（基础数学专业论文）具有常曲率的finsler空间以及l可约的finsler空间.pdf

独创性声明 y9 0 2 0 6 3 学位论文题目：县直鲎些奎的里i 垒! ! ! ! 空闻丛丛 生二互约曲里i 旦! ! ! ! 窒间 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西南大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者童殷 签字日期：0 6 年争月珥日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院可以将学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：韧不保密， 口保密期限至年月止) 。 一 一fib 学位论文作者签拳：童硅 导师签名： ，至，丫l 签字日期：。6 年中月五f 日 签字日期： p 6 年妒月声p 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：重廑短菹太堂 电话： 通讯地址：重垣数堂皇让簋扭牡堂堂院 邮编 40 0 0 4 7 具有常曲率的f i n s l e r 空间以及 l 一可约的f i n s l e r 空间 基础数学硕士研究生 指导教师 摘要 童殷 王佳教授 具有常曲率的f i n s l e r 空间一直是f i n s l e r 几何研究的重点之一近年来，d b a o 和沈忠民先 生对常曲率空间分类工作作出了重要贡献，消除了困扰我们多年的疑惑，很大地提高了对常曲率空间 的认识，并再一次把研究具有常曲率的f i n s l e r 空间推向热潮，其中，有一个问题引起了一些f j n s l e r 几何学家的兴趣在二十世纪八十年代，法国数学家h a k b a r z a d e h 发现具有常曲率a 的f i n s l e r 空间一定满足方程l ：o + a f 2 c = 0 自然地就问，满足方程lo + a f 2 g = 0 的f i n s l e r 空间是 否具有常曲率本文首先就是针对这个问题展开的讨论，主要获得以下结论： 定理3 3 ( m ，f ) 是佗( 3 ) 维的f i n s l e r 空间如果f 满足方程l ：o + c ( z ) f 2 c = 0 且 具有标量曲率k = k ( z ，) ，则存在标量函数；( z ) 使得k ：c ( z ) + p ( z ) e 蔓筹产 定理3 4 ( m ，f ) 是扎( 3 ) 维的f i n s l e r 空间如果f 满足方程l ：o + k ( z ，y ) f 2 c = o 且具有标量曲率k = ( 。，可) ，则k 为常数，即( m ，f ) 是具有常曲率的f i n s l e r 空间 定理3 5n ( 3 ) 维非r i e m a n n 的f i n s l e r 空间( m ，f ) 满足方程lo + k ( z ，g ) f 2 c ： 0 ( m ，f ) 是具有常曲率的f i n s l e r 空间当且仅当( m ，f ) 具有标量曲率k = k ( z ，) 在此情况 下，k = ( z ，g ) 是常数 定理3 6 ( m ，f ) 是完备的礼( 23 ) 维f i n s l e r 空间 f 满足方程lo + c f 2 c = 0 ，其中 c 为负常数若c a r t a n 挠率c 有界，则( m ，f ) 是r e i m a n n 空间 定理3 7 ( m ，f ) 是n ( 3 ) 维的射影平坦的f i n s l e r 空间，如果 。k 和k 都关于j ，对 称，则( m ，f ) 是常曲率空间更进一步，如果( m ，f ) 是非零常曲率空间，则( m ，f ) 是p d e m a n n 空间 推论3 8l i ：j ：女关于i ，j ，k 对称的射影平坦的f i n s l e r 空间( m ，f ) 是具有常曲率的在此 情况下，以：k = 0 接着，本文还研究了l 一可约的f i n s l e r 空间的性质 m m a t s u m o t o 定义了c 一可约的 f i n s l e r 空间，并得到了它的分类 c 一可约的f i n s l e r 空间一定是l 一可约的f i n s l e r 空间，但 是，反过来就不一定成立本文是凭借c a r t a n 挠率和l a n d s b e r g 曲率的紧密联系，实现了l 一可 约的f i n s l e r 空间向c 一可约的f i n s l e r 空间的转化，主要获得以下结果： 定理4 2( m ，f ) 是具有迷向l a n d s b e r g 曲率的f i n s l e r 空间( m ，f ) 是l 一可约的当 且仅当( m ，f ) 是c 一可约的在此情况下，f 是r a n d e r s 度量且其d o u g l a s 曲率d = 0 命题4 3 如果l 一可约f i u s l e r 空间( m ，f ) 具有常曲率k ，则一定是g 一可约的 命题4 4l 一可约的f i n s l e r 空间( m ，f ) ，如果满足方程l 00 + 七( z ，) g = 0 ，其中 ( z ，a y ) = a s ( z ，) ，就一定是c 一可约的 定理4 5l 一可约f i n s l e r 空间( m ，f ) 如果具有标量曲率k = k ( z ，) ，则一定是c 可约的，并且 =南( 以：o + 譬( n + 1 ) ) 关键词： f i n s l e r 度量 c 一- i nl 一可约标量曲率 常曲率 2 f i n s l e rs p a c e sw i t hc o n s t a n t c u r v a t u r ea n dl r e d u c i b l ef i n s l e r s p a c e s m a j o r ：b a s i cm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t y ：d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y s u p e r v i s o r ：p r o f w a n gj i a a u t h o r ：t o n gy i n ( s 2 0 0 3 5 3 3 ) a b s t r a c t f i n s i e rs p a c e sw i t hc o n s t a n tc u r v a t u r ea r ea l w a y st h ef o c u so ff i n s l e rm e t r i cs t u d y r e c e n t l y ，d b a oa n dz s h e nh a v eag r e a tp r o g r e s so nt h ec l a s s i f i c a t i o no ff i n s l e rs p a c e s w i t hc o n s t a n tc u r v a t u r et h e ye r a s es o m ep r o b l e m st h a tc o n f u s eu sm a n yy e a r ss ot h a t w ec a nh a v eab e t t e ru n d e r s t a n d i n go ff i n s l e rs p a c e sw i t hc o n s t a n tc u r v a t u r et h e i r w o r k sm a k et h es t u d yo i lf i n s l e rs p a c e sw i t hc o n s t a n tc u r v a t u r eb e c o m et h eh o tt o p i c a g a i n i nt w e n t ye i g h t i e t h ，h a k b a r - z a d e h ，af r e n c hm a t h e m a t i c i a n ，f o u n dt h a tf i n s l e r s p a c e sw i t hc o n s t a n tc u r v a t u r eam u s ts a t i s f yl ：o + a f 2 c = 0 n o wt h er e v e r s ep r o b l e m i n t e r e s t ss o m em a t h e m a t i c i a n s ，t h a ti s ，w e t h e rf i n s l e rs p a c e ss a t i s f y i n glo + a f 2 c = 0 a r eo fc o n s t a n tc u r v a t u r e i np r e s e n tp a p e r ，i ts t u d i e st h ep r o b l e mf i r s ta n do b t a i n st h e f o l l o w i n gr e s u l t s t h e o r e m3 3l e t ( m ，f ) b eaf i n s l e rs p a c eo fd i m e n s i o nn ( 3 ) i ffi so fs c a l a r c u r v a t u r ek = k ( x ，y ) a n ds a t i s f i e sl ：0 + c ( z ) f 2 c = 0 ，t h e nt h e r ei saf u n c t i o np ( x ) o n ms u c ht h a tk ：c ( z ) + p ( z ) e 鲁铲 t h e o r e m3 4l e t ( m ，f ) b eaf i n s l e rs p a c eo fd i m e n s i o nn ( 3 ) i ffi so fs c a l a r c u r v a t u r ek = k ( z ，y ) a n ds a t i s f i e sl ：o + f 2 c = 0 ，t h e nk m u s tb eac o n s t a n t ，t h a t i s ，( m ，f ) i so fc o n s t a n tc u r v a t u r e 3 t h e o r e m 3 5 ( m ，f ) i san o n - r i e m a n n i a nf i n s l e rs p a c eo fd i m e n s i o nn ( 3 ) a n d i ts a t i s f i e sl ：0 + k ( x ，y ) r 2 c = 0 ( m ，f ) i so fs c a l a rc u r v a t u r ek ( 。，) i fa n do n l yi f ( m ，f ) i so fc o n s t a n tc u r v a t u r e i ns u c hc a 8 e ，k = k ( z ，y ) i sac o n s t a n t t h e o r e m3 6 l e t ( m ，f ) b eac o m p l e t ef i n s l e rs p a c eo fd i m e n s i o nn ( 三3 ) ，i t s a t i s f i e slo + c f 2 c = 0 ，w h e r ec 0 ，y v ( c ) 对任意的0 y v ，在v 上的基本形式g y 是非退化的，其中 帆沪互1 丽0 2 似y + s u + t v ) 忆r 0 这时( v l ) 称为一个m i n k o w s k i 空间如果对任意的y v 都有l ( 一y ) = l ( g ) ，则称l 是对称的 现在令 e 。) 翟l 为y 的一个基，y = 矿岛，y 。r ”，取 ( ) = j 1 骊a 2 l ( ) 则有 蛳( 札， ) = ( 可) “。矿 其中“= “。e 。v = v j e j 由l 的齐次性则 l ( y ) = g , j ( y ) y y 注意到行列式d e t ( g j ) 的符号在v ( o ) 上是不变的，则可定义 ，1 i fd e t ( g i j ) 0 i n d ( l ) = 。一1 i ，d e t ( g i 3 ) 0 ， y v o ) 这时称l 为正定的m i n k o w s k i 范数，( ul ) 是正定的m i n k o w s k i 空间通常用 。 f ( v ) = 三( ) 表示正定的m i n k o w s k i 范数下面均用f 表示正定的m i n k o w s k i 范数 设m 是一个n 维流形，t m 上的函数f ( z ，y ) 称为f i n s l e r 度量如果f 满足 ( a ) f ( z ，y ) 在7 1 m o ，上是c ”的； ( b ) 对v y v ，咒( ) = f ( x ，y ) 是咒m 上的m i n k o w s k i 范数，即 j ) f 关于是正1 阶齐次的，即 f ( a ) = a f ( v ) ，a 0 ，y v i i ) 对任意的0 y v ，在v 上的基本形式g y 是非退化的，其中 以u ，”) ：；蕊0 2 一y + s u + t v ) f z ( y - fs u + t v ) f 蜘o ”) ：j 丽 l 。 此时称( m ，f ) 为f i n s l e r 空间 对v0 y m ，p m ，f 在耳m 上诱导了如下的一个内积9 ，定义： 吼( 邺) 29 t ，( 啪) u v = j 1 蝌脚，咖， 其中z = ( 矿) 表示p m 的坐标，( z ，y ) = ( ，v i ) 表示y l m 的局部坐标 其次介绍f i n s l e r 空间( m ，f ) 中的一些重要的几何量的定义 对任一非零向量y l m ，定义c a r t a n 挠率为： q = ( ( 。，y ) d x 4 d x j d 扩：耳m m 耳m + r ， 其中 叫啪) = ；器n 定义平均c a r t a n 挠率为 毛= l i ( x ，y ) d x 2 ：弓m r ， 其中 i = o 。j k * = 耕n 厢丽 _ ( 2 - ) 定义m a t s u m o t o 挠率： 螈= 尬j k ( 。，y ) d x 。圆耐固d x 2 ：m 耳m o 耳+ r 其中 帆 ：2 一南 z , h 3 + 驰k + i k h o 如果m = 0 ，则称f 是c 一可约的 假设c ( t ) 为( m ，f ) 的一条参数曲线，若它满足测地方程 纂埘电睁，) 扎 其中 ( ；= = ；9 训 j 一2 。：k f 2 。) ， 则称c ( t ) 为测地线，g 。为f 的测地系数其中( g “) 表示( 鳓) 的逆矩阵 定义 g 叫刍一z g 伽) 未， 则这个向量场是整体定义在切空间t m 上的从f 的齐次性我们有 g t ( z ，a ) = 入2 g 2 ( z ，) ，入 0 ， 我删杯“力，1 历导的一个- i n s l e rs p r a y 令 嵋( 剐) = 型o y j ( 蛳巧。( 舢) = 黑0 y o y ( 删) ) 我们称嵋为f 的联络系数，q 为f 的c h r i s t o f f e l 符号 令 矿r m 一礼岛，杀) ， y = 矿丽0 ； h t m ：印。n 矗，嘉) 1 志= 丽0 一孵旦o y k 巧z la z i 1 、 则称v t m 为t m 0 上的垂直切从，h t m 为水平切从，y 是v t m 上的垂直径向 量场于是 g ：2 嘉 是h t m 上的水平切向量场 对于任意的f i n s l e r 度量f ，都有 f k 筹= 0 ( 2 2 ) 因此 g ( l ) = f 。弘5 l = o 定义b e r w a l d 曲率为 岛= 彤捌咖， 出2 出。 珏0f ：m 蜀m 固t p m - - 。t p m ， 其中 ( 贯，g ) = 丽0 3 g i ( 。，g ) 宗义平均b e r w a l d 曲率为 其中 其中 e v = 玛k d 矿固d x 。：7 ；m 圆7 ；m 一兄， 马* ( 圳) = ；吩。( 剐) 如果b = 0 ，则称f 为b e r w a l d 度量如果f = 0 ，则称f 为弱b e r w a l d 度量 定义l a n d s b e r g 曲率为 k = l 竹d 矿。甜 d x k f 。：t p m t p m 圆t p m r ， l i j k ( z ，) = 一j 1 可r n 2 ( 。，g ) 砚k ( z ，可) 】2 抄北”) 器( z 定义平均l a n d s b e r g 曲率为 也= d 矿：耳m 一+ r ， 如果l = 0 ，则称f 为l a n d s b e r g 度量如果j = 0 ，则称f 为弱l a n d s b e r g 度量 对于c a r t a n 挠率，l a n d s b e r g 曲率和平均b e r w a l d 曲率有以下关系成立： 萨一；：= 州矿， = t ：k y ， e 口= ；( l 。+ j )( 2 3 ) 在b e r w a l d 曲率的基础上，j d o u g l a s 引入了d o u g l a s 曲率： d v = 巧削出 d z 圆如 杀：b m 耳m t p m - + t p m ， 定义为 。i j k l - - 丽0 3 i i ， ( 24 ) 其中 。= g 。一击而o g m 旷 ( 2 5 ) 如果d = 0 ，则称f 为d o u g l a s 度量如果f i n s l e r 度量f 既是d o u g l a s 度量又是 l a n d s b e r g 度量，那么它还是b e r w a l d 度量 定义r i e m a n n 曲率为 嘞= r ：d x k 丽0 ：t p m t p m ， 其中 哦= 2 丽o g i 一淼卅2 伊筹一面o g i 可o g j ( 2 6 ) r i e m a n n 曲率的迹 r i c ( z ，y ) = ( n 1 ) r ( g ) = 冗篡( z ，y ) ， 1 3 七 一v l 仆 9 一一 中其 称为r i c c i 曲率 兄= 兄( z ，y ) = 甚i r i c ( x ，y ) 称为r i c c i 标量 定义f 为局部m i n k o w s k i 度量，若f 满足且= 0 ，r = 0 这时( m ，f ) 称为局部 m i n k o w s k i 空间 对一个二维平面pc 耳m 和0 y 耳m 定义旗曲率为 郴沪而而嚣篙， 其中p = s p a n y ，“) ，显然k = 0 错r = 0 如果k ( p 】) = k ( x ，g ) ，即k ( p y ) 与所 选平面无关，只与p m 和0 y b m 有关，则称f 具有标量曲率k = k ( x ，9 ) 在 一个局部坐标系下，这等价于 哦= k f 2 ( 畦一1 f y f k i ) = k f 2 ( 6 ；一p k ) = f 2 能 ( 2 7 ) 如果k 是一个常数，那么我们称f 具有常曲率k 定义w e y l 曲率为 = 唧执甜t p m t p m ， 其中 呱叫一击豢v 2 ； a ；= r ：一r 畦 沈忠民于1 9 9 7 年引入s 一曲率，令 丁：跏丝垫! ：，唑 口f t , zj 其中( z ) = 瓦磊意南砸i ，u n 是欧氏空间单位球的体积，b ：2 ( 矿) 俨，f ( 可4 q ) 0 ，庐( s ) 一s 7 ( s ) ，妒”( s ) 0 ， vj s isr 则( ) 是正定的，且f 是f i n s l e r 度量 注意在本文中采用e i n s t a i n 求和约定；文中的”表示f 关于b e r w a l d 联络的水平 协变导数；”表示关于y 的垂直协变导数；y i = q i i y ， ”= f ：g i j f 。f ，p = 簪，f 。= 毛z = 警= 击g 。y “，h = 6 ：一f k f 。 1 6 三、具有常曲率的f i n s l e r 空间 在f i n s l e r 几何中存在若干重要的几何量，如r i e m a n n 几何量：旗曲率，r i c c 盐率； 非r i e m a n n 几何量：( 平均) c a r t a n 挠率，( 平均) l a n d s b e r g 曲率，s 一曲率等r i e m a n n 几何量是r i e m a n n 几何中相应几何量的自然拓广，非r i e m a n n 几何量在r i e m a n n 空间 中都是等于零的我们说，r i e m a n n 几何量刻划空间的形状，而非r i e m a n n 几何量则 是空间中多姿多彩的颜色已有的研究表明，旗曲率和非r i e m a n n 几何量有着密切的联 系这部分首先针对h a k b a r z a d e h 发现的定理；具有常曲率c 的f i n s l e r 空间一定满 足方程l o + c f 2 c = 0 ，讨论满足方程lo + c f 2 c = 0 的f i n s l e r 空间的性质以及使它成 为常曲率空间的条件；然后讨论了在特殊曲率条件下的常曲率空间，得到一些有意义的 结论下面介绍两个引理 引理3 1 ( 4 3 】) 具有标量曲率k = ( z ，y ) 的n ( 3 ) 维的f i n s l e r 空间( m ，f ) ，若 k = k ( z ) ，则k 为常数，即( m ，f ) 是具有常曲率的f i n s l e r 空间 引理3 2 ( 1 4 3 ) f i n s l e r 度量f 是r i e m a n n 度量当且仅当，= 0 ，或c = 0 定理3 3 ( m ，f ) 是n ( 三3 ) 维的f i n s l e r 空间如果f 满足方程l ：o + c ( x ) f 2 c = 0 且具有标量曲率k = k ( z ，) ，则存在标量函数p ( z ) 使得k = c ( 茁) + p ( z ) e 兰牟掣 证明：由标量曲率的定义很容易得到，在局部坐标系下r i e m a n n 曲率具有如下形 式： 哦= f 2 慨一 ( 31 ) 。于是奄 嚼= ( 1 1 , 一1 ) k f 2( 3 2 ) 分别对( 3 1 ) ，( 3 2 ) 关于y 。作垂直协变微分，可以得到 兄；f = f 2 k d 5 ：一l * l k ) + k ( 2 y l 援k g k i y 2 一姚町) r 2 l = m 一1 ) 严k l + 2 0 z 一1 ) k 玑( 3 3 ) r 淼= f 2 k 一( 凡一1 ) k y k ( 3 4 ) 由( 3 3 ) ，( 3 ，4 ) 计算可得 一3 1 。2 。m n + 磁f ) = 一；( 礼+ 1 ) f 2 k f ( 3 - 5 ) 1 7 利用r i c c i 恒等式 如胁”+ m 研：一扣n 码i 易m _ r zz 一扣m 啄一；9 j m 鼹，uui ， 关于护缩并有 o + k r 孑= ：o + k f 2 厶= 一 2 r m m + 碟r ) ( 36 ) 由已知条件l0 + c ( 。) f 2 c = 0 有， l i j k o + 4 z ) f 2 c 蕊= 0 对上式用g i ，作缩并有， 以o + 4 x ) f 2 = 0( 37 ) 将( 36 ) ，( 3 7 ) 带入( 35 ) 即得 了n + l kk + ( 一c 扛) ) 厶= o( 3 8 ) 从( 21 ) ，( 2 8 ) 式可以看出i k = f k ，于是( 3 8 ) 化为 学k m + ( k c ( 。) ) 仉= 。 ( 3 9 ) ( 3 9 ) 式意味着 ( k c ( z ) ) 孚e 7 】矿= ( 一c ( z ) ) 孚e 7 ! k t + ( k c 扛) ) n = 。， 也就是说，( k c ( z ) ) ! 字旷与目t m 无关于是存在函数p ( z ) 使得 k ：c ( z ) + 户( 2 ) e 岳铲， 于是定理3 3 得证 定理3 4 ( m ，f ) 是n ( 3 ) 维的f i n s l e r 空间如果f 满足方程上o + k ( z ，y ) f 2 g = 0 且具有标量曲率= ( z ，g ) ，则为常数，即( m ，f ) 是具有常曲率的f i n s l e r 空间 证明：由引理3 1 可得，要证k 为常数，只需证明= ( 茁) 从定理3 3 的证明过程里，将( 3 8 ) 式中的c ( x ) 换为，则有k = 0 ，这等价于 = f z l 1 8 定理3 4 得证 由定理34 我们容易得到 定理3 5n ( 之3 ) 维非r i e m a n n 的f i n s l e r 空间( m ，f ) 满足方程l ：o + 耳( z ，y ) f 2 c = 0 ( m ，f ) 是具有常曲率的f i n s l e r 空间当且仅当( m ，f ) 具有标量曲率k = k ( z ，) 在 此情况下，k = k ( x ，y ) 是常数 证明：充分性见定理3 4 必要性假设( m ，f ) 是具有常曲率的f i n s l e r 空间，不妨设其具有常曲率c 于是有 方程：0 = 一c f 2 c b 成立，将此方程带入五：0 + k ( x ，y ) f 2 c = 0 ，得到 ( ( z ，y ) c ) c = o ( 3 1 0 ) 显然的，( 肘，f ) 具有常曲率c 就一定具有标量曲率c 因为( m ，f ) 不是r i e m a n n 空 间，所以c a r t a n 挠率g 0 由( 3 1 0 ) 可得k ( x ，y ) 一c = 0 ，于是k = k ( x ，y ) = c ，即 ( m ，f ) 具有标量曲率k = k ( x ，) 定理3 5 得证 定理3 6 ( m ，f ) 是完备的几( 3 ) 维f i n s l e r 空间f 满足方程lo + c f 2 c = 0 ， 其中c 为负常数若c a r t a n 挠率c 有界，则( m ，f ) 是r e i m a n n 空间 证明：选择以弧长为参数的测地线c ( t ) ，以及沿测地线平行的的向量场v 2 ( 6 ( ) ) 鑫 由( m ，f ) 的完备性知道c ( ) 是定义在( 一0 0 ，o o ) 上的取 c ( t ) = ( ( ) ( t ) 旷( t ) p ( t ) y 2 ( t ) ， l ( t ) = l i j k ( q ( t ) v 。( t ) p ( t ) v “( t ) ， q = 北( ) ( y 0 ) ，v ( t ) ) 由v ( t ) 的平行性可得q 是正常数由l ：o + c f 2 c = 0 以及( 2 3 ) 的第一式可得， c ”( t ) 十c c ( t ) = 0 求解这个二阶常微分方程得到， c ( t ) ：。型：錾堕+ 6 型掣 一ec 显然有a 0 或b 0 时，c ( t ) 在( 一。，0 0 ) 上是无界的因为c a r t a n 挠率c 有界，即 = 邮瑚s ，u p v ( t ) e t m 丽v 裂tv 丽t ) o 。， j ( t ) o ，、l 舵( ( j ，【川2 。 所以 l c ( t ) fsi | g f | q ； 0 0 ， 与c ( t ) 在( 一。，o 。) 上是无界的矛盾于是得到，a = 0 ，b = 0 ，c ( t ) = 0 最后，由单位测地线c 和沿c 的平行向量场v ( t ) 的任意性可得， c i ，e = 0 ，也就是 说，( m ，f ) 是r i e m a n n 空间定理3 6 得证 定理3 7 ( m ，f ) 是n ( 3 ) 维的射影平坦的f i n s l e r 空间，如果厶：舭和易r 都关 于j ，对称，则( m ，f ) 是常曲率空间更进一步，如果( m ，f ) 是非零常曲率空间，则 ( m ，f ) 是r i e m a n n 空间 证明：我们知道重要的r i c c i 恒等式 于是就有 即，。，i ? k 关于i ，k 是对称的，再运用厶，k 关于j ，k 的对称性，有 啄：k 晚 即e i j k 关于k ，j 对称又因为关于i ，j 是对称的，所以e 0k 关于i ，j ，k 都是对称的 由于匠m 关于z ，j ，k 对称且射影平坦的f i n s l e r 空间一定是具有常曲率的，从而( m ，f ) 是常曲率空间 更进一步，若( m ，f ) 具有常曲率c 0 ，则满足方程l ：。+ c f 2 c = 0 ，于是z o + c f 2 j = 0 由j j ：o = 也：k y = ：j y = 0 ，c 0 ，有，= o ，即( m ，f ) 是r i e m a n n 空间定理37 得证 推论3 8 厶：m 关于i ，j ，对称的射影平坦的f i n s l e r 空间( m ，f ) 是具有常曲率 的在此情况下， k = 0 + k k 山 五 十 一 一 k 叭 ， j ，r j k i i(，卜 12l一2 一 卜 曲 l 乃丘 + 一 ， 7 ，【，l 四、l 一可约的f i n s l e r 空间 在二十世纪七八十年代，e t 本数学家m m a t s u m o t o 对具有常曲率的r a n d e r s 空间 做了大量的工作，在此期间，他引入了一个重要的几何量，m a t s u m o t o 挠率容易验证， 每个r a n d e r s 度量都有m = 0 事实上m a t s u m o t o 挠率可以用来刻划r n a d e r s 度量 引理4 1 ( 2 1 ) 对于巩( 23 ) 维f i n s l e r 空间( m ，研，l 是g 一可约的当且仅当三是 r a n d e r s 度量或k r o p i n a 度量当l 是正定的f i n s l e r 度量，l 是r a n d e r s 度量；当l 是不定的，l 是k r o p i n a 度量 g 一可约的f i n s l e r 空间有如此美妙的性质，考虑到c a r t a n 挠率和l a n d s b e r g 曲率 有密切的联系，就可以类似定义l 可约的f i n s l e r 空间，研究它的性质于是就有了 定义4 1 礼维f i n s l e r 空间( m ，f ) 称为是l 一可约的，如果它满足下述条件： ( i ) ( m ，f ) 不是弱l a n d s b e r g 空间； ( i i ) ( m ，f ) 的l a n d s b e r g 曲率具有如下形式： 1 l 巧k2 赢( h t j j k + k + h k i j 3 ) 根据定义很容易推断，g 一可约f i n s l e r 空间一定是l 一可约的反过来就不一定成 立了这一节的主要内容是寻找一可约f i n s l e r 空间和a 一可约f i n s l e r 空间的关系， 实现l 一可约f i n s l e r 空间向a 一可约f i n s l e r 空间的转化 首先，我们有 定理4 2 ( m ，f ) 是具有迷向l a n d s b e r g 曲率的f i n s l e r 空间( m ，f ) 是l可约 的当且仅当( m ，f ) 是a 一可约的，在此情况下，f 是r a n d e r s 度量且其d o u g l a s 曲率 d = 0 证明：充分性显然 必要性假设f i n s l e r 空间( m ，f ) 是l 一可约的，则有 1 l 巧2i 备( h j _ j j k + k + h 觚j j ) ( 4 1 ) 又( m ，f ) 具有迷向l a n d s b e r g 曲率，也就是说存在函数c = c ( x ) 使得 k + c f k = 0 ( 4 2 ) 将( 4 1 ) 带入( 42 ) 有 。f c , j k2 一i 备( 。以+ b + 觚五) ， ( 43 ) 2 】 对上式用户缩并，得到 c f i k = 一巩f 4 4 ) 将( 44 ) 带回( 4 3 ) 化简得 1 g ，萨斋( + h j 女五+ h k i i j ) - 由定义可得，( m ，f ) 是g 一可约的 由f 的正定性以及引理41 可得( m ，f ) 是r a n d e r s 空间我们知道任何具有迷向 l a n d s b e r g 曲率的g 可约f i n s l e r 空间，都有d o u g l a s 益率d = 0 ，定理4 2 得证 命题4 3 如果l 一可约f i n s l e r 空间( m ，f ) 具有常曲率k ，则一定是g 可约的 证明：具有常曲率的( m ，f ) 一定满足方程 l i j k ：o 十k f 2 ( 乃= 0 ( 4 5 ) ( m ，f ) 是l 一可约的就满足方程( 41 ) ，对( 4 1 ) 做水平协变微分并关于可缩并，注意到 h o ：0 = 0 ，雠 ：o = 0 ，整理得到 1 正口枷2 ；i 1 ( “。，以：o + 以。+ 航易：o ) t ( 46 ) 将( 4 6 ) 带入( 4 5 ) 得 f 2 c , j = 一击( 以：。+ h j k j , ：。+ h k , j j ：。) ， ( 4 7 ) 用矿作缩并得到 。j k l o = 一k 酽i k 将上式带回( 4 7 ) 化简，很容易看出( m ，f ) 是g 一可约的 从定理4 2 和命题4 3 的证明过程，用数学归纳法很容易证明 命题4 4 三一可约的f i n s l e r 空间( m ，f ) ，如果满足方程l ：0 ：0 + k ( x ，y ) c = 0 ，其中 七( z ，a ) = a 3 k ( x ，f ) ，就一定是c 一可约的 命题43 说明三一可约的常曲率f i n s l e r 空间是c 一可约的，那么，自然地就会提 出，l 一可约的具有标量曲率的f i n s l e r 空间是否是g 一可约的下面这个定理将会给 出一个肯定的回答 定理4 5l 一可约f i n s l e r 空间( m ，f ) 如果具有标量曲率k = ( z ，可) ，则一定是 c 可约的，并且i k = 一南 以：o + 譬( n + 1 ) gk ) ， 证明：( m ，f ) 具有标量曲率k ，即 作垂直协变微分得到 于是有 哦= k f 2 峨 r ；f = f 2 kz ( 畦一l 。如) + k ( 2 y f 6 ：一g k t y 。况) k , ( 2 y j 6 ；一g k j y 。一g 配) + k j ( 2 y f 6 ：一g k z y 。一k 唧) 十f 2 瓜，z ( 畦一f2 k ) + k ( 2 9 一6 ；一2 c k j l y 2 一g “彭一g k s t ) ( 4 8 ) = ；( 砚 一。) = 等( 2 城一易k y 4 - y k p 一等( 2 婀嘞萨鹕) + 竽砌；一竽粥j 憾渤畦咄孙k ( g j z 蜈嘞鳓 弓捌f ：；k j ( f 。畦一玑矿) + ：k ( f 2 y o + k ( 髭一卯k 矿) ( 49 ) 对重要的r i c c i 恒等式 知碥扣鼹z 用y 。作缩并得到 l i j k ：t y l ：- - g ，磋一兰2 y n p j 础i k l y 一互1 嘶啄2 将( 4 8 ) ，( 4 9 ) 带入( 4 1 0 ) 计算得到 = 一等吼* 一等f 2 h k - 等确巧一f 2 t 由( m ，f ) 是l 一可约的有( 4 6 ) 式成立，将( 4 6 ) 式带入( 4 1 1 ) 整理得 f 4 1 0 ) ( 4 儿) 一f 2 c b = 雨1 ( “以：。+ 旦f 2 k t ) + ，m ( 。+ 半f 2 k t ) 地。( 如。+ 孚f 2 酬( 删 对上式用萨缩并，注意到k 是0 阶正齐次的，整理得到 以：o + ! ! ：f 2 kk = 一k f 2 厶，( 4 1 3 ) 将( 41 3 ) 带回( 41 2 ) ，可以得到( m ，f ) 是g 一可约的定理4 5 得证 值得注意的是，定理4 2 和定理4 , 5 中，在l 一可约的前提下，条件f i n s l e r 空间 ( m ，f ) 具有迷向l a n d s b e r g 曲率与具有标量曲率k = k ( z ，y ) 可能同时成立事实上有 例4 6 为证为方便例4 6 的计算，我们先介绍两个重要的引理 引理4 6 ( ( 4 4 ) 假设 ( 1 ) 矩阵( q 巧) 为一凡阶的可逆复方阵，其逆记为( q 玎) ； ( 2 ) 存在复数c a 。，使得一= q ”c 。，j = 1 ，n ，那么 ( a ) d e t ( q i j + c i c j ) = ( 1 + c s c 。) d e t ( j ) ； ( b ) 若1 + c 8 c s 0 ，则( q 玎+ c , c j ) 可逆，且逆矩阵为( o 一i 干矗c 。一) 通过上面的引理以及( 2 1 1 ) 我们可以得到d e t ( 9 0 ) ： d e g ( g i j ) = p 2 刊卅n + 1 蛙等铲掘) ( 4 1 4 ) 我们通过利用m a p l e 程序的计算得到g t 与虿的关系，g 。和虿分别表示f i n s l e r 度量f 与r i e m a n n 度量的测地系数 引理4 7 ( 【4 9 ) 测地系数口与虿相关于下列形式： 为针赢等熊 苦s o + r o o 懈+ 矿薪吖 其中s = ：，为= ，s 。= s 。y 2 ，r 0 0 = r 叼可4 矿，b 2 = 1 1 p 1 1 。= 、厨面丽 例4 6 选单位球b n 上的r a n d e r s 度量f = + 卢，其中 = 迦业l 堂- l x l 2 肛慧 计算一些基本量得到 、一6 q t 2 9 i z 3 一研十f 二而予 2 4 乩2f 百乒 j 矿 取= 1 + s 带入( 4 1 7 ) 整理得到 d e ( 夕灯) = ( 等) “+ 1 d e t ( n 埘) 于是由( 2 1 6 ) 式可得 根据j 的定义容易得到 又由引理4 7 计算得到 直接计算可得 耕n 肛丽 ；( n + 1 ) f 。o 。2 ( 0 2 b 。一3 y , ) ；( 礼+ 1 ) f i a - 2 ( 1 ：f 局 k a 3 g s ”= s ；= s j = 0 f 评1 ( 矿+ z 4 p ) 1 ( 燕扎彬) ( 4 1 6 ) o y t a y j o y 2 。1 慧一j 坚o y i 瑚3 嘉 虿+ 器矿 ：( 叶助1 = 扣 b t = f 乃c ， 俗工z = e 。o + 2 p 魄，。z = f rr 一( e 。o + 2 f l b | f ) f 4 1 7 1 ( 4 1 8 ) f 4 1 9 1 ( 4 2 0 ) o 研 可 弘 i = 2 一z ；一， = 一1 堂砰 旷 尊 啄 一一 矿可 将( 4 1 6 ) ，( 4 1 8 ) ，( 4 1 9 ) ，( 4 2 0 ) 带入( 41 7 ) 计算整理得 蝴一k 伊翟孙。弋川砰r 。而l y l 2 扎阿卜 他z t ， ：一( 礼+ 1 ) o 一2 ( 1 一l 茁1 2 ) 一1 ( 了硒矿一p 9 j _ 。 从( 4 1 6 ) 和( 4 2 1 ) 容易看出 得到 由于r 啦d e r s 度量既是l 一可约的又是c 一可约的，将( 4 2 2 ) 带入 诛= 熹( 以+ 玛