（基础数学专业论文）若干矩阵计算问题的扰动分析和反问题的研究.pdf

w w x u a b s t r a c t i nt h i st h e s i sw ei n v e s t i g a t ep e r t u r b a t i o na n a l y s i sa n di n v e r s ep r o b l e mf o rs o m em a t r i x c o m p u t a t i o n a lp r o b l e m s i ti n c l u d e sb a c k w a r de r r o r si nt h ee i g e n p r o b l e mo fs t r u c t u r e dm a r - t r i c e s ，p e r t u r b a t i o na n a l y s i so ft h eg e n e r a l i z e ds a d d l ep o i n ts y s t e m ，t h er a n k - o n eu p d a t ep e r - t u r b a t i o nb o u n d sf o re i g e n v a l u e sa n ds i n g u l a rv a l u e so fa r b i t r a r ym a t r i c e s t h em a t r i xi n v e r s e p r o b l e mo ft h eh e r m i t i a nr e f l e x i v em a t r i xa n dt h em a t r i xi n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e mo ft h e s y m m e t r i cj - s y m m e t r i cm a t r i x i nc h a p t e r1w ei n t r o d u c es o m ei m p o r t a n tc o n c e p t i o n si nt h em a t r i xp e r t u r b a t i o na n a l y s i s ， a n dg i v eo v e r v i e wo fo u rr e s u l t s i nc h a p t e r2w ec o n s i d e rb a c k w a r de r r o r si nt h ee i g e n p r o b l e mo fc o n j u g a t es y m p l e c t i c m a t r i c e sa n dd e r i v et h ee x p l i c i tf o r m u l a ，w h i c hc a na s s e s st h eb a c k w a r ds t a b i l i t yo ft h ec o r r e - s p o n d i n ga l g o r i t h m i nc h a p t e r3w ed e r i v et h ee x p l i c i tf o r m u l ao ft h eb a c k w a r de r r o r si nt h ee i g e n p r o b l e mo f s y m m e t r i cc e n t r o s y m m e t r i cm a t r i c e sb ym a k i n gu s eo ft h ep r o p e r t i e so ft h e m ，w h i c hc a na s s e s s t h eb a c k w a r ds t a b i l i t yo ft h ec o r r e s p o n d i n ga l g o r i t h m i nc h a p t e r4w ec o n s i d e rt h ep e r t u r b a t i o na n a l y s i so fak i n do fg e n e r a l i z e ds a d d l ep o i n t s y s t e ma n dp r e s e n tp e r t u r b a t i o nb o u n d sa n dc o n d i t i o nn u m b e r sf o rt h es o l u t i o n so ft h eg e n e r - a l i z e ds a d d l ep o i n ts y s t e m ，w h i c hc a na s s e s st h es e n s i t i v i t yo ft h es o l u t i o n s i nc h a p t e r5w ec o n s i d e rt h eh e r m i t i a nr a n k - o n eu p d a t ep e r t u r b a t i o nb o u n d sf o re i g e n - v a l u e sa n dr a n k - o n eu p d a t eb o u n d sf o rs i n g u l a rv a l u e so fa r b i t r a r ym a t r i c e s i nc h a p t e r6w ec o n s i d e rt h ei n v e r s ep r o b l e m so ft w oc l a s s e so fs t r u c t u r e dm a t r i c e sa n d f i r s tg i v et h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h es o l v a b i l i t yo ft h em a t r i xi n v e r s ep r o b l e m a x = bi nh e r m i t i a nr e f l e x i v em a t r i xs e ta n dt h es o l u t i o ne x p r e s s i o ni sa l s op r e s e n t e d t h e nw e p r e s e n tt h en e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h es o l v a b i l i t yo ft h em a t r i xi n v e r s ee i g e n v a l u e p r o b l e ma x = x a i ns y m m e t r i cj - s y m m e t r i cm a t r i xs e ta n dt h es o l u t i o ne x p r e s s i o n k e yw o r d s ：b a c k w a r de r r o r ，a p p r o x i m a t ee i g e n p a l r s ，c o n j u g a t es y m p l e c t i cm a t r i x ，s y m - m e t r i cc e n t r o s y m m e t r i cm a t r i x ，s y m m e t r i cs k e w - c e n t r o s y m m e t r i cm a t r i x ，s a d d l ep o i n ts y s t e m ， p e r t u r b a t i o nb o u n d s ，c o n d i t i o nn u m b e r s ，r a n k - o n eu p d a t e ，h e r m i t i a nr e f l e x i v em a t r i x ，s y m - m e t r i cj - s y m m e t r i cm a t r i x ，m a t r i xi n v e r s ep r o b l e m ，f r o b e n i u sn o r m 若干矩阵计算问题的扰动分析和反问题的研究 y 17 6 8 4 6 7 目录 符号表3 第一章简介4 1 1 序言4 1 2 相关的几个概念5 1 3 主要内容介绍与创新点8 第二章共轭辛矩阵特征值问题的向后误差1 0 2 1 引言1 0 2 2 准备知识1 0 2 3 向后误差计算公式1 6 第三章两类结构特征值问题的向后误差2 0 3 1 引言2 0 3 2 准备知识2 0 3 3 对称中心对称矩阵特征对的向后误差公式2 6 3 4 对称反中心对称矩阵特征对的向后误差公式3 1 第四章广义鞍点问题的新扰动分析3 6 4 1 引言3 6 4 2 准备知识3 6 4 3 鞍点系统解的扰动界3 8 4 4 条件数4 1 4 5 数值例子4 4 第五章任意矩阵特征值和奇异值的秩1 修正扰动界4 5 5 1 引言4 5 2w w x u 5 2 准备知识4 5 5 3 特征值修正扰动界4 7 5 4 奇异值修正扰动界4 9 第六章两类结构矩阵的反问题5 4 6 1 引言5 4 6 2 埃尔米特矩阵性质5 4 6 3 对称j 对称矩阵性质5 8 6 4 矩阵反问题a x = b 的埃尔米特自反解6 1 6 5 矩阵特征值反问题a x = x a 的对称j 对称解6 7 6 6 数值算法7 2 参考文献7 4 致谢7 9 已发表和接受发表的论文，参与的科研项目8 0 若干矩阵计算问题的扰动分析和反问题的研究 3 c m n 冗m n 咒c n n a “c n n s 冗n 几 4 s 冗“ c ? “ c n c 咒( a ) 5 冗( a ) a a t a + ( a 日) a 1 a t i 冗( a ) p a r a n k ( a ) t r ( a ) a ( a ) a m a x ( a ) a m i n ( a ) 盯( a ) 。( a ) o m i 。( a ) i i x l l 2 i i a i l 2 l i a i i f a b v e c ( a ) 符号表 所有m n 复元素矩阵的全体 所有m n 实元素矩阵的全体 所有n 嗾尔米特矩阵的全体 所有i t 佗反埃尔米特矩阵的全体 所有几耐称矩阵的全体 所有n n 反对称矩阵的全体 c ”跏中所有秩为r 的矩阵的全体 所有复n 维列向量的全体 所有复数的全体 方阵a 的埃尔米特部分 方阵a 的反埃尔米特部分 矩阵a 的共轭 矩阵a 的转置 矩阵a 的共轭转置 矩阵a 的逆 矩阵a 的m o o r c - p e n r o s e 广义逆 单位矩阵 由矩阵a 的所有列向量所张成的子空间 到冗( a ) 上的正交投影算子 矩阵a 的秩 矩阵a 的迹 矩阵a 的所有特征值的全体 矩阵a 的最大特征值，如果a 为h e r m i t e 矩阵 矩阵a 的最小特征值，如果a 为h e r m i t e 矩阵 矩阵a 的所有奇异值的全体 矩阵a 的最大奇异值 矩阵a 的最小奇异值 向量z 的e u c l i d 长度 矩阵a 的谱范数 矩阵a 的f r o b e n i u s 范数 矩阵a 与b 的k r o n e c k e r 积 按矩阵a 的列向量拉直 第一章简介 1 1 序言 本文的主要内容涉及有关矩阵扰动分析和反问题方面的研究，包括结构特征值问题 的向后误差鞍点问题的扰动分析，任意矩阵特征值和奇异值的秩1 扰动界，矩阵反问题 a x = b 的埃尔米特自反解，矩阵特征值反问题a x = x a 的对称j 对称解 结构矩阵特征值问题在工程和科学计算上有着极其广泛的应用，如在数学物理方程， 统计分析和自动控制等方面的许多问题都归结为结构矩阵特征值问题的数值求解近几 十年来，结构特征值问题的数值算法的研究取得了许多丰硕的成果，如文献1 1 , 5 3 ，5 5 ，6 5 一个重要的问题是如何度量这些结构算法的稳定性衡量算法稳定性的一个重要指标是 向后误差对于结构算法而言问题就变得更为复杂因为扰动后的矩阵仍被限制在该类 结构子类里更确切地说，研究结构算法的同时应研究结构向后误差因此结构特征值的 向后误差的研究具有了比较重要的现实意义，如文献【6 1 ，6 2 鞍点问题在计算科学上有着极其广泛的应用，如在计算流体力学，偏微分方程的混合 有限元离散，最优控制等各方面的许多问题都归结为大型稀疏鞍点问题的求解，如文献 【2 - 1 0 ，1 2 一个值得考虑的问题是当鞍点系统中的系数矩阵发生扰动时，解的扰动界以及 解对扰动的敏感性将会如何? 衡量解对扰动敏感性的重要指标是条件数因此，鞍点问题 扰动分析的研究有着重要的意义 特征值和奇异值的扰动在矩阵扰动理论中是重要的部分，例如见【2 0 ，2 2 ，2 3 ，4 4 4 9 秩 1 扰动也是扰动理论中重要的部分并且涉及很多应用，例如见文献 2 1 5 4 i c f i p s e n 【3 9 】 给出了埃尔米特矩阵特征值的埃尔米特秩1 扰动界然而，任意矩阵特征值的埃尔米特 秩1 扰动界和任意矩阵奇异值的秩1 扰动界至今还没研究，因此本文就上述的问题作了 研究并给出了其扰动界 矩阵反问题在矩阵计算理论中是重要的内容：矩阵反问题在振动反问题、结构设计、 结构模型修正、故障诊断和数学物理反问题的离散模拟、粒子物理、线性多变量控制系 统的极点配置等许多领域都有重要应用近几十年来，特别是最近3 0 年有关各类矩阵 反问题的研究取得了可喜的进展文献 1 7 ，1 8 ，1 9 ，3 4 】比较全面系统地阐述了各种类型矩 阵的反问题及其主要研究成果本文首先利用埃尔米特自反矩阵的内部结构性质，给出 了埃尔米特自反矩阵反问题的解存在的充要条件，并且给出了解的一般表达式其次，我 们给出了对称j 一对称矩阵特征值反问题的解存在的充要条件和解的一般表达式 4 1 2 相关的几个概念 5 1 2 相关的几个概念 本节介绍本文所涉及到的有关矩阵扰动分析和反问题中的几个概念 1 2 1 共轭辛矩阵 称矩阵a c 仇m 为共轭辛矩阵若a 满足 m = 2 n ，a + j a = z 其中厶为单位矩阵且 j = ( 三台) m 2 m 令| i c l 为2 凡阶共轭辛矩阵集，即 咒1 = a c 2 “2 “：a + j a = j ) 1 2 2 次单位矩阵 令e i 是m 阶单位矩阵k 的第i 列记 厶= ( e m ，e r n 一1 ，e 1 ) ， 则称厶为m 阶次单位矩阵 1 2 3 中心对称矩阵 称矩阵a c m 枷为中心对称矩阵若 a = a ， 其中f m 是m 阶次单位阵记m 阶中心对称矩阵集为c s m 性质【7 0 】若a c s 。，那么a 有如下分块形式： 当m = 2 r 且7 n + ： 4 = ( 山a b 箍) 其中a ，b c 7 r ，c 且舢，c r 1 2 4 反中心对称矩阵 b 五、 沪4i ， j , a j r ； 肛“ a 沪加 ，一 = 4 nr 且 +r2 = m 当 6 第一章简介 称矩阵a c ”m 为反中心对称矩阵若a 满足 a p m = 一a ， 其中p m 是m 阶次单位降记m 阶反中心对称矩阵集为西m 性质【7 0 】若b 嚣。，那么8 有如下分块形式： 当m = 2 r 且r n + ： b = ( 一4 a b 一宝勉) 当m = 2 r4 - 1 且r n ： 召= ( 幺一屯盎) 其中a ，b c 且弘，c 1 2 5 对称中心对称矩阵 称矩阵a c m m 为对称中心对称矩阵若a 满足 p 仇a p 仇= a ，a = a 丁， 其中f m 是m 阶次单位阵记m 阶对称中，1 、5 对称矩阵集为s c s m 1 2 6 对称反中心对称矩阵 称矩阵a c m m 为对称反中心对称矩阵若a 满足 p m a 尸m = 一a ，a = a 丁， 其中f m 是m 阶次单位阵记m 阶对称反中心对称矩阵集为。s 嚣m 1 2 7 自反矩阵 称矩阵r 伊黼为自反矩阵若 r = r ，r 2 = 厶， 其中厶为n 阶单位矩阵 1 2 8 埃尔米特自反矩阵 称矩阵a c n 黼为关于广义自反矩阵r 的埃尔米特自反矩阵若a 满足 记n 阶埃尔米特自反矩阵集为咒冗似n 1 2 相关的几个概念 7 1 2 9 埃尔米特反自反矩阵 称矩阵a c 似n 为关于广义自反矩阵r 的埃尔米特反自反矩阵若a 满足 a = a a = - r a r 记n 阶埃尔米特反自反矩阵集为咒月冗似n 1 2 1 0 对称j 对称矩阵 称矩阵a 冗似“为对称j 对称矩阵若a 满足 a t = a ，( j a ) t = j a ， 其中，由( 1 2 1 ) 给出记n 阶对称j 一对称矩阵集为s 歹似n 1 2 1 1 对称j 反对称矩阵 称矩阵a 冗似n 为对称j 一反对称矩阵若a 满足 a 丁= a ，( j a ) t = 一j a ， 其中j 由( 1 2 1 ) 给出记礼阶对称j - 反对称矩阵集为8 a j n x n 1 2 1 2 结构向后误差 6 4 】 矩阵a 的近似特征对( x ，a ) 的向后误差是对最小扰动阵e 的一个度量，其中 + e ) x = 妇 令 叉k = ( x l ，x 2 ，z ) ，a k = d i a g ( a 1 ，入2 ，a 七) ， a 的近似特征对集合记为 ( 巧，) ，j = 1 ，后 那么，结构矩阵特征值的向后误差定义 如下： 取( 玩，a k ) = m i n a 一1 i i e i i f ：( a + e ) x k = a 七，a ，a + e i c ， 其中| l c 为结构矩阵集，q 为给定的正参数 1 2 1 3 条件数 考虑一类鞍点系统如下： ( b ab 。t ) ( ；) = ( 当) ， 8 第一章简介 其中a 冗m m ，b 冗似仇，c 冗似n ，z 冗m 和y 冗n 冥扰动形式如f ： ( a + + a ab t + + a b t ) ( x 可+ + a x b a bda d 耖) = ( 二g ：a g 当) + 剪+ j ；， + 我们定义条件数如下： 嗽泸她s & u p 瓣，溉= l i ms 垒u p 粉， 其中 & = o ) ， ( 2 3 8 ) 其中 q t = a ：+ 硫p x k e ! 一氍+ 研一跣蹦a ；硅噬， q z = a ；+ 跣p + x k e ：一+ 鹾一贱碳钙硅蹦， p 和a i 由( 2 3 6 ) 给出 证明我们将a - 4 - e 分块如下 a + e = ( 羞。1 。1 盔。1 。2 ) = ( 盔。1 ) ， 其中a 1 ，a 2 c n x 2 n ，且a 1 l ，a 1 2 ，a 2 l ，a 2 2 c n n 令 鼠- = 以+ e c 2 似2 n 二怠麓- ( e a l i , a a 。2 + x p k ) 搴：e 2 a , ：五* ，- * p - - 4 -置+ p = 研邑 ( 2 3 9 ) + w 笤肌，( a i a 2 + p ) = a ：a 2 p ) ， 、7 其中p 由( 2 3 6 ) 给出 由引理2 2 3 和2 3 1 我们可知 。= 。d 1 8 第二章共轭辛矩阵特征值问题的向后误差公式 习5 么 c l = a l c n 2 n ：五1 x k = e 1 ) d ， 2 = a 2 c n 2 ”：a 2 x k = 易，谚， 和 咒= a ；a 2 + 尸c 2 n 2 n ：x i ；：( a ：a 2 + p ) x k = e ：场+ 崂叭，( a ：a 2 + 尸) 。= a i a 2 + p 谚 运用引理2 2 1 到等式雄( a ；a 2 + p ) 甄= 研易+ 叼肌我们可得 a ：a 2 + p = ( e ；e 2 + w 譬肌) 砖+ z p x k z p x k ， 其中z c 2 n 鼽 则 a ：a 2 = + ( e ；e 2 + w 苫肌) x l + z p x i z p x k p 由( 2 3 4 ) 和( 盈a 2 + p ) + = a ：a 2 + p 我们可得 ( z 一殿k z 殿) + = z 一殿k z p x k 因此 ( z 一殿。z + 殿) 拖= ( z p x 。z 取。) 拖， 那么 p 支k z x k = p 支k z x k 在( 2 3 i i ) 两边右乘可得 a ；而= + ( e ；e 2 + 晖啊) 殿：一尸甄+ z 一p x z x k 将引理2 2 6 运用到( 2 3 1 3 ) 和五l x k = e 1 可得 a 气= t 1 + p 夷k z x k 醯+ p 蔓k z 2 p 邑。 其中7 1 = 一尸或p x k e t 2 + x k 叶e ；，z 2 c 2 n n 由类似的方法我们可得 a 2 = t 2 + e 0 x 乏z p 轰k + p 长z p 轰k ， 其中t 2 = 砀碰一e ：+ 雒p 跣，z 伊2 n 因此 i i e i i 刍= i i a + e a | | 刍 雌1 ) 一a 1 ： i l a l 一a 10 刍+ i i a 2 ( 2 3 1 0 ) ( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 2 ) ( 2 3 1 3 ) ( 2 3 1 4 ) ( 2 3 1 5 ) ( 2 3 1 6 )2 f 悟赴 、， 一 2 3 向后误差计算公式 1 9 将( 2 3 1 4 ) 和( 2 3 1 5 ) 代入到( 2 3 1 6 ) 我们可得 e 懵2 呼 m z 2 i n 0 硫忍硅一( a ：一孔一联_ l 。n t 川2 f + m z i n 1 1 硅 l t 一( 一甜z 跣一t 2 + a 2 ) 1 1 备1 ( 2 3 1 7 ) 运用引理2 2 1 到( 2 3 1 7 ) 我们可知 m i n i i e i i ； = m z i ni 跣赋( a ：一丑一黠_ l 。厶 七。2 t ，r 历- l t r 励j _ 一a ：+ 乃+ 跣z 凰鼋) 瞎+ m z i ni | 磋磷( 一e 1 ”x ；z p l t 2 + a 2 心r _ ，- l 。t 呱d l + e a 叶群硒+ t 2 一a 2 ) i i 刍 = 哩n 川跣z 扎磅一q 1 幅+ i i p l z 凰曰一q 2 ， ( 2 3 1 8 ) 其中 q 1 = a ：+ 跣p 托鼋一即一跣嘴a ；磋噬， q 2 = a ；+ 碹p + x k e i 一+ 鹾一跣础钙磋硝 由( 2 3 1 2 ) 和( 2 3 1 8 ) 我们有 r a i ni i e i i 刍= i 磅n 【| | 尸或z x k e 2 一n , l l 刍+ i i 尸轰z x k e ：一f 1 2 1 1 刍 ( 2 3 1 9 ) 运用引理2 2 2 到( 2 3 1 9 ) 得到( 2 3 7 ) ，因此我们有( 2 3 8 ) 证毕- 注记2 3 1 在定理2 3 2 中我们给出了向后误差公式r o c ，( x k ，a k ) ，即在文献【6 4 】中的 问题( 4 ，4 ) ( 见文献【6 4 中表3 1 ) 已被解决了 注记2 3 2 无结构向后误差公式为o ( x k ，a k ) = c t - 1 l i 墩磷i i f ，其中r k = x k a k a 氟 一般来说o ( x k ，a k ) 耽。( x k ，a k ) 若有比较小的常量c 使得耽。( ，a k ) sc # ( x k ，a k ) ，那 么其数值算法是向后稳定的 第三章两类结构特征值问题的向后误差公式 3 1 引言 对称中心对称矩阵和对称反中心对称矩阵是一类重要的中心对称矩阵和反中心对称 矩降这两类结构矩阵在信息理论，线性系统理论和数值分析中有着实际的应用意义，例 如见文献【l ，5 0 ，5 7 6 9 】目前已经有很多人研究了这两类结构矩阵特征值问题的数值算法， 例如见文献f l o ，3 0 ，5 8 ，6 3 ，6 7 如前面我们所介绍的：判定算法向后稳定性也是一项重要工 作衡量的指标就是向后误差然而迄今为止，这两类结构矩阵特征值问题的向后误差公 式还未给出因此，本章我们将给出对称中心对称矩阵和对称反中心对称矩阵特征值问 题的向后误差公式，以便可以测量这两类结构矩阵特征值问题的数值算法的向后稳定性 3 2 准备知识 本节我们将介绍对称中心对称矩阵和对称反中心对称的性质以及一些有用的引理 引理3 2 1 【6 6 】令y ，b c m 肌，c c n x p ，d c m x p 给定设 9 = a c m ”：a c = d ) 和 则 ( i ) 多0 当且仅当 若9 谚，那么 c = x c ”m ：x y = b ，x t = x ) d p c = d ： 9 = d c * + 日硭i h c m n ) ； ( i i ) c d 当且仅当 b p v = b ，p ? b y t = ( 昂b y t ) t ； 若c 0 ，那么 c = b y t + ( b y ) 丁砖+ 砖日砖j 日= h t ， 且 i i 怙= m 。：i n ，i i x l l f ， c 其中x , w t = b y * + ( b y t ) t p 步 引理3 2 2 令x ，b c m 黜，y c 伊七给定设 鼠= a c m 几：a y = b ，a t x = c ) ， 2 0 3 2 准备知识 2 1 那么 ( i ) 瓯o 当且仅当 ( i i ) 若鼠0 ，那么 b p y 。：b ，c p x 。= c 和c t y = x t b ； s k = b y t + ( c x t ) t p 参+ p 戋h p 专i h c m n 、 a 叩怙2 a m i 瓯n i i a i i f ， 其中a 印t = b y t + ( c x t ) t 砖 证明( i ) 假定鼠毋，那么设a o c m n 满足a o y = b ，a 石x = c 则 由引理3 2 1 ( i ) 我们有 相反，若 则令 那么 且 则 即 c t y = x 丁a o y ：x t b b p y = b ，c p x = c b p y 。= b ，c p x 。= c ，c r y = x 丁b ， a 7 = b y t + ( c x t ) 丁砖， a tx a 7 y = b p y 。 =b y t 丁b r x + 砖c x x y t t y t c + e 步c x t x c a 7 瓯， 鼠西 2 2 第三章两类结构特征值问题的向后误差公式 因此，论断( i ) 成立 ( i i ) 令 硪= b y + + ( c x + ) t 砖+ 碟日砖i h c m x n ) 现在我们要证明鼠= s 1 首先假定x 和y 的奇异值分解如下： 和 y = u d i a g ( y ，o ) v + = 巩y w x = w d i a g ( x ，o ) z + = w 岱x z t ， 其中u = ( v a ，) 伊跏，w = ( 肌，w 2 ) c m m ，v = ( ，) c 七黼，z = ( z 1 ，历) c 南七 均为酉阵，且x =，曦) ，y = ，戎) ，仃f 2 o ，盯；， v 。 d i a g ( a l x diag(a0 现假定a 瓯，那么 因为 所以 因此 a = a u u + = a u l 叼+ a u 2 晖 仉w = y y t ，踢晖= ，一巩听= p c , ，a y = b ， a u l 昕= b y t ，a 晖= a 砖 由a t x = c 和引理3 2 1 ( i ) 我们有 其中h c m n 因此 将( 3 2 2 ) 代入( 3 2 1 ) 我们有 容易验证 a = b y t + a 砖 a = ( c x t ) t + 砖h ， a = b y + ( c x + ) t p c , + 砖h 砖 瓯硪 c t y ：x t b ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 3 2 准备知识 那么对任意a 砩我们有“ a y ：b a t x ：c 从而 砩瓯 结合( 3 2 3 ) 和( 3 2 4 ) 我们有 鼠= 跳 对任意a 瓯，存在h c m 黼使得 t r ( b y t + ( c x t ) r 砖) + ( 磺剧梦) 】 = t r ( b y t ) + ( p 未日砖) + ( p x + ) t 砖) + ( 黠日砖) 】 = 0 ， ( 3 2 4 ) l i a i i 备= i t b y t + ( c x t ) t 砖瞎+ 0 碟h 砖吩 因此，m i l li i a i i f 能取到当且仅当h m c i 。n 。l l 磺日砖i l f 能取到当且仅当h = o - 我们即得到 a 印t 证毕1 引理3 2 3 令q 三 j 咐r e l , - i t ) ：m = 2 r , r 6 n + ) u ( 曼。芑磊) ：m = 2 r + l , r 6 n ， 其中c 1 ，d 1 x r ，c 1 一卵，d 1 = d t ，p ，p c 那么 s c s 。= q 证明假定 a 5 c s m ， 那么 a c s m 由中心对称矩阵的性质我们有 a = ( 品。 或 f c l 恤 a = i t 卢 五d i 山p 其中c 1 ，d l c 7 ，p ，c 7 ，p c 由于 那么我们有 烈1 ：m ：2 v n + j r c l l ) 一。一、 盛d 1 j r ) ：m = 2 r + 1 , r 6n , a ：a r 第三章两类结构特征值问题的向后误差公式 则 因此 相反地，我们假定a q ，那么 和 则 所以 结合( 3 2 5 ) 和( 3 2 6 ) 我们有 证毕i 引理3 2 4 令田三 p = ，c 1 = c _ ，d l = d ； a q s c s 。冬q a c s m a ：a t a s c s 。 q 5 c 5 m 5 c s r n = q ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) o ) i - - - 1 ，2 证明由引理3 3 4 我们有 s k l = e s c s 。：e x k = x k a k a 凰) d 由引理3 2 3 我们可知e 有下面的形式： e = ( 捣e l 擞) ：m = 2 r , r en + 或 e - ( 磊芑蠡) r n = 2 r + 1 , r en , 其中e 1 ，e 2 c r r , p c ，p c ，e 1 = e ，e 2 = e 罗 当m = 2 r ，7 n + 时，则 当m = 2 r + 1 ，r n 时，则 其中 q e q 丁 e 1 一易 o e 1 o + e 21 ( 3 3 11 ) r ：场，墨u 驻丁、：e 1 - e goqeq o ) ， 331 20e r = i t p 饵丁1 =门) ，( ) 、2 肛e 1 + 2 一7 这里q 和国由( 3 3 3 ) 给出 g = ( 乞尊：) ， 3 0 第三章两类结构特征值问题的向后误差公式 由于e x k = x k a k a 戳等价于 q e q 丁q k = q ( x k a 七一a 地) ：m = 2 r ，r n + 和 一 o e 0 1q x k = q ( x k a k a x k ) ：m = 2 r + 1 ，r n 那么由( 3 3 1 1 ) 和( 3 3 1 2 ) 我们可得 ( e 1 一岛) 7 1 = n ，( e 1 + e 2 ) t 2 = f 2 ： m = 2 r ，r n + 和 ( 晶一e 2 ) 噩= 日，g t 2 = f 2 ： m = 2 r + 1 ，7 n 注意到 e l 一易，目+ 岛，g c ， 其中c 由引理3 2 1 给出 因此，由引理3 2 1 ( i i ) 我们可知当 e 1 一e 2 = f 1 可+ ( f 1 可) 7 碳 时， 0 研一场怙达到最小 对于m = 2 r ( r n + ) ，当 日+ 场= 局砭+ ( 局砭) t 琏 时，i i e l + 玩i i f 达到最小 对于m = 2 r + l ( r n ) ，当 p = f 2 巧+ ( f 2 喀) 丁磋 时，l i p l l f 达到最小在这种情况下， i i e i i f = l i q e q t i i f = ( i i e l e 2 1 1 备+ i i e l + 局1 1 2 f ，j 1 = 【i | e 刃+ ( 最刁) t 黠恻2 t ： m = 2 r ，r n + t ：= 1 2 或 i i e i i f = i i ( ) e q r l i t = ( i i e i e ：i i 备+ i i p i i 备) = 1 1 只刁+ ( r 刁) t 磋l | f 2j j t ： m = 2 r + 1 ，r n i = l ，2 达到最小 因此，我们有 r l s c s 。( 凰，舭) = n - 1 i f , t 2 + ( 最刁) t 线- l 2 j 1 3 4 对称反中心对称矩阵特征对的向后误差公式 3 1 本节我们将给出结构