（基础数学专业论文）某些李环的自同构.pdf

中文摘要 中文摘要 设玩是由所有住n 的反h e r m i t e 矩阵构成的集合，并且按照通常定义的 矩阵加法及如下定义的李积陋，b 】= a b b a ，a ，b e k ，构成个李环设级n 是由所有住竹的实反对称矩阵构成的集合，并且按照通常定义的李积陋，b 】= a b b a ，a ，b 构成个李代数由于李环的自同构的结果可以应用到李代数 上，因而通过对李环的自同构的研究可以加深对李代数相关知识的理解和认识数 学大师华罗庚先生于上世纪4 0 年代开创了矩阵几何这个数学研究领域，其后，由 我国著名数学家万哲先院士等人继承和发展本文是受到华罗庚文献的启示在本 文献中他给出了长方矩阵仿射几何的基本定理的证明，并由这个定理推出了长方矩 阵射影几何的基本定理，特征不是2 、3 的体上全矩阵环的李同构以及特征不为2 的体上全矩阵环的j o r d a n 同构目前，关于可交换环上的自同构问题的研究已经 有很多相关成果，产生了许多与此相关的文献特别是对于上三角矩阵环的自同构 问题已经有了较系统的研究但对李环的自同构问题的研究还不完善本文在第二 章中刻划了鲍的李自同构在第三章中给出了疆3 的b z 导子的分解 关键词。 李环；李代数；反h e r m i t e 矩阵；实反对称矩阵；李自同构 黑龙江大学硕士学位论文 英文摘要 s u p p o s e 尺i sas e to fa l l 竹竹s k e w - h e r m i t em a t r i c e s ，w h i c hf o r m sal i er i n g u n d e rt h eu s u a lm a t r i xa d d i t i o na n dt h el i em u l t i p l i c a t i o na s 【a ，b 】= 4 男一 b a ，a ，b e s u p p o s e i sas e to fa l lr e a ls k e w - s y m m e t r i cm a t r i c e s ，w h i c hf o r m s al i ea l g e b r au n d e rt h eu s u a ll i em u l t i p l i c a t i o n 嬲【a ，b 】= a b b a ，a ，b b e c a u s et h er e s u l t so fl i er i n ga u t o m o r p h i s mc a nb ea p p h e dt ot h el i ea l g e b r a ，s o w ec a ns t r e n g t h e nt h eu n d e r s t a n d i n ga n da w a r e n e s so fr e l e v a n tk n o w l e d g eo ft h e l i ea l g e b r at h r o u g ht h es t u d yo fl i er i n ga u t o m o r p h i s m i nt h e4 0 t hy e a r so fl a s t c e n t u r y , m a s t e rh u ap i o n e e r e dt h em a t h e m a t i c a ls t u d yf i e l do fg e o m e t r yo fm a t r i c e s w h i c hi si n h e r i t e da n dd e v e l o p e db yt h ew e l l - k n o w nm a t h e m a t i c i a nz h e - x i a n a c a d e m i c i a n s t h i sa r t i c l ei si n s u r e db yh u al i t e r a t u r er e v e l a t i o n i nh u a sl i t e r a t u r e t h ea u t h o rg i v e st h ep r o o fo ft h e o r e mo fa f f i n eg e o m e t r yo fr e c t a n g u l a rm a t r i c e s f r o m t h i st h e o r e m ，h ei n t r o d u c e dt h ef u n d a m e n t a lt h e o r e mo fp r o j e c t i v eg e o m e t r yo fr e c t - a n g u l a rm a t r i c e s ，t h el i ea u t o m o r p h i s m so ft o t a lm a t r i xr i n gi nt h es f i e l dw h o s e c h a r a c t e r i s t i ci sd i f f e r e n tf r o m2 、3 ，t h ej o r d a na u t o m o r p h i s m so ft o t a lm a t r i xr i n g i nt h es f i e l dw h o s ec h a r a c t e r i s t i ci sn o t2 a tp r e s e n t w eh a v eg o t t e nal o to fr e s u l t s a b o u ta u t o m o r p h i s m so v e rc o m m u t a t i v er i n ga n dc r e a t e dan u m b e ro fr e l a t e dl i t e r - a t u r e s ，e s p e c i a l l yf o rt h es t u d yo fa u t o m o r p h i s mo fu p p e rt r i a n g u l a rm a t r i xr i n g b u t t h es t u d yo fa u t o m o r p h i s mo fl i er i n gi sn o tp e r f e c t t h ep a p e rc h a r a c t e r i z e st h e l i ea u t o m o r p h i s mo f i nt h ec h a p t e r2 t h ec h a p t e r3g i v e st h ed e c o m p o s i t i o no f b z - d e r i v a t i o no f2 【3 k e y w o r d s ：l i er i n g ；l i ea l g e b r a ；s k e w - h e r m i t em a t r i x ；r e a ls k e w - s y m m e t r i c m a t r i c e s ；l i ea u t o m o r p h i s m n 一 黑龙江大学硕士学位论文 r 留 c ( 纺) d 3 ( 刀) 纱 伊 d i a g ( a l ，a 2 a n ) c ( 恐) 妒 砖 t r a 厶或， 【a ，6 1 符号说明 对角阵( 口1 ) 黑龙江大学硕士学位论文 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得黑龙江大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料 学位论文作者签名；声呼签字日期瑚口年多月知日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解黑龙江大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人 授权黑龙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编本学位论文 学位论文作者签名：赵宁 导师签名；矿胁 签字日期：力o 年5 月力日 签字日期：z l 晖f 月2 日 学位论文作者毕业后去向s 教师 工作单位。佳木斯大学 通讯地址；佳木斯大学理学院数学系4 8 号信箱 电话。1 5 8 0 4 5 4 9 7 5 7 邮编：1 5 4 0 0 7 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 环的自同构问题的研究现状 目前，矩阵几何发展趋势是将研究范围扩大，例如将域上的矩阵几何问题扩大 到环上进行研究，环上矩阵论研究已成为新世纪代数学发展的一个重要方向，而环 上自同构问题的研究对环上矩阵论的研究会起到积极的促进作用，所以研究环上的 自同构具有十分重要的意义关于可交换环上的自同构问题的研究，国内外数学学 者早有相关论述，现介绍一些研究成果 在1 9 9 4 年，d z d o k o v i c 在文献【3 】给出了可交换环匕匕三角矩降陶成的李代 数的自同构群 在1 9 9 7 年，曹佑安在文献【4 1 完整和明确的描述了由上三角矩阵构成的线性 李代数的个- - f 解子代数的自同构群，并在此基础上，进步给出了其迹为0 的子 代数的自同构群从而推广了【3 】的结论在此文献中，作者引进了其它几种自同 构群，如内自同构群，中心自同构群，图自同构群等在给出可解子代数的自同构 群时根据n 的不同取值，分三种情况( n = 1 ，几= 2 ，几 2 ) 进行讨论，从而给出结 果在给出迹为0 的子代数的自同构群时，根据( 佗= 2 ，n 2 ) 两种情况，给出结 果 在2 0 0 0 年，v e s s e l i nd r e m k y 在文献【5 】5 定义了特征为0 的域上由2 阶矩阵 生成的代数，并给出了这个代数的一种自同构，且证明它在这个代数的李自同构群 中是稠密的等相关结论 在2 0 0 3 年，曹佑安在文献【6 】给出任意有1 的可交换环上( 竹+ 1 ) + 1 ) 阶矩阵构成的李代数n ( r ) 的自同构的分解，证明其可以分解为极端自同构，内自 同构，中心自同构，图自同构的乘积，进而刻划了扎( r ) 的自同构群从而推广了 【3 】，【4 】的结论 在2 0 0 6 年，王兴涛等在文献【7 】给出了任意有1 的可交换环上( n + 1 ) ( n + 1 ) 阶匕三角矩阵构成的李代数瓦+ - ( 冗) 的自同构的分解，证明其可以分解为对角自同 构，内自同构，中心自同构，图自同构的乘积，并且刻划了其上的自同构群从而 推广了【4 】的结果 在2 0 0 7 年，王登银等在文献【8 】描述了正交李代数的标准b o r e l 子代数以及 上三角矩阵构成的广义线性李代数的子代数的自同构在文献中，作者给出由上三 黑龙江大学硕士学位论文 角矩阵构成的广义线性李代数的子代数t 的自同构仇可以表示为内自同构，中心 自同构，图自同构的乘积还给出正交李代数的标准b o r e l 子代数f 的自同构可以 表示为内自同构，图自同构以及极端自同构的乘积同年，q i uy u ，d e n g y i nw a n g a n ds h i k u no u 在文献【9 】9 描述了c k 型正交李代数的标准b o r e l 子代数的自同构 作者在文章中指出这种类型的自同构也可以写成几种自同构的乘积 在2 0 0 9 年，w a n gs a ia n dw a n gc h u n 在文献【1 0 】给出了可交换环上正则的 可交换李代数的导子及自同构 国内外，与此相关的文献还有很多，见参考文献【1 1 一【4 5 】 在1 9 5 1 年，华罗庚在文献【2 】给出了长方矩阵仿射几何的基本定理及此定理在 几个方面的应用，其中包括用此定理刻画斜域上全矩阵环的李同构 在2 0 0 9 年，徐金利，唐孝敏，曹重光在文献【l 】给出了实反对称矩阵构成的李 环的自同构利用构造的正则矩阵，正则子环等概念推导相关引理，从而证明了任 意的实反对称矩阵构成的李环的自同构都保秩2 ，从而刻划了其上的自同构 关于反h e r m i t e 矩阵及酉矩阵的研究已经有许多相关结果，见参考文献【4 6 卜 5 7 1 本文中研究的是二阶反h e r m i t e 矩阵上的李自同构问题 1 2 李代数的导子的研究现状 李代数导子问题是李代数表示理论中非常重要的部分，与李代数其它理论联系 密切目前，关于李代数或环的导子问题的研究已经有许多相关结果，现进行一下 简单介绍 在2 0 0 7 年，d o m i n i kb e n k o v i 芒在【5 8 】给出有1 的可交换环上的n 阶匕三角 矩阵构成的代数瓦到死的模m 的导子最后还给出若a 是包含矗的全矩阵代 数的子代数，则瓦到a 的导子都是内导子 在2 0 0 7 年，p j e k - h w e el e ea n dc h e n g k a il i u 在【5 9 】给出了几个利用导子 判定主李环的条件 其它结果见参考文献f 6 0 一【6 1 】 本文中研究的是三阶实反对称矩阵上的b z 导子的分解，其结论可以作为李代 数的导子问题的推广 一2 一 第1 章绪论 1 3 本章小结 在本章中，我们给出了相关问题的研究现状及问题研究的意义 一3 一 黑龙江大学硕士学位论文 第2 章硷的李环满同态 2 1 定义及相关性质 定义2 1 设l 是个阿贝尔群，【，】是定义在l 上的运算，若【7 】满足下述 条件，则称三是个李环 ( 1 ) 陋+ y ：z 】= p ，习+ 陟，纠，k ，z + y 】= 【z ，叫+ 【z ，圳，vz ，y ，z l ( 2 ) 陋，b ，2 4 】+ 协，【z ，司】+ p ，k ，刎】= 0 vz ，y ，z l ( 3 ) 陆，卅= 0 vz l 定义2 2 设r l ，疡是李环，是r 1 到疡的映射，若对比，y r 1 有 ( z + y ) = ( z ) + ( y ) ( 【z ，可】) = 【妒( z ) ，( 秒) 】 则称是r 1 到兄的李环同态 定义2 3 设s 是个代数结构( 域，环等) ，设岛，岛是代数结构s 上的空间或 加法群，它们经常被取作所有的nxn 阶矩阵的集合，所有的n n 阶对称矩阵的 集合，所有的n n 阶匕三角矩阵的集合，所有的讥n 阶反对称矩阵的集合等 如果个映射妒：研啼只满足下述条件( 1 ) ，则称妒是加法映射或加法算子 如果妒：岛哼岛同时满足下述条件( 1 ) ，( 2 ) ，则称妒是线性映射或线性算子 ( 1 ) 妒c a + b ) = 妒c a ) + 妒( b ) ，v a ，b 研； ( 2 ) 妒( s a ) = 5 妒( a ) ，v a 研，8 定义2 4 1 4 0 1 设a 是复数域c 上的矩阵，若a 满足辱= 一a ，则称a 为c 上 的反h e r m i t e 矩阵 定义2 5e ( k 2 ) = a 娲i a ，b = 0 ，v b k 2 ) 性质2 1 1 4 0 l 若a 为c 上的反h e r m i t e 矩阵，则a 酉相似于对角阵 2 2 引理 引理2 1 娲按照通常定义的矩阵加法及李积运算构成个李环 证明；v a ，b 鲍，设 a = d6 斗 一4 一 第2 章配的李环满同态 口= ( 一二，斗 其中口，b ，c ，d ，e ，g ，h r ，则 一方面，有 a + b ；( 一。，苦：2 + 田；仃+ i ：暑产回) 恐 另一方面，有【a ，剀= ， i 2 ( b g c ，)( o ，+ b h b e f d ) i + ( c e + 由一a g c h ) 、 ( 凸，+ b h b e f d ) i 一( c e + d g a g o h ) - 2 ( b g c ，) 即有m ，b 】鲍综上知结论成立 注：对任意的 恐，可设a：f，iaa6 尸、) 其中a , b , c , d er , 注：对任意的恐，可设a2 【一6 + 西 记) 其中 则有 a = a ( i e n ) + d ( i e 2 2 ) + b ( e 1 2 一易1 ) + c 0 ( 易2 + 易1 ) ) 所以可知j 幻作为冗上空间的维数是四维，基底为i e l l ，i 岛2 ，e 1 2 一易1 ，t ( e 1 2 - - 岛1 ) 故要刻划j 已的李环满同态，首先要刻划出李环满同态作用在四个基底上的 象因此有下面引理 引理2 2e ( i 2 ) = l r 厶 证明：一方面，对v a c ( k 2 ) ，可设 a = 西6a 其中口，6 ，c ，d 冗 ，i 则对任意的b 鲍，有，引= o 首先令b2 【一l c 扎。“再令b = ( ：) ，则由牛o ，得6 一o 即a i 兄厶所以有c ( 施) i r l 2 另一方面。i 冗厶cc ( j 岛) 显然 综上结论成立 引理2 3 若妒为鲍的李环满同态，则妒( e ( 鲍) ) c ( 恐) 一5 一 得、二、 ， o 1 0= o ) l 厂 1 o b 止， 口 0 l l 由 a 则 有) 磁小0 所 黑龙江大学硕士学位论文 证明：对任意的a c ( 鲍) ，即任意的妒( a ) 垆( c ( 尬) ) ，由c ( ) 的定义 知，对任意的b ，有【a ，b 】= 0 又由妒是李环同态知，妒( 阻，纠) = 0 ，即 睁) ，妒( b ) j = 0 由b 的任意性可知妒( b ) 是任意的，所以根据c ( j 已) 的定义有 妒( a ) c ( 鲍) 结论成立 引理2 4 设妒是尥的个李环满同态，则存在个酉矩阵u 及b r ，使得 妒0 臃1 ) = u ( d m l l ) 驴+ i b a 妒( i m 2 2 ) = u ( i m 2 2 ) o + i b & 妒( t ( 蜀2 + 易1 ) ) = u ( i ( 蜀2 + 易1 ) 伊 妒( 局2 一易1 ) = u ( 局2 一易1 ) 扩 证明。设妒是鲍的任意个李环满同态 ( - - ) ( 1 ) 由引理2 3 知，可设 妒0 厶) = d 厶 其中c r ( 2 ) 设 妒c t 髓，= u ( 言三) 伊 其中a ，b r 则有 妒。赐2 ) = u ( 砭c 一0 口；( c 0 6 ) ) 驴t ( 3 ) 设 c 聃剐m ( 三兰卜 其中z l ，名r ，y a c 则由 d e n ，一目1 ，d ( m n + 易1 ) 】= - i ( e 1 2 + 易1 ) 两边取象，即得z 1 = 魂= 0 ，( 口一6 ) 2 = 1 所以有 c 射剐m ( 三护 ( 4 ) 设 第2 章k 2 的孪环满同态 妒( 且2 一岛1 ) = u 其中z 2 ，钇r ，y 2 c 则由 ，i 七2y 2 、 ii 一现t 勉 _ 局， i e x l ，( 毋2 岛) 】= 一( 马2 一岛1 ) 两边取象，即得x 2 = 勿= 0 所以有 娼2 喝m ( 三护 ( 5 ) 由 瞳( 蜀2 + 易1 ) ，( 毋2 一易1 ) j = 一2 g 马l i e 2 2 ) 两边取象，嚣p 得 妒。局一t 易2 ，= ；u ( 可l 蟊：沈尻一。可。历0 一抛尻，) 口t 易知y i y 2 一抛坑i r ，所以不妨设y l 玩一犰矾= 2 i d 其中d r ( ) 则 5 i o ( i e l l 一 如) = t r d ( i e n i e 2 2 ) o ( 6 ) 由 t 如+ ( t 日l i e 2 2 ) = 2 e 1 1 两边取象，即得 ( “c ：d ；。c 二d ，) = ( i 亨i 曼) 从而有 厂c + 扛2 0 lc d ：2 6 即得 三三二二； 注意到( a 一6 ) 2 = 1 所以有铲= 1 ( 7 ) 由 【( i e n 一 如) ，( e 1 2 一岛1 ) 】一i ( e 1 2 - 4 - 易1 ) 一7 黑龙江大学硕士学位论文 y l 矾= 1 ( 8 ) 由上述讨论知，若设 妒c t 毋- ，= 矽( ：三) 驴 其中口，b r ，且有( a d 2 = 1 则有 妒c t 易：，= 矿( 苫三) 伊 妒c t c e l 2 - - e 2 1 ，= u ( 二三) 护t 妒c 蜀2 一易，= v ( 三：) 口t 且满足g = i ( 口一b ) h ，的= h h = 1 ( 9 ) 下面分情况讨论s 1 ) 口一b = 1 即a = b + 1 此时有 妒c i 目，= u ( “6 ：d 三o r = u i 日- 驴+ i 妒( i e 2 2 ) = u ( 莒；p ：1 ，) 0 t = u i e 2 2 u t + i b l 2 副i 、o i ( 6 + 1 ) 夕 妒c t c 毋2 + 易，= c ，( 三苫) 驴t 妒c 目2 一易t ，= u ( 二：) 泸 令 巩= u ( m 则有 r t 酲1 、：厂1 i b ，阢4 - i 6 l 妒o 如) = 仉i 易2 玩+ i b l 2 一8 一 妒( i ( 日2 + 岛1 ) ) = 巩( i ( 且2 + e 2 1 ) ) 玩。 妒( 研2 岛1 ) = 巩( 目2 e 2 1 ) 玩2 妒a 蜀，= u ( 苫i 。口：，) 0 t = u i 易z 驴+ t 口厶 妒c t 易z ，= 驴( “口jd 三) 伊= v t 日驴+ t 。五 妒o c 毋z + 岛，= u ( 三莒) 口t 垆c 日：一岛，= 汐( 三：) 疗t 巩= u ( ；三) 再令 则有 妒( i 易1 ) = 巩i 易l 玩+ i a & 妒( 如) = 巩i 易2 巩。+ i a l 2 垆c t c 毋2 + 易t ，= 巩( 三詈) 玩2 妒c 蜀2 一易t ，= 仉( 三苫) 矾 厂ho 、 = 矾i1 01 妒( i 易1 ) = 踢i 日l 况+ i 口厶 妒( 易2 ) = u 2 i e 2 2 况2 + i a l 2 妒c i c 取z + 易t ，= 阮( ：三) 沈。 汐c 目2 一易t ，= ( 二三) 一9 黑龙江大学硕士学位论文 由上面的讨论知，设妒及酉矩阵u 满足 妒( i e l l ) = u ( i e l l ) 驴+ 西j 1 2 妒0 易2 ) = u ( i e 2 2 ) o t + f 6 厶 妒( t ( e m + 易1 ) ) = u g ( 毋2 + 易1 ) 驴 妒( 局2 易1 ) = u ( e x 2 一易1 ) 驴 则令妒1 ( a ) = 驴妒( a ) 阢v a j 已，则易知妒1 也是李环满同态，所以不妨用妒1 代 替妒，则可不妨设 妒a e n ) = i 日1 + i b l 2 妒0 易2 ) = t 局2 + i b l 2 c 酣蚺( m 船z 喝，= 仁 其中b r 综上结论成立 引理2 5 设妒是的个李环满同态，则对任意的口r ，存在个酉矩阵 u ，使得 妒( i a e l l ) = u 0 盯( 口) 毋1 ) 驴。+ i 丁( 口) 如 妒( i a f - a 2 ) = v ( i a ( a ) e 2 2 ) 驴+ 下( n ) 厶 妒( ( 历2 + 岛1 ) ) = u ( i a ( a ) ( e 1 2 + 易1 ) ) 扩 妒( 墨2 一易1 ) = u ( 盯( 口) ( 毋2 一岛1 ) ) 其中盯，r 是r _ r 的加法满映射 证明。由引理2 4 知。不妨设 妒( t 日1 ) = i e l l + i b l 2 妒( i 易2 ) = i f _ , a + i b l 2 c 附一( 褂 粥2 喝，= e 其中b 冗 ( 1 ) 对任意的a r ，由f i a e n ，t e l l 】= 0 两边取象，则可设 第2 章耳。的李环满同态 ii_ 其中s ，u r 再由引理2 3 ，有 其中c r 则有 ( 2 ) 设 妒( i a e n ) = 妒( i 口岛2 ) 妒( t 口厶) = 记厶 ，t ( c s ) i f 0 妒( t 口( 马2 + 易1 ) ) = 其中z 1 ，z l r ，y 1 c 由 0 i ( c t ，) ， 写l y l i 一矾i z x i a e n ，p ( 毋2 + 易1 ) ，i s n 】= i a ( e 1 2 + 易1 ) 两边取象，即得x l = 忽= 0 ，y l = i ( s 一 ) 所以有 ( 3 ) 由 巾口( 聃剐) = ( 三小( s 瑚( 聃蛳 【i a ( e i 2 + 马1 ) ，【i e n ，i ( e 1 2 + 岛1 ) 】= 2 ( i a e n i 口易2 ) 两边取象，即得可l 一矾= 2 ( 2 8 一c ) = - 2 i ( 2 v c ) 即 ( 4 ) 设 s + 移= c 咖c e l 2 - e 2 1 胪( 三黔 其中x 2 ，z , 2 r ，y 2 c 由 【i a e n ，【( e t 2 一易1 ) ，i e n 】= a ( e 1 2 一岛1 ) 两边取象，即得沈= 恐= 0 ，耽= 8 一移所以有 出c e l 2 - - s 2 1 胪( 二护”坝耻厶 一1 1 一 、l _ 、 0 伽 括 o 黑龙江大学硕士学位论文 ( 5 ) 由( 1 ) 一( 4 ) 的讨论知，若设 则 ( 6 ) 在上式中，令 。剐= ( 苫 q o ( i a e 2 2 ) i v0l 1 0i s ， 妒( t n ( e 1 2j re 2 1 ) ) = ( i ( s 0 一移) 北( e 1 2 一e 2 1 肛 s t ，= 盯( 口) t ，= 7 - ( n ) i ( s 一钞) 、 i 0 毋一 1 0 l ， 则由其定义，易知o r ，f 是r 上的加法满映射，且满足a ( 1 ) = 1 ，盯( o ) = 0 于是有 综上结论成立 2 3 定理及推论 令 c p ( i a e l l ) = o ( i a e 2 2 ) = + i l ( a ) 1 2 + 7 ( n ) 如 口c e l 2 + e 2 1 胪 i a ( a ) 、 i 0 1 妒c 口c e l 2 - e 2 1 ，= ( 一二口，仃詈) ，：i r t r ， d 叶i - r ( a ) 一1 2 第2 章k 2 的李环满同态 则由其定义可知，为i r 上的加法映射，于是有下面定理 定理2 1 妒为恐的李环满同态的充分且必要条件是存在个酉矩阵u ，使得 妒( a ) = u a u 2 + j ( t r a ) h v a 鲍 其中，为i r 到自身的加法映射 证明s 对任意的a 鲍，设 a = ( 一，i 亿y ：名) 其中z ，y ，z r ，于是由 妒( 4 ) = 华, ( x i e n ) + 妒( u t 岛2 ) - f 妒( 可( 局2 一局1 ) ) + 妒( t z ( 毋2 + 岛1 ) ) 及引理2 5 知 妒c a ，= ( i 盯0 z 兰) + i 丁c z ，而+ ( 三；盯乙，) + t 丁c u ，屯+ ( 一二可) 口? ) + i 铃 从而有 舭，= 已飘z ，叱翟z 卜池 又由 ( a + b ) i e n = 口 目l + 跣日1 及 r ( ：三) ，( 二：) ，= ( 。二竽) 两边取象，即得 仃( o + 6 ) = ( 口) + 盯( 6 ) 盯( 0 6 ) = 矿( 口) 仃( 6 ) 即仃为r 上的域同态由于r 上的域同态只有零同态与恒等同态，且由a ( 1 ) = 1 知盯只能是恒等同态所以有 妒( a ) = v a 6 2 + i r ( x + u ) 如 黑龙江大学硕士学位论文 即 妒( a ) = u a o t + f ( t r a ) 1 2 v a k 2 下证充分性对任意的a ，b k 2 ，设m ，b 】= c ，则有t r ( c ) = 0 ，且有 v ( a ) = u a u + f ( t r a ) h v ( b ) = u b u + f ( t r b ) 1 2 妒( c ) = u c 0 2 所以有 ( a ) ，妒( b ) 1 = 【u a u + f ( t r a ) 1 2 ，u b u 。+ f ( t r b ) 1 2 】= 【u a u t , u b u 。】= u a ，b u = u c f = 妒( c ) 综上知结论成立 推论2 1 妒为j g 的李环同构的充分且必要条件是存在个酉矩阵u ，使得 妒( a ) = u a o + f ( t r a ) 1 2 v a k 2 其中，为t r 到自身的加法映射 证明t 由李环同构一定为李环满同态及定理2 1 知结论成立 第3 章q 。的b z 导子的分解 第3 章姒3 的b z 导子的分解 3 1 b z 导子简介 设l 是个李代数，【 】是定义在l 上的李积运算若个线性变换p ：l _ l ， 满足对任意的a ，b l ，都有p a ，h i = p ( 口) ，6 】+ 【a ，p ( 6 ) 】，则称p 为l 的一个导子 若个线性变换t o ：l _ 三，满足对任意的a ，b 厶都有由【a ，6 1 = o ，可得旧( 口) ，h i + a ，汐( 6 ) 】= o ，则称妒为二的个口z 导子 偶世坤【6 0 刻划了可交换环上严格上三角矩阵李代数的导子d o m i n i k 5 8 】刻 划了三角矩阵的李导子王登银【6 1 】刻划了可交换环上一般线性李代数的抛物子代 数的导子本文给出了可交换环上三阶实反对称矩阵李代数的b z 导子的分解 3 2 基本定义及主要结论 3 2 1 定义及性质 定义3 1 ：设曰是含1 的可交换环，是勿上的李代数，个线性变换 妒：疆3 ( 刀) 一2 【3 ( 舅) ，若满足对任意的口，b ) ，都有由【a ，6 】= o ，可得【妒( 口) ，6 】+ 【a ，妒( 6 ) 】_ o ，则称妒为2 【3 ( 叨) 的个b z 导子 注容易验证导子一定是b z 导子，但反之不一定成立见下面例子 例1 恒等变换z ：组3 ( 纺) 一2 【3 ( 勿) ，a _ n ，( v o 疆3 ( 勿) 可验证z 是个b z 导子，但是z 不是导子 证明；设【口，6 】= 0 ，则有陋( 口) ，6 】+ 【口，z ( 6 ) 】= 【口，6 】+ 【a ，6 】= o + 0 = 0 所以z 是一 个b z 导子但另方面z ( 【o ，6 】) = 【a ，6 】，( 1 ) 而陋( n ) ，6 】+ | 口，z ( 6 ) 】= 【a ，6 】+ 【a ：6 】= 2 a ，6 】，( 2 ) ( 1 ) 和( 2 ) 不一定相等所以z 不一定是导子 3 2 2 结论 定理3 1 ；设妒是f a 3 ( g e ) 的个线性变换，则妒是个b z 导子的充要条件 是 妒= 铭2 + 哼+ 叩c + d k 其中1 2 2 3 ，啦，p 彤分别为( 刀) 上的极端导子，中心导子和对角导子，具体定义 由下面内容给出 黑龙江大学硕士学位论文 3 3 预备知识 对任意的n 甄3 ( 纺) ，记口= 1 9 j 3 ，其中a t j e r 下面给出2 【3 ( 勿) 上的几类标准b z 导子 ( 1 ) 对角导子 对于任意的k d 3 ( 刀) ，定义线性变换d r d k ：s 3 ( 留) - 2 1 3 ( 刀) ，d _ a k + k a 可验证d r 是个由k 诱导的b z 导子，称其为对角b z 导子 ( 2 ) 极端导子 对于任意的s 兄，v 口= l g j s 3 缓3 ( 绷，定义线性变换以2 及鲈 以2 ：( 刀) - ( 勿) ，口_ s n l 2 点一8 a 1 2 e 3 2 伊想3 ( 勿) _ 疆3 ( 纺) ，o 叶s a z 3 e 1 2 一s a 2 3 e 2 1 易证以2 及晔是疆3 ( 纺) 的b z 导子，称为极端b z 导子 ( 3 ) 中心b z 导子 对于任意的c = 1 9 j 3 ( 勿) ，定义线性变换仇 叩c ：疆3 ( 勿) _ ( 纺) ，8 _ ( l i j 茎3 ) 马3 一( 1 9 j s 3 ) 忍1 易证7 7 c 是( 勿) 的b z 导子，称为中心b z 导子 由上面定义的三类标准b z 导子，我们可以给出任意的组3 ( 叨) 的b z 导子的分解 3 4 定理3 1 的证明 定理3 1 ：设妒是蹑3 ( 勿) 的个线性变换，则妒是个b z 导子的充要条件 是 铲= 畦2 + 叩+ 啦+ d k 其中印o p l 2 ，v ) 口2 3 ，c ，d r 分别为疆3 ( 厨) 的极端导子，中心导子和对角导子 证明：设妒是甄( 留) 的任意一个b z 导子设 妒( e 1 2 一易1 ) = r 日2 一r 岛1 + s 易3 一s 历2 + 亡l 目3 一t l 马1 ( 3 1 ) 第3 晕q 。的b z 导子的分解 妒( 易3 一e 3 2 ) = v e l 2 一r e 2 1 + t 正e 2 3 一让玩2 + t 2 e 1 3 一亡2 玩1 ( 3 2 ) 令p = s ，q = u ，则有 ( 妒一畦2 一锈3 ) ( e 1 2 一易- ) = ( 妒一o , 1 2 一砖3 ) ( 局2 一岛) = 妒( 最2 一易t ) 一瑶2 ( 一如1 ) 一瑶3 ( e 1 2 一易) = t e n r e 2 1 + t 1 日3 一t l e 3 1 ( 3 3 ) 且有 ( 妒一畦2 一0 2 3 ) ( 岛3 一e 3 2 ) = ( 妒一畦2 一铊3 ) ( 岛3 一e 3 2 ) = 妒( e 2 3 一岛2 ) 一以2 ( 赐3 一e 3 2 ) 一砖3 ( e b e 3 2 ) = u e 2 s u e 3 2 + t 2 毋3 一亡2 e 3 1 ( 3 4 ) 令 砂= 伊啡20 ，口2 3 ，k = d i a g ( 0 ：r ，一( r t ) ) ， 则有 一d k ) ( 毋2 一马1 ) = 妒( 目2 一易1 ) 一d k ( e i - e 2 1 ) ( 3 5 ) = t l e l s t l e 3 1 似一d k ) ( 岛3 一岛2 ) = 妒( 易3 一玛2 ) 一d k ( 易3 一岛2 ) ( 3 6 ) = t 2 e 1 3 一t 2 e 3 x 又由 【( 妒- d k ) ( e 1 2 一e 2 1 ) ，( 妒一d k ) ( e z 3 一e b ) 】= o 所以由b z 导子的定义知 【似一d 耳) ( ( 砂d k ) ( 毋2 一岛1 ) ) ，似一d k ) ( 岛3 一岛2 ) 】 ( 3 。7 ) + 【( 妒一d k ) ( e 1 2 一易) ，( 矽一d k ) ( ( 矽一d k ) ( e h 一玩2 ) ) 】= 0 则得到 ( 妒一d k ) ( e 1 3 一e 3 1 ) = 0 令 c = 2 - 1 ( h e l 2 一h e 2 l 十t 2 e 2 3 一t 2 易2 ) 黑龙江大学硕士学位论文 则有 所以有 即有 似一巩一仇) ( 毋2 一易1 ) = 渺一d k 一仉) ( 易3 一岛2 ) ( 3 8 ) = ( 妒一d k 一, o ) ( e 1 3 一e 3 1 ) = 0 综上知命题成立 妒- d k - 吼= 0 妒= 铅2 + 吒3 + d k - i - 吼 一1 8 结论 结论 本文刻划了k j 的李环满同态及李自同构，以及巩的b z 导子的分解在刻 划j 已的李环满同态及李自同构时最后得到个判定李环满同态及李自同构的充要 条件刻划观的b z 导子的方法是构造出几种标准b z 导子，然后证明任意个 b z 导子是构造的几种标准b z 导子的和，从而刻划出任意个b z 导子的分解 因为李环的自同构的研究结果可以应用到李代数上，以及b z 导子是李代数的 导子的推广，所以本文具有一定的积极作用和意义 黑龙江大学硕士学位论文 参考文献 【1 l j i n - l ix u ) 【i a o - m i nt a n g ，c h o n g - g u a n gc a n ，t h ea u t o m o r p h i s mg r o u po ft h e l i er i n go fr e a ls k e w - s y m m e t r i cm a t r i c e s ，t oa p p e a r 【2 】l o o - k e n gh t at h e o r e mo nm a t r i c e so v e ras f i e l da n di t sa p p l i c a t i o n s ，j o u r n a lo ft h ec h i n 嘲 m a t h e m a t i c a ls o c i e t y ( n e ws e e s ) ，1 9 5 1 ，v 0 1 1 ，n o 2 ，1 1 0 - 1 6 3 【3 】d z d o k o v i c ，a u t o m o r p h i s m so fl i ea l g e b r ao fu p p e rt r i a n g u l a rm a t r i c e so v 茁ac o n n e c t e dc o m m u t a - t i r er i n g ，j a l g e b r a ，1 9 9 4 ，1 7 0 ：1 0 1 1 1 0 【4 】y o u - a nc a o ，a u t o m o r p h i s m so fc e r t a i nl i ea l g e b r a o fu p p e rt r i a n g u l a rm a t r i c e so 憎bc o m m u t a t i v e r i n g ，j o u r n a lo fa l g e b r a ，1 9 9 7 ，1 8 9 ：5 0 6 - 5 1 3 【5 】v e s s e l i ad r e n s k y l i ea u t o m o r p h i s m so ft h ea l g e b r ao ft w og e n e r i c2 x 2m a t r i c e s ，j o u r n a lo fa l g e b r a , 2 0 0 0 ，2 2 4 ：3 3 6 - 3 5 5 【6 】y o u - a nc a oa n dz u o - w e nt a n ，a u t o m o r p h i s m so ft h e l i ea l g e b r ao fs t r i c t l yu p p e rt r j 柚母l l 盯m a t r i c e s o v e rac o m m u t a t i v er i n g ，l i n e a ra l g e b r aa n di t sa p p l i c a t i o n s ，2 0 0 3 ，1 9 1 9 8 ：1 0 5 - 1 2 2 7 1x i n g t a o - w a n g a n d h o n g y o u , d e c o m p o s i t i o n o f l i e a u t o m o r p h i s m s o f u p p e r t r i a n g u l a r m a t r i x a l g e b r a 唧c o m m u t a t i v er i n g s ，l i n e a ra l g e b r aa n di t sa p p l i c a t i o n s ，2 0 0 6 ，4 1 9 ：4 6 6 - 4 7 4 f 8 】d e n g - y i nw a n g ，q i uy ua n dy a n - x i az h a o ，a u t o m o r p h i s m so fal i n e a rl i ea l g e b r ao v e rbc o m m u t a t i v e r i n g ，l i n e a ra