（基础数学专业论文）保向形式jacobi的可积性.pdf

摘要 本文考虑各向异性s o b o l e v 类上的保向形式的j a c o b i 的可积性通过使用 h a d a m a r d 不等式，h o d g e 分解等经典方法和r i e s z 变换的结论并综合运用了微分 形式，奇异积分和s o b o l e v 空间的分析方法，得出了保向形式j a c o b i 可积的充分条 件 本文的刨新点为t 将保向映射的结果推广到保向形式； 将各向同性的结果推广到各向异性； 利用s o b o ! e v 空间，微分形式，奇异积分的结果研究保向形式的各向异性的 s o b o l e v 类上的j a c o b i 的可积性 关键词j a c o b i ；可积性；h 龃8 m 盯d 不等式；h o d g e 分解；p d e s z 变换 a b s t r a c t t h i sp a p e rd e a l sw i t ht h ei n t e g r a b i l i t yo ft h ej a c o b i a no fo r i e n t a t i o n - p r e s e r v i n g f o r m si na n i s q t r o p i cs o b o l e vc l a s s b yu s i n gt h ec l a s s i c a lm e t h o do fh a d 啪8 r d ，s i n e q u a l i t y , h o d g ed e c o m p o s i t i o na n dt h er e s u l t so fr i e s zt r a n s f o r m s ，a n db yt h e t e c h n i q u eo fd i f f e r e n t i a lf o r m s ，s i n g u l a ri n t e g r a l sa n dt h ea n a l y t i c a lm e t h o do f s o b o l e vs p a c e ，w ed e f o eas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ei n t e g r a b i l i t yo ft h ej a c o b i a n o fo r i e n t a t i o n - p r e s e r v i n gf o r m s t h ek e yp o i n t so ft h i sp a p e ra r e ： t h er e s u l t so fo r i e n t a t i o n p r e s e r v i n gm a p p i n g sa r eg e n e r a l i z e dt oo r i e n t a t i o n - p r e s e r v i n gf o r m s ； t h er e s u l t so fi s o t r o p i ca r eg e n e r a l i z e dt oa n i s o t r o p i c u t i l i z i n gt h er e s u l t so fs o b o l e vs p a c e ，d i f f e r e n t i a lf o r m s ，s i n g u l a ri n t e g r a l s ， w es t u d yt h ei n t e g r a b i l i t yo ft h ej a c o b i a j ro fo r i e n t a t i o n - p r e s e r v i n gf o r m si n a n i s o t r o p i cs o b o l e vc l a s s k e y w o r d sj a c o b i ；i n t e g a b i l i t y ；h a d a m a r di n e q u a l i t y ；h o d g ed e c o m p 6 s i t i o n r i e s zt r a n s f o r m s i i 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教 育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 作者签名：盗堑吼p 卫月出 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密口。 ( 请在以上相应方格内打“4 ”) 作者签名： 导师签名： 日期：监年月f ! 细 e tn ：盟年月卫，_ 日 第1 章引言 1 1 j a c o b i 可积性的研究现状 设f 2 是舻中的连通开子集设，= ( ，1 ，2 ，f - ) 是各向异性s o b o l e v 类 z 1 ( n ，r p ) 中的映照，这里 p 一6 0 i q 妒2 一，一，p n 一5 ) 是一个n 一重指标，p 1 一e ，p 2 一e ，肼。一s ( 1 ，+ 。) ，且 土+ 三+ + 1 = 1 ，o e l - p 1p 2p n 由关手，的条件我们知道每一分量坐标，j = 1 ，2 ，n 及其梯度属于z 嚣5 ( o ) ， 的微分与j a c o b i 分别记成d ( x ) ：q 一与j ( z ，) = d e t d f ( x ) ，称为保向 映照，若j a c o b i 函数j ( z ，) 在n 中几乎处处非负d f ( x ) 的算子范数定义为 l d r ( x ) i = s u p ( i d f ( x ) l ：p 。1 ) ， 这里守。是r n 中的单位球面 近些年来，在s o b o l e v 映照的j a c o b i 理论的研究中已经取得了引人注意酌进 展，可以参见 1 - 8 它们中的许多有趣结果以及它们在诸如拟正则分析，测度与积 分的几何理论，映照度理论和非线性弹性理论中的应用已被找到参见f 9 ，1 0 1 及其 参考文献。 1 2 论文研究的主要内容 、 为了研究我们上面提及的领域中的空间映照，有必要对j a c o b i 进行积分若 ，w 譬( n ，) ，则显然j ( x ，) 是局部可积的但这个条件对保证了( z ，) 的局 部可积性不是必要的令人惊奇的是保向映照具有自我提高的性质，即j ( x ，) 在 n 中不变号，就能推出j a c o b i 的高阶可积性s t e f a nm i i l l e r p l 】第一次观察到了这 个情况，也见【1 2 】。因此一个自然的问题是，在什么样的条件下，其j a c o b i 是局部 可积的t 1 w a n i e c 和c s b o r d o n e 在【6 】中给出了一个保证j a c o b i 可积性的极小假 可积的，t 1 w a a i e c 和c s b o r d o n e 在1 6 】中给出了一个保证j a c o b i 可积性的极小假 一1 一 设h b r e z i s ，n f u s c o 与c s b o r d o n e 在 1 】中也做了类似的工作本文中，我们 定义并考虑保向形式，并且给出它们的j a c o b i 的可积性的可能是最一般的情况 第2 章j a c o b i 可积性的相关理论 定义2 1 9 1 设e 1 ，e 2 ，e ”表示r n 中的标准正交基对= 0 ，1 ，n ，一 余向量的线性空间，由对应于所有有序一重指标j = ( i l ，i 2 ，i l ) ，1 i l i 2 i 礼的外乘e i ：e n e t 2 a a e i c 张成，记为八2 = a 2 ( r n ) 这样，a o = r ， 1 = r n g r a s s m a n 代数a = o 八。( r n ) 是一个相对于外乘的分次代数我们由下 面的规则定义h o d g e 星算子 ：八一a ，对所有q ，卢八2 ，= 1 ，2 ，n ， 1 ：e 1ae 2 ae “ 口a p = 卢a 十o = ( o ，卢) ( 1 ) 定义2 2 1 9 1 一个微分d 形式u 是一个在f t 上的取值于a 2 ( 附) 的s c h w a r z 分 布我们记微分d 形式的空间为( n ，a 。) ，对e = 1 ，n ，外导数为 d口( f l , ) 一d 心，人) 它的形式共轭( h o d g e 余微分) 是算子 矿：- d 7 ，八“1 ) 一口7 ( n ，八2 ) 它在d ( q ， 2 + 1 ) ，= 0 ，1 ，凡上定义为 定义2 3 【9 】我们分别称空间 k e r ( d ) = u d ，( q ，八2 ) ：幽= o ) k e r ( d + ) = ( 吲( q ，八2 ) ：挑= o ) 中的形式为闭e - 形式与余闭d 形式恰当的与余恰当的一形式分别定义成 i m ( d ) = 卜：。叫( q ，斤1 ) ) i m ( d + ) = d * f l ：j 9 叫( n ，1 ) ) 3 - 显然，恰当形式是闭的，余恰当的形式是余闭的 定义2 4 1 6 l 使用微分形式的语言，我们可以记 ，( z ，f ) d x = d f la d f 2a t - d f “= 妒1a 妒2 a a 妒m ( 2 1 ) 这里每一个护是( 2 1 ) 中的项的楔乘，即 妒= d f ha i f j ：a a d f j t ( 2 1 ) 中的分解对应于集合 1 ，2 ，竹 到m 个不相交子集的一个特殊分解 我们将采用这个闭微分形式的任意楔乘的观点，因为它为理解j a c o b i 提供了一个 更为一般的框架，同时它联合了许多早期的进展 让我们综合这个更一般的框架考恩阈微分形式的m 一重 m ： z ，妒。，矿) ：q 一八 八厶x a “ 定义壬的j a c o b i 为礼- 形式 了( z ，圣) = 妒1 妒2 a a p m ：q _ 辛八”， n = 它1 + z 2 + + e m 壬称为保向的，若( z ，圣) 的系数在f 2 几乎处处非负本文我们总假设圣为保向 形式 若2 j ( f 2 ，a l j ) ，j = 1 ，2 ，m ，则h a d a m a r d - s c h w a r z 不等式 f 妒1a 妒2 a 妒讯 瓯( 孽l ，m ) 妒1 l l 妒2 l - j 妒m l ( 见【9 】( 9 3 7 ) ) ，联合h s l d e r 不等式，得到 j ( x ，西) c ( n ，# l ，z 。) i l 妒1 i l p ，f i 妒2 l l 抛i l | | ，。 j n 这里1 p t ，p 2 ，。p m o 。， 石1 + 画1 + + 赤= 1 我们记 p = ( p 1 ，p 2 ，- 一，p m ) 为这样的一个h s l d e r 共轭序列我们也记 掣= 咩l ，e 2 ，一，掣m ) 为个正蹩数的似重指标，并使得1 1 ，1 2 ，n ，n = g l + 9 2 + + 。 对僻重空间圣= ( 妒1 ，妒：，妒。) ：n a 。t 人如a k 中的形式 眯驴( q ，”) 我们引进符号 矿( q ，八 胪) 我们需要一类空间，记为p ( q ，a 。) ，它由所有的微分g - 形式u f i l 。，口( q ，a 。： 组成，使得 | | u 忆，= 1 馨匕 一s ) zl w ( 。) 1 8 d z j 。8 pl j n j 这是p ( n ，) 的一个范数，使得扩( q ，a 2 ) 成为一个b a n a c h 空间我们引进下 面的量：对u 驴( q ，a 8 ) ， ( w ) ，, a = l i m 。s ，u p k ( p s ) 7 1i u ( z ) 1 5 d z 。s pn j 显然，对所有u p ( n ，a 2 ) ，有 ( “j ) p ，n i i 叫i l p ) ，n 定义2 5 f 13 】设qcr n 是一个方体或球对每一y q 对应于一个线性算子 k 。：c o 。( q ，a 。) 一g 。( q ，a 2 ) ，定义为 ( u ) ( g ；1 ，一，毫) = ；t - ( t z + 可一t y ；x 一可，1 ，t 1 ) d 并有分解 w = d ( u ) + 蚝( d w ) 我们对于所有q 中的点y ，定义另一个线性算予砀：c o 。( q ，a 。) 一c o o ( q ，a ) 为 对所有q 中的y 平均蚝，即 砀w = 妒( 可) k 。w d y 这里妒四( q ) 正规化为岛妒 ) 电= l 。我们定义一形式w q d ，a ) 为对 所有w 妒( q ，a 2 ) ，1 p o 。， 峋= i q i 一1 w ( y ) d y ，= 0 ，。= d ( t q w ) ，p = 1 ，2 ，n j q 下面两个结果出自f 1 3 1 它们分别是微分形式的p o i n t e r s - 型不等式和p o i n c u r 6 一 s o b o l e v 不等式 命题2 1 【1 3 | 设u 为r ”中的有界正则区域假设w 口7 ( ua 。) ，且d c o p ( 以 “1 ) ，= 0 ，1 ，几。则u u ，属于l v ( u , ) ，并有下面的一致估计： ( f u w - - w u i d zl p 苫c p ，哆，u ，( ：i 反u i ，d z ) 1 7 9 ( 2 2 ) 命题2 2 【1 3 l 假设q 为一个r n 中的方体或球设u 口，( q ，a 2 ) ，d w p ( q ，a 抖1 ) ，= 0 ，1 ，讥，1 p 竹则u 一属于沙伽1 ，a 。) ，并 有下面的一致估计。 ( w - w q f 吲( n - p ) d x ( n - p ) n p s g ( n ) ( zi 扎阳z ) m ( z 3 ) 其中常数g m ) 不依赖于q b s t r o f o l i n i 在【1 4 】中证明了一个相似的结果 命题2 3 f 14 】假设q 为一个r n 中的方体或球设u d ，旧，a 2 ) 满足矿 l p ( q ，a 卜1 ) ，p = 0 ，1 ，7 1 , ，1 p n 则存在一个余闭微分形式u a 口( q ，a “1 ) 使得 ( 互l 一u 占i 砷，似一计曲) _ 一却7 仲q c 几，( 五1 d + u i ，d z ) 1 他 其中常数q ( n ) 不依赖于q ( 2 4 ) 在命题2 1 的应用中，有必要对某些标准区域( 例如方体，球等) 知道( 2 2 ) 中 的常数如何依赖于区域的大小这个问题可由一个简单的变量变换回答我们只考 虑球的情形。因为对方体可类似考虑 第3 章保向形式j a c o b i 的可积性 3 1 问题的提出 j a c o b i 函数存在于许多不同的领域中，例如测度和积分的几何理论，映射的度 理论，拟共行分析，非线性弹性理论等等通常j ( z ，f ) d x 用n 上的体积元来表示， 其中j ( x ，f ) = d e t d f ( x ) 是，的j a c o b i 函数j a c o b i 函数通过下面公式 ，( 茹，f ) d x = d f la ad f “= d ( f l d f 2a ad f “) 及分部积分，可得到重要的估计为了利用上述的这些性质，我们必须对j a c o b i 函 数进行积分，通常的可积性假设可保证f u 嚣( q ，酣) ，那末自然产生这样一个问 题，即公式在什么条件下，它的j a c o b i 函数是局部可积的? 3 2 预备引理 假设 1 p l ，p 2 ，p m 0 0 且 三+ + + 1 ：1 1 一+ 一+ - - - + = 设是一个小正数，使得 2 e l r a 1 ，所以我们 至少能利用下面的在n 中的h o d g e 分解 扩( q ，八) = d w l , p ( q ，八) 。d * w 1 。( q ，八) 见f 9 ，这里1 p 0 的球假设u 口7 ( b ，a 2 ) ，d we 驴( 口，a 2 + 1 ) ，= 0 ，1 ，n 则u u 且属于护( 日，a ) ，并有 下面的一致估计： ( 五，l w - - ( 。b l d 口) “9 三g ；c 礼，r ( bi d o l d z ) 1 7 9 ( 3 5 ) 证明：设b 1 一b ( o ，1 ) ，盯为r n 中的变换霉一a + r x , 显然，盯( b 1 ) = b ( o ，r ) o - 的j a c o b i 等于p 设 w = u z ( x ) d x 7 ， 这里，= ( i l ，i 2 ，i t ) 为一个d 重指标，1 i 1 i 2 i 乱设 口= uo o - = ，( u j ( 卫) o a ) d x = j v d x ) d z 。若d w 护( b ，八“1 ) ，则由 1 5 中 的定理2 8 知d v = d 如。仃) l p ( b 1 ，+ 1 ) 而且对每一i = 1 ，2 ，n 与每个 乒重指标，有 差( 加罄( n + 他) r 这样 上。舡，卜 由此得到 从( 2 2 ) ，我们有 = 上。l 筹c n 叫州z 一“z ，融刊p r n d x = r p - ，j 垫o y , | 9 d 。 砧( b 1 ) = r l - n p 咄8 ) l l 付一刨_ b ，l l p ，b 。c 刍( n ) l i d 甜i l p b ， ( 3 6 ) ( 3 , 7 ) 显然，v b ：= u b ，因此， i i v - - b , b 1lj 。口，= ( 去正，i ”( 。ir z ) 一 日。i ，r “d z ) 1 7 = r 一”| i 叫一u 8 i i p ，8 ( 3 8 ) 联合( 3 6 ) 一( 3 8 ) ，我们得到欲求结果( 3 5 ) 3 3 主要结果的证明 本文要证明的主要定理如下 定理3 1 设bc3 b 为q 中给定的同心球，且 垂：( 妒1 ，妒m ) ：( d 口l ，d a n ) ：3 b a 八，l + + 是一个m 重的恰当微分形式，保向，并且n l s 。n 口( 3 b ， 髟) ，j = 1 ，2 ， 使得 s u p 呐一s ) l 1 5 d x o o l s p j j 3 b 则，了( z ，西) 在3 b 中局部可积，且成立下面的一致估计 手，( z ，圣) sg ( 礼，p l ，p 2 ，p m ) l l d a l l i p 。) ，3 b i i d a “i i i p 。) ，3 口( 3 9 ) ，廿 证明：我们用符号g ( + ) 表示只依赖于女的一个常数，在不同的位置它可能取 不同的数值 因为乏1 瓦1 = 1 ，则至少p k ，k 一1 ，2 ，m 之一满足条件1 徘n 不 失一般性，假设1 ，z b ( 3 , 1 4 ) ( 3 1 2 ) 右端第一项可如下估计由h 6 1 d e r 不等式得。 i v 多l b ”d n l l l 一“l d 0 2 j i d a ”一1 j d 窖 墨叟盟fl 妇，l 一i 妇z 卜i d a 一1 扩l 幽 掣卅( 1 - r x ) t i d 司砉魄2 产d 冉 t ：巡车型，一。：致业譬型 ： p 2 十盯p 竹l 一1 + 盯n 0 。+ o - ) 一p m ( p 。一) ( 3 1 6 ) 盯产j = 2p 与j i 1 ( 3 1 7 ) 然后再选取t 1 ，使它满足釜li 1 = 。1 这些条件保证了 黔乔( e + 噻锄 由假设1 p 。墨n ，( 3 1 5 ) 右端最后一项可利用p o i n c a r 6 - s o b o l e v 不等式( 见命 题2 ：2 ) 估计事实上，若我们取 p = 紫如p m 十盯 及 n p m 【p m 一j 4 刮”2 而孓万f 瓦确 则q = 。n p ，由假设，o t “在球3 b 上的平均a 始为零，则 b 叩咄卜阮l 叫耥d 司螋群 纠比”i 帮d 司躺 这样，( 3 1 5 ) 成为 l v 砂l l o ”i i d 。1 1 1 。7 1 i d a 2 卜1 d a m - 1 陋 j3 b 掣 厶旧( 1 - 9 t ：d 司吉 厶旧司击x x 扩v 一叫击叫掣d 司耥( 3 1 8 ) 却p l 1圳j d m m 口 丘 ，l 壶 1引j d m m ad 丘 里这 联合( 3 1 2 ) ，( 3 ，1 3 ) 与( 3 a s ) ，并在不等式( 3 1 2 ) 两端除以b i = c o n p ，这里叫。为 r n 中单位球的体积，我们有 z 1 p 尬 鳓t ，罟p 扣v 叫h ! o l - - 6 ( e f s bl d n 甲飞z 志 删竹) 比l d 0 1 | ( a - t d h d 司寺比陋。| 2 d z 卜 跏扩l l t d z 击比| d q m l 掣d 司躺 考察当下降并趋于零时的极限，由f a t o u 引理得到 。，( 。，圣) e 0 - ) ( i d 口1 1 ) ，。，3 b ( i d 口”1 ) ，。，。b j b + ) 比l d 0 1 i 霸z 击如。l 未妇 管一 g ( n ，p t ) l l l d a l m ) ，3 b l l i d q ”i p 。) ，a b 这完成了定理3 1 的证明 眇叫热 瞥 第4 章结论 本文考虑了各向异性s o b o l e v 空间保向形式j a c o b i 的可积性我们将保向映 射的结果推广到保向形式，同时将各向同性的结果推广到各向异性在证明过程中 充分利用了s o b o l e v 型间理论，微分形式的结果和奇异积分的相关理论最后得到 了一个保证j a c o b i 可积性的一个充分条件我们猜测这个充分条件是最优的，但我 们还不能证明这一点我们的结论比1 w a n i e c 和s b o r d o n e 的结果更具一般性即 1 w a n i e c 和s b o r d o n e 的结果是本文的特例 空间映射的j a c o b i 的研究目前是国际热门课题，有许多数学家从事本方向的 工作，例如，1 w a n i e c ，s b o r d o n e ，k o s k e l a ，h e i n o n e n ，m a r t i o 等人可以预见，这一 方向有良好的发展前景 参考文献 1 1 】h b r e z i s ，n f 、i s c o ，c s b o r d o n e i n t e g r a b i l i t yf o rt h ej a c o b i a no fo r i e n t a t i o n p r e s e r v i n gm a p p i n g s 月u n t c a n a l ，1 9 9 3 ，1 1 5 ：4 2 5 4 3 1 2 l g r e c o ，t 1 w a n i e c n e wi n e q u a l i t i e sf o rt h ej a c o b i a n a n n i n s t ，扛p o m c a r 1 9 9 4 1 ：1 7 3 5 3 】l g r e c o ，t 1 w a n i e c ，g m o s c a r i e l l o l i m i t so ft h ei m p r o v e di n t e g r a b i l i t yo ft h e v o l u m ef o r m s i n d i a n au n i v m a t h ，1 9 9 5 ，4 4 ：3 0 5 - 3 3 9 【4 】t 1 w a n i e c n o n l i n e a rc o m m u t a t o r sa n dj a c o b i a n s ，j f o u r i e ra n a l a p p l ，1 9 9 7 ，s p e - c i a li s s u e ：7 7 5 7 9 6 【5 】t 1 w a n i e c ，j o n n i n e n h l e s t i m a t e so fj a c o b i a nb ys u b d e t e r m l n a n t s m a t h a n n ，2 0 0 2 ，3 2 4 ：3 4 1 3 5 8 【6 】t 1 w a n i e c ，c s b o r d o n e o nt h ei n t e g r a b i i i t yo ft h ej a c o b l a nu n d e rm i n i m a l h y p o t h e s i s ，a r c h r a t m e c h a n a l ，1 9 9 2 ，1 1 9 ：1 2 9 - 1 4 3 【7 t 1 w a n i e c ，a v e r d e as t u d yo fj a c o b i a n si nh a r d y - o r l i c zs p a c e s p r o c r o y s o e e d i n b u r g h ，1 9 9 9 ，1 2 9 ( 3 ) ：5 3 9 - 5 7 0 8 】t 1 w a n i e c ，a v e r d e o nt h eo p e r a t o rc ( ，) = f l o gl 儿f u n c t a n a l ，1 9 9 9 ，1 6 9 3 9 1 4 2 0 9 t 1 w a n i e e ，g m a r t i n g e o m e t r i cf u n c 挽o nt h e o r ya n dn o n , n e a ra n a l y s i s c l a r e n 。 d o np r e s s ，o x f o r d ，2 0 0 1 【1 0 】j m b a l l c o n v e x i t yc o n d i t i o n sa n de x i s t e n c et h e o r e mi nn o n l i n e a re l a s t i c i t y a r c h r a t m e z h a n a l ，1 9 7 7 ，6 3 ：3 3 7 - 4 0 3 1 1 1 s m i i l l e r as u r p r i b i n gh i g h e ri n t e g r a b i l i t yp r o p e r t yo fm a p p i n g sw i t hp o s i t i v e d e t e r m i n a n t b u l l a m e r m a t h 8 0 c ，1 9 8 9 ，2 1 ：2 4 5 2 4 8 1 6 【1 2 】 s m i i l l e r h i g h e ri n t e g r a b i l i t yo fd e t e r m i n a n t sa n dw e a kc o n v e r g e n c ei nl 1 j r e i n e a n g e w m a t h ，1 9 9 0 ，4 1 2 ：2 0 - 3 4 1 3 t 1 w a n i e c ，a l u t o b o r s k i i n t e g r a le s t i m a t e sf o rn u l ll a g r a n g i a n s ，a r c h r a 瓿o n a l m e c h a n a l ，1 9 9 3 ，1 2 5 ：2 5 7 9 1 4 】b s t r o f f o f i n i o nw e a k l ya h a r m o n i ct e n s o r s ，b 渤u d i am a t h ，1 9 9 5 ，1 4 ( 3 ) ：2 8