（基础数学专业论文）一类特殊（αβ）度量的旗曲率性质及局部对偶平坦性质.pdf

一类特殊( q ，) 度量的旗曲率性质及局部对偶 平坦性质 基础数学硕士研究生 指导教师 摘 郭迎弟( s 2 0 0 5 0 9 3 7 ) 王佳教授 要 本文对特殊( q ，p ) 一度量的旗曲率和r i c c i - 曲率以及对偶平坦性质进行了研究第三 部分首先研究了具有标量旗曲率k = k ( z ，) 的( q ，p ) 一度量f = a + p + 2 七譬一祭具 有迷向s 一曲率充分必要条件；接着计算了一类特殊的( q ，p ) 一度量f = 口+ p + 惫譬的 r i c c i 曲率，证明了当流形维数大于等于3 时，若它具有迷向的r i c c i 曲率，则它是r i c c i 平坦的从而得到若f = q + e p + 后譬具有常数旗曲率，则其旗曲率为零第四部分对共 形变换下的f i n s l e r 度量的性质做了分析；对局部对偶平坦的m a t s 眦o t o 度量的性质做了 讨论具体地是下面的结果； 定理3 1 对竹芝3 ) 维流形m 上的k r o p i n a 度量f = 譬，若f 具有标量旗曲率 = k ( z ，) ，则f 具有迷向s 一曲率的充分必要条件是k 为常数此时s = o 且旗曲率 k 满足等式 4 k ( 6 2 q 2 一p 2 ) ；s t o s 6 6 2 定理3 2 若f = a 十e p + 2 尼譬_ 簪为n 维流形m 上的f i n 8 l e r 度量，其中和七 为常数且后o ，若f 具有标量旗曲率k = k ( z ，) ，则f 具有迷向g 曲率当且仅当f 为 b e r 训d 度量，此时f 为局部m i n k o w s l 【i 度量 推论3 1 令f = q 咖( 鲁) 为n 维流形上的f i 璐l e r 度量，p 是关于口的长度恒定的 k i l l i n g1 一形式，若f 具有标量旗曲率k = k ( z ，y ) ，则k = o 当且仅当是闭的1 一形式 定理3 3 对n ( n 3 ) 维流形m 上的( 口，卢) 度量f = 蟑哆，若它具有迷向r i c c i 曲 率，则f 是m c c i 平坦的 定理3 4 给定佗3 ) 维流形上的( 口，p ) 一度量f = a + p + 知譬，若f 是硒c c i 迷向 的，即 r t c = ( 他一1 ) 入( z ) j 2 ， 其中入= 入( z ) 是标量函数，则入= o ，即它是r 沁c i 平坦的 推论3 2 给定礼m 3 ) 维流形m 上的( a ，p ) 度量f = q + 印+ 七譬，若它具有迷向 旗曲率k = k p ) ，贝0k = o 命题4 1 若f 和f 是n 维流形m 上的两个共形相关的f i i l s l e r 度量，f 是c 可 约的，当且仅当f 是c 可约的 命题4 2若f 和歹是扎维流形m 上的两个共形相关的f i n s l e r 度量，若f 是 d o u g l a u s 度量，则f 是d o u 酉嬲度量当且仅当譬( c 一矿) = 碟。( z ) 可七旷 命题4 3 若f 和f 是n 维流形m 上的两个共形相关的f 妇l e r 度量，即f ( z ，s ，) = e 。( 。) f ( z ，可) ，若f 共形平坦，则以下条件等价： ( a ) f 局部对偶平坦； ( b ) f 局部射影平坦； ( c ) c o f f c z f ；0 其中c f ：= 器，f l ：= 棼， c 0 ：= c 七矿 定理4 1 ( m ，f ) 是nm 3 ) 维的f i n s l e r 流形，f = 岛是m a t s u m o t o 度量，其中 q 是局部射影平坦的，若f 是局部对偶平坦的，则q 是平坦度量，p 关于q 是平行的， 此时，f 是局部m i n k o w s l ( i 度量 定理4 2 ( m ，f ) 是佗3 ) 维的f i n s l e r 流形，f = 岛是m a t s u m o t o 度量，其中 q 是局部对偶平坦的，若f 是局部对偶平坦的且具有标量旗曲率k ；k ( z ，) ，则k = 0 ， 此时，f 是局部m i n k o w s l 【i 度量 关键词：f i n s l e r 度量旗曲率局部对偶平坦共形相关 s o m ep r o p e r t i e so f s p e c i a l w i t hn a gc u r v a t u r ea n dl f l a t m a j o r ：b a s i cm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t y ：d i f 】陷r e n t i a lg e o m e t r y s u p e r v i s o r ：p r o f w _ a n gj i a a u t h o r ：g u oy i n g d i ( s 2 0 0 5 0 9 3 7 ) a b s t r a c t m e t r i c s d u a l l y i nt h i sp 印e r ，w e8 t u d yt h ep r o p e r t i e so f8 p e c i a l l ( q ，卢) 一m e t r i c s i nt h et h i r dp a r t ，f i r s t l y r e 8 t u d yc o n d i t i o n so fs p e c i a l ( q ，p ) 一m e t r i ct ob eo fi s o t r o p i c 1 c u r v a 上u r e ；s e c o n d l y 弋) l r ec o m p u t e t h em c c ic u r v a t u r eo f ( q ，p ) 一m e t r i cf = q + e p + 后警i n t r i g u e db yc 舶b l e 8 8w o r k ，w ef i n d an e c e s s a 巧c o n d i t i o nf o rac l a s so fr i c c i i s o t r o p i c ( 口，卢) - m e t r i c s t h e n ，w eg e tar e s u i tt h a t t h ec o n s t a n tf l a gc u r v a t u r ek o f ( q ，p ) 一m e t r i cf = a + e p + 七譬i sz e r o i nt h ef o r t hp a r t ，w e d i s c u s s6 r s t l yt h es p e c i a jp r o p e r t i e 8o ft h ec o n f o r m a lt r a n s f o r m a t i o n so n ( m ，f ) ，s e c o n d l yw e s t u d yt h em a t s m n o t om e t r i co fl o c a l l yd u a l l yn a t w eo b t a j nm a i n l yt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： t h e 。r e m3 1 f = 譬i 8 ak r o p i n am e t r i co nam 咖f o l d 。fd i n l e 璐i 。nn 3 ) ，i fi t i 8o fs c a l e rf l a gc u r v a t u r ek = k ( z ，可) ，t h e nfi so fi s o t r o p i cg c u r v a t u r ei fa n do n l yi fk i 8a c o n s t a n t i nt h i sc a s e ，s = 0a n dk8 a t i s f i e st h ef o l l o w i n ge q u a t i o n ： 4 k ( 6 2 口2 一厣2 ) ；s 1 【0 s 铲 t h e 。r e m3 2l e tf = q + p + 2 忌譬一等b eaf i n s l e rm e t r i c 。nam 咖f o l do fd i m e n s i o n n ( n 3 ) ，w h e r e a n d 后0 踮ec o n s t a n t s ，i ff i 8o fs c a l e rf l a gc u r v a t u r ek = k ( z ，可) ，t h e n fi so fi s o t r o p i cg c u n ，a t u l ei fa n do i l l yi ffi sab e r w a l dm e t r i c i nt 1 1 i sc a s e ，fi sal o c a l l y 】 i i l l 【0 w s k im e t r i c c o r o l l a r y3 1 l e tf = q ( 鲁) b eaf i i l s l e rm e t r i co nam a i n f o l do fd i m e n s i o n 礼( 佗3 ) ， 卢i sak i l l i n g1 一f o r mw i t hr e s p e c tt o 口，i f fi so fs c a l e rf l a gc l l r v a t u r ek = k ( z ，y ) ，t h e nk = 0 i f a n do n l yi f pi sc l o d t h e 。r e m 3 3f = 垒# i saf i n s l e rm e t r i co nam 础1 f o l do fd i m e n s i o n 佗3 ) ，i fi t i so fi s o t r o p i c 磁c c ic u r v a t l l r e ，t h e nfi s c c i n a t t h e o r e m3 4l e tf = q + 卢+ 七譬b eaf i 珊l e rm e t r i co nam a i n f o l do fd i m e 璐i o nn ( 几3 ) ，i ffi sr j c c i i s o t r o p i c ， r t c = 一1 ) 入 ) f 2 ， w h e r e 入= 入0 ) i sa8 c a l e r 劬c t i o n ，t h e n 入= o i nt h i sc a 鼬，fi sr i c c i - a a t c o r o l l a u r y 3 2l e tf = q + p + 后譬b eaf i i l s l e rm e t r i co nam a j n f o l do fd i l e 璐i o nn m 3 ) ，i ffi so fi s o t r o p i cl l a gc u n ，a t u r ek ，t h e nk = 0 p r o p o s i t i o n4 1l e tfa i l dfb et w of i i l s l e rh l e t r i c so na nn d i m e n 8 i o n a lm a n i f o l dm i ff ，掣) = e 。( 。) f ( z ，) ，t h e nfi sc r e d u c i b l ei fa n do n l yi ffi sc r e d u c i b l e p r o p o s i t i o n4 2 l e tfa n dfb e 伽of i n ：8 l e rm e t r i c 8o na nn - d i m e 璐i o n 出m a n i f o l dm i ff ( z ，可) = e 。( z ) f 0 ，暑) a n dfi sad o u g l a sm e t r i c ，t h e nfi sad o u g l a sm e t r i ci fa l n do n l yi f 譬( 矿一矿) = b 2 m ( z ) 可七! ，m p r o p o s i t i o n4 3l e tfa n dfb e 钾叼f i i l s l e rm e t r i c 8o n 趾伽d i m e n s i o n mm a n i f o l dm i ffi sc o n f o r m a l l yn a t ，t h ef o l l o w i n g 跗ee q u i v 出e n t ： ( a ) fi sl o c a l l yd u a l l yf l a t ； ( b ) fi sl o c a l l yp r o j e c t i v e l y 丑a t ； ( c ) c 0 f f c f f = 0 w h e r ec f ：= 豪， f z ：；第， c 0 ：= 吼矿 t h e o r e m4 1am a t s u l o t om e t r i cf = j 岛o na 伽m a i n f o l d ，qi sl o c 2 1 1 l yp r o j e c t i v e l y f l a t ，i ffi sl o c a l l yd u 以l yn a t ，t h e n 口i sf l a tm e t r i ca n dpi sp a r 猷l e l i nt h i sc a s e ，fi sal o c a l l y m i n k o w s k im e t r i c t h e o r e m4 2am a t s u m 。t 。m e t r i cf = 豢。nan - m a i n f o l d ，qi sl 。c a l l yd u a l l yf l a t ， i ffi sl o c a l l yd u m l yf l a tw i t hs c a l l e rc l l r v 址u r ek ；k ，秒) ，t h e nk = o i nt h i 8c a s e ，fi sa l o c a l l ym i n b w s l 【im e t r i c k e yw o r d s ：f i r l 8 l e rm e t r i c ；f l a gc u a t u r e ；l o c d l yd l l m l yf l a t ；c o n f o r m 砒e q m v a l e n t 独创性声明 学位论文题目： 二娄挂硅l 垡：昼2 二度量的蕉堂空性厦区屋叠挝堡壬 坦性质 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了标注。 学位论文作者： 劾屯荦 签字日期：y 醒年岁月j 占日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生部可以将学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：锄迎弟 签字日期：w 占年多月j 2 日 导师签名：互佳导师签名：盅7 r 赴 签字日期：，一叩g 年占月77 日 一、引言 f i 璐l e r 度量是比黎曼度量更自然，更广泛的度量1 8 5 4 年，m 锄a n n 开始提出f i i l 8 l e r 度量的研究，但是为了计算的简便，将f i n s l e r 度量限制在二次的形式，即现在的r i e m a n n 度量所以陈省身先生说，f i n s l e r 几何不是黎曼几何的推广，而是取消了二次限制的几 何【1 】黎曼几何在上个世纪发展迅速，但f i n s l e r 几何却由于工具的缺乏和计算的复杂进 展缓慢这在1 9 1 8 年有所突破，数学家f i i l s l e r 在他的博士论文中计算了f i n s l e r 度量的 变分1 9 2 6 年，数学家b e r 、a l d 在f i n s l e r 几何中引进了一个线性联络，称为b e r 删d 联 络，使用这个联络，他把黎曼曲率张量自然的推广到了f i i 塔1 e r 几何同时引入了一个非 r i e m a n n 量一b e r w a l d 曲率，从这点来说，b e r 、v a l d 才是f i n s l e r 几何的真正奠基人 近年来，在陈省身先生的倡导下，华人数学家沈忠民( z s h e n ) 和包大卫( d b a 0 ) ，国 内的著名学者沈一兵，莫小欢，程新跃等对f i n s l e r 几何做了重新研究，许多黎曼几何中 好的性质已经推广到了f i n s l e r 几何，并且在f i n l s e r 几何中也得到了比黎曼几何更为丰 富的内容一些在黎曼几何范畴内退化的几何量被引进，用来刻画f i n s l e r 几何的非黎曼 性质最著名的如： b e r w a l d 曲率、l a 璐b e r g 曲率、沈忠民先生引进的s 曲率和包大卫 先生引进的几何变化率( g e o m e t r i cr a t i o ) 在f i i l s l e r 几何学家的不断努力下，一些非黎曼 量的几何意义也逐渐清晰同时f i n 8 l e r 几何已经在物理学，生物学等自然科学领域得到 广泛应用 ( q ，p ) 一度量这个概念是日本数学家m m a t s u m o t o 于1 9 7 2 年在r a n d e r s 度量 的基础上提出的，因为它的可计算性强，关于( q ，p ) 一度量的性质已有很多几何学家进行 了研究我们也注意到f i n s l e r 几何的许多重要研究成果的取得常常与( 口，p ) 一度量的研究 是分不开的在本文中主要就一些特殊的( 口，) 一度量作了讨论 f i 璐l e r 几何中的旗曲率是黎曼几何中截面曲率的自然推广目前f i n s l e r 几何研究的 主要问题之一就是刻画具有标量( 常) 旗曲率的度量，这也是f i n s l e r 几何学家十分关注的 一个问题由于计算的相对复杂性，对特殊情形的研究和例子在f i 璐l e r 几何中是非常重 要的几何学家们已经构造出了大量的常旗曲率的f i n s l e r 度量，为分类常旗曲率的f i n s l e r 度量做了铺垫工作其中最著名的有：f u n k 度量( k = 一 ) ，b e r w a l d 的度量( k = o ) ， b a o s h e n 的度量( k = 1 ) ，b r y a n t 的度量( k = 1 ) 【2 - 6 】近两年在分类常旗曲率的f i i l s l e r 度 量这个问题上已取得重大进展，2 0 0 3 年，美籍华人数学家沈忠民首先完成了对射影平坦 且具有常数旗曲率的r a n d e r s 度量的分类；然后，他又分别利用r i a y l o r 展开式和代数方程 刻划了射影平坦且具有常数旗曲率的芬斯勒度量的局部度量结构；在此基础上，沈忠民 与d b a o 等人运用黎曼流形上的z e r m e l o 导航术完成了对具有常数旗曲率的r a n d e r s 度 量的分类【7 _ 19 1 共形不变量和对偶平坦的流形也是微分几何研究的重要对象，特别是对 偶平坦的流形在信息几何、相对论等中有非常重要的作用要从f i n s l e r 几何出发研究 信息几何，就必须先研究对偶平坦或局部对偶平坦的f i n s l e r 度量 本文主要对特殊( q ，p ) 度量的旗曲率和r i c c i 曲率以及局部对偶平坦性质进行了研 究 s 一曲率是f i n s l e r 几何中的本质几何量，程新跃先生和沈忠民先生发现s 一曲率对 f i n l s e r 度量的旗曲率有着本质的影响所以本文第三部分首先对一类特殊的具有标量旗 曲率的( q ，p ) 一度量得到了它具有迷向g 曲率的充要条件；接着解决了沈忠民先生提出的 一个开放性问题的一部分，即如果一个f i l l s l e r 度量它是r i c c i 迷向的，那么r i c c i 曲率是 否一定为常数? 对d e r s 度量答案是肯定的，这点已经被c r d b l e s 在2 0 0 3 年证明了 本文通过对一类特殊的( a ，p ) 一度量的讨论，得到了肯定的答案，并且得到了此时是r i c c i 平坦的，同时得出了它具有常旗盐率的一个必要条件推广了文献【2 0 中的相关结论 本文第四部分首先对共形变换下f i n s l e r 度量的性质做了分析，得到了一些共形不变量； 接着对局部对偶平坦的特殊( o ，p ) 度量进行了研究 二、预备知识 首先介绍f i n s l e r 度量 令y 是一个n 维实向量空间y 上的一个m i n l 【0 嗍k i 范数l 是指范数厶：y 冗 同时满足； ( a ) 在叭 0 ，可y ； ( c ) 对任意的o y ，在y 上的基本形式乳是非退化的，其中 咖m = 去鑫叭m 州训l 脚 这时( kl ) 称为一个m i n l ( o w s h 空间 设m 是一个礼维流形，t m 上的函数f ( z ，) 称为f i n s l e r 度量如果f 满足。 ( a ) f ( z ，可) 在t m 【o ) 上是c o o 的； ( b ) 对坳y ，b ( 可) = f ( z ，! ，) 是死m 上的m i i l l w s k i 范数，此时称( m ，f ) 为f i 璐l e r 空 间 假设c ( t ) 为( m ，f ) 上的一条参数曲线，若它满足测地方程t 挈+ 2 g 伽) ，堋) _ 0 ) 2 其中 g ：= 主9 订 f 2 】z t 矿! ，七一 f 2 】z t 称为f 的测地系数，为鲫的逆 其中 【f 2 k l = 2 f 疋。， 【f 2 k 。秒七：丝毫竽鲰l + 2 f 疋。矿矽七 代入f 的测地系数g ，我们可以得到， g = p 矿+ q 其中p ：= 簪是f 的射影因子，：= 冬夕订 疋。矿扩一圪。) 当q = o 时，即f 满足 e - 矿矿一兄。= 0 ( 2 1 ) 此时，我们称f 是局部射影平坦的 如果一个f i n s l e r 度量f 满足 【f 2 】z | ，掣七一2 【f 2 】一= o ，( 2 2 ) 则称f 是局部对偶平坦的 f 和f 是n 维流形m 上的两个f 岫1 e r 度量，若存在标量函数c ( z ) 使得 f ( z ，可) = e 。( z ) f ( z ，秒) ( 2 3 ) 称f 与f 共形相关，其中c ( z ) 为共形因子 称f 是共形平坦的，如果f 与一个局部m i n k o w s k i 度量共形相关 若f 和f 是n 维流形m 上的两个f i n s l e r 度量，则它们相应测地系数g 和才之间 有如下的关系 才卅+ 喾n 爷民矿书小 如果f ( z ，y ) = e 。( 霉) f ( z ，秒) 则f ；七= e 。( z ) c 知f ，其中c 知：= 豢则有 召。= ( + p 矿一q ( 2 4 ) 其中p ：= c 七可知，q ：= 譬，= 9 甜c l ， 定义 g 甜刍- 2 g ) 杀， 3 则这个向量场是整体定义在切空间朋彳上的从f 的齐次性我们有 g ( z ，a 可) = a 2 i ( z ，可) ， a o ， 我们称g 为f 诱导的一个f i 璐l e r8 p r a y 令 吖k 沪筹nr ；鼬川= 筹办 我们称叼为f 的联络系数，巧七为f 的c h r i 8 t o 髓l 符号 下面介绍一些几何量 定义r i e m a n n 曲率为 嘞= 冗2 如七。杀i 口：昂m 一昂m ， 其中 磁= 2 筹一器+ 2 器一筹筹 定义r i c c i 曲率为r i 咖a n n 曲率的迹， 兄c ，) = 一1 ) r ，) = 麟 ，剪) ，r 扛，3 ，) 2i 圭了r i c 0 ，) t( 2 5 ) 称为c c i 标量它是t m 上的一个标量函数 如果r = o ，则f 被称为是r i c c i 一平坦的 如果存在一个标量函数c = c ( z ) 使得威c = 一1 ) c ( z ) f 2 ，则f 被称为是m c c i 迷向 的 如果存在一个常数c 使得威c = m 一1 ) c f 2 ，则f 被称为是融c c i - 常的 对一个二维平面pc 乃m 和o 乃m ，定义旗曲率为 肥蜘丽丽敲粤滁厕 其中p = s m 佗 y ，u ) ，显然k = o 等价于r = o 如果k ( 只掣) = k ( 。，可) ，即与所选平面无关，则称f 具有标量旗曲率。在一个局部坐 标系下这等价于 磁= x f 2 醍= k 【f 2 6 一鳜口影q 矿 其中危l ：= 酲一f _ 2 鲰。护矿 如果k = k ( z ) 是流形m 上的一个标量函数，那么称f 具有迷向旗曲率根据s c h u r 定理【1 7 1 ，在礼3 ) 维f i l l s l e r 流形m ，如果f i n s l e r 度量具有迷向旗曲率，那么它具有 常数旗曲率 4 如果k 是一个常数，习瞄么称f 具有常联血翠 定义b e r w 8 l d 曲率为 岛= 奄削d 一。如七圆如。未i p ：昂m 固mp 昂m _ 耳m 其中 日；触( z ，可) = 否；( z ，可) 在b e r w a l d 曲率的基础上，j d 0 u 醇蹈引入了d o u g l a s 曲率 岛= 巧m d q 出七圆如。 未：耳m 耳m 耳m _ 昂m ， 舣为 巧旷晶， 上，厶，= ：r = 7 - ：? ， 其中 ， 畦g 一击筹矿 在局部坐标系中，下面三个条件是等价的【2 0 】 谚斟= o ， g = 寺r ；詹o ) 矿+ p ，) 矿， d 巧：= g 矿一矿= a 錾m ( z ) 秒七3 ，m 如果磅埘= o ，则称f 为d o u 出a 8 度量 定义l a n d 8 b e r g 曲率为 ( 2 。6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) “= 二巧膏如p 耐。如七i p ：乃mp 易mo 昂m _ 昂m 舯锄沪一扣蝴删) - 扣夕，磊们 厶谚七( z ，) = 一专矽m 9 h ( z ，可) b 0 南( z ，y ) = 一去耖m 9 m l ( z ，夕) 否石善s i 秀石( z ，耖) 如果l = o ，则称f 为l a n d s b e r g 度量 定义平均l a n d s b e r g 曲率为 如= 五如4 ：昂m 一冗 其中 五= 七知 ( 2 9 ) 其中 定义c a r t a n 挠率为 对o 影互m ，定义 毛= 五( z ，爹) o d 茹。：z p a 万一冗 厶= 新f 2 】删= 者n 乒丽 ( 2 1 0 ) 丁引礼呼 为( m ，f ) 的畸变 定义m a t s l 】m o t o 挠率 坞= 七( z ，可) 耐。矧 如知：乃m 圆易m 圆乃m r ， 其中 嗡知：= 知一i 备 五知+ 易 诸+ 厶 巧) 如果m = o ，则称f 是c 一可约的。 f 的9 曲率定义为 s ( 可) ：= 丢似瑚 其中c ( t ) 为满足c ( 0 ) = z ，6 ( o ) = 可的测地线在局部坐标系( 仉) 下g 曲率的表达式为 鼬) ；筹v 箬 g 曲率反映了d i s t o r t i o n 沿测地线的变化率，它是f i 璐l e r 几何中的本质几何量 若s = + 1 ) c ( z ) f ，则称f 具有迷向s - 曲率，其中c = c ( z ) 为流形m 上的标量函 数 对( q ，p ) 一度量具有迷向s 一曲率在文献【3 5 】中已经分类了，具体是下面的结果 引理2 1 【3 5 】f = q 砂( 鲁) 是流形m 上的( 口，p ) 一度量，如果矽= 局1 们了丽z + 后3 5 ，其 中克1 ，庇2 ，七3 是任意的常数， 圣= ( q s q 7 ) 诧+ l + s q + ( b 2 一s 2 ) ( 1 + s q ) q 其中= 1 + s q + ( 6 2 一s 2 ) q 7 ，q = 南则f 具有迷向g 曲率( s ；+ 1 ) c ( z ) f ) 的 充分必要条件是f 满足下列条件之一 ( a ) p 满足：勺+ s ，= o ，砂= 毋( s ) 满足西= o ，此时，s = o 6 ( b ) 卢满足：= e ( 6 2 一6 l 幻) ，s j = o ，其中e = e ( z ) 是一标量函数，= ( s ) 满足 西= 一2 + 1 ) 托辫，其中托o 是常数，此时s = o + 1 ) 托f ( c ) p 满足t = o ，s j = o ，此时对任意的有s = o s 一曲率对f i i l s l e r 度量的旗曲率有重要影响，程新跃、莫晓欢和沈忠民给出了下面的 重要定理 引理2 2 1 3 l 】如果f i i l 8 l e r 度量f 具有标量旗曲率k = k ( z ，剪) 且g 曲率是迷向，那 么 k ：坠篓+ 盯 k ：= = 望+ 盯 其中c = c ( z ) 和盯= 盯( z ) 都是流形m 上的标量函数 。 接下来介绍一类特殊的f i 璐1 e r 度量( a ，p ) 一度量它是一类在生物学和物理学等领域 中有重要背景的f i 璐l e r 度量，是一类非常丰富的可计算的f i n s l e r 度量，人们之所以能 对f i n s l e r 几何中的各种曲率展开研究并能更好的理解其几何意义，这要部分的归功于对 ( q ，p ) 一度量的研究 在一个礼维流形m 上定义( q ，卢) 度量，若f i n s l e r 度量具有下列形式 f = a ( 盖) 其中q = o 巧扩为r i e m a n n i a n 度量，p = 玩( z ) 矿为1 - 形式， = ( s ) 是在某区间 ( 一6 0 ，6 0 ) 上的正c o o 函数，且满足 咖( s ) 一s ( s ) + ( 6 2 一s 2 ) ( s ) ，0 ， i s is6 6 0 f 是一个f i 璐l e r 度量当且仅当对任意的z m ，| | 阮忆 o ， v h 6 南 接着介绍几类文中讨论的特殊的( a ，p ) 一度量 ( 1 ) 广义s h e n - 度量 称f = q + e p + 忌譬为广义s h e n - 度量，当e = 2 ，后；1 时，f = 延乒称为沈度量 b e 瑚越d 首先发现这个度量，沈忠民先生对它做了系统的研究 ( 2 ) k r o p i n a 度量f = 学 ( 3 ) m a t s u m o t o 度量【2 1 】 m a t s u m o t o 度量f = 禹是日本数学家m m a t s u m o t o 在研究山路斜坡问题时抽象出来的 度量，其中q 是地球引力，p 是高度。 本文中约定 定义6 i ；j 如下 吼；j 伊：= 蛾一幻酲， 其中= 出，并且醒= 黾如代表口的l e 、，i - c i 、r i t a 联络形式令 q = 丢( 玩；j + 幻；i ) ，s 巧= 丢( 阮j 一；t ) ， s ；= 口地s m ，勺；玩s ；，咖= 影。矿，s 6 = 彤暑， s o = 8 矿。 若5 “= o ，则称p 为闭的1 一形式；若啊= o ，则称p 为k i l l i n g1 一形式；若= o ，且 乳= o 则称p 为关于口长度恒定的k i l l i n g1 一形式；若6 t ；j ；o ，则称p 关于q 平行 f 和q 的测地系数分别记为g 和虿， = 譬 f 2 k 矿矿一【f 2 b 】- ，才= 譬 妒k 七一【胡办 其中：= ( f 2 】矿驴) ，：= ( ) 一 对( a ，p ) 度量通过直接计算，有以下引理( 参见文献【2 2 】【2 4 1 ) 引理2 4 测地系数g 与虿相关于下列形式 g = 虿+ p + q ( 2 1 1 ) 其中 p= q 。 = q= a 一1 口 一2 q a s o + n ) 0 ) ， q q s j + 皿 一2 q q s o + r o o ) ， 心 两 8 口= 皿= s ：= 鲁，6 ：= i i 忍s f o = s “矿，s o = s 1 0 6 另外，在参考文献【17 】和【2 3 】中可以找到( 2 1 1 ) 式的另外一种表达形式 三、具有标量旗曲率及迷向r i c c i 曲率的特殊( a ，) 一度量性质 首先给出一些下文中要用到的几何量的具体表达式 引理3 1 【2 5 】( a ，p ) 一度量f = a 妒( 尝) 的平均l a j l d s b e r g 曲率为 j ；c = 一赤【焉【丢帕+ 1 ) ( q 一刈) 】( s o + 枷； + 萨与 皿+ s 丢】( 伽一2 。q s 。) + a 【一a q 7 s o + a q ( a 。5 ；一玑s 。) + q 2 s t 。+ a 2 ( n 。一2 q q s t ) 一( 咖一2 q q s 。) 玑】丢) 再中 q = 万兰冬歹， = 1 + 5 q + ( 6 2 一s 2 ) q 7 圣= 一( n + l + s q ) ( q s q 7 ) 一( 6 2 一s 2 ) ( 1 + s q ) q 皿= 厨抠 譬】， 田2 = 2 m + 1 ) ( q 一5 q 7 ) + 3 丢 对上式用驴缩并可得 了：；五= 一夏壶【皿l ( 咖一2 口q 即) + a 田2 ( 内+ 即) ) ( 3 1 ) 引理3 2 ( a ，p ) - 度量f = q ( 鲁) 的平均c a r t a n 挠率为 五= 一( 喝) 1 2 一i 丕乏西f l a d 。一s 玑，。 证明 ( q ，p ) 一度量f = a ( 鲁) 的基本张量 = p 口巧+ 伽玩幻+ p 1 ( 魄q + 6 j q ) 一s p l q t a 9 两万 一了 甄丽 竺妒 型+ 生忡 (一、，j“，1- ，| 万 i j i 一 | i 一“ 一篓 其中 p ：= 扩一s ，舶：= + ， m ：= 一s ( 咖毋+ ) + 直接计算可得 如( 鲫) = 矿+ 1 ( 一8 ) n 一2 ( 一s 7 ) + ( 铲一s 2 ) 】如t ( 口巧) 由定义 五= 珈n 征丽 = 三杀l n m 酬 ， = 三杀( 几+ 1 ) 1 n + ( 他一2 ) l n ( 一s ) + l i l ( 咖一s ) + ( 6 2 8 2 ) 】+ l n 【如t ( 七( z ) ) 】 = 訾c ，警却叫尚一者并篇 = 二警( q 玩一s 轨) 对上式用扩缩并可得 j ：= 五6 = 二警( 6 2 5 2 ) ( 3 2 ) 由d e i c k e 理论知道，一个f i 璐l e r 度量为黎曼度量的充分必要条件是其平均c 碱a n 挠率 为0 引理3 3 1 2 6 】( 口，p ) - 度量f = a ( 譬) 的g 曲率为 s = q 7 2 皿q s 一2 皿q 】( 6 2 8 2 ) 一2 ( 铊+ 1 ) q e + 2 a ) 8 0 + 2 【皿+ 入) 绚+ a 一1 【( 6 2 一s 2 ) 霍7 + ( n + 1 ) l s i ) 伽 ( 3 3 ) 其中a ：= 一箍笛为流形上的数量函数 引理3 4 ( q ，p ) - 度量f = 口( 鲁) 如果它具有常数旗曲率k ，则 讪m 嘶气咐训一函尹扩一2 雾( g 2 埘) + 尉以酽地( 3 4 ) 证明a k b 跗一z a d e h 证明了如果f i i l s l e r 度量f 具有常旗曲率k ，则 也：m 秒m + k f 2 五；o 对于( q ，) 一度量具有常数旗瞳率k ，上式显然成立又 = 券一也r m 一券碥；= 器一以彰m 一券碱 1 0 五舢m = 【五i 。一巩( r ：m 一m ) 一券( 峨一砣) 】矿 = 严正笋一2 等( 扎 所以( q ，p ) 度量具有常数旗曲率k ，有 矿一五笋一2 券( g 。埘卅钟五= 。 方程两边用缩并可得， 讪嘶气驸跏笋茅( 卅卅却2 厶= 。 定理3 1 对n 3 ) 维流形m 上的k r o p i n a 度量f = 譬，若f 具有标量旗曲率 k = k ( z ，可) ，则f 具有迷向g 曲率的充分必要条件是k 为常数此时s = o 且旗曲率 k 满足等式 4 k ( 6 2 0 2 一p 2 ) = s s 6 6 2 证明f 具有迷向g 曲率，即s = m + 1 ) c ( z ) f ，由引理3 3 知，此时f 满足( 3 3 ) 式， 把s = + 1 ) c ( z ) f 代入( 3 3 ) ，利用m 印l e 整理有 ( n + 1 ) c ( z ) 6 2 q 4 一( 卢r 0 + 2 a 6 2 p 伯一扎p s o + 2 入6 2 p s o ) a 2 + ( n 十1 ) r 0 0 p 2 = o( 3 5 ) 则由( 3 5 ) 易知，伽p 2 能被a 2 整除，而p 2 不能被口2 整除，故存在下= 丁( z ) 使得r 0 0 = 丁a 2 ， 则r o = 丁卢，把它们代入( 3 5 ) 整理有 ( 扎+ 1 ) c ( z ) 6 2 a 2 = p ( 2 入6 2 一n ) ( 丁p + 5 0 )( 3 6 ) 其中入= 入( z ) 为标量函数，则( 3 6 ) 式成立有 7 - 口+ s o = 0 则s t = 一丁玩，用6 l 缩并有7 = o ，即7 0 0 = o ，s o = o ，此时s = o 由引理2 2 知， k = 罕+ 口，其中c = c ( z ) 和盯= 盯( z ) 都是流形m 上的标量函数由s = + 1 ) c ( z ) f 且s = o ，则c ( z ) = o ，此时k = 盯( z ) 由s c h u r 定理知f 具有常数旗曲率k 反之若f 具有常数旗曲率k ，引理3 4 知，它满足( 3 4 ) 式把= ；代入( 3 1 ) 可 得， 了= ( n + 1 ) 丛镓掣 1 1 把咖= j 代入( 3 2 ) 可得 h 川) 学 整理( 3 4 ) 式得到一个关于a 的线性多项式 b 1 2 0 1 2 + b 1 0 q 1 0 + 风q 8 + 岛扩+ 风a 6 + 玩q 4 + 玩q 3 + 玩口2 + 玩= o ( 3 7 ) 其中，b 玎是关于可的齐次多项式整理( 3 7 ) 式 ( b 1 2 a 1 2 + b 1 0 q 1 0 + 风q 8 + 风q 6 + 玩q 4 + 励q 2 + 岛) + ( 魄a 4 + 风a 2 ) a = o ，( 3 8 ) 则上式中q 的系数肯定为零( q 是无理式) 故上式等价于 召1 2 a 1 2 + b 1 0 q 1 0 + 风扩+ 风a 6 + b 4 q 4 + 玩q 2 + 岛= 0 ， ( 3 9 ) b 5 口4 + 玩0 2 = 0 ， ( 3 1 0 ) 其中 岛：= 一1 6 6 2 p 5 ，岛：= 一1 6 6 2 伽s o ， 故有( 3 1 0 ) 等价于 即口2 + p 伽= 0 ，( 3 1 1 ) 卢r 0 0 能被q 2 整除，又p 不含因子q 2 ，所以存在m 上的标量函数丁= 下( z ) 使得 r o o = 7 - a 2 把7 0 0 = 7 - q 2 代入( 3 1 1 ) 式则s o + 7 p = o 它等价于+ 丁玩= o 用驴缩并上式有7 6 2 = o 因为p o ，故7 - = o 即有 r 0 0 = 0 ，s o = o ( 3 1 2 ) 由引理3g 曲率表达式知s = o 此时有 一= q