（基础数学专业论文）关于序列对称的邻域指派.pdf

关于序列对称的邻域指派 中文提要 在本文的第一部分，我们用序列对称邻域指派给出了一个新的度量化定 理在第二部分，我们首先举例说明了序列对称9 函数是对称9 函数的实质 性推广，然后我们证明了序列对称的可展空间，序列对称的n a g a t a 空间和 序列对称的分层空间是等价的，并且我们用序列对称9 函数给出了度量化定 理的刻画，我们还证明了正规，序列对称w m ，正空间是可展的，这些结果 推广了相关文献中的相应结果 关键词：邻域指派，对称，序列对称，可度量化，可展的 作者：郭良玉 指导教师：恽自求教授 o nt h es e q u e n t i a l l ys y m m e t r i cn e i g h b o r h o o da s s i g n m e n t s a b s t r a c t a b s t r a c t a tt h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e r ，w eu s et h es e q u e n t i a l l ys y m m e t r i cn e i g h b o r h o o da s s i g n m e n t 8t og i v ean e wm e t r i z a t i o nt h e o r e m i nt h es e c o n dp a r t ，f i r s t l yw ei l l u s t r a t et h a tt h e s e q u e n t i a l l ys y m m e t r i cgf u n c t i o na r er e a lg e n e r a l i z a t i o no fs y m m e t r i cf u n c t i o n sga n dw e p r o v et h a ts e q u e n t i a l l ys y m m e t r i cd e v e l o p a b l es p a c e s ，s e q u e n t i a l l ys y m m e t r i cn a g t as p a c e s a n ds e q u e n t i a l l ys y m m e t r i cs t r a t i f i a b l es p a c e sa r ee q u i v a l e n t w ea l s ou s et h es e q u e n t i a l l y s y m m e t r i cgf u n c t i o nt og i v eac h a r a c t e r i z a t i o no fm e t r i z a t i o nt h e o r e ma n dp r o v e t h a tn o r m a l ， s e q u e n t i a l l ys y m m e t r i cw m ，丑s p a c e sa r ed e v e l o p a b l e ，t h e s er e s u l t se x t e n dt h ec o r r e s p o n d - i n gr e s u l t so fl i t e r a t u r e s k e y w o r d s ：a s s i g n e dn e i g h b o r h o o d ；s y m m e t r i c ；s e q u e n t i a l l ys y m m e t r i c ；m e t r i z a b l e ；d e - v e l o p a b l e i i w r i t t e n b y g u ol i a n g y u s u p e r v i s e db y p r o f y u nz i q i u 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育 机构的学位证书而使用过的材料对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明本人承担本声明的法律责任 研究生签名：釜e 垒兰：日期：兰：! ! 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合 作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文 被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布 ( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名： 导师签名： 塑k 垒日期：尘 喀甜日期：蝴c ( 图 关于序列对称的邻域指派引言 邻域指派的概念是1 9 7 9 年v a nd o u w e n 等人在文献【1 2 】中提出的近年来， 对于邻域指派以及与邻域指派有关空间的研究是目前一般拓扑覆盖性质与 广义度量空间方向的中心课题之一一般拓扑学的许多权威人士，例如俄罗 斯的a ，a r h a n g e l s k i i ，荷兰的v a n m i l l ，美国的g ，g r u e n h a g e ，日本的j , n a g a t a 等， 都开展了对邻域指派及相关空间的研究n a g a t a 在 1 3 1 4 1 1 1 5 】中利用对称邻 域指派给出了一些度量化定理，在文献 1 0 】中提出了序列对称邻域指派的概 念，而且用它刻画了度量化定理实质上邻域指派序列就是在很多文献中被 称为g 函数的一种映射 本文分两部分在第一部分，我们用序列对称邻域指派给出了一个新的 度量化定理我们的结果和n a g a t a 在文献【1 0 】中的结果是相互独立的在第 二部分，我们首先举例说明了序列对称g 函数是对称g 函数的实质性推广， 然后我们证明了序列对称的可展空间，序列对称的n a g t a 空间，序列对称的 分层空间的等价性，并且用序列对称g 函数给出了度量化定理的刻画，我 们还证明了正规，序列对称w m ，噩空间是可展的这些结果推广了c h r i s g o o d ，d a n i e lj e n n i n g s ，a b d u lm o h a m a d 在文献 1 】中的相应结果 关于序列对称的邻域指派第一章序列对称邻域指派 第一章序列对称邻域指派 1 1 预备知识 本文涉及到的空间均为五空间，n 表示全体自然数的集合 称 u ( z ) ：z x ) 是空间x 的邻域指派：若对每一z x ，u ( z ) 是点z 的邻 域 称空间x 具有邻域指派序列：若对每一礼n ，存在x 上的邻域指派 u k ( z ) ：z x 称邻域指派序列 ( z ) ：z x ，n n 是递减的：若对每一礼n ，z x ， 有u ( n + 1 ) u ( 佗，z ) 称邻域指派 u ( z ) ：z x ) 是对称的：对任意z ，y x ，若y u ( z ) ，则 z u ( 可) 称邻域指派序列 ( z ) ：z x ，佗) 是序列对称的：对每一佗n ，x ，y x ，若y u ( n + 1 ，z ) ，贝! jz u ( 佗，可) 在很多文献中邻域指派序列 ( z ) ：z x ，n n ) 被记为 夕( 礼，z ) ：z x ，佗) 且被称为x 上的g 函数为避免过于重复，我们简称序列对称邻 域指派序列为序列对称邻域指派，为便于将本文结果与相关文献中的相应 结果进行对照，本文第一章我们采用邻域指派这个术语，而在第二章，我们 采用g 函数这个术语 称【巩( z ) ：z x ，口a ) 是局部有限的：若对每一z x ，存在z 在x 中的 邻域u ，使得u nu ( x ) 毋，仅对有限个n 成立 称 ( z ) ：z x ，q a ) 是点有限的：若对每一z x ，点z 至多属于有限 个( z ) 2 关于序列对称的邻域指派第一章序列对称邻域指派 称【( z ) ：z x ，a a ) 是点可数的：若对每一z x ，点z 至多属于可数 个( z ) 称 ( z ) ：z x ，a a ) 是闭包保持的：若对任意的 ( z ) ：z x ，q a ) ( z ) ：z x ，川；) ，有u 瓦两：z x ，口a 7 ) = 研瓦砑疋i 石百丐 3 关于序列对称的邻域指派第一章序列对称邻域指派 1 2 相关问题及本文的工作 在文献 1 0 】中，n a g a t a 给出用序列对称邻域指派刻画的度量化定理 定理1 1 ( 【1 0 】命题2 3 ) 正则空间x 可度量化当且仅当存在序列对称邻域 指派 ( z ) ：z x ) ，n n ，满足条件： ( c ) 每一巩( z ) 是z 的闭邻域； ( b ) 对每一z x ，| 【( z ) ：礼) 形成z 的局部基； ( p f ) 对每一n n ，【( z ) ：z x ) 是点有限的 本节中我们用序列对称邻域指派给出一个新的度量化定理定理1 2 的 证明需要用到下面的引理： 引理1 1 ( 1 l 】) 空间x 具有两个邻域指派序列 ( z ) ，k ( z ) ：z x ，佗n 】满 足： ( 1 ) 若y 聋u k ( z ) ，贝! jk ( ) nk ( z ) = 仍； ( 2 ) 若y ( z ) ，贝l jk ( ) 【名( z ) ； ( 3 ) ( z ) ：礼n 】是点。x 的局部基 则空间x 可度量化 引理1 2 ( 1 0 】引理) 每一度量空间x 存在局部有限序列对称邻域指派 u 矗( z ) ：z x ，礼) 满足： ( c n ) 每一( z ) 是z 的闭邻域； ( b ) 对每一z x ， ( 。) ：礼n ) 形成z 的局部基 定理1 2 空间x 可度量化当且仅当存在递减序列对称邻域指派 巩( z ) ： x x ) ，n n ，满足条件： 4 关于序列对称的邻域指派第一章 序列对称邻域指派 ( c ) 每一u c z ) 是z 的闭邻域； ( b ) 对每一z 置【( z ) ：n ) 形成。的局部基； ( p c c p ) 对每一竹n ， ( z ) ：z x ) 是点可数且闭包保持的 证明 必要性：因局部有限集族是点有限且闭包保持的，所以由引理1 2 立得 充分性：令( z ) = 箩+ 3 ( z ) ：+ 2 ( 秒) ( z ) ) 下证【巩+ ：( z ) ：z 巩+ 3 ( z ) 一k ( z ) ) 至多具有可数个不同的元 若z 巩+ 3 ( z ) ，则刀+ 2 ( _ z ) 因 巩+ 2 ( z ) ：z x ) 是点可数的， 所以存在至多可数个不同的z i ，使得z + 2 ( 忍) ， 于是 巩+ 。( z ) ：z + 3 ( z ) ( z ) ) 至多具有可数个不同的元 不妨设其为t + 2 ( 忍) ：i ) 若藐聋k ( z ) ，则+ 2 ( 旎) ( z ) d 取p i + 2 ( 荔) ( z ) 由序列对称性，知z i + 1 慨) 下证+ 3 ( z ) k ( z ) u 巩+ 1 慨) ：i ) 对任意的w + 3 ( z ) ( z ) ，由序列对称性，知z + 2 ( 训) 因此存在z i ，使得+ 2 ( 伽) = + 。( 筋) ，于是p i + 2 ( 旎) = + 2 ( 埘) 由序列对 称性，知w 巩+ ，慨) 由w 的任意性，知+ 3 ( z ) k ( z ) gu 巩+ l 慨) ：i ) 断言对每一z x ，川；n ，( z ) 是z 的邻域 否则由( c ) 和( p c c p ) ：对每一礼n ， ( 。) ：z x ) 是闭包保持的，有 z 移：+ 3 ( z ) 、了讯可c 疆艺：；j ；功t ) ：i ) = u 名+ 1 0 气) ：i ) ， 所以存在i n ，使得z + 1 慨) 由序列对称性，知p i ( z ) 这矛盾于p i 的取法p i 垡( z ) 因此( z ) 是z 的邻域 下证邻域指派序列 ( z ) ，( z ) ：。x ，n ) 满足引理1 1 的条件由条 件( b ) ，只需要验证条件( 1 ) 和( 2 ) ： 5 关于序列对称的邻域指派 第一章序列对称邻域指派 ( 1 ) 若y 甓巩( z ) ，则y 。c y ) r lk ( z ) = 谚 因( y ) 巩+ 3 ( ) ，所以只需证+ 3 ( 耖) n k ( z ) = d 否则，取h “+ 3 ( 3 ) nv n ( x ) ，则y + 2 ( 九) ，且+ 2 ( 危) ( z ) 于是y ( z ) 矛盾 所以巩+ 3 ( 可) n v n c x ) = 仍因此v c y ) n ( z ) = 谚 ( 2 ) 若yi f ：u n ( x ) ，则+ 2 ( y ) u 。c z ) 于是( 可) 巩+ 3 ( 可) + 2 ( s ，) 冬巩( z ) 因此k ( 秽) 砜( z ) 根据引理1 1 ，空间x 可度量化 口 n a g a t a 在文献 1 0 】中提出了定理1 1 中闭邻域能否改成开邻域的问题下 面的定理1 3 部分地回答了这个问题 定理1 3 空间x 存在递减序列对称邻域指派 ( z ) ：z x ，扎) ，满足 条件： ( 1 ) 对每一茁x ， ( z ) ：n ) 形成z 的局部基； ( 2 ) 对每一n n ， ( z ) ：z 脚是点可数的； ( 3 ) 每一礼n ，若可u n ( x ) ，则巩( 可) ( z ) 则空间x 可度量化 证明：令k ( z ) = + 3 ( z ) ：巩+ 2 ( 秒) ( z ) ) 类似于定理1 2 的证明， + 2 ( z ) ：z + 。( z ) ( z ) ) 至多具有可数个不同 的元 不妨设其为 + 2 ( 旎) ：i ) 取p i + 2 ( z i ) 巩( z ) o 则+ 3 ( z ) k ( z ) u + 1 慨) ：i 】1 下证对每一z x ，n n ，k ( z ) 是z 的邻域否则由本文引理2 1 有 z 刁：i 石了丽0 永了= i 夏五丁j 丽u 【巩+ l ) ：y u ( 巩+ 1 ( p i ) ：i ) ) 6 关于序列对称的邻域指派 第一章序列对称邻域指派 由条件( 3 ) ，知若y u 十1 慨) ：i ) ，则+ 1 ( 夥) u + 1 慨) ：i ) 因此z u 【巩十1 慨) ：i ) 所以存在i n ，使得z 巩+ 1 锨) 由序列对称性，知p i 巩( z ) 这矛盾于p t 的取法p i 隹( z ) 因此( z ) 是z 的邻域 类似于定理1 2 的证明，可证邻域指派序列【( z ) ，k ( z ) ：z x ，几) 满 足引理1 1 中的条件( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 根据引理1 1 ，空间x 可度量化 口 注记我们尚不知道具有满足定理1 3 条件( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 的序列对称邻域指 派是否能成为可度量化的刻画 7 关于序列对称的邻域指派 第二章 序列对称g 函数 第二章序列对称g 函数 显然递减的对称g 函数是序列对称的 下面我们给出一个序列对称且递减而不是对称的9 函数的例子 例空间r 为通常拓扑的实直线对任意的z ，y r ，令d ( x ，可) = i z 一可i ， g ( n ，z ) = p 一击，z + 丢b ) 若y g ( n + l ，z ) ，当y z 时，d ( y ，。) = d ( x ，秒) z 时，d ( y ，z ) = d ( x ，暑) q n ，使得9 2 ( n ，z ) u ，9 2 ( 口，z ) 9 ( 佗，z ) ，9 2 白，z ) g ( q ，z ) 因此9 4 0 ，z ) u 由 u 的任意性，知 9 4 ( n ，z ) ：仉) 形成。的邻域基所以似2 d ( n ，z ) ：z x 形 成x 的局部基所以空间x 可度量化 ( 3 ) 哥( 4 ) ：令g 是序列对称9 w z x 函数不失一般性，可设9 ( n + 1 ，z ) g ( n ，z ) 由引理2 1 ，知对任意的佗n ，有丽u 9 ( 礼，可) ：秒9 ( 佗，z ) ) = 9 2 ( n ，z ) 所以_ 【z ) f l g ( n , z ) 1 1 9 2 ( 扎，z ) = 【z ) ( 4 ) 苷( 1 ) ：令g 为空间x 的序列对称9 w z x 函数 不失一般性，可设g ( n + l ，z ) g ( n ，z ) 若对每一亿n ，z g ( n ，z 。) ，则 z ，z 。) 夕( 几，z n ) 由鼬性质，知 z n ：亿n ) 有聚点p 又由序列对称性，知 z 时1 夕( n ，z ) 于是对每一礼n ，有p 丽 因此p f l g ( n , z ) = z ) 所以空间x 是半分层空间由定理2 5 ，知空间x 是 1 2 关于序列对称的邻域指派 第二章序列对称g 函数 叫m 空间对任意的z y ，存在礼n ，使得y 隹丽， 所以空间x 是乃的由引理2 2 ，得空间x 可度量化 推论( 【1 】推论1 3 ) ：在丑空间x 中下列等价 ( 1 ) x 可度量化 ( 2 ) 存在x 上的对称g 函数，使得 夕2 ( n ，z ) ：n ) 形成z 的局部基 ( 3 ) 存在x 上的对称g 函数，使得z 9 2 ( 几，z 。) ，则z 。一z ( 4 ) 存在x 上的对称w a 函数g ，使得，n 夕2 ( 佗，z ) = 【z ) ( 5 ) 存在x 上的对称w a 函数g ，使得，n g ( n , x ) = z ) 定义称空间x 为离散可展的：若对x 上的每一离散集族 c o ：口入 可 展为局部有限开集族【：q ( 见文献 1 】) 即存在局部有限开集族 玩：a a ) ，使得，对每一q a ，有g 定理2 7w m 空间号w n 空间 证明：若g 函数满足条件g w m ，对任意的佗n ，夕( 佗，z ) n g ( n ，。n ) 0 令：z ，：则由条件g w m 知， z 。：礼) 有聚点 定理2 8 ( 【1 】定理1 8 ) ：正规，对称w a ，t 1 空间是可展的 定理2 9 ( 1 7 1 定理2 4 ) 每一w m 空间是强正规的，集态正规和可数仿紧 的 由【1 命题3 知，对称伽n 空间等价于对称w m 空间等价于对称w a 空 间而条件序列对称夕函数是递减对称g 函数的推广，所以下列的定理2 1 0 1 3 关于序列对称的邻域指派 第二章 序列对称g 函数 为定理2 8 的推广 定理2 1 0 正规，序列对称w m ，t 1 空间是可展的 证明：令g 是空间x 上的序列对称w m 函数 不失一般性，设9 ( 几+ 1 ，z ) g ( n ，z ) 由【1 】的定理2 8 ：丑空间x 可展当且 仅当空间x 是可数仿紧的，离散可展的 及本文定理2 9 ，知只需证空间x 是离散可展的 令 d a ：a a ) 是空间x 的离散集族 g 。a = u g ( n ，z ) ：z d n ) 岛= z x ：9 ( n ，z ) ng n ，n = o 除有限个o t 成立) = u g ( n ，z ) ：g c - ，z ) & ) 首先， ：仃 - 是x 的递增开覆盖， 显然巩是开的下证 ：铊n ) 的递增性 对任意z x ，g ( n + 1 ，z ) 夕( 礼，z ) ，若夕( n ，z ) 鼠， 则9 ( n ，z ) n g n 。q = o 除有限个口成立 又因岛+ 1 n 冬瓯a ，则夕( 礼- i - 1 ，。) ng 。+ 1 ，口= o 除有限个a 成立 因此若g ( n ，z ) & ，则g ( n + 1 ，z ) 岛+ 1 即若z ，则z + 1 ，所以递增 下证 ：z x ) 是x 的覆盖 用反证法，否则存在z x ，使得z 譬u 巩：竹) 即对每一佗n ，有9 ( n ，z ) o 取z n g ( n - i - 1 ，z ) & + 1 则g ( n - i - 1 ，z i ) n a 叫+ l 0 对无限个q 成立 因此g ( n ，) n a 。，n 仍对无限个q 成立 对每一佗n ，取y n d c , ，n n 9 ( 他，) ，使得夕( 佗，锄) n g ( n ，) o 1 4 关于序列对称的邻域指派第二章序列对称9 函数 由序列对称性，知z 9 ( 犯，) ，g ( n ，) n g ( n ，) o ，y 。g ( n ，) 由w m 性质，知 y n ：n n ) 有聚点存在a ，使得y n d 口。 而 d m ：口a ) 离散，矛盾所以 ：z x ) 是x 的覆盖 因x 是正规和可数仿紧的，所以可数开覆盖 “：n n ) 存在局部有限 开加细 k ：洲i ) ，使得瓦 令w n ，口= kn g n ，a ，w a = u 。w n ，n 显然，w a 是开集，d 口w a 下证 ：a a ) 是局部有限集族因 ：扎) 是局部有限的， 令k 是z 的开邻域，且仅与有限个k 相交 即存在k ，使得nk d ，i k x ，歹 礼。，有睨n 巧= d 所以存在i 他使得g ( i ，z ) 与g 油相交 因z 阢，所以9 ( t ，z ) & 于是9 ( i ，z ) 与有限个g 似相交矛盾 1 5 关于序列对称的邻域指派结论 结论 本文研究了序列对称邻域指派及可度量化空间和可展空间，主要证明了 五个结论： ( 一) 空间x 可度量化当且仅当存在递减序列对称邻域指派 ( z ) ：z x ，佗n ，满足条件： ( 1 ) 每一( z ) 是z 的闭邻域； ( 2 ) 对每一z x ， 巩( z ) ：住) 形成z 的局部基； ( 3 ) 对每一亿n ， ( z ) ：z x ) 是点可数的且是闭包保持的 ( 二) 空间x 存在递减序列对称邻域指派 ( z ) ：z x 】，n n ，满足条 件： ( 1 ) 对每一z x ， ( z ) ：礼) 形成z 的局部基； ( 2 ) 对每一n n ， ( z ) ：z x ) 是点可数的； ( 3 ) 每一礼n ，若y ( z ) ，则( 可) 巩( z ) 则空间x 可度量化 ( 三) 对序列对称g 函数，条件g a , 9 ，g 。等价： ( 四) 在正空间x 上，下列等价： ( 1 ) 空间x 可度量化 ( 2 ) 存在x 上的序列对称9 函数9 ，使得 9 2 ( n ，z ) ：n ) 形成z 的局部基 ( 3 ) 存在x 上的序列对称w a 函数g ，使得，n 9 2 ( n ，z ) = z ) ( 4 ) 存在x 上的序列对称w a 函数g ，使得，n 丽= 缸) ； ( 五) 正规，序列对称w m ，乃空间是可展的 1 6 关于序列对称的邻域指派参考文献 参考文献 【1 】c h r i sg o o d ，d a n i e lj e n n i n g sa n da b d u lm o h a m a d ，s y m m e t r i cg - f u n c t i o n s ，t o p l o g ya n d i t sa p p l i c a t i o n s ，2 0 0 3 ，1 3 4 ，1 1 1 1 2 2 【2 】2 r e n g e l k i n g ，g e n e r a lt o p o l o g y , w a r s z a w a ，1 9 9 7 【3 】t i s h i i ，o nw m s p a c e si i ，p r o c j a p a na c a d ，1 9 7 0 ，4 6 ，1 1 1 5 【4 】z g a o ，c h a r a c t e ro fm e t r i z a b l es p a c e si nt e r mo fg - f u n c t i o n ，qa n dai ng e n e r a l t o p l o g y , 1 9 9 8 ，1 6 ，1 5 5 - 1 2 0 5 】j c s m i t ha n d1 1 k r a j e w s k i ，e x p a n d a b i l i t ya n dc o l l e c t i o n w i s en o r m a l i t y , p r o c a m e r m a t h s o c ，1 9 7 1 ，1 6 0 ，4 3 7 - 4 5 l 6 】c g o o d r w k n i g h ta n di ，s s t a r s ，m o n o t o n ec o u n t a b l ep a r a c o m p c t n e s s ，t o p l o g y a n da p p l i c a t i o n s ，2 0 0 0 ，1 0 1 ，2 8 1 2 9 8 【7 】t i s h i i ，o nw ms p a c e si ，p r o c j a p a na c a d ，1 9 7 0 ，4 6 ，5 - 1 0 8 1j n a g a t a ，m e t y i z a b i l i t y , g e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e sa n dg - f u n c t i o n s ，c o m m e n t m a t h u n i v c a r o l i n a e ，1 9 8 8 ，2 9 ，4 ，7 1 5 - 7 2 2 9 】r e h o d e l ，m e t y i z a h i h t yo fs p a c e ss a t i s f y i n gn a g a t a sc o n d i t i o n ，m a t h j a p o n i c a ， 1 9 9 8 ，4 7 ，2 ，2 8 2 9 3 【i 0 】j n a g a t a ，r e m a r k so ns y m m e t r i ca n ds e q u e n t i a l l ys y m m e t r i ca s s i g n m e n t s qa n da i n g e n e r a lt o p o l o g y , 2 0 0 6 ，2 4 ，1 7 - 2 1 ii 1j n a g a t a ，m o d e r ng n e r a lt o p o l o g y , n o r t h h o l l a n d ，1 9 8 5 f 1 2 】e k v a nd o u w e na n dw f p f e f f e r ，s o m eo fs o r g e n f r e yl i n