（基础数学专业论文）关于弱hopf代数的若干研究.pdf

论文摘要 本文主要研究如何通过几类交叉积和自同态代数来构作新的弱h o p f 代数 以及将h o p f 代数的某些结果推广到满足某些条件的弱h o p f 代数，比如对偶定 理及m a s c h k e - t y p e 定理。 在第一章中我们对弱h o p f 代数的有关概念及已有的若干相关结果作了简要 的介绍。 在第二章中我们讨论了弱h o p f 代数的扭曲的s m a s h 积、s m a s h 余积、混 合积及拟双交叉积，利用这些交叉积我们可构作新的非交换且非余交换的弱 h o p f 代数。特别地，我们利用扭曲的s m a s h 积得到一个双完备的弱h o p f 代数， 由它可得到量子y a n g b a x t e r 方程的一个奇异解。我们还证明了满足一定条件的 弱h o p f 代数的自同态代数是余辫化的弱h o p f 代数。 在第三章中我们首先将h o p f 代数的对偶定理对满足某些条件的弱h o p f 代 数作了部分推广，得到了类似于h o p f 代数时的代数同构关系( 定理3 2 8 及摊： 论3 2 9 ) 。在第三节中首先研究了如何由一个a 模同态且同时是c 似) 一模同念诱 导一个a # h - 模同态( 推论3 3 5 ) ，它是h o p f 代数中m a s c h k e t y p e 定理的部分 推广。最后我们在一个俅模代数a 上构造它的左、右a # h - 模结构( 定理3 3 6 ) 。 关键词：弱h o p f 代数、交叉积、自同态代数、对偶定理、m a s c h k e t y p e 定理。 a b s t r a e t t h ea i mo ft h i sp a p e ri st oc o n s t r u c ts o m en e ww e a kh o p fa l g e b r a sb ys e v e r a l k i n d so fc r o s s e dp r o d u c t sa n de n d o m o r p h i s m sa l g e b r a s a n dw eg e n e r a l i z es e v e r a l r e s u l t so f h o p f a l g e b r a st ow e a kh o p f a l g e b r a su n d e rs o m ec e r t a i nc o n d i t i o n s ，s u c ha s t h ed u a l i t yt h e o r e ma n dt h em a s c h k e t y p et h e o r e m i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c es o m ec o n c e p t so nw e a kh o p fa l g e b r a sa n ds o m e r e l e v a n tr e s u l t sw h i c hh a v eb e e nk n o w n i nc h a p t e rt w o ，w ed i s c u s st w i s t e ds m a s hp r o d u c t s ，s m a s hc o p r o d u c t s ， m i x e dp r o d u c t sa n dq u a s i - b i c r o s s e d p r o d u c t s o fw e a k h o p fa l g e b r a s n o n c o m m u t a t i v ea n dn o n c o c o m m u t a t i v ew e a kh o p fa l g e b r a sa r ec o n s t r u c t e db y u s i n gt h o s ec r o s s e dp r o d u c t s e s p e c i a l l y , w eg e t a b i p e r f e c tw e a kh o p fa l g e b r a b ya t w i s t e ds m a s hp r o d u c t f r o mi tw ec a ng e ta ( s i n g u l a r ) s o l u t i o no fq u a n t u m y a n g - b a x t e re q u m i o n ，w ea l s op r o v et h a tt h ee n d o m o r p h i s m sa l g e b r a so faw e a k h o p f a l g e b r aw i t hc e r t m nc o n d i t i o n si sac o b r a i d e dw e a kh o p f a l g e b r a i n c h a p t e rt h r e e ，w ef i r s t l yg e n e r a l i z ep a r t i a l l yt h ed u a l i t yt h e o r e mo n h o p fa l g e b r a st ow e a kh o p fa l g e b r a sw i t hc e r t a i nc o n d i t i o n s ，w h i c hg i v e sas m i l a r a l g e b r a i ci s o m o r p h i s mi n t h ec a s eo fw e a kh o p fa l g e b r a s ( t h e o r e m3 2 8a n d c o r o l l a r y3 2 9 ) i ns e c t i o nt h r e e ，w ef i r s t l ys t u d yh o wt oi n d u c ea na # h - m o d u l e m o r p h i s mf r o ma na m o d u l em o r p h i s mw h i c hi sa l s oa c f h ) - m o d u l em o r p h i s m a n d f r o mi t ，w eg e tc o r o l l a r y3 3 5 ，w h i c hi sap a r t i a l l yg e n e r a l i z a t i o no ft h em a s c h k e t y p et h e o r e mo nh o p fa l g e b r a s a tl a s t ，f r o mah - m o d u l ea l g e b r aaw eb u i l di t s s t r u t u r eo f1 e f ta n dr i g h ta # h - m o d u l e ， k e y w o r d s ：w e a kh o p fa l g e b r a ，c r o s s e dp r o d u c t ，e n d o m o r p h i s m sa l g e b r a s ，t h ed u a l i t y t h e o r e m ，t h em a s c h k e t y p et h e o r e m 第一章 弱h o p f 代数概述 第一节 弱h o p f 代数的定义 弱h o p f 代数是h o p f 代数的一类重要的弱化概念，由y - 其住量子群及相天数学物理理 论中的重要性被逐步认识，对其研究也逐步深入，研究范罔也逐步扩人，并引起越来越多 的关注。 众所周知，域k 上的烈代数h = ( h ，r l ，a ) 若存在s h o m ( h ，h ) 使得 s 4 i d = i d + s = 班( 其中运算 定义为：f + g = t ( f g ) a ，对任意的 ，g h o m ( h ，h ) ) ，则称是h o p f 代数，s 称为是h 的对极。若此定义中s 满足： s 女i d = 7 7 ( 或i d s = r g ) ，则称为左( 域右) h o p f l , 数，s 称为左( 或右) 对极。 一般地，弱h o p f 代数有两种不同的定义，首先我”j 对此作一些简单介纠。 第。种弱h 0 p f 代数的定义由 7 】提出： 定塞! ：! ：! ： 设为烈代数，若存在t h o m ( h ，h ) ，使得 耐 丁+ i d = i d ，t 十i d 十t = t ，则称h 是弱h o p f e 数，且r 称为h 的弱对极。 在h o p f 代数中，其对极是反代数同态在弱h o p f 代数中弱对极未必是反代数同 态，在本文中，般设弱对极是反代数同态。我们有以r 的关系： h o p f 代数 7 、- 左h o p f 代数 第二种定义由n i l l 提出，为介绍此定义我们需引入一些相关的概念。 庭塞! ! ! ：! 【9 】：对一个“向量空间h ，若( h ，叩) 是“代数，( h ，a ，占) 是“余代 数r 且a ( x y ) = a ( x ) a ( y ) ，对任意的x ，y h 。则称h 为k 儿乎烈代数，或弱烈代数。 定塞! ：! ：f 9 ：一个儿乎舣代数h = ( h ，2 ，玑a s ) 称为 ( i ) 左m o n o i d a l ，若e ( a b c ) = 芝 g ( a b ) s ( 6 t c ) ，对任意的订，6 ，c h ； ( 2 ) 右m o n o i d a l ，若s ( a b c ) = ：g ( a b ”) ( c ) ，对任意的a ，b ，c h ； ( 3 ) 左c o m o n o i d a l 若( ( 1 ) 0 1 ) ( 1 0 ( 1 ) ) = y 1 0 1 ”o l ”： ( 4 ) 右c o m o n o i d a l ，若( 1 0 ( 1 ) ) ( ( 1 ) 0 1 ) = y1 1 。1 ； 若h 同时是左及右( c o ) m o n o i d a l ，则片称为( c o ) m o n o i d a i ： 若j 【，同时是c o r n o n o i d a l 及m o n o i d a l ，则h 称为b i m o n o i d a 。 易址，圩是( 左或右) c o m o n o i d a l 当且仅当h o 是( 左或右) m o n o i d a l ，若是儿下 烈代数的“代数同态，即：( 1 ) = 1 圆l ，则是c o m o n o i d a l 。 定义l - 1 4 9 】：设是儿乎烈代数，s ：h h 是“线性映射，满足： f s ( a ”) = 占( 1 d ) 1 ” ( 1 i ) s ( ) d ”= r 8 ( a l ”) ( 1 ，2 ) 其中a h 任取，则称s 是h 的前对极。若还满足 s ( a ) d ”s ( a ) = s ( 口) ， 其中a 任取，州s 称为h 的n i l l 对极。 注：若( 1 1 ) 或( 1 2 ) 式成立，则可知 a s ( a ”) “= a ，对任意的a h ，故 若s 是的n i l 对极，则i d s $ i d = i d ，s i d $ s = s ，冈此h 是儿乎弱h o p f 代数，( i l | j 媳有弱对极的儿乎舣代数) 。这样所有儿乎弱h o p f 代数组成的类是所有具有n i l i 对极的儿 乎舣代数组成的类的一个子类。 代数。 蕉竖! ：! ! 豇9 】：一个b i m o n o i d a i 儿乎舣代数h 若有n i l l 对极，则称为n i l l 弱h o p f 一般地，一个弱h o p f 代数是b i m o n o i d a l 儿乎烈代数，但弱h o p f 代数的弱对极一般 来说未必是前对极，冈此所有n i l l 弱h o p f 代数组成的类与所有弱h o p f 代数组成的类互4 j 包含，它们之间有如f 关系： h o p f 代数 7 7 、- 弱h m ”弱r 数 具有n i l l 对极的儿乎舣代数 7 几乎弱h o p f 4 数 由弱h o p f 代数与n i l l 弱h o p f 代数定义知，它们是介丁舣代数与h o p f 代数之间的一 种代数结构。在本文中，我们提到的弱h 叩f 代数均是指第一种定义r 的弱h o p f f 瞰。 在本文中我们将经常州剑以h 的概念： 定义1 1 6 ：设h 是一个弱h o p f 代数，s 为其弱对极， ( 1 ) ( i d s ) ( ) ( s * 耐) ( 矗) c ( ) ，即： s ( h ”) ，s ( 甜) ( ( ) 其中h h ，则称日为完备的弱h o p f 代数； ( 2 ) 致心( 自) = 罗矗o 圆h ，若h s “) c ( h ) ，其中h h ， 1 ，j h ，! l i j 称圩为强完备的弱h o p f 代数； ( 3 ) 若 h s ( h ”) 固= h ”s ( h ) 固h (或等价地； y s ( x ) x ”o x ：y s ( x ”) x o 一) ，则称h 为余完备的弱h o p f 代数； f 4 ) 若是完备且余完备的弱h o p f 代数，! l ! i j 称j = i j 烈完备的弱h o p f 4 e 数。 第二节 弱t t o p f 代数的一些基本命题 在上一1 ，中介纠了弱h o p f 代数的定义，作为此定义的一个典刊例子是、r 群代数 k s ：殴s 为止l ! i j 幺、r 群对任意的s s ，令s 是旷( s ) = ，s ：t s t = ，j 如= 5 中的川定 元。定义r ：您斗垮，使得7 1 ( s ) = s ，t ( 七，s ，) = ：t ，s ，j l ! | j t h o r n ( k s ，k s ) ，乩 对任意的x k s ( i d t 十i d ) ( x ) = x ，( 7 1 i d ，) “) = 丁( x ) ，冈此7 是舾的弱对极， ( 裕，茚，s ，丁) 是弱h o p f 代数。易见勰是余交换的弱h o p f 代数7 是反代数同态。 弱h o p f 代数的定义可见，一个弱h o p f 代数的弱对极未必唯一，事实上其弱对 板集合为v ( i d 女) ( 以r 简记为m 力) ，即弱h o p f 代数的尊位映射耐荚丁卷积+ 的止! i f l 逆集。对弱h o p f 心数的弱对极集p 7 硼的代数结构有如r 刻划： 定堡! ! ! ：! ：设h 为弱h o p f 代数，对任意的s ，t f ，( 耐) ，定义运算“o ”为： 鼬t = s i d $ t ，则( 矿( 耐) ，o ) 是带。 证：由于d ( s $ j d 丁) i d = ( i d s i d ) t i d = i d t i d = i d ， ( s i d 女t ) i d ( s $ i d 7 1 ) = s ( i d t i d ) # ( s i d t ) = s ( i d s $ i d ) t = s ，i d t 。 网此鼬t = s 十i d t v ( i d ) ，故( 矿( 耐) ，o ) 是f 群，义对任意的 t 矿( i d ) ，有两t = t i d $ t ，故( 矿( 耐) ，o ) 是带。 庭垄! ：! ：! 7 】：( 1 ) 对幺、f 群s ，半群代数舾是弱h o p f 代数当且仅当g 辟固= s 是j j 二 则幺半群； ( 2 ) 设日为弱h o p f 代数，若其余代数结构是点的，则其类群元集g 俾) 是jj ! 则幺、r 群。 定理! ：2 ：! 6 ：没何是弱h o p f 代数有弱对极7 ，若r 是反代数同态，且a 娃交换代 数，则一嚏似州是以卷积+ 作为乘法运算的止则幺、| ，群；对偶地，若r 是反余代数同态， 且爿是余交换余代数，则c o a l g 似1 4 ) 是以卷积t 作为乘法运算的止则幺、 ，群。 由以上这些定理可见，弱h o p f 代数与止则幺、r 群间有1 f 常紧密的联系，这与弱 h o p f 代数的弱对极定义米源丁半群理论中的“止则逆”这一概念有关。由丁两者有紧 密联系，冈此可借助丁、f ，群理论对弱h o p f 代数的结构进行研究。 以r 定理揭示了余模结构中弱对极或左( 或右) 对极的作i l 。 枣堡! 1 2 ：! 【6 ：没h 是弱h o p f 代数，弱对极t 是烈代数反同态。令甲：一h 为 甲( x ) = x 丁( 一。) o z ”，对任意的z h ，则： ( 1 )为左h 余模，其余模结构映射为甲： ( 2 )j v 为交换的，则h 是左弘余模代数： ( 3 )若h 是余交换的，且丁是右对极，则日是左余模余代数； ( 4 ) 若h 是交换且余交换的，r 是右对极，则h 是左h - 余模右h o p f l 数。 对偶地，定义v 。( x ) = x 圆7 ( 一) 一”可构作廿肼余模结构等。 弱h o p f 代数研究的重要性由r 面的定理给山，它揭示山利川弱h o p f 代数可构f 1 y a n g b a x t e r 方科的一类退化解，这人人拓j 了，y a n g - b a x t e r 方程的研究范罔，对蛙子群州 论具有根重要的意义。 定型! ：! ：5 8 ：令圩= ( 日，t ，7 ，t ) 是订限维余交换弱h o p f t 瞰，弱对极tz i l i 堕， 对任意的e 1 b h ，有( t 耐) ( h ) c ( h ) ，a t = r ( r o t ) a 及t ( a b ) = t ( b ) t ( a ) ，则 的姑子拟偶d ( h )是拟辫化的 其拟r - 矩啡 矗= 乙( 1 2 t j 凶( 矿锣l ，口t 爿) 够d t h ，( 其中转， 是矗向量空间的基，l ， ，e ， 是( h ”) 的对偶基) 是堵子y a n g - b a x t e r 方科( q y b e ) 的解。 当为非余交换时以卜+ 的定理1 ，2 6 给出了相对应弁匀结论。 定堡! ：! ! 5 ：令h = ( h ，7 ，7 _ ) 是有限维舣完备弱h o p f 代数，弱对极t 可逆t 则h的量子拟偶 d 是拟辫化的，其拟r 一矩碡 k = 艺( 1 0 0 e , ) 凶( 矿够j ) u 【爿) 够上j 爿j ( 其中和，) l ，是k - 向量空间h 的基，p 。 。， j ， 是( 日”) 的对偶基) 是鼙子y a n g - b a x t e r 方程( q y b e ) 的解。 定堡i ：2 ：2 【5 】：令y 为有限维向量空间，且c e n d ( v o 矿) 是譬子y a n g b a x t e r 方 ：! f ! 的一个解( 即一个泛b 矩阵) 。则存在彳( f ) 固彳( c ) 上的线性形式r 使4 ( c ) 变为一个拟余 辫化的烈代数f 吏v 4 c ；，= c 且r ( z ”固) = c 罗7 ，对任意的f ，m ，n 。 4 第二章几类交叉积和自同态代数的弱h o p f 代数结构 在本章中，我”j 将讨论弱h o p f 代数的押曲的s m a s h 积、s m a s h 余积、混合积及拟舣 交义积，利这些积，可构作出一些新的弱h o p f 4 t 数，最后我们将利代数白同态集凸，讲肋 米构作新的弱h o p f 代数。 对本章中的一些记号规定如r ： 设为取代数，p ：m 一珂 m 为左余作h ，对任意的m m ，记 p ( ) = mo 。为的余乘法，对任意的 h ，t e a ( h ) = o 。 第一节扭曲的s m a s h 积7 1 撑，h 令为域k 上的一个弱h o p f f 懒，有弱对极s ，n 令：h t 寸t 是h 枉r 上的 左弱作_ l _ f j ，即对任意的h h ，s t 有： h ( ，5 ) = ( 肌) ( i s ) ，h - 1 = e ( h ) i ，i f f ( i 1 ) 若对任意的 ，g h ，t t 有：h ，( g ，) = h g f ，即作刚是结合的，则称 ： t t 是代数作用。以f 我们一般设作用是左弱作_ 【 且是代数作_ i 千j 。 令仃：疗0 斗t 是正规化2 一余闭链，即对任意的h ，m h ，t ， a ( h ，1 ) = 盯( 1 ，向) = g ( h ) l ； ( 向盯( f ，m ) ) 仃( 7 ，”m ”) = 仃( ，l ) 仃( ，删) ； ( 1 2 ) ( 州，) ) 盯( ”，”) = a ( h ，l ) ( w ，) 。 ( 1 3 ) 那么向量空间丁 爿在如下定义的乘法f 成为一个代数： o # ) ( “# f ) = f ( 聃“) 仃( ，l 滞l ，对任意的f ，“t ，h ，1 ( 1 4 ) 在此，我们记，固h t o h 为f # h ，其单何元为l # l 。设以r 各条成立； 占。口= 占。占：( 2 5 ) a r ( 晟f ) = 南f 且占( - ) = s ( 冉) 占( f ) ，其中h e h ，t t ；( 1 ，6 ) 自”o 肼，= a o 自”f ，其中厅h ，t t ； ( 1 7 ) 矗f ”o 仃( 向。，) = h l 圆盯( ，) ，其中厅，h ；( 1 8 ) ( 盯( 向，) ) = a ( h 。，l ) 仃( 蹦，) ，其中厅，h ；( 1 9 ) 那么在( 1 4 ) 定义的乘法f ，向苗空间r o h 是舣代数，其余乘法为 ( ，# ) = f 撑 圆，“# 矗”，余单何为占( ，社b ) = 占( ，) 5 ( ) ，我们称此舣代数是抓曲的 s m a s h 积记为r # 。日。 在以上的这些假设r ，我们有： 定堡2 ：! ：! ：若r 是左h o p f l - e 数，h 为完备的弱h o p f 代数，盯是卷积可逆的，且对仟 恿的h h ，c ( h ) ，盯( ，) = e ( h ) e ( 0 1 其中c ( ) 为日的中心，则丁群。h 是弱h o p f 代数，其弱对极是s 1 = s i d s ，其中s 满足： s ( ，群矗) = 盯_ 1 ( s ( 矗) ，h h ) ( s ( 向”) s ，( f ) ) 撑s ( 矗) ，其中h 日，r t 。 住此时有弱h o p f 代数的短止合州：1 _ 7 _ 与7 拌。三斗斗1 ，其t ， ，( ，) = t # 1 ，万( ，# ) = s ( ，) 对任意的h ，t t 。 证：已知r # 。是烈代数卜面只要证s 是7 1 撑。日的弱对极对任意f j t # h 7 1 # 。h ( i d s f d ) ( r # ) = p ( i d o 4 s 圆i d ) a ) a ( t # h ) = ( ，# 。) ( 仃。( s ( ) ，h 5 ) ( s ( 扩) s r ( f ”) # s ( ) ) ( ，# 矿) = ( ，嘲( 仃“( s ( 一) ，h 盯) ( s ( 一) s r ( ，”) ) ) ( s ( 一，) a ( s ( h ) ，h l s i ) # s ( ) 9 ) = ( r 挣) ( 盯_ ( s ( 护) ，h 6 ) ( s ( ) e ( t ”) ) “s ( ) ，h 盯) 鞋s ( 护) = y ( r 捍向。) ( 仃一( s ( 矗) ，h 印) 占( s ( 矗4 ) ) ( ，) d ( s ( ”) ，h ) 撑s ( 矗”) 矗鹕) = ( ，稃 ) ( 盯叫( s ( 向4 ) ，5 ) 仃( s ( 3 ) ，h 6 ) 占( f ”) 释s ( ) 厅p ) = ( ，群材) ( s ( s ( ) ) ( 矗“) 占) 撑s ( ) 向) = ( ，样 ) ( g ( ，- ) # 占( ) s ( 一) s ( 舻) = 乏：( f # 自) ( ( ，) # s ( ) ) = ( ，( i ( ，”) ) 盯( ”s ( h 5 ) 一) # s ( h ) = f ，e ( t ”) # ( ) ( ( s ( 一) ) 占( 一) s ( h ) 一 = t o ( e ( h ) s ( ) ( ( s ( 护) ) s ( ) ) 一 = t # h s ( h ”) = ，# h = i d ( t # h ) 故i d 女s 十i d = i d ，由【7 】可知s = s i d s 是丁荐。的弱对极，从而7 释。是 弱h o p f 4 数。 由t s o l = ，。s y ，s h 。t = 7 。s ，故1 是单弱h o p f 代数同态，万是满弱h o p f 代 数同态，h i m ( 1 ) = r # 。1 = k e r ( z ) ，故1 斗丁l 7 襻。h ! 寸h 斗1 是弱h o p f 代数 的短1 1 e 合列， 住7 是h o p f 数时，- 以f 推论： 推论2 1 2 ：若丁是h o p f 代数为完备的弱h o p f 代数，盯是卷积可逆的，且对任 意的h 何，f c ( ) ，c r ( h ，f ) = e ( h ) e ( ) l 其中c ( g ) 为的中心t 则7 # ，h 是弱h o p f 代数，其弱对极s 满足：s ( t # h ) = 盯“( s ( h ) ，h 1 ) ( s ( ”) s 7 ( f ) ) # s ( ) ，其l = i h h ，t 。在此时有弱h o p f 代数的短止台刘：l 丁二一r # 。h 二i - 1 其中，( f ) = t # 1 ，z ( t # h ) = e ( t ) h ，对任意的h h ，f t 。 证：由y - t 是h o p f 代数故类似丁定理2 11 的证明我们有s i d s = s ，敞 7 _ 挣。打是以s 为弱对极的弱h o p f 代数。 在7 与h 均为弱h o p f 代数时，我们有： 定理2 ：! ：! ：若7 - 、足强完备的弱h o p f 代数。o - 是卷积可逆的，l i c r ( h ，) = e ( h ) e ( 1 ) l ，其中 ，中之一属丁( ( h ) ，假没作- ：爿o t - ，还满足 h f = e ( h ) t ，对仟意的h ， c ( 丁) ，则： ( 1 ) 丁# 一爿是弱h o p f 代数，其弱对极s 满足： s ( t # h ) = 盯。( s ( h ”) ，h “) ( s ( 自”) s 7 ( ，) ) # s ( ) ，其中h ，t ： ( 2 ) 若作川还满足h t = e ( h ) t 。对任意的h c ( ) ，f t ，则7 _ # 。h 赴完备的： ( 3 ) 若丁、h 是余完备的，则，拱。是余完备的。 证：( i ) 已知r # 。日是舣代数，r 面我们只要让s 是丁 ，h 的弱对极，对任意 的t # h r # 。打，我们有： ( i d s $ i d ) ( t # h 、 = ( f # 矗) ( o r 。( s ( 4 ) ，h 5 ) ( s ( ) s r ( f ”) ) # s ( ) 刈”# j j ? ) = o 拌矗) ( ( 盯 1 ( s ( 厅6 ) ，h 7 ) ( s ( 矗5 1 ) s r ( r ) ) ) ( s ( 厅们tr ) c r ( s ( ) ，h 8 ) 撑s ( 厅”) 矗柙) = ( f 释弦) ( 盯_ ( s ( 厅5 ) ，h ) ( s ( 厅s r ( ，”) f t ”) 盯( s ( 纠”) ，h 7 撑s ( 茚) 倩) = ( ，。# 州s ( ) 趴哪盯。1 ( s ( 一) ，h 6 ) 盯( s ( 扩) ，h 7 ) # s ( ) = ( f 撑”) ( s 7 ( ，”弦仃_ 1 ( s ( ) ，h 5 ) 仃( s ( 厅) ，h 6 ) 群s ( 矗”) 盯1 ) = ( ，# 坝趴，) ，# s ( ) = r ( s ) f ) 盯( ”s ( h “1 ) 一) # s ( h “、) 护 = r s 7 ( f ”) ，# 科s ( ”) = ，# 厅= 耐( ，# 向) 故i d s i d = i d ，同理可证s i d s = s ，故丁# 。日是弱h o p f 代数，s 为其弱对 极。 ( 2 ) 对任意的t # h ，x # y 7 # 。h ( ( ( so 谢) ) o # ) ) ( x # y ) = ( s ( ，) ，”# s ( ) 自”) ( j # 少) = ys ( t ) r ( s ( 向) 厅x ) 仃( s ( 向”) 矗引，y ) 社s ( 。) 向6 1 y ” = ：s ( f ) ，”x # s ( h ) h ”y ( + ( x # y ) ( ( ( s 固甜) ) ( ，# 矗) ) = 乏。( x 群y ) ( s ( ，) r 撑s ( 1 ) ”) = x ( j ，s ( t ) ，”) 盯( y ”，s ( h ”) ”) 社s ( ) 矗“ 2 x s ( t ) ，”# y s ( 。) 护 ( “ 由丁7 1 、h 是完器的，故( + ) = ( 十) ，因此丁撑。h 是完备的。 ( 3 ) 对任意的，群矗r 捍。h ，a 2 ( f 撑厶) = ，撑厅o ，撑向 ，撑厅 7 f 丁( ，# ) ( ，”# ) q 群护 = y ( 盯- 1 ( s ( 矗) ，h 4 ) ( s ( 向“) s ( t 。) ) 群s ( ) ) ( f ”簿向) o ，”。群向 = y 盯一1 ( s ( h 5 ) h 6 ) ( s ( 4 ) s ( t ) ) ( s ( 矗”) - ，“) c r ( s ( 向”) ，h 7 ) 拌s ( 向7 ) 向8 o ，”群后门 = y 仃一1 ( s ( ) h ) ( s ( ) s ( t ) ，”) c r ( s ( h ”) ，h ) 撑s ( 向) 矗o ，社一 = y盯- | ( s ( h ) 4 1 ) 盯( s ( 厅”) ，h ) s ( ，) ，”孝s ( 卉) 厅m o ，牟办 = s ( t ) ，”# s ( 村) ”引川 ( + ) t ( t ”# ”) ( ，”# ”) ，# = 了1 ( 盯“( s ( 4 ) 矗“1 ) ( s ( ) s ( t ”) ) # s ( ”) ) ( ，”撑自”) o t i # 矗 = y 盯一l ( s ( 向6 1 ) ，h ) ( s ( 向5 ) ，s ( t ”) ) ( s ( 厅h ) ，”) c r ( s ( h ) h 侣) 撑s ( ) 向归圆f 撑 = y 仃一( s ( 向) ，h ) ( s ( 4 ) s ( t ”) ，川) 盯( s ( 而) ，h p ) 群s ( ”) j j f 惜o ，存由 = y 盯。( s ( ”) ，自5 ) c r ( s ( h ) ，h ) s ( ，”) ，” s ( ”) ”圆，# 矗 = s ( t ”) ，# s ( 删n ( + + ) 由丁t 、是余完备的故( + ) = ( + ) ，冈此r # 。h 是余完备的， 注：由定理2 1 3 我”j 得到了一个烈完备的弱h o p f 4 数的例子( 即满足此定理的丁# 。hj ， 一般地，它是1 e 交换且非余交换的。当t ，为有限维时，由定理1 2 6 知r # 。的鼙f 拟偶d ( 丁撑。h ) 是拟辫化的，从而其拟品矩阵r = 。( 1 q o e ，) 固( p 。0 0 1 ) 是量子 f a n g b a x t e r 方群的解( 通常为奇异解) 。 第二节s m a s h 余积 没k 为弱h o p f 代数r 为域k 上的双代数，令p ：r _ k r 是k 在r 上的左余作 川。设以r 条件成立： a n ：r 斗r o 旯，r ：r 寸女是左群余模映射： ( 2 1 口：r 圆r _ 只，玑：k r 是左尽余模映射； ( 2 2 ) r _ l k 圆r o = k r _ 。 t o ( 2 j 3 ) 那么向苗空间r k 在张艟积代数结构币s m a s h 余积余代数结构r 成为一个舣代数， 即对任意的，s r ，k ，ge k ，有：p # 女) 0 # g ) = r s # 姆：i # 1 = i ：e ( r # k ) = 占p ) 占( ) ； ( r # ) = ，j # p ) 一l 女圆( r ”) o 群，记r o 女r o k 为r # k ，称此救代数是s m a s h 余积记为r k 。 f 面我们将证明r k 住某砦条件_ 卜构成一个弱h o p f 代数，首先我们需要以f 的i i 理： ! 堡! ：! ：! ：殴s h o m ( r ，r ) ，其中r 为域k 上的烈代数，j i ! | j 对任意的r r ，有： s ( ( r ) 一。( ，) 一，e ( r o ) = 占( r ) 。 r 证：对任意的r r ， s ( ( r ) 1 ( r ”) 一e ( r o ) = ( s 6 ) ( 2 aoi d ) p ( r ) = oi d ) ( i dof ) ( 肚0i d ) p ( o = ( soi d ) ( g ao p ( ，) = ( soi d ) ( p aoi d ) ( i d e ) p ( o = ( s 圆i d ) ( p a i d ) p g ( r ) = s ( ，) f i ：以e 的备i ! i 1 1 段跛r ，狄1 f 百： 定堡! ：! ! ! ：设r 为左h o p f 4 数，k 为弱h o p f 4 e 数则r k 是弱h o p f 代数，扎弼 对极是s = s - i d + s 其中s 满足：s p # 七) = s r ( ) 拌s ( 上i 七) ，对任愈的 ，r ，k 其中s 。，s f 分别是r 、k 的左对极和弱对极。此时有弱h o p f 代数的矩j ： 台利：1 k - r k 三一r 斗1 ，其中t ( k ) = l # k ，x ( r # k ) = e ( k ) r ，对任意帕 r r k k 。 证：已知r k 是剐代数，卜面我们证明s 是r k 的弱对极。对任意的 r # k r k 我们有： ( 埘，s 十耐) p # 女) = ( p ( i d 圆u ( s o i d ) a ) ) a ( r # k ) = ( r # ( ，”) 一。k 。) ( 5 。( ( f i r ”) 。) ) 。) # & ( ( ( ( r ”) 。) ) 一( f i r ”) 。) ”) 一k ”) ) ( ( ( ( r ”) o ) ”) 。k ) = r s r ( ( ( ( ，”) o ) 。) 。) ( ( ( ，”) 。) “) 。释( r ”) 一。七。s 。( ) 又( ( ( ( ，”) 。) ) ( ( ( 一) 。) ”) 一，) = r s ( ( ( r ”) 。) 。) # ( r ”) t s 。( 女”) s 。( ( ( ( r ”) 。) ) 一，( ( ( r ”) 。) ”) 一，) 一r # ( ，”) 1 k 6 ( ( r “) 。) = ，# 占( ，”) 寿= r # k = i d ( r # k ) 冈此i d 十s i d = i d ，这时由 7 】可知s = s i d s 是r k 的弱对极，r k 是弱 h o p f i c 数。 由于s o ，= ，。s r ，s h 。玎= 刀o s ，故，是单弱h o p f 代数同态，石是满弱h o p f 代数 司态，且i r a ( 1 ) = 1 k = k e r ( z ) ，故1 - - - 9 k 山r k 三斗月- + 1 是弱h o p f 代 数的短】：台列。 往月为h o p f 代数的情况r ，我们有以f 的推论： 蕉迨! ：! ! ! ：设尺为h o p f 4 数，k 为弱h o p f 代数则 ( 1 ) r k 是弱h o p f 代数t 其弱对极s 满足： s ( r # t ) = s n f f o ) # s n 一) 对任意的r r ，k ： ( 2 ) 若k 为完备的弱h o p f 代数，则旯足是完备的弱h o p f 代数。 证：( 1 ) 由丁r 为h o p f 代数故类似丁定理2 2 2 的证明我j 有s i d s = s 冈此r k 是以s 为弱对极的弱h o p f 4 数。 ( 2 ) 对任意的r # k ，x # y r k ，我们有： ( ( s 圆肼) ) ) ( ，牟后) ( x 牟y ) = p ( s 固i d ) ( r 。彝( ，”) 一一惫固( 厂”) o 挣詹”) ( x 群，) = s ( r # ( r ”) 一女) ( ( ，”) o 荐) ( x # y ) = ( s ( ( r7 ) o ) 萍s ( ( r ) ，i ( r ”) 一l ) ) ( ( ，) o 拌) ( x 萍y ) = 艺( s ( ( r ) o ) ( r ”) a 撑s ( p ) l ( 尸”) 一i 七) 七”) ( x 社y ) = ：( 占( ，f 0 ) 撑s ( 七) s ( ( ，) 一i ( r ”) 一1 ) 七”) ( x 群y ) = ：( s ( r ) # s ( 女) 女”) ( 工# y ) = c ( r ) x # s ( k ) t “y ( + ) 而( z 拌，) ( ( s o f d ) ) ( r 撑膏) = 工占( r ) 撑y s ( 七) 七” ( + ) 由丁k 为完备的，故( t ) = ( ”) ，冈此r k 是完备的弱h o p f i _ l = ：数。 第三节混合积 在上两仃我们讨论了弱h o p f 代数与( 弱或左) h o p f 代数的井l 曲的s m a s h 积及s m a s h 余积，在这一1 ，我将讨论它们的混合积。 定竖! ：；! ! 【1 3 】：设k 为弱h o p f 代数，h 为弱h o p f ( t 数，j ：h 圆h k 是扫 足上的止规化2 余闭链，满足( 1 5 ) 、( 1 8 ) 、( 1 9 ) 。令尺为一个烈代数， ：h 0 尺寸r 是左代数作州p ：r k r 是一个左余作 j ，使( 2 1 ) 、( 2 2 ) 、( 2 3 ) 成立，若( k ，日，r ，p ，仃) 还满足以下条件： 口( 口o h ) c ( x ) ； ( 3 1 ) ” 如= 向o 肌，其中，只，h h ； ( 3 + 2 ) a * ，r 是左h 模同态； ( 3 3 ) p ( h ，) = r l o h i