（天体物理专业论文）具有全反射平面边界时空中原子的自激发.pdf

一 一 摘要 在量子辐射理论中，一直以来人们普遍认为真空涨落与辐射反作用 的贡献是不确定的。后来，j d a l i b a r d ，j d u p o n t r o c 和c c 0 1 1 e n t a 肛n o u d j i 证明，只要分离后相应的变化率是厄米量，则此不确定性可以消除。j a u d r e t s d l 和r m n l l e r 利用此结果研究了原子与实标量场的相互作用。 他们定量地分析了真空涨落和辐射反作用各自对匀加速原子自激发的贡 献。 我们研究了在有边界的时空中两能级原子与无质量标量场的相互作 用。边界条件的存在会改变标量场的真空涨落，这样就会改变原子的辐 射性质。我们分别计算了匀速原子和加速原子平均能量的变化率。 对于匀速运动原子的情况，研究发现由于加板而得到的原子的自激 发修正项在板附近是一种振荡行为。当远离板时( z u 。1 ) ，正像我们所 预期的一样，这个修正项可以忽略。当无限靠近板时( z u 。1 ) ，修正部 分显著增大以致可与无板时的部分相抵消，导致总的辐射率为零。 对于匀加速运动原子的情况，可以发现即使在真空中，从基态跃迁 到激发态也是可能的。这是由于加板与加速的原子导致了真空涨落的改 变。跟不加板的情况比较，我们可以得到一些有意义的结果。第一，原子 平均激发能量变化率是原子到板的距离的函数，并且当靠近板时以振荡 行为消失。第二，辐射反作用的贡献跟原子的加速度有关。而在无板的 m i n k o w s k i 空间，对于沿任意固有时轨道运动的加速原子，其辐射反作用 是不变的。这与加板的情况截然不同。 关键词：真空涨落，辐射反作用，匀速原子，匀加速原子，自激发。 鼍 ， 一 a b s t r a c t i ti sg e n e r a l l yc o n s i d e r e dt h a tt h e r ee x i s t si nq u a n t u mr a d i a 乞i o n 七h e o r ya ni n d e t e r m i n a t i o ni nt 1 1 es e p a r a t i o no ft h er e s p e c t i v ee f i l b c t so fc a c u u mf l u c t u a t i o n sa 1 1 d r a d i a t i o nr e a c t i o n j d a l i b a r d ，j d u p o n t r o ca n dc c o h e n 一! 1 眦n o u d j ih a v es h o w e d t h a ts u c ha ni n d e t e r m i n a t i o nc a nb er e m o 、，e db yi m p o s i n gt h ec o r r e s p o n d i n gr a t e s o fv a r i a t i o nt ob eh e r m i t i a n j a u d r e t s c ha n dr m t l l 】e ra p p l i e dt h i sp r o c e d u r e 七oa na t o mi n 七e r a c 七i n gw i t ham a s s l e s ss c a l a rq u a l n 七u mf i e l da n da n a l y z e dq u a n t i t a t i v e l yt h ed i s t i n c tc o n t r i b u t i o n so fv a c u u mf l u c t u a t i o n sa n dr a d i a 七i o nr e a c t i 0 1 1t o t 1 1 es p o l l 七a n e o u se x c i t a t i o no fau n i f o r m l ya c c e le l a t e da t o m w es t u d yat w o 一1 e v e la t o mi ni n t e r a c t i o nw i t har e a lm a s s l e s ss e a l 盯q u a n t l l m 6 e l di nas p a c e t i m ew i t har e n e c t i n gb o u n d a l r y t h ep r e s e n c eo ft h eb o u n d a r y m o d i 6 e st h eq u a n t u m 丑u c t u a t i o n so f 七1 1 es c a r l 甜f i e l d ，w h i c l li 1 1t l l r l lm o d i 矗e st 1 1 e r a d i a t i v ep r o p e r t i e so fa t o m s w 毡c a 1 c u l a t et h er a t eo fc h a n g eo ft h em e a na t o m i c e n e r g yo f 仙ea t o mf o rb o t hi n e r t i a lm o t i o na n du n i f o r ma c c e l e r a t i o n i nt 1 1 ec a s eo fa ni n e r t i a la t o m ，i tf o u n dt 1 1 a tt h em o d i 丘c a t i o n si n d u c e db yt h e p r e s e n c eo fab o u n d a r ym 山et h es p o n t a u e o u sr a d i a 七i o nr a t eo fa ne x c i 钯di n e r 七i a l a t o mt oo s c i l l a t en e a rt h eb o u n d a r y a td i s t a n c e sf 盯f r o mt h ep l a n e ( z u n 6 1 ) ， t h ec o r r e c t i o n sb e c o i n en e 9 1 i g i b l ea so n ew o u l de x p e c t i ti si n 七e r e s t i n gt on o t e t h a tc l o s et ot h ep l a n e ( z l u 曲1 ) ，t h ec o r r e c t i o n sb e c o m e ss ol a r g et h a 七t h et o t a l r a d i a t i o nr a t eo ft 1 1 ea t o md i m i n i s h e st oz e r oi nao s c i l l a t o r ym a n n e ra st 1 1 eb o u n d a r y i sa p p r o a c h e d i nt h ec a s eo fau n i f b r m l ya c c e l e r a t e da t o m ，t h et r a n s i t i o n sf o mg r o u n ds t a t e s t oe x e i t e ds 怕吨e sa t ef o u n dt ob ep o s s i b l ee v e ni nv a c u u md u et o 出l a n g e si ut h e v a c u u mn u c t u a t i o n si n d u c e db yb o t ht h ep r e s e n c eo f 七h eb o u n d a r ya n dt h ea c c e 】一 e r a 七i o no fa t 0 1 n s t h e r ea r es o m ei n t e r e s t i n gf e a t u r e st ob en o t e da sc o m p a r e dt o t h ec a s ew i t l l o u ta n yb o u n d a r y f i r s t ，t 1 1 er a t eo fc h a n g eo ft h em e a na 七o m i ce x c i t a t i o ne n e r g yi sn o waf u n c t i o no ft h ed i s t a n c et ot h eb o u n d a i ya n di td i e so f fi na n o s c i l l a t o r yw a yt h eb o u n d a r yi sa p p r o a c h e d s e c o n d ) t h ec o n t r i b u t i o no fr a d i a t i o n r e a c t i o ni sn o wd e p e n d e n to nt h ea c c e l e r a t i o no ft h ea t o m ，j ns h a r pc o n t r a s tt ot h e u n b o u n d e dm i n k o w s k is d a c ew h e r ei th a sb e e ns h o w nt h a 七f 6 ra c c e l e r a t e da t o m so n i i i 盯b i t r a r ys t a t i o n a r yt r a j e c t o r y ，t 1 1 ec o n t r i b u t i o no fr a d i a t i o nr e a c t i o ni sg e n e r a l l y n o ta l t e r e df r o mi t si n e r t i a l 、，矗l u e k e yw o r d s ：v a c u u mn u c t u a t i o n s ) r a d i a t i o nr e a e t i o n ji n e r t i a la t o m ，u n i f o r m l y a c c e l e r a t e da t o m ，s p o n t a n e o u se x e i t a t i o n i v ， 卜q 第一章绪论 1 1引言 人们在了解原子结构的过程中，主要研究手段就是研究光( 辐射场) 与原子的相互作用。在光的照射下，原子可能吸收光而从低能级跃迁到 较高的能级，或从较高的能级跃迁到较低能级并放出光，这现象分别称 为光的吸收和受激辐射。受激辐射产生出的光子与原来光子的状态完全 相同( 包括能量、传播方向及相位) 。实验上还观察到如果原子本来处于 激发能级，即使没有外界光的照射，也可能跃迁到某些较低能级而放出光 来，这称为自发辐射。对于原子的自发辐射现象，在非相对论量子力学理 论框架内是无法处理。因为按照量子力学一般原理，如无外界作用，原子 的哈密顿量是守恒量，如果初始时间处于某定态( 哈密顿量的本征态) ， 则原子将保持在该定态，不会跃迁到较低能级去。在半经典理论中，具 有量子机制的原子和经典辐射场相互作用，只有受激辐射和吸收是预期 存在的，而自发辐射根本就不存在。根据此理论，激发的原子处在真空 中不会辐射。从这里可以联想到自发辐射会跟辐射场的量子涨落有关。 这样就有人认为，自发发射可理解为由真空涨落所诱发的受激辐射。但 是进一步的讨论就会产生疑问，由于受激辐射和吸收有相等的爱因斯坦 b 系数，为什么真空涨落不导致自发吸收呢 1 】? 1 9 1 7 年，爱因斯坦提出了一个半唯象理论来说明原子自发辐射现象。 他借助于物体与辐射场达到平衡时的热力学关系，指出自发辐射现象必 然存在，并建立起了自发辐射与吸收和受激辐射之间的关系。但其产生 的机制和根源一直困扰着人们。随着物理学的发展，尤其是量子场论取 得了重大突破，人们对真空的认识逐步加深，发现真空并不是一无所有。 人们认为量子场论的突破与发展为粒子物理学的发展提供了理论基础， 量子场才是物质的基本形态，而粒子是由量子场派生出来的，即场是第 一性的，粒子是第二性的。量子场有基态和激发态的分别；当量子场处 于激发态时，即产生了基本粒子；当量子场处于基态时，则是量子场激 发态的消失即为基本粒子的湮灭。基态的量子场我们称为量子真空，而 硕士学位论文 量子场的基态称为量子真空态。真空和真空态两个概念是不同的 2 】，真 空是真空态的荷体或载体即承担者，真空态则是真空的状态。现今已有 的一般量子场论书籍和论文中，所称的“真空”实际上是指“真空态”。 在量子力学和量子场论中，由于测不准关系，虽然真空能量的平均值为 零，但是真空中的一点在某一时刻能量可能为正值，而另一时刻又可能 为负值，也就是说，真空中始终存在着涨落。随后人们发现了许多由于 真空涨落所引起的物理效应，例如，c 蹦i m i r 效应【3 、布朗运动【4 ，5 等。 由于存在着真空涨落，人们从这点出发对原子辐射问题进入了深入的研 究 6 1 2 ，形成了两种主要的观点。一种观点认为原子的自发辐射是由于 原子所处背景的真空涨落引起的；另一种观点则认为是由于原子与自身 的辐射场相互作用而引起的。这两种方案都能解释许多物理现象，但是都 还存在一些问题【1 3 一1 5 】，所以对这两种解释方案尚存在争议。按量子电 动力学理论，到底是哪种机制对原子的自发辐射产生贡献只是取决于哈 密顿量相互作用项中原子和场算符的顺序。法国科学家j d a l i b 盯d 【1 6 ，1 7 等人从理论上分析了产生原子自发辐射的原因，并解决了此问题。下面 我们来介绍一下他们是如何解决此问题的。 1 2 两种贡献不确定的根源 后来人们普遍认为真空涨落和辐射反作用都对自发辐射的产生有贡 献 1 8 】，但是他们各自的贡献却不能清楚的区分和确定 1 9 ，2 0 。下面我 们在h e i s e n b e r g 表象中来说明这个问题。在h e i s e n b e r g 表象中，态不随时 间变化，而力学量( 算符) f ( t ) 随时间的演化，遵守h e i s e n b e 唱方程 爰耶) = 扣，研 ( 1 - 1 ) 原子和场的相互作用过程可以归纳为图1 1 。场和原子的变量的h e i s e m b e r g 方程可以由系统总的哈密顿量得到。场的方程可以看作为由原子源 所驱动的谐振子运动方程，所以容易积分而求解。 原子的辐射和跃迁实质上就是原子中电子所处的能级发生了变化， 即原子的能量改变了。所以用量子力学的观点看，研究原子的辐射性质 就是要研究原子的哈密顿量随时间的演化。在这里我们只介绍一种具体 2 具有全反射平面边界时空中原子的自激发 图1 1 ：原子动力学方程的原理图 的相互作用，即原子和场的相互作用，来说明问题( 更一般的讨论可以 参阅 1 6 】) 。 场量可以分为两部分： e = e ，+ e s ， ( 1 - 2 ) 自由场部分e ，是在无源的情况下对应线性齐次方程的解，也就是在初始 时刻没有放入原子时的真空场；有源场最对应于原子源所产生的场。在 同一时刻，对于一个给定的原子的可观测量的变化率正比于原子和场算 符的积： 掣一( t 删 ( 1 3 ) 把方程( 1 2 ) 代入上式得： ( 掣) 眦俐， ( 1 4 ) ( 掣) ( t 刖 ( 1 _ 5 ) 根据物理起源乃和e s ，可以把( 掣) 。，称为真空涨落对原子可观测量 硕士学位论文 变化率的贡献，而把f 掣) 称为辐射反作用对g ( t ) 变化率的贡献。我们 知道在初始时刻原子与场是相互独立的，所以原子的算符和场的算符是 对易的。随着时间的演化，两者的对易关系将保持不变，在( 1 3 ) 式中，原 子算符j 7 v ( ) 和场算符e ( t ) 是对易的。所以似乎取它们之间的任意顺序都 不会对结果有影响。但是若把场量分为自由部分和有源部分后，毋和e 各自并不与( ) 对易，这样( ) e r ( t ) 和e r ( t ) ( t ) 将产生不同的结果。 所以式子( 1 4 ) 和( 1 5 ) 中的变化率将依赖于两个对易算符( t ) ，e ( t ) 的顺 序。例如对于一个特殊情况，( ) e ( t ) 取正规乘积顺序( 场量的湮灭算符 都在右边，产生算符都在左边) ，( 掣)对场的真空态求平均时将会为 零。这样，对原子可观测量的变化率的贡献似乎都来自辐射反作用。所 以取不同的顺序将会有不同的结论。单从这点看似乎真空涨落和辐射反 作用的贡献是不确定的。 1 3 物理解释以及厄米性条件 为了更具有一般性，在式( 1 3 ) 中两算符的顺序可以写成如下形式： a ( ) e ( ) + ( 1 一a ) e ( ) ( ) ， ( 1 6 ) 其中o as1 。把e = e ，+ 晚代入可得： 掣= ( 掣) 。，十( 掣) 7 ， 其中 ( 掣) 厂洲驰叫驯m ( 1 8 ) ( 掣) = 州恻( 网蝴) ( 1 9 ) 这两个变化率依赖于入。从数学角度来看，入取任意一个值效果是等同 的。但是由于巧( t ) 和忍( t ) 与( t ) 不对易，取不同的a 的值将得到不同 的物理结果。 为了消去这个不确定性，还得考虑分离后各个量的物理意义。假定 g 是一个物理上可观测的量，那么算符g 则为一个厄米算符。所以g 随 4 具有全反射平面边界时空中原子的自激发 时间的变化率也为一个厄米量。要把这个变化率分为各自包含毋( t ) 和 忍( ) 的两部分，则要求分离后的备部分也都有各自的物理意义，即要求 式( 1 8 ) 和( 1 9 ) 中各量也为厄米量。j d a l i b a r d ，j d 1 】p o n t r o c 和c c o h e n t a n ，o u d j i 【1 6 】已证明，这个条件决定a 只能取；。因此，鲁只有唯一的 分法，就可以得到： 、 ，7 ，1 ，士、1 ( 专)= 吉( ( t ) 研( t ) + 马( t ) 人r ( t ) ) ， ( 1 1 0 ) 。 u ， 。 ( 掣) = 去( ( t ) 玩( t ) 十忍( t ) ( t ) ) ( 1 1 1 ) “ s 厶 这也就是对( t ) e ( t ) 取完全对称的顺序。因此就可以确定的计算出真空 涨落和辐射反作用对原子的可观测量变化率的贡献了。所以在此基础上 可以更明确地研究原子的辐射性质。 本文的结构如下：在第二章中，我们将引述两能级原子与标量场的相 互作用过程，得到各个量随时间演化的表达式；回顾目前的研究成果和 现状，介绍我们研究的一般方法。第三章是本文的核心，将分别讨论存 在无限大全反射平面板时匀速原子和匀加速原子的自激发，分别确定地 给出了真空涨落和辐射反作用对原子能量变化率的贡献，并且详细地讨 论了我们所得到的结果。最后是全文的总结以及本人对这一研究领域的 一些展望。本文中使用自然单位制c = 危= 】。 5 第二章无边界条件下原子的自激发 自从1 9 7 3 年以来，人们对真空涨落和辐射反作用各自对自发辐射的 作用的问题进行了大量的研究【2 卜2 5 。在这一章中，我们将介绍在自由 空间中原子与实标量场的相互作用 2 6 。在这里将会区分并确定真空涨 落和辐射反作用对原子能量的变化率的贡献。并从所得的结果中可以知 道，真空涨落对原子的作用被加速作用所改变，然而辐射反作用则保持 完全不变。由于改变了真空涨落的贡献，原子即使在真空中也可以跃迁 到激发态，这就是著名的u n r u h 效应 2 7 。 2 1 两能级原子与实标量场的相互作用 在这节中我们将介绍的是两能级原子与实标量场的相互作用。在现 实生活中原子是与电磁场相互作用的，但在这里所研究的是两能级原子 与实标量场的相互作用，这样可以使问题简化但也可以让我们清楚地看 清问题实质。zh ( t ，z ) 是指在惯性系中m i n l c o w s k 空间的坐标。考虑一个 原子沿轨道z ( 丁) = ( t ( 丁) ，z ( 丁) ) 运动，在这里丁表示固有时。在后面我们都 用固有时丁描述系统随时间的演化。原子有两个稳态为l 一) 和l 十) ，其能 量分别为一j u 。和+ j u 。根据d i c k e 2 8 的定义，可以把原子的哈密顿量 写为 日a ( 丁) = u u r 3 ( 7 i ) ， ( 2 1 ) 在这里r = = j l + ) ( + 卜j i 一) ( 一i 。自由场的哈密顿量为 坼( 牡胤叩鲰筹， + ( 2 2 ) 其中o ：，o 云分别为一个动量为i 的光子的产生算符和湮灭算符。场算符 可以用产生和湮灭算符来展开 ( t ，z ) = d 3 矗g 后( 凸忌 ) e i 船+ 。；( t ) e i 庇) ， ( 2 3 ) 其中靠= ( 2 峻( 2 丌) 3 ) 一 7 硕士学位论文 原子与标量场的相互作用类似于电偶极矩的相互作用。现在我们考 虑这一项，可以把相互作用的哈密顿量写为 互b ( 丁) = p r z ( 下) ( z ( 下) ) ， ( 2 4 ) 肛为偶合常数，是一个小量，岛= j i ( r 一一r + ) 为原子不同态之间的关联 矩阵，其中r 十= i + ) ( 一i ，r 一= i 一) ( + i ，分别为原子的升算符和降算符。 算符r s 和r 士满足下面的代数关系【r 3 ，冗士 _ 士也，【辟，r 一】- 2 磁。 根据h e i s e n b e 昭方程，可以得到原子和场量的运动方程 - 导r 土( r ) = 士i u o r 土( 7 - ) + i 肛西( z ( 7 - ) ) r z ( 7 _ ) ，r 土( 丁) ， ( 2 5 ) 杀r 3 盯) = j p 矽( z ( 7 一) ) r z ( 7 - ) ，r 3 ( 丁) 】， ( 2 6 ) 爰。石( t ( 7 - ) ) = 一i n i ( ( f ) ) + i 肛飓( 7 ) ( z ( 7 - ) ) ，。e ( t ( 丁) ) 】去 ( 2 7 ) 这些方程的解可以分为两部分：( 1 ) 自由部分，即原子与场无偶合的情 况下各自独立的演化。( 2 ) 有源部分，这是由于原子和场的相互作用引起 的，它包含偶合常数虬这样分后，可以得到： r 土( 丁)= r 坌( 丁) + r 主( 丁) ， r 3 ( 7 _ ) = 咒；( 7 - ) + r ；( 7 - ) ， o 云( ( 7 - ) ) = 。；( ( 丁) ) + o ；( z ( 丁) ) 对运动方程( 2 5 ) ，( 2 6 ) ，( 2 7 ) 积分得 r 坌( 丁) = r 至( 下u ) e 土i “。( 7 r 一匍) 咒；( 7 一) = r j ( 丁0 ) ，丁 r 呈( 丁) = i p d 丁7 咖7 ( z ( 7 - 7 ) ) 【r ( 7 - 7 ) ，r 至( 7 ) ；( 2 8 ) j 和 j ，t 弼( 丁) = i ，。( ! 丁7 ，( z ( 丁7 ) ) f 石g ( 丁7 ) ，r j ( 丁) 】；( 2 9 ) ，邗 。拟丁) ) = o 拟伯) ) e 汕舯“圳， a ；( t ( 丁) ) = 咖d 丁7r ( 丁，) 【乍( 丁，) ) ，n f ( t ( 丁) ) 】 ( 2 1 0 ) j n l 在有源部分的解中，所有算符右边的项只含自由部分的解了，在这里只 取了微扰近似解的一阶近似。根据式( 2 1 0 ) 可以分别写出场量的自由 8 具有全反射平面边界时空中原子的自激发 部分和有源部分： ，( ( 丁) ，z ( 7 - ) ) = d 3 七9 i ( n 罨( 。) e t 穑( t ) 一讪s ( r ) 十；( 。) e i 庇( f ) + t 。e t ( 7 ) ， ，下 3 ( ( 7 - ) ，z ( 7 一) ) = i 肛d 7 - 7 月( 7 - 7 ) 矽，( z ( 7 - 7 ) ) ，( z ( 7 - ) ) ( 2 1 1 ) 加 2 2 沿任意稳态轨道运动的原子在真空中原子能量的变化率 假设场的初态为真空态l o ) ，原子的初态为l o ) ，对于两能级的原子 它只可能为i 十) 或| - ) 态。从原则上说，对于任意原子的可观测量g 的平 均值随时间的演化可以通过解一系列带有偶合常数的h e i s e n b e r g 方程得 到，但是这是一系列非线性方程很难求得精确解。在这篇文章中我们的 主要目的是区分两种不同的物理过程对可观测量g ( 丁) 的变化率的贡献： ( 1 ) g ( 丁) 的变化由场的真空涨落引起的部分。这一部分跟前面讨论过的场 的自由部分有关，可以认为是真空涨落对筹的的贡献。( 2 ) g ( 丁) 的变化 由原子与自身所产生的场相互作用所引起的部分。这一部分跟前面讨论 过的场的有源部分有关，可以把它叫作辐射反作用对鲁的贡献。 原子的哈密顿量的h e i s e n b e r g 方程可以写为 鲁巩( 7 _ ) ：引研( 丁) ，巩( 丁) 】 ( 2 1 2 ) 为了区分真空涨落和辐射反作用的贡献，就必须分别考虑咖，和5 的 效应。当把妒分为咖，和扩后，由于咖，( r ) 和5 ( 丁) 与 r 。( 丁) ，巩( 丁) 不对 易，那么在这里我们将碰到算符的顺序问题。在前面一章中已经讨论过 了这个问题，为了使分离后的量是物理可观测量就必须采用完全对称顺 序。这样就可以得到真空涨对訾的贡献 ( 掣) 。，= 新化删丁椭m 刚丁化) ) ，( 2 1 3 ) 以及辐射反作用对訾的贡献 ( 掣) ，= 批删丁批】+ 【酬刚丁m ) ) ( 2 “) 9 硕士学位论文 鼍! = = 皇詈= = = 毫! 竺竺皇= = = = = ! = ! = = 皇! = ! 墨皇! = = 皇苎毒! ! 署暑：= ! ! ! 烹：= ! 竺= = = ：! ：= = ：= ：! ! ：! ! ! ： ：! ! ! = ： 把巩= u 。飓( 丁) 代入上式得： ( 掣) 。，= 知( 以如) ) 【叫肿) + 【冗z ( 丁) ，r 。( 丁) 】妒，扛( 7 - ) ) 1 ， ( 掣) ，= 知( 似m ) ) 酬m ) + r 。( 丁) ，r s ( 丁) 矿( z ( 丁) ) ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 把r 。( 丁) 和兄。( 丁) 也分为自由部分( 取肛的零阶) 和有源部分( 取p 的一 阶) 。根据微扰理论的处理方法，取到肛的两阶，可以把式( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 的右边用自由部分磁，r 5 和，来表示。利用自由场和自由原子的算符对 易，可以得到： ( 掣) “= 知p ( 砌丁) ) 【趟，冗邶mr m 丁) ) ) 一言u o 肛2 d 7 - 7 驴，( z ( 7 - ) ) ，( z ( 7 ) ) ) ( 掣) 。 d 7 i 趟( 丁，) ) 【磁( 丁) ，( 下) ， ( 2 1 7 ) 一p 坳化m 沁) ) 】 ( r 5 ( 丁，) 硝( 7 - ) ，r 5 ( 7 ) + 【r ；( 7 一) ，r ；( 7 ) r 5 ( 丁7 ) 1 ， ( 2 1 8 ) 其中的花括号是表示反对易关系。 对上面两个式子( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 取真空平均值。由于( o i 佃) = o ，式 ( 2 1 7 ) 的右边前面部分无贡献，因此可以得到： 洲掣| 0 ) 旷啪卢2p 州n m ，) ) ir ；( 丁7 ) ，【r ( 7 - ) ，兄；( 7 - ) 】i ， ( 2 1 9 ) ( 0 | 掣1 0 ) ，：哗z 卜，以m 胁，) ) 硝( 丁九嚼( 丁) ：r ；( 丁) ( 2 2 0 ) 1 0 具有全反射平面边界时空中原子的臼激发 其中 c f ( z ( 下) ，z ( 7 - 7 ) ) = 去( o l 咖7 ( z ( 下) ) ，咖7 ( z ( 丁7 ) ) ) l o ) ， x p ( z ( 7 ) ，z ( 7 - 7 ) ) = 三( o l 【，( z ( 丁) ) ，( z ( 7 - 7 ) ) 】i o ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) c f 是场的对称关联函数，也称为h a d a m a r d 函数，它是描述量子场在 真空态的涨落。) ( f 就是p a u l i j o r d a n 函数，根据式( 2 2 0 ) 可以看出它是描 述平均变化率警铲关于原子涨落的线性反应。值得强调的是这些场的 统计函数都要沿着原子的轨道计算。 在这篇文章中，我们所感兴趣的是原子的能量平均值的演化，因此还 要对式( 2 1 9 ) 和( 2 2 0 ) 求原子态l o ) 的平均值，把对易关系【r ( 丁) ，r ( 丁) 】 用i 鲁( 丁) 代替，可以得到： 甜划p 2p 饥州丁，) ) 新丁) ， ( 2 2 3 ) 。锄肛2 ( 鼎咖扣) ) 耖 ( 2 2 4 ) 其中( ) = ( o ，o i i o ，n ) 。类似于式( 2 2 1 ) 和式( 2 2 2 ) ，上式中的统计函 数可以定义为： c a ( 丁，丁7 ) = 去( i r ；( 7 - ) ，r 5 ( 丁7 ) ) l ) x a ( 丁，丁7 ) = 昙( 。i ( 丁) ，r ( 丁，) 】l 。) c 称为原子的关联函数，) ( 月是原子的线性反应函数。 2 3m i n k o w s “时空中原子的自激发 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 在这节的开始，我们首先来介绍一下原子和场的统计函数的具体表 达式。其中原子的统计函数的具体表达式可以写为： c 吁一) = 去莓i 硝( o ) 恸j 2 ( e t 卜蚋小) ， ( 2 2 7 ) 冉) _ 三莓伽) | 2 ( 剐一卜e 粕一一) ， ( 2 2 8 ) 硕士学位论文 这里u 。a = 叫。一u 。，以及求和项是对所有的原子态求和。 根据有关的量子场论教材 2 9 ，关于场的统计函数可以用m i n k o w s k i 时空中的坐标t 和岳表示出来，同时坐标和z 是固有时丁的函数。因此 有 111 矿( m ) ；咖，) ) = 一壶l 面瓢南+ 面磊函) ，( 2 七9 ) = ) ( f ( z ( 7 ) ，z ( 7 _ ，) ) 3 嘉南( j ( h 一j ( 。旧j ) ， ( 2 3 0 ) 这里t = t ( 丁) 一( 丁) ，石= 叠( 丁) 一z ( 丁) 。我们可以看出场的统计函数与 原子的运动轨道有关，下面两小节的内容是利用上面的结果分别计算匀 速原子和匀加速原子的能量变化率 2 6 。 2 3 1 匀速运动原子的情况 在这一小节中，主要是利用前面所推导的公式来研究匀速原子的自 发辐射性质。假定原子以常速度秽沿着某个方向运动，取此方向为z 轴 方向，y ，z 方向保持不变可以不考虑，所以可以取原子的运动轨道为 t ( 丁) = 7 7 _ ，z ( 丁) = 而+ 移7 丁，( 2 3 】) 其中7 = ( 1 一u 2 ) 一。所以根据式( 2 2 9 ) 和( 2 3 0 ) 和容易得到场的统计函 数： m 凇) ) = 一壶( 南+ 南) ， ( 2 3 2 ) ) ( f ( z ( 7 ) ，z ( 7 - 7 ) ) = 一高巧( 7 - 一7 7 ) 把上面两式以及式( 2 2 7 ) 和( 2 2 8 ) 代入式( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) 中， 丁一丁7 ，可以得： 。，= 乐恸f 2 xc d u ( 南+ 南) 一舭， r r _ 一玺呦) 6 ) 1 2 e 岬渺”， ( 2 3 3 ) 并且令乱= ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 具有全反射平面边界时空中原子的自激发 在这里由于时i 剐7 伯足够长，所以石 以把积分上卜1 5 艮延敛为尢秀大。 利用留数定理，通过简单的积分可以得到： 厂一等眩知嘲吲驯2 一点。扫制咖协吵2 鄢) = 一等瞧扫( n j 删驯2 + 点。扫倒删6 ) 1 2 ) ( 2 _ 3 7 ) 把上面两者加起来即可得到总的原子能量的变化率： 搬= 。，+ 。 = 一等u 驰。嘲o ) 阱 ( 2 3 8 ) s 2 3 2匀加速运动原子的情碗 在这一小节中，主要是推广上面一小节的过程而进一步讨论一下匀 加速运动原子的的情况。我们需要强调一点的是，在这里所说的匀加速 运动是指在任何时刻与原子速度相同的观测者所观测到的结果。匀加速 原子的运动轨道可以写成如下形式： t ( 丁) ：三s i n h 。丁，z ( 7 ) ：兰c 。s h 。丁，z ( 丁) ：可( 丁) ：o ，( 2 3 9 ) on 其中n 是原子的固有加速度。根据式( 2 2 9 ) 和( 2 3 0 ) ，百 以算出场的统计 函数： m ) = 一羔( 面丽+ 面丽) = 一。曼( 再南 + f 瓦毒f 哥) ( 2 4 0 鼎m m ，) ) = 一寺面方刁即一” ( 2 4 1 ) 1 3 硕士学位论文 -：! ! = 霉毫：= = !：一 = ! ! ! ! 竺：= ：! ：= ：= ：= !：! ! = ! = = ：皇：= = = = = 墨! 篁= ! ! = 篁= ! ! 署兰! = = = ! 竺= = = = = = 墨詈= = 。，= 玺m 1 2 。曼仁d u 高 + 耳赛斋 ， 皿4 2 ) 。( 札十警七一2 疵e ) 2 j 、7 ”= i 等咖1 2 仁砒毒m 弦u ( 2 经过一些计算可得： 。，2 一等陵以恸1 2 ( 圭+ 志) 一划。嘲0 ) | 驯2 ( 三十盎) l ( 2 4 4 ) ，一等知a | 6 ) 2 + 丕。扫( 0 l 删1 6 ) 1 2 ) ( 2 4 5 ) 最后，把真空涨落和辐射反作用的贡献加起来，就可以得到原子激发能 的总的变化率： 似= 针磊。吨呦汗( 1 + 志) + 三，训n 伽汗蠹告 _ ( 2 4 6 ) 2 4 小结 现在，我们把前面计算的结论总结如下。( 1 ) 匀速原子的情况。若原 子处于基态，则真空涨落的贡献和辐射反作用的贡献保持平衡。这就保证 自发跃迁到高能级的情况不会发生，也保证了原子在基态时的稳定性： 惯性原子处于基态时没有自发辐射。若原子处于激发态，从式( 2 3 8 ) 可以 看出，真空涨落和辐射反作用对原子平均能量的变化率的贡献是一样大 1 4 具有全反射平面边界时空中原子的自激发 的。式( 2 3 8 ) 右边的负号表明，两能级原子处于激发态时能量只会减少， 这就是原子的自发辐射现象。( 2 ) 匀加速原子的情况。对于处于激发态的 原子，只有u 。 有贡献，它描述了加速原子的自发辐射过程。与匀速 原子相比较，它多了一个等效温度t = n 2 丌的热辐射项。然而，处于基 态的原子从式( 2 4 6 ) 可以看出，它的非零贡献来自于u 。 u a 项，原子能 量只能增加，基态的原子就不会再失去能量了，这样才能保持原子的稳 定性。对于一个处于基态的在m i n k o w s k i 真空中匀加速运动的原子，真空 涨落和辐射反作用对它的贡献不再保持平衡。这样，原子即使处于真空 中也可能自发跃迁到激发态去。这种自发激发现象就是人们已经研究了 很久了的u n r u h 效应f 2 7 1 。 1 5 第三章在有边界的时空中原子的自激发 3 1引言 在前面一章中，我们介绍了在自由空间中运动原子与实标量场的相 互作用。在这一章中，我们将在前人的研究基础上进一步研究此问题【3 0 ， 3 1 】。我们主要是把它推广到在m i n k o w s k i 空间中有边界存在的情况下运 动原子与实标量场的相互作用。根据原子的运动轨道不同可以分别考虑 匀速原子与加速原子与实标量场的相互作用，并求出真空涨落和辐射反 作用对原子能量变化率的贡献。众所周知，在平直时空中加边界后将改变 量子场的真空涨落，真空涨落的变化又会影响放入场中的粒子。许多研究 表明真空涨落的改变将导致许多新奇的效应，例如，卡塞米尔效应f 3 ， 量子光锥涨落 3 2 3 5 】，以及在电磁场中实验粒子的布朗运动 4 ，5 】。在有 边界存在时，边界条件将改变场的真空涨落，所以会改变原子能量的变 化率。由于边界条件对原子能量的变化率有影响，所以通过改变边界条 件就得到不同的原子能量变化率，这将有利于人们设计实验去观察此现 象。 在这一章中，我们将在前一章的前面两节的基础上进行推导计算，所 不同的是我们加了边界条件。我们假定所加的边界为无穷大平面全反射 板，取垂直于板的方向为z 方向。取板上的任意一点为坐标原点。后面 所讨论的运动的原子都是沿着平行于板的某个方向运动，并取此方向为 z 轴方向。 在此我们将给出原子和场的统计函数的具体表达式。其中原子的统 计函数保持不变： g a ( v 7 ) = 去f 俐磁( o ) p n 。( 7 1 ，) + e “( 7 1 ，) ) ， ( 3 1 ) 二下 、 7 矿( v 7 ) = 去f 硝( o ) ( e 讪“r 1 7 ) 一e 一( 7 。1 ) ， ( 3 2 ) 二t 、7 其中u 。= u 。一u 。，以及求和项是对所有的原子态求和。利用镜像法，我 们可以求出源点离反射板距离为z 处的场的统计函数。我们可以把它写 1 7 硕士学位论文 成如下形式： 以嘶) “一) = 壶 o 时取值为1 ，当t o 时取值为一l 。 3 2 匀速运动原子的自发辐射 在这节中，我们利用上节中所推导的公式来研究存在无穷大全反射 平面板时匀速运动的原子的自发辐射性质。对于以常速度u 运动离板的 距离为z 的原子，我们可以得到 t ( 7 - ) = 7 7 - ， z ( 7 ) = z o + u 7 7 _ ，y ( 丁) = ! ，o ，z ( 7 - ) = z( 3 5 ) 这里7 = ( 1 一u 2 ) ；从式( 3 3 ) 和式( 3 4 ) 的一般形式，我们可以很容易 的得到场的统计函数 以m m ，) ) = 一壶( f 南一f 再茜习 一f 下拓) ， ( 3 6 ) ( 丁一7 7 一沈) 2 4 名2 ， r 7 x 尸( z ( 丁) ，z ( 丁，) ) = 一去e ( 7 ( 丁一下，) ) 删下一下，) 2 ) 一 5 ( ( 下一丁，) 2 4 2 2 ) ) ( 3 7 ) 现在我们利用上面已经给定的统计函数来计算式( 2 2 3 ) 和式( 2 2 4 ) 。令 u = 丁一丁7 ，我们可以得到真空涨落对原子能量的变化率的贡献 1 8 具有全反射平面边界时空中原子的自激发 厂乐掣。m o z ( 南+ 南 ( u 一2 名+ z e 八让+ 2 z + z e ) 一矿万夏最硐尸曲“， ( 3 召) 以及辐射反作用的贡献 ，i 筹m 炉 ) 有贡献。所以可 以得到( 掣) 。， o 。当原子的初态为基态时( 1 血) = i 一) ) ，则只有第二 项( u 。 o 因此，如果只考虑真空涨落，则 自发激发和自发辐射会等几率的发生，这将导致处于基态的原子在真空 1 9 硕士学位论文 中会自发吸收，这点与事实不符。另一方面，从式( 3 1 1 ) 可以看出，由于 ( 笔铲) 。b “ 很。自然地可以得到，对于处于基态的原子( u 。) ，由于式( 鼍铲) 与 式( 兰铲) 中对应的项互相抵消，两者的贡献刚好抵消。因此，我们可 以看出加板后对真空涨落和辐射反作用的修正的方式与无边界时的情况 相似，即仍然保持着真空涨落和辐射反作用之间的平衡。这样可以保证 处于基态的匀速原子在真空中的稳定性。 从式( 3 1 2 ) 我们可以知道处于激发态的原子的辐射性质。加板所导致 的修正项依赖于原子到板的距离z ，它是z