（基础数学专业论文）zs相容连续偏序集和几类domain的研究.pdf

z s 一相容连续偏序集和几类d o m a i n 的研究 郭智莲 摘要d o m a i n 理论为计算机程序设计语言的指称语义学奠定了数学基础 其中序与拓扑相互结合、相互作用是这一理论的一个基本特征正是这一特征使 d o m m n 理论成为格上拓扑学研究者感兴趣的领域到目前为止，一些学者对连 续d o m m n 、准连续d o m m n 、s i 厂d o m a i n 和z 一连续偏序集等作了较为深入的研 尧在此基础上，本文进一步讨论了准连续d o m a i n 的性质，给出了有界完备准连 续d o m 缸n 上稳定映射的等价刻画，子代数s 工厂d o m a j n 与投射对之间的关系，以及 幻一相容连续偏序集的若干范畴性质等主要内容如下： 第一章 给出了全文将要用到的d o m a i n 与范畴的概念和结果等预备知识 第二章研究由偏序集生成的自由d c p o 与自由并完备格，由并半格生成的 强自由d c p o 与强自由并完备格分别给出了它们是代数d o m a i n 的条件 第三章 研究准连续d o m a i n 和代数s l d o m a i n 给出了准连续d o m m n 的乘 积、商和子对象以及有界完备准连续d o m m n 的结构和性质，并且刻画了有界完备 准连续d o m m n 上的稳定映射讨论了予代数s i 厂d o m m n 与投射对之间的关系 第四章研究z s 一相容集系统和它的一个范畴特征引入了一相容连续 偏序集的概念，讨论了勿一相容连续偏序集的一系列性质，得到历一相容完备偏 序集是勿一相容连续偏序集当且仅当它的磊一相容闭集格是一个完全分配格且 它有一步闭包证明了勿一相容连续偏序集范畴对偶等价于完全分配格范畴的一 个满子范畴 关键词：自由d c p o连续d o m a i n准连续d o m a i n代数s l _ d o m m n 西一相容连续偏序集对偶等价 中图文分类号：0 1 5 3 1a m s 分类号：0 6 f 0 7 z s c o n s i s t e n tc o n t i n u o u sp o s e ta n d s e v e r a lk i n d so fd o m a i n s g u oz h i l i m a a b s t r a c t ：d o m a i nt h e o r yp l a y saf u n d a m e n t a ls e m a n t i c so fp r o g r a m m i n gl a a - g u a g e s i ti sc h a r a c t e r i z e db yt h ec l o s ec o n n e c t i o nb e t w e e no r d e ra n dt o p o l o g y , w h i c h m a k e si t t h ec o m m o ns t u d yf i e l do fb o t hc o m p u t e re x p e r t sa n dm a t h e m a t i c i a n s u n t i l n o w ，s o m es c h o l a r sh a v ed e e p l yr e s e a r c h e dt h ec o n t i n u o u sd o m a i n s ，p s e u d o c o n t i n u o u s d o m a i n s ，s l - d o m a i n s ，z s - c o n s i s t e n tc o n t i n u o u sp o s e t sa n ds oo n o nt h eb a s e ，s o m e p r o p e r t i e so fb o u n d e dc o m p l e t ep s e u d o c o a t i n u o u sd o m a i n sa r ed i s c u s s e d ，t h es t a b l em a p - p i n gb e t w e e nb o u n d e dc o m p l e t ep s e u d o c o n t i n u o u sd o m a i n sa r ec h a r a c t e r i z e du i t e r i o r l y w eh a v eg i v e nt h er e l a t i o nb e t w e e na l g e b r a i cs u b s l - d o m a i na n dp r o j e c t i o np a i r ，a n da c a t e g o r yc h a r a c t e ro fz s - - c o n s i s t e n tc o n t i n u o u sp o s e t c h a p t e ro n ed e f i n e s8 0 m en o t i o n sa n dg i v e ss o m et h e o r e m sa b o u tc o n t i n u o u sd o - m a i n sa n dc a t e g o r yt h e o r yw ew i l lu s ei nt h ep a p e r i nc h a p t e r2 ，t h ef r e ed c p oa n df r e ej o i n - c o m p l e t el a t t i c eg e n e r a t e db yp o s e ! ta r e g i v e n ；t h es t o n g l yf r e ed c p oa n ds t r o n g l yj o i n - c o m p l c t el a t t i c ea r ea l s og i v e n w eh a v e d i s c u s s e dt h ec o n d i t i o n sf o rt h e mt ob ea l g e b r a i cd o m a i n s i nc h a p t e r3 ，w eh a v ed i s c u s s e dt h ep s e u d o c o n t i n u o u sd o m a i n sa n da l g e b r a _ i c ls l - d o m a i n t h ep r o d u c t s ，q u o t i e n t sa n ds u b o b j e c t so fp s e u d o c o n t i n u o u sd o m a i n sa r eg i v e n ， a n dt h e ns o m ep r o p e r t i e so fb o u n d e dc o m p l 或ep s e u d o c o n t i n u o u sd o m a i n sa x eg i v e n w e h a v ec h a r a c t e r i z e dt h es t a b l em a p p i n gb e t w e e nb o u n d e dc o m p l e t ep s e u d o c o n t i n u o u sd o - m a i n s w em a i n l yd i s c u s st h er e l a t i o nb e t w e e na l b e b r a i cs u b s l - d o m a i n sa n dp r o j e c t i o n p a i r i nc h a p t e r4 ，w eh a v ed i s c u s s e dt h ez s c o n s i s t e n tp o s e ts y s t e ma n dac a t e g o r y c h a r a c t e r i z a t i o no fi t t h ed e f i n i t i o no fz s - c o n s i s t e n tc o n t i n u o up o s e ti si n d u c t e d ，t h e n s o m ep r o p e r t i e so fi ta r ed i s c u s s e d w em a i n l yp r o v et h a tt h ec a t e g o r yo fz s c o n s i s t e n t c o n t i u n o u sp a s e ti sd u a l l ye q u i v a l e n tt oaf u l ls u b c a t e g o r yo ft h ec a t e g o r yo fc o m p l e t e l y d i s t r i b u t i v el a t t i c e s s o m eo t h e rp r o p e r t i e so fz s - c o n s i s t e n tc o n t i n u o u sp o s e ti sa l s o i n v e s t i g a t e d k e y w o r d sf r e ed c p oc o n t i n u o u sd o m a i np s e u d o c o n t i n u o u sd o m a i n a l g e b r a i c s l d o m a j n z s - c o n s i s t e n tc o n t i n u o u sp o s e td u a le q u i v a l e n c e c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 5 3 1a m sc l a s s i f i c a t i o n ：0 6 f 0 7 i i 学位论文独创性声明 y 9 0 0 5 9 0 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：拯日期： 学位论文使用授权声明 z 印彳r ； 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索： 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：重整日期：塑! ! ! 前言 d o m m n 理论是程序语言指称语义学的数学基础，由于其丰富的拓扑和序结 构，以及与理论计算机科学的联系，一直受到数学和理论计算机科学领域学者的 关注由于在d o m m n 理论中，序、拓扑、逼近计算与逻辑的概念和思想可以互相 渗透并有机的结合，因此它成为格上拓扑学的一个受到关注的研究方向 上世纪七十年代初，著名逻辑学家d s s c o t t 1 】在研究函数空间的计算问题时 首次提出了连续格的概念后来，人们推广了连续格的概念，将其中关键的双小于 关系移植到定向完备偏序集( 简记为d c p o ) 上得到了连续d c p o ( 或连续d o m m n ) 的概念1 9 7 9 年，j d l a w s o n 给出了连续d o m m n 的谱理论，得到了连续d o m a i n 上的s c o t t 拓扑是完全分配格这一结果，从而将连续d o m a l a ，连续格和完全分配 格的研究有机的结合起来j b w r i g h t 等在诱导偏序集和诱导闭包的一致性方 法一文f 2 中推广了定向完备性的概念，引入了集系统的概念作为这项工作的 深入研究，1 9 8 3 年，b a n d e l t 等在z - 连续偏序集范畴一文【3 1 3 中引入了z 一连 续偏序集，并且讨论了一系列性质近十年来，j o h n s t o n 4 ，5 】，s m y t h 6 ，p u o b i s o n 7 ， w i c k e r s 8 ，9 】，h e c k m a n 1 0 ，1 l 】 a b r a m s k y 和s c h a l k 等人基于拓扑、l o c a l e 、定向偏序 集、拓扑系统和信息系统等给出了各种类型的幂构造，尤其是h o a r e 型、s m y t h 型 和p o k i n 型幂构造，大大丰富了d o m a i n 理论，为非确定、并发和分布式程序的指 称语义的描述提供了更多可能的数学模型 当前对于d o m a i n 理论的研究主要集中在以下几个方面：某些d o m a i n 范畴的 笛卡尔闭性；与递规定义相关的形如d 掣f ( d ) 的d o m m n 方程是否有解；如何将 d o m m n 理论与有限可观察逻辑相结合等其中各种d o m m n 的笛卡尔闭性f 1 2 ，1 3 ，1 4 1 的研究是讨论的热点之一d o m m a 范畴能够作为函数式语言的数学模型的一个 基本要求就是该d o m m n 范畴能够支持其上的可计算函数的各种运算，即要求这个 d o m a i n 范畴有有限积和对s c o t t 连续函数空间封闭，用范畴论的术语即要求这个 d o m a i n 范畴是笛卡尔闭的【1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 】例如，a j u n e 1 3 】证明了代数【广d o m 撕n 范 畴和双有限d o m m n 范畴是代数d o m m n 范畴的两个极大笛卡尔闭子范畴，等等 本文首先研究了由偏序集生成的自由d c p o 和由并半格生成的强自由并完备 格的结构和性质构造出由偏序集生成的自由d c p o 和由并半格生成的强自由并 完备格，并且证明了它们都是代数d o m a i n 其次研究了准连续d o m a i n 1 9 1 和代数 s l d o m a i n 2 0 】的若干性质讨论了准连续d o m a i n 的乘积、商、子对象和有界完 备准连续d o m m n 的性质，并且得到有界完备准连续d o m m n 上稳定映射的等价刻 画。给出了代数s l - d o m a i n 与投射对之间的关系及投射对存在的条件最后研究 了瓠一相容集系统和它的一个范畴特征文献 2 1 】从范畴的角度给出了一类特殊 z 一集系统一z 一连续偏序集的一个范畴特征本文进一步引入了一个新的z 一集 系统一忍一相容集系统，得到了与文献1 2 1 】中的z 一集系统许多类似的性质并 且给出了珞一相容连续偏序集范畴对偶等价于完全分配格范畴的一个满子范畴 2 第一章预备知识 1 1d o m a i n 中的相关概念 定义1 1 1 【2 q 设p 是集，是l 上的二元关系，若满足下列三个条件： ( 1 ) 自反性：任取o p ，n ! o ； ( 2 ) 反对称性：任取a ，b p ，若a b ，b so ，则a = 6 ； ( 3 ) 传递性：任取a ，b ，c p ，若a s6 ，b 曼c ，则a c 则称s 为p 上的偏序，并称( p ，s ) 为偏序集如果仅满足条件( 1 ) 和( 3 ) 则称( p ，) 为拟序集， 定义1 1 2 设p 是偏序集，称d 是p 的定向子集，如果d 是非空子集且对 任意a , b e d ，存在c e d ，使得a c 且b c 定义1 1 3 设p 是偏序集，asp ，茹a 若y yea ，有y 。c z 茎g ) ，则称z 是a 的最大元( 最小元) 若对于a p ，a 的上【下) 界的集合有最小元( 最大 元) z ，则称z 是a 的上确界( 下确界) ，记作v a ( a a ) 定义1 1 4 设p 是偏序集，如果p 的每个定向子集d 的上确界存在( 记作 v d ) ，则称p 是定向完备偏序集，简称为d c p o 定义1 1 5 设p 是偏序集，：p - - - - - - - - 4o 是映射，若v 毛yep ，。曼y = 亭，( z ) ，( f ) ，则称，是单调的( 或保序的) 定义1 1 6 设p 是偏序集，a ，b p ，如果对于尸中任意定向子集d ，当b sv d 时有d d 使得a sd ，则称a w a yb e l o wb ，或n 双小于b ，记作a b 如果z z ， 则称x 是紧元记uz = 协p ：y z ) ，介z = 妇p ：z ) ，k ( p ) = 如p ：z 是紧元) 定义1 1 7 设p 是d c p o ，若v x p ，uz 是定向集且。= v 姐z ，则称p 是连 续d o m a i n ；若v x p ，iz n k ( p ) 是定向集且z = v ( tz n 耳( p ) ) ，则称p 是代数 d o m a i n 定义1 1 8 设p 是偏序集， agp 记ta = 佃p ：j 。a ，z ) ， l a = 妇p ：3 x a ，y 曼z ) 若t a = a ，则称a 是上集若i a = a ，则称a 是下 集 3 定义1 1 9 设p 是偏序集，v a ，b p ，如果o vb ab ) 存在，则称p 为并半 格( 交半格) 若p 既是并半格又是交半格，则称p 是格若格p 的任意子集的 上确界和下确界都存在，则称p 是完备格 定义1 1 1 0 【2 0 】设p 是连续d o m a i n ，若比p ，lz 是并半格，则称p 是 s l d o m a i n ，若p 是代数的，则称p 是代数s l - d o m a i n 引理1 1 1 1 1 2 3 1 设p 是s l - d o m a i n ，。p 若z ，ye l t c ( p 1n ，则z v n y l f p ln ， 其中z v 。y 是z ，y 在la 中的上确界，i k ( p ) o = d k ( p ) ：b n ) 定义1 1 1 2 1 2 4 , 2 目设p 是偏序集，a p 称4 是p 的相容集，如果 在p 中有上界 1 - 2范畴中的相关概念 定义1 2 1 z s , 2 7 l 一个范畴是一个5 元组c = ( 。，3 , 1 ，d a m ，c o d ，o ) ，这里， ( 1 ) d 是一个类，其成员称为0 对象； ( 2 ) 2 4 是一个类，其成员称为c 态射； ( 3 ) d o m 和c o d 为由m 到。的函数，其中，d o m ( f ) 称为，的域( d o m a i n ) ， 。d d ( ，) 称为，的上域( c o d o m a i n ) ； ( 4 ) o 为一由 d = ( ，g ) ：，g m ，d o m ( f ) = c o d ( g ) 到m 的函数，称为c 的结合律( 这里o ( f ，9 ) 通常写作，o g ，并且，我们说，o g 有 定义，当且仅当( f ，9 ) d ) ； 使得下列条件满足； ( 1 ) 匹配条件：若，0 9 有定义，则d o m ( f0 9 ) = d o m ( g ) 且c o d ( i0 9 ) = c o d ( ，) i ( 2 ) 结合条件：若，o g 和ho ，有定义，则h 。( fo g ) = ( ho f ) o g ； ( 3 ) 单位元存在条件：对任意c 对象a ，存在c 态射e 使得d o m ( e ) = a = c o d ( e ) 且 ( a ) 只要f oe 有定义，则，oe = ，； ( b ) 只要eo f 有定义，则eo f = ，； ( 4 ) 态射类小型条件：对任一c 对象对( a ，b ) ，态射类 4 h o m c ( a ，b ) = ，m ：d a r n ( ：) = a ，c 谢( ，) = b ) 为一集 对于给定的范畴c ，所有c 对象构成的类记为o b ( c ) ，而所有c 态射构成的类 记为m o r ( c ) ，并时常将h o m c ( a ，b ) 简记为h o m ( a ，b ) 定义1 2 2 ( 子范畴)范畴日称为范畴c 的一个子范畴，如果 ( 1 ) o b ( b ) c0 6 ( c ) ； ( 2 ) m 0 r ( b ) m a r ( c ) ； ( 3 ) 8 中的d o r a ，c o d ，0 是c 中相应函数的限制； ( 4 ) 每个口单位元均为c 单位元 由此定义我们显然有 h o m t 3 ( a ，b ) h a m c ( a ，b ) 定义1 2 3 范畴c 的子范畴b 称为满的，如果v a ，b o b ( t s ) ，h o m b ( a ，b ) = h o m c ( a ，b ) 定义1 2 4 ( 对偶范畴)对于任一范畴c = ( 朋，o ) ，定义c o p = ( m ，。) 为： m = 朋；w ，g m 7 ，0 7 9 = g 。，； 也就是说，对于任意的a ，b o h ( m ) ，h o m c ，( 口，a ) = h o m c ( a ，b ) ；称c ，为c 的 对偶范畴( d u a lc a t e g o r y ) 命题1 2 5 对于任意范畴c ，其对偶范畴c o p 均为一个范畴 显然我们还有 命题1 2 6 对于任意范畴c ，( c o p ) o p = c 定义1 2 7 设c ，口为范畴一个由c 到d 的函子为一三元组( c ，f ，d ) ，其中 f 为一个由m o r ( c ) 到m a r ( 1 ) ) 的函数使 ( 1 ) f 保单位元； ( 2 ) f 保符合运算 函子也经常表为f ：c + d ，此时常说“f 有定义域c ，值域d ”一个函子 的定义域为小范畴时称为小函子 定义1 2 8 设f ：4 启，g ：一4 + b 是函子 ( 1 ) 一个由f 到g 的自然变换( n a t u r a lt r a n s f o r m a t i o n ) 或函子态射( f u n c t o r m o r p l a i s m ) 是一个3 元组( f 目，g ) ，其中， ：o b ( 4 ) + m o r ( b ) 为一个满足下 列条件的函数： 5 ( a ) 对任意4 对象a ，q ( a ) ( 通常记为帆) 是一个日态射 驰：f ( a ) g ( a ) ； ( b ) 对任意a 态射，：a + a 7 ，下图可换： f ( a ) j 2 生一g ( ) f ( 圳l g ( ，) f ( 1 4 ，) 丑巳一& 舢 ( 2 ) 一个自然变换( f q ，g ) 称为一个自然同构( n a t u r a li s o m o r p h i s m ) ，如果对于 任意a 对象a ，讹为个b 同构 ( 3 ) f 1g 称为自然同构的( n a t u r a li s o m o r p h i c ) ，记为f 兰g ，当且仅当存在一个 由f 到g 的自然同构 若( f ，吼g ) 为一个自然变换，则f 称为暇玑g ) 的定义域( d o m a i n ) ，g 称为 ( f ，吼g ) 的上域( c o d o m a i n ) 命题1 2 9 自然变换q ：f + g 是自然同构当且仅当存在自然变换6 ：g + f 使得6o q = 1 f ，q o6 = 1 g 定义1 2 1 0 函子f 称为一个等价( e q u i v a l e n c e ) ，如果存在函子g ：8 + _ 使 go f 兰1 a fo g 些1 b 定义1 2 1 1 如果存在一个等价f ：a + 8 ，则称范畴a 与舀是等价的 6 第二章自由d c p o 和自由并完备格的结构和性质 文献1 2 8 】给出由偏序集生成的自由半格和强自由半格，并讨论了其性质本 章给出了由偏序集生成的自由d c p o 和自由并完备格以及由并半格生成的强自由 d c p o 和强自由并完备格，并研究了它们的结构和性质 2 1 基本的定义和定理 定义2 1 1 设p 是偏序集，a b p ，如果对于任意a a ，存在b b ，使得 a b ，则称a 加细b 定义2 1 2 设p 是偏序集，j p 如果j 是p 中的下集，并且对于j 中任 意定向子集d ，有d 6 j ，则称j 是p 中的定向f 一理想f i d ( p ) 表示p 中所有 定向f 一理想之集这里d 6 = ( d t ) i ，其中d t 表示d 在p 中的所有上界之集， d l 表示d 在p 中的所有下界之集 命题2 1 3 设p 是偏序集，定义映射d ：i o ( p ) + p ( p ) 为，任取c p ( p ) ， 6 ( g ) = c 6 ，则6 是保序的，增值的，幂等的这里p ( p ) 表示p 的所有子集之集 证明任取a bc p ，则硝，从而( a i ) i ( b t ) ，即显然 有a ( a t ) t 至a 6 由于a 1 ( ( a t ) 1 ) t ，所以( ( ( a ) 1 ) 1 ) 1 ( a t ) 1 ，即( a 6 ) 6 a 6 ，则 ( ) 6 = a 6 定义2 1 4 设p 是偏序集，j p 如果j 是p 中的下集，并且对于j 中任意 定向子集e ，当其在p 中的上确界存在时，有v p e i ，则称，是p 中的定向d 一 理想d i d ( p ) 表示p 中全体定向d 一理想之集 注2 1 5 设p 是偏序集，则f i d ( p ) d i d ( p ) 若p 是d c p o ，则f i d ( p ) = d i d ( p ) 事实上，若p 是偏序集，设，是定向f 一理想，d 是j 中的定向子集 由定向f 一理想的定义知，j 是下集，且j 我们知道v p d d 6 ，因此j 是 定向d 一理想，从而f i d ( p ) d i d ( p ) 若p 是d c p o ，设j 是定向d 一理想，d 是，中定向子集，由定向d 一理想的定义知，是下集，且v p d j ，显然v p d 是 中的最大元，从而d 6 j 故f 是定向f 一理想，所以d i d ( p ) f i d ( p ) 定义2 1 6 设p 是偏序集，o p ，d 是p 中定向子集如果当n d 6 时存 在d d ，使得a d ，则称n 为p 中的强紧元p 的全体强紧元之集记作s k ( p ) 7 注2 1 7 若p 是偏序集，则s k ( p ) k ( p ) 若p 是d c p o ，则s k i p ) = k i p ) 事实上，任取a s k ( p ) ，d 是上确界大于等于a 的定向子集，即asv p d d 6 由a 的强紧性知，存在d d ，使得o d ，因此o k ( p ) 若p 是d c p o ，任取a k ( p ) ，设d 是定向子集且a d 6 ，则o v p d ，由a 的 紧性知，存在d d ，使得a 兰d ，所以a s k i p ) 定义2 1 8 设p 是偏序集，如果p 中每个元素都可以表示成k ( p ) ( s k i p ) ) 的定向子集的并，则称p 是代数( 强代数) 偏序集 由定义知，强代数偏序集一定是代数偏序集 注2 1 9 如果p 是强代数偏序集，则s k ( p ) = k ( p ) 只须说明k i p ) s k ( p ) 任取口k ( p ) ，由p 是强代数偏序集知，存在s k ( p ) 的定向子集d ，使得 a = v p d ，由a 的紧性知存在d d ，使得sd ，从而n = d ，因此a s k ( p ) 定理2 1 1 0 若p 是强代数的，则f i d ( p ) = d i d i p ) 证明只需证明d i d ( p ) f i d ( p ) 任取j d i d ( p ) ，则( a ) j 是p 中下集； ( b ) 设d 是j 中定向子集，对于任意y d 6 ，由p 是强代数偏序集知，存在s k i p ) 的定向子集a ，使得口= v p a 显然a ，则对于任意a e a ，存在d d j ，使 得o d ，从而a 是j 中的定向子集，所以v p a j ，即j 故t ，因此 j f i d ( p ) 强代数偏序集这个条件不能减弱为代数偏序集，否则f i d ( p ) d i d ( p ) 下面 的例子说明了这一点 例2 1 1 1 设p = a u n ，这里是自然数集合，它上面的序是通常序，a 不可 与任意自然数比较，这时p 是代数的但不是强代数偏序集，并且f i d ( p ) d l d i p ) 事实上，是p 的定向子集，显然n t = 晚则n 6 = p ，所以a n 6 ，但任意 n n ，有a 不小于等于n ，所以n 不属于s k ( p ) ，因此p 不是强代数的但是代数偏 序集取j = ，显然j 是p 中定向d 一理想但不是定向f 一理想 2 2由偏序集生成的自由d c p o 和自由并完备格 设p 是偏序集，d ( p ) 表示p 的所有定向子集之集，定义d ( p ) 上的关系 如下： 8 任取a ，b d ( 尸) ，a i b 褂a 加细b 且b 加细a 容易验证关系一1 是d ( p ) 上的等价关系把一1 对应的商集记作d t ( p ) ，把 z ) 所在的类记做，把定向集a 所在的类记做由于不引起混淆，下面将 和【a 1 分别简记作。，a 定义d 1 ( p ) 上的序s 1 如下： 任取a ，b d i ( p ) ，a - 1 b 号a 加细b 容易验证1 是d i ( p ) 上的偏序即( d i ( p ) ， - 1 ) 是偏序集 定义映射j l ：p d i ( p ) 为，任取z p ，j l ( x ) = 1 。易知j l 的定义是合理 的 定理2 2 1设p 是偏序集，则d i ( p ) 是d c p o ，并且定向子集 a ) 饵在d l ( p ) 中的上确界是u i ，a j l ：p d i ( p ) 是序嵌入映射并且v j l ( a ) = 1 a 证明设 a k j 是d i ( p ) 的定向子集显然a 是p 中定向子集，因此u i 。，a 是p 中定向子集由于对于任意t j ，a 加细u ，a ，所以u 讵f a 是 a ) 连f 在 d 1 ( p ) 中的上界设c d i ( p ) 是它的另一个上界，显然有u 划a 加细c ，因此 v a t = lu i ，a 任取而y p ，z y 辛忸) 加细 订仁亭r j l ( x ) - 1j 1 ( ) ，所以j 1 是序嵌入映 射 容易验证v j t ( a ) = 1 a 定理2 2 2 设p 是偏序集，工是d c p o 如果映射，：p + l 是保序的，则 存在唯一的映射，：d - ( p ) + 工，使得，保定向并且疗，= ， 证明定义映射，：d i ( p ) + l 为，任取a d 1 ( p ) ，( a ) = v f ( x ) ：。a 若4 1 b ，由，保序可知，( 且) = v f ( x ) ：z a = v i ( x ) ：z b ) = ，( 口) 所以，的定义是合理的且是保序的 设 a k e ，是d i ( p ) 的定向子集，则 ，( v i ，a i ) = ，( u t j a i ) = v ，( z ) ：。u t ，a i j ) = v i e iv ，( z ) ：z a d = v 讵，f ( a d 任取z p ，艿1 ( z ) = ，( 州z ) ) = ，( z ) = ，( z ) ，因此疗。= f 设，1 也是保定向并且满足 j ，= ，的映射则对于任意a d ，( p ) 有 ( a ) = ，1 ( v 。a a ) = ( v 。a j l ( ) ) = v 。a ( j 1 ( o ) ) = v a e a f ( a ) = ，( a ) 9 这样就证明了，的唯一性 根据上面的定理，我们称d i ( p ) 是由偏序集p 生成的自由d c p o 下面讨论d 1 ( p ) 和p 之间的关系 定理2 2 3设p 是偏序集，则k ( d i ( p ) ) = p ，进而知d 1 ( p ) 是代数的 证明任取a ( d 1 ( p ) ) ，a = 1v a e a a 由定理2 2 1 中映射j 1 是序嵌入映 射可知 n ：n q 是d i ( p ) 中的定向子集，所以存在n a 使得a - ia ，则a = la 任取a p ，设 a d 讵，是d i ( p ) 中的定向子集且o - iv i x a i = 1u i ：a i ，即a 加细u 讵f a ，则存在b u i a ，使得a sb ，则存在i o i ，使得b a i 。，因此n 加细 a t o ，即n 曼1 a 硒因此o k ( d 1 ( p ) ) 因为对于任意a d 1 ( p ) ，a = 1v 。a a ，所以d 1 ( p ) 是代数偏序集 定义2 2 4 2 9 l 设p 是偏序集，a ，b p 如果对于p 的任意子集g ，当v p c 存在且b v p c 时有c c 使得a 茎c ，则称。三角小于b ，记作aqb 如果a 司n ， 称a 为超紧元p 的全体超紧元之集记为日( p ) 定义2 2 5 1 2 9 1 设p 是偏序集，如果对于任意a p ，存在h ( p ) 的定向子集d ， 使得a = v p d ，则称p 是超代数偏序集 注2 2 6 超代数偏序集一定是代数偏序集 设t ( p ) = 似：a p ) ，这里p 是偏序集，在p ( p ) 上定义关系如下： 任取a ，b p ( p ) ，a b 锚a 加细b 且b 加细a 显然上述关系是等价关系，记等价关系一对应的商集为l ( p ) ，定义l ( p ) 上 的序为a 墨2b 甘a 加细b ，这样( l ( p ) ， - 2 ) 是偏序集 定理2 2 7 设p 是偏序集，则l ( p ) 是完备格且工( p ) 的任意子集 a h j 的 上确界是u i ：a i j 2 ：p ，l ( p ) ：$ 一f 是序嵌入映射且v j 2 ( a ) = 2a 证明设 a ) 诞，是工( p ) 的任意子集，显然每个a 加细u 迮：a i ，所以u i a i 是 a ) 在l ( p ) 中的一个上界设c en ( p ) 且c 是 a d , e i 的另一个上界，则 每个a t 加细c ，从而u i ，a 加细g ，即u i x a i - 2c 所以v i ，a = 2u i i a i 因此 三( p ) 是完备格 任取z ，y 工( p ) ，。曼y 乍亭 z ) 加细 ) 寻z 2y = j 2 ( x ) 2 j 2 ( ) 所以 j 2 是序嵌入映射 设a 是p 的任意子集，a = 2v 。a a = 2v j 2 ( a ) 1 0 定理2 2 8 设p 是偏序集，l 是完备格如果g ：p - 三是保序映射，则存 在唯一的映射：l ( p ) + l 使得口保任意并且满足如= g 证明定义映射：l ( p ) + l 为，任取a l ( p ) ，( a ) = v 妇0 ) ：z a ) 若a = 2b ，由g 保序知，v g ( z ) ：z 舢= v g ( x ) ：z b ) ，因此( a ) = ) ， 所以口的定义是合理的且是保序的 设 a ) 州是l ( p ) 的任意子集，则 雪( v ，a ) = 辱( u t i a i ) = v 9 ( ) ：z u i z a d = v i e lv 9 ( z ) ：。a d = v i f 互( a ) 因此保任意并 任取z p ，鲥2 ( z ) = 口( z ) = 9 ( z ) 所以茆2 = g 设9 1 ：_ l ( p ) 工是保任意并且满足g l j 2 = g 的映射则 g l ( a ) = 9 1 ( v 。 j 2 ( a ) ) = v 。 9 1 ( 如( o ) ) = v 。e a g ( a ) = 口( a ) 这就证明了口的唯性 根据上面的定理我们称l ( p ) 是由偏序集p 生成的自由并完备格 定理2 2 9 设p 是偏序集，则日( l ( p ) ) = p ，进而知l ( p ) 是超代数的 证明设a 日( l ( p ) ) ，由a = 2v a e a a 知，存在n a ，使得a - 2a ，则a = 2 a ， 设n z t ( p ) ， a d i ，是l ( p ) 的子集且a 2v i ，a = 2u f ，a ，则8 加细u i z a i ， 即存在c u 讵z a 使得a 墨c ，从而有i o j ，使得a 兰2c 茎2 a i o ，所以o 日( l ( p ) ) 由以上的证明知，l ( p ) 是超代数的 2 3 由并半格生成的强自由d c p o 和强自由并完备格 设p 是并半格，d ( p ) 表示p 的所有定向子集之集，定义d ( p ) 上的关系一3 如下： 任取a ，b d ( p ) ，a 一3b 乍= a 6 = b 6 ；显然一3 是d ( p ) 上的等价关系把 一3 对应的商集记作d 3 ( p ) ，定义d 3 ( p ) 上的序如下： 任取a ，b d 3 ( p ) ，a 3 b # 争a 6 b 5 这样( o a ( p ) ，3 ) 是偏序集 定理2 3 1 设p 是并半格，则d 3 ( p ) 是d c p o ，并且定向子集 a ) 叫在d a ( p ) 中的上确界是u 叫a i j 3 ：p d 3 ( p ) ：z z 是序嵌入映射并且v j s ( a 6 ) = 3v j 3 ( a ) = 3 a 1 1 证明：设 a d i j 是现( 尸) 的定向子集对于每个a ，任意0 b 以 ，即对任意 y 且j ，n ，b sy ，则对于任意y 4 ，有n vb sy ，即vb a 因此a ：是定向集 从而u i e j 刎是p 中的定向集 显然有a 3 u 州髯设c d 3 ( p ) 是 a d i ，在d 3 ( p ) 中的另一个上界则 对于任意i j ，a ，从而u 叫a c 5 ，则有( u 州a ) 6 c 6 ，即u 甜髯3c 因此u 埘硝是 a d i j 在d 3 ( p ) 中的上确界 任意z ，y p ，z 墨y 甘扣ly 甘洲互驯错z 3y 骨j a ( x ) 3 如( g ) 所以如是序嵌入映射 设a d 3 ( p ) ，对于任意z a 6 则 。r a 6 ，又z 如) 5 ，所以= u “z ) 6 ： z a 6 ) 这样可知a 是如：z ) 在d a ( p ) 中的一个上界设c d 3 ( p ) 是它 的另一个上界，即对于任意z ，有仁p c 6 ，则伊因此v j 3 ( a 6 ) = 3a 同理可证明v j a ( a ) = 3a 定理2 3 2 设p 是并半格，l 是d c p o 如果保序映射，：p ，工满足任取 a d ( p ) ，v f ( a 6 ) = v f ( a ) ，则存在唯一的映射，：d 3 ( p ) + l 使得，保定向并且 i 弧= f 证明定义映射，：d 3 ( p ) + 工为，任取a d 3 ( p ) ，( 鱼) = v ( f ( x ) ：x e a ) 若a = 3b ，即a 6 = b 6 贝0 h a ) = v f ( x ) ：zea ) = v ，( z ) ：z a 6 ) = v ，( z ) ：z b 6 ) = v f ( x ) ：。b ) = ，( b ) 所以，的定义是合理的且是保序