（基础数学专业论文）论bloch型空间及hardy型空间上一些算子的有界性和紧性.pdf

摘要 b l o c h 空间卢是b l o c h 型空间伊的一种特殊情形。目前，国内外许 多分析数学的研究者们已证明了单位园上及单位球上的一个全纯函数 属于b l o c h 空间的充要条件。但他们都未能对一般的b l o c h 型空间伊 的等价刻划进行研究。本文第一章给出了单位球上b l o c h 型空间的等价 刻划，作为应用得到了单位球上b l o c h 型空间之间复合算子为有界算子 的一种新条件。 复合算子的研究是利用经典解析函数论中的结论探讨线性算子理论 中的一些最基本的问题，同时也利用算子理论作为工具研究函数论中 的经典问题。长期以来，分析数学的研究者们解决了该领域中的许多问 题，最近，张学军系统地讨论了b l o c h 型空间上加权复合算子的有界性 和紧性以及小b l o c h 型空间上复合算子的有界性和紧性问题。但他未能 给出情形p 1 ，0sq 1 时的结果，也未能给出一般加权复合算子的相 应结果。本文第二章讨论了p 1 ，0 q 1 时单位园中b l o c h 型空间上 加权复合算子的有界性，同时给出了p 0 ，口0 时单位园中b l o c h 型空 间上加权复合算子的紧性条件。 研究与各种积分算子相关联的交换子在各类函数空间中的有界性是 十分活跃和热门的课题。m a r c i n k i w i c z 算子作为分析数学中一个重要的 积分算子，对它的研究一直是分析数学学者们十分感兴趣的问题。本文 第三章先引入了一类由m a r c i n k i w i c z 算子和b m o 函数构成的多线性交换 子，然后利用原子分解的方法证明了该多线性交换子在h a r d y 型空间中 的加权有界性。 关键词：b l o c h 型空间；加权复合算子；m a r c i n k i w i c z 算子；h a r d y 空 间 a b s t r a c t b l o c hs p a c e 口i so n eo ft h es p e c i a ls i t u a t i o no fb l o c ht y p es p a c e r e c e n t l y ， m a n yr e s e a r c h e r sa r g u e dt h a tt h eh o l o m o r p h i cf u n c t i o no nt h eu n i td i s ca n dt h e u n i tb a l lb e l o n g st ot h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n so fb l o c hs p a c ep b u t t h e r ea r ef e wl i t e r a t u r e so nt h ee q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z a t i o n so fg e n e r a lb l o c ht y p e s p a c e i nt h i sp a p e r ，c h a p t e ro n ed e s c r i b e st h ee q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z a t i o no fb l o c h t y p es p a c eo nt h eu n i tb a l l b yu s i n gi t ) an e wc o n d i t i o ni sg i v e n ，u n d e rw h i c h t h ec o m p o s i t i o no p e r a t i o nb e t w e e nb l o c ht y p es p a c eo nt h eu n i tb a l lw i l lb ea b o u n d e do p e r a t o r t h es t u d yo nt h ec o m p o s i t i o no p e r a t o r sc o n c e r n ss o m eo ft h e m o s tf u n d a m e n t a lt o p i c si nt h et h e o r yo fl i n e a ro p e r a t i o nb yu s i n gt h et h e o r yo f a n a l y t i cf u n c t i o n s a l s o ，i tc o n c e r n sm a n yc l a s s i c a lp r o b l e m so ff u n c t i o nt h e o r y b yu s i n gt h et h e o r yo fo p e r a t o r s i nt h el o n gc o u r s e ，m a n yr e s e a r c h e r so na n a l y t i c m a t h e m a t i c sh a v es o l v e dm a n yp r o b l e m si nt h i sf i e l d r e c e n t l y ，m r z h a n gx u e j u n s y s t e m i c a l l ye x p l o r e dt h eb o u n d e d n e s sa n dc o m p a c t n e s so fc o m p o s i t i o no p e r a t o r s a n dw e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r sb e t w e e nt h ep b l o c hs p a c e so nt h eu n i td i s c h ef u r t h e rs t u d i e dt h eb o u n d e d n e s sa n dc o m p a c t n e s so fc o m p o s i t i o no p e r a t o r s b e t w e e nt h el i t t l ep b l o c hs p a c e s ，b u tt h er e s u l t ，w h e np l ，0 q l ，h a s n o tb e e ng i v e n a l s o ，h eh a sn o to b t a i n e dt h er e l e v a n tr e s u l t so fg e n e r a lw e i g h t e d c o m p o s i t i o no p e r a t o r s i nt h i sp a p e r ，c h a p t e rt w od i s c u s s e st h eb o u n d e d n e s so fw e i g h t e dc o m p o s i t i o n o p e r a t o r sb e t w e e nb l o c ht y p es p a c e so nt h eu n i td i s c ，w h e np 1 , 0 冬q 1 a t t h es a m et i m e ，i tp r e s e n t st h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o no nt h ec o m p a c t n e s s o fw e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r sb e t w e e np - b l o c hs p a c e so nt h eu n i td i s c ，w h e n p 0 ，q 0 i ti s v e r yi n t e r e s t i n gt os t u d yt h eb o u n d e d n e s s f o rt h ec o m m u t a t o r sr e l a t e d t os o m ei n t e g r a lo p e r a t o ro nt h ef u n c t i o n ss p a c e s i nc h a p e rt h r e e jt h em u l t i l i n a r c o m m u t a t o rg e n e r a e db yt h em a r c i n k i w i c zo p e r a t o ra n dt h eb m 0f u n c t i o n sa r e i n t r o d u c e d ，a n da l s ot h ew e i g h t e db o u n d e d n e s sf o rt h ec o m m u t a t o ro nt h eh a r d y t y p e k e yw o r d s ：b l o c ht y p es p a c e ；w e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r ；m a r c i n k i w i c z o p e r a t o r ；h a r y d ys p a c e i i 论b l o c h 型空间及h a r d y 型空间上一些算子的有界性和紧性 绪论 对b l o c h 型空间的研究，无论单变量还是多变量情形已有很多结果， 其中对b l o c h 型空间的等价刻划也不断出现。 1 9 8 6 年，h o l l a n d w a s h 在文献 1 中证明了单位园d 上的一个全 纯函数属于b l o c h 空间的充要条件，他得到： 定理a ：若厂h ( d ) ，则，e 卢的充要条件为 ：，s u p w e dz # w ( 1 坩) ( 1 - i 删f 掣z 掣f z ， ， 一 2 0 0 1 年，n o w a k 在文献【2 中就c n 中单位球b 上讨论了同样的问 题，他证明了如下结果： 定理b ：右feh ( b ) ，贝ufe 的冗要杀仟力 s u p w e d 咖( 1 坩俄1 讪| 2 ) 5 f 糍船8 w ， z ，钾叫i 。一_ 叫l z j v ”i z 川 其中眦) = 蒂伽 ( 沪z 一鼍等叫 = 厅w ( 叫0 ) 就在最近，任广斌在文献【3 中就单位球的情形得到更好的结论，即 定理c ：若f h ( s ) ，则f 卢的充要条件为 ：s u p w e bz # w ( 1 荆汽1w p 訾 z ，i z 一叫l 众所周知，b l o c h 空间卢是b l o c h 型空间伊的一种特殊情形，那么 对于一般的b l o c h 型空间是否有类似的等价刻划呢? 可惜的是，到目前 为止还没有，即使最简单的单变量情形也如此。本文第一章的主要目的 就是给出单位球上b l o c h 型空间的等价刻划，同时给出单位球上b l o c h 型空间之间复合算子为有界算子的一种新的条件。我们给出的主要结果 为： 定理1 1 设0 p 。，则f 伊当且仅当f h ( b ) 且厶 2 时， ，2 ( 1 一i z l 2p 一1 ( 1 一i 叫1 2 ) p 一l f ( z ) 一f ( w ) l 知2 矿二t 羽面了矿可羽两f 丁 湖南师范大学高校教师硕士学位论文 复合算子的研究是解析函数论和算子理论结合的产物，复合算子的 研究是利用经典解析函数论中的结论探讨线性算子理论中的一些最基本 的问题，同时也利用算子理论作为工具研究函数论中的经典问题。复合算 子涉及许多领域且在各种问题中自然地出现。最近m a d i g a n 和m a t h e s o m 在文献( 4 和 5 中研究了d 上l i p s c h i t z 空间，b l o c h 空间和小b l o c h 空 间上复合算子q 的有界性和紧性问题，他们证明了。在b l o c h 空间上 总是有界的和q 在小b l o c h 空间上有界当且仅当妒在小b l o c h 空间中 等结论。史济怀和罗罗在文献 6 】中将单复变中b l o c h 空间上结论推广到 了c n 中的齐性域上。2 0 0 1 年o h n o 和赵如汉在文献 7 中就以单位圆为 支撑集的b l o c h 空间和小b l o c h 空间上讨论了加权复合算子的有界性和 紧陛。其他空间上复合算子的讨论也有不少结果( 如文献 8 - 1 2 ) 。就在 最近，张学军在文献 1 3 】中系统地讨论了b l o c h 型空间上加权复合算子 的有界性和紧性以及小b l o c h 型空间上复合算子的有界性和紧性问题， 得到如下主要结果： 足埋d ：议妒1 - 1 ( 1 2 j ，妒是u - - + u 日勺一i 、芏巩曰吠另习，贝ui 西，妒是 伊到卢a 的有界算子之充要条件为 当纠1 时，：￥d p 掣鬻 z 1 1 一i 石川一厂 。i ) 当。p 1 ，q 。时，妒卢。且! ￥暑生l 二j 舌e 兰杀掣 0 时，唧z e d 纠芈掣 0 ，妒是d 一d 的一个全纯自映射，则g 是 伊到卢。的紧算子之充要条件为：c 是伊到卢a 的有界算子且 f 妒耀，爿烈一o 不过上述定理d 没有给出情形p 1 ，0 q 1 时的结果，定理f 没 有给出一般加权复合算子的相应结果。本文第二章主要解决这个问题， 完善文献【1 3 】的结论，我们的主要结果为： 定理2 1设p l ，0 q 1 ，矽日( d ) ，妒为d d 的全纯自映 射，则码，妒为伊_ 卢a 的有界算子的充要条件为： s 锄u p 吲簪 和s 舢u p 器 同时成立。 论b l o c h 型空间及h a r d y 型空间上一些算子的有界性和紧性 定理2 2 设砂h ( d ) ，垆是d _ d 的全纯目映射，则巧，妒为伊。卢。 紧算子的充要条件是：砂。，砂妒卢a ，且 ( 1 ) 当0 p 1 ，口芝0 时，( 半) 式成立，且 i 妒譬黔，爿搿掣一o 研究积分算子在函数空间中的有界性和函数空间的刻划一直是分析 数学的中心问题之一。交换子就是其中重要的算子，其重要性在于交换 子可用于刻划函数空间，同时交换子在微分方程、非线性分析等方面都 有许多重要用途。研究与各种积分算子相关联的交换子在各类函数空间 中的有界性是近年来十分活跃和热门的课题。与奇异积分算子相关联的 交换子是一类重要的算子，其重要性在于该交换子可用于刻划函数空 间，同时，由于它与偏微分方程、c a u c h y 型积分等问题有关密切的联 系，而且又是一个非卷积型的c a l d e r o n z y g m u n d 算子，所以对这类算 子的研究是现代分析数学的热点问题之一( 见【1 7 ， 1 8 ) 2 3 ) 。二十世纪 七十年代以来，对这种交换子的研究十分活跃，并取得了非常丰富的成 果。与奇异积分算子相关联的交换子在扩空间中的有界性已经得到证 明( 1 p ) ( 见 1 8 】) ；然而，该交换子并不是弱( l 1 ，l 1 ) 型和( 日1 ，l 1 ) 型的，但是如果日1 被一个恰当的子空间研替代，则该交换子即为研 到l 1 有界性( 见 2 3 】) 。 m a r c i n k i w i c z 算子作为分析数学中一个十分重要的积分算子( 见 1 9 】， 2 2 ) ， 由于它与奇异积分算子有着密切的联系，因此对它的研究一直是分析数 学学者们十分感兴趣的问题，并且取得了一定的研究成果( 见 1 9 】【2 2 ) 【2 8 ) 。 源于对奇异积分算子的交换子的研究，启发了对与m a r c i n k i w i c z 算子相 关联的交换子的研究。2 0 0 2 年，c p e r e z 和r t r u j i l l o g o n z a l e z 提出了 奇异积分算子的多线性交换子的概念( 见【2 4 ) ，受此启发，本文第三章 提出了与m a r c i n k i w i c z 算子相关联的多线性交换子的概念，并将研究它 们在h a r d y 型空间中的有界性。我们得到的主要结果为： 定理3 1 设b j ( x ) b m o ( r “) ( 1 j 。m ) ，w ( x ) a 1 ，则多线性交换子 “q ( 川z ) 是从研( 叫) 到l f ( r n ) 有界的。 一3 一 湖南师范大学高校教师硕士学位论文 定理3 2 设( z ) b m o ( r 几) ( 1 j m ) ，w ( z ) a ，则多线性交换子 弘叫( 烈z ) 是从磁( 叫) 到现0 。( 咒“) 有界的。 一4 一 论b l o c h 型空间及h a r d y 型空间上一些算子的有界性和紧性 第一章b l o c h 型空间的一种等价刻划 1 1 问题的引进和定义 设b 表示c 扎中的单位球，d 为复平面单位园盘，日( j e 7 ) 表示b 上 的全纯函数类 对0 p o 。，定义b l o c h 型空间 卢p = ：f h ( b ) 且j j ，lj p = ，( o ) j + s u p ( 1 一j z l 2 ) pi v ( z ) l o 。) ， 其中v ，是，的复梯度 这样定义的伊是一个b a n a c h 空间，当p = 1 时为b l o c h 空间，当 0 p 1 时等同于l i p s c h i t z 空间人1 叩对b l o c h 型空间的研究，无论单 变量还是多变量情形已有很多结果，其中对b l o c h 型空间的等价刻划也 不断出现。 1 9 8 6 年，h o l l a n d w a s h 在文献 1 】中证明了单位园d 上的一个全 纯函数属于b l o c h 空间的充要条件，他得到： 定理a ：若厂h ( d ) ，则，卢( d ) 的充要条件为 。sup确1坩汽1刊iw6d2 ) 叫等掣wl 。 z ，z z 2 0 0 1 年，n o w a k 在文献 2 中就c n 中单位球b 上讨论了同样的问 题，他证明了如下结果： 定理b ：右，h ( b ) ，则f z ( b ) 的冗妥余仟为 s u p w 6 d 咖( - 荆崩- w 妒w 端笔 ，z ，z 叫一叫i z j 一5 叫v 叫i z j i 其中p w ( z ) = 三斧伽，q 叫( z ) = z 一三蒂叫，s 叫= 、百羽( 叫o ) 就在最近，任广斌在文献f 3 】中就单位球的情形得到更好的结论，即 定理c ：若h ( b ) ，则z ( b ) 的充要条件为 ：s u p w e b 硝1 制汽1 制p 警z z ，砷! 叫一l 众所周知，b l o c h 空间卢是b l o c h 型空间卢p 的一种特殊情形，那么对 于般的b l o c h 型空间是否有类似的等价刻划呢? 可惜的是，到目前为 止还没有，即使最简单的单变量情形也如此，本章主要解决这个问题。 一5 湖南师范大学高校教师硕士学位论文 1 2 主要结果与证明 本文中c 表示一个有限的正常数，c 不依赖于变量z ，叫但可以依 赖于某些参数，不同的地方可以代表不同的数，e 等价于f ( 表示为 e f ) ，即存在两个正常数c 1 ，c 2 使得c 1 e f c 2 e 定理1 1 设0 p ，则厂伊当且仅当，h ( b ) 且厶 2 时， f p = 删s u p w ez # w ( 1 - h 2 成1 制诤哗z 掣 z ，b ，一叫l ，2 ( z 一 z f 2p 一1 ( 1 一f 叫f 2 ) p 一1i 广( z ) 一厂( 叫) 1 p 一( 1 f z l 2p 一2 - 4 - ( 1 一f w l 2 ) , 一2f z 一叫f 证明：又寸v t 0 ，1 ) ，z ，叫b ，由于 1 一l t z + ( 1 一t ) w l 1 一t l z f 一( 1 一t ) 1 w f = ( 1 一) ( 1 一l 加f ) + t ( 1 一i z l ) 于是 _ 1 一j t z + ( 1 一t ) i ) p ( 1 一t ) ( 1 一l 叫1 ) + t ( 1 l z i ) ) p m i n 1 ，2 p - 1 ) ( 1 一t ) p ( 1 l 叫i ) p + t p ( 1 一l z l ) p ) 当0 p 2 时，由( 1 1 ) 式得： ( 1 1 ) ( 1 2 ) 上矿币责而出 7 0 丽= 巩f 亩再可嘶出 2 儿丽j 而 而i t f ( 1 可丽丽= 丽f 丽再t ( 1 丽优o ( 1 一t ) ( 1 一j 伽i ) +一j z l ) ) 暑 ( 1 一t ) ( 1 一j 叫i ) +一l zj ) ) g “ 上矿丽币= 丽瓦盯 孺 = 篙糕小叫屯嘞s 篇_ 固 其中b ( ，) 是b a t a 函数。 一6 一 论b l o c h 型空间及h a r d y 型空间上一些算子的有界性和紧推 当2 p 一弋1 吲7 1 訾骺等础器引篙蔫笋) 掣弋，+ 划名嵩剖产 一2 2 p - 1 ( 1 + 三1 【( ! 二! 兰! ：! ：二：! ! 二! 竺! ：2 ：卫 一 、。47 ( 1 一i 叫1 2p 一1 ( 1 一l z l 2p 一1 型! 掣7 1 吲篓驾型塑 ( 1 4 ) 二 2 ( 1 1 叫1 2p 一1 ( 1 1 2 1 2 ) p 一1 。 、7 如果f 卢p ，那么 1 一f t z + ( i t ) 叫 ) p i v f ( t z + ( 1 一t ) 叫) i l1 1 1 芦， 因为t z + ( 1 一t ) w = ( z 一叫) t + 训= ( z 1 一 w 1 ，z 2 一0 2 ，z n 一叫n ) t + ( w l ，w 2 ，w 几) ， 煎生导型= ( z ，一叫，两a f + ( 勿一叫2 瓦o f + - + ( z n 一例n 两a f ， 于是 訾=两1z w iz 0 1 + ( 1 刊出 i i z 一叫l 。， a t = 南, 0 1 黔n 一，学酬 一7 一 湖南师范大学高校教师硕士学位论文 两1i 塍zl z k - - w k 盟罢型旧 芒j ：1 喜k 一训2 ) _ 喜l 差1 2 ) 百出 = 南侉铲m ov 邢州m 旧 产1 = i v f t z + ( 1 一t ) 叫 id t t ，0 il f l l 胪：1 丌币批 ( 1 5 ) 由( 1 3 ) 一( 1 5 ) 式得易c | | f 岫 o o ，且当0sp 2 时 i f ( o ) l + i p 1 + 2 pb ( 1 一笔，1 一笔) ) i l f ll 胪； 当p 2 时 i f ( o ) l + i p 1 + ( 1 + 三) 2 2 p ) ，i i 卢， 反过来，假设，h ( b ) 且厶 0 0 成立对v z = ( z 。，z 2 ，z n ) b 和 t 0 ，1 ) ，我f f 取叫= ( 名l ，z 2 ，一，乃+ 1 ，t 乃，勺+ 1 ，一，名n )( 1 j n ) 贝0 l 掣| = 。蟀| 等掣h l i r a 一瞥 6 ， 如果0 p 2 ，由于 ( 1 - i 扪i 印一i 们i 扎等， 即 叭) 一，( z ) i ，j l d 矿乏厂矿可雨百研 于是，( 1 6 ) 式表明 f 掣协_ l i m 一两蠡= 南 当2 p 时，由于 篙器尝瞥， 即 i y ( z ) 一，( 训) i ，p ( 1 一l z l 2p 一2 + ( 1 一i 叫1 2 ) p 一2 1 f 丁盯1 羽两百 砰f 广 论b l o c h 型空间及h a r d y 型空间上一些算子的有界性和紧性 于是( 1 6 ) 式表明 | 掣协 l i m 一絮蜷斋筹= 南 因此， ( 1 一i z l 2 ) p f v ，( z ) = ( 1 一i z f 2 ) p o f ( z ) 2 + 一+ io a f z ( n z ) i2 ) 5 、瓦厶， 即 i ，( o ) i + s u p ( 1 一i z l 2 ) p i v f ( z ) i l ，( o ) i + 何厶何( i ，( o ) + ) ， 故f 卢p 且i i 川p ，办 i f ( 0 ) | + 厶) 设x ，y 是c n 中单位球上两个全纯函数空间，妒是b 到b 的全纯 自映射，定义x 到y 的复合算子o ： ( 厂) = fo 妒( f x ) 在复平面上伊空间复合算子已被研究( 如文献f 4 - 5 ，吼 1 a ) 。在多 复变情况下，史济怀和罗罗，周泽华等在文献 6 】 1 4 中给出了有关单位球 上卢或伊上复合算子有界性的刻划。在文献 1 4 中，对所有0 p ，q ， 周泽华给出了： 定理g ：如果s 。u b p 燃i 洲训 ，那么q ：伊_ 卢a 是有界 的，其中 i = 烬刊1 = i k = l1i 却盯i 批) i = j r r 尸( 彳) f j 运片j 足理1 1 ，我们司得如f 结论： 定理1 2 设0 p ，q ，且妒是单位球b 上的一个全纯自映射， 如果 。，叫bs，妒u。p，妒。叫，了1揣=m，。联即矧叫) 瓦赢旆刮 2 时， 而小两箝翳筹 湖南师范大学高校教师硕士学位论文 证明：设z ，叫卢，z 叫且f 伊。如果妒( z ) = 妒( 叫) ，那么 j ( q ，z ，叫) i o ( z ) 一g 0 - 厂( 叫) l = 0 i i 厂j l 胪 如果妒( z ) 妒( 训) ，男| j 么 j ( q ，z ，叫) o 厂( z ) 一g ，( 叫) i = 意茏讹毗咖) ) 训沪c , o i ( 叫) ：，叫b，s妒u(：p)妒(训)了1；易az厶cml t f ll 卢， 由定理1 1 知lj q 川卢。c m i i f l l z ， 一1 0 一 论b l o c h 型空间及h a r d y 型空间上一些算子的有界性和紧性 第二章b l o c h 型空间上加权复合算子的有 界性和紧性 设p 0 ，b l o c h 型空间伊定义如下： 矿= 厂：，日( d ) ，il f 恬= l f ( o ) j + s u p ( 1 一i z l 2 ) pi - 厂k ) i 1 吨s 舢u p 掣黼z z d l 上一i 妒ijl 。厂 ( i i ) 当。p ，g2 。时，矽9 且：￥暑塑二专掣翟铲 0 时，s u p z e d 蚓誓妒 0 ，妒是d _ d 的一个全纯自映射，则已是 伊到卢。的紧算子之充要条件为：g 是伊到卢。的有界算子且 鼎掣1 拶= 。 妒( 2 ) i _ l (一l 妒( z ) 1 2 ) p 不过上述定理d 没有给出情形p 1 ，0 g 1 时的结果，定理f 没 有给出一般加权复合算子的相应结果。本文第二章主要解决这个问题， 完善文献 1 3 的结论， 2 1 几个相关引理 引理2 1 ：若厂卢p ，贝4i ，( z ) j 证明：这是文献 1 3 】中引理2 3 幕2 僦p 暑1 弓i n2 2 ：若p ，口0 ，则昂，妒为伊_ 卢。紧算子的充要条件为：对 伊中任一有界列_ 乃) ，只要( 乃) 在d 中任一紧子集上一致收敛于0 ， 就有。i i ，妒乃= 0 证明：利用引理2 1 ，m o n t e l 定理和定义易证。 弓i n2 3 ：当0 p 0 ) ，则 m 胚p 五鬟 证明： 这是文献 1 6 中引理2 2 2 主要结果和证明 一1 2 一 p l p = 1 0 p 1 ，0 q 1 ，妒h ( d ) ，妒为d - d 的全纯自映 射，则，妒为伊_ p 。的有界算子的充要条件为 舢s u p 吲辫 1 ， 和 骝爿揣掣 。 ( 2 2 ) 同时成立 证明： 先证必要性，设，妒为伊_ 。的有界算子v w d ，作示性 函数 。、 m 刁2 端， 因 眦，2 南+ 纽等舻 以及 i 三兰坠i 1 ， l z 妒( 叫) l 于是 i 南+ 南= 赫， 故 ( 1 - i z l 2 ) pi 咒( z ) i ( p 十1 ) 专； 三带 0 以及满足 ( 勺) f - l ( j _ ) 的点列 z j ) cd 使得 爿篇群剑p 狐 6 ， ( 1 一l 妒( 乃) 1 2 二- 刈 - 令 眦，= 筹耘掣 设e 为d 上任一紧集，则存在常数0 r o及点列d 乃) c 满足i 妒( z a i 一1 _ co ) 和 “”4 一”。从7 洙列 爿1 蹦裂e o 。2 8 ， ( 一f 妒( 勺) j 2 ) p 一1 () 令。) 2 苦端，则经简单计算可知：f ) 在伊上有界且 慨妒吻怯享( 1 一盼) 。隅妒吻) 饧) = ( 1 一j 乃j 2 户。石一= 器+ 垒2 三三瓷錾刍之铲7 芝( 1 一f 乃f 2 ) 91 ( 币r 器一鱼 去 锵_ ， 论b l o c h 型空间及h a r d y 型空间上一些算子的有界性和紧性 再由( 2 8 ) 式及( 2 3 ) 式知，! 一i m 。f f 巧，妒吗。这与引理2 2 矛盾，故( 2 5 ) 式成立。 再证充分性： ( 1 ) 对0 p 0 ，| 0 0 ，j0 6 1 ，当 妒( z ) i i ，g 0 时，由于( 2 5 ) 式成立，则v e 0 ，j0 6 i ，当 妒( z ) i 5 时， 剖1 描裂p 5 时，由引理2 4 和( 2 9 ) ，( 2 1 4 ) 式有 ( i 一吲2 ) 9 f ( 孔，妒，j ) k ) i ( 1 - 阡i 川州i 南+ 吲等i i 易ll 卢， + e ( 2 1 5 ) 由( 2 1 0 ) ，( 2 1 5 ) 可得l i 巧，妒乃j00 _ ) ，故，妒为伊- p 。的紧 算子。 定理2 2 证毕。 一1 8 论b l o c h 型空间及h a r d y 型空间上一些算子的有界性和紧性 第三章h a r d y 型空间上m a r c i n k i e w i c z 算子的交换子 研究积分算子在函数空间中的有界性和函数空间的刻划一直是分析 数学的中心问题之一。交换子就是其中重要的算子，其重要性在于交换 子可用于刻划函数空间，同时交换子在微分方程、非线性分析等方面都 有许多重要用途。研究与各种积分算子相关联的交换子在各类函数空间 中的有界性是近年来十分活跃和热门的课题。与奇异积分算子相关联的 交换子是一类重要的算子，其重要性在于该交换子可用于刻划函数空 间，同时，由于它与偏微分方程、c a u c h y 型积分等问题有关密切的联 系，而且又是一个非卷积型的c a l d e r o n z y g m u n d 算子，所以对这类算 子的研究是现代分析数学的热点问题之一( 见 1 7 ， 1 8 ， 2 3 ) 。二十世纪 七十年代以来，对这种交换子的研究十分活跃，并取得了非常丰富的成 果。与奇异积分算子相关联的交换子在妒空间中的有界性已经得到证 明( 1 p 2 ) 的单位球面，并且具有l e b e s g u e 测度d a = d a ( x 7 ) 。设q 是零度齐次函数，且满足下面的两个条件： ( i ) q ( z ) 在s 卜1 上是连续的，且在铲_ 1 上满足l i p q ( 0 1 ) 条件 i q ( z7 ) 一q ( 可引m i x 7 一y l i 。，z 7 ，y 7 s n 一1 ； ( i i ) fa ( x 7 ) 如7 = 0 。 则m a r c i n k