（基础数学专业论文）关于曲面调和映照和子流形几何的若干结果.pdf

致谢 在即将完成三年学业，返回到工作单位之际，我首先要衷心地感谢我 的导师白正国教授和沈一兵教授，感谢他们多年来的严格要求，悉心指导 和热情鼓励。两位导师认真，严谨的治学态度，一丝不苟，诲人不倦的工 作作风和为科学研究努力拼搏的精神给我留下了深刻的印象，并将成为我 终身学习的榜样。 我要感谢东蝓昕教授，盛为民副教授，张希副教授，贺群博士，张远 征博士等几位学长的帮助和指教。同时要感谢夏巧玲，李震洋，张彦等几 位学友，在与他们共同的学习与探讨中，我深受启发，受益匪浅。 最后，我要感谢我的家人，尤其是我的妻子余玮柽给予我的理解与支 持。没有他们的无私奉献，我是无法顺利完成我的学业的。 3 吴炳烨 2 0 0 2 年5 月1 日 关于曲面调和映照和子流形几何的若干结果 摘要 本文由两章组成。第一章包括六节，主要讨论了曲面到复g r a s s m a n n 流形调和映照的若干性质。第二章包含四节，我们研究了子流形几何的某 些问题。 第一章曲面到复g r a s s m a n n 流形调和映照的若 干结果 这一章共包含六节，我们研究了曲面到复g r a s s m a n n 流形调和映照的 若干结果。第一节是准备知识，然后我们在2 中建立了曲面到复g r a s s m a n n 流形调和映照的广义f r e n e t 公式，它推广了已有的关于全纯曲线的广义 f r e n e t 公式。然后在5 3 中，我们研究调和映照的曲率p i n c h i n g 性质，将已 有的关于伪全纯曲线的结果推广到了一般的调和映照上。熟知从i p 出发， 可构造如下调和映照序列： 妒= 伽骂妒l5 乌骂 妒= 妒。骂妒l 骂骂妒一。笃 假设以上调和映照序列满足下列条件：当0 茎j k o 时，r a n k ( q o j ) = r h o = m o ；当1 i p 时，若 t 一1 t k i + 1 s j k 。 t = 0i = 0 4 则r a n k ( 妒j ) = 赢。；这里p 为一自然数。定义函数c ：【0 ，”】_ r 为 p 2 i i ( + 1 ) ( 1 + ( 2 k o + 1 ) c o s a ) c ( q ) = j 盐f 下一 ( 码+ 1 ) k t 前t t = 3 j = t 记a ，与虬分别为m 相对于妒诱导度量的k a e h l e r 角和g a u s s i a n 曲率。 我们的主要结果如下。 定理1 3 设m 为紧致r i e m a n n 曲面，妒：m a ( m ，扎) 为如上所述的调 和映照。若k p c ( p ) ，那么k p = c ( a p ) ，且妒= k o 吼其中：m _ a ( t ，n ) 是全纯的，它生成了p r e n e t 调和映照序列，叼：m - g ( m f ，礼) 是反全纯 的，l = r a n k ( a 7 妒) 。 定理1 5 设妒：m _ a ( m ，n ) 为紧致r i e m a n n 曲面到g ( m ，n ) 的调和映 照，它生成如下调和映照序列： 妒= 帅鸟妒l 鸟s 写写协，r a n k ( 咿。) = m ，1si r 若k 竹4 m ( 2 j ( r j ) + r ) ，则= 4 m ( 2 j ( r j ) + r ) ，而且妒是全纯 的；若茎4 m ( 2 j ( r j ) + r ) ，且d e t a 0 ，i = 0 ，j 一1 ，则结论同样 成立。 定理1 6 设妒：s 2 - g ( m ，n ) 为调和映照。若对某一p 2 ，r a n k ( 妒j ) = m ，ld e t 如l o ，j = 0 ，p - 2 ( 或r a n k ( 妒一，) = m ，ld e t a 一，i 0 ，j = 1 ，p - 1 ) ， 而且 坐盟m p ( p 岩1 喇曼坐等型，+ ) 一 一盯叩晒一1 ) 那么虬等于上式的端点值，而且妒为一伪全纯曲线。 5 对于给定的调和映照妒，如何判断它是0 一不可约的或一不可约的? 如何判断它是否迷向? 如果它是非迷向的，又如何确定它的迷向阶? 这些 都是关于调和映照的基本问题。5 4 的主要目的就是要解决这些问题。当 m = 1 时，即对于m 到c ( 1 ，凡) = c p ”1 的调和映照妒而言，文 p j 给出 了确定迷向阶o r d ( q o ) 的一个方法。令妒( j ) = p 。o 妒lo o 妒j ，则) 是m 到a ( j + 1 ，n ) 的光滑映照。 pj 】证明：若妒是线性满非迷向的调和映照， 且存在一自然数，使q o ( o ) = 妒，q o ( ”，q o ( 卜1 ) 是调和映照，但q o ( 蜘不是调 和映照，则o r d ( q o ) = 。显然，用 pj 】的结果来计算o r d ( i l o ) 实际上是行不 通的，这是因为判断妒( ，) 是否调和远比判断妒。与仍是否正交要困难，更 何况还要求妒是线性满非迷向的( 这本身难于断定) 。在4 中我们给出了 o r d ( t ) 的一个显式计算公式，它适用于任意m 到g ( m ，n ) 的调和映照，而 且计算公式只与妒有关而与( n 0 ) 无关。另外我们也给出了判断妒是 扩一不可约或一不可约的方法。我们的主要结果是 定理1 7 设m 为连i 噩r i e m a n n面， p ：m - 4 - c p ”1 = a ( 1 ，n ) cu ( n ) 为调 和映照。则 o r d ( t ) = m a x k 0 ：a 2 z o j a ：= 0 ，一1 j k 一2 ) 这里我们约定a a ；= 0 。 定理1 9 设m 为连通r i e m a n 曲面舻：m - g ( m ，礼) 为调和映照。则妒 为毋不可约的充分必要条件是r a n k ( a ：妒) = m ；硎7 0 - 不可约的充分必要 条件是r a n k ( 妒a 。) = m 。 定理1 1 0 设m 为连通r i e m a n n 面，妒：m - g ( m ，) 为调和映照。则 o r d ( 妒) = m a x k 0 ：w 0 ( a ：妒) = 0 ，0sj k 一1 ) 6 在5 5 中，我们讨论了调和映照序列的退化性，即什么时候调和映照序 列中一定存在退化的0 变换或矿变换? 当m = 1 时，该问题等价于 十么 时候妒是迷向的? 已经知道具有亏格g 的紧致r i e m a - m 曲面m 到a ( m ，n ) 的调和映照妒所生成的调和映照序列中一定含有退化的非变换或a ”一变 换，如果( i ) g = 0 ，即m 是拓扑球面s 2 w o l ；或( i i ) 9 = 1 且d e g ( 妒) 0 ，其中 d e g ( 妒) 表示妒的映照度【w o 】；或( i i i ) m = 1 ，ld e g i 妒) l 坼一1 ) 囟一1 ) l i 3 ，d o ； 或( i v ) m = 1 ，r ( 锑) + r ( 哪) 2 n ( 9 1 ) l d o ，j r ，其中r ( a 5 ) 和r ( 诺1 1 ) 分别表示妒 的a ，一变换和一变换的分枝指标。关于上述问题虽已有以上诸多结果，但 当m 1 且g 1 时，或当m 非紧时，我们尚未能见到相关结果。5 的 目的是进一步寻求使调和映照妒：m _ a ( m ，礼) 所生成的调和映照序列中 含有退化的a ，- 变换或- 变换的充分条件。主要结果是 定理1 1 3 设m 为完备连通r i e m a n n 曲面，妒：m _ g ( m ，n ) 为调和映 照。若0 ，并且存在正数 0 使lc o s ，i ，那么在妒生成的调和映 照序列中，必存在退化的矿变换或，- 变换。特别地，当m = 1 时，妒一 定是迷向的。 定理1 1 8 设m 为亏格为g 的紧致曲面，妒：m _ g ( m ，n ) 为调和映 照。若 r ( 诺) + r ( 硝) 2 f 兰 扫一1 ) ， 则妒生成的调和映照序列中，一定存在退化的一变换或弘变换，其中 【景】表示兰的整数部分。 最后，在6 中，我们给出了曲面到a ( 2 ，4 ) 的非士全纯的有限调和映 照的构造，它有别于b u r s t a l lf e 和w o o dj c 的构造定理而比他们更加直 7 接( 见 b w ) 。具体地说，我们在6 中证明了如下两个定理。 定理1 1 9 设妒：m _ a ( 2 ，4 ) 为连通曲面m 到g ( 2 ，4 ) 的光滑映照。那么 妒是非士全纯的有限调和映照的充分必要条件为局部地妒对应的子丛竺 可由以下几种情形得到。 ( 1 ) 存在局部定义在m 上的处处非零的线性满的全纯c 4 一值函数f l ( z ) 使 得翌可表示成以下三种情况之一： f a ) 吲，1 。【s 群，3 + ，4 ， o s 一。2 i ，41 2 瓦副蔚； ( b ) 竺= 止 o 【s f l + ，4 ， 未( s 群) = o ； f c l 吲，3 。 s 群 + ，2 】， 0 s 2 i ，21 2 瓦一蔚 其中。是m 上的局部复坐标，如， 与 由下式确定。 誓= 撕+ 丕l o g i 厶1 2 ，p ) p _ 1 i 2 j 3 ( 2 ) 存在局部定义在m 上的处处非零的线性满的全纯c 3 值函数f 1 ( z ) 使 得竺可表示成以下两种情况之一： ( a ) 竺= f l 】o f a + s ，4 】， 8 旦o z ( 击) = o ；一研j 到； ( b ) 竺= 【丘 o 【s f l - f ， 瓦0 ( s1 ；2 ) = 0 其中f 4 为c 3 在c 4 的正交补空间中的任一非零常值向量，而如，f 3 由下式 确定： 堕o z = 厶+ 蚓g 肼，l ，一一2 十瓦”f 1 fj 1 ， 警= 矗+ 未l o g 2 ，2 ， ( 3 ) 存在局部定义在m 上的非常值处处非零的全纯c 2 一值函数 ( z ) 与，2 ( z ) 使得里= f 1 o 内； ( 4 ) 妒= 矿，其中事属于情形( 1 ) ，( 2 ) 之一。 定理1 2 0 设妒：s 2 _ c ( 2 ，4 ) 为光滑映照。那么妒是非q - 全纯的调和 映照的充分必要条件为对于任意选取的极点。s 2 ，在c = 铲f o 。 上， 妒对应的子丛妒可由以下几种情形得到。 ( 1 ) 存在定义在c 上的处处非零的线性满g 4 一值全纯多项式f 1 ( z ) 使得妒可 表示成定理1 1 9 中情形( 1 ) 的相应公式； ( 2 ) 存在定义在c 上的处处非零的线性满伊一值全纯多项式f l ( z ) 使得妒可 表示成定理1 1 9 中情形( 2 ) 的相应公式； ( 3 ) 存在定义在g 上的非常值处处非零的c 2 值全纯多项式 ( z ) 与a ( z ) 使 得妒= m o 【a i ； ( 4 ) 妒= 矿，其中乒属于情形( 1 ) ，( 2 ) 之一。 第二章子流形几何的若干结果 9 这一章里包括四节，我们研究了子流形几何的若干问题。首先在5 1 中，我们讨论了欧氏空间中具有共形g a u s s 映照的曲面，从g a u s s 映照的 观点给出了v e r o n e s e 曲面的一个新特征。我们证明了 定理2 1 彤中定向曲面m 的g a u s s 映照g ：m _ g 2 。为全实共形映 照的充要条件是m 为伪脐平坦曲面。 定理2 2 设g ：m - g 2 。为r ”中定向曲面m 的g a u s s 映照。若g 是 具有常k a e h l e r 角的共形调和映照，并且g 不是全纯，反全纯及全实的，那 么m 一定落在r ”的某一超球面中，并且作为该超球面的v e r o n e s e ( f n 小) 曲面的一部分。 在2 中我们考虑空间形式中子流形的象半径。这方面已有的结果可 参考【x i n ， y a ，以及【z h 2 】，这些工作都是用平均曲率来估计象半径。我们 将在稍稍一般的情况下考察，特别是对超曲面的情形，我们将用r 一平均曲 率来估计超曲面的象半径。第一个结果是 定理2 3 设m 为礼维紧致黎曼流形，n ( c ) 为曲率为c 的单连通空间 形式，：m 一十n ( c ) 为等距浸入。若对于任意。f ( m ) ，存在f ( m ) 在茁处 的单位切向量x 使沿x 方向的第二基本形式b 的模长满足ib ( x ，x ) i n ( c 1 r ) ，那么f ( m ) 不能包含在n ( c ) 上任何半径为r 的测地球中，其中 q ( c ，r ) d e j 、e c t a n ( 诉r ) ， c 0 1 r ， c = 0 i c t a n h ( i r ) ，c 0 ( 当 cs0 时自然成立) 。若，满足以下两个条件之一，那么f ( m ) 不能包含在 n ( c ) 上任何半径为置的测地球内， ( 1 ) 对某一t 1sr 髓，的r 一平均曲率珥满足l 珥i s 血( c ，r ) r ； ( 2 ) 对于任意z f ( m ) ，至少存在某一主曲率，1sr ? - t ，满足1 1 ( c ，r ) 。 熟知，在截曲率非正的完备单连通黎曼流形或开半球面中，不存在紧 致极小子流形 b s s g ， m y 。下面定理就超曲面的情形对上述经典结果 作了实质性的推广。 定理2 5 在截曲率非正的完备单连通黎曼流形或开半球面中，不存在 具有以下性质之一的紧致超曲面。 ( 1 ) 对某一r ，1 rs 讫= d i m m ，r 平均曲率研三o ； ( 2 ) 对某一偶数n 1sr 礼，r 一平均曲率珥冬0 。 最近，陈卿得到了完备黎曼流形能等距极小浸入到欧氏空间的一个新 的必要条件【c h 】。他证明，若存在从一个n 维完备黎曼流形m 到欧氏空间 的等距极小浸入，则对于任意p m ，函数v o l b p ( t ) t “关于t 单调非降， 其中玩( t ) 是m 上以p 为中心，t 为半径的测地球。由此可立即推出，任 何体积增长的阶小于n 的n 维完备黎曼流形都不能等距极小浸入到欧氏 空间中。在5 3 中，我们考虑双曲空间及球面中极小子流形的类似问题。我 们的结果是 定理2 6 设m 为n 维完备黎曼流形，等距浸入到h n ( 一1 ) 中。如果存 在常数a 使 r 、i h i 茎兰v o l b p ( t ) ， v t 0 j 口p ( t ) 。 n 成立，则对于任意p m ，函数v o l b ( t ) ( e 一“( s i n h t ) n 一1 ) 关于t 是单调上升 的。特别地，若存在3 4 m 到日( 一1 ) 的等距极小浸入，则函数v o l b p ( t ) ( s i n h t ) n 一1 关于t 是单调上升的。 定理2 7 设m 为n 维紧致黎曼流形，等距浸入到s 中。设t 。= m i n t ： m c 耳两) ，常数a 当 1 ， j l l x = f 乌p ：m _ 研( 1 ) 在诱导度量下使m 成为研( 1 ) 的类空曲面，具有常 平均曲率h = ( 1 + 1 2 ) ( 2 t ) 1 ；反之，若m 是单连通的，且z ：m _ 研( 1 ) 使m 成 为研( 1 ) 的具常平均曲率h 1 的类空曲面，则存在浸入f ：m _ + s l ( 2 ，c ) 满 足( + ) ，使得z = f 曼3 f + 。这里，kh + 们两。 另外，我们也给出了( + ) 式的可积条件，它是关于函数r 二阶偏微分 方程，任何反全纯函数都满足可积条件，由此可知研( 1 ) 中存在许多常平 均曲率h 1 的类空曲面。 1 3 s o m er e s u l t so nh a r m o n i cm a p so f s u r f a c e sa n dg e o m e t r yo fs u b m a n i f o l d s a b s t r a c t t h i sp a p e rc o n s i s t st w oc h a r p t e r s i nc h a r p t e r1 ，w h i c hi n c l u d e ss i xs e c t i o n s ，w e c o n s i d e rs o m ep r o p e r t i e sf o rh a r m o n i cm a p sf r o ms u r f a c e si n t oc o m p l e xg r a s s m a n n m a n i f o l d s 。i nc h a r p t e r2 ，w h i c hi n c l u d e sf o u rs e c t i o n s ，w es t u d ys o m et o p i c si ng e o m e t r yo fs u b m a n i f o l d s c h a r p t e r1 s o m er e s u l t so nh a r m o n i cm a p s f r o ms u r f a c e si n t oc o m p l e xg r a s s m a n nm a n i f o l d s t h i sc h a r p t e ri n c l u d e ss i xs e c t i o n s w eo b t a i ns o m er e s u l t sf o rh a r m o n i cm a p s f r o ms u r f a c e si n t oc o m p l e xg r a s s m a n nm a n i f o l d s f i r s ti n 2w ee s t a b l i s ht h eg e n e r a l i z e df r e n e tf o r m u l a ef o rh a r m o n i cm a p sf r o ms u r f a c e si n t oc o m p l e xg r a s s - m a n nm a n i f o l d s ，w h i c hg e n e r a l i z e st h ec o r r e s p o n d i n gf r e n e tf o r m u l a ef o rh o l o m o r p h i cm a p s t h e ni n 3w ed i s c u s st h ec u r v a t u r ep i n c h i n gp r o p e r t i e sf o rh a r m o n i c m a p sa n dg e n e r a l i z et h er e l a t e dr e s u l t sf o rp s e u d o - h o l o m o r p h i c c u r v e si n t og e n e r a lh a r m o n i cm a p s i ti sw e l l k n o w nt h a ts t a r t i n gf r o mah a r m o n i cm a p 妒，w ec a n c o n s t r u c tt h ef o l l o w i n gh a r m o n i cs e q u e n c e ： 妒：s p 1s 5 妒。与， 妒：妒。骂妒一。骘写妒一。骂 1 4 s u p i 】。s t jt h a tt h eh a r m o n i cm a p 妒s a t i s t i e s t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n ：w i l e n0 茎j 墨k o r a n k ( 妒j ) = r h o = 7 r l 0 ；a n d w h e n1 t p , i f t 一1 t + 1 j ， t ：0 i = 0 t h e nr a n k ( ) = 觑；h e r ep i san a t u r a ln u m b e r d e f i n ea f u n 。i o “。 b y c ( q ) = p 2 i i ( + 1 ) ( 1 + ( 2 o + 1 ) c o s o z ) w ed e n o t eb ya 口a n d 甄t h ek a e h l e ra n g l ea n d t h eg a u s s i a nc u r v a t u r eo fm o ft h e m e t r i ci n d u c e db y 驴，r e s p e c t i v e l y ，o u rm a i nr e s u l t sa r et h ef o l l o w i n g t h e o r e m1 3l e tm b eac o m p a c tr i e m a n n i a ns u r f a c e ，l p ：m - + g ( m ，n ) b oaj l a r m 0 丑j cm a pd e s c d b e da b o v e 工f c ( ) ，t h e n 吼= c ( a p ) ， a n d 妒：征oq ，w h e r e ：m - g ( f ，n ) i sh o l o m o r p h i c w h i c hg e n e r a t e st h ef r 8 “。o h a r m o n i cs e q u e n c e ia n d 卵：m _ g ( r n f ，n ) i sa n t i h o l o m o r p h i c ，f = r a n k ( 0 7 妒) t h e o r e m1 5l e t 妒：m - - + g ( m ，n ) b eah a r m o n i cm a p f r o ma 。o m p a c o r i e 埘a n n j a ns u r f a c ei n t og ( m ，n ) w h i c hg e n e r a t e st h ef o l l o w i n g h a r m o n i cs e q u e n c e ： 妒：伽写妒1 骂写骂写恪， r a n k ( 协) = m ，1si r 删o ，24 m ( 2 j ( r j ) + r ) ，t h e n = 4 m ( 2 j ( r j ) + r ) 】，a u d 妒j s h 叫咖 p h j c ；j f 。墨4 m ( 2 j ( , 一j ) + r ) ，a n dd e t a i o ，i = o ，一，j 一1 , t h e nt h e 8 8 “8 r n n f ! i n s i o nh o l d s t h e o r e m1 6l e t 妒：s 2 _ g ( m ，n ) b e ah a r m o n i cm a p i ff o rs o r t i ep 2 , r a n k ( 仍) 。m ，ld e t a ，i o , j = 0 ，一，p 一2 f f e s p r a n k ( 妒一j ) = m ，id e t a 一，l 1 5 f ；妻 葡 0 ，j = 1 ，一，p 一1 ) ，a n d 坐盟m p ( p 器1 型曼s 坐堕m p ( p 等1 型，+ ) 一一 一) t h e nk d e q u a l st ot h ee n d v a l u e so f a b o v ef o r m u l aa n dl pi sap s e u d o - h o l o m o r p h i c f o ra g i v e nh a r m o n i cm a p 妒，i t i sn a t u r a lt oa s kt h a tw h e nt h eh a r m o n i cm a p 妒 i s0 - i r r e d u c i b l eo r 一i r r e d u c i b l e ，a n dw h e npi si s o t r o p i c ? i f 妒i sn o n i s o t r o p i c ，h o w t oc m a u l a t ei t s i s o t r o p yo r d e r ? t h e s ea r e a l lt h ee l e m e n t a r yt o p i c sf o rh a r m o n i c m a p s t h ep u r p o s eo f5 4i s t od e a lw i t ht h e s eq u e s t i o n s f o rk n o w nr e s u l t s ，w h e n m = 1 , i e ，f o rh a r m o n i cm a p so fm i n t og ( 1 ，钆) = g f ”，p e n ga n dj i a op r o v i d e sa m e t h o dt od e t e r m i n et h ei s o t r o p yo r d e r o r d ( 9 ) ( s e e 【p j ) p u t 型= 一妒0 一q 0 1 5 o 垃， t h e n9 0 ) i sas m o o t hm a po fm i n t og ( j + 1 ，扎) p e n ga n dj i a op r o v et h a ti f 妒 i san o n i s o t r o p i ca n dl i n e a r l yf u l lh a r m o n i cm a p ，a n dt h e r ei san a t u r a ln u m b e r 惫s u c ht h a t 妒( 0 1 一妒， p ( ，妒仕一”a r eh a r m o n i c ，b u t 妒( 乩i sn o th a r m o n i c ，t h e n o r d ( 妒) = 0 b v i o u s l y , t h i sm e t h o d i sn o tp r a c t i c a b l e ，b e c a u s ei ti sf a rm o r ed i f f i c u l t t od e t e r m i n ew h e t h e r ( ，) i sh a r m o n i ct h a nt od e t e r m i n ew h e t h e r9 0i so r t h o g o n a l t ol p i ，w h i l ei ti sa l s od i f f i c u l tt od e t e r m i n ew h e t h e r 妒i sn o n i s o t r o p i ca n dl i n e a r l y f u l l i n 4w eo b t a i na ne x p l i c i tf o r m u l at oc a l c u l a t eo r d ( 9 ) w h i c hi s s u i t a b l ef o r a n yh a r m o n i cm a p o fmi n t og ( m ，他) m o r e o v e r ，t h ef o r m u l ad e p e n d so n 妒o n l y a n di si n d e p e n d e n to f 妒。( o o ) o nt h eo t h e rh a n d ，w ea l s op r o v i d eac r i t e r i o nt o d e c i d ew h e n 妒i s0 - i r r e d u c i b l eo r0 - i r r e d u c i b l e o u rm a i nr e s u l t sa r et h ef o l l o w i n g t h e o r e m1 7l e tmb eac o n n e c t e dr e m a n n i a ns u r f a c e ，a n d 妒：m - - - , , c p ”1 = a ( 1 ，n ) cu ( n ) b e ah a r m o n i cm a p t h e n o r d ( 9 1 = m m x k 0 ：a 2 2 0 5 a 。= 0 ，一1s j k 一2 ) 1 6 h e r ew ef o r m a l l yw r i t e0 - 1 a 。= 0 t h e o r e m1 9l e tmb eac o n n e c t e dr e m a n n i a ns u r f a c e ，a n d 爷：m a ( m ，礼) b eah a r m o n i cm a p t h e n 妒i s 一i r r e d u c i b l ei fa n do n l yi fr a n k ( a 。妒) = r e ；w h i l e 妒i so - i r r e d u c i b t ei fa n do n l yi fr a n k ( 9 。a 。) = m t h e o r e m1 1 0l e tmb eac o n n e c t e dr i e m a _ i m i a ns u r f a c e ，a n d 妒：m - - + g ( m 他1b e ah a r m o n i c m a p t h e n o r d ( 妒) = m a x k 0 ：妒伊( a ：妒) = 0 ，0 js 七一1 ) i n 5w ed i s c u s st h ed e g e n e r a t i o no ft h eh a r m o n i cs e q u e n c e si n d u c e db yh a r m o n i cm a p s ，i ，e ，w ew a n tt od e t e r m i n ew h e nt h eh a r m o n i cs e q u e n c e sm u s tc o i l t a i nd e g e n e r a t e 一t r a n s f o r mo r0 - t r a n s f o r m ? w h e nm = l v t h i si se q u i v a l e n tt o a s kw n e ht h eh a r m o n i cm a pi s i s o t r o p i c i t h a sb e e nk n o w nt h a tf o rah a r m i n i c m a p 妒：m _ g ( m ，n ) f r o m ac o m p a c ts u r f a c ew i t hg e n u sgi n t o g ( m ，扎) ，t h e h a r m o n i cs e q u e n c ei n d u c e db y 啦m u s tc o n t a i n s d e g e n e r a t e0 - t r a n s f o r m o rd f t r a n s f o r mi f ( i ) g = 0 , i e ，mi sat o p o l o g i c a l2 - s p h e r es 2 w 叫；o r ( i i ) g = 1a n d d e g ( t ) o ，w h e r ed e g ( 妒) d e n o t e st h et o p o l o g i c a ld e g r e eo f 妒【w 叫；o r ( i i i ) m = 1 ，i d e g ( 妒) i ( n - - 1 ) ( g - 1 ) l i 3 ，d o ；o r ( i v ) m = 1 ，r ( 懿) + r ( 础) 2 n ( g 一1 ) d o ，jr ，w h e r e r ( ) a n dr ( 醒) d e n o t et h eb r a n c hi n d i c e so ft h e0 - t r a n s f o r ma n d0 - t r a n s f o r mo f 妒，r e s p e c t i v e l y s of a rh a v ew e k n o w nt h ea b o v er e s u l t s ，b u tw h e nr d , 1a n dg 1o r w h e nmi sn o tc o m p a c t ，i ts e e m st h a tt h e r ea r e n ta n yr e s u l t sa b o u tt h i sq u e s t i o n u p t on o w t h et m r p o s eo f5 5i st os e e ks o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf u r t h e rt oe n s u r e t h a tt h eh a r m o n i cs e q u e n c ei n d u c e db y 妒m u s tc o n t a i n sd e g e n e r a t ei f - t r a n s f o r mo r a ，t r a n s f o r m 0 n rm a i nr e s u l t sa r e t h e o r e m1 1 3l e tmb eac o n n e c t e da n dc o m p l e t er i e m a n n j a ns u r f a c e 1 7 妒：m - g ( m ，n ) b e ah a r m o n i cm a p f k 妒20 ，a n dt h e r ei s a p o s i t i v en u m b e r e 0s u c ht h a ti c o so c 口l e ，t h e nt h eh a r m o n i cs e q u e n c ei n d u c e db y 妒m u s t c o n r a i n st h ed e g e n e r a t ea ，一t r a n s f o r mo rf t r a n s f o r m p a r t i c u l a r l y , w h e nm 2 1 ，妒m u s l 5 b ei s o t r o p i c t h e o r e m1 1 8l e tm b eac o m p a c ts u r f a c ew i t hg e n u sg , q o ：m - g ( m ，礼) b eah a r m o n i c m a p 玎 r ( ) + r ( 硝) 2 【景】( 9 1 ) ， t h e nt h e r em u s te x i s tt h ed e g e n e r a t e 一t r a n s f o r mo r6 9 - t r a n s f o r mi nh a r m o n i c s e q u e n c ei n d u c e db y 妒，w h e r e 景】d e n o t e st h ei n t e g e rp a r to fm n f i n a l l yi n 6w ep r o v i d ea ne x p l i c i t c o n s t r u c t i o nf o rn o n + h o l o m o r p h i ca n d f i n i t eh a r m o n i cm a p sf r o ms u r f a c e si n t oa ( 2 ，4 ) o u rc o n s t r u c t i o ni s d i f f e r e n tw i t h t h ec o n s t r u c t i o nd u et ob u r s t a l lf e a n dw o o d j c ，i nf a c tw es h a l lp r o v et h ef o l - l o w i n gt w ot h e o r e m s i n5 6 t h e o r e m1 1 9l e t 妒：m _ a ( 2 ，4 ) b eas m o o t hm a p t h e n 妒j s an o n 土血叫o m o f n b j ca n df i n i t eh a r m o n i cm a p i f a n do n l yf f l o c a l l yt h ec o r r e s p o n d i n g s u b b u n d l e 妒o ft h em a p 妒c a l lb eo b t a i n e d i nf o l l o w i n gw a y s f 1 ) t h e r e e x i s t sal i n e a r l yf u ha n dh o l o m o r p h i cc 4 _ v a l u e df u n c t i o n f l ( z ) w h i c h i s n o n z e f oe v e r y w h e r ea n dl o c a l l yd e f i n e d0 1 1m s u c ht h a t 妒_ c a nb ee x p r e s s e di no n e o ft h ef o l l o w i n gt h r e ec a s e s ： ( a ) 吲，1 。 s 群，3 + ，4 ( b ) ( c ) o s 2 if 4 2 瓦。5 丽j 竺= ，2 】o s f l + f 4 + ，2 h e r e i st h el o c a lc o m p l e xc o o r d i n a t e0 nm a n d 2 ， 3a n d | ta r ed e t e r m i n e db y f o l l o w i n g f o r m u l a ： 瓦o h = f p + l - - 裘l 。gl 厶1 2 ，p ，p = 1 1 2 3 ( 2 ) t h e r ee x i s t sal i n e a r l yf u l la n dh o l o m o r p h i cc a _ v a l u e df u n c t i o n ，】( z ) w h i c hi s n o n z e r oe v e r y w h e r ea n dl o c a l l yd e f i n e d0 1 1m s u c ht h a t 妒_ c a nb ee x p r e s s e di no n e o ft h ef o l l o w i n gt w oc a s e s ： ( a ) 竺= f l 】o 【，3 + s ，4 ， 兰( 击) ：o ；砒l 矗1 2 ， 。 ( b ) 竺= 【捌o 【s f l + f 4 ， 岳( s1 1 2 ) = o h e r e i s an o n z e r ov e c t o ri nt h eo r t h o g o n a lc o m p l e m e n t a r ys p a c eo f c 3i nc 4 , a n d la n dj 2a t ed e t e r m i n e db yf o l l o w i n gf o r m u l a 兽= ，2 + 毫l 吲吖 ， 0 = 、 怛l p 一0 a 瓦 严f胛一肿m | 三 删坠弛 堕：南+ l 1 。l 矗l z40 z2 ，”。g j 2 1y 2 ( 3 ) t h e r ee x i s t t w o n o n c o n s t a n t h o l o m o r p h i c c 2 _ v a l u e d f u n c t i o n s f l ( z ) a m d f 2 ( z ) w h i c h a r en o n z e r oe v e r y w