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一些无限维李代数的结构与性质 摘要 无限维李代数是李代数研究的一个重要方面( 【2 7 j ， 2 9 3 5 】) 本文主要 研究四类无限维李代数：无中心的v i r a s o r o 李代数；李代数l ( z ， 6 ) ；秩为 2 的w i t t 型李代数的真子无限维李代数和项链李代数 无中心的v i r a s o r o 代数最早出现于1 9 0 9 年。苏育才教授，赵开明教授 ( 【27 | ) 证明了无中心的v i r a s o r o 李代数存在维数小于或等于3 的有限维子 代数g l ，如果g l 是三维子代数，则必存在n z ，使得g - 是由本原基向 量d ，i ，d o ，d 。张成的子空间。但无中一5 - 的v i r a s o r o 李代数是否有二维的交 换的子代数，这个问题一直没有解决；本文利用系数矩阵，证明了无中一5 - 的v i r a s o r o 代数没有交换的二维子代数，并找出一系列区别于c d 0 + 僦 的平凡二维非交换子代数，我们还讨论二维子代数相关一些性质 在李代数研究中，讨论其最小生成元的个数和如何描述或刻画最小生 成元集是一个基本而又有趣的问题；m k u r a n i s h i ( 【2 8 】) 证明了特征0 上的 任何一个有限维半单李代数可以由两个元素生成；万哲先院士，卢才辉 教授( 2 5 - 2 6 ) 对k a c - m o o d y 代数的生成元的个数及配对作了详细讨论；本 文证明了无中心的v i r a s o r o 代数的最小生成元个数为2 ，即证明了两个本 原基向量也，由构成生成元集的充分必要条件是i 与j 异号，且存在两个正 整数p ，q ，使得p i + q j = 1 我们证明了无中心v i r a s o r o 李代数的有限维子代 数同构的充分必要条件，并找出了它的一些互相同构的无限维真子代数， 我们还讨论了这些子代数的极大性，单性以及其它性质 j m a r a u 和赵开明教授对无挠阿贝尔群a 构造了无限维李代数l 型 李代数l ( a ，正o ) ( 【2 9 】) 他们证明了一些特殊l 型李代数是单李代数，也 指出了一些特殊l 型李代数总是非单李代数他们最后提出了2 个公开 问题：在李代数l ( a ，最q ) 中决定e o 中心化子和在李代数l ( a ，6 ，n ) 中决定 任一非零元素w 的中心化子卢才辉教授和他的博士研究生邵文武在文 博士学位论文 献( 【3 0 】) 研究了l 型李代数中元素的中心化子，部分解决了这两个同题； 本文第三章用整数加群z 代替了a ，利用整数加群自身带有的序结构， 分析了整数加群的自同态的性质，定义了系数矩阵和极大项，将李代数 l ( a ，6 ，o ) 改写为l ( z ，6 ) ，证明了l ( z ，l 6 ) 的中心为零，无二维交换的子 代数，并最终证明了l ( z ， j ) 为半单李代数，对李代数l ，6 ) 完全解决 上述2 个公开问题 ， 秩为2 的w i t t 型李代数为单李代数，但是否秩为2 的w i t t 型李代 数w i 的无限维真子李代数都是单李代数? 本文第四章主要研究了秩为2 的w i t t 型李代数的两个真子无限维李代数西和彘证明了蠡的中心为 d d 一昂张成的一维交换理想，证明了也一e k ( 讹z ) 张成的无限维子空间 是历的交换理想最后证明了亟只有两个交换的真理想，而无其它非交 换的真理想，它不是单李代数，是一个强半单李代数真子李代数彘和 磊的性质恰恰相反我们证明了函的中心为零，证明了历既不可解，也 不幂零等性质，我们也证明了彘只有非交换的真理想，无交换理想，从 而证明了历为半单李代数 本文最后讨论一类新的无限维李代数一项链李代数项链李代数是近 年引入的一类定义在箭图上的李代数，并被用于非交换辛几何中c a l o g e r o 相空间的实现本文得到了项链李代数的结构的一系列结果，我们证明了 项链李代数存在有限维单李代数，用项链李代数的子代数实现了单李代 数s z ( n ) 研究了箭图同构与箭图所诱导的项链李代数同构的关系，得到 了项链李代数同构与同态的一系列性质 关键词：系数矩阵，极大元，单李代数，半单李代数，同构 i i 一些无限维李代数的结构与性质 a b s t r a c t i n f i n i t e - d i m e n s i o n a ll i ea l g e b r a so v e raf i e l do fc h a r a c t e r i s t i c0h a v eb e e ni n t e n - s i v e l ys t u d i e dr e c e n t l y ( j 2 7 ， 2 9 - 3 5 ) i nm yt h e s i sf o u rc l a s i o fi n f i l f i t ed i m e n s i o n a l l i ea l g e b r a so v e raf i e l do fc h a r a c t e r i s t i co ( c e n t e r l e s sv i r a u s o r ol i ea l g e b r a , l i ea l - g e b r al ( z ， d ) ，s u b a l g e b r a so fr a n k2o fw i t tt y p el i ea l g e b r aa n dn e c k l a c el i e a l g e b r a ) a r es t u d i e d c e n t e r l e v i r a s o r oa l g e b r a , f i r s ta p p e a r e di n1 9 0 9 d e f i a e db ye 鼬- t a n y u c a i8 ua n dk a i m i n gz h a o ( 2 7 ) p r o v et h a ti fmi sat l n i t e - d i m e n s i o n a ls u b - a l g e b r a so f 曲e r l v i r a s o r oa l g e b r a ，t h e nd i m g ls3 , a n di fd i m g l = 3 ，t h e n 獬 a n o n z e r on zs u c h t h a t9 1 = c 厶+ c d 0 + c d n t h ep r o b l e mo f w h e t h e r 辨 i 武t w od i m e 瑚i o n a la b e l i 蛆l i es u b a l g e b r 够i no 朗i k r l e 潞v i r 蜘r oa l g e b r am a i m o p e nu n t i ln o w r b yi 血r o d u c i n gt h en o t i o no fe o e t t i e i e 血m a t r i x w ep r o v et h a tv i - l o r oa l g e b r ad o e sn o t 姗a n y2 - d i m e n s i o n a lc o m m u t a t i v es a b a l g e b r a w e 丘n d m ei n t e r 鹤t i n g2 - d i m e a s i o n a ls u b s l g e b r 嬲o f v i r a r oa l g e b r a ，删f r o mt h e 撕 o u so n 鹤c d o + c 也，皿dw ea l d i s c 嘲t h ep r o p e r t i e so f2 - d i m 聊商o n a l s u b a l g e b r 舶 i ti sap r i m ea n di n t e r e s t i n gq u e s t i o nh o wt od e t e r m i n et h e 功血【i m a ln u m b e r o fg e n e r a t o r sa n dh o wt od e s c r i b es u c ht h eg e n e r a t o r s ，m k l l r a n i s h ip r o v e st h a t t h em i n i m a ln u m b e ro fg e n e r a t o r so f6 玎i t e d j m 姐s i o n a l 鲫m i - s i m p l el i ea l g e b r ao f c h a r a c t e r0i st w o z h e x i a mw a na n dc a i h u il u ( 2 5 - 2 6 1 ) s t u d yt h em i n i m a ln t t m b e r o fg e n e r 8 t o r so fk a c - m o o d yl i ea l g e b r ag ( a 1a n da l s od e s c r i b et h ep r o p e r t i e so ft h e g e n e r a t o r s i nt h i sp a p e r ，骶p r o v et h em i n i m a ln t t m b e ro fg e n e r a ；七o mo fo l t e r l e 嬲 v i r a s o r oa l g e b r ai st w o i ti so b t a i n e dt h a t 也a n dd ja 托t h em i d i l a lg e n e r a t o r si f a n do n l yi fia n dj 村er d a t i v e l yp r i m ei n t e g e r sw i t hd i f f e r e n ts i g na n dw i t ha b 8 0 l u t e i i i 堡主兰垡丝茎 v a l u eb i g g e rt h a n1 t h ei s o m o r p h i s r mb e t w e e ns u b a l g e b r a so ft h ev i r a s o r oa l g e b r a a r ed i s c u s s e d t h eg e n e r i cs e t ，s i m p l i c i t ya n dm a x i m a l p r o p e r t yo ft h e 明b a l g e b r a s a r ea l s os t u d i e d i np a r t i c u l a r ，w ep r o c et h a tm 垒9 2i fa n d o n l yi fd i m g _ l = d i m 船 j m a r s h a l la n dk a i m i n gz h a o ( 【2 9 】) o o n 咖l c tad 鹕o fi n f i n i t e - d i m e n s i o n a l l i ea l g e b r al ( a ，正口) w h e r eaat o r s i o nf r e ea b e l i n ng r o u p t h e ye x l n b i tal a r g e s u b c l a s so ft h e r ea l g e b r a sw h i c ha r es i m p l e a sw e l l 糖a n o t h e rs u b c l a s so ft h e s e a l g e b r a sw h i c ha r en e v l ”s i m p l e t h en o t i o no ft r 锄i t i v ei d e a lp l a y s i m p o r t a n t r o l ei nt h i 8t h e o r y t h e yu s tt w oo p e np r o b l e m s q u e s t i o n1 ：i sz ( w ) = c wf o ra 1 1l l o n z l oe l e m e n tw i ns i m p l el i ea l g e b r al ( a ，正n ) ? q u e s t i o n2 ：d e t e r m i n ez ( e 0 ) i nt h el i ea l g e b r al ( a ，j ，n ) c a i h ml ua n dh i 8d o c q ；o r ss t u d e n ts t u d yt h ec e n t r a l i z e ro ft h ea n ye l e m e n tw i nl i ea l g e b r a l ( a ，正q ) ，a n dp a r t l yl t l l l g w e rt h et w oq u e s t i o n s i n t e g e rg r o u pz t a k e s p l a c eo fat o r s i o nf r e ea b e l i a ma i nt h et h i r dc h a p t e ra n dl i ea l g e b r al ( a ，6 ，a ) i s a d a p t e dl i ea l g e b r al 0 z ，l ，乱u s i n gat o t a lo r d e r i n gi n t e g e rg r o u pza n dh o m o - m o r p h i s m 8p r o p e r t i e so fi n t e g e rg r o u pz w ef i r s t l yd e f i n et h en o t i o n so fc o e t t 日e i e n t m a t r i xa n dm j n l 脚e l e m e n t w ep r o v ec ( 三( 互工j ) ) = 0a n dw ep r o v et h a tt h el i e a l g e b r ai s m i - s i m p l ea n d i th a 8n ot w od i m e m i o n a la b e l i a ns u b a l g e b r a f o rt h el i e a l g e b r al l z il ，6 、，w el l l l l g w e rt h et w oo p e nq u e 8 t i o m ， r a n ko f2l i ea l g e b r ao fw i t tt y p ei si n 丘n i t e - d i m 卿l s i o n a ll i ea l g e b r a a r et h e 肌b a l g e b r 鹪鲢m p i el i ea l g e b r ai nr a n ko f2l i ea l g e b r ao fw i t t 锄p e ? w es t u d y t h ev r o p e r t i e so fi t ss u b a l g e b r 鸽西a n d 彘i nt h ef o u r t hc h a p t e r w ep r o v et h a tc ( 蠡) s p a n n i n gb y 而一岛i sa b e l i a na n dw ea l s 0p r m r et h el i n e a rs p a c eb y 如一取 i 8a b e l i i d e a l w ep r o v et h es u b a l g e b r a 氟o n l yh a st w oa b e l i o mi d e a l w ep r o v e c ( 历) = oa n dl i ea l g e b r a 彘i s n ts o l v a b l ea n dn i l p o t e n t w ep r o v et h a t 氯伽睁h a v e t w oa b e l i e ni d e a l sa n d 西o n l yh 艄1 匝ta b e l i o mi d 鼬l sa n d 历i ss t r o n gs e m i - s i m p l e 一些无限维李代数的结构与性质 a l g e b r aa n d 蠡j 8s e m i - s i m p l ea l g e b r a n e c k l a c el i ea l g e b r ai 8s t d d i e di nt h el a s tc h a p t e r n e c k l a c el i ea l g e b r ai n d u c e d b yq u i v e rg r a p hi san e wc l a s so fi n f i n i t e - d i m e n s i o n a ll i ea l g e b r a w eg e ts o m en e w r e s u l t so fn e c k l a c el i ea l g e b r a ，f o ri n b t a d c e ，t h e r ea r eb o l 2 1 ef i n i t e - d i m e n s i o n a ls i m p l e l i es u b a l g e b r a si nn e c k l a c el i ea l g e b r a ，t h ef i n i t e - d i m e n s i o n a ls i m p l el i es u b a l g e - b r a sa r ei s o m o r p h i ct os i m p l e8 1 ( n ) t h e r ea r ei n t e r e s t i n gp r o p e r t i e so fi s o m o r p h i c a n dh o m o m o r p h i s mo fn e c k l a c el i ea l g e b r a k e y w o r d s ：c o e f l l d e n tm a t r i x ，m a x i m a le l e m e n t ，s i m p l el i ea l g e b r a ，s e m i - s i m p l el i ea l g e b r a ，i s o m o r p h i s m v 一些无限维李代数的结构与性质 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明；所呈交的学位论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得 的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容夕卜，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已 在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 学位论嫦者貅务悸形 日荣咯l ；月龟 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本 人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密留 作者签名 ( 请在以上相应方框内打“”) 像7 多彩日彳喀知名 聊戳订魏之 日 1 0 1 一 “日 一些无限维李代数的结构与性质 第一章引言 1 9 世纪初，挪威数学家s l i e 在研究李群时创立了李代数1 9 世纪 末，r t a l l ，k i l l i n g 等人完成了复数域上有限维单李代数( f “】) 的分类，2 0 世纪六十年代，k a c 和m o o d y 分别独立地引入和创立了k a c - m o o d y 李代 数，使得李代数理论的走向成熟。随着其在现代物理学，量子化学中的广 泛应用，李代数理论的基础性和重要性日益显露在二十世纪中，一些重 要问题相继得到了解决，量子群理论的建立与发展，顶点算子代数理论 的兴起，李代数理论得到了飞速发展以李群，李代数为主要研究对象的 李理论已成为当代数学研究的主流方向 复半单李代数的理论( x - 4 ) 是有限维李代数理论中最基础，最重要 的部分在这一理论中，最巧妙之处引入了d y n k i n 图复半单有限维李 代数是复单李代数通过直和而构成；而复单李代数由它的根系完全决定， 而根系的结构归结为其中的素根系；素根系又由它的d y n k i n 图决定因 而复单李代数的结构由九种极简单的d y n k i n 图所描绘数学的奇妙艺术 性在这里有了极好的体现近年，这一理论在很多重要数学领域如代数几 何，奇点理论，代数表示论，量子群理论发挥了广泛和深入的影响 1 9 6 8 年，美国数学家v k a c 和加拿大数学家r m o o d y 分别独立地引入 和创立了k a c - m o o d y 李代数( 见【2 3 - 2 4 1 ) k a c - m o o d y 李代数的分类可以归 结为广义c a f t a n 型矩阵的分类，广义c a f t a n 型矩阵可以分为三类；有限 型，仿射型和不定型有限型广义c a f t a n 型矩阵就是通常的c a f t a n 型矩 阵；它们的分类是人们熟知的；仿射型广义c a r t a n 型矩阵已由v k a c 和 r m o o d y 分别独立得到 近来，在随着李代数理论研究的深入，许多新的无限维李代数如v r s t s o r o 李代数( 见f 昭6 9 】，【3 7 】，【3 8 4 ) ，衍生的v i r a s o r o 代数，w i t t 李代数( 见 1 4 1 j ， 4 4 | ， 4 6 】，【5 6 】) ，项链李代数( 见f 3 2 l ，阳】，【3 4 】，【3 5 】，【3 5 】) ，w e y l 型( 见( 4 5 】， 6 0 1 ) ，b l o c k 型( s z l ) ，c a r t a n 型李代数( 见【7 8 】，1 7 9 】，i s 0 1 ) ，l - 型李代数l ( a ，最口) ( 见1 蹲3 0 ) 博士学位论文 成为无限维李代数研究的热点本论文主要研究v i r a s o r o 李代数，衍生的 v i r a s o r o 代数，厶型李代数l ( a ，最，w i t t 李代数，项链李代数的一些相 关问题 无中心的v l r a s o r o 李代数最早出现于1 9 0 9 年，由c a f t a n 第一次定 义，1 9 7 0 年物理学家v i r a s o r o 给出无中心的v i r a s o r o 李代数的中心扩张， 即具有基 厶，c l n z ) ，生成元定义关系如下( 2 2 1 ) ： 陋，由】= g 一曲武钾，c j = 0 v i r a s o r o 李代数的模称为h a r i s h - c h a n d r a 模，是具有有限权空间分解的模t y = 0 玖，h = 扣v l d o v = 知，e l i = 加) ，d i m v 0 ，使得对所有的a g d i m v x ；( 3 ) 称h a r i s h - c h a n d r a 模y 为 最高( 最低) 权摸，如果它由一个最高( 最低) 权向量v 生成，其中v 满足 也口= o ，v ( i o ) ( 对应i 7 ， 或m = 2 ) 次本原单位根对矿饥的权重数为1 的不可约i - i a r i s h - c h a n d r a 模进 行了分类贾雨亭教授( 【5 4 】) 研究了v i r q 是酉模的充分必要条件，张子龙 教授研究了双参数的v i r a s o r o 代数的权重数为1 的不可约i - i a r i s h - c h a a d r a 模并进行了分类( 【7 3 】) 3 博士学位论文 k i r k m a ne 和p r o c e s ic ，和s m a l ll ( 7 0 】) 在平面的多项式向量场的背景 下， = 叫( s 。丕一r ”丽0 ) 其中( r ，8 ) z z , z 是整数集，令v = o 最( v ( r ，s ) z z ) ，李运算如 下： 慨舢最，j _ ( r k 一8 h ) 磊托i “ k i r k m a ne ( 见【7 0 】) 称y 为v i r a s o r o 拟代数( v i r a s o r o - l i k ea l g e b r a ) ( 1 7 0 1 7 1 ) 研究了v 及其量子化k 的单纯性以及其中的某些表示的结构( 【5 5 】) 研究 了v i r a s o r o - l i k ea l g e b r a 的结构与表示( p 9 】) 孟道骥教授，姜翠波教授研究 了v i r a s o r o 拟代数的导子代数的自同构群后来赵开明教授【7 2 】进一步推 广了v ，定义了李代数l ( n ，p ) ，并得到了l ( a ，圆单纯性及自同构，( f 4 0 】) 讨 论了李代数工( 口 卢) 的导子李代数的结构 j p a t e r a 和h z a s s e n h a u s ( 见【5 l 】) 引人了秩为n 的v i r a s o r o 李代数v i r m ， 苏育才教授( 【5 2 】 【6 l 】，【6 2 】) 和赵开明教授( 5 8 】) 对于高秩v i r a s o r o 李代数 的权维数不大于1 的不可分解模进行了构造和分类证明了高秩v i r a - s o r o 李代数的具有有限维权空间分解的不可约是中间序列模或者是所谓 的f i n e t e l y - d e n s e 模 对无挠阿贝尔群a ，j m a r a l l 和赵开明教授( 【2 9 】) 构造了无限维的l 型 李代数l ( a ，最q ) j m a r s h a l l 和赵开明教授证明了l 型李代数的一些特殊 李代数是单李代数过渡理想在上述结论中起了关键的作用，并提出在李 代数l ( a ，6 ，n ) 中决定e o 中心化子和在李代数l ( a ，最a ) 中决定任一非零元 素w 的中心化子这两个公开问题 卢才辉教授和他的博士研究生邵文武研究了l 型李代数中元素的中 心化子的构成( 见f 3 0 】) ，得到了l 型李代数l ( a ，t f , a ) 为半单代数的充 分条件；在单l i e 代数l ( a ，最a ) 中z ( ) = f w 成立的条件，其中v w 4 一些无限维李代数的结构与性质 l ( a ，4 口) ，z ( w ) 是w 在l ( a ，最a ) 的中心化子，部分解决了这两个问题； 设f 为特征零上的代数闭域，a l = f i t l ，如，t n 】为n 个变元l a u r e n t 多项式代数，d 1 = ( 反k = 1 ，2 ，n ) 为由n 个偏导子a 张成的有限维导子 空间，称a 为降阶化导子在线性空间a l d l = a - p d - 上，定义如下李 运算( 【4 1 】) ， ， ，f 岛j = 矾0 ) 岛一踢0 ) 反( v 岛，岛d 1 ，z ，f a 1 ) 李代数a l d l 称之为秩为n 的w i t t 型李代数矸么，也称为典型w i t t 代数 ( 】) 秩为1 的w i t t 型李代数就是无中心的v i r a s o r o 李代数 典型w i t t 代数( 阳j ) 是最早发现的无限维单代数，但其权模的分类至 今没有解决苏育才教授为解决这个问题提出这样一个猜想：设n 至2 ，贝! l 李代数的具有有限维维权空间分解的不可约权模是f i n i t e l y - d e n s e 或者 是某个权模才( 其定义见【7 4 】) 的商子模 k a m s m o t o1 9 8 6 年( 【7 5 1 ) 从二元组，d 2 ) 中构造了广义w i t t 型的单 李代数a 2 d 2 = 如p d 2 ，其中，也= f i t = 为t 的群 代数，t 为p 的加法群，d 2 = ，劈为如的导子满足 留矿= o a x a ，口= ( n l ，) t ，称霹为阶化导子 j o r d a n ( j 7 6 ，【7 7 】) 及p a s s m a n 见( 【4 6 】) 证明了：一般的，设a 为具有单位 元的交换结合代数，d 为由a 的交换导子组成的空间，则一个广义w i t t 型李代数a d = a o d 是单的当且仅当a 是n 单的( 没有不变的非 平凡的子理想) 苏育才教授( 【鹳】) 进一步证明了当t 喾z ，广义w i t t 代数 w ( o ，0 ，l ，的任一不可分解权模( 权空间有限维) 是一致有界模( 即权空 间的维数一致有界) 并且所有非零权的权重数相等，或者是t l n i t e l y - d e n s e 模 5 博士学位论文 利用二元组( a lp 也，d 1 + d 2 ) ，1 9 9 6 年，o s b o m ( 【7 8 】) 构造了新的广义 c a f t a n 型李代数1 9 9 7 年，d o k o v i c k ( 7 9 ) 和赵开明通过特定的子代数推 广了上述结果2 0 0 0 年，徐晓平( 1 8 0 】) 构造了更新的广义c a - - t a n 型单李 代数a 。d a = a a p d s ，其中也= a ，p a 。是半群代数，而导子空间d 3 由3 种导子：阶化导子，降阶化导子及混合导子百组成( 即石= 留+ 岛， 其中四和a 都不为零) ( f 8 0 】) 中的李代数，在某种意义下，是已知广义 c a r t a n 型单李代数最广泛的具体例子在对阶化的广义w i t t 型李代数和 对非阶化广义c a f t a n 型李代数研究中，我们不断发现新类型的单李代数 ( 【7 5 】，( 7 8 1 ，( 【8 0 j ) 从阶化的广义w i t t 型李代数和非阶化广义c a f t a n 型李代 数构造分析，它们都跟导子结合代数有关a d = a o d ( 【躬】) 随着结合代 数a 和其上的导子空间d 条件的变化，李代数a d = a o d 可变化成 典型w i t t 代数( 【4 3 】) ，广义w i t t 型的单李代数( 陋】，f 7 6 】， 7 7 1 ) ，广义c a r t a n 型单李代数( 【舳】) ，广义b l o c k 型的单李代数( 【8 l j ) ，单w e y l 型李代数( 8 2 1 ) 在李代数研究的领域中；讨论其最小生成元的个数特别是如何描述 或刻画最小生成元集是一个基本而又有趣的数学问题；m k u r a n i s h i 教授 ( 【2 8 】) 证明了特征0 上的任何一个有限维半单李代数可以由两个元素生 成；万哲先院士，卢才辉教授( 2 5 - 2 6 ) 对k a c - m o o d y 代数的生成元的个数 及配对作了详细讨论 在非交换几何的研究中，当探讨w e y l 代数a - ( c ) 的d 代数自同 构群a u t a l ( 回在轨道w e y l n 上的作用时，得到一个a u t a 。( c ) 在住住 矩阵轨道空间c a l o 上的可迁作用，但是此作用是不可微的从而是非代 数的b e r e s t 和w i l s o n 提出是否可将c a l o 等同于某种无限维李代数的 余伴随轨道m l o t h a i r e ( 3 1 ) 和c r e u t e n a u e r ( 3 2 ) 都曾用项链字刻画自 由李代数的基，来试图解决b e r e s t 和w i l s o n 提出的同题，但都没有成 功，g i n z b u r g ( 3 3 1 ) 和l eb m y n ( 3 4 ) 分别引入了项链李代数解决了这一问 题 6 一些无限维李代数的结构与性质 箭图在代数表示论应用已经越来越广泛，并成为代数表示论的基本概 念并影响到许多数学领域利用箭图研究李代数是近年李代数研究的一 种重要方法 肖杰，彭联刚，林亚南等人研究了通过导出范畴和根范畹利 用代数的a u s l a n d e r - r e i t e n 箭图研究李代数的实现( 8 3 - 8 5 ) 项链李代数是 一类定义在箭图上的李代数对一个箭图q 所诱导的重箭图囝中，在其 全体项链字为基张成的无限维向量空间定义一个特殊的李运算而得到项 链李代数项链李代数在非交换几何及奇点理论，量子群等领域有着重要 的应用目前国内外对项链李代数的结构研究还很少梅超群( 3 5 - 3 6 ) 曾 得到项链李代数的若干结果，她定义了项链字的左右指标数组，并利用 左右指标数组，把。的基分成了5 类，其中的第a ，b ，c 类项链字各自张 成的子空间均是口的重要子代数，它用此研究了项链李代数的一个有 趣的二阶反自同构 下面介绍本文的主要结果 无中心的v i r a s o r o 李代数是否有二维的交换的子代数，这个问题却至 今未获解决；我们继续了( 【2 7 】) 的工作，证明无中心的v i r a s o r o 李代数无二 维的交换的子代数；并且找出了所有二维非交换的子代数，证明了所有 的二维非交换的子代数都同构，得到元素配对生成二维非交换的子代数 的充分或者必要条件等一系列结果 我们继续了( 【2 5 i 【2 6 】，【2 8 】) 的工作，证明了v i r a s o r o 李代数的最小生成 元的个数为2 ，本原基向量函，e s ( i ，j z ) 为最小生成元，当且仅当嵇 1 ，例 1 且存在两个正整数p ，q z + ) ，使得研+ 西= 1 ；证明了李 子代数蠡也是极大真单李代数，证明了丽和丽两个子代数有无 限多个真理想，且刃瓦：和丽无二维和三维子代数，并且丽同构 丽证明v i r a s o r o 李代数的有限维子代数同构的充分必要条件证明 了v i r a s o r o 李代数的两个真子代数都是单李代数，并且是极大真子代数 我们用整数加群z 代替了a ，将李代数l ( a ，正q ) 改写为l ( z ，证 明了l ( z ，6 ) 为半单李代数，对李代数l 佤，6 ) 完全懈决了( 2 9 1 ) 提出的 7 博士学位论文 2 个公开问题 秩为2 的w i t t 型李代数是无限维单李代数，但是否秩为2 - w i t t 型 李代数的无限维真子李代数都是单李代数；我们证明了中存在两 个非单无限维真子李代数历和蠡；证明了历的中心为而一岛张成的一 维交换理想，证明了如一最( 垤刃张成的无限维子空间是负的交换理 想，证明了历的本原基向量的中心化子作为历的子李代数都同构证明 了忱历，如果z 为亟的本原基向量，则生成的理想( 功= 历最后证明 了负只有两个交换的真理想，而无其它非交换的真理想，它不是单李代 数，是一个强半单李代数真子李代数函和历的性质恰恰相反我们证 明了历的中心为零，证明了彘既不可解，也不幂零等性质，我们也证明 了彘只有非交换的真理想，无交换理想，从而证明了正为半单李代数 并且研究了正的内自同构 我们在( 【3 5 - 3 6 】) 基础上得到了项链李代数新的一系列成果如证明了 项链李代数存在有限维单子李代数，且这些单李代数同构于s l ( n ) 项链 李代数是否存在其他有限维子代数，这些子李代数同构于其他八类复单 李代数，这一直是我们思考的问题我们还研究了单循环箭图所诱导的 项链李代数的同构，并得到了这些同构构成了循环群晶，研究了单循环 箭图加若干自由箭所诱导的项链李代数的同构，以及这些同构之间的关 系我们研究了箭图同构与箭图所诱导的项链李代数同构的关系，研究 了一些特殊项链项李代数同态，得到某些特殊项链项李代数同态所必须 满足的条件 本文主要研究四类无限维李代数：无中心的v i r a s o r o 李代数；李代数 l ( z ，6 ) ；秩为2 的w i t t 型李代数的真子限维李代数；项链李代数根据 上述内容本学位论文共分为五章，第一章引言，第二章研究无中心的v - r a s o r o 李代数，第三章研究李代数l ( z ，6 ) ，第四章研究秩为2 的w i t t 型 李代数的真无限维李子代数，第五章研究项链李代数 8 一些无限维李代数的结构与性质 第二章无限维v i r o s o r o 李代数的结构与性质 2 1v i r a s o r o 李代数的子代数若干结果 无中心的v i r a s o r o 代数最早出现在1 9 0 9 年，由e c a f t a n 定义，1 9 3 9 1 9 4 1 年被大量研究，1 9 7 0 年物理学家v i r a s o r o 给出了无中心的 v i r a s o r o 代数的中心扩张，即后人所称的v i r a s o r o 代数( 以后简写为 痂) 无中心的v i r a a o r o 代数的定义如下： 一v i r = 佻， ( 2 1 ) z 怯，而】= d 1 ) d 村( 2 2 ) ( c 为复数域) ，容易验证( 2 2 ) 式对d f ( z ) 满足j a c o b i 恒等式，丽 关于( 2 2 ) 的定义的李运算构成李代数，易验证丽的中心为零， 称之为无中心的v i r a a o r o 代数 设为丽，则 z = k - , n d 一。+ k 。+ 1 d - ，i + l + + k l d - l + 幽+ h d l + + k 一1 d n 一1 + k 厶 f = l m d m + z 一价+ l d m + l + + z l d 一1 + l o d e + l l d l + + 厶卜1 d n 一1 + k d n 则把矩阵 f k mk 科l k l h k 1k 1 ( k ，k 不全为零) l m l t ，蚌l z l 岛1 1 i n l l n 称作的口系数矩阵，根据我们的这种定义，已知茹，可的系数矩 阵，则，y 就为已知 关于丽的研究，现有的文献记载已很丰富，例如已证明 丽为单代数，但对于如何决定它的所有二维子代数，v i r a s o r o 代 数有没有二维交换子代数，这看似简单的问题至今没有解决，文 献( 2 7 】给出v i r a s o n o 代数的子代数的一些结果 命题( 1 ) ：瑜代数无二维交换子代数 博士学位论文 址明： 反证法：设g 为丽代数的二维交换子代数，设z ，! ，为g 的 基，则茁o ，f 0 ，设一 z = 七一m d m + 1 d - m + 1 + + k - l d - 2 + k o d o + k i d l + + k + 1 d ，i 一1 + k 厶 = l - r o d - 。+ l m + 2 d 一，件1 + + l - l d - 1 + l o g o + f l 西+ + k l d n 一1 + k 蟊 则z ，f 系数矩阵为： f k mk ，件1 h h k - lk1 ( k ，k 不全为零) il 。z 一，件l h 岛z i k l kj 慨 k 小全力零 g 为交换子代数，所以 陆，刎= 0 ( 2 3 ) 观察系数矩阵，( 2 3 ) 式左边经过具体计算之后可知如。一。系数为 忙1 - 1 卟 同理观察一。的系数 。j ：小 利用行列式有关知识，又k ，k 不全为零， 、由于仁1 - 1 ：ik n - 2 卅刮：斗 于是如一。的系数l k 2k 4 l + 3 l 岛卜3 k l 根据( 2 4 ) 式，有 lk 一2 k l lik 一3ki l k - 3k l ：o ，又考虑，如。一系数 i0 3k1 t 忙州k i n - 3 3 斗b 一些无限维李代数的结构与性质 利用前述结论有f 4 k j - o ，从前述有 ik ki f 岛- l k j ：o ，l k - 4k i ：o ，从而有 f k 一1k ii k 一4ki ih k , n - 4 ：，i = o ，从前面有j ：lf - o ，j ：i o ，i k 一4 k l ，ij k 一3k i k 一2k i 从而有l k 3 - 2l ：o ，又考虑氐一。的系数 ihk 一：l s i ：i + s i ：| + ：l - o ， 利用前面结论有i k - 4k - 1 l ：o ，lk 3