt h ef o l l o w i n gc l a i m e sh o l d ： 4 1 p 5 = c 5 c 5 塑g ，( r ) = 尼岛a n di a c a ( p s ) 1 1 2 2 4 2 a 5 c 2o rs l 2 ( 5 ) 4 3 a 5 仍璺ga n di g l = 2 4 0 4 4 a z ( a ) 垡既a n di z ( g ) i = 2 5 i fk = 2 0 ，t h e ng ( z ) 戗，c a ( z ) = c 5 ha n dh 垡q so r & 6 i fk = 2 8 ，t h e ni g l | 2 4 3 7 ，p 7 塑ga n d ( p 7 ) = c 2 s q i 7 i fk = 3 0 ，t h e ni g i1 2 4 3 5 ，p 5 塑ga n d ( p 5 ) = g 0 岛 8 i f 忌= 3 6 ，t h e n 塑g ，g c g ( ) a u t ( c 3 6 ) a n d ( ) 型c 3 6 c 2o rc 4 9 i fks a t i s f i e s 妒( 后) = 2 4 ，t h e n ( ) = 塑ga n d g ( ) a u t ( 瓯) ，w h e r eo ( x ) = k k e y w o r d s ：f i n i t eg r o u p s ；f i n i t es i m p l eg r o u p s ；t h es e to fs i z e so fe l e - m e n t sw i t ht h es a m eo r d e r ；e l e m e n t so fm a x i m a lo r d e r i 用同阶元个数研究有限群 a b s t r a c t w r i t t e nb ys h a oc h a n g g u o s u p e r v i s e db ys h iw q i e i i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权的声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学 或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律 责任。 研究生签名：婴丛! 鱼 e l 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名： 召3 扶 幻 日期：竺芏垒! 硅盐曼 导师签名：主垫型垒曰期：导师签名：玉垒型竺 曰期： 用同阶元个数研究有限群 引言 设g 是一有限群，丌e ( g ) 表示g 的元素阶的集合，脱( g ) = 夕gg t 兰1 ) m i = g g 的阶为引表示g 中i 阶元的个数( 或长度) ，n s e ( a ) = 日q 是3 的 极大子群，虽然l g l i = i g 2 i ，n s e ( g 1 ) = n s e ( g 2 ) = 1 ，4 3 5 ，2 2 4 0 ，6 3 0 0 ，8 0 6 4 ，6 7 2 0 ，5 7 6 0 ， 5 0 a 0 ，但是g 1 喾g 2 本文首先讨论了一些有限单群，得到如下结论： 定理2 2 1g 是一个有限群，m 是一单凰- 群，则g 垡m 当且仅当 i g i = l m i 且n s e ( g ) = n s e ( m ) 由定理2 2 2 和定理2 2 3 我们得到 设g 是个有限群，m 是一单甄群，则g 垡m 当且仅当l g i = l m i 且n s e ( a ) = n s e ( m ) 定理2 2 4 设g 是一个有限群，m 是一散在单群，则g 竺m 当且仅当 i g l = j m l 且n s e ( a ) = n s e ( m ) 定理2 2 5 设g 是一个有限群，则g 竺l 2 0 ) ，其中p 是一素数，当且仅 当i g i = i l 2 ( p ) i 且n s e ( a ) = 竹s e 陋z ) ) 定理2 2 6 设g 是一个有限群，则g 垡l 2 ( 2 ”) ，其中2 ”+ 1 或2 m 一1 是 素数，当且仅当i g l = i l 2 ( 2 ”) i 且n s e ( a ) = n s e ( l 2 ( 2 “) ) 由上面的定理我们可以知道：设有限群g t ，g z 为同阶型群，若g 。可 解，则g 。必不为单凰群，单甄一群，散在单群或l 。( g ) ，其中口是素数或 q = 2 m 且2 m + 1 或2 m 一1 是素数 接下来，我们考虑了元长集满足一定条件的有限群，得到下面两个定 理： 2 用同阶元个数研究有限群 引言 定理2 3 1 设g 是一个有限群若n s e ( g ) = 1 ，2 ，n ) ，则扎3 且下 面结论之一成立： i 当n = 1 时，g q i i 当佗= 2 时，g 垡c 3 ，c 4 或岛 i i i 当佗= 3 时，g 型岛 定理2 4 1 设g 是一有限群，则g 竺a 5 当且仅当n , e ( a ) = 1 1 ，1 5 ，2 0 ，2 4 ) 对于最高阶元，许多群论工作者得到了大量的结果( 参见【8 】i 【1 1 ，【1 8 】， 2 4 1 ， 2 5 】i 2 6 】i 2 7 】j 【2 8 】i 【3 0 】， 3 7 1 ， 6 1 1 ) 在上述文献中，除文献 8 】外，其它只是研究了 有限群g 的可解性，并没有进一步给出其结构，而文献( 8 】给出群g 的完全 分类 我们继续【8 】的研究，给出了i m ( g ) i = 2 4 的有限群的分类，得到下面的 定理： 定理3 2 1 假定七为有限群g 的最高阶元的阶若i m ( g ) l = 2 4 ，则g 是下面的情形之一： 1 如果k = 4 ，则下面结论成立； 1 1 g = n a 是一f r o b e n i u s 群，其核为，补为岛，而n 型g 4 ，g 5 或g 6 1 2 g = 研岛，p 2 = d sxc 2x0 2 2 如果k = 5 ，则下面结论成立： 2 1 g 掣0 5 侥 2 2 g 是一p r o b e n i u s 群，其核为p 5 塑g ，补为h ，其中p 5 = c 5 c 5 ，i h i 2 4 2 3 g 竺a 5 3 如果k = 6 ，8 ，9 ，1 2 ，1 6 ，1 8 或2 4 ，则i g i l 2 。3 z ，其中q 7 ，卢4 4 如果k = 1 0 ，则下面结论成立： 4 1 p 5 = 0 5 岛笪g ，( 凫) = r e 0 2 ，i g o o ( p s ) i1 2 2 4 2 a s 0 2 或s l 2 ( 5 ) 4 3 a 5 0 2 旦g ，i g i = 2 4 0 3 用同阶元个数研究有限群引言 4 4 c z ( g ) 竺魄，i z ( g ) i = 2 5 如果k = 2 0 ，则g o a ( x ) q ，c c ( x ) = c sxh ，h 竺q 8 或& 6 如果k = 2 8 ，则j g l l 2 4 3 7 ，p 7 翼g ，c g ( p 7 ) = c 2 s 岛 7 如果k = 3 0 ，则蚓1 2 4 3 5 ，p 5gg 且c o ( p 5 ) = 6 3 0 岛 8 如果k = 3 6 ，则 里g ，a c d ) a u t ( c 3 6 ) 且( ) 垡 魄xc 2 或q 9 如果妒( 七) = 2 4 ，则( ) = 里g 且g c o ( ) a u t ( c k ) ，其 中d ( z ) = k 本文的创新点如下： 1 本文围绕t h o m p s o n 问题展开，并为t h o m p s o n 问题的解决提出了 新的思路t h o m p s o n 问题至公开到现在人们也没有找到很好的办法去解 决，只有从最高阶元出发侧面去研究该问题而本文则从t h o m p s o n 问题 出发，提出了新的数量集合，对t h o m p s o n 问题解决提出了新的思路 2 提出了元长集n s e ( a ) 的概念，运用数量集n s e ( a ) 和i g i 刻画了一些 有限群 3 为有限群的数量研究提出了一个新的数量集合许多群论工作者从 不同角度出发，考虑各种数量集合来刻画有限群，特别是有限单群如在【4 2 】 中，施武杰教授提出了限群单群的纯数量刻画：仅用有限群的元素阶的集合 和群的阶刻画有限单群还有一些群论工作者应用极大子群的指数集合刻 画有限群( 参见 3 5 】) 等本文从t h o m p s o n 问题出发，提出了新的数量集 合他s e ( g ) ，丰富了有限群的数量刻画 4 用同阶元个数研究有限群 第一章符号和基本概念 第一章符号和基本概念 本文中的群都是指有限群，单群均指有限单群所用符号术语都是标准 的，可参考【2 0 a 2 】或【6 0 】本章给出本文常用的符号和基本概念 h g 表示日为群g 的子群；h g 表示h g 且h g ，即日是 g 的真子群；h 塑g 表示子群日是g 的正规子群；h 司g 表示子群日为 g 的正规子群且h g ，即日是g 的真正规子群；hc h a rg 表示日为群 g 的特征子群本文所涉及的作用均指共轭作用 i g l 表示g 的阶；g g ，我们用o ( g ) 表示元g 的阶；l g ：m i 表示子群 m 在群g 中的指数；丌( g ) 表示i g l 的素因子的集合；亿( g ) 表示群g 的元 素阶的集合；g g 用 表示由g 生成的循环群；a u t ( g ) 表示群g 的 自同构群；s y l , ( c ) 表示群g 的s y l o wp - 子群的集合；( g ) 表示群g 中 s y l o wp - 子群的个数；尬( g ) 表示群g 中2 阶元的集合；m ( g ) 表示群g 的 最高阶元的集合；m t ( g ) = l ( 夕c l o ( g ) = 吲表示群g 中i 阶元长度( 个数) ， 在不至于混淆的情况下我们用m t 来表示m t ( g ) ；n s e ( g ) = _ 【m ；_ 丌e ( g ) 】表 示群g 的元长集合；。m ，n 是正整数，n l m 表示n 整除m ，礼 rm 表示7 7 , 不整 除m ；p 是一素数，n 是一正整数，p i 表示p i i 佗但“f 弼令n = p 。q 6 ， 其中p ，q 是两两不同的素数，我们用哗：= p 口；表示m 阶循环子群， 嚷表示t 个的直积；k 是一正整数，妒( 七) 表示k 的e u l e r 函数值； g = n h 表示g 为子群和日的半直积，其中n 鱼g ；a ，b 为两个有限 群，我们用asb 表示a 同构于b 的个子群 5 用同阶元个数研究有限群第二章元长集合n s e ( g ) 对有限群结构的影响 第二章元长集合n s e ( g ) 对有限群结构的影响 2 1 概念和简介 本节我们用n s e ( g ) 来刻画有限群g ，首先我们考虑用n s e ( g ) 和i g i 对 某些单群进行刻画，得到如下的定理： 定理2 2 1g 是一个有限群，m 是一单蚝群，则g 垡m 当且仅当 i g l = i m l 且n s e ( g ) = n s e ( m ) 由定理2 2 2 和定理2 2 3 我们得到 设g 是一个有限群，m 是一单心一群，则g 竺m 当且仅当l g l = l m l 且n s e ( g ) = n s e ( m ) 定理2 2 4 设g 是一个有限群，m 是一散在单群，则g 型m 当且仅当 j gj = j m f 且r t s e ( g ) = n s e ( m ) 定理2 2 5 设g 是一个有限群，则g 垡l 。0 ) ，其中p 是一素数，当且仅 当i g i = i l 2 ( p ) l 且r t s e ( g ) = n s e ( l 2 ( p ) ) 定理2 2 6 设g 是一个有限群，则g 型l 2 ( 2 m ) ，其中2 ”+ 1 或2 ”一1 是 素数，当且仅当j g j = l l 2 ( 2 ”) l 且n s e ( g ) = n s e ( l 2 ( 2 ”) ) 其次我们讨论n s e ( g ) 中元素是连续整数的有限群考虑具有某种特殊 性质数量集的有限群是非常有意义的， 在文献【4 3 3 】和 5 8 】中，作者考虑了元阶为连续整数的有限群，并给出 了完全分类在文献【1 3 3 4 】中，作者确定了子群阶为连续整数的有限群的分 类在文献 2 3 3 8 】中，作者确定了特征标次数为连续整数的有限群的分类 在文献 3 】中，作者确定了类长为连续整数的有限群的分类本文对n s e ( g ) 中元素是连续整数的有限群g 完全分类，得到下面的定理： 定理2 3 1g 是个有限群，若n s e ( g ) = 1 ，2 ，n ) ，则礼3 且下面结 论之一成立： i 当n ：1 时，g 岛 6 用同阶元个数研究有限群第二章元长集合n s e ( a ) 对有限群结构的影响 i i 当佗= 2 时，g 垡岛，a 或g i i i 当n = 3 时， g 垡岛 最后我们考虑n s e ( a ) = 1 ，1 5 ，2 0 ，2 4 的有限群g ，得到了下面的定理： 定理2 4 1g 是一有限群，则g 垡a s 当且仅当n s e ( g ) = 3 ，可是一素数； ( b ) l 。( 2 ”) ，其中m 满足： 3 ，b 1 ( c ) l ：( 3 ”) ，其中m 满足： ，3 m + 1 = 4 t ； 【3 m 一1 = 2 u 。 或 f 3 m + 1 - 4 六 【3 m 一1 = 2 u m 2 ，且u ，t 是奇素数， b21 ，c 1 ( d ) l 2 ( 1 6 ) ，l 2 ( 2 5 ) ，l 2 ( 4 9 ) ，l 2 ( 8 1 ) ，l s ( 4 ) ，l 3 ( 5 ) ，l z ( 7 ) ，l z ( 8 ) ，l 3 ( 1 7 ) ，l 4 ( 3 ) ，瓯( 4 ) ， ( 5 ) ，瓯( 7 ) ，& ( 9 ) ，岛( 2 ) ，o s + ( 2 ) ，g 2 ( 3 ) ，观( 4 ) ，( 5 ) ，魄( 7 ) ，( 8 ) ，( 9 ) ，( 3 ) ，魄( 2 ) ， s z ( 8 ) ，s z ( 3 2 ) ，3d 4 ( 2 ) ，2f 4 ( 2 ) 7 8 用同阶元个数研究有限群第二章元长集合n s e ( g ) 对有限群结构的影响 推论2 2 7 设g 是一阶为2 。3 6 5 p 。单群，其中p 2 ，3 ，5 是素数，且 。配0 则g 同构于下列单群之一： 如，a 8 ，a 9 ；m 1 ，尬2 ；己2 ( g ) ，q = 1 1 ，1 6 ，1 9 ，3 1 ，8 1 ；l 3 ( 4 ) ，l 4 ( 3 ) ，岛( 2 ) ，u 4 ( 3 ) 或 u d 2 ) 特别地，如果p = 1 1 ，则g 筌m n ，尬2 或l 2 ( 1 1 ) ；如果p = 7 ，则 g 竺a 7 ，也，a 9 ，a 1 0 ，l 2 ( 4 9 ) ，l 3 (