（基础数学专业论文）四维lorentz空间形式中非零曲线的粒子模型.pdf

r d i s s e r t a t i o no fm a s t e rc a n d i d a t ei n2 010 u n i v e r s i t yc o d e ：10 2 6 9 s t u d e n ti d ：5 1 0 7 0 6 0 1 0 1 5 e a stc h i n an o r m a lu n i v e r si t y g e o m e t r i ca lp a r t i c l em o d e lsi n4 dl o r e n t z s p a c ef o r m s o nn o n - n u l lc u r v e s d e p a r t m e n t ：d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s s p e c i a l t y ：p u r e m a t h e m a t i c s r e s e a r c hd i r e c t i o n ：d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y s u p e r v i s o r ：a s s o p r o f r o n g p e ih u a n g c a d i d a t e ： s h e n g j i ed e n g c o m p l e t e di nm a y ，2 010 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文 四砸二愉t 毫室i 司黾 对| i 嚏矗线酌粗手裰型 ，是在华东师范大学攻读硬左 博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果除 文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成 果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢 意 作者签名：幺亡至盔 日期：声扣年岁月圩日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 阅雉厶，期k 笠i 司哥多式干；l f 害- 霸，戋百争粒舛羹型系本人在华东师范大 学攻读学位期间在导师指导下完成的硕士博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研 究成果归华东师范大学所有本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此 学位论文，并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位 论文的印刷版和电子版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查 阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进 行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复 制学位论文 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文， 于年月日解密，解密后适用上述授权 本人签名致歪盎 w o 年f 月，少日 毋 l 毒￥鬈娜￥痧 饼磁f 量 磊f 荨 秦￥呵士f 孑痧 萝 磁 译巧琴 掣千 砻了曲j 【事痧 辫珲 毒2 多 瑕号码责牲浊髟辅 责矽暂搿号曾垂挺嚣茸观再嘉千照翠丢殛 四维l o r e n t z 空间形式中非零曲线的粒子 模型 摘要：本文讨论了四维l o r e n t z 空问形式中非零曲线的粒子模型对于任意依赖于 第一曲率岣和第二曲率娩的l a g r a n g e 作用的泛函：工厂( k l ，k 2 ) d j ，求出了相对论粒 子的e u l e r - l a g r a n g e 运动方程，构造出一个沿着极值曲线的k i l l i n g 向量场；然后在三 维l o r e n t z 空问形式中构造出两个k i l l i n g 场，并找到了这两个k i l l i n g 场满足的首次积 分，进而对o ( 4 ，2 ) 的代表元进行讨论并求出了相应的极值曲线的参数方程 关键词：e u l e r - l a g r a n g e 方程k i l l i n g 向量场 g e o m e t r i c a lp a r t i c l em o d e l s i n4 - dl o r e n t z s p a c ef o r m so i ln o n n u l lc u r v e s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w es t u d yt h ep a n i c i em o d e i s 。ft h e n o n n u l lc 黼si n4 一 出m e n s 。n a ll 。r e m zs p a c ef o r m s f o r a n yf u n c t i o n a l ：上似l ，k 2 ) d j ，w h e r e ，( 幻，鲍) i sa s m o o t hr e a 】f u n c t i o nd e p e n d i n go nt h ef i r s t c u r v a t u r e 戈la n dt h es e c o n dc u a t u r e 娩，w ，e 0 b t a i nt h ee u l e r - l a g r a n g em o t i o ne q u a t i 。n so ft h e r e l a t i v i s t i cp a i t i c l em 。d e la n dc o n s 咖c t ak i l l i n gv e c t o rf i e l dw h i c h a l o n gt h ec r i t i c a lc u r v e t h e n i n3 - d i m e n s i o n a ll o r e n t zs p a c ef b n n sa n d w e g e tt w ok i l l i n gv e c t o rf i e l d s t w of i r s t i n t e g r a l sr e s p e c t i v e l y a tl a s t 。w eo b t a i n9p a r a m e t d c e q u a t i o n so ft h ec r i t i c a ic u n ，ea c c o r d i n gt ot h e9 r e p r e s e n t a t i v ee 】e m e n t so f 0 ( 4 ，2 ) k e yw o r d s e u l e r - l a g r a n g ee q u a t i 。n k i l l i n gv e c t o rf i e l d 目录 l 弓i 言1 2 粒子模型和运动方程2 3e u l e r - l a g r a n g e 方程和k i l l i n g l 甸量场6 3 1 e u l e r - l a g r a n g e 方程的导出6 3 2 k i l l i n g s 量场的讨论。1 1 4 转入三维l o r e n t z 空间形式1 4 s 三维l o r e n t z 空间形式中运动方程的求解1 5 参考文献j 4 6 致谢。4 8 1 引言 1 9 8 4 年，j l a n g e r 和d a s i n g e r 发表t h et o t a ls q u a r e dc u r g a t u r eo f c l o s e dc u r v e s ( 1 3 ) 此后的二十年里，依赖于粒子世界线的曲率或挠率作用的 相对论粒子模型吸引了为数众多的学者 1 3 中考虑的变分曲线为具有常截面曲率的三维e u c l i d 空间中的闭弹性曲 线，作用是全平方测地曲率为了求解e u l e r l a g r a n g e 方程，作者引入了k i l l i n g 向量场 1 8 中，r h u a n g 把全平方测地曲率推广到了依赖于曲率的多项式的情 形，得到了两个k i l l i n g 向量场，并用它们以柱面坐标的形式表示出了对应运动 方程的解 1 6 中，n e v i ng u r b u z 把外围空间平移到l o r e n t z 空间，得到了与 1 8 平行的结果四维的情形，a n e r s e s s i a n 在 9 中利用对应的k i l l i n g 向量场给出 了e u l e r - l a g r a n g e 方程的两个首次积分常数，它们与旋量和质量有着密切的关 系 到2 0 0 3 年， 1 2 中考虑了线性依赖于曲率和挠率的泛函，得到对应的临界曲 线是l a u c r e t 曲线或者螺旋线进而 6 巾讨论了三维伪r i e m a n n 空间形式中依赖 于曲率和挠率的任意光滑函数的情形，给出了两个k i l l i n g 向量场 7 考虑了四 维l o r e n t z 空间中的零曲线，给出了三个k i l l i n g 向量场，并利用h a m i l t o n 可积 系统，在特殊的情况下把积分方程转化为偏微分方程，以柱面坐标的形式给出了 对应运动方程的解 1 中，以截面曲率为零的四维l o r e n t z 空间形式为背景的空 间，考虑变分曲线为非零曲线，泛函为关于第一曲率和第二曲率的任意光滑函数 在本文，我们把 1 中的背景空间推广到一般的四维l o r e n t z 空间形式考 虑的变分曲线是其中的非零曲线，泛函为关于第一曲率和第二曲率的任意光滑函 数在第二部分，我们给出相关概念和引理第三部分利用引理1 和f r e n e t 公式推 导出e u l e r l a g r a n g e 方程，并验证了互是一个k i l l i n g 向量场第四部分我们限 制到三维的情形，仿照 6 ，给出了两个k i l l i n g 场，定理2 给出了它们的两个首次 积分最后一部分，利用前一部分的两个k i l l i n g 场，构造出一个合适的坐标系， 分类导出了g 一一( 华) ( 1 0 ) = ( v ；, w + e o g w ，n j ) - 2 c o x l ( v7w，r(102) = ( v ；形，l + ( v r w ，- 2 e o x l t ) + ( w ，e o g n i ) ( 1 0 3 ) 毗) _ ( v r 睁+ e o g w ) 卜v 彤”文掣+ 掣 ( 1 1 ， 印r 晤( v 肌勺g 彬) ) + x i v t w , 2 一垒( v ；形+ e o g 形，l 一e o , c ：( v7 w ，丁 ( 1 1 2 ) 配 = c 吾v ；+ q ( 吉) v ；w + c o e l g 吉v r 肜+ c o 。g ( 吉) 形 + e o x l v7 w ，2 一垒 一e o x ：( v r w ，r ( 1 1 3 ) 疋 = c v ；形，吾m ，+ c v ；矿，一詈m + q ( 吉) j 鸩， 确kl + c 形，一c o g 詈m + 岛气g ( 吉) m ， “v 彤一岛丁+ ( e d e l g 吉+ c o 一) 心， 4 ， 第4 页共4 8 页 e 由c 吩，= c v r ( 卺( v r ( 吾( v ；+ 岛g ) + e o x l v r w ) 令 + 静w + e o g w ) 一b 降+ 掣+ 掣) m ， 我们引入以下记号，进一步对引理1 中的公式进行整理 则 形( 1 ，) = ( w o ，丁 吣) _ ( 哪，一k ( 华) w o = e o v v 7 w 喝晤 专 毗h 呲，一心( 半+ 掣) 嗽h 呲，一0 华+ 掣+ 掣) 第5 页共4 8 页 ( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) ( 1 4 1 ) ( 1 4 2 ) ( 1 4 3 ) ( 1 4 4 ) 肜 伽 拶 和 旦y + 、，、 彤 一y 气一 已 w = = 3e u l e r - l a g r a n g e 方程和k illi n g 向量场 在本节中，我们考虑的变分曲线为四维l o r e n t z 空间形式研( g ) 中的非零曲 线( n o n n u l lc u r v e s ) ，关于零曲线的相关问题参见 7 我们考虑c 作用的曲线 为闭曲线或者沿曲线满足如下边界条件： w ( o ，o ) = w ( o ，) ，v 7 w ( o ，o ) = v7 w ( o ，三) ，v ；w ( o ，0 ) = v ；w ( o ，l ) 即在变分曲线的端点处具有相同的f r e n e t 标架在此，强调一下聊( g ) 的截面 曲率g 是一个实的常数 3 1 e u l e r - l a g r a n g e 方程的导出 考虑下面的单参数的泛函族： c ( ，w ) = ( _ ，) 幽 这里( k ，k ) 是关于第一曲率k ( 嵋s ) 和第二曲率砭( w ，s ) 的任意光滑函数 ( 1 5 ) 我们f 文约定：无( i = 1 ，2 ) 表不【一，砭) 关于求导，畸表不厶( j ) ( 扛l ，2 ) 关于s 求导 利用引理1 可得： 面d i 。= or 厂( 局，心) 凼( 1 6 1 ) = 面dl 。l 厂( 氍，t r 2 ) v d t = r 杀( ( k ，& ) y ) 衍 = r ( ( k ) + 丘( 心) 户+ w ( v ) d t = r ( 厶肜( _ ) + 丘( ) ) i ，+ f ( - e o g v ) d t = r 厶( 玛) + 丘( 砭) 一e o f g d s ( ( 7 3 ) ，( 8 4 ) 式代入) = r 厶( + ( v r 形，- 2 e o t c i t + ) + 厶( c v ；形，詈m ，+ c v ；，一詈m + 与( 吉) m ， 第6 页共4 8 页 邶彤飞砭r + 一g 吉+ c o 墨) 2 ， “形，一岛g 詈m + q g ( 吉) m ， 一勺厂c - ( v t w , t ) ，凼 = 脚专厶2 ) + ( v 轵( 厶一詈丘) l + 与厶2 + “形，c o g ( 一詈厶 - + c o g 与( 亡) 厶m ，哆 c - 6 2 ， r ；形，詈丘2 ) 幽 = 晤一r ；形，v r ( 詈厶2 ) ) 豳 = 晤 蚝 一r 咿，与厶+ 刳鸩+ 詈聃刚懈砌凼 = 苗 ， + i ；形，詈丘m 一与f ( 吉) 厶+ 鲁 m q 岛詈厶m 汹 c - 7 ， 合并( 1 7 ) 和( 1 6 2 ) 式被积函数中出现的含有关于r 求联络的2 阶项，得到 r 咿，詈矗厶+ 刳嘻删幽 + f ；形，( 一詈丘) t + 与( 吉) 。无m ，出 第7 页共4 8 页 = 孵眦i 一气鲁2 啪鱼, 6 ln 3 a s = 岳 kk 一l 咿一一气鲁鸩吒詈厶m ) 凼 = 晤 水以l 吲- e d c t t + e 2 x 2 n 2 ) _ e 。2 一气鲁( 1 屹m + 岛玛m ) 一与岛( 詈厶) ，m 一气嘻厶( 一乞玛m ) ，凼 = 晤 水w m 丘丁一( 专卜 + 一乞厶+ 气( 鲁) 一气乞弓鲁厶 m 蚝陋+ 卜“ ( 1 8 ) 合并( 1 8 ) 和( 1 6 2 ) 式被积函数中出现的含有形关于丁求联络的1 阶项，得到 舸k 厶丁一( 音) l + ( 一乞厶+ q ( 鲁 一与乞岛鲁丘 m + 气岛( 玛 + ( 詈厶) m ，豳 + r r 矽，气( 一2 一厶一心厶) r + ( 勺q g 吉+ 吒k ) 丘2 出 = r r 矽，勺( 一k 厶一屹厶) r 一( + 詈) l + 一乞厶+ 气( 鲁 - 一气乞岛鲁f , 。, + e o q g + 吒k 厶 m + 与勺( 岛号 + ( 詈丘) m ，凼 = l r 形，暑懈g f _ n ：) a s = c ，e + 岛q g 鲁m ，学一r 缈，v r ( 露+ 吒q g 鲁m 凼 ( 一k 一砭厶) r i 音) l + ( 乞+ q ( 鲁 一与乞岛詈厶+ 勺k 丘 m 蚝陋+ 3 合并( 1 7 ) ，( 1 8 ) ，( 1 9 ) 三式中的边界项，得到 b r ，矽】= + k 。 k一 2 “形，墨十c o q g 釜2 一 从而( 1 6 1 ) 式- - f 变为 丢k 。f ( k ，屹) 幽 叫缈增一r 只卜卯鲁m ) 凼 第9 页共4 8 页 ( 1 9 ) ( 2 0 ) ( 2 1 ) + r ，气g ( 厶一詈无) t + 气g 气( 吉) 厶m ，出 = 卧刚：+ l 盱v r h 卯鲁鸩) + c o g ( 一詈厶) t + c o g 与( 吉) 。丘鸩，幽 = b r ，w 1 2 一r 缈，一v r 墨 邯g 厶+ 铷吒g * 卿泓， + 岛g ( 一詈丘) m + g 与( 吉 厶m ，出 = 研托形蝣一l 缈，一v r e + e d 哦l 一岛与g 鲁2 一c o g 与嘻厶3 凼 嘶刚：一f c ( w , - v r p i + e o g ( f , q m 一与鲁m 啪詈丘札 ) 凼 我, f jn - j 以选取j 【0 ，】，其中s 【0 ，l 】，以上的变分计算仍然成立，则可以得 到边界项沿变分曲线为常数，即b y ，】= c ( c 为常数) ，从而有：b i t ，肜碓= o 若记 g o = e o ( 厂一喝一砭丘) 蜀一( + 詈) 一“吒“一厶 q 2 岛= 气岛( 玛二： + ( 詈厶 丑= g o t + g , n l + 9 2 2 + 9 3 3 从而 v r 只= v r ( g o t + g 。l + g ：2 + 岛3 ) 第1 0 页共4 8 页 = 盛r + g o ( e l k i ) + g ：l + ( 飞k 丁+ 乞心2 ) + 反2 + 9 2 ( 一与l + 乞玛3 ) + 磊3 + 岛( 气玛2 ) = ( 反一e o g 。) r + ( 与k 岛+ 磊一q 岛岛) m + ( e 2 + 反一乞玛) 2 + ( e p q 9 2 + 西) 3 由于7 为临界曲线，则有一v ，暑+ c o g ( - 一与鲁他一气嘻厶他) - o ，即 v 肝e o g 一每m 吒詈厶鸩 ， 从而得到e u l e r l a g r a n g e 方程： 磊- e o x l g l = 0 g k l g o + 磊与k 2 9 2 = c o 哦 乞心蜀+ 反一乞玛9 3 = 一勺e l g 生 厂 乞心蜀+ 一乞玛= 一勺e l u 3 一 岛蚝+ 9 3 注意到( 2 3 ) 和( 2 4 ) 两式是等价的 3 2 k i l l i n g 向量场的讨论 一讹嘻丘 在本节，我们将要看到e 是膨- j 抛向量场 首先给出盯j j 啦场的定义( 1 3 ) ( 2 4 ) 定义3 我们称沿m 中的曲线y 的一个向量场为k i l l i n g l 甸量场，如果满足： ( 珥，丁) = 矽( 毛) = w ( k 0 = 形( 屯) = o 定理1 暑是肛j - 切向量场 证明分三步证明( 分别记为( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ) ： ( 1 ) 由( 1 3 2 ) 式，得 第1 1 页共4 8 页 ( 2 5 ) 形= v r 2 名+ 勺g 号 喝竹与鲁勺詈叫 峒 ( ( 1 5 ) 式代入) = c o g m + 厶c c o k r + c z 屹m ，一q ( 鲁 m q 号手c 一气屹m + 岛玛m ， 一詈厶卜飞詈竹乞玛m ，1 + c o 础 = c o g 一c o 一厶丁+ ( + t 鲁 m + 乞吃一q ( 鲁 ，+ c - 乞岛鲁丘 m 1 岛陋+ 3 + 岛g ( c o ( 一一厶一心厶) 丁一( + 詈) l + ( 气心+ q ( 鲁) 一与e 2 岛鲁丘+ c o 氍丘 鸩 + 气岛( 玛二 + ( 詈厶) m = 0 g ( c o ( 一2 一一厶) 丁+ e o 丘2 ) = g k ( ( 吾一2 厶一詈厶) 丁+ 厶m ) ( 2 ) 上式代入( 1 3 3 ) 式，得 喝( 詈( v mc o 啷) ) 螂v r 鼻 = v r ( 詈( g 一( ( 詈一2 厶一詈厶) 丁+ 丘m ) 第1 2 页共4 8 页 + c o k ( 吒g ( 厶- 一c - 鲁心一c - 勺詈丘m ) = 与g ( 吾一2 一詈丘) 丁+ ( 吾一2 厶一詈厶) c 与一m ， + 2 + 厶( 1 q l + 岛玛3 ) ) + 气g ( e l k l 一2 一岛玛瓦3 ) = 气g ( ( 吾一2 厶一要 矗) 丁+ 气( 一蜀厶一2 镌厶) - ( 3 ) 上面的结果代入( 1 4 1 ) ，( 1 4 2 ) ，( 1 4 3 ) ，( 1 4 4 ) ，依次可得 丑( 功= e o ( v 7 只，t ) v = 0 鼻( _ ) = = 0 暑( 砭) = = o 酏) 媚，3 = ( v r 陪吸) 十詈形，3 ) = o 由以上四式，根据定义3 ，可知暑是k i l l i n g ：场 r l 把z 。1 4 的互代入( 2 1 ) 式，得 射矧5 e l e 2 嚷+ f o g ( e 1 名+ c 2 ( 鲁) 2 + 岛噜厶) 2 ) + 只固：c l ， 这里c 。是常数 依 1 的做法，可能会有另外两个k i l l i n g 场存在然而，我们并不打算继 续寻找它们，事实上要寻找它们是非常困难的我们转入研究三维l o r e n t z 空_ 第1 3 页共4 8 页 4 转入三维l o r o n t z 空间形式 我们将前面的结果限制在三维l o r e n t z 空间形式中，即令毛= 0 ，将会看到 p , i b ：。仍然是彪啦场，不妨重新记之为，即 州k 。刮h 厶卜i + 引m + 卜郴厶 2 注意到i 和 6 中的k i l l i n g 场i 一致 这时，研( g ) 中的e u l e r l a g r a n g e 方程的等价形式即 v 邓一q 鲁m 将上式稍作展开，立即得到e u l e r l a g r a n g e 方程( 参见 6 ) - - 我, f r 直接引用 6 中的另外一个k i l l i n g ) 历： 扛一眠卜鲁i 一瓠2 由 6 中的命题1 和定理2 ，可得 定理2 聊( g ) 中，e u l e r l a g r a n g e 方程的临界曲线满足下面两式： 缎坷( ) ( 2 6 ) ( ，) = p 其中，d 和e 是积分常数，参看 6 这里我们不妨假设s = s o 毛e 2 = - 1 第1 4 页共4 8 页 5 三维l o r e n t z 空间形式中运动方程的求解 在本节中我们将在三维l o r e n t z 空间形式聊( g ) 中，用第四部分的两个 肌j j 衄场，和，构造一个新的坐标系，分类给出极值曲线在此坐标系中的参数 表达式 下面我们仅仅讨论非平坦且g o 的情形，请参看 6 对于g o 的情形，我们可以把研( g ) 看做硝中的超二次曲面 ( h y p e r q u a t ic ) 取如下参数化方程 x ( o ，缈，少) = e o a e 妒c ( 少) ( 2 7 ) 其中a ，b 李代数0 ( 4 ，2 ) r 彳，b 可交换：c ( ) = ( q ( ) ，呸( y ) ，a 3 0 ) ，q ( 沙) ) 7 是 中的曲线，满足p ( ) ，c ( 少) ) = l g ，丁表示矩阵的转置，口。( y ) ，吼( y ) ，色( 沙) ，a 4 ( v ) 均为关于沙的任意光滑函数 由上而的参数化方程，容易得到坐标向量场如下： 它们满足： 局= a e 鲥e 妒c ( ) 也= b e 醐p 徊c ( ) 也= p 矿口c ( y ) ( 2 8 ) g o a 毒似，局) = 一c ( 少) r m 2 c w ) ，三( 以，) = 一c ( y ) 7 仙2 c ( 少) ， 跏三( 巧，以) = c ( 少) r 人c ( 沙) ，勖兰( ，) = 一c ( 沙) r a , 4 b c ( 弘) ， ( 2 9 ) 鼽暑( 局，巧) = 叼( 少) r m c ( y ) ，岛妒三( ，乃) = 一c w ) r a b c ( 沙) 这里，a 是对角元素依次为一1 ，一1 ，1 ，1 的四阶对角矩阵，即霹中的典范度量矩阵 我们用以表示第f 行第列的元素取1 ，其它位置的元素全部取0 的4 x 4 1 玢 矩阵，即以= ( ) 。川= 磊 第l s 页共4 8 页 则有 定义 = 4 【f 一乞巳4 ，其中岛= q = 一1 ，岛= 毛= 1 m 旺 d 1 0i ，l ，m 1 3 = i i o j 令管= 。+ 4 鸩，鹭= m 0 2 + 嘎m ，学= m i ：+ 壤坞。， 这里，谚= l ，i = 1 ，2 ，3 我们再记 10 i ， 锄1 = e = i _ l i ( 0 f o l 卿埠l 3 i l 1 ，0 锄叫：卜 l l o k 叫： 纠 怯叫：一 o jlo 0j 扣1 r 。，。0 唱2 匕 ol 0 0 0 o l0 lo o o 0 0 ol 0 o 0l l0 0 o 以下，我们不妨总是取c ( 少) = ( o ，_ _ 击gc o s h , 1 吞s i n h 少, 0 ) r 依 ，李代数0 ( 4 ，2 ) 的轨道有9 类代表元，它们分别足： 叫+ b a - 1 ，鸩1 + 6 硅，叫+ 必，鸩1 + 坼1 ， 第1 6 页共4 8 页 一、li， l 0 o o 、， 0 0 0 0 o 0 o 0 o l o 0 o 0 o o 0 0 l o o 0 0 l ，。- l i 收 一、 o o 0 o l o o o o o o o o o 0 0 ，f。l = 嵋 、， 0 o o 0 o o o o o o l o o 1 o o o 0 o ，j-。l。-_t。-l-，jji。_。-_-_-_-_-_-k l、i， o 0 o o o o o o 1 0 o 0 0 o 0 o ，。l = o 0 o o 0 o o 0 o 0 o o j，。l = 坞 、， 0 l o o 0 o l 0 ，。-。-。一 o o o o 1 o 0 o 、， o o一0 、， o 0 o l o o l o o o 0 0 l o o o 0 o 口簋+ ( 与1 + e ) ，鸩1 + ( 1 + 丘) ，( 葺+ 互1 ) + 6 与1 ，( 五+ 与1 ) + 砭， ( e + 与1 ) + ( 与1 + 丘) 下面我们就分9 种情形，依次讨论之 这里e 表示单位矩阵，下同 可得p 咖： 由 可得p 4 - 1 p ： 从而，由( 2 7 ) 式，得 x = 1 。霄 、，一l ， s i n 口0 c o s 90 0c o s 0 0一s i n 口 s i n 缈 c o s 妒 0 0 2 艇 0。矽；0cos-sinsinqocos孑， i 矽 缈i 9 = - e ，( 上：) 3 = 一e ，( e ) 4 = e ， = - e ，( 彳1 ) 3 = 一与1 ，( 与1 ) 4 = e ， ：罨0弓二s曼in秒0：主弓二雩0二三罨0；：喜；一cso曼sq妒，：熹0孑 一 c o s 口j l s i n 伊j lj cs05ns口9。0。0rcsons伊(acc。osshh荔g0 c o s 6s i n 0 c o s 。, o s i n h 0 - s i n 9 c o s s ) 。, s i nq o s i n h l l l | i少i 1 第1 7 页共4 8 页 o o 0 o 0 o o o o 0 o 0 o o o o y h ，l 、，j o 0 1 0 0 o 0 o 巧 岫 o o o 0 -，j-昏r i 1 i l 以 耻 q 由 一、j 口口 0 o m s c 秒旧 吣豳o o c - ，。l 、0j o o o o o 0 o o o o 1 l 0 o 0 o o o o 缈够 如o o c 一 ，。- 秒旧 吣豳o o c 一 古 秒涫m o o c ，。，。一 = 丽1 ( e o s h y s i n ( 秒+ 伊) , c o s h j v c o s ( 口+ 伊) , s i n h 驴, c o s ( 口一咖, - s i n h g , s i n ( 8 - ( p ) ) ， 3 l 由( 2 9 ) ，有踟= g 御= 西i ，= l c o s h2 少，跏= 一= 1 ta r ，勖= 岛矿= o u 因为d ( 4 ，2 ) 中的任意一个元素都可以写成局和以的线性组合，我们设 二= ：p 吼1 x o + + g p ：2 丘x 尹 ( 3 。) j = q l x 9 + q 2 x m ?j 其中p l ，仍，q l ，q ：均是不恒为0 的光滑函数 因此，可得 进而，首次积分为 ，j 扣伊l p 。2 + 雳+ 2 p ，p 2c 。s h 2 y ) = 吉( 岛纺+ 仍吼+ ( p l q 2 + 仍g 。) c o s h 2 y ) ， d _ _ g = 烈1 崩2 + 露一回；一回；+ 2 ( p , p 2 一g g i q 2 ) c o s h2 ) ， u 上面两式中，左边d ，e 均为常数，右边式子中沙是任意光滑函数，由恒等式的。i 生) v a 易得 p , q 2 + 仍g i = 0 ，见g i + 仍口2 = g e ， p , p 2 一g 白。q 2 = 0 ，彳一g 勾；+ 露一g q ；= g d 由上面易知彳9 ：= - p ，p 2 q ，= 一g 彳g ：，又g ：不恒为0 ，可得彳= 一g 彳 类似地，有露= 一g z 从而 - 2 g q ；- 2 g q 2 2 = 例间舟旷2 一詈， 这里d o ，从而我们要求 d 2 忍 d ( d o ) 故而，由( 3 0 ) 式，解得 x 8 = x ，= b 9 2 一仍g l 1 a q 2 一p 2 q z 1 6 q ? q ；= d 2 + 4 g e 2 ， p l q 2 一p 2 q 。= 2 二面旧q ( q 2 i - p 2 j ) 2 去( “周) ， ( - q l i + p t j ) 2 磊1 ( 小国) 由( 3 1 ) ，( 3 2 ) 两式，得 c o s h2 沙：d + 2 _ g ， 4 q l q 2 c o s h 229-1=(d+2g)2_(d2+4ge2) 1 6 吼2 吼2 ( 2 d + 2 g ) 2 g - 4 g 毒2 1 6 9 1 2 9 2 2 g ( 一e 2 ) 4 q ? g ； 3 zr 0 ) = r = ( s ) + ( j ) + g ( s ) 凡，结合( 2 9 ) 式，可得 口+ c o s h 2 卿= g ， c o s h 2 9 0 7 + = g ， 第1 9 页共4 8 页 ( 3 3 ) 即 其中 纵班丝篆学c o s n 。z t 一i 加) = 丝篆c o s 学2 ( n 一一l c o s h 2 y 一2 警丽1 + 厨) 一赢1 ( ，+ 厨) 一( d + 2 g ) ( 一，+ 面) 一4 9 ；( ，+ 厨) = = = = = = ，：- - - 一 8 一g g l 鸟； ：望丝三兰：三2 1 二! 堕2 垡二三堕巡堕2 8 二_ g 。q ； ：二堑三! ：三堕坠兰鱼( 垡g 三! ：兰三二堕2 8 二葡。q ； ( 一g - e ) i - i - ( d - i - g - 4 - g e ) j = _ _ _ - - _ _ _ _ - _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ - _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ - _ _ - _ _ _ _ 一 4 q 。q ； c o s h 2 少一以2 警磊1 ”厨) 一志+ 国) 一( d + 2 g ) ( ，+ 一g ) 一4 9 ；( 一，+ 一g )= - = = = = = = j - 二 8 一g 9 2 q ； ( d + 2 g ) ( ，+ 、 - g j ) + ( d + 2 4 - g e ) ( - i + 4 - g j ) = - - - - - = = = = = 一 8 一g 9 2 9 ； 2 ( g 一4 一g e ) i + 2 4 一g ( d + 4 一g p + g ) j = - _ _ _ _ _ _ _ _ _ i _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ - _ - - _ _ _ _ _ _ _ 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ -